SamvatVBH1.pps

Algebraïsch oplossen van tweedegraadsvergelijkingen
1 het type x² = getal
2 ontbinden in factoren
3 de abc-formule
1.1
1 x² = getal
x = √getal
v x = - √getal
vb.1
x² = 7
x = √7 v x = - √7
vb.2
x² = -16
x = √-16  k.n. heeft dus geen oplossingen
vb.3
(x + 5)² = 16
x + 5 = √16 v x + 5 = - √16
x+5=4
v x + 5 = -4
x=4–5
v x = -4 – 5
x = -1
v x = -9
a x² = positief getal
2 oplossingen
b x² = 0
x = 0  1 oplossing
c x² = negatief getal
k.n.  geen oplossing
1.1
2 Ontbind in factoren
a
b
c
d
opgeteld = -8
product = +15
maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengen
vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijk
ontbind het linkerlid in factoren
A·B = 0 A=0 v B = 0
voorbeeld 1
x² - 3x = 5x – 15
x² - 3x – 5x + 15 = 0
x² - 8x + 15 = 0
( x – 3 )( x – 5 ) = 0
x–3=0 v x–5=0
x=3 v x=5
prod=+15
+1 +15
-1
+3
-15
+5
-3
-5
1.1
3 De abc-formule
• Bij kwadratische vergelijkingen kun je de
oplossing berekenen met de abc – formule
als ontbinden in factoren niet lukt.
• de vergelijking eerst gelijk aan 0 stellen
• x = - b + √D v x = - b - √D
2a
2a
• D = b² - 4ac
• D > 0  2 oplossingen
• D = 0  1 oplossing
• D < 0  0 oplossingen
1.1
voorbeeld
3x² - 4x + 1 = 0
a=3
b = -4
c=1
D = (-4)² - 4 · 3 · 1
D = 16 – 12
D = 4 (D > 0  2 oplossingen)
x = --4 + √4 v x = --4 - √4
2·3
2·3
x =4+2
v x=4–2
6
6
x = 6/6 = 1 v x = 2/6 = 1/3
opgave 6a
( x + 3 )² = 16x
( x + 3 )( x + 3 ) = 16x
x² + 6x + 9 – 16x = 0
x² - 10x + 9 = 0
( x – 1 )( x – 9 ) = 0
x–1=0 v x–9=0
x=1 v x=9
prod.= +9
+1 +9
-1
+3
-9
+3
-3
-3
opgave 6b
( 2x + 3 )² = -16
heeft geen oplossing, want een kwadraat is nooit negatief
opgave 6h
( x + 3 )² + ( x + 2 )² = 25
prod.= -6
(x² + 6x + 9) + (x² + 4x + 4) – 25 = 0 +1 -6
2x² + 10x - 12 = 0
+1
-1
+6
x² + 5x - 6 = 0
( x - 1 )( x + 6 ) = 0
x-1=0 v x+6=0
x=1
v
x = -6
Vergelijkingen met een parameter
in de vergelijking -x² + 5x + p = 0 heet p een parameter
met behulp van de parameter p worden oneindig veel vergelijkingen genoteerd
je onderscheidt 3 situaties : 2 oplossingen, 1 oplossing of geen oplossing
y = -x² + 5x – 6¼
∙
∙
∙
x
x
x
y = -x² + 5x – 4
de vergelijking
-x² + 5x – 4 = 0
heeft 2 oplossingen
dus de parabool
y = -x² + 5x – 4
snijdt de x-as in 2 punten
y = -x² + 5x – 8
de vergelijking
-x² + 5x – 6¼ = 0
heeft 1 oplossing
dus de parabool
y = -x² + 5x – 6¼
raakt de x-as
de vergelijking
-x² + 5x – 8 = 0
heeft geen oplossingen
dus de parabool
y = -x² + 5x – 8
ligt geheel onder de x-as
1.1
opgave 8a
x² - 7x + p = 0
D = (-7)² - 4 · 1 · p
D = 49 – 4p
49 – 4p > 0
D>0
-4p > -49
p < 12¼
opgave 8b
2x² - 5x - p = 0
D = (-5)² - 4 · 2 · -p
D = 25 + 8p
