3 De duale vectorruimte

3
De duale vectorruimte
We brengen de volgende definitie in de herinnering.
Definitie 3.1 (homK (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren
we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen V → W met homK (V, W ).
Lemma 3.2 De verzameling homK (V, W ) is een vectorruimte over K indien voorzien van de
gebruikelijke optelling van L, K ∈ homK (V, W ) middels
L+K :V →W :
v 7→ L(v) + K(v)
en de gebruikelijke vermenigvuldiging met scalairen k ∈ K middels
k·L:V →W :
v 7→ k · L(v)
waarbij de + en de · in de rechterleden de vectorruimtebewerkingen op W zijn.
Als speciaal geval van deze definitie en dit lemma bekijken we de keuze W = K.
Definitie 3.3 (Duale vectorruimte (V ∗ , K) van (V, K)) De vectorruimte homK (V, K) noteren we met (V ∗ , K) of kortweg met V ∗ en noemen we de duale vectorruimte van V .
Elementen uit de duale vectorruimte staan bekend onder een veelvoud van namen.
Definitie 3.4 (Lineaire functionaal, covector, 1-vorm) Een element v ∗ ∈ V ∗ wordt afhankelijk van context ook wel een lineaire functionaal genoemd, of een covector, of een 1-vorm.
3.1
Voorbeelden en eerste oriëntatie
We geven hier voorbeelden van elementen uit de duale vectorruimte, en daarnaast ook wat
resultaten die we verderop in meer algemeenheid zullen bewijzen. Eerst bekijken we (Kn )∗ .
Voorbeeld 3.5 Beschouw de vectorruimte (Kn , K). Dan is voor iedere vast gekozen y ∈ Kn
de afbeelding
`y : Kn → K : x 7→ y > x
(1)
een lineaire functionaal op Kn en daarmee een element van (Kn )∗ .
Opmerking 3.6 In Voorbeeld 3.5 is `y ∈ (Kn )∗ . De matrix y > is geen element van (Kn )∗ .
Het is slechts de matrix van de lineaire afbeelding `y ten opzichte van de standaardbasis.
Merk tevens op dat als K = R dan is
`y (x) = y > x = hy, xi
(2)
het standaardinproduct op Rn met een vast gekozen vector y.
Stelling 3.7 De afbeelding
L : Kn → (Kn )∗ : y 7→ `y
met `y als in Voorbeeld 3.5 is een lineaire bijectie. In het bijzonder is dim(Kn )∗ = n.
1
(3)
Bewijs. De lineariteit is eenvoudig na te gaan. Verder is L injectief, want alleen `0 is de
nul-afbeelding. Ook is L surjectief, immers, iedere lineaire functionaal ` : Kn → K heeft een
matrix y > met y ∈ Kn en is dus van de vorm `y voor zekere y ∈ Kn .
Gevolg 3.8 Er geldt dat (Kn )∗ ∼
= Kn .
Opmerking 3.9 Uit het voorgaande volgt onder andere dat
(Kn )∗ = {`y | y ∈ Kn },
(4)
en dat iedere ` ∈ (Rn )∗ is te schrijven als `(x) = y > x = hy, xi voor precies één y ∈ Rn .
Lineaire functionalen op een eindigdimensionale vectorruimte laten zich beschrijven middels
de combinatie van Stelling 3.7 en de coördinaatafbeelding horende bij een basis β van V .
Opmerking 3.10 In het vervolg zullen we een willekeurig element uit V ∗ vaak aanduiden
met v ∗ . Dit is slechts een notatie, in het bijzonder is de asterisk hier geen bewerking op v.
Stelling 3.11 Gegeven een vectorruimte (V, K) met basis β = {v1 , . . . , vn }. Dan bestaat er
voor iedere v ∗ ∈ V ∗ precies één y ∈ Kn zodat
v ∗ = `y ◦ coβ
(5)
waarbij `y de afbeelding Kn → K : x 7→ y > x is. De toevoeging Kn → V ∗ : y 7→ v ∗ is lineair.
Bewijs. Laat v ∗ : V → K gegeven zijn en beschouw daarnaast de coördinaatafbeelding
coβ : V → Kn . Zie nu het diagram in Figuur 3.1.
v∗
V
n
v ∗ ◦ co−1
β :K →K
=
∼
=
coβ
K
`y
`y : Kn → K
Kn
Figuur 3.1 Factorisatie van een element v ∗ ∈ V ∗ .
n
De samenstelling v ∗ ◦ co−1
β is een lineaire afbeelding K → K. Volgens Stelling 3.7 bestaat er
∗
een unieke y ∈ Kn zo, dat v ∗ ◦ co−1
β = `y , en dus zo, dat v = `y ◦ coβ . Omdat volgens Stelling
3.7 de toevoeging y 7→ `y lineair is, is de samenstelling y 7→ `y ◦ coβ = v ∗ dat ook.
