Wiskundige beweringen en hun bewijzen

Wiskundige beweringen en hun bewijzen
Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering “waar” of
“onwaar” toegekend kan worden.
We zullen beweringen hier met kleine letters a, b, . . . aanduiden. Een bewijs
is een logische redenering die aantoont dat een bepaalde bewering waar is.
Er zijn typische vormen van beweringen, waarbij corresponderende vormen
van bewijzen horen.
Implicatie
Een implicatie is een bewering van de vorm
“Als a dan b”
“Uit a volgt b”
“a is een voldoende voorwaarde voor b”
“b is een noodzakelijke voorwaarde voor a”
Notatie: a ⇒ b
Bewijs: Een implicatie wordt bewezen door een keten van logische conclusies
die bij a of een bekend feit begint, alleen a en bekende feiten gebruikt en bij b
eindigt. (niet andersom!)
Voorbeelden:
• “Als een natuurlijk getal n deelbaar is door 4 dan is n ook deelbaar door
2”.
Bewijs: Zij n deelbaar door 4, dan is er een natuurlijk getal k met
n = 4k = 2 · 2k,
en 2k is een natuurlijk getal. Dus n is deelbaar door 2.
• “Als een natuurlijk getal n deelbaar is door 7 dan is n2 deelbaar door 49”
Valkuil: a ⇒ b en b ⇒ a zijn verschillende beweringen; de een kan waar en de
andere onwaar zijn: Neem bijvoorbeeld:
a: “Het regent.”
b: “Er staan wolken aan de hemel.”
Equivalentie
Een equivalentie is een bewering van de vorm
“a en b zijn equivalent”
“a dan en slechts dan als b”
“a is een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor b”
1
Als twee beweringen equivalent zijn dan zijn ze altijd beide waar of beide onwaar.
Notatie: a ⇔ b
Bewijs: Door (separaat) a ⇒ b en b ⇒ a te bewijzen.
Voorbeelden:
• “Een natuurlijk getal n is deelbaar door 4 dan en slechts dan als het
getal voorgesteld door de laatste twee cijfers (in de gebruikelijke decimale
voorstelling) deelbaar is door 4.”
Bewijs: Eerste deel: Stel n is deelbaar door 4. Dan is n = 4j met een
natuurlijk getal j. Zij k het getal voorgesteld door de laatste twee cijfers
van n. Dan is n = 100l + k met een natuurlijk getal l (ga na!). Dus
k = n − 100l = 4(j − 25l) is deelbaar door 4.
Tweede deel: Zij weer k het getal voorgesteld door de laatste twee cijfers
van n. Stel k is deelbaar door 4, dus k = 4m met een natuurlijk getal m.
Dan is n = 100l + k = 4(25l + m) deelbaar door 4.
• “Een natuurlijk getal n is deelbaar door 9 dan en slechts dan als de som
van zijn cijfers (in de gebruikelijke decimale voorstelling) deelbaar is door
9.”
Existentiebewering
Zij nu M een verzameling van elementen die we aanduiden met x, y, z, . . ., en
zij a(x) een bewering over de elementen van M .
Een existentiebewering is een bewering over de verzameling M van de vorm
“Er is een x ∈ M zodanig dat a(x) geldt”
Notatie: ∃x ∈ M : a(x)
Bewijs: door een (concreet) element z ∈ M aan te geven waarvoor a(z) waar
is.
Voorbeelden:
• “Er is een even priemgetal”
Bewijs: Het getal 2 voldoet.
• “Er is een priemgetal p zodat ook p − 2 en p + 2 priemgetallen zijn.”
Valkuil: De bewering “Er is een . . . ” is niet hetzelfde als “Er is precies één
. . . ”; een existentiebewering ∃x ∈ M : a(x) is ook waar als a(x) voor meerdere
elementen van M waar is.
Universele beweringen
Een universele bewering is een bewering over de verzameling M van de vorm
“Voor alle x ∈ M geldt a(x) ”
2
Notatie: ∀x ∈ M : a(x)
Bewijs: Kies een willekeurige, vaste z ∈ M en bewijs a(z) voor deze z. (Hierbij
mogen alleen eigenschappen van z gebruikt worden die gelden voor alle elementen van M .)
