De elektrostatische capaciteit van twee band-elektroden

De elektrostatische capaciteit van twee band-elektroden,
geïsoleerd aangebracht rond een geleidende
cirkelcilindrische staaf in een kunststof afdichting
Scharten, Th.
Gepubliceerd: 01/01/1987
Document Version
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences
between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the
author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
Citation for published version (APA):
Scharten, T. (1987). De elektrostatische capaciteit van twee band-elektroden, geïsoleerd aangebracht rond een
geleidende cirkelcilindrische staaf in een kunststof afdichting. Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven.
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners
and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research.
• You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ?
Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately
and investigate your claim.
Download date: 19. Jul. 2017
t~
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
Elektrotechnische Faculteit
Vakgroep Theoretische' Elektrotechniek
De,elektrostatische capaciteit van twee
band-elektroden, gelsoleerd aangebracht
rond eengeleidende cirkelcilindrische
staaf in een kunststof afdichting
ir. Th. Scharten
Rapport van onderzoek, verricht in opdracht van
de vakgroep Produkt-ontwerp en -constructie,
Werktuigbouwkundige Faculteit TUB.
Rapportnummer: ET-9-87
Projekt
ET28
Eindhoven, april 1987.
i
SAMENVATTING
Voor de gegeven configuratie wordteen formule voor de elektrostatische capaciteit afgeleid. De capaciteit wordt gedefinieerd,
uitgaande van de elektrostatische veld-energie,
en herleid tot
een uitdrukking. in termen van de elektrostatische potentiaal-.
funktie. Deze laatste wordt bepaald als oplossing van het randwaardeprobleem voor de configuratie. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de Fourier-integraaltransformatiemethode.
ii
LIJST VAN BELANGRIJKSTE SYMBOLEN
a
halve afstand tussen de elektroden
C
~
I
n
.elektrostatische capaciteit
elektrische veldsterkte
gewijzigde funktie van Bessel van de eerste soort, orde n
K
gewijzigd~
Q
elektrische lading
r
radiale caordinaat
U
eenheidsstapfunktie (Heaviside-funktie)
V
elektrostatische spanning
V
w
W
volume
elektrodebreedte
veld-energie
z
axiale caordinaat
P
integratievariabele bij inverse fouriertransformatie
partiele afgeleide naar de variabele i
n
ai
funktie van Bessel van de derde soort, orde n
6
impulsfunktie (Dirac-funktie)
6
elektrostatische permittiviteit (dielektrische constante)
n
3,141592 ...
elektrische volumeladingsdichtheid
azimutale coerdinaat
elektrostatische potentiaal
p
•
?
-l~
INHOUD
1. In1eiding en verantwoording
2
2. Probleemstelling
3
3. De elektrostatische capaciteit
5
4. Conclu.sies
6
5. Theoretische grondslagen en afleidingen
7,
6. Verwijzingen
30
-21. INLEIDING EN VERANTWOORDING
Binnen de vakgroep Produkt-ontwerp en -constructie (werktuigbouwkundige
Faculteit TUE), secties Aandrijf- en Tribotechniek, wordt onderzoek verricht naar de dikte van de oliefilm·op een schuifbare, metalenstaaf in
een afdichting van kunststof. Daarbij is het idee geopperd deze oliefilmdikte af te leiden uit meting van de elektrostatische capaciteit van
twee elektroden die, elektrisch gelsoleerd, op de staaf worden aangebracht. Riertoe i.s het nodig te beschikken over een betrekking tussen de
oliefilmdikte enerzijds en de capaciteit anderzijds.
Ret voorliggende rapport betreft nu de theoretische bepaling van deze
elektrostatische capaciteit. Er is gekozen voor de configuratie met twee
ringvormige elektroden. Daarmee wordt niet aIleen bereikt dat de mathematiek betrekkelijk eenvoudig blijft (ook al wordt er heel wat overhoop
gehaald), maar ook is de capaciteit van de twee ringvormige elektroden
groter dan de oorspronkelijk voorgestelde plaatjes (en dus beter meetbaar) .
Om het
rapport overzichtelijk te houden wordt de probleemstelling,
hoofdstuk 2, onmiddellijkgevolgd·door het verkregen resuitaat en de conclusies, hoofdstukken 3 en 4. De theoretische grondslagen en aIle afleidingen zijn in volgorde bijeengebracht in hoofdstuk 5. De bronnen waarnaar in dit rapport wordt verwezen, zijn vermeld in hoofdstuk 6.
De probleemstelling sluit methodisch geheelaan bij de onderwerpen binnen projekt ET28, Elektromagnetische stimulatie. Ret onderzoek waarvan
dit rapport de peerslag vormt, is dan ook te beschouwen als spin-off van
projekt ET28.
-32. PROBLEEMSTELLING
In figuur I is de configuratie in dwarsdoorsnede weergegeven. Deze configuratie is cirke1cilindrisch met de z-as als cilinder-as, en ze bestaat uit zes deelgebieden.
6
rS
5
r4
r3
r2
I
4:
) !
3
I
q
o
.I
I
r6
~
/
I
• 2
I
I
I
,I
I
!
,,
I
j
__
.
I
I
.
..J
__
-'- ___
-a-w
-a
I
0
Figuur 1.
I
(
)
iI
staal
kunststof
olie
isolator
staal
•
•• 1
lucht
• _ _' _ _ z
_ _ _ -,---_--,I
. I
~
I
·
' I
+a
a+w
Configuratie
Rond een holle stalen as met binnenstraa1 rl en buitenstraal r2 is een
isolerende laag aangebracht met buitenstraal rs.
