Baire ruimten

Faculteit Wetenschappen
Vakgroep Wiskunde
Baire ruimten
Bachelor Project I
Wouter Van Den Haute
Promotor:
Prof. Eva Colebunders
Academiejaar 2011-2012
Inhoudsopgave
1 Inleiding
2
2 Ruimten van eerste en tweede categorie
2.1 Nergens dichte delen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Delen van eerste en tweede categorie . . . . . . . . . . . . . .
2
2
4
3 Baire ruimten
3.1 Definities en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Baire Categorie Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
7
4 Baire ruimten en semicontinue functies
9
5 Toepassingen
13
5.1 Er is een continue reëelwaardige functie op [0, 1] die nergens
afleidbaar is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Principe van uniforme begrensdheid . . . . . . . . . . . . . . . 16
1
1
Inleiding
De term Baire ruimte werd voor het eerst gebruikt door Bourbaki. Baire
ruimten zijn topologische ruimten die een uitbreiding vormen van de volledig
metriseerbare ruimten. Baire bewees dit tegelijk met Osgood in 1899, respectievelijk 1897, vandaar de naam Baire ruimte.
Deze ruimten zijn belangrijk in onder andere de functionaalanalyse, omdat veel belangrijke stellingen niet de volledigheid, maar wel het Bairezijn van een ruimte gebruiken. Een voorbeeld hiervan is het Uniform Begrensdheidsprincipe, dat in het onderdeel 5: Toepassingen bewezen wordt.
Verder worden in dit project enkele karakterisaties en toepassingen van Baire
ruimten besproken.
In dit project zal X steeds een topologische ruimte zijn, tenzij anders
vermeld. Verder zal R steeds met de Euclidische topologie uitgerust zijn,
tenzij anders vermeld. Andere notaties komen overeen met de notaties uit
de cursus Topologie [1].
2
Ruimten van eerste en tweede categorie
Om Baire ruimten goed te omschrijven, is het noodzakelijk om eerst ruimten
van eerste en tweede categorie te definiëren.
2.1
Nergens dichte delen
Definitie 2.1. Zij A ⊆ X. Dan:
• A is dicht in X als cl A = X.
R
• A is nergens dicht in X als
cl A = ∅.
• A is ergens dicht in X als int cl A 6= ∅.
Eigenschap 2.2. Zij A ⊆ X, dan zijn de volgende voorwaarden equivalent:
(a) A is nergens dicht in X.
(b) X \ cl A is dicht in X.
(c) Voor elk niet-leeg open deel U ⊆ X bestaat een niet-leeg open deel
V ⊆ X zodat V ⊆ U en V ∩ A = ∅.
2
Bewijs. (a) ⇒ (b): Omdat int cl A = ∅, geldt dat
∀W ⊆ X met W open : W 6⊆ cl A,
want indien dit niet zo is, zal elk punt van W in het inwendige van cl A
liggen. Dus
∀W ⊆ X met W open : W ∩ (X \ cl A) 6= ∅.
Waardoor X \ cl A dicht is in X.
(b) ⇒ (c): Stel V = U ∩ (X \ cl A). Dan is V niet leeg wegens (b) en
V ⊆ U per definitie. Waarna (c) volgt uit
V ∩ A = U ∩ (X \ cl A) ∩ A = ∅.
(c) ⇒ (a): Als int cl A 6= ∅, dan zou voor U := int cl A elke V ⊆ U een
niet lege doorsnede hebben met A.
Voorbeelden 2.3.
• N is nergens dicht in R. Eindige delen van R zijn
nergens dicht in R.
• De lege verzameling is nergens dicht in elke topologische ruimte X, X
is altijd ergens dicht in zichzelf.
• In (X, P(X)) is elke niet lege verzameling A ergens dicht, want stel
U := A, dan zal elke V in U natuurlijk A snijden.
• In X, uitgerust met de indiscrete topologie, zal elk echt deel van X
steeds ergens dicht zijn, want voor A 6= ∅ geldt altijd
X \ cl A = X \ X = ∅.
Eigenschap 2.4. Zij A ⊆ Y ⊆ X. Als A nergens dicht is in Y , dan is A
nergens dicht in X.
Als Y open of dicht is in X en A nergens dicht is in X, dan is A nergens
dicht in Y .
