Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire

Rekenen en wiskunde uitgelegd
Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs
Uitwerkingen van de opgaven bij
het repertoire
Peter Ale
Martine van Schaik
u i t g e v e r ij
coutinho
bussum 2011
c
Deze uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire horen bij Rekenen en wiskunde u
­ itgelegd van
Peter Ale en Martine van Schaik.
© 2011 Uitgeverij Coutinho b.v.
Alle rechten voorbehouden.
Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave
worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige
vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van
artikel 16 h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan
Stichting Reprorecht (Postbus 3051, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van (een)
gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16h Auteurswet
1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie,
Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichting-pro.nl).
Uitgeverij Coutinho
Postbus 333
1400 AH Bussum
[email protected]
www.coutinho.nl
Noot van de uitgever
Wij hebben alle moeite gedaan om rechthebbenden van copyright te achterhalen. Personen of instanties die
aanspraak maken op bepaalde rechten, wordt vriendelijk verzocht contact op te nemen met de uitgever.
ISBN 978 90 469 0272 1
NUR123
De opgaven bij het repertoire zijn niet geordend naar domein. Vaak hebben ze raakvlakken met
meerdere domeinen. De uitdaging is ze op te lossen op meerdere manieren: van zeer concreet (context), met gebruikmaking van een model tot helemaal formeel. Soms moeten er aannames gedaan
worden en soms is het rechttoe rechtaan rekenen. Een andere keer is het rekenen en redeneren op
een abstract niveau.
1Als Jeantine stilstaat op een roltrap is zij na 60 seconden boven. Als de roltrap stilstaat en
Jeantine loopt erop is zij na 90 seconden boven. Na hoeveel seconden is zij boven als zij naar
boven loopt op een bewegende roltrap?
Concreet
Er zijn twee even hoge roltrappen.
Roltrap 1: Jeantine staat stil, ze doet er 60 seconden over om boven te komen.
Roltrap 2: Jeantine loopt op een kapotte roltrap, ze doet er 90 seconden over om boven te
komen.
90 sec.
60 sec.
Stel nu dat Jeantine met dezelfde snelheid over de bewegende roltrap beweegt, hoelang duurt
het dan voor ze boven is?
? sec.
Hoe deze opgave nu verder opgelost moet worden is lastig te zien. Wat wel duidelijk wordt uit
dit plaatje is dat de verhouding van de snelheid van Jeantine in situatie 1 ten opzichte van situatie 2 60 : 90 (2 : 3) is. Wanneer Jeantine dus 180 seconden zou hebben, zou ze in situatie 1 drie
roltrappen kunnen nemen, terwijl ze in situatie 2 twee roltrappen in diezelfde tijd kan nemen.
In een verhoudingstabel kun je dat modelmatig weergeven.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 3/47
Modelmatig
Verhoudingstabellen
Situatie 1
Aantal roltrappen
1
2
3
Seconden
60
120
180
Aantal roltrappen
1
2
Seconden
90
180
Situatie 2
Je zou dus in de derde situatie (Jeantine loopt met de snelheid van situatie 2 over de roltrap
met de snelheid van situatie 1) in 180 seconden vijf roltrappen kunnen beklimmen, wat maakt
dat je over 1 roltrap (eventueel weergegeven in een verhoudingstabel) 180 : 5 = 36 seconden
doet.
Formeel
1
Als de roltrap beweegt en Jeantine stilstaat, legt ze 60
roltrap per seconde af.
1
Als de roltrap stilstaat en Jeantine loopt, legt ze 90
roltrap per seconde af.
1
1
5
1
Als Jeantine loopt op een bewegende roltrap, is de snelheid 60
+ 90
= 180
= 36
roltrap per seconde. Dan is ze dus in 36 seconden boven.
2Een legpuzzel bestaat uit 1245 stukjes. Hoeveel van die stukjes hebben minstens 1 rechte
rand?
Concreet
We gaan uit van een rechthoekige puzzel. De rechthoekige puzzel bestaat uit 1245 stukjes en
kan er dus als volgt uitzien:
3
415
5
249
83
15
We tellen nu het aantal stukjes met minimaal één rechte rand, voor alle drie de mogelijkheden:
2 x 3 + 2 x 415 = 836
2 x 5 + 2 x 249 = 508
2 x 15 + 2 x 83 = 196
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 4/47
Echter, nu tel je in alle gevallen de hoekpuzzelstukken dubbel. Dit wordt duidelijk wanneer je er
een rechthoekmodel bij tekent, zie de modelmatige werkwijze hieronder.
Modelmatig
Rechthoekmodel
Stel de puzzel is niet 15 bij 83, maar 2 bij 3. De puzzel zou er dan schematisch als volgt uitzien:
Het aantal puzzelstukken met een rechte rand is in dit geval niet simpelweg 2 x 3 + 2 x 2 = 10,
maar 6. Je ziet in deze situatie dat je de hoekpuzzelstukken dubbel telt.
Het antwoord is dus: minimaal 196 - 4 = 192 stukjes hebben minimaal 1 rechte rand.
Formeel
1245 moet een product van twee gehele getallen zijn (ervan uitgaande dat het om een rechthoekige puzzel gaat). Ontbinden in factoren levert:
1245
3
415
5
83
83
1
De mogelijkheden voor de afmetingen zijn dan: 1 x 1245; 3 x 415; 5 x 249 en 15 x 83 stukjes,
waarbij de laatste mogelijkheid het meest waarschijnlijk is.
De stukjes met minstens één rechte rand zijn alle randstukjes. Dat zijn er 2 x 15 + 2 x 83 - 4 =
192.
3Van een driehoek zijn gegeven:
› de lengte van de basis: 12 cm;
› een basishoek: 45o;
› de som van de lengtes van de opstaande zijden: 25 cm.
Teken deze driehoek. Gebruik materiaal zoals een liniaal, geodriehoek of een touwtje.
De basis is 12 cm en de hoek is 45o. De som van de lengte van de opstaande zijden is 25 cm.
Er moet gezocht worden naar een verdeling zodanig dat de hoeken mooi uitkomen. Dit is een
kwestie van proberen, of je kunt een touwtje gebruiken.
Werkwijze in stappen:
› Teken een lijn van 12 cm.
› Teken aan een van de uiteinden van de lijn een hoek van 45o met behulp van de geodriehoek.
› Meet een touwtje af van 25 cm.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 5/47
›
Houd dit touwtje aan de uiteinden van de basis vast (punaises kunnen helpen) en leg het op
de lijn die de hoek van 45o vormt.
› Trek het touwtje nu strak zodat de hoekpunten niet verschuiven en de hoek van 45o in
stand blijft.
› Zet een punt in de bovenhoek en verbind de uiteinden van de basis met dit punt.
4Analyseer onderstaand klaverblad. Waar komt een automobilist terecht als hij een afslag
neemt? Verander de tekening zo dat het klaverblad je op de goede weg helpt.
5Hoe groot is de kans om de hoofdprijs in de Koninginnedagloterij te winnen?
Om dit te kunnen berekenen moeten we eerst het een en ander opzoeken op internet. Hoeveel
verschillende loten zijn er waarop de jackpot kan vallen? Hoeveel loten worden er verkocht?
Valt de jackpot sowieso of is er nog een kans dat deze niet valt?
Concreet
Er blijken 180 series van 100.000 verschillende loten per serie mogelijk te zijn. Dit geeft dus 180
x 100.000 = 18.000.000 verschillende loten die kans maken op de jackpot. Ervan uitgaande dat
alle loten bij de loterij meedoen en de jackpot dus ook op een niet verkocht lot kan vallen, is de
1
kans op de jackpot dus 18.000.000
en dus behoorlijk klein. Wordt de jackpot echter alleen getrokken onder de daadwerkelijk verkochte loten (dit is het geval wanneer hij al zes keer achter
elkaar niet is gevallen of het maximale prijzenbedrag heeft bereikt van 27,5 miljoen euro), dan
is er ook informatie nodig over het aantal verkochte loten (n) tijdens de Koninginnedagloterij
1
en is de kans op de jackpot n
.
In totaal worden er ongeveer 3.200.000 loten verkocht bij de Koninginnedagloterij. De kans op
de jackpot (waar er maar 1 van is), is dus 1 op 3.200.000, en dat is een bijzonder kleine kans.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 6/47
Uit de gegevens van de Koninginnedagloterij blijkt dat er per trekking 1.277.986 prijzen worden
uitgereikt. Dat is over het totaal van alle loten. De kans om sowieso iets te winnen in de Staats1.277.986
loterij is dus 18.000.000
, en dat is ongeveer 7%.
6Reken op drie manieren uit: 314 x 235.
Modelmatig
Eerst een oplossing met behulp van het rechthoekmodel:
X
2
3
5
3
6
9
5
1
4
1
2
3
20
3
10
3
9
6 + 95 + 12 + 20
= 6 + 36
20 + 20 + 20 = 820
Formeel
Dan nog twee manieren om deze opgave formeel op te lossen:
9
13 13 169
4 x 5 = 20 = 820
9
3,25 x 2,6 = 13 x 0,65 = 6,5 + 1,95 = 8,45 = 820
7Bereken voor de volgende repeterende kommagetallen de hele breuk:
›0,111…
›0,767676…
›0,445445…
›0,456456456…
Wat gebeurt er als je voor 0,99999… de hele breuk wilt berekenen?
Hoe komt dat?
