Bijeenkomst 9

bijspijkercursus wiskunde
voor psychologiestudenten
bijeenkomst 9
de normale verdeling (niet in [PW])
vorige week:
kansrekening
de uitkomstvariabele was bijna altijd discreet
alleen gehele waarden
•
•
aantal keer een vijf gooien met een dobbelsteen
aantal rode knikkers bij knikkers trekken uit een vaas
er zijn ook continue uitkomstvariabelen
alle waarden mogen, ook kommagetallen
•
•
wat is de kans dat een pak koffie een gewicht van minimaal 490,5
gram heeft? → gewicht
wat is de kans dat een man kleiner is dan 175 cm? → lengte
Hoe berekenen we deze kansen?
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
een bijzondere kansverdeling
de normale verdeling
continue uitkomstvariabelen (zoals lengte en gewicht) volgen
soms een bijzondere kansverdeling:
de normale verdeling
NB. het moet altijd gegeven zijn of de normale verdeling geldt!!
de normale verdeling wordt door twee parameters
gekarakteriseerd
karakteriserende getallen
•
•
het gemiddelde μ [‘mu’]
de standaarddeviatie σ [‘sigma’]
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
eigenschappen normale verdeling,
bv. lengte mannen (in cm)
normaal verdeeld met gemiddelde 180 en standaarddev 10
0.5
σ = 10
0.4
klokvormig
symmetrisch rondom
gemiddelde
smalheid wordt bepaald
door σ
oppervlakte links van
grens = kans op
waarneming < grens
oppervlakte onder gehele
curve = 1
0.3
0.2
0.1
0
150
160
170
P (man kleiner dan
165 cm) = .0668
180
190
200
gemiddelde
210
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
opgaven normale verdeling
hebben een vast stramien:
er zijn vier ‘getallen’
1.
gemiddelde
0.4
2.
standaarddeviatie
0.3
3.
grenswaarde(s)
4.
kans (oppervlakte)
0.5
σ = 10
0.2
er zijn er altijd 3 gegeven, en
de 4e moet je berekenen
0.1
0
150
160
170
P (man kleiner dan
165 cm) = .0668
180
190
200
gemiddelde
210
teken altijd een plaatje met
alles wat je weet
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
de standaardnormale verdeling
een bijzondere normale
verdeling is de
standaardnormale
verdeling (z-scores)
•
•
gemiddelde = 0
standaarddeviatie = 1
want hiervan hebben we
een tabel, met voor elke
z-score
•
•
de oppervlakte links van
de lijn
oftewel, kans op waarde
kleiner dan z: P (Z < z)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
bv. z = -1,50
opzoeken levert P (z < -1,50) =
0,0668
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
2e decimaal
1e decimaal
de standaardnormale verdeling
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
alternatief voor de z-tabel: de GR
Texas Instruments: normalcdf
•
•
[2nd] [VARS] optie 2
normalcdf (linkergrens, rechtergrens, μ, σ)
vb. normalcdf ( -999999, -1.50, 0, 1) = 0,0668
we hebben geen linkergrens, dus neem een heel negatief getal
CASIO: NCD
0.5
•
0.4
[STAT] > [DIST] > [NORM] > NCD
•
[lower]: linkergrens -999999
[upper]: rechtergrens -1.50
[μ]: 0
[σ]: 1
[CALC] of [EXE]
0.3
0.2
0.1
0
-3
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
-2
-1
0
1
2
3
geval 1: berekenen kans
(μ, σ en grenswaarde bekend)
wat is de kans op een z kleiner dan 0,50?
•
wat is de kans op een z groter dan 0,50?
•
P (z < 0,50)
P (z > 0,50)
wat is de kans op een z tussen -1,00 en 0,50?
•
P (-1,00 < z < 0,50)
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
geval 2: berekenen grenswaarde
(μ, σ en kans bekend)
0.5
gegeven is: de kans op
een waarde kleiner dan
een bepaalde z-score is
0,40.
wat is dan die z-score
(grenswaarde)?
de z-tabel omgekeerd
‘bewandelen’
z = -0,25
0.4
0.3
0.2
0.1
0,40
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
?
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
2e decimaal
1e decimaal
de standaardnormale verdeling
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
berekenen grenswaarde
met de GR
Texas Instruments: invNorm
•
•
[2nd] [VARS] optie 3
invNorm (kans, μ, σ)
vb. invNorm (0.40, 0, 1) = -0.25
kans die je invoert: altijd links van de lijn (kans op waarde kleiner dan z)
0.5
CASIO: invN
•
[STAT] > [DIST] > [NORM] > invN
•
0.4
[Area]: kans 0.40
[σ]: 1
[μ]: 0
[CALC] of [EXE]
0.3
0.2
0.1
0
-3
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
-2
-1
0
1
2
3
geval 2: berekenen grenswaarde
(μ, σ en kans bekend)
de kans op een waarde kleiner dan onbekende z-score is
0,70: wat is die z-score?
