Hoorcollege bij het SBI energie-innnovatieproject Inleiding

Hoorcollege bij het SBI energie-innnovatieproject
Inleiding Windenergie
Basisbegrippen van warmte en stroming zijn nodig om het hoofdstuk over windenergie in
het boek van Andrews en Jelley beter te begrijpen.
Warmte
De temperatuur T van een materiaal is een maat voor de interne energie U , de warmte,
die in dat materiaal is opgeslagen. De warmtetoename voor een bepaalde temperatuurtoename hangt af van de specifieke warmte c van dat materiaal met eenheid [J kg−1 K−1 ];
(1)
∆U/M = c∆T.
Bij een faseovergang neemt de interne energie toe zonder dat de temperatuur toeneemt.
Deze latente warmte L [J kg−1 ] is specifiek voor een materiaal en voor de faseovergang;
(2)
∆U/M = L.
Warmtestroom is gedefinieerd als de hoeveelheid thermische energie die per tijdseenheid
een oppervlak passeert,
(3)
Q = ∆U/∆t.
We hebben te maken met drie vormen van warmtetransport:
Geleiding. De warmtestroom, door een geleider met dwarsoppervlak A en lengte d, van
één punt met temperatuur T1 naar een ander met T2 < T1 is gegeven door
(4)
Q = kA
(T1 − T2 )
,
d
met k de warmtegeleidingscoëfficient [J s−1 m−1 K−1 ] van het materiaal van de geleider.
Warmtestromen worden in stand gehouden door temperatuurverschillen. Deze warmtestromen zijn stationair als het temperatuurverschil constant is. Zonder verhitting en
koeling ontstaat er een thermisch evenwicht; het temperatuurverschil verdwijnt.
De tijdschaal t, waarop dit gebeurt, kunnen we vinden met een formule die we afleiden
met behulp van een dimensie-analyse. We postuleren
(5)
t ≈ xα
ρc
,
k
waarbij de tijd (a) op een onbekende manier afhangt van de afstand x waarover het temperatuurverschil bestaat (of waarover een isotherm zich verplaatst), (b) evenredig is met
1
de hoeveelheid warmte die moet worden verspreid, ρc∆T , en (c) omgekeerd evenredig is
met de warmtestroom door de geleider, k∆T . Uit de dimensies van ρc [kg m−3 J kg−1 K−1 ]
en k [J s−1 m−1 K−1 ] volgt α = 2.
Convectie. De verplaatsing van warme lucht of vloeistof houdt volgens de definitie warmtetransport in,
(6)
Q = ρ vA cT,
met ρ de massadichtheid en, loodrecht op de verplaatsingssnelheid v, het oppervlak A
waardoor een massa ρvA per tijdseenheid stroomt.
Straling. Warmte wordt als stralingsenergie door een lichaam met oppervlak A en temperatuur T uitgezonden volgens
(7)
Qe = A σSB T 4 ,
met de emissiecoëfficient van het oppervlaktemateriaal en σSB = 5, 67 10−8 W m−2 K−4
de stralingsconstante van Stefan-Boltzmann.
Een voorbeeld van het gebruik van de stralingswet van Stefan-Boltzmann is een globale
berekening van de temperatuur op aarde als het broeikaseffect maximaal is.
De zon verwarmt direct door de atmosfeer het aardoppervlak met
(8)
QZ = 0, 7 SZ πR2 = 1, 2 1017 W,
waarbij 30 % van de zonne-energie door de atmosfeer direct wordt gereflecteerd, de zonneconstante SZ = 1, 37 kW m−2 en R de straal van de aarde. De atmosfeer wordt maximaal
opgewarmd door de totale absorptie van de infrarode warmtestraling van de aarde.
De atmosfeer beschouwen we als een dunne laag boven de aarde die warmte naar de aarde
straalt, QA , en naar de ruimte, QR . Deze warmtestromen zijn gelijk aan elkaar en, als de
temperatuur T van de atmosfeer constant is, gelijk aan de warmtestroom QZ die vanaf
de zon het aardoppervlak bereikt. Met = 1 voor de atmosfeer geldt
(9)
QR = QA = 4πR2 σT 4 = QZ .
De temperatuur van de atmosfeer volgt uit QZ en de wet van Stefan-Boltzman
QZ 1/4
(10)
} = 255 K = −18 ◦ C.
T ={
4πR2 σ
De temperatuur van de aarde volgt uit QZ + QA en de wet van Stefan-Boltzman
QZ + QA 1/4
(11)
TA = {
} = {2T 4 }1/4 = 303 K = +30 ◦ C.
4πR2 σ
Wanneer er geen broeikaseffect is en de infrarode warmtestraling van de aarde door de atmosfeer ongehinderd de ruimte in gaat, dan vinden we in deze eenvoudige berekening voor
de temperatuur op aarde dezelfde lage temperatuur als in de atmosfeer TA = −18 ◦ C. Er
is altijd al een natuurlijk broeikaseffect aanwezig geweest. Een relatief kleine verandering
kan een temperatuurverandering van enkele graden veroorzaken met dramatische effecten
voor het klimaat op aarde.