Dit kan alleen formeel:
›
0,111… = 19
›
0,767676… = 76
99
›
0,445445… = 445
999
456 152
›0,456456456…= 999 = 333
›
0,99999… = geen breuk. Het getal zit oneindig dicht bij 1.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 7/47
8Enige tijd geleden maakte het bedrijf New York Pizza reclame voor een extra grote pizza. In
de advertentie stond dat wanneer de doorsnede van een pizza van 25 centimeter vermeerderd wordt met 5 centimeter, de oppervlakte met 44% toeneemt. Dat lijkt erg veel. In de
klas wordt uitgezocht of dat kan kloppen. Wie van de leerlingen heeft gelijk en waarom?
Beredeneer ook waarom andere leerlingen geen gelijk hebben, en beredeneer wat zij fout
doen.
a Volgens Joost klopt het niet.
De pizza wordt 5 cm groter.10% van de kleine pizza is 2,5 cm, 20% is het dubbele dus 5 cm. De
pizza wordt dus maar 20% groter! De advertentie klopt niet.
Joost kijkt alleen naar de doorsnede, terwijl het om de oppervlakte gaat.
b Volgens Bart kan de bewering wel kloppen.
De oppervlakte van de pizza is als volgt te tekenen.
30 cm
25 cm
De rand die ontstaat wanneer de pizza 5 cm groter wordt, zou best weleens kunnen neerko­
men op 44%. Wanneer je namelijk deze rand uitknipt en in de middelste cirkel stopt, kun je
daar bijna de helft van de cirkel mee bedekken.
Bart heeft een goede aanpak gekozen. Hij rekent het weliswaar niet exact na, maar de benadering is prima. Deze werkwijze is een concrete aanpak, hij tekent de figuur na, knipt de
rand uit en bekijkt hoe groot dit deel is ten opzichte van de oorspronkelijke pizza.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 8/47
c Volgens Natasja klopt deze bewering niet.
Ze stemt in met de tekening van Bart, maar zegt dat je er niet van uit kunt gaan dat de rand
ongeveer 44% van de kleine cirkel zal beslaan. Daarom maakt zij de volgende verhoudings­
tabel:
cm
25
2,5
5
30
%
100
10
20
120
30 cm is dus 120% van de 25 cm en dus is de pizza 20% groter geworden!
Natasja komt via een omweg op dezelfde uitkomst als Joost. Ze gebruikt in de tabel ook cm
in plaats van cm2. Het is daarom aan te raden om in tabellen duidelijk aan te geven wat de
betekenis van de rijen is. In dit geval: oppervlakte in cm2 en percentage.
d Volgens Gerda klopt de bewering wel.
De oppervlakte van een pizza is te berekenen via pi x straal2. De straal van de normale pizza
is 12,5 cm, de straal van de grote pizza is 15 cm. Voor pi neemt zij 3,14 en berekent dus 3,14
x 12,52 en 3,14 x 152. Dit doet zij op de rekenmachine en dat geeft de antwoorden 490,625 en
706,5. Zij gaat nu na hoeveel procent 706,5 van de 490,625 is, door deze met elkaar te delen.
Dit levert 1,44 op. Volgens haar is de pizza dus 44% groter!
Gerda rekent het formeel en helemaal goed uit.
e Volgens Patrick klopt de bewering niet.
De oppervlakte van een pizza is te berekenen via 2 x pi x straal. Hij is het met Gerda eens wat
betreft de straal en berekent als volgt. 2 x pi x 12,5 en 2 x pi x 15. Dat kan korter omdat in
beide berekeningen wordt vermenigvuldigd met pi. Het antwoord levert dus dat het verschil in
oppervlakte het verschil tussen 25 en 30 is. 30 : 25 = 1,2. De vermeerdering van de straal met 5
cm levert dus een 20% grotere pizza op.
Patrick gebruikt de formule voor de omtrek van een cirkel. Merk op dat hij feitelijk weer op
dezelfde fout als Natasja en Joost uitkomt; hij rekent in één dimensie, en niet in twee dimensies.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 9/47
9In Madurodam wordt alles gemaakt op schaal 1 : 25. Dat werkt tot in de kleinste details.
Een tankauto die in het echt een inhoud heeft van 25.000 liter wordt consciëntieus nagebouwd. In de klas wordt de vraag gesteld wat de inhoud van het model van de tankwagen
is. Welke van de leerlingen heeft de juiste redenatie gevolgd voor het antwoord?
a Volgens Wilco moet je 25.000 nu delen door 25, omdat alles in Madurodam 25 keer zo
klein is (1 : 25). Dat geldt natuurlijk ook voor de inhoud van deze tankwagen.
Dus 25.000 : 25 = 1000. De inhoud van de tankwagen is dus 1000 liter.
Wilco denkt alleen aan de lengte, terwijl inhoud om lengte, breedte en hoogte gaat of in
dit geval oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte. Als hij van de opgave een tekening
had gemaakt, was hem misschien duidelijk geworden wat hij had moeten doen.
b Volgens Frank wordt alles ook 25 keer zo klein; dit heeft volgens hem tot gevolg dat de
breedte van de tank 25 keer zo klein wordt, de hoogte van de tank ook 25 keer zo klein
wordt en zelfs de diepte van de tank 25 keer zo klein wordt. Dit houdt in dat de tankinhoud van het model 25.000 : 25 : 25 : 25 = 1,6 liter moet worden.
Frank heeft het helemaal goed. Hij ziet als het ware een model van de tank voor zich, hij
­tekent hem echter niet, hij beredeneert geheel formeel wat het juiste antwoord op deze
vraag moet zijn.
c Volgens Evert maakt het verschil of er met kubieke centimeters, decimeters, enzovoort
wordt gerekend of met liters. In dit geval wordt er gerekend met liters, dus kun je gewoon 25.000 : 25 berekenen voor het juiste antwoord. Wanneer er bijvoorbeeld werd gerekend met cm3, was hij het eens geweest met de berekening van Frank. Dat is nu echter
niet het geval. De inhoud van de tankwagen is dus 1000 liter.
De schaal zegt alleen iets over de verkleiningsfactor (in één dimensie). De liter is enkel een
inhoudsmaat. Welke maten je verkleint, maakt niet uit.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 10/47
d Volgens Bert maakt het uit wat voor vorm de tank van de wagen heeft. Wanneer de tank
van de wagen bijvoorbeeld een cilinder is, zou hij de inhoudsformule van de cilinder
gebruiken: π x straal2 x hoogte; wanneer de tank de vorm heeft van een balk zou hij de
inhoudsformule van de balk gebruiken: lengte x breedte x hoogte en daarom stelt hij dat
de inhoud van de tank niet te berekenen is zonder deze gegevens. Bij aanname dat de
inhoud van de tank een balk is, en de volgende afmetingen heeft, berekent hij: lengte is
100 dm, breedte is 10 dm, hoogte is 25 dm. Dit geeft een inhoud van 25.000 dm3 en dus
25.000 liter. Wanneer alles 25 keer zo klein is, wordt de lengte 4 dm, de breedte 0,4 dm
en de hoogte 1 dm. Dit geeft een inhoud van 4 x 0,4 x 1 = 1,6 dm3 = 1,6 liter.
Bert heeft een interessante aanpak. Het wordt nog leuker als je nog eens naar de oplossing
van Frank kijkt. Daar kwam ook 1,6 uit. Het maakt dus blijkbaar niet uit om welke vorm het
gaat. Het gaat erom dat je de verkleiningsfactor in drie dimensies toepast. De inhoud van de
tank wordt dus 25 x 25 x 25 = 15.625 keer zo klein – wat de vorm ook is.
10 Bereken de omtrek van de kamer hieronder zonder de vraagtekens uit te rekenen.
2,5
1,5
?
4,5
?
1,5
5,0
1,5
Het lijkt om de omtrek van een ingewikkelde figuur te gaan, maar als de hoeken naar buiten
­geduwd worden is de omtrek niet veranderd (teken het maar na). Het is dan een rechthoek van
6,5 x 6.
De omtrek is dan 2 x 6,5 + 2 x 6 = 13 + 12 = 25.
11 Als van een A4’tje de twee hoekpunten aan dezelfde kant van het blaadje naar elkaar toe
gevouwen worden, ontstaat altijd een hoek van 90o. Bewijs dit.
Concreet
Als je van twee kanten iets dichtvouwt, vouw je het eigenlijk in tweeën. 180° in tweeën is 90°.
Dit kan als volgt getekend worden.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 11/47
Als je het A4’tje van bovenstaande tekening openvouwt, krijg je:
a
a
b
b
Je ziet dat 2a + 2b = 180°. a + b moet dan 90° zijn.
12 De formule om graden Celsius (C) om te rekenen naar graden Fahrenheit (F) is: F = 32 +
(9 x C) : 5.
a Wat is de temperatuur in Fahrenheit als C = 16? (Afgerond op hele getallen.)
F = 32 + (9 x 16) : 5 = 32 + 144
5 = 32 + 28,8 = 60,8 graden Fahrenheit.
b
Wat is C als F = 82? (Afgerond op hele getallen.)
82 = 32 + (9 x C) : 5
50 = (9 x C) : 5
250 = 9C
C = 27,8
13 In onderstaand voorbeeld wordt de opgave ‘Hoeveel is 87,5% van € 1864,-?’ uitgerekend.
a Analyseer de werkwijze.
1 De leerling berekent eerst
een aantal percentages van het
bedrag, zoals 1%, 10% en dergelijke.
2 Vervolgens rekent
hij 80% van 1864 door
100 - 20% te doen.
3 Tot slot telt hij bij de 80% 5%,
2% en 0,5% op. Hij heeft nu 80
+ 5 + 2 + 0,5 = 87,5%
berekend van 1864.
4 Dat noteert hij
hier nogmaals.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 12/47
b Formuleer adviezen om de aanpak te optimaliseren.
› Gebruik een verhoudingstabel met maximaal drie kolommen.
› Werk ordelijk, zodat je bepaalde uitkomsten niet twee keer hoeft te noteren.
