NIET-COMMUTATIEVE MEETKUNDE VAN HET STANDAARD

NIET-COMMUTATIEVE MEETKUNDE VAN HET STANDAARD MODEL
WALTER D. VAN SUIJLEKOM
Met een kleine verruiming van het begrip meetkunde is het Standaard Model der elementaire deeltjes meetkundig te beschrijven. Het Standaard Model wordt zo op dezelfde voet geplaatst als Einstein’s Algemene Relativeitstheorie. Dit korte artikel geeft een introductie op het gebruik van nietcommutatieve meetkunde in de fysica en hoe het de
vier fundamentele natuurkrachten unificeert.
Walter van Suijlekom, van oorsprong natuurkundige, werkt als Universitair Docent op de Radboud
Universiteit Nijmegen, bij het Institute for Mathematics, Astrophysics and Particle Physics (IMAPP).
Hij werkt op het gebied van de niet-commutatieve
meetkunde en diens toepassingen in de kwantumveldentheorie.
1. Meetkunde in de wis- en natuurkunde
Meetkunde begon voor het eerst een echt serieuze rol te spelen in de fysica door het werk van
Albert Einstein. Zijn Algemene Relativiteitstheorie is gebaseerd op een stuk wiskunde uit de 19e
eeuw, ontwikkeld door met name Bernhard Riemann. Deze Riemannse meetkunde beschrijft naast
vlakke ruimte ook niet-Euclidische ruimtes, zoals
sferische en hyperbolische oppervlakken (Zie Figuur
1).
Figuur 1. Riemannse meetkunde
in 2 dimensies: sferische, hyperbolische en platte oppervlakken
1
In hogere dimensies is het idee van een Riemannse variëteit intuı̈tief te beschrijven als het tot op
eerste orde lokaal vlak (=Euclidisch) zijn. Dit wiskundige bouwwerk staat toe om een nauwkeurige
beschrijving te geven van het principe van algemene
covariantie in de relativiteitstheorie.
Aldus geeft Riemannse meetkunde een beschrijving van de zwaartekracht, en de vraag die direct
rijst is: bestaat er een soort meetkunde die de andere drie fundamentele natuurkrachten beschrijft?
In dit artikel zullen we laten zien dat niet-commutatieve meetkunde de gezochte generalisatie van Riemannse meetkunde is. Inderdaad kan het volledige
Standaard Model van de elementaire deeltjes meetkundig worden beschreven, zij het door een nietcommutatieve ruimte. Voordat we laten zien wat
dat laatste betekent, kijken we eens naar de fysische
input die nodig is om een deeltje te beschrijven dat
beweegt door gekromde ruimte-tijd.
Allereerst wordt de gekromde ruimte-tijd beschreven door een 4-dimensionale (pseudo) Riemannse
variëteit M . Dit betekent dat er lokaal coordinaten
x0 , x1 , x2 , x3 zijn, vergelijkbaar met de 4-vectoren
in speciale relativeitstheorie. Als we de propagatie
willen beschrijven van een fermion met massa m in
gekromde ruimte-tijd, dienen we de Dirac vergelijking op te lossen. In compacte vorm kunnen we
deze schrijven als (∂/M − m)ψ = 0 waarbij ∂/M de
Dirac operator is. Het is de algemeen relativistische
variant van de operator die Dirac vond in zijn zoektocht naar een speciaal relativistische versie van de
Schrödinger vergelijking. Aldus beschrijft de golffunctie ψ het fermion dat beweegt door gekromde
ruimte-tijd.
Een vraag die Einstein al bezighield is of het
mogelijk is de andere fundamentele natuurkrachten (ten tijde van Einstein: de electromagnetische)
ook meetkundig te beschrijven. Zodoende zou men
tot een geünificeerde theorie kunnen komen van
zwaarte- en electromagnetische kracht, en misschien
zelfs ook de kernkrachten. Een elegante mogelijkheid hiervoor is Kaluza–Klein theorie, echter verworpen om fysische redenen. Het idee is om ruimtetijd te vervangen door ruimte-tijd × een cirkel, wat
tot een geünificeerde en meetkundige theorie van
zwaarte- en electromagnetische kracht leidt.
Onze bewering hier — in navolging van Alain
Connes en co-auteurs [3] — is dat het volledige
• een complex getal z; P
Standaard Model van elementaire deeltjes kan wor• een quaternion q = q0 + i qi σi , waar σ1 , σ2
den geünificeerd met de algemene relativiteitstheoen σ3 de Pauli matrices zijn.
rie door ruimte-tijd te vervangen door het product
ruimte-tijd × een niet-commutatieve ruimte. We Tot slot is de Dirac operator gegeven door de matrix
bekijken dus de niet-commutatieve ruimte
ϕ1 ϕ2
+
∂/F =
.
M ×F
−ϕ2 ϕ1
−
en beschouwen F als een interne niet-commutatieve
ruimte. Dit is vergelijkbaar met Kaluza–Klein theorie, maar zonder diens fysische bezwaren.
