Modelantwoorden Hoofdstuk 1 - Bewegingen

1
Bewegingen verklaren
Modelantwoorden
1.1 Wat is mechanica?
1 Toepassingen van de mechanica
Voorbeeld 1
a LeMond heeft een druppelvormige helm op, een dicht achterwiel, een
triathlonstuur en een aangepast fietsframe.
b Meet onder zo gelijk mogelijke condities (zelfde renner, windtunnel) met
alleen de gekozen factor verschillend, een aantal keren de benodigde tijd
over een vaste afstand, bepaal het gemiddelde verschil.
c Klapschaats, zwempakken (beide door Bewegingswetenschappers van de
Vrije Universiteit te Amsterdam), trainingsschema’s.
Voorbeeld 2
a Verschillen die het verkeer veiliger maken zijn onder andere autogordels
voor en achter, airbags, ABS, rembekrachtiging, stuurbekrachtiging,
kreukelzone en kooiconstructie.
b Botsproeven van TNO: laat auto’s met dummy’s herhaald botsen onder
allerlei omstandigheden, meet de schade aan de dummy met en zonder
de gekozen maatregel.
c Stroomlijn, motorvermogen, brandstofverbruik enzovoort.
Voorbeeld 3
a Tegenwoordig: betere vering, evenwicht, zelf aandrijven (houvast
wielen), wendbare voorwielen, rugsteun, sterkere materialen, opklapbare
voetensteun enzovoort. Sportrolstoel: schuine wielen (evenwicht),
lichtere materialen, bewegingsvrijheid bovenlijf, sterkere constructie,
wendbaarheid.
b Meet onder zo gelijk mogelijke condities hoe proefpersonen een bepaald
parcours (helling, bochten) afleggen met en zonder de gekozen
aanpassing, bepaal het gemiddelde verschil in moeite en gemak (onder
andere bij Bewegingswetenschappen, Vrije Universiteit Amsterdam).
c Ontwikkeling van prothesen, toegang tot gebouwen, (zwem)bad- en
treinlift, ICT-toepassingen, operatieve technieken, revalidatietherapie
enzovoort.
1.2 Bewegingen beschrijven, verklaren en voorspellen
2
Hoe bewoog de komeet Kirch en waarom bewoog hij zo?
Eigen antwoord.
3
Hoe zou de komeet uit zichzelf bewogen hebben?
Eigen antwoord.
4
Waardoor werd de beweging van de komeet bepaald?
Eigen antwoord.
5
Verklaringen vergelijken
Bijvoorbeeld: stemt nauwkeurig met waarnemingen en metingen
overeen, levert juiste voorspellingen op, is in uiteenlopende situaties
bruikbaar, is begrijpelijk, past bij andere wetenschappelijke theorieën, is
1
eenvoudig toe te passen enzovoort.
1.3 Newtons verklaring van de beweging van Mars
6
a
O
P
Oefenen met de constructiemethode: rechtlijnige beweging
Zie de figuur hieronder.
S
R
Q
b-dZie de figuur hieronder.
O
P
Q
S
e
De verplaatsing in opeenvolgende stappen wordt steeds groter, dus de
snelheid wordt steeds groter: het voorwerp versnelt.
7
a
Oefenen met de constructiemethode: rechtlijnige beweging
De extra verplaatsing is tegengesteld gericht aan de beweging, dus de
invloed werkt de beweging tegen.
Zie de figuur hieronder.
b
O
R
P
Q
c
S
R
De verplaatsing in opeenvolgende tijdstappen wordt steeds kleiner, dus
de snelheid wordt steeds kleiner: het voorwerp remt af.
8 Oefenen met de constructiemethode: kromlijnige beweging
a-c Zie de figuur hieronder.
O
A
B
C
D
d
De verplaatsing per tijdstap neemt toe, en dus neemt de snelheid toe –
maar deze snelheid verandert bovendien van richting. Een bal die je
horizontaal weggooit beweegt ongeveer zo (de kromme is dan vloeiend,
niet hoekig).
9
Oefenen met de constructiemethode: een kracht die van
richting verandert
a-c Zie de figuur hieronder (op de volgende bladzijde).