› Gebruik de verhoudingstabel zo, dat de uitkomst in de verhoudingstabel komt te staan
(en je geen andere uitwerkingen hoeft te noteren).
› Hoe zou je 87,5% ook in één keer kunnen berekenen, zonder verhoudingstabel?
› Leid de 1%-regel af uit de verhoudingstabel. Zou je op dezelfde wijze ook 87,5% kunnen
berekenen?
c In welke mate heeft het gebruik van de verhoudingstabel hier een ondersteunende
­functie?
De verhoudingstabel heeft hier geen rekenkundige functie (er wordt niet in gerekend, alleen
gezocht naar de verschillende componenten, waar later nog bewerkingen moeten worden
uitgevoerd). De verhoudingstabel wordt hier dus puur gebruikt om de gegevens te ordenen.
d Geef de meest formele oplossing voor deze opgave.
0,875 x 1864 = 1631
e Geef de handigrekenenoplossing voor deze opgave.
Zie in dat hier eigenlijk naar 78 wordt gevraagd van 1864 en dus kun je dit snel berekenen
door: 1864 : 8 x 7 = 1631 of 1864 - (1864 : 8).
14 De Egyptenaren konden vroeger al redelijk goed bepalen hoever een schip uit de kust lag. Ze
gebruikten daarbij de onderstaande tekening. Verklaar waarom dit werkt.
Kustlijn
D
B
C
A
Observatiepunt
De twee driehoeken zijn gelijkvormig. Op de kant kun je alle (delen van) zijden meten. Door de
verhoudingen te gebruiken kun je ook de (delen van) zijden uitrekenen die je niet kunt meten.
Als A = 5 meter, B = 6 meter en C = 18 meter dan kan in een verhoudingstabel de oplossing
zichtbaar gemaakt worden:
A=5
15
B=6
18=C
Hieruit volgt D = 15 meter.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 13/47
Er geldt dus altijd: Als je de landdelen A, B en C meet, en je vult het in in de verhouding A : B =
D : C, kun je uitrekenen hoe ver het schip uit de kust ligt.
15 Frans heeft volgens een politieagent op de provinciale weg te hard gereden met zijn motor.
Je mag daar maximaal 80 km/u. Hij krijgt een bekeuring maar gaat in beroep. Voor de rechter verklaart hij onschuldig te zijn. De agent verklaart dat hij om Frans in te halen over een
afstand van 1,5 km harder dan 100 km/u heeft moeten rijden.
Frans heeft drie punten om het standpunt van de agent te weerleggen:
› Hij reed 80 km/u.
› De agent zegt in zijn verklaring niets over het moment dat hij besloot hem in te gaan
halen.
› De politieauto reed 300 meter achter hem toen hij hem in de achteruitkijkspiegel uit
een bocht te voorschijn zag komen.
Wordt Frans veroordeeld? Waarom wel/niet?
Concreet
Als de rechter ervan uitgaat dat beide getuigen wat betreft de gegevens de waarheid spreken
dan kan de volgende tekening gemaakt worden:
1,5 km
agent
300 m
Frans
1200 m
agent haalt in
De afstand die de agent rijdt is 1,5 km. Dat heeft hij gedaan in ongeveer 50 seconden (dit is 108
km/u). De afstand die Frans ondertussen rijdt is 1500 m - 300 m = 1200 m. 1200 meter in 50
seconden komt overeen met 1440 meter in een minuut. Dat komt overeen met 86,4 km/u. Of
Frans dus veroordeeld wordt, hangt af van de meetcorrecties en de precisie van de verklaring
van de agent.
Formeel
We gaan ervan uit dat de snelheid van de agent 100 km per uur was. Dat geeft Frans de meeste
kans (waarom?). De agent deed over de 1,5 km (1,5 : 100) x 3600 = 54 seconden. Frans legt in
diezelfde tijd dan, bij een snelheid van 80 km/u, 80 : 3,6 x 54 = 1200 meter af. Dat is inderdaad
1,5 km - 300 meter, precies de afstand die Frans beweerde op de agent voor te liggen!
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 14/47
16 Bekijk de volgende foto.
a Op de rotonde neemt de auto de eerste afslag. Hoeveelste deel van de cirkel heeft hij
dan afgelegd? (Alle afslagen zijn te zien.)
Concreet
Een halve cirkel, dit kun je zien door de cirkel daadwerkelijk te tekenen en te verdelen.
b Stel dat de auto één afslag verder was gereden, hoeveelste deel van de cirkel zou hij dan afleggen?
1
Dit komt neer op ongeveer 12 + 14 + 12
= 10
12 deel van de cirkel.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 15/47
17 Wat klopt hier (niet)?
Als je 57 km/u rijdt moet er eerst 3% van worden afgetrokken. Dit kan in een model, maar
­natuurlijk ook formeel.
Modelmatig
In een verhoudingstabel:
Snelheid in km/u
57
0,57
1,71
Percentage
100
1
3
57 - 1,71 = 55,29 in plaats van 54.
Dit geldt ook voor de andere correcties. Onderzoek hoe het werkelijk zit. De fout die de
­samensteller vermoedelijk gemaakt heeft, is dat hij niet 3% maar 3 km/u heeft afgetrokken. Of
is de regeling misschien anders dan in dit stukje staat?
Formeel
1% = 0,57; 3% = 1,71.
18 Je ziet hier foto’s van bekende sprookjesschrijvers.
Je hebt kaartjes met hun namen: Andersen, Grimm en Perrault.
Stel je voor dat je geen idee hebt welke naam bij welke foto hoort, hoe groot is dan de kans
dat je precies één kaartje bij de goede foto plaatst?
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 16/47
Concreet
We hebben drie schrijvers: A, G en P. Het maakt niet uit in welke volgorde hun foto’s liggen; we
nemen als volgorde PAG (Perrault, Andersen, Grimm). We kunnen de verschillende mogelijkheden als volgt uitschrijven:
AGP – APG – PAG – PGA – GAP – GPA
Je ziet dan dat er binnen de zes mogelijkheden drie gevallen zijn waarin precies één naam goed
is: de hierboven vetgedrukte combinaties. De kans is dus 36 = 12.
Modelmatig
A
G
P
P
G
= A, P, G
P
A
G
= A, G, P
= G, A, P
P
A
P
G
= G, P, A
= P, A, G
A
G
A
= P, G, A
Voor de eerste foto zijn er drie keuzes, voor de tweede twee en voor de derde is er slechts één
mogelijkheid. Uit het boomdiagram blijkt dat er zes combinaties mogelijk zijn, waarvan er in
drie gevallen minstens één naam goed is.
Formeel
Je had dit ook zonder uitschrijven kunnen beredeneren: de enige manier om precies één naam
goed te hebben, is door de twee overblijvende namen te verwisselen. Je kunt precies op drie
posities een goede naam neerleggen. Er zijn dus drie mogelijkheden met één goede naam. In
totaal zijn er 3! = 6 volgordes. De kans dat je er dus precies één goed legt, is 12.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 17/47
19 Van twee potjes nagellak wordt door verschillende kinderen het volgende beweerd. Wie
heeft er gelijk?
a Johan zegt dat de grootste van de twee potjes nagellak ongeveer 2 keer zo groot is. Hij
meet namelijk een hoogte van 4 cm en 2 cm.
b Tom zegt dat de grootste meer dan 2 keer zo groot moet zijn, omdat de hoogte 2 keer
zo groot is, en het potje ook nog breder is. Hij meet een breedte van 2,8 cm ten opzichte
van een breedte van 2 cm, wat een vergroting is van 1,4. Hij denkt daarom dat de grootste 2 + 1,4 = 3,4 maal zo groot is.
c Richard is het met Tom eens wat betreft de maten, hij beweert echter dat de inhoud van
de grootste pot nagellak 2 x 1,4 keer zo groot is, en dus bijna 3 keer zo groot.
a Johan vergeet rekening te houden met de lengte en de breedte van de potjes.
b Tom neemt hoogte en breedte mee in de vergrotingsfactor, maar hij telt deze gegevens
vervolgens op. Terwijl je voor de inhoud driedimensionaal moet rekenen (vergelijk lengte x
breedte x hoogte), en de vergrotingsfactoren vervolgens met elkaar moet vermenigvuldigen.
c Richard heeft een redelijke schatting, maar hij vergeet ook één dimensie. Hij houdt immers
slechts rekening met de hoogte en de breedte, en vergeet het verschil in lengte.
Uiteindelijk heeft geen van drieën dus helemaal gelijk.
20 Je pin (persoonlijk identificatienummer) bestaat uit 4 cijfers. Je bent je pincode vergeten. Je
weet alleen nog dat alle cijfers verschillend waren. Hoe groot is de kans dat een willekeurige
code van 4 verschillende cijfers de juiste is?
Concreet zou je dit kunnen uitproberen door alle mogelijkheden uit te schrijven.
Modelmatig
Een modelmatige oplossing is het maken van het volgende boomdiagram (zie ook de modelmatige uitwerking van opgave 18):
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 18/47
Dit diagram weerspiegelt de eerste keuze die je moet maken; daarvoor heb je 10 mogelijk­
heden. Vervolgens zijn er per tak weer 9 mogelijkheden, daarna weer 8 en dan nog 7. Dit geeft
1
10 x 9 x 8 x 7 = 5040 mogelijkheden. De kans dat je het in 1 keer goed hebt is dus 5040
.
Formeel
Als we uitgaan van 10 cijfers en we kiezen voor de pincode willekeurig een eerste getal, dan is
1
de kans dat het goed is 10
. Voor het tweede getal zijn er dan nog 9 over. Daarvan is er maar 1
1 1
goed. De kans dat die gekozen wordt is 19, enzovoort. De kans op een goede code is dus 10
x9x
1 1
1
x
=
.
