Verloop van functies

Hoofdstuk 4
Verloop van functies
Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel
te ontdekken.
In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van de
functies f ( x) en a f (b ( x + c )) + d met a, b, c, d reële constanten. Dit is vooral
nuttig om snel een grafiek te kunnen schetsen van een functie uitgaande van de
grafiek van een “elementaire” functie f ( x) en om invloeden van de parameters
a, b, c, d te voorspellen.
In een tweede paragraaf komen asymptoten, raaklijnen en Taylorveeltermen aan
bod.
4.1 De grafiek van a f ( b ( x + c ) ) + d
4.1.1
Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Stel K de grafiek van de functie f ( x) . Dan verkrijg je de grafiek van :
a)
f (− x) door K te spiegelen t.o.v de y-as,
b) − f ( x) door K te spiegelen t.o.v. de x-as,
c) − f (− x) door K te spiegelen t.o.v. de oorsprong.
We onderzoeken dit grafisch met de functie f ( x) : = − x3 + 2 x + 4 .
Hiervoor construeren we de vector met de uitdrukkingen : f (− x) , − f ( x) en
− f ( − x) .
Plot de functie f ( x) en nadien bv. de functie − f (− x) door deze functie eerst te
selecteren in het algebra-venster door er herhaaldelijk op te klikken.
Tekst op het 2D-Plot-venster kan je plaatsen via het de optie Annotation uit het
Insert-menu. Nadien dubbelklikken op de tekst laat toe deze te editeren en / of te
verplaatsen.
4.1.2 Verticale vervorming
De grafiek van a f ( x) verkrijgen we door de ordinaten van elk punt van de grafiek
van f ( x) te vermenigvuldigen met a. Dit resulteert in een verticale uitrekking
indien a > 1 en een verticale inkrimping indien 0 < a < 1 .
4.1.3 Verticale verschuiving
Stel a > 0 .
De grafiek van f ( x) + a verkrijgt men door een verticale verschuiving naar
omhoog over een afstand a van de grafiek van f ( x) .
De grafiek van f ( x) − a verkrijgt men door een verticale verschuiving naar
omlaag over een afstand a van de grafiek van f ( x) .
4.1.4
Horizontale vervorming
De grafiek van f (ax) verkrijgen we door de abscissen van elk punt van de grafiek
van f ( x) te delen door a. Dit resulteert in een horizontale uitrekking indien
0 < a < 1 en een horizontale inkrimping indien a > 1 .
f ( x) = x 2 ( 3 − x )
4.1.5
Horizontale verschuiving
Stel a > 0 .
De grafiek van f ( x + a) verkrijgt men door een horizontale verschuiving naar
links over een afstand a van de grafiek van f ( x) .
De grafiek van f ( x − a) verkrijgt men door een horizontale verschuiving naar
rechts over een afstand a van de grafiek van f ( x) .
Uitgaande van de grafiek van f ( x) kunnen we de grafiek verkrijgen van
a f (b( x + c)) + d door opeenvolgende toepassingen van bovenstaande
eigenschappen. Dit illustreren we in een aantal voorbeelden.
4.1.6
De algemene kwadratische functie
Het functievoorschrift
f ( x) = ax 2 + bx + c kan steeds geschreven worden als
f ( x) = a( x + B) 2 + C , waarbij a, B, C zowel positief als negatief kunnen zijn.
Voorbeeld : f ( x) = 2 x 2 + 8 x + 5 = 2( x 2 + 4 x + 4 − 4) + 5 = 2 ( x + 2 ) − 3
2
Deze parabool verkrijgen we uitgaande van de parabool f ( x ) = x 2 in volgende
(1)
(2)
(3)
stappen : x 2 ⎯⎯
→ 2 x 2 ⎯⎯→ 2( x + 2)2 ⎯⎯→ 2 ( x + 2 ) − 3 .
2
(1) verticale uitrekking : ordinaten maal 2,
(2) horizontaal verschuiven over een afstand 2 naar links,
(3) verticaal verschuiven over een afstand 3 naar omlaag.
Enkel de stappen (2) en (3) wijzigen de positie van de top. De top van
f ( x) = 2 x 2 + 8 x + 5 heeft dus coördinaten ( −2,3) .
4.1.7
De algemene homografische functie
Herleid eerst de homografische functie f ( x) =
ax + b
A
tot f ( x) =
+C.
cx + d
x+B
Voorbeeld :
De grafiek van deze functie is een hyperbool die we verkrijgen uitgaande van de
1
hyperbool f ( x ) = in de volgende stappen :
x
1 (1)
1 (2) −3 (3)
−3
−3
(4)
⎯⎯⎯
→− ⎯⎯⎯
→ ⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯
→
− 2.5 .
x
x
x
x+2
x+2
(1) spiegeling t.o.v. de x-as (of de y-as!),
(2) verticale uitrekking : ordinaten maal 3,
(3) horizontale verschuiving over een afstand 2 naar links,
(4) verticale verschuiving over een afstand 2.5 naar omlaag.