2
d
De snelheid verandert niet van grootte, maar wel van richting. Cirkelbeweging met constante draaisnelheid.
A
O
B
C
D
E
M
10
a
b
c
Testen van Newtons verklaring voor de beweging van Mars
Zonsmassa: 1990. (Met BINAS is te bepalen welke eenheid is gebruikt.)
Van één planeet is de beweging verklaard, maar niet van alle planeten.
Nog niet bekend. Ook de komeet is een brok materie dat door de ruimte
beweegt: de beweging zou wel eens op dezelfde manier verklaard kunnen
worden. Maar planeet en komeet zouden verschillende invloeden kunnen
ondervinden van overige hemellichamen.
11 Zie de tekeningen hieronder.
I Invloedloze beweging en invloed in dezelfde richting
O
O
X
AA
C
BB
II Invloedloze beweging en invloed in tegengestelde richting
X
O
O
BB
AA
C
III Geen invloed
O
O
BB = X
A
A
IV Invloed staat schuin op de invloedloze beweging
Zie de tekening op de volgende bladzijde.
3
C
C
B
X
A
O
12 De invloed van een kracht op de beweging
a Ja: als de kracht in de richting van de beweging is, of daaraan
tegengesteld.
b Rechtlijnige beweging, versnelde of vertraagde beweging.
c De kracht moet dan steeds loodrecht op de snelheid staan (als je heel
kleine tijdstappen gebruikt).
d Eenparige cirkelbeweging.
13 Newtons aanpak toegepast op andere planeten
a Dat lukt bij een goed gekozen zonsmassa.
b Ja: je moet de waarde van de zonsmassa gebruiken die je eerder al voor
Mars hebt gevonden (opdracht 10a). Dan passen de berekende banen van
alle planeten goed bij de werkelijke banen.
c Onder andere omdat je daarmee in één keer de banen van alle planeten
kunt verklaren: pas de afstand tot de Zon en de verplaatsing in de eerste
tijdstap aan, en dezelfde methode levert een goede voorspelling van de
baan van weer een planeet.
1.4 De grootte van de zwaartekracht
FA op 1
1
A
FA op 2
FA op 1
A
2
1
3
FA op 3
14 Massa’s in interactie
a Eigen antwoord.
b FA op 1+2+3 = FA op 1 + FA op 2 + FA op 3. Als mB 3x groter wordt, wordt FA op B
dus ook 3x groter.
c Zie de figuur hiernaast. Als mB 3x groter wordt, wordt ook FB op A 3x
groter: FB op A = FA op B.
d Beide krachten worden 2x groter..
e De massa van de Zon is veel groter dan die van de Aarde: de
aantrekkingskracht van de Zon op planeet M is dus veel groter dan die
van de Aarde op planeet M.
2
1
A
A
FA op 1 + FA op 2 + FA op 3
FA op 1 + 2 + 3
3
1+2+3
15 De formule voor de gravitatiekracht
a G = 6,6726·10-11 Nm2kg-2
b FZ op A = 3,54·1022 N
16
a
b
c
Een schatting van de gravitatiekracht van de Zon op Mars
FZ op A = 1,08·1023 N
FZ op A = 1,44·1023 N
Afstand (3/2) x zo groot: kracht (4/9) x zo groot. Massa 10 x zo klein:
kracht 10 x zo klein. Dus: FZ op M ≈ (4/90)·FZ op A ≈ 0,16·1022 N
4
17
a De gravitatiewet (zie de formule in ‘Samenvatting’).
b De blokken oefenen even grote krachten op elkaar uit.
c-d De krachten moeten aangrijpen in het midden van de rotsblokken, even
groot zijn en naar elkaar wijzen.
e De afstand wordt 3x zo klein, dus de kracht wordt 9x zo groot.
18 De baan van Mercurius
a De omlooptijd van Mercurius is kleiner, de afstand tot de Zon varieert
sterker, de snelheid is groter en varieert sterker dan die van de Aarde.
b 89 dagen (87,97 dagen volgens BINAS).
c Eigen antwoord.
d Eigen antwoord (Noot: zie ook opdracht 37).
1.5 Beweging onder invloed van de gravitatiekracht van de Zon
19
a
b
c
d
Oriëntatie op de situatie
De richting van de groene pijl.
