Bose-Einstein condensaten

Botsende Bose–Einstein–Condensaten
In 1924 heeft Einstein – gebruik makend van een idee van de Indiase fysicus Bose –
voorspeld dat veel (maar niet alle!) atomaire gassen bij het absolute nulpunt
condenseren tot een stof, waarin alle atomen dezelfde golffunctie hebben. Deze stof
staat bekend als ‘Bose – Einstein– Condensaat’ (BEC). In augustus 2005 is het
oorspronkelijke manuscript van Einstein, waarin deze voorspelling wordt gedaan,
teruggevonden door een Leidse student.
In 2005 zijn Amsterdamse wetenschappers erin geslaagd twee identieke Bose –
Einstein – condensaten van 87
37 Rb – atomen te maken en met elkaar te laten botsen. Hun
doel was informatie over de onderlinge wisselwerking van deze atomen te verkrijgen uit
het resultaat van de botsing. In deze opgave bekijken we dit experiment wat
nauwkeuriger.
3p
1p
1  Leg uit waarom 87Rb – atomen bosonen zijn terwijl 86Rb – atomen fermionen zijn.
2  Leg uit waarom een gas van 87Rb – atomen wel een BEC kan vormen en een gas
van 86Rb – atomen niet.
In het botsingsexperiment bevat elk van de twee condensaten 1,0·105 atomen, die door
een magnetisch veld zijn opgesloten in een doosvormige ruimte (een ‘magnetische val’
genoemd). In goede benadering mogen we aannemen dat de atomen van elk
condensaat zitten opgesloten in een doosje van 0,1 mm bij 0,1 mm bij 1,0 mm. In figuur
1 is de dichtheid van het BEC in het doosje als functie van de plaats x in de
lengterichting geschetst bij de laagste energietoestand waarin het condensaat kan
verkeren. Ter vergelijking is in figuur 2 de dichtheid van het 87Rb – gas in het doosje bij
kamertemperatuur geschetst.
3p
3p
3  Verklaar de vorm van de dichtheidsfunctie uit figuur 1.
4  Laat met een berekening zien dat de energie van de grondtoestand van het BEC
rond de 10 –29 J ligt.
In het experiment worden de beide opgesloten condensaten naar elkaar toe versneld
(zie figuur 3a). Net voor de botsing wordt de magnetische val van beide condensaten
uitgeschakeld zodat de botsing in de vrije ruimte plaatsvindt. Bij de botsing van de
condensaten botsen individuele atomen van het ene condensaat op individuele atomen
van het andere condensaat. Als gevolg hiervan worden de atomen alle kanten op
verstrooid. In figuur 3b is de baan van een atoom A uit het ene condensaat getekend dat
op een atoom B van het tweede condensaat botst. Men is met een camera in staat een
beeld te maken van het aantal bij de botsing verstrooide atomen als functie van de
verstrooiingshoek θ (zie figuur 3).
figuur 3a
figuur 3b
In figuur 4 zijn de beelden gegeven van twee verschillende botsingen: in figuur 4a
hebben de botsende atomen een snelheid van 0,17 m/s , in figuur 4b een snelheid van
0,49 m/s. Hoe donkerder de kleur in de beelden hoe meer atomen in de betreffende
richting zijn verstrooid. De zwarte vlekjes aan weerszijden van het beeld zijn afkomstig
van atomen die niet zijn verstrooid.
Het patroon van lichte en donkere strepen in figuur 4b is een aanwijzing voor het
golfkarakter van de atomen. Een patroon met afwisselend maxima en minima in
aantallen verstrooide atomen valt niet te verklaren door de atomen als klassieke deeltjes
op te vatten.
Figuur4a
figuur 4b
2p
5  Leg uit waarom we voor de verklaring van het patroon van figuur 4b de atomen in
het condensaat als materiegolven moeten opvatten.
Figuur 4b lijkt op het buigingspatroon dat optreedt wanneer een lichtgolf of een
materiegolf om een obstakel heen buigt. Inderdaad is buiging niets anders dan
verstrooiing van deeltjes aan een vast obstakel. Bij buiging om een obstakel geldt dat
buigingsminima van orde n ( n = 1, 2, 3, …..) worden gevonden onder een hoek θ (zie
figuur 3), die voldoet aan: b sin   n met b de grootte van het obstakel en λ de
golflengte van de gebruikte golven. Deze formule geldt in redelijke benadering ook voor
het Amsterdamse experiment wanneer b wordt geïnterpreteerd als de dracht van de
kracht die de Rubidiumatomen op elkaar uitoefenen. Met ‘dracht’ wordt bedoeld: de
afstand waarop twee atomen elkaar nog net kunnen voelen.
4p
2p
6  Bepaal deze dracht voor de Rubidiumatomen met behulp van figuur 4b.
7  Leg uit waarom in figuur 4a geen buigingsminima te zien zijn.
Bron: Nederlands Tijdschrift voor Natuurkunde, juli 2005
Botsende Bose-Einstein-Condensaten
3p
1 □ Voorbeeld van een antwoord: Rb-87 is samengesteld uit een even aantal fermionen
(namelijk 87 kerndeeltjes plus 37 elektronen) en is dus een boson. Rb-86 is uit een
oneven aantal fermionen samengesteld en is derhalve een fermion.



