elektro-magnetische trillingen en golven

Periodieke verschijnselen : elektro-magnetische
trillingen en golven
Auteur : Jouri Van Landeghem
versie 0;91
1
Copyright (c) 2008 Jouri Van Landeghem.
Toestemming wordt verleend tot het kopiëren, verspreiden en/of wijzigen van dit
document onder de bepalingen van de GNU Vrije Documentatie Licentie, versie 1.2
of iedere latere versie uitgegeven door de Free Software Foundation. Een kopie van
de licentie is terug te vinden op http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt.
2
Inhoudsopgave
1 Productie en transport van elektrische energie..................................................................................5
1.1 Opwekken van wisselspanning..................................................................................................5
1.1.1 Magnetische inductie.........................................................................................................5
a Het inductieverschijnsel......................................................................................................5
b De magnetische flux van een homogeen veld.....................................................................5
c De inductiewet van Faraday-Lenz.......................................................................................5
1.1.2 De wisselspanningsgenerator : principe.............................................................................7
1.1.3 De effectieve waarde van wisselspanning en wisselstroom...............................................8
1.1.4 Opwekken van wisselspanning op grote schaal...............................................................10
a Meerfasige wisselspanning................................................................................................10
b Thermische centrales.........................................................................................................10
c Alternatieve energiebronnen..............................................................................................12
1.2 Transport van elektrisch vermogen..........................................................................................15
1.2.1 De voordelen van hoogspanning......................................................................................15
1.2.2 De transformator..............................................................................................................16
1.2.3 Structuur van het elektriciteitsnet....................................................................................18
1.3 Oefeningen...............................................................................................................................19
2 Wisselstroomketens °......................................................................................................................20
2.1 Wisselspanning over een weerstand........................................................................................20
2.2 Wisselspanning over een condensator.....................................................................................20
2.2.1 De condensator.................................................................................................................20
2.2.2 Proefondervindelijk onderzoek........................................................................................21
2.2.3 Capacitieve reactantie......................................................................................................22
2.3 Wisselspanning over een spoel................................................................................................23
2.3.1 Zelfinductiecoëfficiënt (inductantie)................................................................................23
2.3.2 Proefondervindelijk onderzoek........................................................................................24
2.3.3 Inductieve reactantie........................................................................................................24
2.4 De RCL-keten..........................................................................................................................25
2.4.1 Bepalen van de impedantie..............................................................................................25
2.4.2 Resonantie........................................................................................................................27
2.4.3 Filter-circuits....................................................................................................................27
2.5 Vermogen van een wisselstroomketen....................................................................................30
2.6 Oefeningen...............................................................................................................................32
3 Elektromagnetische golven.............................................................................................................34
3.1 Opwekken van EM golven......................................................................................................34
3.1.1 De LC-oscillator...............................................................................................................34
3.1.2 Energietransfer via elektromagnetische golven...............................................................36
3.2 Het elektromagnetisch spectrum..............................................................................................37
3.2.1 Overzicht..........................................................................................................................37
3.2.2 Radiogolven.....................................................................................................................39
3.2.3 Microgolven.....................................................................................................................40
a Radar..................................................................................................................................40
b Microgolfoven...................................................................................................................41
c Telecommunicatie.............................................................................................................42
3.2.4 Infra-rood.........................................................................................................................42
3.2.5 Zichtbaar licht..................................................................................................................43
3.2.6 Ultra-violet.......................................................................................................................43
3
3.2.7 X-stralen...........................................................................................................................44
3.2.8 Gamma-stralen.................................................................................................................45
3.3 Golfeigenschappen van zichtbaar licht....................................................................................45
3.3.1 Interferentie......................................................................................................................45
a Interferentieproef van Young............................................................................................45
b Kwantitatieve verklaring...................................................................................................46
c Interferentie aan dunne films.............................................................................................47
3.3.2 Diffractie..........................................................................................................................49
a Kwalitatieve verklaring.....................................................................................................49
b Kwantitatieve verklaring...................................................................................................49
3.3.3 Polarisatie.........................................................................................................................50
a Polarisatieverschijnsel.......................................................................................................51
b Polarisatie door absorptie..................................................................................................52
c Polarisatie bij weerkaatsing...............................................................................................53
d Polarisatie door verstrooiing.............................................................................................53
e Optische activiteit..............................................................................................................54
3.4 Oefeningen...............................................................................................................................55
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie......................................................................................56
4.1 Invariantie van de lichtsnelheid...............................................................................................56
4.1.1 Het relativiteitsprincipe....................................................................................................56
4.1.2 De snelheid van het licht..................................................................................................56
4.1.3 Het Michelson-Morley experiment..................................................................................57
4.1.4 Verklaringen.....................................................................................................................58
4.1.5 Einstein's relativiteitsprincipe..........................................................................................58
4.2 Gevolgen van het relativiteitsprincipe.....................................................................................59
4.2.1 Gelijktijdigheid................................................................................................................59
4.2.2 Tijddilatatie......................................................................................................................60
4.2.3 Lengtecontractie...............................................................................................................62
4.3 Andere gevolgen......................................................................................................................62
4.4 Experimentele bevestigingen van de relativiteitstheorie.........................................................63
4.5 Oefeningen...............................................................................................................................64
5 Inleiding in de quantummechanica..................................................................................................65
5.1 Zwarte-lichaamstraling – wet van Planck................................................................................65
5.2 Het foto-elektrisch effect – duale aard van licht......................................................................66
5.3 Duale aard van materie............................................................................................................68
5.3.1 Emissie-en absorptiespectra van gassen..........................................................................68
5.3.2 Het atoommodel van Bohr...............................................................................................69
5.3.3 De hypothese van de Broglie...........................................................................................70
5.4 Gevolgen van het golf-deeltjes dualisme.................................................................................71
5.4.1 Interferentie van elektronen.............................................................................................71
5.4.2 Waarschijnlijkheidsgolven...............................................................................................72
5.4.3 Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg.......................................................................73
5.5 Oefeningen...............................................................................................................................74
4
1 Productie en transport van elektrische energie
1 Productie en transport van elektrische energie
1.1
Opwekken van wisselspanning
1.1.1
a
Magnetische inductie
Het inductieverschijnsel
We koppelen een spoel aan een voltmeter, en bewegen een magneet snel in de
spoel. Wat neem je waar ?
Wat gebeurt er als we de magneet stil houden ?
En wat als we de magneet er weer snel uithalen ?
We laten een magneet ronddraaien voor de spoel. Wat neem je waar ?
Als het magnetisch veld door de spoel wijzigt, ontstaat er een spanning Ui over
de spoel. Dit verschijnsel noemen we magnetische inductie.
Afbeelding 1: Beweeg je een magneet door een spoel, dan wordt er
een spanning opgewekt over de uiteinden van de spoel.
b
De magnetische flux van een homogeen veld
Om de relatie af te leiden tussen wijziging in magnetisch veld en geïnduceerde
spanning, voeren we een nieuwe eenheid, de magnetische flux.
Beschouw een gesloten geleider, die een oppervlak A insluit. Als we die geleider