Op deze iso1erende laag zijn rondom twee bandvormige, metalen elektroden aangebracht, elk met een breedte w en op tussenliggende afstand 2a.
De dikte van de elektroden wordt verwaar100sbaar klein ondersteld. De
elektroden worden bekrachtigd via twee gelsoleerde geleidende draden,
komend vanuit de asholte. Het geheel is omgeven door-een afdichting van
kunststof (binnenstraa1 r4, buitenstraal rs), ingek1emd in een metalen
huis, buitenstraa1 rs. Tussen deze afdichting en de elektrisch gelsoleerde as bevindt zich een oliefilm.
AIle materialen zijn lineair, isotroop en homogeen.
De elektrodenbekrachtiging bestaat uit een gelijkspanningsbron. Het
elektrostatische veld, zoals dat door de elektroden in hun omgeving
wordt opgewekt, dringt niet door in destalen as, gebied 2, en evenmin
in het metalen huis, gebied 6. Er is dus aIleen een van nul verschillend elektrostatisch veld in de gebieden 3, 4 en 5. Het veroorzaakt
daar op zijn beurt elektrische geleidingsstromen. Wegens de betrekkelijk zeer hoge' waarden van de specifieke weerstanden van olie en de
toegepaste kunststoffen, zijn deze geleidingsstromen echter verwaarloosbaar klein.
Omdat het veld zich rond de elektroden concentreert, is het toelaatbaar
de configuratie in de as-richtingen tot in het oneindige uitgestrekt te
denken.
Gevraagd wordt nu naar de elektrostatische capaciteit C van het elektrodenpaar. Deze is gedefinieerd door (zie paragraaf 5.1 en 5.5)
( 1)
"
-4waarin
V
V
p
~
dV
elektrostatische spanning tussen de twee elektroden;
volume waarin het elektrostatische veid van nul verschiltj
vblumeladingsdichtheidsfunktie waarmee de elektroden worden
weergegeven;
elektrostatische potentiaalfunktie:
infinitesimaal volume-element.
Verder hangt de spanning V tussen de elektroden samen met de potentialen van de elektroden volgens
V
= ~elektrode
links
-
~elektrode
(2)
rechts
Ter bepaling van een uitdrukking voor de capaciteit van het el~ktroden­
paar is het dus nodig de elektrostatische potentiaalfunktie te bepalen.
De afleiding ervan is te vinden i'n hoofdstuk 5.
-5-
3. DE ELEKTROSTATISCHE CAPACITEIT
Met verwijzing naar hoofdstuk 5, is de elektrostatische capaciteit van
het elektrodenpaar in de configuratie van figuur 1 gegeven door
C
1
=
~'"
[J
sin(pa)sin(p[a~])
(3)
sin(~)]2
~
~(p)qp
o
waarin de funktie
~(p)
~(p)
een breuk is:
=~
(3A)
met, in matrixvorm,
Ko (pr.) )
. [ -Io(pr,)'
(38)
en
1.
KO(Pr2) (P,.xQ",,) - Io(prz)(Q,.xQ",,)]
[ KO(Pr2) (P""xP •• )
Io(prz)(P",sxQs,)'
De produkten P .. x Qk"
1J
J
ven door
(3C)
P .. x Pk · en Q.. x Qk' zijn op hun beurt gege1J
J
1J
J
(3D)
P.., x
Qu
P... x PI.
= - t . Io(pr.)KJ,(pr.) - t .. Idprs)Ko(pr.)
(3E)
= (t.-t",)I o (pr.)I 1 (pr.)
(3F)
(3G)
(3H)
P5 ",
X Q~ ..
P... x P"'4
= - t .. I o(pr",)K (pr .. ) = (t",-t.)I o (pr",)I (pr .. )
1
1
t. I 1 (pr",)K o (pr .. )
(3J)
(3K)
(3L)
-6Verwaarloosbare elektrodebreedte
Indien de elektrodebreedte w verwaarloosbaar klein wordt ondersteld,
dan is C gegeven door
C
=
1
20.1
w
.&.
0
(3M)
sin' (lIa)</> (II) tip
waarin de funktie ~(p) oDveranderd door de formules 3A tim 3L is voorgeschreven.
Numerieke impJementatie
Bij de numerieke implementatie van de capaciteit volgens formule 3 of
3M moeten maatregelen worden getroffen om verzekerd te zijn van een
stabiele en voldoende nauwkeurige uitkomst van de integralen.
Zo ontstaat er het probleem dat zowel r. als r" in getalwaarde maar
zeer weinig van ra verschillen. Dit probleem kan worden ondervangen
door de Besselfunkties 101 1 1 , Ko en Klt met de argument en pr, resp.
pr", weer te geven in de vorm van Taylorreeksen voor het argumentpr2'
Verder moet men erop bedacht zijn dat de Besselfunkties lo(x) en 11(x)
monotoon stijgende funkties van x zijn, en asymptotisch zelfs exponentieel stijgende funkties van x. Hierdoor kan het zijn dat men bij numerieke integratie tegen de capaciteitsgrenzen van de gebruikte machine
aanloopt. Dit probleem kan worden ondervangen door de I-funkties, vanaf
.een nader te bepalen ondergrens, te schrijven alsex.I(x). Daarbij kan
de faktor eX worden geelimineerd, en weI doo'r analyse van de uitdrukkingen 3A tIm 3L.
-74. CONCLUSIES
Door gebruikmaking van de methode van randwaardeproblemen en door toepassing van de fourier-integraaltransformatie is een uitdrukking voor de
gevraagde capaciteit verkregen.