Voorbeelden:
• Voor alle positieve reële getallen x geldt
1
≥ 2.
x
Bewijs: Zij een vast positief reëel getal z gegeven. Er geldt:
x+
(z − 1)2
dus z 2 − 2z + 1
1
dus z − 2 +
z
1
dus z +
z
≥ 0
≥ 0
≥ 0
(z > 0)
≥ 2.
Negatie
De negatie van een bewering a is de bewering die waar is dan en slechts dan als
a onwaar is.
Notatie: ¬a
Conjunctie
Een conjunctie is een bewering van de vorm
“a en b”
Notatie: a ∧ b
Bewijs: door a en b separaat te bewijzen.
Disjunctie
Een disjunctie is een bewering van de vorm
“a of b”
Notatie: a ∨ b
Bewijs: door aan te tonen (¬a) ⇒ b of door aan te tonen (¬b) ⇒ a
Opmerking: a ∨ b is ook waar als a en b beide waar zijn.
Voorbeeld: Voor alle reële getallen x geldt:
(x < x2 ) ∨ (0 ≤ x ≤ 1)
Bewijs: Zij x ∈ R gegeven. Neem aan dat 0 ≤ x ≤ 1 niet geldt, dan is x < 0 of
x > 1. In het eerste geval is x2 > 0 en dus x < 0 < x2 , in het tweede geval is
x2 = x · x > x · 1 = x.
3
“Rekenregels” voor negaties
Tweevoudige negatie levert de oorspronkelijke bewering:
¬(¬a) = a
Bij het vormen van negaties in complexere beweringen veranderen de vormen:
¬(a ∧ b)
= ¬a ∨ ¬b
¬(a ∨ b)
= ¬a ∧ ¬b
¬(∀x ∈ M : a(x)) = ∃x ∈ M : ¬a(x)
¬(∃x ∈ M : a(x)) = ∀x ∈ M : ¬a(x)
Voorbeelden:
• De negatie van
“Het is maandag en de zon schijnt.”
luidt
“Het is niet maandag, of de zon schijnt niet.”
• De negatie van
“Er is een persoon in de zaal die een bril draagt.”
luidt
“Alle personen in de zaal dragen geen bril.”
Contraposities
Zij a ⇒ b een implicatie. De bewering ¬b ⇒ ¬a heet de contrapositie van
a ⇒ b. De contrapositie is equivalent aan de oorspronkelijke implicatie.
Voorbeeld: De contrapositie van
“Als het regent staan er wolken aan de hemel.”
luidt
“Als er geen wolken aan de hemel staan dan regent het niet.”
Deze twee beweringen zijn identiek.
In plaats van de implicatie a ⇒ b kan men dus ook haar contrapositie ¬b ⇒
¬a bewijzen.
4
Bewijzen uit het ongerijmde
Algemener kun je een bewijs voor een bewering beginnen met de negatie van
de bewering en hieruit logisch een tegenspraak af te lijden. Vanwege die tegenspraak kun je dan concluderen dat de oorspronkelijk aanname waar is. Zo een
bewijs heet bewijs uit het ongerijmde.
Voorbeeld: Er zijn oneindig veel priemgetallen.
Bewijs: Uit het ongerijmde: Neem aan dat er maar eindig veel priemgetallen
p1 , . . . , pn zijn. Dan moet elk natuurlijk getal groter dan 1 deelbaar zijn door
een van deze getallen. Dit is echter niet waar voor het getal
z := p1 · . . . · pn + 1.
Dit is een tegenspraak met de aanname dat er maar eindig veel priemgetallen
zouden bestaan. Dus bestaan er oneindig veel priemgetallen.
Een iets complexer voorbeeld
We zullen te maken krijgen met beweringen die op meerdere hiërarchische niveaus opgebouwd zijn uit beweringen van de bovengenoemde types.
Voorbeeld: Voor alle reëele ε > 0 is er een natuurlijk getal n0 zodanig dat
voor alle n ≥ n0 geldt n12 < ε.
Formeel: We geven de verzameling natuurlijke getallen aan met N.
∀ε > 0 : ∃n0 ∈ N : ∀n ∈ N : n ≥ n0 ⇒
Bewijs: Zij ε > 0 gegeven.
Kies
1
n0 := √ + 1,
ε
waarbij [ ] het gehele deel aangeeft. Dan is n0 >
Zij n ∈ N, n ≥ n0 . Dan
1
< ε.
n2
1
n
≤
1
n0
en dus
1
1
≤ 2 < ε.
2
n
n0
5
√1
ε
en dus
1
n20
< ε.