4.1.8
De algemene sinusfunctie
We bekijken de invloed van de parameters a, b, c en d op de grafiek van
f ( x) = a sin (b ( x + c )) + d .
De grafiek van bv. f ( x) = 2sin(0.5x + 1) + 3 verkrijgen we uitgaande van de
grafiek van f ( x) = sin( x) als volgt :
(1)
(2)
(3)
(4)
sin( x) ⎯⎯
→ 2sin( x) ⎯⎯
→ 2sin(0.5 x) ⎯⎯
→ 2sin(0.5( x + 2)) ⎯⎯
→ 2sin(0.5 x + 1) + 3 .
(1)
(2)
(3)
(4)
verticaal uitrekken : ordinaten maal 2,
horizontaal uitrekken : abscissen gedeeld door 0.5 of maal 2,
horizontaal verschuiven over een afstand 2 naar links,
verticaal verschuiven over een afstand 3 naar omhoog.
Merk op dat de periode gelijk is aan 4π . Deze wordt immers enkel beïnvloed door
stap (2).
Het lukraak genereren van een sinusfunctie kan als volgt.
Het uitvoeren van a SIN(bx+c)+d= resulteert telkens in een ander functievoorschrift.
Plaats bij iedere grafiek het passende voorschrift (#5, #6 of #7).
4.1.9
De algemene derdegraadsfunctie
We bestuderen eerst de grafieken van f ( x) = x3 + k ⋅ x met k ∈ IR 0 .
vector( x ^ 3 + kx, k ,1,4)
vector( x ^ 3 + kx, k , −4, −1)
We zien dat de oorsprong steeds het buigpunt is en dat de grafiek steeds
symmetrisch is t.o.v. het buigpunt.
−k
Er is enkel een maximum en een minimum voor x = ±
als k < 0 .
3
Beschouw de functie f ( x) = 3 x3 + 18 x 2 + 27 x + 12 .
(
We herleiden het functie-
)
voorschrift van f tot de vorm f ( x) = a ( x + p ) + k ( x + p ) + q .
3
(
)
M.a.w. f ( x) = 3x3 + 18 x 2 + 27 x + 12 = 3 ( x + 2) 2 − 3( x + 2) + 6 .
De grafiek is symmetrisch t.o.v. van het buigpunt (-2,6) [= (− p, q)] .
maximum en een minimum voor respectievelijk :
Er is een
⎛
⎞
−k
x = −3 ⎜ = −
− p ⎟⎟ en
⎜
3
⎝
⎠
⎛
⎞
−k
x = −1 ⎜ =
− p ⎟⎟ .
⎜
3
⎝
⎠
4.1.10
De Gausskromme
2
We illustreren hoe de grafiek van de functie f ( x) = e− x aanleiding geeft tot de
algemene dichtheidsfunctie van de normale verdeling met gemiddelde µ en
standaardafwijking σ .
De functie bereikt een maximum voor x = 0 en de grafiek is symmetrisch t.o.v de
1
y-as. Er zijn buigpunten ter hoogte van x = ±
. De x-as is de horizontale
2
asymptoot en de totale oppervlakte tussen de kromme en de x-as is π .
We verkrijgen buigpunten voor x = ±1 door een horizontale uitrekking over een
factor
2 (d.w.z abscissen maal
⎛ x ⎞
−⎜
⎟
2 ) : f ( x) = e ⎝ 2 ⎠
2
=e
−
x2
2.
Hierdoor vermenigvuldigen we de totale oppervlakte ook met 2 zodat we als
totale oppervlakte 1 krijgen door een verticale inkrimping met een factor 2π
x2
1 −2
.
e
2π ) : f ( x) =
2π
(d.w.z. ordinaten gedeeld door
Dit is de standaard normale dichtheidsfunctie.
We verkrijgen buigpunten voor x = ±σ
x
door een horizontale vervorming,
2
1 − 2σ 2
abscissen maal σ : f ( x) =
.
e
2π
Een verticale vervorming, ordinaten delen door σ , levert terug als totale
oppervlakte 1 : f ( x) =
1
e
σ 2π
−
x2
2σ 2 .
Tenslotte levert een horizontale verschuiving over een afstand µ naar rechts (als
µ > 0 ) of − µ naar links (als µ < 0 ) de algemene Gausskromme met een
maximum voor x = µ en buigpunten ter hoogte van x = µ ± σ :
2
f ( x) =
1
σ 2π
e
−
( x−µ )
2σ 2 .
4.2 Asymptoten, raaklijnen en Taylorveeltermen
4.2.1
Asymptoten
Een programma in DERIVE is een bestand bestaande uit een opeenvolging van
definities van functies, waarbij elke functie gebruik kan maken van een eerder
gedefinieerde functie. Daartussen kunnen eventueel een aantal waarden toegekend
worden aan variabelen.
Leerrijke voorbeelden zijn de talrijke Utility-files, die je kan opladen met het Loadcommando in het File-menu. DERIVE haalt al de uitdrukkingen van dat bestand
binnen zonder ze te tonen. De functies zijn gedefinieerd en kunnen gebruikt
worden vanaf dit ogenblik.