Gevolg 3.12 Er geldt dat V ∗ ∼
= Kn , en in het bijzonder dat V ∗ ∼
=V.
We eindigen deze sectie met enkele explicietere voorbeelden van lineaire functionalen. Een
bekend element uit de duale van de ruimte van vierkante matrices is het spoor.
Voorbeeld 3.13 De lineaire afbeelding
Sp : Kn×n → K :
A 7→ Sp(A)
waarbij Sp(A) staat voor het spoor van A, is een covector uit (Kn×n )∗ .
2
(6)
Oneindigdimensionale vectorruimtes leveren interessantere duale vectorruimtes.
Voorbeeld 3.14 Beschouw de vectorruimte (C(I), R) van continue functies op het interval
I = [a, b] met a, b ∈ R. Dan is de afbeelding
Iab
Z
: C(I) → R :
b
f 7→
f (x)dx,
(7)
a
Rb
waar a de Riemann-integraal is, een lineaire functionaal op C(I), en dus is Iab ∈ C(I)∗ .
Daarnaast is de functie-evaluatie
ex : C(I) → R :
f 7→ f (x)
(8)
ook een element van C(I)∗ voor iedere vast gekozen x ∈ I. In het bijzonder is ook
Tab : C(I) → R :
f 7→ (b − a)
f (a) + f (b)
2
(9)
een element van C(I)∗ , het is immers een lineaire combinatie van ea en eb uit (8).
De lineaire functionalen Iab en Tab uit vorig voorbeeld zijn als volgt aan elkaar gerelateerd.
Opmerking 3.15 Definieer de zogeheten interpolatie-afbeelding
π : C(I) → R[X]≤1 :
f 7→ π(f )
(10)
die aan f ∈ C(I) toevoegt het lineaire polynoom π(f ) ∈ R[X]≤1 dat waarde f (a) aanneemt
in a en f (b) in b. Zie ook Figuur 3.2. Het polynoom π(f ) heet de lineaire interpolant van f .
Het is dan eenvoudig na te gaan dat voor alle f ∈ C(I),
Tab (f ) = Iab (π(f )),
(11)
dus Tab (f ) is een approximatie van Iab (f ) berekend door π(f ) te integreren in plaats van f zelf.
Definitie 3.16 (Trapeziumregel) Tab (f ) heet de trapeziumregel-approximatie van Iab (f ).
De trapeziumregel is een voorbeeld van een zogeheten kwadratuurformule.
f
f (b)
f (b)
1
2 (f (a)
π(f )
f (a)
f (a)
Tab (f )
a
Tab (f )
a
b
b
Figuur 3.2 De trapeziumregel Tab (f ) = 12 (f (a) + f (b))(b − a) benadert Iab (f ).
3
+ f (b))
3.2
De duale basis β ∗ van V ∗ behorende bij een basis β van V
Veronderstel dat (V, K) een vectorruimte is van eindige dimesie. In Sectie 3.1 zagen we dat
V ∗ isomorf is met V . We definiëren nu een basis voor V ∗ , gegeven aan basis β van V .
Definitie 3.17 (Duale basis) Zij (V, K) een vectorruimte met basis β = {v1 , . . . , vn }. Laat
voor iedere j ∈ {1, . . . , n}
v j : V → K : v 7→ e>
(12)
j coβ (v).
Hiermee is β ∗ = {v 1 , . . . , v n } een basis voor V ∗ , de duale basis genaamd.
Opmerking 3.18 In Figuur 3.3 zien we hoe v j wordt gedefinieerd in termen van Figuur 3.1.
V
∼
=
coβ
vj
K
v j = `ej ◦ coβ
`ej
Kn
Figuur 3.3 De functionalen v j ∈ V ∗ uit Definitie 3.17 in termen van `ej uit Voorbeeld 3.5.
We onderzoeken nu de claim dat β ∗ inderdaad een basis is. Omdat we al weten dat dim(V ∗ ) =
dim(V ) = n volstaat het om de lineaire onafhankelijkheid van β ∗ aan te tonen.
Opmerking 3.19 Met Definitie 3.17 laat de coördinaatafbeelding zich als volgt herschrijven,
 1

v (v)


coβ : V → Kn : v 7→  ...  .