Deze uitdrukking is geschikt voor numerieke implementatie, zij 't dat er
mogelijk maatregelen moeten worden getroffen om een stabiele en voldoende nauwkeurige uitkomst te kunnen verkrijgen. Deze maatregelen zijn mede
beschreven.
Op
grond van; de gevonden ui tdrukking voor de capaci tei t kan nog geen
uitspraak worden gedaan over de doeltreffendheid van een capaciteitsmeting ter (indirecte) bepaling van de dikte van de oliefilm tussen as en
afdichting. Daarvoor is eerst een numerieke implementatie nodig.
-8-
5. THEORETISCHE GRONDSLAGEN EN AFLEIDINGEN
5.1
5.2
5.3
5.4
. 5.5
5.1
De elektrostatische capaciteit
De configuratie
Het randwaardeprobleem
Oplossing van het randwaardeprobleem
Bepaling van de elektrostatische c~paciteit
De e1ektrostatische capaciteit
Capaciteit is een elektrisch circuit-element, waarmee de opgeslagen
elektrische veld-energie wordt weergegeven. Deze energie W hangt met
e
de capaciteit C samen vo1gens (1]
(4)
als V de elektrostatische spanning is tussen het elektrodenpaar
.( "klemmenpaar") waarmee ·het beschouwde elektrische veld wordt opgewekt. Anderzijds is' deze energie in termen van het elektrostatische
veld
gegeven door [2J
,
(5)
v
waarin
V: het volume waarin het e1ektrostatische veld van nul verschilt;
t,: de elektrostatische permittiviteit (ltdiEHektrische constante") i
~: de elektrostatische ve1dsterktefunktiej
dV: infinitesimaal volume-element.
Met behulp van de formules 4 en 5 wordt de capaciteit gevonden als
C = vl2
I (t,~.~)dV.
V
Deze ui tdrukking zal in paragraaf 5.5 verder worden her leid tot de
gegeven formule 1.
5.2
De configuratie
Met het oog op correcteformu1ering van het randwaardeprobleem (paragraaf 5.3) is het nodig de configuratie in detail te beschouwen. Van
belang zijn de gebieden waarin het elektrische veld van nul verschilt;
zie figuur 2.
-9-
5
4+
----~i~--~----------'i----~
:
I
I
4-
I
3
I·
-a
Z
I
-a-w
o
Figuur 2
a
a+w
Configuratie in detail
Voor de elektroden is aangenomen dat ze een verdwijnend'kleine dikte
hebben. Dit betekent dat ze in het scheidingsvlak r = r3 liggen. Dit
levert een probleem biJ de formulering van de randvoorwaarden voor het
elektrische veld in dat vlak. Daarom wordt aangenomen dat de elektroden in. het vlak r = r s , r s E < r3,r4 >,. gelegen zijn. Op eengeschikt
punt in de analyse kan dan de I imiet r ~ r3 genomen worden. Zolang
s
. r s F r3, wordt gebied 4 door het vlak r
= rs
in twee delen·verdeeld.
Deze worden achtereenvolgens aangeduid met 4 ,
4+ , r
5.3
E
< r s ,r 4 >.
Het randwaardeprobleem
De differentiaalvergelijkingen voor het elektrostatische veld
R lui den
[3] :
{
rotE.
= 0
-1
.
t4
E. = L
div -1
i
= 3,4,5.
(6)
Hierin is p de volumeiadingsdichtheid waarmee de elektroden in gebied
4 worden weergegeven. Deze dichtheid luidt
P
Q
= 2nr
0
s
nT(z+a+w) - U(z+a) - U(z-a) + U(z-a-w)],
w ~(r-r)
s L-
(7)
als ~ de Dirac-puIs is en U de eenheidsstapfunktie. De ladingsdichtheid volgensvoorschrift 7 voldoet aan de eis dat de elektrische
lading op de ene elektrode gelijk is aanQo en die op de andere gelijk
aan -Q o . De lading op de linker elektrode is immers
QI
=
z<o
J
pdV
V(z<o)
-10,.
(Z)
2n
r"
0
0
2nr
w
s
00
f
rh(r-r s )dr
.r.
= 2nrs w •
rs
-a
f d~ f
0
dz
-a-w
2n • w
en die op de recbter elektrode is -Q o vanwege de integraal
a
f
dz
= -w.
a+w
Ret stelsel differentiaalvergelijkingen 6 wordt aangevuld met de randvoorwaarden op de vlakken r = tz. r = rs. r = r" en r = rs (4]. Op de
scheidingsvlakken r = r» en r = r" zijn de tangentiele component en van
g en de normale component en van toR doorlopend (wegens het ontbreken
van geleiding is er geen oppervlaktelading op de scbeidingsvlakken).
Op de grensvlakken r = rz en r = rs zijn de tangentiele componenten
van g gelijk aan nul. Dus:
} r ' r,
}
li'tang = Q,
r
= r"
r
= rz
~
~.z
(8)
r = rs.
Bij de herleiding van het randwaardeprobleem {6,7.8} in paragraaf 5.4
worden de randvoorwaarden 8 aangevuld met die ter plaatse van de
elektroden, r = r s •
5.4
Oplossing van het randwaardeprobleem
De bepaling van bet elektrostatiscbe veld aIs oplossing van bet rand...,
waardeprobleem verloopt in vier stappen:
-
invoering van de elektrostatiscbe potentiaalj
toepassing van de fouriertransformatie {r,~,z} ~ {r,~,p};
oplossing van bet getransformeerde randwaardeprobleem;
toepassing van de terugtransformatie {r,~,p} ~ {r,~,p}.