8 7 5040
21 Erwin rekent uit dat 78 x 19 = 772.
a Hoe kan hij gerekend hebben?
7 x 1 = 7 en dan daarachter de uitkomst van 8 x 9 (72).
b Laat door middel van een model zien hoe 78 x 19 kan worden uitgerekend door middel
van 74 x 20 + 2.
Dit kan door middel van een rechthoekmodel.
Wat er eigenlijk gebeurt kan in enkele stappen worden beschreven:
78 x 19 =
74 x 19 + 4 x 19 =
(74 x 20) - (74 x 1) + (19 x 4) =
74 x 20 - 74 + 76 =
74 x 20 + 2
x
19
74
1
74
verschil = 2
4
76
2
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 19/47
22 Als in een rooster van 6 x 10 vanuit een hoekpunt een lijn wordt getekend in een hoek van
45o en de lijn wordt vervolgd in een hoek van 90o als hij een kant raakt, dan zal de lijn eindigen in de hoek die diagonaal tegenover het beginpunt staat. Wat gebeurt er bij een rechthoek van 10 x 2, 10 x 3 en 10 x 4? Wat is de regelmaat? Onderzoek ook roosters met andere
maten, bijvoorbeeld 8 x 6.
l/b
Eindpunt
10/2
10/3
10/4
10/5
10/6
10/7
10/8
10/9
10/10
D
V
H
V
D
V
H
V
D
D = diagonaal
H = horizontaal
V = verticaal
Er ontstaat een regelmaat DVHV. Er zijn relaties:
1 x 2,3 x 2,5 x 2 levert D.
Veelvouden van 4 leveren H.
Uiteindelijk zie je: de punt komt bij oneven waarden voor de breedte steeds linksboven en bij
even waarden voor de breedte steeds rechts (onder bij viervouden, anders boven).
23 Om 4 punten op een cirkel allemaal met elkaar te verbinden moet je 6 lijnen trekken (zie
tekening). Hoeveel lijnen moet je trekken bij 5, 6 en 100 punten? Wat is de formule voor n
punten?
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 20/47
De formule kan op twee manieren worden bedacht:
a Er zijn n punten. Uit elk punt vertrekken n - 1 lijnen. Elke lijn verbindt twee punten, twee
keer. Dit levert: n x (n - 1) : 2
b Uit het eerste punt vertrekken n - 1 lijnen, uit het tweede n - 2, enzovoort. Totaal dus (n - 1)
+ (n - 2) + (n - 3) + … + 2 + 1.
We herkennen de reeks van Gauss: de eerste plus de laatste is n, de tweede + de een na laatste
is n, enzovoort. Volgens de regel van Gauss geldt nu (n - 1) x n : 2. Via methode a en b kom je
dus op dezelfde formule.
Dit ontdek je wanneer je een aantal cirkels concreet uittekent, of door te beredeneren.
24 Je hebt een onbekend aantal verschillend gekleurde maar verder gelijke kubussen. In hoeveel verschillende volgordes kun je die opstapelen?
N! (Als N het aantal kubussen is.)
25 Een puzzeltje: kies een getal. Tel er 5 bij op, verdubbel de uitkomst, trek daar weer 4 van af
en deel het resultaat door 2. Trek hier het oorspronkelijke getal weer van af. Ik weet al wat
je er uit krijgt: 3. Onderzoek hoe het werkt en bewijs dat het altijd waar is.
(2(x + 5) - 4) : 2 - x = 3
26 Het plaatje stelt een rechthoek voor die in vieren is verdeeld. Hoeveelste deel is de kleinste
rechthoek van het geheel?
a
b
c
d
De oppervlakte van de kleinste rechthoek is: bd. De oppervlakte van de hele figuur is ac + ad +
bd
bc + bd. Het gevraagde deel is dan: (ac+ad+bc+bd) .
27 Stel je hebt 12 op het oog precies gelijke massieve gewichten. 1 van die 12 weegt echter niet
hetzelfde als de andere 11. Je hebt de beschikking over een eenvoudige balans. Beredeneer
dat je met behulp van 3 wegingen kunt bepalen welk van de gewichten afwijkend is.
Dit is een eeuwenoud probleem. Het grootste probleem is dat het zoveel gewichten zijn. Het
tweede probleem is dat je niet weet of het een lichter of een zwaarder gewicht betreft.
Verdeel de twaalf gewichten eerst in drie groepen van elk vier gewichten: groep A, B en C.
Weeg vervolgens groep A en B met elkaar. Hierbij kunnen de volgende situaties ontstaan
(hvdstaak.100webspace.net/archief/brein.htm):
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 21/47
1 Groep A en B wegen evenveel.
Dit betekent dat het afwijkende gewicht in groep C moet zitten. We nemen nu twee gewichten uit groep C (aangeduid met C1 en C2) en wegen die tegen twee gewichten uit
groep A (aangeduid met A1 en A2 en waarvan we al weten dat ze een correct gewicht hadden). Wederom zijn er twee verschillende resultaten mogelijk:
1a C1 + C2 is even zwaar als A1 + A2.
Dit betekent dat C3 of C4 het afwijkende gewicht is. Nu kunnen we dit nagaan in een
derde weging, waarbij we bijvoorbeeld C3 wegen tegen A1 (= een correct gewicht). Als
deze gelijk gewicht hebben is C4 het afwijkende gewicht en anders C3.
1b Het gewicht van C1 + C2 is verschillend van A1 + A2.
Dit betekent dat C1 of C2 het afwijkende gewicht is. Nu kunnen we dit nagaan in een
derde weging, waarbij we bijvoorbeeld C1 wegen tegen A1 (= een correct gewicht). Als
deze gelijk gewicht hebben is C2 het afwijkende gewicht en anders C1.
2 A en B hebben een verschillend gewicht.
Noem de lichte groep A, en de zwaardere groep B. Nu weten we dat de overgebleven groep
C uitsluitend uit correcte gewichten bestaat. Voer vervolgens de volgende weging uit: neem
twee gewichten uit groep A en twee gewichten uit groep B (te weten: A1, A2, B1 en B2) en
weeg ze tegen een gewicht uit A, een gewicht uit B en twee gewichten uit C (A3, B3, C1, and
C2). Nu kunnen de volgende drie situaties ontstaan:
2a A1 + A2 + B1 + B2 is even zwaar als A3 + B3 + C1 + C2.
Dit betekent dat A4 of B4 het afwijkende gewicht is. Nu kunnen we dit nagaan in een
derde weging, waarbij we bijvoorbeeld A4 wegen tegen C1 (= een correct gewicht). Als
deze gelijk gewicht hebben is B4 het afwijkende gewicht en anders A4.
2b A1 + A2 + B1 + B2 is lichter dan A3 + B3 + C1 + C2.
Dit betekent dat of A1 of A2 een afwijkend gewicht heeft (lichter) of B3 van een afwijkend gewicht is (zwaarder). Nu kunnen we A1 + B3 tegen C1 + C2 wegen, hetgeen de
volgende situaties kan opleveren:
2b-I A1 + B3 is even zwaar als C1 + C2.
Dit betekent dat A2 een afwijkend gewicht heeft.
2b-II A1 + B3 is lichter dan C1 + C2.
Dit betekent dat A1 een afwijkend gewicht heeft.
2b-III A1 + B3 is zwaarder dan C1 + C2.
Dit betekent dat B3 een afwijkend gewicht heeft.
2c A1 + A2 + B1 + B2 is zwaarder dan A3 + B3 + C1 + C2.
Net als 2b.
28 Jan zegt dat je eenvoudig kunt laten zien dat vermenigvuldigen en optellen hetzelfde is:
2 + 2 heeft immers dezelfde uitkomst als 2 x 2. Welke redeneerfout maakt Jan?
Jan kijkt alleen naar de uitkomst en niet naar de betekenis. Bovendien denkt hij dat een voorbeeld representatief is voor alle getallen. Een tegenvraag kan zijn: hoe zit het met 3?
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 22/47
29 Op een pak sap is het volgende aangegeven:
Eén glas sap bevat 100% van de Aanbevolen Dagelijkse Hoeveelheid (ADH)
vitamine C en 60% van de ADH vitamine E.
In de klas wordt de vraag gesteld hoeveel glazen sap je moet drinken om aan de ADH vitamine E voldaan te hebben. Hieronder de reacties van enige leerlingen. Welke redenering is
juist en waarom?
a Erika geeft aan dat je nog 40% tekort komt om de ADH vitamine E te halen. Daarom
4
moet je nog 10
glas drinken om de ADH te halen; in totaal dus 1,4 glazen.
b Marijke stelt dat je 100% van de ADH vitamine C hebt en 60% van de ADH vitamine E.
Als je één glas sap drinkt, heb je dus 160%. Je moet 200% (100% + 100%) hebben, dus je
5
moet in totaal 200
160 = 4 glas drinken.
c Bert zegt dat één glas 60% ADH vitamine E bevat. Je moet 100% hebben, dus je moet
60
nog 100
glas sap drinken, dat is dus in totaal 1,6 glazen.
d Wilma zegt dat één glas sap 60% van de ADH vitamine E bevat. Je moet 100% hebben,
2
dus in totaal moet je 100
60 = 13 glas sap drinken.
Concreet
Eén glas bevat 60% ADH vitamine E. Je hebt dus 123 glas nodig om de volledige ADH binnen te
krijgen.
Modelmatig
In een verhoudingstabel wordt snel duidelijk wat de goede oplossing is:
Glazen sap
Percentage ADH
1
2
1 23
60%
120%
100%
Formeel
2
In totaal moet je 100
60 = 13 glas sap drinken om de ADH vitamine E binnen te krijgen. Wilma
heeft dus gelijk.