Bewijs. Stel dat A nergens dicht is in Y . Zij U een niet-leeg open deel van
X. Als U ∩ Y = ∅, dan zal ook U ∩ A = ∅. Veronderstel dus dat U ∩ Y 6= ∅.
Bijgevolg is U ∩ Y ook open in Y . Wegens Eigenschap 2.2 bestaat dan een
niet-lege open W ⊆ Y zodat
W ⊆ U ∩ Y en W ∩ A = ∅.
3
Dan bestaat er ook een niet-lege open V ⊆ X, zodat
W = V ∩ Y en W ⊆ U.
Dan is W ∩ A = ∅. Door Eigenschap 2.2 is A dus ook nergens dicht in X.
Veronderstel nu dat Y open is in X en dat A nergens dicht is in X. Zij
U een niet-leeg open deel van Y , dan is U ook open in X omdat op Y de
spoortopologie van X staat. Daarom bestaat er een niet-lege open V ⊆ X
zodat
V ⊆ U en V ∩ A = ∅.
Omdat V = V ∩ Y open is in Y , is A nergens dicht in Y wegens Eigenschap
2.2.
In het geval dat Y dicht is in X en niet noodzakelijk open, neem U open
in Y . Dan U = W ∩ Y voor een open W in X, weer door de spoortopologie
te nemen van Y op X. Neem dan een niet-lege open S ⊆ X zodat S ⊆ W
en S ∩ A = ∅. Omdat V = S ∩ Y open is in Y en niet leeg door de dichtheid,
is A nergens dicht in Y .
2.2
Delen van eerste en tweede categorie
Definitie 2.5. Een verzameling A ⊆ X is van eerste categorie in X als
A=
∞
[
An ,
n=1
waar elke An nergens dicht is in X. A is van tweede categorie in X als A
niet van eerste categorie is in X.
Delen van eerste categorie noemt men ook mager, delen van tweede categorie dik. Men noemt A van eerste (tweede) categorie als A van eerste
(tweede) categorie is in zichzelf.
S
Voorbeeld 2.6. Q is mager in R omdat Q = q∈Q {q} de aftelbare unie van
nergens dichte delen van R is.
3
3.1
Baire ruimten
Definities en eigenschappen
Stelling 3.1. Voor een topologische ruimte X zijn volgende eigenschappen
equivalent:
(a) Elk niet leeg open deel van X is van tweede categorie.
4
(b) De doorsnede van een aftelbare familie open en dichte delen van X is
dicht in X.
(c) Het complement van elke deelverzameling van X van eerste categorie
in X is dicht in X.
(d) Elke aftelbare unie van gesloten verzamelingen zonder inwendige punten
in X, heeft een leeg inwendige in X.
Bewijs. (a) ⇒ (b): Zij (Dn )n een rij open en dichte
delen in X en U een
T
niet-lege open deelverzameling van X zodat U ∩ ∞
D
n = ∅. Dan
n=1
U =U\
∞
\
Dn =
n=1
∞
[
(U \ Dn ).
n=1
U is als unie van nergens dichte delen in U van eerste categorie. Een contradictie, dus is de doorsnede wel dicht in X.
(b) ⇒S(c): Zij (AT
n )n een rij gesloten nergens dichte delen in X. Dan is
∞
A
=
A := X \ ∞
n=1 (X \ An ) het complement van een verzameling van
n=1 n
eerste categorie in X. Stel nu U een niet-lege open deelverzameling van X
zodat U ∩ A = ∅. Definiëer
Vn :=
n
\
(X \ Ai ).
i=1
T
Dan is ∞
n=1 Vn de doorsnede van een rij dichte open delen in X en bijgevolg
dicht in X. Maar
∅=
6 U∩
∞
\
Vn = U ∩
n=1
∞
\
(X \ An ) = ∅.
n=1
Een contradictie, dus volgt (c).
(c) ⇒ (d): Zij A de aftelbare unie van gesloten verzamelingen zonder
inwendige punten in X. Dan is A van eerste categorie in X. Wegens (c) is
X \ A dicht in X. Dus geldt voor elke open U ⊆ X dat
U ∩ (X \ A) 6= ∅
en dan ook
U 6⊆ A.
Bijgevolg bevat A geen enkel open deel en heeft dus een leeg inwendige in X.