Deze stappen worden nu achtereenvolgens uitgevoerd;
-ll-
Elektrostatische potentiaal
Het steisel differentiaaivergelijkingen 6 moet herleid worden tot een
vergelijking. Dit is mogelijk door toepassing van de rotatie-operator
op de eerste vergelijking van het steisel. Dit is toegestaan omdat de
materiaIen, waar de configuratie uit is opgebouwd, aIle lineair,
isotroop en homogeen zijn; daarom is het veld op inwendige plaatsen
continu differentieerbaar. Men heeft dan:
r~t(rot Ri)
{
dlV
Ri
=Q
'1.
1
= p/e,,,,.
Uitwerken van de eerste vergelijking geeft:
rad(diV -1
E.) - div grad)E.
-1
{g
div -1
E. = p/e,,,,
=0
-
'1.
1
.Door invulling van de tweede vergelijking in de eerste ontstaat de
gewenste differentiaalvergelijking als
(div grad)E.
-1
I
=-grad
~'"
'1 .•
p,
(9)
1
Het is gebruikelijk zich van de gradient-operator in het rechterlid te
bevrijden door invoering van de elektrostatische potentiaal ~ volgens
'1 ..
(10)
1
Daarmee gaat vergelijking 9 over in
(div
grad)~.
1
= - p/~""
i
= 3,4,5.
(11)
Hierin is p door voorschrift 7 gegeven. Daar p onafhankelijk is van de
geven de elektroden aanleiding tot een .-onafhankelijke '
potentiaalfunktie. Verder zijn de elektroden en de scheidings-/grensvlakken coaxiaal opgesteld. Deze vlakken geven dus evenmin aan1eiding
tot het ontstaan van een '-afhankelijkheid in het veld. De conclusie
is dat
'-c~rdinaat,
'11.•
(12)
Uit betrekking 10 voIgt met deze conclusie dBt
'1.
1
dus
R1. =
(E ., 0, E .)
rl
Zl
OJ» (-a r ~.,
o,":"a ~.),
1
z 1
'1 .•
1
(13)
-12Dit betekent dat E . :: -() <p. de enige van nul verschillende tangenZl
Z 1
tiele ve1dcomponent op de scheidings-/grensvlakken is. Aldus gaan de
randvoorwaarden 8 over in:
() z<PI
::
-
() z<P~
(.1(}r<P3 :: (. ~() r <P~
+
() z<P~
+
::
() z<P.
::
tsor<ps
t ~or<P~
}
}
r = rl
r
=
r~
(l4A)
() Z <PI
::
0
r
oZ <p. :: 0
= ra
r :: r ••
De differentiaalvergelijking ll, tenslotte, wordt met behulp van betrekking 12 geschreven als
i
= 3,4,5.
(l4B)
De betrekkingen 14 vormen het randwaardeprobleem in termen van de
elektrostatische potentiaal.
Fouriertransformatie
Ret randwaardeprobleem wordt aangepakt door toepassing van een fouriertransformatie [5] vo1gens
00
~i
::
f <Pi
exp(-jpz)dz
-00
(l5A)
<Pi
= 2~
f
~iexp{j~z)dP.
-00
Hierin is cpo1 de oorspronkelijke potentiaalfunktieen . is cpo1 de getransformeerde of beeldfunktie. Deze laatste is een funktie van r en p.
De beeldfurikties van () cpo en (}2cp. worden met behulp van partiele inteZ 1
gratie bepaald. Men vindt dat
Z 1
-1300
~o)eKp(-j~z)dz
(a
J
Z 1
= jP<JIo1
~
(15B)
00
(a2~o)eKp(-j~z)dz
z
J
1
= -~2~i '
~
mits voldaan wordt aan de, achteraf te verifieren voorwaarden dat
=0
~.
lim
z-+±oo
1
Vo
(16)
1
lim
a
z-+±oo
~o
1
z
= O.
De beeldfunkties van a2~o en ! a ~o zijn achtereenv61gens gelijk aan
r 1
r r 1
-
a2~o
r
1
1-
en - a ~o. De beeldfunktie van p is
r r 1
P=J
P eKp(-j~z)dz
-a
(f) 2n~Osw Hr-rs){J
a+w
eKp(-j~z)dz - J eKP(-j~Z)dZ}
-a-w
a
Qo
1
= 2nr
w ~(r-r )~+eKp[j~(a+w)]-eKp(jPa)+eKp[-j~(a+w)]-eKp(-j~a)}
s
s JJW
Q
2
= 2nros w ~(r-rs )'"7ji"
JJW
°
{cos[~(a+w)] - cos(~a)}
= 2!o w 6(r-r )'-:{J4 sin[%fJ(2a+W)].sin(%6w)
s
s J
2°Q
= nrJ w~
s
sin[~(a+%w)]
sin(%Pw).6(r-r s ).
.
(17)
Transformatie van de differentiaalvergelijking 14B geeft met behulp
van het bovenstaande:
i
= 3,4,5
(18)
met p gegeven door betrekking 17. De randvoorwaarden 14A gaan door de
transformatie over in
-14-
}
-= ~.
= ~04a r ~04 .
= ~S
= e,.ar~S
-
~3
-
~3a ~3
r
-+
~04
}
-+
e,04ar~04
-
~,
~s
=0
=0
r
(19A)
= r,
r
= r04
r
= r2
= rs
r
(19H)
(19C)
itJ",fj.
(19D)
(19E)
(19F)
De betrekkingen 18 en 19 vormen het getransformeerde randwaardeprobleem.