Erika gebruikt de gegevens als absolute gegevens, terwijl het hier om procenten gaat en dat zijn
relatieve gegevens.
Marijke betrekt onterecht ook de ADH vitamine C in haar som.
Bert doet een goede aanname, maar vervolgens berekent hij de verhouding precies verkeerd
om. Hij komt wel toevallig dicht in de buurt, maar zijn berekening is fout.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 23/47
30 Probleemstelling: teken in deze driehoek een vierkant, waarvan twee hoekpunten op de
basis (AB) liggen, en de andere twee hoekpunten op de twee opstaande zijden. Probeer een
methode te ontdekken, die in elke driehoek werkt.
C
A
B
Wat proberen met een geodriehoek levert bij deze driehoek snel een acceptabel resultaat, maar
zal in het algemeen een benadering zijn. Rekenen met verhoudingen levert heel veel onbekenden. Een eerste inspiratie kun je halen uit een vierkant met als zijde AB. Kunnen we dit vierkant
verkleinen zodat het precies binnen de driehoek past? De hoogtelijn uit de driehoek geeft de
richting aan.
Met behulp van verhoudingen kan worden bewezen dat dit waar is.
C
A
B
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 24/47
31 Om een rechthoekig terrein van 1000 m2 komen vier stroken: aan de voorkant ten minste
20 m breed en aan zij- en de achterkant ten minste 10 m breed. Welke maten moet dit terrein hebben (lengte/breedte) zodat de eromheen liggende stroken een zo klein mogelijke
oppervlakte hebben?
Concreet
Een tekening:
10
10
B
1000
L
20
Een eerste idee: stel de lengte is 50 en breedte is 20. De stroken eromheen hebben dan een oppervlakte van: 70 x 50 - 1000 = 2500.
Als we de lengte en breedte veranderen, kunnen we onderzoeken wat er met de strook gebeurt.
Stel de lengte is 40 en de breedte is 25. Dan wordt de oppervlakte van de stroken: 60 x 55 -1000
= 2300. De oppervlakte wordt kleiner.
Het zoeken naar de kleinste waarde kan via wiskundige formules gedaan worden, maar Excel
levert een goede benadering, en dat is voor dit boek handiger.
Lengte
Breedte
Oppervlakte strook =
(lengte + 20) x (breedte + 30) - 1000
5
200,00
4750,00
10
100,00
2900,00
15
66,67
2383,33
20
50,00
2200,00
25
40,00
2150,00
30
33,33
2166,67
35
28,57
2221,43
40
25,00
2300,00
45
22,22
2394,44
50
20,00
2500,00
55
18,18
2613,64
Lengte en breedte moeten dus 25 en 40 zijn. NB: de breedte is dus langer dan de lengte.
Het kan nog preciezer, maar dat scheelt niet veel met de gevonden waarde:
26
38,46
2149,23
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 25/47
32 Een boer heeft een wolf, een geit en een kool die hij over een rivier wil zetten. Hij heeft
maar één bootje waarin plaats is voor hemzelf en een van zijn eigendommen. De wolf eet
echter de geit op als de boer er niet bij is en de geit eet de kool op als de boer er niet bij is.
Hoe krijgt deze boer alle drie heelhuids naar de overkant?
Een klassiek probleem, dat je je geheel concreet kunt voorstellen en kunt uitschrijven.
Modelmatig kun je het als volgt in een tabel weergeven:
Kant A
In de boot
Kant B
wolf, geit, kool
–
–
wolf, kool
geit →
–
wolf, kool
←
geit
kool
wolf →
geit
kool
← geit
wolf
geit
kool →
wolf
geit
←
kool, wolf
–
geit →
kool, wolf
–
–
geit, kool, wolf
De boer moet dus drie keer heen en weer, en nog een keer heen.
33 De getallen in onderstaande figuur vormen steeds de som van de variabelen die door het
lijnstuk worden verbonden. Bereken de waarde van a, b en c.
C
41
52
41
A
35
B
Formeel
a + b = 35, dus b = 35 - a en a = 35 - b
b + c = 52, dus b = 52 - c en c = 52 - b
a + c = 41, dus c = 41 - a en a = 41 - c
a + b = 35, a = 41 - c, dus 41 - c + b = 35. b = 52 - c, dus 41 - c + 52 - c = 35, 93 - 2c = 35, 2c =
93 - 35 = 58, c = 58
2 = 29
b + c = 52, b + 29 = 52, dus b = 52 - 29 = 23
a + b = 35, a + 23 = 35, a = 35 - 23 = 12
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 26/47
34 Iemand heeft een plaat van 12 m2 karton. Daarmee wil hij een zuiver rechthoekige bak
zonder deksel maar met een bodem maken. Die bak moet een zo groot mogelijke inhoud
hebben. De bodem wordt vierkant. Welke afmetingen zal hij deze bak geven? Wat zijn de
aannamen ten aanzien van de maten van de plaat karton?
Concreet
12 m2 karton, moet samen 5 vlakken bedekken. 1 vlak hiervan moet in elk geval een vierkant
zijn. Het wordt dus een rechthoekige bak met een lengte, breedte en hoogte. De onderkant
van de bak is een vierkant. Laat de zijde daarvan l zijn. De hoogte van de bak noemen we h. We
hebben dan de volgende vlakken:
lengte
3l - 14l³
0,25
0,746094
0,5
1,46875
0,75
2,144531
1
2,75
1,25
3,261719
1,5
3,65625
1,75
3,910156
2
4
2,25
3,902344
2,5
3,59375
2,75
3,050781
3
2,25
3,25
1,167969
3,5
-0,21875
3,75
-1,93359
4
-4
4,25
-6,44141
4,5
-9,28125
›
1 (liggend) vlak met een oppervlakte van l x l m²;
› 4 (opstaande) vlakken met een oppervlakte van l x h m².
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 27/47
Formeel
De rekensom voor de oppervlaktematen is l² + 4lh =212.
12−l
Hieruit volgt 4lh = 12 - l². De hoogte is dus h = 4l . De bak heeft een totale inhoud van l²h = 1
1
4l(12 - l²) = 3l - 4l³ m³. De vraag is voor welke l de inhoud maximaal is. Excel biedt weer uitkomst: je kunt een tabel maken van verschillende waarden voor l (zie hiervoor).
Als de lengte 2 is, dan is de inhoud het grootst. De hoogte is dan 1.
35 Een vliegtuig vliegt van Amsterdam naar Moskou met een gemiddelde snelheid van 800
km/uur. Op de terugweg heeft het de wind tegen en haalt het niet meer dan 600 km/uur.
Ervan uitgaande dat de heenreis even lang is als de terugreis, hoe groot is dan de gemiddelde snelheid van het vliegtuig gerekend over de hele vlucht heen en terug? Leid een formule
af voor die gemiddelde snelheid als de gemiddelde snelheid van de heenreis a km/uur en op
de terugreis b km/uur is.
Concreet
800 km/u
600 km/u
De snelheid van de heen- en de terugreis is 800 : 600 = 4 : 3.
Stel dat de afstand 2400 km is, dan zouden we er op de heenweg 3 uur over hebben gedaan,
terwijl we er op de terugweg 4 uur over hadden gedaan. Zie het model hieronder.
Modelmatig
Verhoudingstabellen
Aantal uur
1
2
3
Aantal km
800
1600
2400
Aantal uur
1
2
4
Aantal km
600
1200
2400
Heenreis
Terugreis
Je doet dus, heen en terug, 7 uur over 4800 km. De gemiddelde snelheid is dan 4800 : 7 =
685,7 km/uur.
Formeel
De afstand is onbekend. Die noemen we A.
A
De tijd die over de heenreis werd gedaan is 800
uur.
A
De tijd die over de terugreis werd gedaan is 600
uur.
A
A
7A
De totale tijd is 800
+ 600
= 2400
.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 28/47
7A
Je doet dus 2400
uur over een afstand van 2A. De gemiddelde snelheid over de heen- en terug2A
reis bij elkaar is dan 7A÷2400 = 4800A
7A = 685,7 km/uur.
Als de gemiddelde snelheid heen a is, en terug b, dan is de formule voor de gemiddelde snel2ab
heid over de hele reis a+b
.
Grappig is, dat de afstand hier dus geen rol speelt (als de heenreis en de terugreis dezelfde afstand bedragen).
36 Laat zien dat (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Concreet
Dit kun je concreet zien wanneer je het tekent:
a-b
b
a
b(a - b)
In het vierkant zijn de zijden van het grote vierkant a. De strook heeft breedte b. Dit levert voor
het vierkant linksboven een lengte van a - b.
De oppervlakte van het vierkant linksboven is (a - b)2. De oppervlakte van het grote vierkant is
a2.
Uit de tekening blijkt nu dat (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Immers, als we 2ab van het grote vierkant aftrekken, trekken we b2 te veel af. Daarom tellen we
die er weer bij op.
Formeel
Formeel is deze opgave als volgt op te lossen:
(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ba + b2, aangezien a x b hetzelfde is als b x a, volgt hieruit dat
het antwoord a2 - 2ab + b2 is.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 29/47
37 Op een weg rijden auto’s met een snelheid van 80 km/u. De auto’s houden een onderlinge
afstand van 45 meter. De lengte van een auto is 4 meter. Langs de weg staan borden met
daarop de tekst: ‘Houd 2 seconden afstand.’ Voldoen de auto’s aan de verkeersregel?
Modelmatig
Met behulp van een verhoudingstabel en een kruistabel.
Aantal meter
Aantal seconden
80.000
22,2222
3600
1
80.000
1333,333
22,2222
3600
60
1
In de onderste tabel worden versneld de stappen uit de verhoudingstabel erboven doorlopen.