•
de kans op een waarde groter dan onbekende z-score is
0,40: wat is die z-score?
•
P (z < ?) = 0,70 wat is ?
P (z > ?) = 0,40 wat is ?
de kans op een waarde tussen -1,00 en een onbekende zscore is 0,50: wat is die z-score?
•
P (-1,00 < z < ?) = 0,50 wat is ?
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
oefenopgaven standaardnormale
verdeling
NB. Nog niet van toepassing bij standaardnormale verdeling:
•
•
geval 3: berekenen μ
geval 4: berekenen σ
opgaven 1 t/m 4
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
nu weer terug naar
betekenisvolle variabelen
lengte man: normaal verdeeld met gemiddelde 180 cm en
standaarddev 10 cm
wat is de kans dat
0.5
σ = 10
een willekeurige
0.4
man kleiner is dan
165 cm?
0.3
0.2
0.1
0
150
160
170
P (man kleiner dan
165 cm) = ??
180
190
200
210
de truc:
standaardiseren
(omzetten naar een
z-score)
gemiddelde
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
standaardiseren: omzetten naar
z-score
formule:
z=
0.5
x−µ
0.4
σ
0.3
in het voorbeeld:
165 − 180
z=
= −1,50
10
0.2
0.1
0
150
160
170
180
190
200
P (z < -1,50) = 0,0668
dus kans man kleiner dan 165 cm is 0,0668 [=6,7%]
z = -1,50
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
210
berekenen kans met de GR voor
elke normale verdeling
Standaardiseren in principe niet nodig
Texas Instruments: normalcdf
•
•
[2nd] [VARS] optie 2
normalcdf (linkergrens, rechtergrens, μ, σ)
vb. normalcdf ( -999999, 165, 180, 10) = 0,0668
CASIO: NCD
0.5
•
[STAT] > [DIST] > [NORM] > NCD
0.4
[lower]: linkergrens -999999
[upper]: rechtergrens 165
[μ]: 180
[σ]: 10
0.3
•
0.2
0.1
0
150
[CALC] of [EXE]
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
160
170
180
190
200
210
geval 2: berekenen grenswaarde
(μ, σ en kans bekend)
Henk weet dat 40% van de mannen
kleiner is dan hij. Hoe lang is Henk?
zoek de z-waarde op waarvoor
geldt: P (z < ?) = 0,40 z = -0,25
pas formule toe en vul in wat je
weet
x − µ x − 180
z=
σ
=
10
0.5
σ = 10
0.4
0.3
0.2
0,40
0.1
0
150
160
stel dit gelijk aan berekende z = -0,25
bereken x = 177,5 dus Henk is 177,5 cm lang
x − 180
= −0,25
10
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
170
180
190
200
210
berekenen grenswaarde
met de GR
Standaardiseren in principe niet nodig
Texas Instruments: invNorm
•
•
[2nd] [VARS] optie 3
invNorm (kans, μ, σ)
vb. invNorm (0.40, 180, 10) = 177.5
0.5
CASIO: NCD
0.4
•
0.3
[STAT] > [DIST] > [NORM] > invN
•
[Area]: kans 0.40
[μ]: 180
[σ]: 10
[CALC] of [EXE]
0.2
0.1
0
150
160
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
170
180
190
200
210
geval 3: berekenen gemiddelde
(grenswaarde, σ en kans bekend)
Gewicht is normaal verdeeld met een standaardafwijking van 4,2 kg.
80% van de vrouwen is lichter dan 75 kg. Wat is dan het gemiddelde?
zoek de z-waarde op waarvoor geldt:
P (z < ?) = 0,80 z = 0,8416
σ = 4,2
0.4
pas formule toe en vul in wat je weet
z=
0.5
x−µ
σ
75 − µ
=
4 ,2
0.3
0.2
stel dit gelijk aan opgezochte z = 0,8416
0.1
75 − µ
= 0,8416
4 ,2
0
0,80
μ = ? 75
bereken μ = 71,5 dus gemiddelde gewicht is 71,5 kg.
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
geval 4: berekenen standaarddev
(μ, grenswaarde en kans bekend)
Lengte van vrouwen is normaal verdeeld met gemiddelde 176 cm.
45% van de vrouwen is langer dan 177,5 cm. Wat is σ?
zoek de z-waarde op waarvoor geldt:
P (z < ?) = 1-0,45 = 0,55 (!) z = 0,1257
0.5
σ=?
0.4
pas formule toe en vul in wat je weet
z=
x−µ
σ
=
177,5 − 176
σ
0.3
=
1,5
σ
stel dit gelijk aan opgezochte z = 0,1257
1,5
σ
= 0,1257
0.2
0.1
0,45
0
bereken σ = 11,9 dus standaarddeviatie is 11,9 cm
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9
176
177,5
opgaven
•
5 t/m 10
wiskundecursus 2011 – bijeenkomst 9