(13)
v n (v)
In het bijzonder zien we dus dat voor alle v ∈ V,
v = v 1 (v)v1 + · · · + v n (v)vn ,
en tevens dat
j
v (vi ) = δij =
1 als i = j
.
0 als i 6= j
(14)
(15)
We laten nu zien dat dit laatste impliceert dat β ∗ lineair onafhankelijk is.
Lemma 3.20 De covectoren v 1 , . . . , v n zijn lineair onafhankelijk.
Bewijs. Laat α1 , . . . , αn ∈ K zodanig zijn dat
α1 v 1 + · · · + αn v n = 0 ∈ V ∗ ,
(16)
waarbij het rechterlid het neutrale element van V ∗ is, oftewel de nulfunctionaal 0 : V → K :
v 7→ 0 ∈ K. Laat nu j ∈ {1, . . . , n} en evalueer (16) in vj ∈ V . Wegens (15) is v j (vi ) = δij en
dus
K 3 0 = 0(vj ) = α1 v 1 (vj ) + · · · + αn v n (vj ) = αj v j (vj ).
Omdat j willekeurig was, zijn {v 1 , . . . , v n } dus lineair onafhankelijk.
We kunnen nu ook de bij β ∗ horende coördinaatafbeelding coβ ∗ : V ∗ → Kn onderzoeken.
4
Lemma 3.21 Zij V een vectorruimte met basis β = {v1 , . . . , vn } en laat β ∗ = {v 1 , . . . , vn }
de bij β horende duale basis zijn voor V ∗ . Dan geldt dat
 ∗

v (v1 )


..
coβ ∗ : V ∗ → Kn : v ∗ 7→ 
(17)
,
.
v ∗ (vn )
oftewel, met andere woorden, dat
v ∗ = v ∗ (v1 )v 1 + · · · + v ∗ (vn )v n
(18)
voor alle v ∗ ∈ V ∗ .
Bewijs.
Evalueer de beide lineaire afbeeldingen in het linker- en rechterlid van (18) in
v1 , . . . , vn met behulp van relatie (15) en concludeer gelijkheid.
We illustreren de duale basis en Lemma 3.21 met twee voorbeelden.
Voorbeeld 3.22 Beschouw R2 voorzien van de standaardbasis ε = {e1 , e2 }. De duale vectorruimte (R2 )∗ bestaat uit alle afbeeldingen
x1
x1
2
`y : R → R :
7→ [y1 , y2 ]
, met y1 , y2 ∈ R.
x2
x2
We zien in het bijzonder dat `y = y1 e1 + y2 e2 , waarbij
e1 : R2 → R :
x 7→ e>
1 x en
e2 : R2 → R :
x 7→ e>
2x
de individuele-coördinaatfunctionalen zijn. Het tupel {e1 , e2 } is de duale basis ε∗ voor (R2 )∗ .
Merk op dat `y = `y (e1 )e1 + `y (e2 )e2 , wat Lemma 3.21 illustreert.
Het volgende voorbeeld speelt zich af in een polynoomruimte.
Voorbeeld 3.23 Beschouw de vectorruimte (R[X]≤2 , R). Laat β = {φ0 , φ1 , φ2 }, waarbij
φ0 : R → R :
X 7→ 1,
φ1 : R → R :
X 7→ X,
φ2 : R → R :
X 7→ X 2 .
De duale basis β ∗ = {φ0 , φ1 , φ2 } voor (R[X]≤2 )∗ bestaat per Definitie 3.17 en Opmerking 3.19
uit de individuele-coördinaatfunctionalen,
 0

φ (·)
coβ (·) =  φ1 (·)  .
φ2 (·)
Beschouw nu de afbeelding
I01
Z
: R[X]≤2 → R :
p→
1
p(X)dX.
0
Dan is I01 ∈ (R[X]≤2 )∗ en vertelt Lemma 3.21 dat
1
1
I01 = I01 (φ0 )φ0 + I01 (φ1 )φ1 + I01 (φ2 )φ2 = φ0 + φ1 + φ2 .
2
3
Hiermee hebben we de integratie-operator I01 dus expliciet geschreven als lineaire combinatie
van de individuele-coördinaatfunctionalen.
5
Opmerking 3.24 In het voorgaande voorbeeld hebben we in feite niets anders laten zien
dan dat
Z 1
1
1
a + bX + cX 2 dX = a + b + c
(19)
2
3
0
oftewel, de integraal uitgedrukt als lineaire combinatie van de coördinaten a, b, c.