In 1 seconde wordt dus bij deze snelheid 22,22 meter afgelegd, en dat is 44,44 meter in twee
seconden. Net binnen de marge dus.
Formeel
80
80 km/u, dat is 3,6 = 22,222… m/s en dus in 2 seconden 44,444… meter. Ze voldoen dus net
aan de regel. De lengte van de auto doet er niet toe.
38 In een advertentie staat: ‘Omdat Robijn Klein & Krachtig 2 x geconcentreerd is, bespaart
het de helft van het water, de helft van het verpakkingsvolume, de helft van het aantal
vrachtwagens. Wij beloven om ons steentje bij te dragen – en u kunt helpen het verschil
nog groter te maken door zelf enkele simpele acties te ondernemen.’
Thuis heb ik nog een oude verpakking staan van Robijn Stralend wit. Deze verpakking is
een kleine handzame fles van 500 ml. Voor een ‘sterk bevuilde’ was moet ik volgens de
oude verpakking 100 ml bij 45 kg was toevoegen, om hem stralend wit te krijgen. Volgens de
nieuwe verpakking is 52 ml voldoende.
a Is de nieuwe formule werkelijk 2 x zo geconcentreerd en dus 2 x zo krachtig, bij ‘sterk
bevuilde’ was?
Concreet
Nee, wanneer de nieuwe verpakking werkelijk 2 x zo geconcentreerd was geweest, was de
helft van 100 ml, namelijk 50 ml, voldoende geweest voor dezelfde hoeveelheid ‘sterk bevuilde’ was.
b Op beide verpakkingen wordt ook aangegeven met welke verhouding je een handwas
moet aanlengen. De oude verpakking geeft aan dat je aan 5 liter water 250 ml wasmiddel moet toevoegen. De nieuwe verpakking geeft een verhouding van 500 : 17. Ook voor
de handwas is met de nieuwe formule dus minder wasmiddel nodig. Is dit echter 2 keer
zo weinig? Hoeveel groter is nu eigenlijk de waskracht van de nieuwe formule?
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 30/47
Modelmatig
De verhouding is bij de oude verpakking 5000 : 250, terwijl dit bij de nieuwe verpakking
500 : 17 is. De oude verhouding komt overeen met 500 : 25, en dat moet je vergelijken met
500 : 17 (je zou dit in een verhoudingstabel kunnen berekenen). Er is dus maar 8 ml minder
nodig met de nieuwe formule (bij een halve liter water), dat is ongeveer 13 deel minder. De
formule is dus niet twee maal zo krachtig.
39 Hoe bepaal je de lichaamsdiagonaal van een baksteen? Leid met behulp van een model de
formule hiervoor af.
Concreet
Een praktische manier om dit te doen is drie bakstenen op een rijtje te leggen en dan de middelste weghalen. Dan kun je de lichaamsdiagonaal meten.
Formeel
Je kunt het natuurlijk
ook uitrekenen door twee keer Pythagoras uit te voeren. Dat leidt tot een
diagonaal van (l2 + b2 + h2 ) .
40 Hoe lang is de lichaamsdiagonaal van een ‘LEGO-achtje’?
Stel dat een LEGO-achtje in cm2,5 x 1,5 x 1 is. Dan is de lichaamsdiagonaal (gebruik het antwoord van de vorige opgave): (2, 52 + 1, 52 + 12 ) ≈ 3,08
41 Volgens de spelregels heeft een hockeyveld buitenmaten van 91,4 x 55 meter. Op het Albertinuscollege wil men bij de sportvelden een hockeyveld maken, maar er is slechts een
strook beschikbaar van 50 meter breed. Als de oppervlakte gelijk moet blijven, wat gebeurt
er dan met de lengte?
Concreet
55
91,4
De officiële oppervlakte is 55 x 91,4 = 5027 m2.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 31/47
50
?
De oppervlakte van het veld op het Albertinuscollege moet ook 5027 m2 zijn. De lengte wordt
dus 5027 : 50 = 100,54 meter.
Formeel
Formeel kan dit sneller (zonder tekeningen en in één berekening):
55 x 91,4 = 50 x ?
? = (55 x 91,4) : 50 = 100,54 meter
42 Stel nu dat de rector van het Albertinuscollege aan het onderhandelen is met de buren om
er grond bij te kopen. Hij weet nog niet wat erbij komt, maar wil wel vast aan het rekenen
slaan. Als de breedte van 50 meter x meter langer wordt, wat wordt dan de lengte opdat de
totale oppervlakte gelijk blijft aan de officiële maat? Druk die lengte uit in x.
Concreet
Deze vraag daagt echt uit om formeel te gaan rekenen, al kan dit natuurlijk ook alsnog uitgetekend worden:
50
x
?
De oppervlakte moet 5027 m2 blijven, dus het ? wordt 5027 : (50 + x).
Formeel
(Dus zonder tekening)
L=
(91,4×55)
(50+x)
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 32/47
43 Bereken de afmetingen van alle vierkanten in onderstaande tekening als je weet dat de vierkanten aan de rechterkant zijden van x cm hebben.
x
De breedte van de rechthoek is twee vierkanten van x lang, dus 2x. Het donkerblauwe vierkant
is twee kleine, lichtblauwe vierkanten breed. In het donkerblauwe vierkant passen dus 4 kleine
lichtblauwe. De breedte van de totale rechthoek moet dus 3 kleine, lichtblauwe vierkanten zijn.
3 kleine, lichtblauwe vierkanten hebben dus een lengte van 2x.
De zijkant van een klein, lichtblauw vierkant is dus 23 x cm.
De zijkant van het donkerblauwe vierkant is dus 113 x cm.
De zijkant van een van de rechter vierkanten is natuurlijk x cm.
44 Teken de onderstaande tabel groot na op een A4. Knip de tabel uit, enkel langs de omtrek.
Probeer dan zo te vouwen dat de letters in volgorde van het alfabet komen te liggen.
Tip: de bedrukte kant hoeft niet bij alle letters naar boven te liggen.
A
H
G
D
B
C
F
E
Voor deze opgave geven we alleen een hint: begin met de H tegen de G.
Het maakt niet uit of een letter op zijn kop af achterstevoren zit.
45 Op zijn boerderij houdt boer Bauke kippen en koeien. Samen zijn er 50 koppen en 140 poten. Hoeveel koeien en kippen lopen er rond?
Concreet/modelmatig
Een manier om tot de goede oplossing te komen gaat uit van een tabel waarin een aanname
gemaakt wordt voor het aantal kippen en koeien (stel 25 om 25), waarna er steeds 2 kippen
tegen 1 koe uitgeruild worden totdat het uitkomt.
De uitkomst is 20 koeien en 30 kippen.
Formeel
Deze opgave kun je oplossen met twee vergelijkingen:
ko + ki = 50 en 4ko + 2ki = 140.
Invullen en klaar.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 33/47
46 Dit ingenieuze lepeltje (zie foto) kan op twee manieren gebruikt worden. De bodem is flexibel en kan in- en uitgeklapt worden. De inhoud van de lepel kan hierdoor 15 of 25 ml zijn.
De lepel bestaat uit twee delen:
› cilinder met een diameter van 4,5 cm en een hoogte van 1,7 cm;
› halve bol met een diameter van 3,5 cm.
Volgens Irma kan de inhoud van deze lepel, na het inklappen, nooit 10 ml kleiner zijn. Ga
na of de intuïtie van Irma klopt. (De inhoud van een bol bereken je met de formule 4πr3 : 3.)
Wat we willen weten is of de (cilinder + halve bol) - (cilinder - halve bol) kleiner is dan 10 ml.
We willen dus eigenlijk weten of de inhoud van de bol kleiner is dan 10 ml. De inhoud van de
bol is 43 x π x r3 en dus (4 x 3,14 x 1,753) : 3 = 22,44 ml.
Irma heeft gelijk, de werkelijke inhoud is veel groter.
47 Het verhaal gaat dat de grote wiskundige Gauss als kind al erg intelligent was. Op een dag,
hij was 7 jaar oud, had hij kattenkwaad uitgehaald. De leraar dacht een goede straf te hebben bedacht. Gauss moest alle getallen van 1 tot en met 1000 optellen. Binnen een minuut
was hij klaar: 500.500. Hoe deed hij dat zo snel?
1 + 1000 = 1001; 2 + 999 = 1001; 3 + 998 = 1001, enzovoort.
Zo kom je op 500 optellingen die tot 1001 resulteren en dus is het antwoord 500 x 1001 =
500.500.
48 In een steegje tussen twee gebouwen zijn twee ladders kruiselings neergezet. Elke ladder
reikt tot het platte dak van een van beide gebouwen. Het kruispunt van de ladders bevindt
zich, verticaal gemeten, 4 m onder het dak van het laagste en 9 m onder het dak van het
hoogste gebouw (zie figuur). Hoe breed is het steegje en hoe hoog zijn de gebouwen?
9 meter
4 meter
a
b
h
Dit is een echt wiskundig probleem waar je met verhoudingen moet gaan werken. En met gelijkvormigheid.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 34/47
We verkennen wat verhoudingen:
4 h
a=b
9 h
b=a
Druk h uit in de rest en je krijgt:
9a
4b 9a
h = 4b
a en h = b dus a = b
Wanneer je zowel links als rechts vermenigvuldigt met a en met b, dan levert dit: 4b2 = 9a2.
Uitwerken levert: 4b2 - 9a2 = 0
Dit is een merkwaardig product:
Uitwerken levert: a = 2 en b = 3 of a= 4 en b = 6, enzovoort.
Er zijn dus heel veel uitkomsten.
