Tentamen bij het college: Onstaan en Evolutie van - A

Tentamen bij het college: Onstaan en Evolutie van het Heelal (NS152B)
Jacco Vink
Dinsdag 24 juni 2008
Dit is geen open boek tentamen. Wel is het toegestaan om
een rekenmachine te gebruiken. Je hebt voor dit tentamen 2
uur de tijd. Lees de vragen eerst goed door, zodat je beter je
tijd kunt indelen. Geef korte en bondige antwoorden, maar
maak wel duidelijk hoe je bij je antwoord komt: alleen een
numeriek antwoord geven telt niet. De laatste bladzijde is
een tabel met eenheden en grootheden. Geef je numerieke
antwoorden in 3 significante cijfers.
NB Het subscript
weer (z = 0).
0
De geometrie van de ruimte wordt in de kosmologie
beschreven met de Robertson-Walker metriek:
dr2
2
2
2
2
2
ds2 = c2 dt2 − R2
,
+
r
dθ
+
r
sin
θdφ
1 − kr2 /c2
(3)
b) Wat is de betekenis van R en wat is de betekenis van r?
c) Wat is de relatie tussen roodverschuiving z en schaalfactor
R?
geeft de waarde in het huidige heelal
d) Wat is de relatie tussen de fysische afstand d tot een
object dat we nu, op tijdstip t0 , waarnemen en de coordinaat
afstand r?
Opgave 1: Feiten kennis
Geef een beschrijving van de volgende begrippen:
e) De Hα lijn van waterstof heeft een golflengte van
λ = 656 nm. Stel dat we in een quasar deze lijn waarnemen
op 715 nm, wat is dan de roodverschuiving z en de corresponderende afstand volgens de Hubble relatie (neem H0 =
70 km s−1 Mpc−1 )?
a) Het Kosmologisch Principe.
b) Het viriaal theorema.
c) Het Equivalentie Principe.
Neem aan dat we de schaalfactor als functie van de tijd
kunnen benaderen als:
t α
R(t) = Ra
,
(4)
ta
d) Ontkoppeling van deeltjes in kosmologische context (geef
een formule met reactie tijd τ , en noem een voorbeeld van
ontkoppeling tijdens de evolutie van het heelal).
met α 6= 1 een onbepaalde parameter. Voor een foton en
andere massaloze deeltjes geldt ds = 0. De afstand in het
heelal wordt gekoppeld aan de tijd dat een foton onderweg
is. Als we de orientatie van de metriek zo kiezen dat θ =
φ = 0, en aannemen dat k = 0, dan vinden we voor de
coordinaatafstand
Z t0
cdt
r=
,
(5)
R(t)
t1
e) Welke drie problemen probeert de inflatietheorie op te
lossen?
f) Wat is de energiebron voor quasars?
Opgave 2: Afstanden en roodverschuivingen
met t0 het huidige tijdstip en t1 een tijdstip in het verleden.
De relatie tussen flux F van een object met lichtkracht L en
afstand d wordt normaliter gegeven door:
f) Los vergelijking 5 op m.b.v. vgl. 4.
L
F =
4πd2
(1)
g) Er is een duidelijk verschil tussen oplossingen met α > 1
en α < 1. Wat gebeurt er met het zichtbare deel van het
heelal als functie van de tijd in het geval α > 1?
Voor kosmologische afstanden geldt echter:
F =
L
.
4πd2 (1 + z)2
(2)
Opgave 3: Het Friedman model
De Friedman vergelijking luidt:
1 dR 2
8πGρ Λ
k
=
+ − 2
R dt
3
3
R
a) Wat is de verklaring dat er een factor (1 + z)2 voorkomt
in deze vergelijking (er zijn 2 redenen)?
1
(6)
2
Figuur 1 Een fotomontage van de rotatiecurve van de Andromeda Nevel (M31) en (op schaal) een foto van het sterrenstelsel (Rubin & Ford,
1971).
a) Gebruik vgl. 6 om een uitdrukking voor de kritische
dichtheid, ρc , af te leiden in termen van H0 en G.