5
(d) ⇒ (a): Zij U een niet-leeg open deel van X. Als U van eerste categorie
zou zijn, dan zou
∞
[
U=
An
n=1
voor een rij (An )n van nergens dichte delen in U . Elke cl An heeft dan een
leeg S
inwendige punten in X wegens Eigenschap 2.4 en door (d) heeft dus
ook ∞
n=1 cl An een leeg inwendige, maar dit bevat U en heeft dus wel een
inwendige. Bijgevolg kan U niet van eerste categorie zijn.
Definitie 3.2. Een topologische ruimte X is een Baire ruimte als ze aan
(één van) de equivalente eigenschappen uit Stelling 3.1 voldoet.
Stelling 3.3. Als Y een open deelruimte is van een Baire ruimte X, dan is
Y een Baire ruimte.
Bewijs. Zij G een niet-leeg open deel van Y . Omdat Y open is in X, is G
ook open in X. Omdat X een Baire ruimte is, is G van tweede categorie.
Dus is ook Y een Baire ruimte.
Stelling 3.4. Als Y ⊆ X zodat Y dicht is in X en Y een Baire ruimte is,
dan is ook X een Baire ruimte.
Bewijs. Zij Y een dicht deel van X en veronderstel dat X geen Baire ruimte
is. Dan bevat X een niet-leeg open deel U van eerste categorie. Omdat Y
dicht is in X, is Y ∩ U niet-leeg en open in Y . Y ∩ U zit in U en is bijgevolg
van eerste categorie. Dan is ook Y geen Baire ruimte.
Stelling 3.5. Als X een Baire ruimte is, geldt voor elk niet-leeg deel A van
eerste categorie in X dat X \ A een Baire ruimte is.
Bewijs. Zij A een niet-leeg deel van eerste categorie in de Baire ruimte X.
Zij nu B van eerste categorie in X \ A. Dan is wegens Stelling 3.1 X \ A
dicht in X. B is dan ook van eerste categorie in X. Dus ook A ∪ B is van
eerste categorie in X. Bijgevolg is
X \ (A ∪ B) = (X \ A) \ B
dicht in X en daarom ook in X \ A.
Voorbeelden 3.6.
• Q is geen Baire ruimte. Immers, zij Q = {qn |n ∈
N}, een afnummering van de rationale getallen. Stel voor elke n ∈ N:
Gn = Q \ {qn }.
6
Dan is elke Gn open (want het complement is een singleton) en dicht
(want
T∞ elke open omgeving bevat oneindig veel rationalen) in Q. Maar
n=0 Gn = ∅.
• Uit de Stelling van Baire (3.8) zal volgen dat R een Baire ruimte is.
Omdat Q van eerste categorie is in X, is wegens Stelling 3.5 R \ Q ook
een Baire ruimte.
3.2
Baire Categorie Stelling
Lemma 3.7. Zij (X, d) een volledig metriseerbare ruimte en (Fn )n een dalende rij niet-lege gesloten delen van X zodat
δn := sup{d(x, y)|x, y ∈ Fn } → 0.
Dan is
T
n
Fn niet leeg.
Bewijs. Kies voor elke n een xn ∈ Fn .
Zij ε > 0 willekeurig. Bepaal n0 zodat δn0 < ε. Zij p, q > n0 willekeurig.
Dan geldt:
xp , xq ∈ Fn0 zodat d(xp , xq ) ≤ δn0 < ε.
Dus is (xn )n een Cauchyrij. Omdat X volledig is, zal (xn )n convergeren. Stel
nu xn → x.
Zij n > 0 willekeurig. Voor alle m > n geldt dan xm ∈ Fn . Dus is
(xm )m>n een rij in Fn en omdat Fn gesloten is, zal ook x ∈ Fn . We hebben
dus bewezen dat voor elke n geldt dat x ∈ Fn , en dus
\
x∈
Fn 6= ∅.
n
Volgende stelling staat bekend als de “Baire Categorie Stelling”:
Stelling 3.8 (Baire). Elke lokaal compacte Hausdorff ruimte X is een Baire
ruimte. Elke volledig metriseerbare ruimte X is een Baire ruimte.
Bewijs. Zij (Dn )n een rij van open en dichte delen in X en zij U1 een nietlege open deelverzameling van X. Omdat X lokaal compact Hausdorff is, is
X een T3 ruimte en dus regulier (zie Hoofdstuk 4 uit [1]). Er bestaat daarom
een niet-leeg deel U2 , open in X zodat cl U2 compact is en
cl U2 ⊆ U1 ∩ D1 .