in een homogeen magnetisch veld plaatsen met veldsterkte
B , zo dat de

normaal van het oppervlak evenwijdig loopt met
B , dan definiëren we de
magnetische flux door het oppervlak als :
=B⋅A
Indien de normaal een hoek a maakt met 
B , dan levert enkel die component
van 
B evenwijdig met de normaal een bijdrage aan de flux. De formule voor
de flux wordt dan :
=B cos ⋅A
c
De inductiewet van Faraday-Lenz
De wet van Faraday-Lenz geeft de relatie weer tussen de geïnduceerde spanning
5
1 Productie en transport van elektrische energie
en de wijziging van het magnetisch veld. Experimenteel kunnen we vaststellen
dat als de magnetische flux wijzigt met een waarde ∆Φ door een gesloten
geleider (op welke manieren kan de flux wijzigen ?) , er dan een spanning wordt
geïnduceerd, zo dat
●
de grootte van de gemiddelde geïnduceerde spanning recht
evenredig is met de fluxwijziging;
●
de grootte van de gemiddelde geïnduceerde spanning omgekeerd
evenredig met het tijdsinterval waarin de fluxwijziging
plaatsvindt.
Met andere woorden :
∣U i , m∣=

t
Deze formule geeft ons de grootte van de geïnduceerde spanning, maar zegt
niks over de polariteit van de geïnduceerde spanning. Om hier meer over te
weten te komen beschouwen we volgende opstelling :
Een niet-magnetische metalen ring wordt opgehangen aan een draad en over
een elektromagneet geschoven. Schakelen we de elektromagneet aan, dan
wordt de ring tijdens het inschakelen kortstondig afgestoten. Eens de
elektromagneet ingeschakeld is, blijft de ring stationair. Wordt de
elektromagneet weer uitgeschakeld, dan wordt de ring kortstondig
aangetrokken.
Hoe kunnen we nu dit verschijnsel verklaren, en wat vertelt ons dit verschijnsel
Afbeelding 2: De wet van Lenz: wijzigt de flux door de geleider, dan is de stroom zo dat het opgewekt
magnetisch veld de fluxverandering tegenwerkt.
over de polariteit van de geïnduceerde spanning ?
Bij het inschakelen van de elektromagneet wijzigt de magnetische flux door de
ring. Dit veroorzaakt een geïnduceerde spanning over de ring, waardoor er een
geïnduceerde stroom gaat vloeien door de ring.
6
1 Productie en transport van elektrische energie
Een stroom door een gesloten geleider veroorzaakt echter ook een magnetisch
veld, en de richting van de stroom is blijkbaar zo dat het opgewekte
magneetveld tegengesteld gericht is aan het opkomende veld van de
elektromagneet.
Bij het uitschakelen van de elektromagneet is het verschijnsel analoog, alleen is
de polariteit van de spanning de stroomzin zo dat het opgewekte magneetveld
gelijk gericht is aan het verdwijnende veld van de elektromagneet.
Eens de elektromagneet ingeschakeld, is het magnetisch veld constant, en is er
geen spanning over de ring en bijgevolg geen stroom door de ring. De ring blijft
stationair.
In beide gevallen lijkt het opgewekte magneetveld de wijziging in flux te willen
tegenwerken. Bij het inschakelen door een tegengesteld veld op te wekken, bij
het uitschakelen door het verdwijnen te compenseren met een gelijkgericht veld.
Dit verschijnsel staat bekend als de wet van Lenz:
De geïnduceerde spanning is zodanig dat de wijziging in magnetische
flux wordt tegengewerkt.
Om aan te geven dat de
tegenwerken, schrijven we :
U i , m=−
geïnduceerde
spanning
de
fluxwijziging
wil

t
We kunnen overgaan van gemiddelde naar ogenblikkelijke spanning door het
gemiddelde te nemen over een oneindig klein tijdsinterval:

t
t 0
d
U i=−
dt
U i= lim −
1.1.2
De wisselspanningsgenerator : principe
Een eenvoudige wisselspanningsgenerator bestaat uit een sterke magneet
waartussen een draaibare spoel, bestaande uit een aantal rechthoekige koperen
windingen, draaibaar is opgesteld. De magneet wordt de inductor genoemd, de
spoel het anker of alternator.
De uiteinden van het anker zijn met twee sleep- of collectorringen
verbonden. Tegen de collectorringen slepen twee geleidende staafjes, de
borstels genoemd.
Veronderstel dat de inductor een homogeen magnetisch veld met veldsterkte