Je kunt vgl. 6 vereenvoudigen door te schrijven ρ0 uit te
splitsen in afzonderlijke componenten ρi,0 en te schrijven
ρ0,i = ρc Ωi . De index i geeft aan met welke component we
te maken hebben (bijv. donker materie, ΩDM ).
b) Voor de evolutie van de dichtheid kun je schrijven
ρi (t) = ρ0,i R−β . Wat is β voor een stof?
c) Neem aan dat k = 0. Wat is dan de waarde voor de totale
Ωtotaal = Ωstof + Ωstraling + ΩΛ ?
d) Los vgl. 6 op voor een stof gedomineerd heelal, aannemende dat k = 0 en Λ = 0.
(Als je vraag c) niet wist kun je β en ρ0 in de oplossing
laten staan. Je mag kiezen of je vgl. 6 direct oplost of eerst
omschrijft m.b.v. Ω en ρc .)
e) Wat is de leeftijd van het heelal voor de oplossing onder d,
als H0 = 100 km s−1 Mpc−1 ?
(Als je vraag d) niet hebt mag je hier een simpele benadering
gebruiken voor de Hubble tijd.)
Opgave 4: Elliptische en spiraalstelsels
a) De Hubble klassificatie ziet er grafisch uit als een
stemvork, teken die stemvork en geef de plaats van de
verschillende typen sterrenstelsels aan. (Je hoeft de subclassificaties niet aan te geven.)
b) Noem drie verschillen tussen spiraalstelsels en elliptische
stelsels (afgezien van de vorm).
Opgave 5: Snelheden in spiraalstelsels
In Fig. 1 zie je de rotatie curve van M31, dit geeft de
circulaire snelheden, vφ , van sterren als functie van afstand
tot het centrum. M31 staat op een afstand van 780 kpc. De
rotatiecurve heeft men kunnen meten tot een hoekafstand
van 150 boogminuten, de snelheden staan aangegeven in
km s−1 .
a) Met welke straal in meters en kpc komt 150 boogminuten
op de afstand van M31 overeen?
b) Lees af wat de circulaire snelheid is op 150 boogminuten,
en leid hieruit de totale massa (in zonsmassa’s) binnen 150
boogminuten af.
De figuur laat zien dat er bijna geen sterren meer zijn
verder dan 80 boogminuten van het centrum, maar dat vanaf
80 boogminuten de circulaire snelheid bijna constant is.
c) Geef een formule voor de hoeveelheid massa als functie
van de straal voor een constante rotatie snelheid (M (R)).
d) De rotatie curve voorbij 80 boogminuten is een indicatie
voor donkere materie. Stel dat alle massa in sterren zou zitten
(dus geen donkere materie) en voorbij 80 boogminuten zijn
er geen sterren meer, wat verwacht je dan voor verloop in
de circulaire snelheid als functie van straal voorbij 80 boogminuten (in andere woorden vφ (R) ∝ Rα , wat is de waarde
van α)?
3
Tabel 1.
Veel gebruikte eenheden, grootheden en constanten in de sterrenkunde.
Grootheid/Eenheid
symbool
waarde
Zwaartekrachtsconstante
Planck constante
Licht snelheid in vacuum
Boltzmannconstante
Stefan-Boltzmannconstante
Proton massa
Massa van de zon
Lichtkracht van de zon
Zonstraal
Astronomische eenheid
Parsec
Electron Volt (deeltjes energie)
Atomaire massa eenheid
G
h
c
k
σ
mp
M
L
R
AE
pc
eV
amu
6.67 × 10−11 N m2 kg−2
6.6262 × 10−34 J s
2.998 × 108 m s−1
1.38 × 10−23 J K−1
5.67 × 10−8 J s−1 m−2 K−4
1.67 × 10−27 kg
1.99 × 1030 kg
3.85 × 1026 J s−1
6.96 × 108 m
1.496 × 1011 m
3.086 × 1016 m
1.6022 × 10−19 J
1.66 × 10−27 kg