7
Definiëer inductief voor n > 1 een niet-lege Un , open in X zodat cl Un
compact is en
cl Un ⊆ Un−1 ∩ Dn−1 .
Dan is (cl Un )n≥2 een dalende rij niet-lege gesloten delen in de compacte
ruimte U2 . Bijgevolg is
∞
\
cl Un 6= ∅.
n=2
Omdat
∞
\
cl Un ⊆ U1 ∩ (
n=2
∞
\
Dn ),
n=1
is X een Baire ruimte.
Als X volledig metriseerbaar is, zij dan (Dn )n een rij van open en dichte
delen in X en zij U1 een niet-lege open deelverzameling van X. Dan bestaat
een gesloten bol
U2 := B ∗ (x1 , r1 ) ⊂ U1 ∩ D1
voor een x1 ∈ X, r1 > 0. Definiëer opnieuw een rij (Un )n≥2 , nu als
Un := B ∗ (xn , rn )
zodat
Un ⊂ int (Un−1 ) ∩ Dn−1
en 0 < rn < 21 rn−1 voor n > 1. Dan is (Un )n≥2 een dalende rij niet-lege
gesloten
straal naar 0Tconvergeert. Wegens vorig lemma
T∞ bollen waarvanTde
∞
is n=2 Un 6= ∅. Omdat n=2 Un ⊆ U1 ∩ ( ∞
n=1 Dn ), is X ook in dit geval een
Baire ruimte.
Uit deze stelling volgt dat R een Baire ruimte is, want R is zowel volledig
metriseerbaar als lokaal compact Hausdorff. Meer algemeen is Rn Baire.
Gevolg 3.9. Omdat Q geen Baire ruimte is, maar wel metriseerbaar, volgt
uit de Stelling van Baire dat Q niet volledig is voor de Euclidische metriek,
want Q is niet volledig metriseerbaar en daarom zelfs voor geen enkele metriek
volledig. Eveneens volgt dat Q niet lokaal compact is.
Opmerking 3.10. De klasse van Baire ruimten omvat strikt de unie van
de klassen van lokaal compacte Hausdorff ruimten en volledig metriseerbare
ruimten, zoals volgend voorbeeld aantoont.
8
Voorbeeld 3.11. Uit de Baire Categorie Stelling volgt dat R2 een Baire
ruimte is, dus wegens Stelling 3.3 is
Y := R2 \ {(x, 0)|x ∈ R}
als open deel van R2 ook Baire. Zij nu
X := Y ∪ {(x, 0)|x ∈ Q}.
Door Stelling 3.4 is ook X een Baire ruimte.
Echter, X is metriseerbaar, want het is een deel van R2 , maar niet
volledig, want de Cauchyrij (π, n1 )n convergeert niet in X. X is ook niet
lokaal compact, want elke bol rond (0, 0) (en bijgevolg elke omgeving van
(0, 0)) bevat een rij zonder convergente deelrij (want ze bevat overaftelbaar
veel koppels (x, 0) met x irrationaal).
X is daarom een Baire ruimte die noch volledig metriseerbaar, noch lokaal
compact Hausdorff is.
Gevolg 3.12. Uit dit voorbeeld volgt ook dat een willekeurig of zelfs gesloten
deel van een Baire ruimte niet noodzakelijk een Baire ruimte is, want
Z := {(q, 0)|q ∈ Q}
is gesloten in X, maar Z is net als Q geen Baire ruimte.
4
Baire ruimten en semicontinue functies
Baire was de eerste die semicontinue functies definiëerde en bestudeerde.
Zoals de twee stellingen in dit onderdeel zullen aantonen, bestaat er een
sterk verband tussen Baire ruimten en semicontinue functies.
Definitie 4.1. Men noemt een functie f : X → R semicontinu van beneden
(resp. van boven) als voor elke reële α geldt dat {x ∈ X|f (x) > α} (resp.
{x ∈ X|f (x) < α}) open is in X.
Merk op dat dit betekent dat f −1 (]α, ∞[) , resp. f −1 (] − ∞, α[) open is
in X. Omdat bewijzen voor semicontinue functies van boven en van beneden
analoog zijn, zullen hier enkel die voor semicontinue functies van beneden
gegeven worden.
Definitie 4.2. Een functie f : X → R is semicontinu van beneden (resp.
van boven) in een punt a ∈ X als er voor elke h < f (a) (resp. h > f (a)) een
omgeving V van a bestaat zodat voor alle x ∈ V geldt dat h < f (x) (resp.
h > f (x)).