Om de gedefinieerde functies te zien moet je de file inladen als Math-file.
We illustreren het programmeren met een kort programma om het voorschrift van
een schuine asymptoot te bepalen.
In regel #1 bepalen we de richtingscoëfficiënt m van de schuine asymptoot voor
een functie u_ met onafhankelijk veranderlijke x_ . Hierbij kan je de tak van de
kromme (op ∞ of −∞ ) kiezen. We gebruiken de veranderlijken u_ en x_ om
interferentie met de eventueel vooraf gedefinieerde variabelen u en x te
voorkomen.
Met regel #2 wordt het snijpunt van de asymptoot met de y-as bepaald en regel #3
levert tenslotte de vergelijking van de asymptoot.
Deze commando’s kan je saven als een mth-file voor later gebruik.
We geven enkele voorbeelden.
Voorbeeld 1
Voorbeeld 2
Om in dit geval de schuine asymptoot te berekenen, moeten we eerst met de optie
Simplification Settings van het Declare-menu Branch instellen als Real.
Voorbeeld 3
De horizontale asymptoten verkrijg je als een bijzonder geval van schuine
asymptoten, nl. met richtingscoëfficiënt nul.
Voor de onderstaande rationale
functie bekomen we de horizontale asymptoot y = 1 :
.
Voor het bepalen van de verticale asymptoot van een rationale functie zoeken we
de nulpunten van de noemer die er geen zijn van de teller.
Het plotten van deze oplossingen tekent de verticale asymptoten.
Beschouw de rationale functie f ( x) =
3x5 − 5 x 4 + 3x − 5
.
3 x5 + x 4 − 13 x3 − x 2 + 13 x − 5
De volgende berekeningen leiden tot de onderstaande grafiek.
4.2.2
Raaklijnen
De raaklijn in een punt (a, f (a)) aan de grafiek van een functie f (f afleidbaar in a)
kan je beschouwen als de beste lineaire benadering van de functie f in de omgeving
van dat punt.
De vergelijking van de raaklijn in (a, f (a)) aan de grafiek van de functie f ( x) is :
y = f (a) + f '(a)( x − a) .
Dit is ook de eerste orde Taylorpolynoom van f rond het punt a (zie 4.2.3).
We definiëren :
.
We bepalen de raaklijn aan f ( x) = 1 + x in het punt (0,1) met de hierboven
vermelde definitie en stellen het resultaat gelijk aan de functie g ( x) .
De volgende tabel toont dat de raaklijn een redelijke benadering is in de
onmiddellijke omgeving van x = 0 .
Beschouw de functie y = x 2 ( 3 − x ) die niet afleidbaar is in x = 0 . Het
berekenen van de afgeleide geeft echter het volgende resultaat.
Het sign(x)-commando heeft als waarde 1 als x > 0 en –1 als x < 0 . sign(0)
resulteert in ± 1.
Het bepalen van de raaklijn in dit geval geeft het volgende resultaat :
Het plotten van de vector [ f ( x), − 3 ⋅ x, 3 ⋅ x] genereert de volgende figuur :
4.2.3
Taylorveeltermen
De stelling van Taylor leert ons dat we het raaklijnbegrip kunnen uitbreiden tot het
benaderen van functies in de omgeving van een punt d.m.v. veeltermen.
f "(a)
f ( n ) (a)
( x − a) 2 + ... +
( x − a) n
2!
n!
noemt men de Taylorveelterm van orde n van een functie f rond een punt a. De
functie f moet vanzelfsprekend een voldoende aantal keer afleidbaar zijn.
De veelterm Pn ( x) = f (a) + f '(a)( x − a) +
We bepalen voor de functie f ( x) = sin( x) de Taylorveeltermen van orde 1, 3, 5 en
7 rond het punt a = 0 .
Het plotten van de vector [ f ( x), P1( x), P3( x), P5( x), P6( x)] levert volgende plot :
De onderstaande tabel geeft een idee van de kwaliteit van de benadering.
4.3
De methode van de kleinste kwadraten
Een Taylorveelterm benadert een gegeven functie rond een gegeven punt. Het is
echter vaak zo dat men een "beste kromme" wenst te bepalen die zo goed mogelijk
"door" een aantal gegeven punten gaat, die men verkregen heeft als meetresultaten.
We bepalen de beste rechte "door" de punten (0,1) , (1,3) , (2,4) en (3,2) volgens de
methode van de kleinste kwadraten met het Fit-commando. Deze methode zorgt
ervoor dat de som van de kwadraten van de verticale afwijkingen van de punten
t.o.v. de rechte zo klein mogelijk is.
Met het Fit-commando kan je ook de derdegraadsveelterm bepalen die door de 4
punten gaat.
4.4 Het accentueren van een punt op een grafiek
De volgende commando’s kan je gebruiken om stippellijnen te tekenen vanuit een
punt (a, f (a)) van de grafiek loodrecht op de x- en y-as.
We kunnen de commando’s stipx en stipy samenvoegen in de volgende vector :
We berekenen stip(√2,10) voor f ( x) = x 2 en plotten het resultaat.
f(x)=x^2