De richting van de gele pijl.
De extra snelheid is groter als de uitgeoefende kracht groter is of de
massa van het voorwerp kleiner.
Zie ‘Voorkennis’: extra verplaatsing = extra snelheid x Δt.
20 Extra snelheid en extra verplaatsing
a Eigen antwoord.
b Vul voorbeeldwaarden in, en je ziet dat de extra snelheid groter wordt als
er een grotere kracht werkt, de tijdsduur langer is of de massa kleiner is.
c
F
F

extra verplaatsing = extra snelheid x tijdsduur =   t   t   (t ) 2
m
m


21 Gravitatiekracht en extra verplaatsing
a
mA  mZ
G  mZ
F FZ op A
1  mA  mZ 


G 

  G
m
mA
mA 
(rZ-A )2 
mA  (rZ-A )2 (rZ-A )2
b
extra verplaatsing 
F
G  mZ
F
constante
 (t ) 2  Z op A  (t ) 2 
 (t ) 2 
 (t ) 2
2
m
mA
(rZ-A )
r2
22
a Volgens Newton zou gelden: als het blauwe rotsblok geen kracht
uitoefende, zou het rode rotsblok bewegen met constante snelheid in een
rechte lijn.
b Gelijk aan 100 N, want volgens de gravitatiewet oefenen twee massa’s
even grote krachten op elkaar uit.
c Op beide rotsblokken werkt een even grote kracht. De massa van het
rode rotsblok is kleiner. Dan moet de extra verplaatsing van de rode
groter zijn, volgens formule [4].
d Dat kun je niet weten: de extra verplaatsing is naar elkaar toe, maar de
invloedloze verplaatsing in de vorige stap is onbekend. Als bijvoorbeeld
de rotsblokken snel van elkaar vandaan bewogen, bewegen ze nu iets
minder snel uit elkaar.
e Gebruik formule [3]: extra snelheid = (F/m)·Δt = (100/2)·1 = 50 m/s
f Gebruik formule [2]: extra verplaatsing = extra snelheid x tijdsduur = 50
m
23 De massa van de planeten
a Eigen antwoord.
5
b
c
d
24
a
b
c
Veranderen van de massa van de Aarde heeft geen waarneembare
invloed op de baan.
De zwaartekracht is kleiner, maar je hebt ook evenredig minder kracht
nodig om de planeet in zijn ellipsbaan te houden.
extra verplaatsing = (F/m)·(Δt)2 = (G·mZ/r2)·(Δt)2
De extra verplaatsing van een voorwerp hangt niet af van de massa van
dat voorwerp. Bij veranderen van de massa verandert de baan dus niet.
De massa van de Zon
Eigen antwoord.
Eigen antwoord.
Bij deze waarde ‘ontsnappen’ de planeten aan de zwaartekracht van de
Zon.
1.6 Verklaren van de beweging van de komeet Kirch
25 Aannames en verwachtingen
a Eigen antwoord.
b Werk de aanpak uit en vergelijk met de waarnemingen: bij overeenstemming is de aanname houdbaar.
c Bijvoorbeeld: moet precieze, gedetailleerde verklaringen geven die met
metingen en berekeningen getoetst kunnen worden, moet op allerlei
gevallen toepasbaar zijn, en moet zo eenvoudig mogelijk geformuleerd
zijn.
26 Constructie van een komeetbaan
a Extra verplaatsing = 0,35 cm, in de richting van S.
b Zie de figuur hieronder (op de volgende bladzijde). Extra verplaatsing =
25/(3,8)2 = 1,7 cm
c-d Zie de figuur hieronder (op de volgende bladzijde).
27 De komeetbaan nader bekijken
a Grootste snelheid (want: grootste afgelegde weg per tijdstap): DE (dag
5). In E is de afstand tot S het kleinst.
b De komeet wordt naar de Zon toegetrokken maar beweegt ook vooruit.
De kracht is groot genoeg om de komeet te laten omkeren (maar te klein
om de komeet op de Zon te laten stoppen.)
c Kleinere tijdstappen gebruiken.
28
a
b
c
d
De nauwkeurige baan van een komeet
De baan is niet ‘vloeiend’.
Ja, maar nog niet voldoende.