9
Merk op dat f continu is in a als en slechts als f zowel semicontinu is van
boven als van beneden in a.
Eigenschap 4.3. Een functie f : X → R is semicontinu van beneden (resp.
van boven) als en slechts als ze semicontinu is van beneden (resp. van boven)
in alle punten van X.
Bewijs. Zij f : X → R is semicontinu van beneden, a ∈ X en h < f (a).
Wegens de semicontinuı̈teit van f is f −1 (]h, ∞[) open in X, maar het bevat
ook a, dus stel
V := f −1 (]h, ∞[).
Dan geldt natuurlijk dat h < f (x) voor elke x ∈ V .
Zij nu f : X → R zodat f semicontinu van beneden is in elke x ∈ X en
zij α ∈ R. Zij b ∈ X zodat f (b) > α. Wegens de semicontinuı̈teit in b bestaat
er een open Vb ∈ V(b) zodat Vb ⊆ f −1 (]α, ∞[). Maar omdat
[
f −1 (]α, ∞[) =
Vb ,
b:f (b)>α
is f −1 (]α, ∞[) open in X.
Stelling 4.4. X is een Baire ruimte als en slechts als voor elke semicontinue
functie f : X → R de verzameling van continuı̈teitspunten van f dicht is in
X.
Bewijs. Stel dat X een Baire ruimte is en zij f semicontinu van beneden op
X. Zij a een discontinuı̈teitspunt van f . Dan geldt
∀V ∈ V(a)∃x ∈ V : f (a) < f (x).
Omdat f niet continu is in a, bestaat er een q ∈ Q zodat
∀V ∈ V(a)∃x ∈ V : f (a) < q < f (x).
(1)
Wegens de semicontinuı̈teit van f is f −1 (] − ∞, q]) een gesloten deel van X
dat a bevat. Maar ook a ∈ cl f −1 (]q, ∞[) wegens (1), waardoor
a ∈ ∂f −1 (]q, ∞[).
Bijgevolg geldt dat
D⊆
[
∂f −1 (]q, ∞[)
q∈Q
waar D de verzameling van discontinuı̈teitspunten van f is. Omdat voor elke
q ∈ Q geldt dat f −1 (]q, ∞[) open is, is ∂f −1 (]q, ∞[) nergens dicht in X (zie
10
[1]). Bijgevolg is D van eerste categorie in X en wegens Stelling 3.1 is X \ D
dicht in X.
Stel nu dat X niet Baire is. Dan bestaat een open deel U ⊆ X zodat
U=
∞
[
An
n=1
waar elke An nergens dicht is in X. Definiëer
f : U → R : x 7→ min{n | x ∈ clU An }.
Dan is f semicontinu van beneden op U , want
∀α ∈ R : f −1 (]α, ∞[) = U \
bαc
[
clU An =
bαc
\
(U \ clU An )
n=1
n=1
waar dit laatste open is in U . Om te bewijzen dat f nergens continu is op U ,
is het voldoende te bewijzen dat er een open interval ]a, b[⊂ R bestaat zodat
f −1 (]a, b[) niet open is in U . Maar f −1 (] 21 , 32 [) = clU A1 , wat duidelijk niet
open is in U . Omdat f gedefiniëerd is op een open deel U , kan f eenvoudig
uitgebreid worden tot een semicontinue functie op X. Dus is f een functie
waarvan de verzameling van continuı̈teitspunten een open deel niet snijdt. Stelling 4.5. X is een Baire ruimte als en slechts als voor elke familie functies (fi )i∈I , semicontinu van beneden (resp. van boven) op X, zodat
∀x ∈ X ∃Mx ∈ R : ∀i ∈ I : fi (x) ≤ Mx (resp. fi (x) ≥ Mx ),
het volgende geldt:
∀U ⊆ X ∃V ⊆ U ∃M ∈ N ∀y ∈ V ∀i ∈ I : fi (y) ≤ M (resp. fi (y) ≥ M )
waar U en V niet-leeg en open zijn.
Bewijs. Zij X een Baire ruimte, (fi )i∈I een familie functies op X die aan de
voorwaarden voldoen en U een open deel van X. Wegens het Baire zijn van
X, is U van tweede categorie.
Stel nu voor elke n ∈ N:
Fn := {x ∈ U |∀i ∈ I : fi (x) ≤ n}.