2
Stroming
De statische druk op een diepte van h onder het wateroppervlak wordt bepaald door het
gewicht van de kolom water en lucht erboven,
(12)
P = F/A = (MW + ML )g/A = hAρW g/A + P0 = ρW gh + P0 ,
met g de versnelling van de zwaartekracht, ρW de soortelijke massa van water en A het
horizontale oppervlak van de waterkolom.
Extra druk op een opgesloten vloeistof geeft overal in de vloeistof een evengrote toename
van de druk, volgens het principe van Pascal. Dit kan betekenen dat met een kleine kracht
F1 op een klein oppervlak een grote kracht F2 op een groot oppervlak wordt uitgeoefend;
(13)
F2 = A2 P =
A2
F1 .
A1
Massabehoud is de basis voor de continuı̈teitsvergelijking. We definiëren een stroombuis als een oppervlak waar geen stroming door heen gaat; deze wordt niet gekruist door
stroomlijnen. Massabehoud binnen een stationaire stroombuis wil zeggen, dat aan één
kant van de buis evenveel massa per tijdseenheid ingaat, als er aan de andere kant uitkomt,
(14)
∆M1 = ∆M2 = ρ A1 v1 ∆t = ρ A2 v2 ∆t.
Hieruit volgt voor een vloeistof met constante dichtheid ρ,
(15)
v1 A1 = v2 A2 ,
de stroomsnelheid is omgekeerd evenredig met het doorstromingsoppervlak.
Energiebehoud voor een ideale vloeistof, zonder viscositeit, is de basis voor het principe
van Bernoulli. In dezelfde stroombuis, als hierboven gebruikt, wordt aan de ingang op
het medium in de buis arbeid verricht, W = F ∆l, en aan de uitgang van de buis verricht
het medium zelf arbeid;
(16)
∆W = p1 A1 v1 ∆t − p2 A2 v2 ∆t.
De resterende arbeid wordt omgezet in potentiële energie en kinetische energie;
(17)
1
∆W = ∆M1 g(z2 − z1 ) + ∆M1 (v22 − v12 ).
2
We combineren vergelijkingen (??), (??) en (??) in
(18)
∆W
p1 − p2
1
=
= g(z2 − z1 ) + (v22 − v12 ).
∆M1
ρ
2
3
Dit levert de vergelijking van Bernoulli op,
1
p
(19)
+ gz + v 2 = const.
ρ
2
Waar de stroomsnelheid v hoog is, is de druk p laag. Zonder stroomsnelheid zien we
formule (??) voor de statische druk voor een kolomhoogte z terug.
Een toepassing vinden we in de liftkracht op een vleugel door stroming. Neem een
stroombuis met horizontale instroming, die een vleugel passeert, zo dat de lengtedoorsnede langs A1 A2 B2 B1 een hoek α naar beneden maakt ter plaatse van de vleugel. De
verandering van de verticale impuls van de stroming geeft een verticale lift op de vleugel,
∆(m vy )
= ρAB vB vBy = ρ hB l vB2 sin α,
∆t
met het effectieve oppervlak AB = lB d aan de uitgang waarbij l de vleugellengte binnen
de stroombuis en hB de verticale afmeting is waarbinnen de meeste verticale impulsverandering omvat wordt (in het boek hB = πw, met w de breedte van de vleugel).
Dit theorema van Kutta-Joukwoski wordt ook geschreven als
(20)
L = Fy =
(21)
L = ρ vB Γ l,
waarbij de circulatie Γ van de stroming is gedefinieerd als de integraal van de stroomsterkte
langs een gesloten stroomlijn. Of meer algemeen als de kringintegraal van de stroomvector,
I
(22)
Γ=
vC · ds.
C
Viscositeit of stroperigheid van een vloeistof is een maat voor de wrijving tussen twee
vloeistoflagen en is gedefinieerd als de verhouding van de sleepkracht per oppervlakte in
een vloeistof en de snelheidsgradient in die vloeistof. Als twee platen parallel aan elkaar
met verschillende snelheden in een vloeistof bewegen, dan sleept elke plaat vloeistof aan
zijn oppervlak mee door adhesie. Tussen de platen ontstaat zo een laminaire stroom met
een snelheidsgradiënt dv/dy. De sleepkracht (’drag force’) op de platen is dan,
(23)
D=µ
dv
A,
dy
met µ de dynamische viscositeitscoeëfficient.
Turbulente stroom treedt op in een buis met een grote diameter D, bij hoge snelheden en
bij kleine viscositeit, met het getal van Reynolds
(24)
Re =
ρvD
> 4000.
µ
Door turbulentie in de grenslaag met een cylinder dwars op een luchtstroom neemt voor
Re > 3 105 de sleepkracht plotseling af.
Tjeerd Ketel, 29 mei 2011
4