49 Maak met behulp van vier vieren en alle bewerkingen die je kent opgaven waarbij de
uitkomst achtereenvolgens moet zijn 0, 1, 2, 3, enzovoort. Voorbeeld 44 - 44 = 0. Je moet
steeds alle vieren gebruiken. Ga minimaal door tot 20.
Hierna volgt steeds één oplossing. Vaak zijn er meer oplossingen te vinden.
0 = 44 - 44
1 = 44 : 44
2 = (4 : 4) + (4 : 4)
3=
(4+4+4)
4
4 = (4 - 4) x 4 + 4
5 = (4 x 4 + 4) : 4
6=4+
(4+4)
4
7 = 4 + 4 - (4 : 4)
8 = (4 + 4) x (4 : 4)
9 = (4 + 4) + (4 : 4)
(44−4)
4
√ 44
11 = (4×4)
10 =
12 =
(44+4)
4
√
13 = (44 : 4) + 4
√
14 = 4 + 4 + 4 + 4
15 = (4 x 4) - (4 : 4)
16 = 4 x 4 x (4 : 4)
17 = (4 x 4) + (4 : 4)
√
18 = (4 x 4) + (4 : 4 )
19 = 4! - 4 - (4 : 4)
20 = 4 x (4 + 44)
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 35/47
50 Laat zonder het helemaal uit te rekenen zien welke van de volgende vermenigvuldigingen
de grootste uitkomst heeft: 87 x 67; 88 x 66; 89 x 65.
Concreet
87
88
67
66
89
65
Wanneer je bovenstaande figuren uitknipt en over elkaar heen legt, kun je zien welke de grootste is.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 36/47
Modelmatig kun je het ook in één figuur tekenen:
Het geheel is 69 x 89, door de verschillende vermenigvuldigingen te kleuren in deze figuur, kun
je misschien zien welke het grootst is. Formeel is het natuurlijk helemaal precies op te lossen
(zie hierna).
Formeel
De opgaven kunnen allemaal herschreven worden naar een vermenigvuldiging met 66 x 88:
87 x 67 = 88 x 67 - 67 = 88 x 66 + 88 - 67 = 88 x 66 + 21
88 x 66 blijft hetzelfde
89 x 65 = 88 x 65 + 65 = 88 x 66 - 88 + 65 = 88 x 66 - 21
Hieruit volgt dat 87 x 67 de grootste uitkomst geeft.
51 Teken een vierkant.
a Maak er nu een vierkant van waarvan de oppervlakte gelijk is aan de helft van het oorspronkelijke vierkant.
De hoekpunten van het nieuwe vierkant zijn de middens van de oorspronkelijke zijden,
omdat zo vier driehoeken ontstaan die samen precies even groot zijn als het binnenste vierkant.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 37/47
b Hoe kun je een vierkant aanvullen zodanig dat er een vierkant uitkomt met een oppervlakte die twee keer zo groot is?
Eigenlijk dezelfde tekening, alleen is het binnenste vierkant het vierkant waarmee we beginnen.
52 Kees koopt enige aandelen Ajax voor € 5000,-. In zijn testament bepaalt hij dat de aandelen
pas na een eeuw verkocht mogen worden. Op een effectensite heeft Kees gevonden dat een
aandeel Ajax per jaar evenveel kans heeft op 60% koerswinst als op 40% koersdaling. Wat
zullen de aandelen Ajax waarschijnlijk waard zijn na 100 jaar? Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan.
1,650 x 0,650 x € 5000,- = € 649,43. Er blijft dus niet veel van de erfenis over.
53 Een groothandel in videocamera’s verpakt de camera’s in dozen van 15 x 20 x 12,5. Voor het
vervoer worden grotere dozen gebruikt, waarin 12 dozen met videocamera’s passen. Welke
maten kunnen de grotere dozen hebben? Welke van deze dozen is het meest economisch?
Concreet
Als je 12 kleine doosjes in een grote doos doet, moet je die doosjes stapelen. Dat kan in drie lagen van vier: 2 x 2 x 3, of in twee lagen van zes op een rij: 1 x 2 x 6. Hoe je ook stapelt, de inhoud
van de grote dozen is natuurlijk 12 keer die van een kleine doos: 12 x 15 x 20 x 12,5 = 45.000. In
de tabel hieronder zie je de mogelijke afmetingen van de grote dozen:
Stapeling: 2 x 3 x 2
Stapeling: 1 x 2 x 6
2 x 15; 3 x 20; 2 x 12,5; formaat: 30 x 60 x 25
15 x 40 x 75
2 x 15; 3 x 12,5; 2 x 20; formaat: 30 x 37,5 x 40
15 x 25 x 120
2 x 20; 3 x 15; 2 x 12,5; formaat: 40 x 45 x 25
20 x 30 x 75
20 x 25 x 90
12,5 x 40 x 90
12,5 x 30 x 120
De voordeligste doos is de doos met de kleinste oppervlakte – die bestaat immers uit het minste materiaal. In Excel maken we een sheet met de oppervlakte van de zijvlakken van de dozen:
l
b
h
oppervlakte
30
60
25
8100
30
37,5
40
7650
40
45
25
7850
15
40
75
9450
15
25
120
10.350
20
30
75
8700
20
25
90
9100
12,5
40
90
10.450
12,5
30
120
10.950
In de tweede rij staat het meest economische model: 30 x 37,5 x 40.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 38/47
54 Bereken zonder eerst tussen haakjes alles uit te rekenen:
(338 x 338) : (338 + 338) =
Formeel
a×a
a
Je ziet dat dit een vorm is van a+a = (teller en noemer delen door a) 2 .
338 : 2 = 111
16
55 Door de storm is een hoge boom naast de school op 9 meter hoogte afgebroken. Het bovenste stuk hangt nog ternauwernood aan de stam. De top van de boom raakt op 12 meter
van de stam de grond. Hoe hoog was de boom?
?
9
12
Concreet
Wanneer je dit naar verhouding tekent, zou je het na kunnen meten.
Formeel
√
Gebruik de stelling van Pythagoras. Afgebroken stuk = (92 + 122 ) = 225 .
Het afgebroken stuk was dus 15 meter. De totale boom was dus 15 + 9 = 24 meter.
56 Maak met de gegeven vijf getallen en de bewerkingen +, -, x en : een opgave zodanig dat er
0 uitkomt. Alle getallen moet je één keer gebruiken. Dat geldt ook voor de bewerkingen.
Haakjes mag je zoveel gebruiken als je wilt.
a 10, 18, 3, 9 en 44.
b 28, 5, 19, 6 en 7.
c Ontwerp zelf groepen getallen waarvoor dit werkt.
a (44 + 10) - (18 : 3 x 9) = 0
b (28 x 6) : 7 - (19 + 5) = 0
c Zelf maken en controleren.
57 Francien heeft een houten kubus met een ribbe van 40 cm. Zij heeft deze helemaal rood
geverfd. Daarvoor gebruikte zij 54 cl verf. Nu zaagt zij de kubus in 27 kubussen. Hoeveel
centiliter verf heeft Francien nodig om alle ongeverfde vlakken ook rood te verven? Maakt
het wat uit of alle blokjes even groot zijn?
Francien zaagt 27 kubusjes. Die hebben in totaal 27 x 6 = 162 zijvlakken. Daarvan zijn er al 6 x
9 = 54 geschilderd. Dat zijn de zijvlakken die eerst onderdeel waren van het grote zijvlak. Voor
deze 54 vlakken was 54 cl verf nodig. Voor de resterende 162 - 54 = 108 zijvlakken zal dus 108 cl
nodig zijn.
Als niet alle blokjes even groot zijn, zijn het niet allemaal kubussen meer. Voor de hoeveelheid
verf maakt het geen verschil.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 39/47
58 Figuur PQRS is een vlieger. Teken een assenstelsel met O op het snijpunt van de diagonalen van de vlieger. De assen kies je precies langs de diagonalen met de hoekpunten P (-3,0),
Q (0,-4), R (3,0) en S (0,2). Bereken de middens A, B, C en D van de zijden. Toon aan dat
ABCD een rechthoek is.
P
S
3
2
3
4
R
Q
Concreet
Dit kun je aanschouwelijk maken door dit daadwerkelijk uit te tekenen.
Teken in het assenstelsel de aangegeven punten P (-3,0), Q (0,-4), R (3,0) en S (0,2).
Vervolgens teken je de middens A, B, C en D en zie je inderdaad dat deze een rechthoek vormen. Om dit te bewijzen is er een formele redenering nodig.
Formeel
Als A = midden PS, B midden SR, C midden QR en D midden QP, dan zijn de coördinaten van
de middens respectievelijk: (-1,5;1); (1,5;1); (1,5;-2) en (-1,5;-2). AD en BC lopen evenwijdig
doordat de x-coördinaten respectievelijk -1,5 en 1,5 zijn. Voor AB en CD geldt dat de coördinaten op de y-as 1 en -2 zijn. Ook nu geldt evenwijdigheid. We moeten nu nog bewijzen dat een
van de hoeken loodrecht is. Maar dat zien we uit de coördinaten heel duidelijk. ABCD is dus
een rechthoek.
59 Een werst is een oude Russische afstandsmaat. Een werst is 1066,78 meter en wordt verdeeld in 500 sazjen. Napoleon legde in 1814 ongeveer 984 werst en 347 sazjen af. Hoeveel
kilometer was dat?
Modelmatig
Met een verhoudingstabel:
werst
1
984
meter
1066,78
2,13
sazjen
500
1
1.049.711,52
740,35
347
984 werst + 347 sazjen = 1.049.711,52 meter + 740,35 meter = 1.050.451,87 meter
Het antwoord is dus 1050,45 km.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 40/47
Formeel
De berekening kan directer:
984 347
500 x 1,06678 km = 1050,45 km
60 Drie zussen zijn samen 189 jaar oud. De oudste zus is 2 jaar ouder dan de zus onder haar. De
jongste is weer 5 jaar jonger dan de middelste. Hoe oud zijn de drie zussen?