25 + 8p > 0
D>0
8p > -25
p > -3⅛
opgave 13a
2x² + x + p = 0
D = 1² - 4 · 2 · p
D = 1 - 8p
1 - 8p < 0
D<0
-8p < -1
p>⅛
opgave 13b
px² + x + p = 0
D = 1² - 4 · p · p
D = 1 - 4p²
1 - 4p² > 0
D>0
-4p² > -1
p² < ¼
-½ < p < ½
-½ < p < 0 v 0 < p < ½
opgave 13c
2x² + px + 1 = 0
D = p² - 4 · 2 · 1
D = p² - 8
D>0
p² - 8 > 0
p² > 8
p<-√8 v p>√8
Wortels
x² = 10
x = √10 v x = - √10
GR verheffen
kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht
1 y = x en y = 10
2
plotten  intersect
√10 = √10
coördinaten v/h snijpunt

2 optie √ gebruiken
√10 = 10
√10 ≈ 3,16
(√10)² = 10
daarom heet √10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
1
2
2
x
1.2
Hogeremachtswortels
x5 = 16
5
x = √ 16
dus
√16
5
5
= 16
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p
kun je 4 verschillende situaties onderscheiden.
1.2
1 p is positief ( n = oneven )
er is één oplossing
x = p = n √ p
x³ = 3
x = 3
x ≈ 1,44
n = oneven
grafiek is
puntsymmetrisch in (0,
0)
1,44
1.2
2 p is negatief ( n = oneven )
er is één oplossing
x = p = n √ p
x³ = -3
x = -3
x ≈ -1,44
-1,44
1.2
3 p is positief ( n = even )
er zijn twee oplossingen
x = p = n √ p v x = -p = - n √ p
x4 = 3
x = 3¼
x ≈ 1,32 v x ≈ -1,32
n = even
grafiek is lijnsymmetrisch
in de y-as
-1,32
1,32
1.2
4 p is negatief ( n = even )
er zijn geen oplossingen
x4 = -3
x = -3¼
Er is geen oplossing
1.2
opgave 26a
4x4 + 153 = 53x2
4x4 – 53x2 + 153 = 0
stel x2 = p
4p2 – 53p + 153 = 0
D = (-53)2 – 4 · 4 · 153
D = 361
p = --53 ± √361
8
p = 72/8 v p = 34/8
p = 9 v p = 4¼
x2 = 9 v x2 = 4¼
x = 3 v x = -3 v x = √4¼ v x = - √4¼
Modulusvergelijkingen
er zijn 2 getallen op de getallenlijn met afstand 4 tot 0
dat zijn -4 en 4
we zeggen dat de modulus van 4 gelijk is aan 4 en
dat de modulus van -4 gelijk is aan 4
notatie : |5| = 5 en |-5| = 5
i.p.v. modulus zeggen we ook wel absolute waarde
dus de absolute waarde van -7 is 7
|x| is de absolute waarde ofwel de modulus van x
|x| is de afstand van het getal x tot o op de getallenlijn
|x| =
afstand = 4
-4
afstand = 4
0
-4
x als x ≥ 0
-x als x < 0
1.2
y
y=8
opgave 28a
8
los grafisch op :
6
4
y = | 2x - 1 |
2
-3½-3
-2
-1
1
-2
los algebraïsch op :
| 2x - 1 | = 8
2x – 1 = 8 v 2x – 1 = -8
2x = 9
v 2x = -7
x = 4½ v x = -3½
-4
y = 2x - 1
-6
2
3
4
4½
x
Wortelvergelijkingen oplossen
opgave 33a
2x + √x = 10
√x = 10 – 2x
x = (10 – 2x)2
x = 100 – 40x + 4x2
-4x2 + 40x + x – 100 = 0
-4x2 + 41x – 100 = 0
D = (41)2 – 4 · -4 · -100
D = 81
-4 +/- √81
x=
-8
isoleer de wortelvorm
kwadrateer het linkeren het rechterlid
los de vergelijking op
controleer of de
oplossingen kloppen
x = 6¼ v x = 4
voldoet niet
voldoet
1.3