B opwekt. Veronderstellen we verder dat op tijdstip t = 0 s de windingen van
het anker loodrecht op de magnetische veldlijnen staan. Zij N het aantal
windingen van het anker, en A de oppervlakte van een winding.
7
1 Productie en transport van elektrische energie
In verticale stand is de totale
magnetische flux doorheen
het raam gegeven door :
 N =N⋅B⋅A
Als het anker over een hoek α
gedraaid is, wordt deze :
 N =N⋅B⋅A⋅cos 
Draaien we het anker eenparig
rond met hoeksnelheid ω, dan
verandert α in de loop van de tijd
:
= t
Dus :
 N t= N⋅B⋅A⋅cos t
Afbeelding 3: Constructie van de
wisselspanningsgenerator. (bron: www.incert.nec.in)
Volgens de inductiewet ontstaat
er een inductiespanning gegeven
door :
U i=−
d N
dt
d
 N⋅B⋅A⋅cos t 
dt
U i=N⋅B⋅A⋅⋅sin  t
U i=−
Stellen we
U max =N⋅B⋅A⋅ dan is :
U =U max sin  t
We bekomen een sinusoïdale spanning, een elektrische trilling.
Bovenstaande generator is slechts één bepaald type. Men kan ook de spoel
vastzetten en de magneet laten ronddraaien, of werken met meerdere spoelen
en meerdere magneten.
Plaatsen we een wisselspanningsbron over een geleider met weerstand R, dan
zal door die geleider een stroom vloeien die recht evenredig is met de spanning,
en bijgevolg eveneens periodiek zal zijn. Uit de wet van Ohm volgt :
I=
I=
U max
⋅sin t
R
I =I max sin t
1.1.3
U
R
met I max =
U max
R
De effectieve waarde van wisselspanning en wisselstroom
Als we een voltmeter over een wisselspanningsbron met lage frequentie (bvb. 2
Hz) plaatsen, dan zullen we de naald van die voltmeter heen en weer zien
bewegen met de frequentie van de wisselspanning. Bij hogere frequenties kan
de naald de spanning niet meer volgen, en blijft ze op nul staan. Hoe kunnen we
nu een wisselspanning meten ?
8
1 Productie en transport van elektrische energie
Als we een voltmeter met een schaal voor wisselspanningen met het net
verbinden, geeft deze een constante waarde aan. Deze waarde is de effectieve
waarde van de wisselspanning (effectieve spanning). De manier waarop
de stroom in de verbruikerstoestellen tot stand komt, heeft niet echt belang.
Slechts de in de toestellen ontwikkelde energie in een bepaalde tijd (het
vermogen) is belangrijk. We definiëren dan ook de effectieve waarden in
functie van de ontwikkelde energie :
De effectieve waarde van een wisselspanning Ue, is de waarde die een
constante gelijkspanning moet hebben
–
om in één periode T
–
in dezelfde weerstand R
–
dezelfde warmtehoeveelheid Q te ontwikkelen
als de wisselspanning.
Deze warmte, is voor de gelijkspanning , volgens de wet van Joule gelijk aan :
Q=
U 2e
⋅T
R
Bij een wisselspanning beschouwen we eerst een een oneindig kleine
warmtehoeveeldheid dQ, ontwikkeld in een oneindig klein tijdsinterval dt.
2
U
dQ= ⋅dt
R
U 2max 2
dQ=
sin t⋅dt
R
De totale warmtehoeveelheid bij een wisselspanning, in één periode ontwikkeld,
is dan :
T
Q=∫ dQ
T
Q=∫
0
0
2
max
U
2
sin t⋅dt
R
2
U max T
Q=
sin2 t⋅dt
∫
R 0
Rekening houdend met
sin 2 t=
1−cos 2 t
,
2
U 2max T 1−cos 2 t
⋅dt
∫
R 0
2
U 2max T
U 2max T
Q=
∫ dt− 2R ∫ cos 2 t⋅dt
2R 0
0
Q=
Integratie levert :
Q=
U 2max
U2
⋅T − max [sin 2 t] T0
2R
4R
Als we rekening houden met ω = 2π/T, dan valt de tweede term weg, en is
9
1 Productie en transport van elektrische energie
Q=
U 2max
⋅T
2R
Uit de definitie van effectieve waarde volgt dan
U 2e
U 2max
⋅T =
⋅T
R
2R
U
U e = max =0,707 U max
2
De hierbij horende effectieve waarde van de wisselstroom is gelijk aan :
I e=
I e=
1.1.4
a
Ue
R
U max I max
=
=0,707 I max
R2 2
Opwekken van wisselspanning op grote schaal
Meerfasige wisselspanning
Het hierboven besproken type is een generator die éénfasige wisselspanning
opwekt. Nadeel hiervan is dat het opgewekte vermogen niet constant is, en ook
periodiek varieert. Om een constant vermogen te garanderen, genereren de
meeste grootschalige generatoren driefasige wisselstroom. Bij een driefasige
generator zijn er drie in plaats van twee elektromagneten die onder een hoek
van 120° staan. Deze genereren drie spanningen, die onderling 120° uit fase
zijn.
b
Thermische centrales
Het grootste deel van het
in België geproduceerde
elektrische vermogen is
afkomstig van thermische
centrales.
In
een
thermische centrale wordt
één of andere brandstof
gebruikt om stoom op te
wekken, welke een turbine
zal aandrijven. Aan deze
turbine
wordt
een
alternator gekoppeld, die
geplaatst wordt in een
sterk magnetisch veld van
een elektromagneet. Door
het draaien van de turbine Afbeelding 4: Schema van een klassieke thermische centrale
(3000 toeren per minuut, (bron: www.howstuffworks.com)
of 50 Hz) wordt
de
magnetische flux door de alternator continu gewijzigd, en wordt spanning
opgewekt. We onderscheiden een aantal veel gebruikte types thermische
centrales :
●
De klassieke thermische centrales werken op steenkool, gas of diesel.
10
1 Productie en transport van elektrische energie
De brandstof wordt aangewend om stoom te produceren, welke gebruikt
wordt om een turbine aan te drijven, die gekoppeld is aan een alternator.
Voordelen zijn de grote flexibiliteit (kunnen gemakkelijk overschakelen op
andere brandstoftypes), nadelen de grote uitstoot van broeikasgassen en
de afhankelijkheid van fossiele brandstoffen.
●
In een STEG-centrale wordt stroom opgewekt op twee manieren:
allereerst wordt gas verbrand in een gasturbine, die een eerste alternator
aandrijft, waarna de opgewarmde gassen afgeleid worden en gebruikt om
stoom op te wekken, waarmee een klassieke stoomturbine wordt
aangedreven. Dit geeft een zeer hoge efficiëntie (+ 60%). Voordelen zijn
de milieuvriendelijkheid (lage uitstoot broeikasgassen) en grote
efficiëntie, nadelen de afhankelijkheid van één type brandstof.
Afbeelding 5: Voorstelling van een STEG-centrale. Let op de twee turbines met
alternatoren. (bron: www.electrabel.be)
●
Het grootste aandeel van geproduceerd vermogen komt van nucleaire
centrales. De centrales van Doel en Tihange leveren elk meer dan 2800
MW. In een nucleaire centrale wordt stoom gegenereerd met warmte
afkomstig van gecontroleerde nucleaire reacties. Het voordeel van
nucleaire centrales is dat zij goedkoop véél energie kunnen leveren, dat
de uitstoot van schadelijke gassen en de directe impact op het milieu zeer
beperkt is. Een groot nadeel is dat de verbruikte brandstof nog honderden
jaren radio-actief blijft en dat de grootste voorzorgen genomen moeten
worden in de behandeling en opslag van dat afval. Zie ook het deel over
nucleaire fysica. Andere nadelen zijn het kleine rendement (15%), en de
grote operationele veiligheidsrisico's.
11
1 Productie en transport van elektrische energie
Afbeelding 6: schematische voorstelling kerncentrale
●
Er wordt volop geëxperimenteerd met centrales die werken met
biomassa als brandstof. Hiervoor worden bvb. houtpaletten gebruikt van
hout van het “korte omloop”-type, zoals wilgen en populieren, of
restproducten uit landbouw. Eén van de belangrijkste voordelen is dat er
netto geen CO2 wordt uitgestoten (de CO2 die vrijkomt bij verbranding, is
éérst uit de atmosfeer opgenomen door de gewassen). Nadeel is dat de
productie van deze brandstof intensief is en (nog) niet geschikt voor
gebruik op grote schaal.
●
Een geothermische centrale maakt gebruik van de warmte van de
aarde om stoom te genereren om elektriciteit op te wekken. Voordelen
hiervan zijn de afwezigheid van uitstootgassen, maar deze vorm van
elektriciteitsproductie kan enkel maar op een zeer beperkt aantal
plaatsen.
Afbeelding 7: schema van een geothermische centrale
c
Alternatieve energiebronnen
Naast thermische centrales zijn er nog een aantal alternatieve manieren om
12
1 Productie en transport van elektrische energie
elektrische energie op te wekken, waarvan we hier de meest courante
vermelden :
●
Waterkrachtcentrales zijn