Concreet
Samen zijn de drie zussen 189 jaar. De gemiddelde leeftijd is dus 189 : 3 = 63 jaar oud. Vervolgens gaan we door proberen uitvogelen hoe oud iedere zus kan zijn om te voldoen aan de
omschrijving.
Dit gaat het gemakkelijkst geordend in een tabel (en dus modelmatig):
Jongste
Middelste
Oudste
Samen
63
63
63
189
62
63
64
189
61
63
65
189
60
63
66
189
60
64
65
189
59
64
66
189
Formeel
O + M + J = 189
O=M+2
J=M-5
M + 2 + M + M - 5 = 189
3M - 3 = 189
3M = 192
M = 64
O = 66
J = 59
61 De lichtsterkte (in watt/m²) van een lamp is omgekeerd evenredig met het kwadraat van
de afstand tot de lichtbron. Stel je hebt een bureaulampje van 60 watt. De hoogte van deze
bureaulamp is 0,6 m.
a Hoeveel zou het vermogen moeten bedragen als je de bureaulamp wilt vervangen door
een lamp hangend aan het plafond, recht boven je bureau en de lichtsterkte op je bureau moet gelijk blijven (als de lamp op een hoogte van 1,4 m vanaf je bureau hangt)?
b Hoe sterk moet een plafonnière zijn, die 2 m boven het bureau hangt?
c Teken de grafiek die voor dit probleem alle oplossingen in beeld brengt.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 41/47
wattage
a De formule die bij deze omgekeerde evenredigheid hoort is: lichtsterkte = af stand2
In het kort: S = W
a2 .
Bij een lamp van 60 watt en een afstand van 0,6 m hoort dan een lichtsterkte van
60 : 0,36 = 167.
W
De vervolgvraag is dan: voor welke W geldt: 167 = 1,4×1,4?
Invullen levert dat W = 1,96 x 167 = 327,32. De nieuwe lamp moet dus 327,32 watt zijn.
W
b Voor welke W geldt 167 = 2×2
?
W = 4 x 167 = 668. De lamp moet dus 668 watt zijn.
c De grafiek van de formule bij constante W ziet eruit als in het plaatje hierna.
250
lichtsterkte 200
150
100
50
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
afstand 3,5
4
4,5
5
De lichtsterkte (op de verticale as) wordt (snel) kleiner als de afstand groter wordt. Deze
grafiek heeft de vorm van een hyperbool.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 42/47
De grafiek die in de opgave wordt gevraagd is de grafiek van W = S x a2, waarbij S constant
is, in dit geval 167. Deze grafiek heeft de vorm van een hyperbool:
5000
4000
wattage 3000
2000
1000
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
afstand 2
3
4
5
We gebruiken alleen de rechterhelft, want afstand kan niet negatief worden. Je ziet dat het
wattage steeds groter moet zijn als de afstand toeneemt.
62 Stel je telefoonabonnement past zich automatisch aan je belgedrag aan. Wanneer je over
je bundel heen komt, wordt je bundel automatisch verhoogd tot de volgende bundel. De
kosten per minuut zijn dan namelijk goedkoper (hoe meer je belt, des te goedkoper het
wordt).
De kosten voor de verschillende bundels zijn als volgt:
Bundel
Kosten per maand (excl. btw)
Laag: tot 150 belminuten
€ 14,75
Middel: 150 - 300 belminuten
€ 24,25
Hoog: 300 - 450 belminuten
€ 31,50
Exclusief: 450 - 600 belminuten
€ 35,95
Zet de waarden uit de tabel om in een grafiek. Maak een keuze uit: staafdiagram, lijngrafiek
of cirkeldiagram.
a Voor welk soort grafiek heb je gekozen? Waarom?
b Is deze grafiek discreet of continu?
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 43/47
(kosten in euro) € →
35
30
25
20
15
10
5
0 150300 450600
(aantal minuten per maand) →
a De grafiek is een soort trap, waarbij het verschil in hoogte tussen de treden steeds kleiner
wordt. Het is een histogram.
b Binnen een bepaalde bundel zijn de kosten constant. Aan het eind van de bundel is er een
sprong, maar er is geen moment dat er voor een bepaald aantal minuten geen waarde is. Er
is dus sprake van een continue grafiek.
63 Jenny uit groep 8 is bezig met een tangram als ze ineens zegt: die kleine driehoek is de helft
van die andere. De juf wil erop inspelen en vraagt: ‘Bedoel je dan de oppervlakte of de
hoogte?’
a Jenny kijkt vragend. Wat vind jij van de vraag van de juf?
b Wat is de vergrotingsfactor van de kleinste driehoek ten opzichte van de driehoek die
qua oppervlakte het dubbele is?
c Welke driehoeken had de juffrouw beter als onderwerp van haar vragen kunnen nemen?
d Welke driehoeken hebben dezelfde relatie als de driehoeken waar Jenny oorspronkelijk
mee aan de slag was?
a
c
a
c
b
a Het is goed dat de juf probeert Jenny na te laten denken over wat ze zegt. Hoogte is echter
niet het tegengestelde van oppervlakte. Een betere vraag was geweest om te vragen welke
driehoeken Jenny bedoelde. Er zijn drie formaten driehoeken. In de tekening aangegeven
met a, b en c. Driehoek c is de helft van driehoek b als het gaat om de oppervlakte. Driehoek
c is echter ook de helft van driehoek a als het gaat om de lengte van de zijden.
√
b Om van c naar b te gaan is de vergrotingsfactor 2 . (Om van c naar a te gaan is de vergrotingsfactor 2.)
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 44/47
c De juf had op grond van het voorafgaande dus beter Jenny kunnen richten op driehoek a.
Daardoor zou ze de wortels vermeden hebben.
d Driehoek c : driehoek b, zoals driehoek b : driehoek a.
64 Van een rij is bekend dat de som van de eerste n termen gelijk is aan 544. De eerste vier getallen uit de rij zijn 16, 18, 20 en 22. Hoe groot is n?
De rij is dus 16, 18, 20, 22, 24, …
Concreet
Het handigste is hier om te proberen. Stel dat n = 15. De vijftiende term is dan 44. De totale
som van alle vijftien termen is 7,5 x 60 = 450 (formule van Gauss = formele manier om de termen op te tellen). Dat is nog te weinig. Maar we zitten wel in de buurt. We missen nog 94, en
dat is precies 46 + 48, de twee volgende termen uit de rij. Dus n = 17.
65 Een wieleramateur begint na de vakantie te trainen. Zijn schema ziet er als volgt uit:
Dag 1: 7 km
Dag 2: 11 km
Dag 3: 15 km
Enzovoort.
Hoeveel km heeft hij gereden na 12 trainingsdagen?
De rij is 7, 11, 15, …
Uit de regelmaat kunnen we afleiden dat hij op de 12e trainingsdag 51 km rijdt.
Gebruiken we weer de formule dan blijkt 12
2 x (7 + 51) = 348.
66 In het café wordt een spel gespeeld met een witte en een zwarte dobbelsteen. De score
wordt berekend door het aantal ogen van de witte min het aantal ogen van de zwarte dobbelsteen te nemen.
a Wat is de maximale score en wat is de minimale?
b Wat is de kans op een score van 25 na vijf worpen?
Maximale score: 6 - 1 = 5
Minimale score: 1 - 6 = -5
De kans op 25 na vijf worpen betekent dat je elke worp het maximale hebt gegooid. De kans op
1
1
1
1
1
1
15
1
5 is 36
. De kans om dat 5 keer te doen is 36
x 36
x 36
x 36
x 36
= 36
= 60.466.176
= 1,65 x 10-8.
Dit is een heel kleine kans.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 45/47
67 Het bestuur van een school is bezorgd over de slechte verhouding tussen het aantal jonge
leerkrachten (jonger dan 30) en het aantal oudere. Men besluit het aannamebeleid erop
te richten de huidige verhouding van 1 : 4,5 te laten veranderen in 1 : 3,5. Op dit moment
bestaat het personeel uit 99 mensen. Hoeveel oudere en jonge leerkrachten zijn er nu, en
hoeveel gaan dat er worden als het beleid werkt?
Modelmatig
Huidige situatie
Aantal jonge docenten
1
2
18
Totaalaantal docenten
5,5 ( = 4,5 + 1)
11
99
Aantal jonge docenten
1
2
22
Totaalaantal docenten
4,5 ( = 3,5 + 1)
9
99
Gewenste situatie
Formeel
Oud beleid: 18 jonge docenten (99 : 5,5) ; 81 (18 x 4,5) oudere docenten.
Nieuw beleid: 22 jonge docenten (99 : 4,5); 77 oudere docenten.
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 46/47
Illustratieverantwoording
pagina
8 Reclamefolder New York Pizza, 2011
10 images.fanpop.com/images/image_uploads/Madurodam--thenetherlands-663387_1024_­
768.jpg
15 © Martine van Schaik
16 de Volkskrant, 10 maart 2011 (boven), environnement.ecole.free.fr/images_5/charles_­
Perrault_1.jpg (onder, links), www.hcandersenhomepage.dk/kaerlighed/hans-christian-andersen.jpg (onder, midden), content.answcdn.com/main/content/img/getty/7/8/3245778.jpg
­(onder, rechts)
17 © Martine van Schaik
30 forum.scooterforum.net/forum/f98/ervaringen-technischetekenprogrammas-43826/index2.
html
33 © Martine van Schaik
Uitwerkingen van de opgaven bij het repertoire bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 47/47