Examen Algebra – 24/05/2006 – 1e zittijd – Dr

Examen Algebra – 24/05/2006 – 1e zittijd – Dr. Keppens
- schriftelijk
- 3.5 uur de tijd
- geen rekenmachine toegelaten
Theorie
1) Definieer volgende begrippen
-
cofactor
elementaire matrix
echelonmatrix
gelijkvormige matrices
loodruimte
QR-factorisatie
Householder-transformatie
nilpotente matrix
inproductruimte
directe orthogonale transformatie
2)
a) Definieer het begrip “eigenwaarde van een lineaire afbeelding en toon aan dat de
eigenwaarden van een lineaire afbeelding van een n-dimensionale vectorruimte V
worden gevonden als oplossingen van een n-de graadsvergelijking (de karakteristieke
vergelijking)
b) Toon aan dat deze karakteristieke vergelijking onafhankelijk is van de keuze van de
basis voor V
c) Definieer de algebraïsche multipliciteit rλ en de meetkundige multipliciteit mλ van een
eigenwaarde λ en bewijs dat mλ ≤ rλ
d) Toon aan dat een orthogonale lineaire afbeelding enkel de eigenwaarden 1 en –1 kan
bezitten
e) Bewijs dat een lineaire afbeelding van een n-dimensionale vectorruimte met n
verschillende eigenwaarden diagonaliseerbaar is
Oefeningen
1) Zij V de vectorruimte ℜ 2 [x ] van de reële veeltermen met graad ≤ 2 en zij T de lineaire
afbeelding gedefinieerd door T(p(x) = p(x-1)
{
}
a) Bepaal de matrix van T t.o.v. de standaardbasis B = 1, x, x 2
b) Toon aan dat B' = 1 − x,1 + x, x 2 ook een basis is voor V
c) Bepaal de kernruimte en de beeldruimte van T
d) Bepaal de eigenwaarden en bijhorende eigenruimten van T en ga na of T
diagonaliseerbaar is
e) Toon aan dat W = {p ( x) p (1) = 0} een deelruimte is van V en bepaal een basis voor
{
}
deze deelruimte
2) Zij V de vectorruimte ℜ² gestructureerd tot inproductruimte d.m.v. het standaardinproduct
< ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) >= x1 y1 + x 2 y 2 en zij T de afbeelding van V gedefinieerd door T(x,y)=(y,x)
(spiegeling t.o.v. de eerste bissectrice)
a) Toon aan dat T een lineaire afbeelding is van ℜ²
b) is T een orthogonale afbeelding? (motiveer!)
c) Vind een georthonormeerde basis van ℜ² door toepassing van het GramSchmidtprocédé vertrekkende van de niet-orthogonale basis B = {(1,0), (1,1)}
d) Is T een symmetrische afbeelding? (motiveer!)
e) Vind een diagonaalmatrix D en een orthogonale matrix P waarvoor A = P t * D * P
met A de matrix van de afbeelding T t.o.v. de standaardbasis van ℜ²