Vlakke Meetkunde Les 3 Koordenvierhoeken en iso

Vlakke Meetkunde
Les 3
Koordenvierhoeken
en iso-hoeklijnen
(Deze les sluit aan bij het paragraaf 3 en 4 van Vlakke Meetkunde van
de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf
de site van de Open Universiteit. )
Koordenvierhoek
Een koorde is een verbindingslijnstuk tussen twee
punten op een kromme, bijvoorbeeld een cirkel.
Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de
zijden koorden zijn van een cirkel.
De cirkel is de omgeschreven cirkel van de koordenvierhoek.
Koorde
Gegeven cirkel met straal r en AMB = 
𝛼
𝐴𝐵 = 2𝑟 ∙ sin( 2 )
1) Controleer de formule voor:
 = 0, 90, 120, 180
2) Geef een bewijs voor de formule.
3) De punten A,B,C en D liggen op een cirkel.
Bewijs dat geldt: bg(AB) = bg(CD)  |AB| = |CD|
r

2
r
Koordenvierhoek
In de koordenvierhoek zijn de diagonalen getekend.
ADB = ACB want staan op dezelfde boog.
D
C
A
B
Koordenvierhoek
In de koordenvierhoek zijn de diagonalen getekend.
ADB = ACB want staan op dezelfde boog.
D
C
A
Welke hoekenparen zijn ook aan elkaar gelijk
in de koordenvierhoek?
B
Koordenvierhoekstelling
Stelling
In een koordenvierhoek is de som van de
overstaande hoeken 180.
Bewijs
A
A staat op boog DCB.
C staat op boog DAB.
1
1
1
 A + C = 2 bg(DCB) + 2 bg(DAB) = 2 x 360 = 180.
D
C
B
Koordenvierhoekstelling
Omgekeerde stelling
Als in een vierhoek de som van de
overstaande hoeken 180 is,
dan is de vierhoek een koordenvierhoek
(dat wil zeggen: de vier hoekpunten liggen op een cirkel.)
D
C
A
Bewijs
Trek hulplijn DB.
Teken de omgeschreven cirkel van DAB.
Nu is te bewijzen dat C ook op deze cirkel ligt.
1
1
A = 2bg(BD) = 180− 2bg(DAB).
Maar ook: A = 180− C. (gegeven)
1
 C = 2bg(DAB) en C ligt op de cirkel (stelling omtrekshoek).
B
Koordenvierhoeken
Voorbeeld (opgave 3)
De verlengden van de zijden van koordenvierhoek
ABCD snijden elkaar in P en Q.
Bewijs dat 𝛼 = 𝛾 − 𝛽
Koordenvierhoeken
Voorbeeld (opgave 3)
De verlengden van de zijden van koordenvierhoek
ABCD snijden elkaar in P en Q.
Bewijs dat 𝛼 = 𝛾 − 𝛽
2
1
Bewijs
D2 = 𝛽 (overstaande hoeken)
𝛾 + C1 = 180
A1 = 180 − C1 = 𝛾 (koordenvierhoek))
Maar ook: A1 = 𝛼 + D2 = 𝛼 + 𝛽 (buitenhoek)
𝛼+𝛽=𝛾
1
De uitgebreide stelling van de
omtrekshoeken
Gegeven punt P buiten de cirkel.
De benen van P snijden de bogen AB en CD van de cirkel.
1
1
Dan is P = 2bg(AB) − 2bg(CD).
De uitgebreide stelling van de
omtrekshoeken
Gegeven punt P buiten de cirkel.
De benen van P snijden de bogen AB en CD van de cirkel.
1
1
Dan is P = 2bg(AB) − 2bg(CD).
1
Bewijs
Trek hulplijn DB.
D1 = B1 + P (buitenhoek in  PDB)
1
1
 P = D1 − B1 = 2bg(AB) − 2bg(CD)
1
De uitgebreide stelling van de
omtrekshoeken
Gegeven punt P binnen de cirkel.
De benen van P snijden de bogen AB en CD van de cirkel.
1
1
Dan is APB = 2bg(AB) + 2bg(CD).
Bewijs
Trek hulplijn BC.
APB = B + C (buitenhoek in BPC)
1
1
 APB = 2bg(CD) + 2bg(AB)
Zelf doen
Maak nu opgave 13 van paragraaf 3.
Iso-hoeklijn
Gegeven:
Een lijnstuk AB en een hoek P met A en B
op de benen van hoek P.
P
Gevraagd:
De verzameling van punten Q zodat  AQB = P.
Q
B
A
Iso-hoeklijn
Gegeven:
Een lijnstuk AB en een hoek P met A en B
op de benen van hoek P.
P
Q
Gevraagd:
De verzameling van punten Q zodat  AQB = P.
Oplossing:
A
Volgens de stelling van de omtrekshoek is dat de boog APB van de
omgeschreven cirkel van ABP.
Deze boog is een iso-hoek lijn.
B
Iso-hoeklijn
Gegeven is een lijnstuk AB.
Gevraagd is de verzameling punten P, zodat ∠APB = 46.
P
P = 46
 M = 2 x P = 92
AMB is gelijkbenig
1
 A1 = B1 = 2(180 − 92) = 44.

M
1
1
A
B
Iso-hoeklijn
Gegeven is een lijnstuk AB.
Gevraagd is de verzameling punten P, zodat ∠APB = 46.
P
P = 46
 M = 2 x P = 92
AMB is gelijkbenig
1
 A1 = B1 = 2(180 − 92) = 44.

1
1
Constructie:
• Zet aan weerzijden van AB twee hoeken van 44 uit.
• Snijpunt is middelpunt M.
• Teken cirkel door A en B met middelpunt M.
M
A
B
Iso-hoeklijn
Maak nu opgave 9 van paragraaf 4
Iso-hoeklijn
Je rijdt op de A15 en
ziet het verkeersbord
groter worden.
Iso-hoeklijn
Iso-hoeklijn
Iso-hoeklijn
De grootste kijkhoek.
Iso-hoeklijn
Hoogte bord = 3,5 meter.
Hoogte onderkant bord t.o.v weg = 4 meter.
Ooghoogte = 1 meter.
Op welke horizontale afstand van het bord
is de kijkhoek het grootst?
Oefenen
Bestuderen: In ieder geval de theorieblokjes van paragraaf 3 en 4.
Maken:
• De opgaven van paragraaf 3 maar
in ieder geval de opgaven 7, 8, en 14.
• Van paragraaf 4 de opgaven 5, 7 en 8.
Huiswerk
Inleveren:
• Van paragraaf 3: opgave 15.
• Van paragraaf 4: opgave 10.