opgave 33b
√(x + 12) = x
x + 12 = x2
-x2 + x + 12 = 0
x2 – x – 12 = 0
(x – 4)(x + 3) = 0
x–4=0 v x+3=0
x = 4 v x = -3
voldoet
voldoet niet
opgave 33c
2x + √x = 6
√x = 6 – 2x
x = (6 – 2x)2
x = 36 – 24x + 4x2
-4x2 + 24x + x – 36 = 0
-4x2 + 25x – 36 = 0
D = (25)2 – 4 · -4 · -36
D = 49
-25 ± √49
x=
-8
x = 4 v x = 2¼
voldoet niet
voldoet
opgave 33d
10 - x √x = 2
-x √x = -10 + 2
-x √x = -8
x2 · x = 64
x3 = 64
x = 3 √64
x=4
voldoet
Substitutie bij wortelvergelijkingen
opgave 36a
x3 + 30 = 11x √x
x3 – 11x √x + 30 = 0
stel x √x = p
p2 – 11p + 30 = 0
(p – 6)(p – 5) = 0
p–6=0 v p–5=0
p=6 v p=5
x √x = 6 v x √x = 5
x2 · x = 36 v x2 · x = 25
x3 = 36 v x3 = 25
x = 3 √36 v x = 3 √25
voldoet
-6 - 5 = -11 en -6 · -5 = 30
kwadraat
voldoet
1.3
Gebroken vergelijkingen
Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen
A
B
A
B
A
B
A
B
= 0
geeft A = 0
C
= B geeft A = C
A
=
geeft A = 0 v B = C
C
C
=
geeft AD = BC
D
0
=0
1
1
= kan niet
0
0
= kan niet
0
0
=0
5
een breuk is nul als de teller nul is en
de noemer niet
controleer of geen
noemer nul wordt
1.3
opgave 41a
opgave 41d
3x2 – 10
6x2 – 12
x2 + 1
3x2 – 10
x2 + 1
voldoet
= 2
=
2
1
kruistabel
= 1
(x2 – 1)2
4
6x2 – 12
=
x4 – 2x2 + 1
3
3x2 – 10
2
6x2 – 12
4
x2 + 1
1
x4 – 2x2 + 1
3
(3x2 – 10) · 1 = (x2 + 1) · 2
3x2 – 10 = 2x2 + 2
3x2 – 2x2 = 10 + 2
x2 = 12
x = √12 v x = - √12
stel x2 = p
D = 262 – 4 · -4 · -40
D = 36
p = (-26 - √36) : -8 = 4
v p = (-26 +√36) : -8 = 2½
(6x2 – 12) · 3 = (x4 – 2x2 + 1) · 4
18x2 – 36 = 4x4 – 8x2 + 4
-4x4 + 18x2 + 8x2 – 36 – 4 = 0
-4x4 + 26x2 - 40 = 0
-4p2 + 26p – 40 = 0
voldoet
p = 4 v p = 2½
x2 = 4 v x2 = 2½
x = 2 v x = -2 v x = √2½ v x = - √2½
algemene vorm
ax + by = c
grafiek is een rechte lijn
Lineaire vergelijking met twee variabelen
vb.1 2y + 3x = 8
om de grafiek te plotten moet je eerst y
vrijmaken
2y = -3x + 8
:2
y = -1½x + 4
voer in y1 = -1½x + 4
je kunt de grafiek ook tekenen zonder de
formule in te voeren in de GR
snijpunt met de y-as is (0, 4)
rc = -1½
of je gebruikt de formule 2y + 3x = 8
je maakt een tabel met 2 punten
vul bijv. x = 0 en x = 2 in
dan krijg je de punten (0, 4) en (2, 1)
teken de punten en de lijn
y
4●
-1½
3
●
2
●
1
-1
0
1
2
3
4
-1
1.4
x
Stelsels vergelijkingen
vb.2 gegeven zijn de lijnen
f : 2y + x = 4 en
g : y – 3x = -5
het punt (2, 1) is het snijpunt van de lijnen
of (2, 1) is de oplossing van 2y + x = 4 als
van y – 3x = -5
we zeggen dat (2, 1) de oplossing is van het
stelsel
2y + x = 4
y – 3x = -5
y
4
g
3
f
2
●
1
-1
0
1
2
3
4
-1
1.4
x
Algebraïsch oplossen van een stelsel vergelijkingen
2y + x = 4
y – 3x = -5
+-
3
1
stap 1: kan elimineren door optellen?