al sinds de eerste helft van
vorige eeuw. In plaats van
stoom
gebruikt
een
waterkrachtcentrale de kracht
van vallend of stromend
water. Hoewel de voordelen
groot zijn (geen schadelijke
emissies, onafhankelijk van
brandstof, gegarandeerde en
controleerbare stroom), zijn
er toch ook serieuze nadelen.
Stuwdammen kunnen alleen
gebouwd worden waar het
Afbeelding 8: De Gileppe stuwdam. (bron:
landschap het toelaat, en www.lagileppe.be)
centrales die gebruik maken
van het debiet van een rivier
genereren maar een klein vermogen. De bouw van een stuwdam heeft
dikwijls zéér drastische gevolgen voor het landschap, het ecosysteem en
de waterhuishouding.
●
Het
gebruik
van
windturbines neemt toe in
de hele wereld. De laatste
jaren is de efficiëntie van de
windmolens er enorm op
vooruit gegaan. De voordelen
zijn legio: onafhankelijk van
brandstof, geen schadelijke
emissies, minimale impact op
landschap en ecosysteem, ...
Toch zijn er ook serieuze
nadelen : windenergie is
wispelturig
en
onvoorspelbaar, en pieken
zowel in vraag als productie
zijn moeilijk op te vangen.
●
Afbeelding 9: Windturbine
Zonne-energie kan op een
groot
aantal
manieren
aangewend worden om elektrische energie op te wekken. De meest
voorkomende technologie is de foto-voltaïsche cel. Hoewel deze de
laatste jaren aanzienlijk efficiënter geworden zijn, zijn zij verre van
geschikt voor toepassingen op industriële schaal, doordat zij nog steeds
zeer duur zijn en al bij al maar een beperkt voltage kunnen genereren.
Een ander type centrale dat gebruik maakt van zonne-energie is de
heliostat-centrale. Deze centrales gebruiken grote richtbare spiegels
om de zonne-energie te concentreren op een collector, die daardoor
opgewarmd wordt tot + 300°C. Deze warmte wordt dan gebruikt om op
de klassieke manier stoom te creëren om een turbine aan te drijven. Deze
zijn nog in experimenteel stadium, al zijn de resultaten van
proefopstellingen veelbelovend.
13
1 Productie en transport van elektrische energie
Afbeelding 11: Fotovoltaïsche cellen. (bron:
http://hpb.buildinggreen.com/)
Afbeelding 10: De SOLAR 2 heliostat centrale. (bron:
www.renewableenergyacces.com)
OPDRACHT ELEKTRICITEITSPRODUCTIE
We hebben in de cursus een overzicht staan van een aantal types centrales met
hun voor-en nadelen, maar in welke mate draagt welk type centrale bij tot de
energieproductie hier in België ?
Het doel van deze taak is dat je daar een overzicht van maakt...
Surf naar de site www.elia.be. Elia is de maatschappij die het elektriciteitsnet in
België uitbaat.
Ga naar “operational data & tools”, klik op “productie”, en vraag dan het overzicht
op van het productiepark.
Hier vind je een tabel met alle actieve centrales, uitbater, type centrale, type
brandstof en vermogen.
Met behulp van deze data maak kan je nu een aantal analyses maken :
●
●
●
Bereken het totaal beschikbaar vermogen gegenereerd door alle
centrales.
Maak een overzichtsgrafiek (pie-chart) van het aandeel in dat vermogen
per type centrale dat beschreven is in de cursus. Ter verduidelijking :
centrales aangeduid met een “combined cycle” zijn STEG's, gasturbines,
cogeneratie en incineratie centrales (waar zowel warmte als elektriciteit
gegegeneerd wordt, dikwijls op industriële sites), turbojets kan je onder
“klassieke centrales” onderbrengen, pompstations vallen onder
waterkrachtcentrales.
Maak eveneens een overzichtsgrafiek van het aandeel in dat vermogen
dat gegenereerd wordt met fossiele brandstof (gas, diesel, verschillende
steenkoolvormen, ...), nucleaire energie, hernieuwbare energie (water,
wind, zonne-energie, biomassa, geothermische...) en andere. Maak voor de
fossiele brandstoffen een overzicht van het aandeel van elke vorm.
Je kan deze grafieken maken door de data te copiëren naar een spreadsheet
14
1 Productie en transport van elektrische energie
(EXCEL of aanverwanten), de data te ordenen zoals gewenst en dan daarmee de
nodige berekeningen en grafieken maken.
Met deze data voorhanden, denk na over volgende vragen en schrijf kort jouw
mening :
●
●
●
●
1.2
De afhankelijkheid van fossiele brandstoffen is nog altijd aanzienlijk. Geef
een aantal redenen waarom dit een slechte zaak is, en denk na hoe we dit
kunnen verminderen.
Vind je het aandeel hernieuwbare energie voldoende ? Hoe zou dit
opgedreven kunnen worden ? Als je weet dat de modernste windmolens een
vermogen kunnen leveren van 4,5 MW per molen, hoe groot moeten de
nieuwe windparken dan zijn om de nucleaire centrales te vervangen en de
afhankelijkheid van fossiele brandstoffen met 25% te verminderen ?
Hoe denk je over de uitstap in nucleaire energie ? Zoals je ziet, is het
aandeel van de nucleaire centrales in de totale productie aanzienlijk groot...
Hoe zouden we dit kunnen opvangen ?
Hoe kan jij een bijdrage leveren om CO2 uitstoot te verminderen ?
Transport van elektrisch vermogen
1.2.1
De voordelen van hoogspanning
Het voordeel van wisselspanning is dat men voor een gegeven
vermogen de spanning kan verhogen en de stroom kleiner kan maken,
en omgekeerd, zonder al te grote verliezen aan vermogen. Dit maakt het
mogelijk het elektrisch vermogen economisch rendabel te transporteren over
grote afstanden. We lichten toe aan de hand van een voorbeeld :
Elektrische energie wordt langs kabels naar de verbruiker overgebracht. Dit
transport brengt onvermijdelijk verliezen mee, onder andere door
warmteontwikkelingen in de leidingen. Men poogt deze verliezen tot een
minimum te beperken.
Veronderstel dat een vermogen van 1000 kW over een afstand van 10 km moet
overgebracht worden, en dat dit onder een effectieve spanning van 200 V
gebeurt. Indien we de kabel als een zuiver resistief element beschouwen, kan de
stroom berekend worden uit de formule P=U⋅I .
Bereken de stroom die door de kabel vloeit:
I = ___________________________________________________
Veronderstellen we dat maximimaal 10 % van dit vermogen verloren mag gaan.
Indien de stroomsterkte dezelfde blijft, mag het spanningsverlies U' in de
leidingen maximaal 20 V zijn. Bereken nu de hoogst toegelaten weerstand van
de draden met de formule U ' =R⋅I .
R = ___________________________________________________
Bij koper is de resistiviteit
=1,7⋅10−8  m . Bereken nu via de wet van Pouillet
15
1 Productie en transport van elektrische energie
R=⋅
l
de oppervlakte A van de maximaal toegelaten doorsnede van de
A
kabels voor een totale lengte van 20 km (heen en terug) .
A = ____________________________________________________
Bepaal de diameter d van de kabel gebruik makende van de formule
A=
⋅d 2
4
d = _____________________________________________________
Herhaal nu de berekingen indien we het vermogen zouden kunnen transporteren
onder een spanning van 300 kV.
I = ______________________________________________________
R = _____________________________________________________
A = _____________________________________________________
d = ______________________________________________________
Conclusie:
________________________________________________________________
________________________________________________________________
1.2.2
De transformator
Een transformator is een toestel dat
toelaat de spanning te verhogen of
te verlagen. Het bestaat uit twee
spoelen die verbonden zijn door een
gesloten ijzeren kern (zie figuur).
Aan de primaire spoel wordt een
wisselspanning U aangelegd. Deze
wisselspanning veroorzaakt in de
primaire spoel een wisselstroom die
het
onstaan
geeft
aan
een
wisselende magnetische inductie,
wat zelf een wisselende magnetische
flux tot gevolg heeft. Daardoor wordt Afbeelding 12: Structuur van een transformator.
in
de
primaire
spoel
een
tegenspanning
geïnduceerd,
die
volgens de algemene inductiewet gegeven is door :
U p=−
d p
d 1