Randvoorwaarden voor elektroden
De elektrodenlading, zoals die voorkomt in de differentiaalvergelijking voor de potentiaal in gebied 4,
(20)
2jQo~ sin [,6(a+%w) ] • sin(~). cHr-r ),
=
1U.04r w
s
s
~ordt
nu weergegeven door randvoorwaarden. Uit vergelijking 20 voIgt
·dat de term a:CiJ". de Diracpuls moet opleveren. Dit is bmners de term
met
de hoogst voorkomende afgeleide.
funktie
-
ar~04
ter plaatse r
= rs
Gevolg is dat de afgeleide
een stapfunktie is, en
-
~04
een
hell~ng-
funktie, dus continu:
r
=rs .
(21)
De grootte van de discontinulteit van
-
ar~04
voIgt rechtstreeks uitver-
gelijking 20 door integratie over een r-interval rond r
= r.s :
rs+'"
~i~
I
(a;CiJ04 +
~ ar~04
_,62CiJ04)dr
=
r -."
s
(22)
=
2jQ o ~ sin(fj(a~]) .sin(%,Gw).
1U.04rs w
-15Hierbij is gebruik gemaakt van de eigenschap dat
rs+7J
I
lim
7J~o
h(r-r s )dr
= 1.
(23)
r s -7J
De limiet voor verdwijnend kieine waarden van de afmeting 7J wordt hier
toegepast omdat zo dade1ijk ook de 1imiet r ~ r, mogelijk moet zijn.
s
Door gebruikmaking van de continulteit 21 gaat vergelijking 22 over' in
ar ¢!
-
ar ¢~
= -S
~,
(24)
t ...
waarin is ingevoerd de grootheid
2jQ o sin(~[a+%w]).sin(~).
nr W~2
S _.
(25)
s
De funkties
-+
--
en
~...
~...
voldoen daarbij aan de homogene vergeIijkingen
(26)
Tens10tte nemen we de limiet r s ~ r"
waarbij ~!: = ~"I' Dan gaan de
~,
.randvoorwaarden 19A en 21 tezamen over in
--
)
voorwaarden 19B en 24 int ... a~ ... r
t,a~,
r
=-
=
-
~ ... ,
r = r ' en de rands
S~.
Samenvattend 1uidt het getransformeerde randwaardeprobIeem:
a2~.
r 1 + 1
r a r ~.1 - ~2~.
,1
-
~3
-
i
= 3,4,5
r = ra
= 0
t,a r ~3
-
= 0,
=t
...
-
ar ~"I
+
(27)
-
~"I = ~s
}
t ... ar¢"I = t sar~S
r
= r ...
~s
r
= rs
= O.
Ais ¢.1 bekend is, dan voIgt
E.
-1
blijkens betrekking 13 (na transforma-
tie met behulp van de integralen 15 uit
E.
-1
= (-a r ~.,
1
0 ' , -j~J.1')'
,.,.."
i ::: 3,4,5.
(28)
-16Oplossing van het getransformeerde randwaardeprobleem
I
'
.
De oplossingen van de differentiaalvergelijkingen in stelsel 27 moeten
gelden voor radiaal begrensde gebieden die de as van de configuratie
niet bevatten. Deze oplossingen zijn [6]:
.
c.
= A.lo(pr)
+ B.Ko(pr),
i
1 1 1
= 3,4,5
(29)
waarin
coefficienten die uit de randvoorwaarden te bepalen zijn;
gewijzigde funktie van Bessel vande eerste soort en de orde
nul;
gewijzigde funktie van Bessel van de derde soort en de orde
nul.
Ko(pr)
Invullingvan de funkties 29 in de randvoorwaarden 27 levert het volgende st~lsel randbetrekkingen:
(30A)
(30B)
t,~,Il(pr,)
- t,B,K 1 (pr,)
A4Io{~r4) + B4Ko(~r4)
=t~A4Il(pr,)
= Aslo(~i4)
-
t4B4Kl(~r3)
+ BsKo(~r4)
+ S
(30C)
(300)
Dit is eenstelsel van zes vergelijkingen met de zes coeffi'cienten
(A. ,B.) als onbekenden. Bij de afleiding van het stelsel is gebruik
1
1
gemaakt van de betrekkingen [7]
az,10 (z) =
ItCz)
(31)
Met het oog op de herleidingwordt het stelsel in de volgende, meer
compacte vorm geschreven:
Ba
= -aaA,
(32A)
AII~u
+ B,gu
= A4~4!I
+ B4g 0
A4~44
+ B4944
= ASrS4
+ Bs9s4
Bs
= -asAs,
+ S .
(32B)
(32C)
(320)
,.
-17waarin zijn ingevoerd:
= Io(pr.)/Ko(pr.)
J
J
a.
J
(33A)
(33B)
P ... =
-l.J
(33C)
o
. Sin(~)] .
sin(p[a+%wJ)
(33D)
~
o
Verder worden ingevoerd de scalar-tripelprodukten
=:
(P .. x 9 )
kl
-l.J
!!3
P .. x P
=
k1
l.J
(P .. x ~kl)
-lJ
~1
Q.. x Q =
k1
l.J
(Q . .
-l.J x -Qkl)
. ~1
s
=
(8 x P .. )
~1
=
(8 x Q .. ) •
_Ull
P .. x Q
kl
l.J
x P. .
l.J
8 x Q ..
,1.J
-
-l.J
-
-lJ
(34)
Daarin is !!3 de eenheidsvektor in de richting van het vektorprodukt.
Tenslotte is
w..
~
l.J
P .. x Q ..
1.J
1.J
I
(~3) _ ~. [Io(pr.)K1(pr.) + I1(pr.)Ko(pr.)]
1.
J
J
J
J
~.
=:
1.