stap 2: kan elimineren door aftrekken?
y3y+–4x
2x==9-1
nee
x geëlimineerd
6y + 3x = 12
y – 3x = -5
7y
y
stap 3: kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen
en dan optellen of aftrekken ?
+
= 7
= 1
maakt niet uit welke
vergelijking
invullen
:7
y=1
2y + x = 4
2·1+x=4
2+x=4
x=2
-2
de oplossing is (2, 1)
1.4
opgave 49a
5x + 2y = 69
x + 3y = -7
3
2
stap 1: kan elimineren door optellen ?
-+
stap 2: kan elimineren door aftrekken ?
6x +
4x
- y5y= =7662
nee
y geëlimineerd
15x + 6y = 207
2x + 6y = -14
13x
x
= 221
= 17
maakt niet uit welke
vergelijking
stap 3: kan elimineren door eerst te vermenigvuldigen
en dan optellen of aftrekken ?
-
invullen
: 13
x = 17
x + 3y = -7
17 + 3y = -7
3y = -24
y = -8
-17
:3
de oplossing is (17, -8)
opgave 52
y = ax² + c gaat door de punten (1, 8) en (2, 17)
(1, 8) invullen geeft
8 = a · 1² + c
8=a+c
a+c=8
(2, 17) invullen geeft
17 = a · 2² + c
17 = 4a + c
4a + c = 17
a+c=8
4a + c = 17
-3a = -9
a = 3
a+c=8
a=3
3+c=8
c = 5
elimineren door aftrekken
: -3
invullen
-3
dus a = 3 en c = 5
y = 3x2 + 5
opgave 55
y = ax² + bx + c gaat door de punten (-2, -10) , (0, 4) en (3, -5)
(0, 4) invullen geeft
4=c
c=4
(-2, -10) invullen geeft
-10 = 4a – 2b + 4
4a – 2b = -14
(3, -5) invullen geeft
-5 = 9a + 3b + 4
9a + 3b = -9
dus a = -2 , b = 3 en c = 4
y = -2x2 + 3x + 4
4a – 2b = -14
9a + 3b = -9
12a – 6b = -42
18a + 6b = -18
30a
a
= -60
= -2
3
2
elimineren door
optellen
+
: 30
9a + 3b = -9
a = -2
9 · -2 + 3b = -9
-18 + 3b = -9
3b = 9
b=3
invullen
+18
:3
opgave 57a
2x + 2y = 9
y = 4x - 3
2x + 2(4x – 3) = 9
2x + 8x – 6 = 9
10x – 6 = 9
+6
10x = 15
: 10
x = 1½
is x of y al vrijgemaakt dan kun je een stelsel
oplossen m.b.v. elimineren door substitutie
invullen
x = 1½
y = 4x - 3
y = 4 · 1½ - 3
y=6-3
y=3
de oplossing is (1½, 3)
De vergelijking x² = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen
1 algebraïsch
x² = 2x + 3
x² - 2x – 3 = 0
( x + 1 )( x - 3 ) = 0
x+1=0 v x-3=0
x = -1 v x = 3
prod= -3
+1
-3
-1
+3
1.5
f(x) = 0  nulpunten berekenen
optie zero of ROOT
2 grafisch-numeriek (m.b.v. GR)
de oplossingen van de vergelijking x² = 2x + 3 zijn