=−N p⋅
dt
dt
(1)
waarbij Np het aantal windingen is van de primaire spoel en Φ1 de flux door één
winding voorstelt.
16
1 Productie en transport van elektrische energie
Aangezien de ijzeren kern gesloten is, blijven praktisch alle veldlijnen in de kern.
De wisselende magnetische flux die zich in de primaire voordoet, doet zich
eveneens voor in de secundaire. Daardoor ontstaat in deze spoel een spanning
Us, waarvoor geldt:
U s=−
d s
d
=−N s⋅ 1
dt
dt
(2)
waarbij Ns het aantal windingen is van de secundaire spoel en Φ1 de flux door
één winding voorstelt.
Delen we (1) door (2), dan vinden we :
U p Np
=
U s Ns
Deze betrekking is geldig voor ogenblikkelijke waarden, dus ook voor de
topwaarden, en bijgevolg ook voor de effectieve waarden :
U ep N p
=
U es N s
Zijn
de
verliezen
door
transformator), dan geldt :
warmteontwikkeling
verwaarloosbaar
(ideale
P p =P s
U p⋅I p =U s⋅I s
Up Is
=
Us I p
Stroomsterkten in primaire en secundaire zijn dus omgekeerd evenredig met de
spanningen. Samengevat :
U p Is N p
= =
U s Ip Ns
De transformator kan gebruikt worden om laag- in hoogspanning om te zetten
en omgekeerd, wat het transport van elektrische energie aanzienlijk efficiënter
kan maken.
Eveneens kan een transformator gebruikt worden zeer hoge stromen op te
wekken, wat zijn toepassing vindt in bvb. puntlassen.
Afbeelding 13: Puntlasapparaat met ingebouwde
transformator
17
1 Productie en transport van elektrische energie
1.2.3
Structuur van het elektriciteitsnet
In de praktijk bedraagt de spanning opgewekt in centrales ongeveer 3000 V
effectief. Deze wordt door transformators naast de centrale opgetransformeerd
tot + 100 000 V (in bepaalde gevallen tot 380 KV). Vandaar wordt het vermogen
getransporteerd via hoogspanningslijnen naar verschillende verdeelstations,
waar het afgetransformeerd wordt tot een tiental kilovolt, en verdeeld naar
lokale
distributiestations
(transformatorhuisjes),
waar
het
verder
afgetransformeerd wordt tot 220 V en zo aan de verbruiker geleverd.
Afbeelding 15: Hoogspanningslijnen. Waarom telt elke mast
zeven kabels ?
Afbeelding 14: Transport van elektriciteit van centrale
naar verbruiker. (bron: www.science.smith.edu)
18
1 Productie en transport van elektrische energie
1.3
Oefeningen
1. Een lus met oppervlakte 0,0312 m² staat met haar as evenwijdig aan de
veldlijnen van een homogeen magnetisch veld van 40,5 mT. De
oppervlakte van de lus wordt in 2,15 s vergroot tot 0,104 m². Bereken :
○
De fluxverandering door de lus.
○
De gemiddelde inductiespanning in de lus.
○
De flux door de oorspronkelijke lus als haar as en de veldlijnen een
hoek van 37° 17' insluiten.
2. Door een spoel met 1200 windingen en een lengte van 25,0 cm gaat een
stroom van 12,4 A. In de spoel zit een weekijzeren kern met µ r = 800.
Om de kern zit een ring met weerstand 0,01 Ω en een doorsnede van
15,17 cm². Bereken de gemiddelde stroomsterkte die in de ring
geïnduceerd wordt als men hem in 0,052 s van de kern afschuift en
buiten het veld van de spoel brengt.
3. Een transformator heeft een primaire spoel met 500 windingen en een
secundaire met 3500 windingen. Aan de primaire wordt een netspanning
van 230 V effectief aangelegd. Welke effectieve spanning krijgt men aan
de secundaire ?
4. Een beltransformator heeft een primaire spoel van 1000 windingen. De
primaire wordt aan de netspanning van 230 V geschakeld. De bel werkt
onder een spanning van 5,5 V. Hoeveel windingen moet de secundaire
hebben ?
5. Door de primaire van een transformator, aangesloten op een effectieve
spanning van 3500 V, vloeit een stroom van 10 A. Het rendement van de
transformator is 0,95. Aan de secundaire bekomt men een effectieve
spanning van 700 V. Hoe groot is de stroomsterkte in de secundaire ?
Een transformator heeft een primaire van 600 windingen en wordt op de
de netspanning van 220 V effectief aangesloten ? De secundaire bestaat
uit 6 windingen zeer dikke koperdraad, en werd met een spijker
kortgesloten. De weerstand van de secundaire en van de spijker samen
bedraagt 0,020 Ω. Zoek hieruit, in de veronderstelling dat het om een
ideale transformator gaat,
1. de effectieve stroomsterkte in de secundaire
2. de effectieve spanning in de secundaire
3. het vermogen ontwikkeld in de secundaire
4. de stroomsterkte in de primaire
19
2 Wisselstroomketens °
2 Wisselstroomketens °
2.1
Wisselspanning over een weerstand
Volgens de wet van Ohm is de stroom door een weerstand recht evenredig met
de spanning over een weerstand. De stroomsterkte door een weerstand
waarover een wisselspanningsbron geschakeld is, is bijgevolg :
I=
I=
U
R
U max
⋅sin t
R
I =I max sin t
met I max =
U max
R
De spanning over een weerstand loopt in fase met de stroomsterkte door die
weerstand.
We kunnen dit ook voorstellen met fasoren. De stroomsterkte wordt
voorgesteld door de draaiende vector I 
max , die ronddraait in tegenwijzerzin
met hoeksnelheid ω. De spanning over de weerstand wordt dan voorgesteld door
de draaiende vector Umax , die daar voortdurend mee in fase is.
Afbeelding 16: Spanning (volle lijn) over een weerstand en stroom (stippellijn) door een weerstand lopen in
fase. Rechts het fasor-diagram: de fasoren voor stroom en spanning lopen gelijk.
2.2
Wisselspanning over een condensator
2.2.1
De condensator
We herhalen kort de eigenschappen van een condensator.
Een condensator is een systeem bestaande uit dicht bij elkaar
geplaatste geleidende platen, van elkaar gescheiden door een niet
geleidende middenstof.
20
2 Wisselstroomketens °
Afbeelding 17: (a) Opladen van de condensator. Na het wegnemen van de bron (b) blijft de
condensator geladen. Verbinden we beide platen van een geladen condensator dan ontlaadt de
condensator zich (c). Er vloeit een kortstondige stroom.
Worden de platen van een condensator verbonden met een gelijkspanningsbron,
dan vloeit er een kortstondige stroom. De condensator laadt zich op, op de
platen ontstaan even grote ladingshoeveelheden met tegengesteld teken. Dit
opladen duurt voort tot het potentiaalverschil gelijk is aan de bronspanning.
Wordt de verbinding met de bron verbroken, d
geladen.
an
blijft
de
condensator
Worden de platen vervolgens verbonden met een geleider, vloeit er kortstondig
stroom zodat de ladingen elkaar neutraliseren: de condensator ontlaadt zich.
We definiëren de capaciteit van een condensator als de verhouding tussen de
lading op de platen en de spanning aangelegd over de platen :
C=
2.2.2
Q
U
Proefondervindelijk onderzoek
We plaatsen een condensator in serie met een gloeilamp, en sluiten de
schakeling aan op een gelijkspanningsbron: wat neem je waar ?
Sluiten we nu de schakeling aan op een wisselspanningsbron. Wat neem je waar
?
Vervangen we de condensator door een condensator met kleinere capaciteit.
Wat neem je waar ?
Verhogen we de frequentie van de wisselspanningsbron. Wat neem je waar ?
Conclusies :
Een condensator laat geen gelijkstroom door : hij vertoont voor
gelijkspanning een oneindige weerstand.
Een condensator laat wisselstroom
hiervoor een schijnbare “weerstand”.
door,
maar
vertegenwoordigt
Deze schijnweerstand wordt groter als
●
de capaciteit van de condensator afneemt;
21
2 Wisselstroomketens °
●
2.2.3
de frequentie van de wisselspanning afneemt.
Capacitieve reactantie
We
schakelen
een
weerstand
over
een
wisselspanningsbron. Veronderstel dat de keten geen
ohmse weerstand bevat. De spanning over de platen
van de condensator is dan steeds gelijk aan de
aangelegde wisselspanning :
U=
Afbeelding 18:
Wisselspanning over
condensator
Q
=U max sin t
C
Uit de definitie van stroomsterkte :
I=
dQ
dt
volgt :
d C⋅U 
dt
C⋅dU
I=
dt
C⋅d U max sin t 
I=
dt
I =C⋅U max⋅cos t
I=
Hieruit volgt voor de topwaarde van de stroomsterkte:
I max=U max⋅⋅C
zodat :
I =I max cos t= I max sin t