---
pro
(35)
J
wegens de Wronski-relatie voor de gewijzigde funkties van Bessel [8].
8telsel 32 wordt nu zodanig herleid, dat de coefficienten A~ en B~ met
behulp van de betrekkingen 32A en B in de coefficient All worden uitgedrukt, en met behulp van de betrekkingen 32C enD in de coefficient
As. Door gelijkstelling ontstaat dan een vergelijking, waar de coefficienten A, en As eenvouaig uit af zijn te leiden. De op deze wijze ver
kregen ui tdrukkingen voor de coefficienten bevatten geen overbodige
termen of faktoren (9J. De afleiding is als voIgt.
-18-
(32A)
«32B) x g.u).!!1 ~ A.. w.u ::: -S
On + A,I{P u xO ... -'hOu xO.u)
(36A)
x (32B».!!1 ====to B.. wn ::: -PH X S + AlI{P ... XP lIlI -aaP n xOu)
(~u
X
(36B)
X (32C».!!lJ ====toB .. w.... , ::: As (P .... X p ... - asP .... X Os .. ).
In matrixvorm worden de vergelijkingen 36A en B achtereenvolgens weergegeven als ' ,
(~ ....
(37A)
(37B)'
1 ]As.
[ -as
Hierin zijn gedefinieerd:
T :::
- -w!,1[S x Q"'j
PH
X
(38)
S
(39)
os .. XQ ....
j.
(40)
p .... xOs ..
Uit de vergelijkingen 37 voIgt dat
(41)
Hieruit is de co4!fficient A. te bepa1en door matrixvermenigvuldiging
-1
met Q.u:
(42)
en vervolgens met (as;l), waardoor het rechterlid van verge1ijking 42
nul wordt. Er resu1teert
-1
All :::
(as,l).C::: .. s .T
-
(43)
-19Op analoge wijze is in te zien dat
(44)
De overige coefficienten
formules 32A, 32D en 37B.
zijn
bekend door
gebruikmaking van
de
Terugtransformatle
Als laatste stap in de procedure ter bepal ing van het veld moet de
terugtransformatie van de (r,~,~)-ruimte naar de (r,~,z)-ruimte worden
toegepast. In paragraaf 5.5 zal echter blijken dat het, voor de bepaling van de elektrostatische capaciteit, niet nodig is om het elektrostatische veld in' de plaatsruimte te kennen. De hieronder volgende
voorschriften voor de bepaling van het veld uit de getransformeerde
potentiaalfunktie zijn dan ook slechts voor de volledigheid opgenomen.
Het elektrostatische veld, opgewekt door de twee elektroden, heeft in
elke laag twee van nul verschillende componenten. Deze zijn
i
(15A)
= -
I
--2
n
(29)
= 3,4,5
,
J- . .
(a ~.)exp(J~z)~
r 1
'
00
(~lL ...!...
J ~{A.ll(~r)
- B.Kl(pr)}exp(jpz)~,
2n
l'
1
.
(45)
en
E .(1:;:3)
Z1
-a cpo .
Z 1
'
i
= 3,4,5
00
(lgB)_ 2~ J(j~i)exp(jpz)~
-00
00
(~9) - ...!...
IjP{A.lo(~r)
2n
1
+
B.Ko(pr)}exp(jpz)~.
1
(46)
In de voorschriften 45 en 46 zijn de coefficienten A. en B. nu bekende
1
1
funkties van p. De, integralen kunnen slechts met behulp van numerieke
methoden worden bepaald. Daarbij moet een plaatsraster (r,z) worden
gekozen. Verder moet er rekening mee worden gehouden dat E . en E .
rl
Zl
reele funkties van r enz zijn •. Daar S(formule 25) imaginair is en a.,
J
/
-20P.. en
-lJ
aBe reeel (fonnuies 33), is T (fonnule 38) imaginair en
Q.,
-lJ
zijn de matrices ~ (formules 39 en 40) reeelo Daarmee blijken alle
coefficienten
A.1en· B,1 imaginair te zijn. Hiermee is aangetoond dat de
.
getransformeerde funkties <P , en ar tp.1 imaginair zijn. Yoor reale Erl.
1
voIgt uit betrekking 45 dus dat
I
(a
r
~.)cos(pz)~
1
=0
(47A)
en
Eri
!
= 2~ I(Imar~i)Sin(pZ)~ = I(Imar~i)Sin(pZ)~.
(47B)
-00
-
Deze Iaatste overgang voIgt uit de omstandigheid dat a cpo bIijkens de
r 1
integraal 47A een oneven funktie van Pis, als gevoig waarvan het produkt. (ai~i)sin(pz) een even funktie van pis. Op analoge wijze voIgt
met behulp van betrekking 46 dat
J(j.&pi}sin(pz)~ = 0
(48A)
-00
en
I-
E ,
- -I . (jJ14i. )cos(pz)~
n
1
Zl
waarin
.
(48B)
- en
een reaIe en even funktie van pis. Blijkbaar zijn II,.
Tl
j~/'.
~1
a r ~.1 oneven funkties van p.
5.5 Bepaling van de elektrostatische capaciteit
Met verwijzing naar paragraaf 5.1 kan de elektrostatische capaciteit
geschreven worden
c = vaI
.
5
~
1=
I
(e.E
.• E.)dV.
1-1 -1
(49)
V.1
Eerst wordt nu bewezen dat deze geIijk is aan
c = va
II
(PCP)dV.
(50)
V
Vervolgens worden zowel de spanning V als de vohune-integraal in
formule 50 herleid tot uitdrukkingen in de getransformeerde potentialen.