Tijdstap 0.2 (of kleiner): bij een nog kleinere tijdstap blijft de baanvorm
hetzelfde, dus wordt de berekening niet meer door de stapgrootte
beïnvloed.
Hoe dichter bij de Zon, des te groter is de snelheid van de komeet.
29 De vorm van een komeetbaan
a-b Ja, voor snelheden tussen 1.6 en 2.1 is de baan een ellips. Voor andere
snelheden is een kleinere tijdstap en/of grotere rekentijd nodig. Daarmee
zou je vinden: bij een te grote snelheid keert het voorwerp niet terug, bij
een te kleine snelheid valt het op de Zon. In de overige gevallen is de
baan een ellips.
c Bij snelheden kleiner dan 1.6 ontstaan bizarre baanvormen: die zijn het
gevolg van de te grote tijdstap, zo bewegen kometen en planeten niet.
6
d
Bij snelheden tussen 1.6 en 2.1 geldt: naarmate de snelheid groter is, is
de omlooptijd van de komeet langer.
B
A
O
C
D
Let op:
extra verplaatsing in
2
De stippellijn
(invloedloze
is
iedere
stap: sbeweging)
extra = 25/r

steeds een kopie van de vorige stap.
S
 De extra verplaatsing tijdens de stap bepaal
je op het beginpunt van de stap.
 De extra verplaatsing op dat punt wijst
naar S.
 Bereken de extra verplaatsing met:
sextra = 25/(afstand tot S)2
 Dit levert, met gebruik van figuur 26, de
volgende waarden van de extra verplaatsing
in de opeenvolgende tijdstappen: A: 0,33 –
B: 0,51 – C: 0,87 – D: 1,67 – E: 1,79 – F: 0,99
– G: 0,56 – H: 0,35 – I: 0,24.
30
a
b
c
d
e
De baan van de komeet Kirch
Ja.
De baan knikt, de komeet schiet in een rechte lijn weg.
De komeet komt zeer dicht bij de Zon: dus heel grote, snel veranderende
kracht.
Met een tijdstap van 0.002 komt de berekende baan dicht bij de waargenomen baan.
Met een nog kleinere tijdstap kun je naar verwachting de echte baan nog
beter benaderen. Je kunt nu bijvoorbeeld de hele baan van een nieuwe
komeet (of planeet) nauwkeurig voorspellen als je er een klein stuk van
kent.
7
1.7 Toepassingen van Newtons gravitatiewet
31
a
b
c
Gravitatiekracht op Aarde
Fz = m·g (met g = 9,81 m/s2). Voor 1 kg: Fz = 9,81 N
Fg = G·mA·1/(rA)2 = 9,80 N
Ja, bijna: Nederland ligt niet op de evenaar.
32 Invloed van de Aarde en de Zon op de Maan
a FA op M = G·mA·mM/(rA-M)2 = 1,98·1020 N
FZ op M = G·mZ·mM/(rZ-M)2 = 4,36·1020 N
De Zon oefent op de Maan een grotere kracht uit dan de Aarde.
b De Maan draait met de Aarde mee om de Zon, als gevolg van de zwaartekracht die de Zon uitoefent.
c Uit 32a volgt: FM op A = 1,98· 1020 N. FZ op A = 354·1020 N. Dus: FM op A is
veel kleiner dan FZ op A. De aanname was dus goed. Je kunt dat op
dezelfde manier voor andere planeten nagaan.
d Bijvoorbeeld aan de getijden.
33
a
b
c
d
e
Invloed van de Aarde op de komeet Kirch: ruwe schatting
mZ = 3·105·mA
rK-Z = 6,5·rK-A
FZ op K = 7·103·FA op K
Ja.
Ja: FA op K wordt daarna nog kleiner.
34 Invloed van de Aarde op de komeet Kirch: precieze berekening
a Schaal 0,045 m : 1,5·1011 m = 1:3,3·1013
b rZ-K = 0,052·3,3·1013 = 1,7·1012 m
rA-K = 0,009·3,3·1013 = 0,30·1012 m
c Gebruik G, mZ en rZ-K: FZ op K = 4,6·10–5·mK
Gebruik G, mA en rA-K: FA op K = 4,4·10–9·mK
Op 4 november 1680 was de kracht van de Aarde op de komeet 10000
keer kleiner dan de kracht van de Zon op de komeet.
d-e Zie opgave 33d en e.