de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = x² en
g(x) = 2x + 3
voer in y1 = x² en y2 = 2x + 3
optie intersect geeft
x = -1 v x = 3
1.5
y
10
y1
Grafisch-numeriek
8
x² = 2x + 3
y1 = x²
y2 = 2x + 3
optie intersect
x = -1 v x = 3
6
4
2
-4
-3
-2
-1
-1
0
1
2
33
4
x
-2
y2
-4
-6
1.5
opgave 65c
|x2 – 4x| = |x2 + 2x - 3|
x2 – 4x = x2 + 2x – 3 v x2 – 4x = -(x2 + 2x – 3)
x2 – x2 – 4x – 2x + 3 = 0 v x2 – 4x = -x2 – 2x + 3
-6x = -3 v x2 + x2 – 4x + 2x – 3 = 0
x = ½ v 2x2 – 2x – 3 = 0
x = ½ v x ≈ 1,82 v x ≈ -0,82
D = (-2)2 – 4 · 2 · -3
D = 4 + 24 = 26
x = (--2 + √26) : 4
v x = (--2 - √26) : 4
x = 1,82 v x = -0,82
|x2 – 4x|
|x2 + 2x - 3|
-0,77
0,5
1,77
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden
1 los de vergelijking f(x) = g(x) op
2 schets de grafieken van f en g
3 lees uit de schets de oplossingen af
Los op:
y
x² < 2x + 3
f(x) = x²
g(x) = 2x + 3
f(x) = g(x)
x² = 2x + 3
x²- 2x – 3 = 0
( x + 1 )( x - 3 ) = 0
x = -1 v x = 3
aflezen uit de schets
-1 < x < 3
f
lees het antwoord af op de x-as
f(x) < g(x) wanneer ligt de
grafiek van f onder die van g
g
-1
0
3
x
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) < g(x) waarbij je niet
algebraïsch te werk hoeft te gaan, mag je de vergelijking f(x) = g(x)
grafisch-numeriek oplossen.
Los op:
y
x³ - 2x² > 3x – 4
voer in
y1 = x³ - 2x²
y2 = 3x - 4
optie intersect
x ≈ 1,56 v x = 1 v x ≈ 2,56
aflezen uit de schets
-1,56 < x < 1 v x > 2,56
y1
1
-1,56
0
y2
lees het antwoord af op de x-as
f(x) > g(x) wanneer ligt de grafiek
van f boven die van g
2,56
x
opgave 68c
Wanneer ligt de dalparabool
onder de bergparabool ?
x – 4x ≤ -x – 5x + 6
x2 – 4x = -x2 – 5x + 6
x2 + x2 – 4x + 5x – 6 = 0
2x2 + x – 6 = 0
D = 12 – 4 · 2 · -6
D = 1 + 48 = 49
x = (-1 ± √49) : 4
x = 1,5 v x = -2
-2 ≤ x ≤ 1,5
2
2
-2
1,5
opgave 69c
|x3 – 10x| ≤ 2x + 8
-3,24 ≤ x ≤ -3,06 v
-0,69 ≤ x ≤ 1,24 v
2 ≤ x ≤ 3,76
opgave 72a
x2 + (p2 – 2)x + 12¼ = 0
stel
D = b2 – 4 · 1 · 12¼
2
p
–
2=b
D = b2 – 49
b2 – 49 > 0
D>0
b2 = 49
b = 7 v b = -7
p2 – 2 = 7 v p2 – 2 = -7
p2 = 9 v p2 = -5
p = 3 v p = -3 geen oplossing
dus p < -3 v p > 3
-3
3
p