We beschrijven de niet-commutatieve ruimte F
door middel van coordinaten, net zoals de xµ dat
deden voor M . Het verschil met ruimtetijd is dat
deze coordinaten niet commuteren, en zijn gegeven
door matrices, genoteerd als a. Een typisch voorbeeld is gegeven door de algebra M3 (C) van complexe 3 × 3-matrices. Merk op dat matrix vermenigvuldiging inderdaad een niet-commutatieve bewerking is: ab 6= ba.
De ‘propagatie’ van een deeltje door de interne
ruimte F wordt beschreven door een Dirac-type
operator ∂/F , hetgeen in dit geval niets anders is
dan een matrix.
+
en het negatief chirale deel is ∂/F = (∂/F )† . Merk
het Higgs-achtige karakter op van de matrix ∂/F ; we
komen hier later op terug.
Hoe krijgen we hier nu fysica uit? Gegeven nietcommutative ruimte-tijd M × F en Dirac operator
∂/M en ∂/F , gaan we op zoek naar een Lagrangiaan die de dynamica en interacties van het fysische
model beschrijft. Het blijkt dat er een uiterst eenvoudige voorschrift is voor zulke Lagrangianen, als
we een spectraal standpunt innemen. Namelijk, we
tellen het aantal eigenwaarden van ∂/M + ∂/F die in
absolute waarde kleiner zijn dan een bepaalde cutoff.
In het geval van een gladde cutoff geeft de zo
verkregen spectral actie [2] ons de Lagrangiaan van
de theorie. De koppelingsconstantes van de theorie
Voorbeeld 1 (Electrozwakke theorie). Een ‘coo- zijn gerelateerd aan de vorm van de gekozen cutoff
rdinaat’ van de ruimte F voor het electrozwakke functie.
Glashow–Weinberg–Salam model bestaat uit
Voorbeeld 2 (Commutatieve NCG). Als er geen
niet-commutatieve ruimte F is, dan geeft bovenstaand recept toegepast op ∂/M de Einstein–Hilbert
Lagrangiaan van Algemene Relativiteitstheorie, [2]
met diens bewegingsvergelijkingen:
Rµν − 21 gµν R = 0,
i.e. de Einstein vergelijkingen in vacuum.
2. Niet-commutatieve meetkunde van het
Standaard Model
Het succes van bovenstaande aanpak is pas goed
zichtbaar voor het Standaard Model van elementaire deeltjes. Het blijkt namelijk dat er een nietcommutatieve ruimte F is die een afleiding toestaat
van het volledige Standaard Model, minimaal gekoppeld aan zwaartekracht en inclusief Higgs mechanisme. Voor alle details verwijzen we naar [3]
en het boek [5].
De interne ruimte F wordt beschreven door de
volgende niet-commutatieve coordinaten:
• een complex getal z;
P
• een quaternion q = q0 + i qi σi ;
• een complexe 3 × 3 matrix a.
Vergelijk dit met Voorbeeld 1 voor het electrozwakke
model. Verder is ∂/F een 96 × 96 dimensionale matrix. Het getal 96 is het aantal fermionische vrijheidsgraden in het Standaard Model: 3 families ×
(2 leptonen + 2 quarks met elk 3 kleuren), hiervan links en rechthandige componenten en van het
totaal ook de anti-deeltjes. De matrix ∂/F bevat
Figuur 2. Alain Connes, grondlegger van de niet-commutatieve
meetkunde [4]
2
overwegend nullen, maar door een geschikte keuze
ervan, volgt dat de volledige Lagrangiaan van het
Standaard Model is gegeven door de spectrale actie.
Zoals gezegd komt de (enkele) cutoff functie voor in
de verschillende koppelingsconstantes van de theorie, in dit geval het Standaard Model. Hieruit volgt
na een flinke berekening dat de koppelingsconstantes g1 , g2 en g3 (em, zwak en sterk) aan elkaar zijn
gerelateerd via de GUT-relatie
g32 = g22 =
5 2
g .
3 1
Dit interpreteren we als volgt. Hoewel de deeltjesinhoud van het niet-commutatieve model gelijk is
aan de deeltjes-inhoud van het Standaard Model,
inclusief hun onderlinge koppelingen, legt het de
GUT-relatie op voor de koppelingsconstanten. Net
zoals bijvoorbeeld in SU (5)-grand unification, beschrijft het niet-commutatieve model een geunificeerde theorie met de deeltjesinhoud exact gelijk
aan die van het Standaard Model. In vergelijking
met de gebruikelijke SU (5)-grand unification, heeft
dit als voordeel dat hier de niet wenselijke leptoquarks absent zijn.
Maar, wanneer geldt nu bovenstaande relatie?
In Figuur 4 laten we het ‘runnen’ zien van de koppelingsconstantes αi = gi2 /4π van het Standaard
Model, afhankelijk van de energieschaal µ. Deze
afhankelijkheid wordt gedicteerd door de renormalisatiegroepvergelijkingen van het Standaard Model.
We concluderen dat het niet-commutatieve model
zich op GUT-schaal bevindt, in de buurt van de
zogeheten GUT-driehoek.
Figuur 4. Het ‘runnen’ van de
drie koppelinsconstantes van het
Standaard Model.