2
De stroomsterkte loopt bijgevolg π/2 vóór op de spanning.
De verhouding
X C=
U max
U max
1
=
=
I max U max⋅⋅C ⋅C
wordt de capacitieve reactantie genoemd, en kan beschouwd worden als de
schijnbare weerstand van een condensator in een wisselstroomketen.
Eenheid : Ω , Ohm.
22
2 Wisselstroomketens °
Afbeelding 19: Spanning (volle lijn) over een condensator en stroom (stippellijn) door een condensator
lopen in fase. Rechts het fasor-diagram: de stroom loopt π/2 voor op de spanning.
2.3
Wisselspanning over een spoel
2.3.1
Zelfinductiecoëfficiënt (inductantie)
We herhalen kort de eigenschappen van een spoel.
Vloeit er een stroom I door een spoel met N windingen en lengte l, dan ontstaat
er een magnetisch veld 
B in de spoel. Het magnetisch veld binnen in de spoel
staat loodrecht op de windingen van de spoel en is als homogeen te
beschouwen als de lengte van de spoel veel groter is dan haar diameter.
De grootte van de magnetische veldsterkte wordt gegeven door :
B=
NI
l
met µ de magnetische permeabiliteit van de middenstof binnenin de spoel.
Afbeelding 20: Magnetische inductie in een
stroomvoerende spoel.
Door één winding met oppervlakte A is de magnetische flux gelijk aan:
=B⋅A
De flux door alle windingen is dan :
23
2 Wisselstroomketens °
 N =N⋅B⋅A
NI
 N =N⋅
⋅A
l
N2 I A
 N =
l
Volgens de algemene inductiewet zal er bij stroomverandering aan de uiteinden
van de spoel een spanning geïnduceerd worden, gegeven door :
−d  N
dt
N 2 A dI
U i=−
⋅
l dt
dI
U i=−L⋅
dt
U i=
2
N A
wordt de zelfinductie-coëfficiënt of inductantie genoemd van
L=
l
de spoel.
De eenheid van inductantie is de henry : H
Een spoel heeft een zelfinductie-coëfficiënt van 1H, als voor een
stroomverandering in zijn windingen van 1A in 1s, er aan de uiteinden een
inductiespanning van 1V ontstaat.
2.3.2
Proefondervindelijk onderzoek
We plaatsen een spoel in serie met een gloeilamp, en sluiten de schakeling aan
op een gelijkspanningsbron: wat neem je waar ?
Sluiten we nu de schakeling aan op een wisselspanningsbron. Wat neem je waar
?
Wat neem je waar als we een ijzeren kern in de spoel brengen ?
Verhogen we de frequentie van de wisselspanningsbron. Wat neem je waar ?
Een spoel biedt aan een wisselstroom een schijnbare “weerstand”, die
groter wordt als de inductantie van de spoel vergroot en als de
frequentie van de wisselspanning toeneemt.
2.3.3
Inductieve reactantie
Over een spoel met inductantie L wordt een
wisselspanning
aangelegd.
We
veronderstellen
bovendien dat de ohmse weerstand van de spoel te
verwaarlozen is. De wisselspanning veroorzaakt in de
spoel een veranderlijke stroom.
Door het zelfinductieverschijnsel ontstaat er over de
spoel
een
inductiespanning,
die
zodanig
gepolariseerd is dat ze de oorzaak van haar
ontstaan tegenwerkt.
Afbeelding 21:
Wisselspanning over spoel.
Veronderstel dat de aangelegde wisselspanning U
tijdelijk gepolariseerd is zoals in afbeelding is
aangeduid en dat ze daarbij een stijgende stroom I veroorzaakt. De polariteit
24
2 Wisselstroomketens °
van de geïnduceerde spanning over de spoel is zodanig dat ze het toenemen van
I tegenwerkt. De potentiaal in a is hoger dan deze in b (zie figuur 21):
V a V b
zodat de spanning UL over de spoel gelijk is aan:
V a −V b=U L =−L⋅
dI
dt
Toepassen van 2e regel van Kirchhoff (de som van de spanningen in een
gesloten stroomlus is nul) geeft :
−U L −U =0
dI
L⋅ =U max sin t
dt
Dit is een differentiaalvergelijking, met als oplossing (reken zelf na !)
I t=
U max