-21Herleiding C
Door toepassing v.an de defini tie 10 gaat de volume-integraal
formule 49 over in
J
in
(to. E . E . ) dV =
1-1-1
.
V.
1
= to i
J (gra~i·grad~i)dV
(51A)
V.1
= ti
J{div(~igra~i)
-
~i(div grad)~i}dV,
(51B)
V.
1
= (,.1
f (~.a ~,)dS
n
1
1
J. (p.~.
+
bV.
1
1
(51C)
)dV.
V,
1
1
Bij de overgang 51A ~ B is gebruik gemaakt van de kettingregel
div(aJ2.) = (grad a).:Q + a(div :Q). Bij de overgang 51B ~ C is gebruik
gemaakt van de integraa1ste1ling van Gauss [10]
J (div ~)dV = f (~n'~)dS,
(52)
,
bV
V
waarin u de naar buiten gerichte eenheidsvektor is 1angs de normaa1
-n
in enig punt van de gesloten rand bV van volume V. Verder is daarbij
de notatie -n
u .grad: = an aangehouden. Tenslotte is, in de tweede term
van het rechterlid, de vergeIijking 11 gesubstitueerd, met dien verstande dat de geldigheid gegeneraliseerd 'is voor een willekeurig te
kiezen laag. Beschouw nu de oppervlakte-integraal in 51C voor een
cirkelcilindrische 1aag uit de configuratie van figuur 2. Dan is
~. )dS =
J (~.If
1 n 1
(,. ,(
1
bV i
2n
+
J
-
Jr.(~.a~.)
d.dz+
1
1 r 1. r .
• =0 z=-c»
~
rJ
r. 2n
lim
z~-c»
r(~.a
]. Z ~.)drd.
1
.
1
+
r.1- 1.=0
='
2n[- r.
1-
1
J(,,(~.a·cp.)
1
-c»
1
r
1
dz + r.
r.1-1
1
J
(,.(<jJ.a
-c»
1
1
r
cp.)
1 r.
a
dZ].
(53)
-22Hierbij isaangenomen dat
(54)
lim cjJ. = 0,
Z-+±«"
1
hetgeen aannemelijk is omdat het elektrodenpaar zich binnen eindig
bereik van het vlak z = 0 bevindt. Invulling van de gevonden uitdrukking 53 in 5IC en het resuitaat daarvan in formule 49 levert
-00
-00
r"
-00
-00
0()
0()
f
+ rs
€. 5 (cjJsa r cjJs)
. r",
-00
f
€. s (cjJsa r cjJs) rs
dz] .
(55)
-00
Uit de randvoorwaarden I4A en 19 blijkt dat de partiele afgeleiden a
z
in de randvoorwaarden 14 weggelaten kunnen worden. Daarmee zijn cjJa(r2)
en cjJr; (rr;) gelijk aan nul. enverdwijnen de eerste en de laatste term
uit de vorm tussen rechte haken in formule 55. Verder is €..(cjJaa cjJa)
r
ra
= €.",(~"a r iJ;,,) r. en t",{~",a r <p~) r", = ts(cjJsa r <Ps).
r", Hierrnee is de vorm tussen rechte haken gelijk'aan nul en wordt formule 50 gevonden.
HerleldingV
Met behulp van formule 2 en bedenkenddat de elektrodes zich op de
cilinder r = r! bevinden is
0()
(lgA) fTC
J~,,(rJ)[exp(-jpa) ~exp(jpa)]d,6
-00
0()
=!
f j~!(ra)sin(pa)d,6.
(56)
-00
Hierbij is gebruik gemaakt van de eigenschap dat cjJ"I, A"I en B", imaginair zijn,' dus cjJ" = -cp",. De ui tkomst van de integraal is bijgevolg
reeei.
-*
-
-23Herleiding volume-integraal
Men heeft
J
(PP)dV =
V
rs
211'
=J
J
co
J
(PP)
r drd¢dz
r=rz .• =0 z=-co
rs . co
= 211'
J r[J(pp)dz]dr
rz
-co
rs
= 211'
co
[2~
J r
rz
J (PcP*)dp]dr
(Parseval)
-co
rs
co
=, J [ J
-co rz
= 2~0
r(~*)dr]dp
J sin[~(a+%w)] . si~)
(57)
o
In de afleiding is gebruik gemaakt van de gelijkheid van Parseval voor
reele funkties p en (jJ [5 J.' De integraal 5.7 is eveneens numeriek te
bepalen. Merk op dat
~i~
J (PP)dV =
V
.
- = 2Q
11'0
J
*
sin{~a) [~ (rs)]dp
o
(58)
-24Hier wordt gevonden dat de elektrostatische capaciteit voor het geval
van lijn-elektrodes gelijk is aan
c =~
J
(pt/J)dV
V
(59)
(w -. 0).
Herleiding capaciteit
De capaciteit is bepaald door formule 50 waarin de gevonden uitdrukkingen 56 en 57 worden gesubstitueerd. De capaciteit is dan onafhankelijk van de sterkte van de elektrodelading Qo • De coefficienten A. en
.
1
B.1 zijn
immers evenredig
met S, formule 25, dus met, Qo • Daarom kan Qo
.
