vwo a/c deel 1

vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 4
Kansdefinitie van Laplace
aantal gunstige uitkomsten
aantal mogelijke uitkomsten
je mag deze regel alleen gebruiken als alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn
bij een verkeerslicht zijn de uitkomsten rood, oranje en groen niet even
waarschijnlijk, want het verkeerslicht staat langer op rood dan op oranje
dus P(oranje) is niet gelijk aan ⅓
bij het gooien met een dobbelsteen is elk van de 6 uitkomsten even waarschijnlijk
dus P(meer dan 4 ogen) = 2/6 = ⅓
hierbij zijn 5 en 6 ogen gunstig
hiermee is de kans exact berekend, bij een exact antwoord mag je niet benaderen
P(gebeurtenis) =
4.1
Kansschaal
4.1
Samengestelde kansexperimenten
Het gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van een
kansexperiment.
Kenmerkend voor een kansexperiment is dat de uitkomst niet van
te voren vastligt.
voorbeelden zijn :
het gooien met een dobbelsteen en een geldstuk
het gooien met 2 dobbelstenen
het gooien met 3 geldstukken
het kopen van 3 loten in een loterij.
Het aantal gunstige uitkomsten bij een samengesteld
kansexperiment met dobbelstenen of geldstukken krijg je bij :
2 kansexperimenten met een rooster
3 of meer experimenten met systematisch noteren en/of
handig tellen.
4.1
Samengestelde kansexperimenten
Heb je met meer dan 2 experimenten te maken, dan bereken je
kansen als volgt :
bereken het aantal mogelijke uitkomsten
tel het aantal gunstige uitkomsten door deze systematisch te noteren en/of handig te tellen
deel het aantal gunstige door het aantal mogelijke uitkomsten
Zo krijg je bij een worp met 3 dobbelstenen en de gebeurtenis
‘som van de ogen is 15’
aantal mogelijke uitkomsten is 6 x 6 x 6 = 216
aantal gunstige uitkomsten is 10, namelijk
555
663 , 636 , 366
654 , 645 , 546 , 564 , 456 , 465
dus P(som is 15) =
1+3+6
216
=
10
5
=
216
108
4.1
Empirische en theoretische kansen
Wet van de grote aantallen
Door een kansexperiment heel vaak uit te voeren, komt de relatieve frequentie
van een gebeurtenis steeds dichter bij de kans op die gebeurtenis te liggen.
1 Empirische kansen
v.b. : P(meisje bij geboorte) en P(punaise met punt omhoog)
empirisch betekent ‘op ervaring gegrond’
Empirische kansen krijg je door een groot aantal waarnemingen te gebruiken.
Empirische kansen bereken je door relatieve frequenties te gebruiken.
2 Theoretische kansen
Bij veel kansexperimenten kun je van te voren zeggen wat de kans op een
gebeurtenis is.
v.b. : P(6 ogen) bij een worp van een dobbelsteen is 1/6
Je gebruikt de kansdefinitie van Laplace.
3 Subjectieve kans
Hoe groot is de kans dat voor 2010 je sneller loopt dan 9 seconden over de
100m. ?  onmogelijk
4.2
Simuleren
Door een kansexperiment voortdurend te herhalen kun je kansen schatten.
Dat is echter een tijdrovend karwei.
b.v. : de kans dat bij een vliegtuig de automatische piloot uitvalt
Dit soort kansexperimenten gaat men simuleren (nabootsen) met de computer.
Door vervolgens relatieve frequenties te berekenen, schat je kansen.
De grafische rekenmachine heeft opties om toevalsgetallen te genereren.
4.2
Simuleren met de GR
TI
MATH-PRB-menu  randInt
met randInt(1,6,10) krijg je 10 gehele
toevalsgetallen van 1 t/m 6
Casio
OPTN-NUM-menu  Intg en
OPTN-PROB-menu  Ran#
met Intg(4Ran# + 1) krijg je 1 van de
getallen van 1, 2, 3 of 4
4.2
Voorwaardelijke kans
Bij een voorwaardelijke kans beperk je je tot een deelgroep
je moet dan delen door de frequentie van die deelgroep.
afspraak : ‘bereken de kans op ……’  rond je af op 3 decimalen
Kruistabellen
Heb je bij onderzoeksresultaten te maken met 2 kenmerken, dan is het verstandig
de gegevens in een kruistabel te verwerken.
vervolgens zijn allerlei kansberekeningen eenvoudig te maken
Onafhankelijke gebeurtenissen
De gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als
P(A onder voorwaarde B) = P(A)
gebeurtenis B heeft geen invloed op gebeurtenis A  onafhankelijk
gebeurtenissen die niet onafhankelijk zijn  afhankelijk
4.3
Combinaties
is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken
we van het aantal combinaties van 4 uit 7
het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als 7
4
spreek uit : 7 boven 4
het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit
7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7
4
4.4
Kansen en combinaties
Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken.
P(2r, 2w, 1b) = ?
Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans
aantal gunstige uitkomsten
P(G) =
aantal mogelijke uitkomsten
Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om
5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken.
15
manieren.
5
Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren
om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken.
Dat kan op
Dat kan op
8+4+3=15
8
2
4
2
.
8
2
.
.
4
2
P(4r, 1w, 2b) =
15
5
3
1
.
manieren
3
1
2+2+1=5
≈ 0,168
4.4
Het vaasmodel
bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het
kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit
een geschikt samengestelde vaas  vaasmodel
4.4
De somregel
Als de gebeurtenissen geen gemeenschappelijke uitkomsten hebben,
dus als de gebeurtenissen elkaar uitsluiten.
Hebben twee gebeurtenissen wel gemeenschappelijke uitkomsten, dan
geldt de somregel niet.
Zo is P(som is 4 of product is 4) niet gelijk aan,
P(som is 4) + P(product is 4) want de gebeurtenissen ‘som is 4’
en ‘product is 4’ hebben de uitkomst  gemeenschappelijk
Voor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt de somregel :
P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)
4.5
De complementregel
P(minder dan 8 witte) =
P(0 w) + P(1 w) + P(2 w) + P(3 w) +
P(4 w) + P(5 w) + P(6 w) + P(7 w) =
1 – P(8 witte)
P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1
P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)
4.5