sin t− 
L
2
De stroomsterkte door de spoel loopt bijgevolg π/2 achter op de
spanning over de spoel.
Afbeelding 22: Spanning (volle lijn) over een spoel en stroom (stippellijn) door een spoel lopen in fase.
Rechts het fasor-diagram: de stroom loopt π/2 achter op de spanning.
De verhouding
X L=
U max
=L⋅
I max
wordt de inductieve reactantie van de spoel genoemd, en kan beschouwd
worden als de schijnbare “weerstand” van een spoel in een wisselstroomketen.
Eenheid : Ω, Ohm.
2.4
De RCL-keten
2.4.1
Bepalen van de impedantie
We schakelen nu een weerstand R, een spoel met inductantie L en een
condensator met capaciteit C in serie, en leggen over de schakeling een
sinusoïdale wisselspanning aan. In de keten ontstaat een wisselstroom met
25
2 Wisselstroomketens °
dezelfde frequentie als de wisselspanning, maar met een faseverschil tussen
beide.
I = I max sin t
U =U max sin t
We nemen de stroom als referentie omdat deze dezelfde is door de weerstand,
als door de spoel, als door de condensator.
Afbeelding 23: Schema van een RCL keten.
De spanning van de bron verdeelt zich over de ohmse weerstand, de
condensator en de spoel, zodat op elk ogenblik geldt :
U =U RU C U L
waarbij :
U R= R⋅I max sin t
I max