3.3
De dubbelduale vectorruimte V ∗∗ en het natuurlijke isomorfisme
In deze sectie bestuderen we de duale van de duale vectorruimte V ∗ , oftwel de dubbelduale
vectorruimte V ∗∗ = (V ∗ )∗ van V . Per Definitie 3.3 is
V ∗∗ = homK (V ∗ , K)
(20)
en deze vectorruimte bestaat dus uit alle lineaire functionalen V ∗ → K.
Opmerking 3.25 Als V = R bestaat V ∗ = R∗ uit de lineaire afbeeldingen van R naar R, en
V ∗∗ uit de lineaire afbeeldingen, die aan dergelijke lineaire afbeeldingen scalairen toevoegen.
Dus V ∗∗ lijkt doorgaans niet hetzelfde als V , tenzij we onze interpretatie van V subtiel herzien.
Definitie 3.26 (Duale koppeling) Zij V een vectorruimte met duale V ∗ . Schrijf voor alle
v ∗ ∈ V en v ∈ V
hv ∗ , vi = v ∗ (v).
(21)
De afbeelding h·, ·i : V ∗ × V → K heet de duale koppeling van het duale paar V, V ∗ .
Opmerking 3.27 De uitdrukking hv ∗ , vi is geen inproduct. Als V een inproductruimte is,
zullen we verschillende notaties nodig hebben voor inproduct en duale koppeling.
De charme van de notatie hv ∗ , vi en van het hele concept van duale koppeling is, dat het een
perfecte symmetrie suggereert tussen wat v ∗ doet met v, en omgekeerd, wat v doet met v ∗ .
Opmerking 3.28 Het is gebruikelijk om v ∗ (v) en dus hv ∗ , vi te lezen als v ∗ geëvalueerd in v.
De symmetrie in de notatie hv ∗ , vi moedigt echter aan om dit ook te lezen als v geëvalueerd
in v ∗ . Dit interpreteert v als lineaire functionaal V ∗ → K : v ∗ 7→ hv ∗ , vi, als element van V ∗∗ .
Het is een kwestie van smaak of we voor de lineaire functionaal V ∗ → K : v ∗ 7→ hv ∗ , vi
hetzelfde symbool v willen gebruiken als voor het element v uit de vectorruimte V . In de
omgekeerde situatie hadden we er in ieder geval geen enkele moeite mee om voor de lineaire
functionaal V → K : v 7→ hv ∗ , vi het symbool v ∗ te gebruiken.
In de volgende stelling kiezen we er eerst voor om niet het symbool v maar H(v) te gebruiken.
Stelling 3.29 (Natuurlijk isomorfisme) Zij V, V ∗ een duaal paar met duale koppeling
h·, ·i : V ∗ × V → K. Laat H : V → V ∗∗ de afbeelding zijn die aan v ∈ V de lineaire
functionaal
H(v) : V ∗ → K : v ∗ 7→ hv ∗ , vi
(22)
toevoegt. Dan is H een lineaire bijectie tussen V en V ∗∗ , het natuurlijke isomorfisme.
6
Opmerking 3.30 We schrijven H(v)(v ∗ ) voor het element H(v) ∈ V ∗∗ geëvalueerd in v ∗ ,
omdat het wellicht verwarrende alternatief is de duale koppeling tussen V ∗ en V ∗∗ te gebruiken. In het bijzonder is dus H(v)(v ∗ ) = hv ∗ , vi.
Bewijs. We bewijzen eerst de lineariteit van H. Laat α, β ∈ K en v, w ∈ V . Dan geldt voor
alle v ∗ ∈ V ∗ dat
H(αv + βw)(v ∗ ) = hv ∗ , αv + βwi = αhv ∗ , vi + βhv ∗ , wi = αH(v)(v ∗ ) + βH(w)(v ∗ ),
en dus is de afbeelding H(αv + βw) gelijk aan de afbeelding αH(v) + βH(w). Vervolgens
laten we zien dat H injectief is. Veronderstel hiertoe dat H(v) = 0. Dit betekent dat
H(v)(v ∗ ) = hv ∗ , vi = 0 ∈ K
voor alle v ∗ ∈ V ∗ , en dus en in het bijzonder voor de elementen v 1 , . . . , v n van de duale basis
β ∗ van V ∗ horende bij een gekozen basis β = {v1 , . . . , vn } van V . Dus is hv j , vi = v j (v) = 0
voor alle j ∈ {1, . . . , n}, en volgt met behulp van Opmerking 3.19 volgt coβ (v) = 0 en dus is
v = 0. Dus is H injectief, en omdat dim(V ) = dim(V ∗∗ ) = n is H bijectief.
7