Dan is elke Fn gesloten in U omdat
\
Fn =
fi−1 (] − ∞, n]) ∩ U
i∈I
!
=
\
fi−1 (]
i∈I
11
− ∞, n])
∩U
en elke fi−1 (] − ∞, n]) gesloten is in X wegens de semicontinuı̈teit van fi . We
beweren dat
[
U=
Fn .
n∈N
Dat de unie in U zit, is per definitie zo. Zij nu x ∈ U . Dan is natuurlijk ook
x ∈ X en wegens het gegeven is
sup fi (x) ≤ Mx ≤ bMx + 1c ∈ N,
i∈I
waardoor x ∈ FbMx +1c .
Aangezien U van tweede categorie is, moet er een M ∈ N bestaan zodat
intU FM 6= ∅. Stel nu
V := intU FM .
Dan is V per definitie open in U , niet leeg en er geldt dat
∀y ∈ V ∀i ∈ I : fi (y) ≤ M,
waardoor het eerste deel bewezen is.
Stel nu dat X niet Baire is. Dan bestaat een niet-leeg open deel U ⊆ X
van eerste categorie, dus
∞
[
An
U=
n=1
waar elke An nergens dicht is in U . Stel I = {1}. Definiëer nu
f1 = f : U → R : x 7→ min{n|x ∈ clU An }.
Dan is het evident dat (fi )i∈I puntsgewijs begrensd is. Ook is f semicontinu
van beneden, want
∀α ∈ R : f
−1
(]α, ∞[) = U \
bαc
[
n=1
clU An =
bαc
\
(U \ clU An )
n=1
waar dit laatste open is in U . Stel nu uit het ongerijmde dat f van boven
12
begrensd is door M ∈ N op een open deel V ⊆ U . Dan geldt:
∀x ∈ V : f (x) ≤ M ⇒ ∀x ∈ V ∃i ∈ {1, ..., M } : x ∈ clU Ai
M
[
⇒ ∀x ∈ V : x ∈
clU An
n=1
⇒ V ⊆
M
[
clU An
n=1
⇒ V ∩
U\
M
[
!
clU An
=∅
n=1
⇒ V ∩
M
\
(U \ clU An ) = ∅.
n=1
T
Maar omdat V open is en M
n=1 (U \ clU An ) als eindige doorsnede van open
en dichte delen weer open en dicht is, levert dit een contradictie op. Dus f
is van boven onbegrensd op V . Omdat f gedefiniëerd is op een open deel U ,
kan f eenvoudig uitgebreid worden tot een semicontinue functie op X.
5
Toepassingen
Enkele belangrijke toepassingen van Baire ruimten zijn de Open Afbeeldingsstelling, de Gesloten Grafiekstelling en het Uniform Begrensdheidsprincipe.
In dit project komt enkel de laatste aan bod, samen met volgende stelling
die op Baire ruimten steunt:
5.1
Er is een continue reëelwaardige functie op [0, 1]
die nergens afleidbaar is
Dit bewijs verloopt in een aantal delen, die gesplitst zijn in lemma’s. In deze
paragraaf stellen we
C([0, 1]) := {f ∈ [0, 1]R |f continu},
E := {f ∈ C([0, 1])|f is afleidbaar in een punt van [0, 1]}
en voor n ∈ N0 :
f (x + h) − f (x) 1
1
≤n .
En := f ∈ C([0, 1]) ∃x ∈ [0, 1 − ] : ∀h ∈]0, ] : n
n
h
13
Lemma 5.1. (C([0, 1]), d∞ ) is volledig.