35
a
b
c
d
e
36
a
b
c
d
e
Een satelliet lanceren
1,47 uur
342 km, 7690 m/s
Te laag gekozen: hij verliest namelijk hoogte, de aantrekking van de
Aarde is te groot.
366 - 367 km
Met hoogte 366,5 km: FA op 1 kg = 8,77 N
De komeet Halley uit het veld geslagen
Eigen antwoord.
FZ op K = G·mK·2·1030/(7·108)2 = G·mK.·4,0·1012 N
FJ op K = G·mK·2·1027/(0,35·108)2 = G·mK·1,6·1012 N
FJ op K wijst van K naar het midden van J, FZ op K wijst van K naar het
midden van Z.
Als FZ op K een pijl van 2 cm is, moet FJ op K er een van 8 mm zijn (zie 36b
en c).
De komeet wordt afgeremd en uit zijn baan getrokken nabij Jupiter.
8
37 Is Newtons theorie echt waar?
a-b Eigen antwoord. Noot: Wetenschappers en filosofen denken
tegenwoordig dat wetenschappelijke theorieën de waarnemingen van de
werkelijkheid zo precies en nauwkeurig mogelijk beschrijven en
verklaren, maar altijd voor verbetering vatbaar blijven.
Keuzemateriaal
1.3-B Keplers verklaring van de beweging van Mars
P
A
1
a
b
Keplers beschrijving van de beweging van Mars
Zie de tekening hiernaast.
P = perihelium: grootste snelheid. A = aphelium: kleinste snelheid.
2
a
b
c
Keplers verklaring begrijpen
Rood is aantrekkend: is rood dichter bij de Zon dan komt Mars dichter
bij de Zon.
Afstand E-Zon > afstand A- Zon. CG < AE.
In het aphelium (E in figuur 6) is Mars verder van de Zon, zodat het
species daar dunner is dan in het perihelium (A in figuur 6): Mars wordt
dus in E minder sterk meegesleept dan in A en beweegt daardoor in E
langzamer.
3
a
b
Testen van Keplers verklaring voor de beweging van Mars
Rotatiesnelheid Zon: 14. Aantal draden: 270-275.
Van één planeet is de beweging verklaard, maar niet van alle planeten.
4
a
Keplers bepaling van de baan van de Aarde
Vergeleken met Mars kun je het aantal draden van de Aarde aanpassen,
maar de rotatiesnelheid van de Zon niet: die is hetzelfde als bij Mars.
Lukt niet bij rotatiesnelheid 14: zelfs bij 0 draden beweegt de Aarde in
theorie te snel. Het lukt wel bij rotatiesnelheid 11.9 en aantal draden 30.
b
5
a
b
6
a
b
c
7
a
b
Newtons bepaling van de baan van de Aarde
Je mag niets aanpassen vergeleken met de planeet Mars: de massa van
de Zon is nog hetzelfde.
Lukt voor zonsmassa 1990.
Welke verklaring werkt het best voor andere planeten?
Newtons aanpak geeft voor de beweging van Mars en de Aarde de juiste
verklaring, die van Kepler niet. De rotatiesnelheid van de Zon moet
immers bij Kepler in beide gevallen (bij Mars en bij de Aarde) hetzelfde
zijn, maar dat leidt niet tot overeenstemming tussen de constructie en de
waargenomen baan.
Newtons aanpak voldoet ook voor de planeten Venus en Mercurius.
We weten alleen dat je met Newtons aanpak de bewegingen van vier
planeten goed kunt verklaren, maar niet of dat ook voor andere planeten
zo is. In principe kan het bij de volgende planeet mis gaan. We moeten
nog steeds testen of het goed blijft gaan.
Welke verklaring is het best en waarom?
Nee, het zou kunnen dat er meer dan een kracht werkzaam is. Op basis
van een enkel voorbeeld kun je ‘Ockhams Razor’ niet toepassen.