Inzicht dat deeltjes, samengesteld uit een even aantal fermionen, bosonen zijn en
deeltjes, samengesteld uit een oneven aantal fermionen, zelf ook fermionen.
Uitleg waarom Rb-87 is samengesteld uit een even aantal fermionen.
Uitleg waarom Rb-86 is samengesteld uit een oneven aantal fermionen.
1p
2 □ Voorbeeld van een antwoord: fermionen voldoen aan het Pauli-verbod. Ze kunnen niet
allemaal dezelfde golffunctie hebben. Bosonen kunnen dat wel en dat is een voorwaarde
voor het vormen van een BEC.
3p
3□
1
1
Voorbeeld van een antwoord: bij grote aantallen deeltjes is de dichtheid evenredig
aan de kans dat een deeltje zich ergens bevindt. Deze is kans is weer gelijk aan het
kwadraat van de golffunctie van het deeltje. In de laagste energietoestand van het
BEC worden is de golffunctie van alle atomen een halve sinus, waarvan het kwadraat
de vorm van figuur 1 heeft.



4p 4 □
1
Inzicht dat de dichtheid evenredig is aan de kans een atoom ergens aan te treffen.
Inzicht dat die kans gelijk is aan het kwadraat van de golffunctie van het atoom in
het BEC.
Inzicht dat die golffunctie een halve sinus is en dat het kwadraat dus de vorm van
figuur 1 heeft.
1
1
1
Antwoord: E = 7,6.10-30 J en dat ligt rond de 10-29J.
Voorbeeld van een berekening:
E = N.(h²/8m).(1/Lx² + 1/Ly² + 1/Lz²) = 105.( (6,63.10-34)²/(8.87.1,67.10-27)).(106 + 2.108)



2p 5 □
Gebruik van doosjesformule en het inzicht dat die met N moet worden
vermenigvuldigd
Goede waarden voor h, m, N en de doosjesafmetingen.
Completeren van de berekening en conclusie
1
1
1
Voorbeeld van een antwoord: de minima in het patroon van figuur 4b zijn het gevolg
van uitdoving van materiegolven. Deeltjes (in de klassieke betekenis) kunnen elkaar niet
uitdoven.


Inzicht dat materiegolven elkaar kunnen uitdoven (en deeltjes niet).
Inzicht dat deze uitdoving de minima in figuur 4b verklaart.
1
1
4p 6 □
Antwoord: b = 13 nm
Voorbeeld van een berekening:
b = n.h/(m.v.sin(θ)) = 1.6,63.10-34/(87.1,67.1027.0,49.sin(45º)) = 1,3.10-8 m.




2p
Gebruik van de formule van De Broglie voor de golflengte.
Bepalen van de waarde voor de hoek θ (met een marge van 5º).
Goede waarden voor n, h, m en v.
Completeren van de berekening.
1
1
1
1
7 □ Voorbeeld van een antwoord: bij een snelheid van 0,17 m/s is de golflengte ongeveer
drie keer zo groot als bij een snelheid van 0,49 m/s. De waarde van sin(θ) wordt dan ook
drie keer zo groot als sin(45º) en dat is groter dan 1. Er wordt dan geen
buigingsminimum gevonden.


Inzicht dat de golflengte groter wordt bij een kleinere snelheid.
Inzicht dat in dit geval sin(θ) groter wordt dan 1 en er dus geen minimum kan zijn.
1
1