Bewijs. Zij (fn )n een Cauchyrij in (C([0, 1]), d∞ ). Dan is voor elke x ∈ [0, 1]
de rij (fn (x))n een Cauchyrij in R en bijgevolg convergent. Stel
f : [0, 1] → R : x 7→ lim fn (x)
n→∞
de puntsgewijze limiet. Omdat (fn )n een Cauchyrij is, geldt:
∀ε > 0
⇒ ∀ε > 0
⇒ ∀ε > 0
⇒ ∀ε > 0
∃n0
∃n0
∃n0
∃n0
∀p, q ≥ n0 : ||fp − fq ||∞ ≤ ε
∀p, q ≥ n0 ∀x ∈ [0, 1] : |fp (x) − fq (x)| ≤ ε
∀x ∈ [0, 1] ∀p, q ≥ n0 : |fp (x) − fq (x)| ≤ ε
∀x ∈ [0, 1] ∀q ≥ n0 : lim |fp (x) − fq (x)| ≤ ε
p→∞
⇒ ∀ε > 0 ∃n0 ∀x ∈ [0, 1] ∀q ≥ n0 : |f (x) − fq (x)| ≤ ε
⇒ ∀ε > 0 ∃n0 ∀q ≥ n0 ∀x ∈ [0, 1] : |f (x) − fq (x)| ≤ ε
⇒ ∀ε > 0 ∃n0 ∀q ≥ n0 : ||f − fq ||∞ ≤ ε
zodat de rij convergeert. Omdat de limiet uniform is, is f ∈ C([0, 1]).
Lemma 5.2. Voor elke n ∈ N0 heeft En een leeg inwendige in C([0, 1]).
Bewijs. Zij f ∈ En en ε > 0 willekeurig. We moeten bewijzen dat elk
open deel rond f niet in En ligt. Het is dus voldoende aan te tonen dat er
een g ∈ B(f, ε) bestaat zodat g ∈
/ En . Dit laatste wil zeggen dat voor elke
1
x ∈ [0, 1] er een h ∈]0, 1 − n ] bestaat zodat
g(x + h) − g(x) > n.
h
Zoek een veeltermfunctie P (x) op [0, 1] zodat d∞ (f, P ) < 2ε . Stel M :=
max{|P 0 (x)| | x ∈ [0, 1]} en stel Q(x) een continue functie bestaande uit
lijnstukken zodat voor elke x ∈ [0, 1]: |Q(x)| < 2ε en |Q0 (x)| = (M + n + 1)
als Q0 (x) bestaat.
Definiëer nu g(x) = P (x) + Q(x). Dan geldt
d∞ (f, g) ≤ d∞ (f, P ) + d∞ (P, g) <
ε ε
+ =ε
2 2
en
g(x + h) − g(x) P (x + h) + Q(x + h) − P (x) − Q(x) = h
h
Q(x + h) − Q(x) P (x + h) − P (x) −
.
≥ h
h
14
Neem nu x ∈ [0, 1 − n1 ] willekeurig en vast. Dan kan altijd een h ∈]0, 1 − n1 ]
gevonden worden zodat het rechterlid groter is dan (M + n + 1) − M = n + 1.
En dus is g ∈
/ En .
Lemma 5.3. Voor elke n ∈ N0 is En gesloten in C([0, 1]).
Bewijs. De evaluatiefunctie
e : (C([0, 1]), d∞ ) × ([0, 1], dE ) → (R, dE ) : (f, x) 7→ f (x)
is continu. Want zij (f, a) ∈ C([0, 1]) × [0, 1]; ε > 0 willekeurig. Stel δ =
min{δ1 , 2ε }, waar δ1 zo gekozen is dat
ε
∀x ∈ [0, 1] : d(a, x) < δ1 ⇒ d(f (a), f (x)) < .
2
Zij nu (g, x) ∈ C([0, 1]) × [0, 1] zodat
dmax ((f, a), (g, x)) < δ.
Dan ook
d∞ (f, g) < δ ≤
ε
en d(a, x) < δ.
2
En dus
d(e(f, a), e(g, x)) = d(f (a), g(x)) ≤ d(f (a), f (x)) + d(f (x), g(x))
ε
<
+ sup d(f (y), g(y))
2 y∈[0,1]
ε
=
+ d∞ (f, g)
2
ε ε
<
+ =ε
2 2
waaruit de continuı̈teit van e volgt.
Dan volgt dat de aangepaste evaluatiefunctie
f (x + h) − f (x) 1
Eh : C([0, 1]) × [0, 1 − ] → R : (f, x) 7→ n
h
als samenstelling van continue functies ook continu is. Bijgevolg is Eh−1 [0, n]
gesloten in C([0, 1]) × [0, 1 − n1 ]. Zij nu
1
−1
Fh := f ∈ C([0, 1]) (f, x) ∈ Eh [0, n] voor een x ∈ [0, 1 − ] .
n
Dan is Fh gesloten in C([0, 1]).
15
Omdat ook
1 f (x + h) − f (x) Fh = f ∈ C([0, 1]) ∃x ∈ [0, 1 − ] : ≤n ,
n
h
T
zal En = {Fh |h ∈]0, n1 ]}. Dus is En als doorsnede van gesloten verzamelingen
ook gesloten.