Een andere relatie die onze Lagrangiaan impliceert is tussen de Higgs-zelfkoppeling en g3 :
λ∼
4 2
g
3 3
Zoals gezegd bevindt onze veldentheorie zich op
GUT-schaal en we interpreteren deze relatie als geldend op diezelfde GUT-schaal. Als we nu de Higgszelfkoppeling laten runnen volgens de renormalisatiegroepvergelijkingen, met bovenstaande relatie
als randvoorwaarde op GUT-schaal, verkrijgen we
een waarde voor λ voor lagere energie. Hierbij nemen we de ‘big desert’ aan: er zijn geen nieuwe
deeltjes tot de GUT-schaal. Op lagere energie (rond
de massa van het Z-boson) is λ gerelateerd aan de
massa van het Higgs boson, waarvoor we de volgende waarde bepalen:
m2H = 8λ
2
MW
∼ 170 GeV
g2
( at MZ )
Als we hierbij ook rekening houden met neutrino
mixing (wat ook wordt beschreven door het nietcommutatieve model) vinden we een iets lagere voorspelde waarde: 168 GeV. Een soortgelijke berekening staat een postdictie toe van (een bovengrens
van) de massa van het top quark, namelijk mt <
180 GeV, hetgeen compatibel is met zijn gemeten
waarde.
Laten we een paar opmerkingen maken over de
voorspelling van een Higgs massa van 168 GeV.
Deze waarde lijkt recentelijk te zijn uitgesloten door
experimenten op Fermilab en op CERN, en lijkt
deze niet-commutatieve aanpak te falsifiseren. Echter, de big desert is hoogst onwaarschijnlijk en het
ligt voor de hand te zoeken naar niet-commutatieve
modellen die theorieën beyond het Standaard Model
beschrijven. Een omgekeerde analyse is ook mogelijk: zoek een niet-commutatief model dat een
Figuur 3. De elementaire deeltjes van het Standaard Model, met
als enig nog niet geobserveerde:
het Higgs boson
3
Institute for Mathematics, Astrophysics and ParHiggs massa van, zeg, 126 GeV oplevert. Dit levert dan mogelijk een voorspelling van nieuwe deel- ticle Physics, Faculty of Science, Radboud University
tjesinhoud, beschreven door het niet-commutatieve Nijmegen, Heyendaalseweg 135, 6525 AJ Nijmegen, The
Netherlands
model.
E-mail address: [email protected]
3. Conclusies
Met deze beknopte samenvatting hebben we proberen aan te tonen dat niet-commutatieve meetkunde in staat is het Standaard Model der elementaire deeltjes op meetkundige manier te beschrijven en te unificeren met zwaartekracht. Hoewel
de praktijk leert dat er niet zo veel speelruimte is
in de keuze van de niet-commutatieve ruimte, is
een interessante vraag hoe het ‘landschap’ van nietcommutatieve ruimtes er uit ziet, en of die vergelijkbaar is met het landschap in de snarentheorie.1
Op de Radboud Universeit Nijmegen wordt momenteel door promovendus Thijs van den Broek gewerkt aan een niet-commutatieve beschrijving van
supersymmetrische modellen. Met name het Minimaal Supersymmetrische Standaard Model (MSSM)
is interessant, om twee redenen. Allereerst is de
GUT-relatie dan mogelijk exact: de drie lijnen in de
GUT-driehoek van het Standaard Model ontmoeten elkaar mogelijk precies. Ten tweede is het aantal vrije parameters in het MSSM enorm, met relaties als hierboven volgend uit de niet-commutatieve
beschrijving kan dit worden gereduceerd. Een aantal eerste resultaten zijn beschikbaar in [1].
Tot slot is een groot open probleem van het nietcommutatieve model om de kwantisering intrinsiek
te formuleren. Momenteel wordt gebruik gemaakt
van conventionele renormalisatiegroepvergelijkingen
voor het Standaard Model, in combinatie met de
relaties gevonden in het niet-commutatieve model.
Echter, een volledig meetkundig begrip van het Standaard Model vraagt om kwantisatie. Aangezien
niet-commutatieve meetkunde een stevig wiskundig
bouwwerk is, is dit een moeilijk probleem: zelfs de
kwantisatie van Yang–Mills theorie is nog niet wiskundig geformuleerd, laat staan die van de zwaartekracht.
Referenties
[1] T. van den Broek and W. D. van Suijlekom. Supersymmetric QCD from noncommutative geometry. Phys. Lett.
B699 (2011) 119–122.
[2] A. H. Chamseddine and A. Connes. Universal formula for
noncommutative geometry actions: Unifications of gravity and the standard model. Phys. Rev. Lett. 77 (1996)
4868–4871.
[3] A. H. Chamseddine, A. Connes, and M. Marcolli. Gravity and the standard model with neutrino mixing. Adv.
Theor. Math. Phys. 11 (2007) 991–1089.
[4] A. Connes. Noncommutative Geometry. Academic Press,
San Diego, 1994.
[5] A. Connes and M. Marcolli. Noncommutative Geometry,
Quantum Fields and Motives. AMS, Providence, 2008.
1Met dank aan Bert Schellekens voor deze opmerking
4