Naarmate meer extra aannames nodig zijn om de verklaring kloppend te
maken, zal steeds meer aan die verklaring getwijfeld worden. Als een
9
c
d
andere verklaring geen extra aannames nodig heeft en toch steeds goed
voldoet groeit het vertrouwen daarin. Op den duur wint Newtons
verklaring het – je gebruikt dan ‘Ockhams Razor’.
Je mag je eigen verdediging geven. Maar bedenk ook: niemand weet hoe
iets zou bewegen als er helemaal geen invloed zou werken, want die
situatie bestaat nergens. Maar Newtons aannames leveren een theorie op
die heel goed werkt: dan zijn die aannames dus waardevol, al weten we
niet zeker of ze waar zijn.
Je mag je eigen visie geven. Maar overweeg ook: Newton gaf toe dat hij
niet kon uitleggen hoe voorwerpen zwaartekracht op elkaar uitoefenen.
In die zin is het antwoord niet overtuigend. Maar een beter antwoord is
er niet.
1.7-B Extra opgaven
1
a
b
c
d
Maan-Aarde evenwicht
r = (6,378 + 5)·106 m; Fg = 3,08 N
r = √(G·MA/Fg) = 2,00·107 m. h = (20,0 – 6,378)·106 m= 13,6·106 m
r = √(G·MM/Fg) = 2,21·106 m. h = 2,21·106 – rM = 0,47·106 m
De kracht door de Aarde op de raket moet even groot zijn als de kracht
door de Maan op de raket: FA op raket = FM op raket. Dus geldt:
G·mM·mraket/(rM-raket)2 = G·mA·mraket/(rA-raket)2
Zie de tekening hieronder voor de betekenis van de symbolen. P is het
punt waar de Maan en de Arde even grote krachten op de raket
uitoefenen.
FA op raket = FM op raket
Aarde
P
rM-raket
rA-raket
Maan
rA-M
Vereenvoudig de formule: mM/(rM-raket)2 = mA/(rA-raket)2  (rA-raket)2·mM =
(rM-raket)2·mA  rA-raket·√(mM/mA) = rM-raket
Er geldt ook: rA-raket = rA-M – rM-raket (zie de tekening).
Dus: rA-raket = rA-M·(1 - √(mM/mA)) = 0,90·rA-M = 3,46·108 m
2 Hoe zwaar ben je?
a Fz = 9,81·m
b Zie BINAS, tabel 31.
c-d Eigen antwoord.
3
a
b
4
a
b
c
d
Afvallen bij bergbeklimmen
De hoogteverandering is ongeveer 10 km op een totaal van ongeveer
6500 km: minder dan 1%. Een massaverlies van 3 kg betekent een verlies
van ongeveer 5%.
9,77 N: een verschil van 0,04 N ofwel 0,4%.
Deimos, maan van Mars
Gebruik BINAS, tabel 31 en de gravitatieformule.
1,55·1014 N
Deimos en Mars oefenen even grote krachten op elkaar uit.
Ze bewegen in tegengestelde richting, naar elkaar toe.
s1 = (Fdoor 2 op 1/m1)·(Δt)2 = G·m2·(Δt)2/(r1-2)2 en s2 = G·m1·(Δt)2/(r1-2)2. De
10
e
f
g
h
5
a
b
c
d
verplaatsing van bal 1 is evenredig met de massa van bal 2, die van bal 2
is evenredig met de massa van bal 1.
Massa’s gelijk, verder de situatie hetzelfde.
s1 = G·m2·(Δt)2/(r1-2)2 = 6,67·10-11·100·(3600)2/1 = 0,086 m
De verplaatsing van bal 1 is 10 keer zo klein: zie 4d.
Ze zijn dichter bij elkaar gekomen, en de kracht is dus groter geworden.
Kracht en snelheid bij komeetbanen
v = 0,4028; F = 0,0356; r = 26,5134.
v = 42774; F = 3,9671; r = 2,5103.
Perihelium: F = C/r2  C = F·r2 = 25,03
Aphelium: C = F·r2 = 24,99
Conclusie: de kracht is omgekeerd kwadratisch evenredig met de afstand
tot de Zon.
De snelheid is niet omgekeerd kwadratisch evenredig, maar omgekeerd
evenredig met de afstand tot de Zon:
Perihelium: v·r = 10,68
Aphelium: v·r = 10,73
11