Door Lemma 5.1 en de Stelling van Baire is C([0, 1]) een Baire ruimte.
Uit de andere
S∞ 2 lemma’s volgt dat dat voor elke n ∈ N0 int cl En = ∅,
waardoor n=1 En van eerste categorie is in C([0, 1]).
Als een functie f in E zit, heeft deze ergens een afgeleide
en dus zal
S∞
voor een n die groot genoeg is, f ∈ En . Bijgevolg E ⊆ n=1 En en dus is
ook E van eerste categorie in C([0, 1]). Wegens Stelling 3.1 is C([0, 1]) \ E
dicht in C([0, 1]) en in het bijzonder niet leeg. Er bestaat dus een continue
reëelwaardige functie op [0, 1] die nergens afleidbaar is.
5.2
Principe van uniforme begrensdheid
Deze stelling uit de functionaalanalyse is dankzij Baire ruimten eenvoudig te
bewijzen, analoog aan Stelling 4.5 bij semicontinue functies.
Stelling 5.4 (Principe van uniforme begrensdheid). Zij (Fi )i∈I een familie
begrensde lineaire afbeeldingen van een Banach ruimte X naar een genormeerde
ruimte Y zodat
∀x ∈ X ∃Mx ∈ R : ∀i ∈ I : ||Fi (x)|| ≤ Mx .
Dan bestaat er een M ∈ N zodat supi∈I ||Fi || ≤ M .
Bewijs. Zij (Fi )i∈I een familie functies die aan alle voorwaarden voldoen.
Wegens de definitie van norm van een lineaire afbeelding, is het voldoende
te bewijzen dat er een M ∈ N bestaat zodat
∀x ∈ X : ||x|| ≤ 1 ⇒ sup ||Fi (x)|| ≤ M.
i∈I
Stel voor elke n ∈ N:
Xn := {x ∈ X | ∀i ∈ I : ||Fi (x)|| ≤ n}.
Dan is elke Xn gesloten omdat
Xn =
\
Fi−1 (] − ∞, n])
i∈I
16
(2)
en elke Fi−1 (] − ∞, n]) gesloten is in X wegens de continuı̈teit van Fi . We
beweren dat
[
X=
Xn .
n∈N
Dat de unie in X zit, is per definitie zo. Zij nu x ∈ X. Wegens het gegeven
is
sup Fi (x) ≤ Mx ≤ bMx + 1c ∈ N,
i∈I
waardoor x ∈ XbMx +1c .
Omdat X een Banach ruimte is, volgt uit de Stelling van Baire dat X
een Baire ruimte is, en dus is X van tweede categorie in zichzelf. Dan moet
er een N ∈ N bestaan zodat int XN 6= ∅ en daarom bestaat een a ∈ XN en
ε > 0 zodat B(a, 2ε) ⊂ XN .
x
∈ XN en dus
Zij nu x ∈ X \ {0} zodat ||x|| ≤ 1. Dan zal ook a + ε ||x||
volgt, voor elke i ∈ I, deze keten van ongelijkheden:
ε · ||Fi (x)|| ≤
ε
x
||Fi (x)|| ≤ ||Fi (ε
)||
||x||
||x||
x
+ a − a)||
= ||Fi (ε
||x||
x
≤ ||Fi (a + ε
)|| + ||Fi (a)||
||x||
≤ N + N = 2N
en bijgevolg
||Fi (x)|| ≤
Stel nu
M :=
dan voldoet M aan (2).
2N
.
ε
2N
,
ε
17
Referenties
[1] E. Colebunders, Topologie, Dienst Uitgaven VUB, 2011.
[2] S. Willard, General Topology, Addison Wesley, 1977.
[3] A. Wilansky, Topology for Analysis, Ginn, 1970.
[4] R.C. Haworth en R.A. McCoy, Baire Spaces, Dissertationes Math 141,
1977, 1-51.
[5] M. Hendriksen en S. Wagon, A characterization of Baire Spaces, Amer.
Math. Monthly, 1991, 624-625.
[6] N. Bourbaki, Eléments de Mathémathique. Topologie Générale.
Chapitres IV et IX (e-book), Springer-Verlag, 2007.
[7] M. Sioen, Functionaalanalyse I, Dienst Uitgaven VUB, 2011.
18