.
voor debepaling van de capaciteit gelijk worden gesteld aan een:
(60)
Verder blijkt uit de uitdrukkingen 56 en 57 dat, zowelvoor de bepaling van V als voor die van de volume-integraal, de potentiaalfunktie
j;P!(rl) van belang is.· Deze heeft de coefficient en A",en B"" die blijkens formules 37 uit AI of As bepaald worden. Op hun beuft zijn de
coefficienten AI en As gegeven door achtereenvolgens de uitdrukkingen
43 ep 45. De randvoorwaarden 27 geven echter aan dat ;P",(rl) = ;PI(rl)
welke laatste door de coefficienten AI en BI 'worden bepaald. Bet
-*
scheelt dus zeer veel rekenwerk wanneer de funktie jep.,(r,)
in de uitdrukkingen 56 en 57 door jep!(rl) wordt vervangen:
(61)
Tenslotte hangt de coefficient AI, waardoor epl wordt bepaald, af van
de vektor I. De d~arin voorkpmende faktor sin(p[a+%w]).sin(~)/(~)
kan gecombineerdworden met dezelfde faktor in de integrand van integraal 57.
Verdere afleiding 1 )
10
j<p! (2=9)
jA!I o (pr,) + jB!Ko (J3r,)
(32A)
(3~A)
jA![Io(pr l )
10 ~~r2)
~ Ko
(pr2) Ko(prl)]
1) notatie:(~9) is volgens formule 29 gelijk aan
~o
is vo1gens regel 20 van de afleiding gelijk aan
-25-':'
12
B1ijkens rege1 71 kan de faktor 1/Ko(prz} worden wegge1aten
.
(.*
omdat deze wegva1t tegen deze+fde faktor in de noemer van JA3:
'A*
20
J •
21
(1:3 )
teller: rege1s 30, tim 60; noemer regels 70 tim 100
30
(33D)
31
'8* (35)
J_ (6::;0)
W"'.
::;
.. 32
-dLsin(p[a+%w])
n,.,r ..
_ pr3
e. ..
-
-
1
m. ..
S
• sin~) ~2
waarin
.3!2
s ::; sin(p[a+%w]) . sin(~)
~
31
(3~C) [(-
•
n: .
s
~2)
x
(Ko(pr.)~d]
want
en
~3
.
~3
~z X ~1
~3
::;
= 1.
~3
-26-
34
P""
X
jS* (:t_4)
w",
(338)
~l [(Io(prl)~,.) x (- _1_ s Uz)]
m"
-
~,
40
-QS4
=
41
De faktor
x Q .... ].
Ps .. x Q", ..
det(~"5)
kan weggelaten worden omdat deze blijkens
rege120 zowel in de teller als in de noemer van jA! voorkomt
en dus wegval t .
• 42
04<4 x 05"]
-1
~"'s
Merk op dat
heeft.
'·P s '..
X
0 ....
-I de struktuur van
~45
~s .. ,
volgens formule (39),
A)[Io(pr s ),' 1]
( as, 1)(33
Ko(prs)
50
,
I
51
De faktor l/Ko(pr.) kan worden weggelaten omdat deze blijkens
regel 20 zowel in de teller als in de noemer van jA! voorkomt
en dus wegvalt.
-27-
60
De teller van
j<p!, rege1s 13, 20, 35, 42, 52:
s
ne. ..
70
71
l/Ko(~r2) komt voor in de noemer van jA! en dus in
die van j<P!. Blijkens regel 11 kan deze faktor worden weggeDe faktor
laten. -
72
80
(-~2] : =
Q"13
(~9)
[ K. (IIr,)]
-Io(~r2)
r"XQ" Q" XQ"]
P .. ,xP"
~~ rO(~r2)(PIlI
90
100
P .. , X QJ,
xQ..,) -
Io(~r2)(QI3
lKo (~r2)(P'" x P u ) - 10 (~r2)(P
De noemer van j<pJ, rege1s 13, 20,
~2,
Q....
52, 90:
x Qs "].
P s .. xQ ....
• [Ko(~r2) (Pili xQ .. ,) - Io(~r2) (QIlI XQ"I3)]
KO(~r2)
(P"I3XPu.),-
Io(~r2)
(p..,xQu)
"13
XQ"I3)]
X Qn)
-28110
De capaciteit is (formules 50,56,57,61; rege1s 32, 60,100):
00
J s(jq,!(rs»d,6
c
1
0
-2 n --~----------------
=
00
[!
_*
sin(pa)(j~.(r.»dp]
:2
o
III
60
100 1
= ~4
00
:2
[! sin(pa)S</J(p)d,6]
o
waarin suit regel 32 en:
112
</I(p)
4_
(~4/s).(tel1er ~!, regel 60)
(noerner j</l!, regel 100)
120
130
•
~I
-29Ko (pr .. ) , ]
150 .
[
160
170
180.
190
-€' .. K~ (pr,)
-306. VERWIJZINGEN
1. Smythe, W.R., Static and Dynamic Blectricity, 2nd. ed.,
McGraw-Hill Book Cy., Inc., NY (1950) Sec. 2.07.
2. Stratton, J.A., Blectromagnetic Theory, McGraw-Hill Book Cy.,
Inc., NY (1941) Sec. 2.8.
3. Ibid, Sec. 3.1.
4. Ibid, Sec. 3.2.
5. Sneddon, I.N., Fourier Transforms, 1st. ed., McGraw-Hill Book
Cy., NY (1951).
6. Erdelyi, A., Magnus, W., Oberhettinger, F., Tricomi,F.R.,
Higher Transcendental Functions, Vol. II, McGraw-Hill Book
Cy., Inc., NY (4953) Sec. 7.2.2.
7. Ibid, Sec. 7.11, formulae 23-26.
8. Ibid, Sec. 7.11, formula 39.
9. Van Amelsfort, A.M.J., proefschrift TUE in voorbereiding.
10. Gradshteyn, I.S., Ryzhik, I.M., Table of Integrals, Series and
Products, Academic Press, NY (1980) Sec. 10.711.