U C=
sin t− 
C
2

U L = L⋅⋅I max sin t 
2
We kunnen de totale spanning U
beschouwen als de samenstelling
van drie elektrische trillingen met
dezelfde
frequentie,
maar
willekeurig
faseverschil
en
amplitude. Om Umax en φ te
berekenen, kunnen we gebruik
maken van het fasorendiagram (zie
ook hoofdstuk samenstellen van
trillingen).
Uit de stelling van Pythagoras volgt
:

U max =I max⋅ R2  L⋅−
1 2

C⋅
Afbeelding 24: Fasorendiagram bij een RCL-keten.
26
2 Wisselstroomketens °
We definiëren de impedantie Z van een keten als de verhouding tussen
maximale spanning en maximale stroom.
Z=
U max
I max
De impedantie kan beschouwd worden als de schijnbare weerstand van de hele
keten.
(Wat wordt de eenheid van impedantie ?)
De impedantie van een RLC keten wordt dan gegeven door :

Z = R2 L⋅−
2.4.2
1 2

C⋅
Resonantie
Voor het faseverschil tussen de bronspanning en de stroomsterkte vinden we :
L⋅−
tan =
1
C⋅
R
We kunnen hier verschillende gevallen onderscheiden:
●
Is ϕ > 0, dan loopt de stroomsterkte achter op de spanning en is de
keten inductief.
●
Is ϕ < 0, dan loopt de stroomsterkte voor op de spanning en is de keten
capacitief.
●
Is ϕ = 0, dan wordt de uitdrukking voor de impedantie :
Z = R2=R
In dit laatste geval is de impedantie minimaal, de stroomsterkte maximaal. We
hebben resonantie. De door de bron toegevoerde energie wordt optimaal door
de kring opgenomen. De spoel en de condensator bieden in dit geval aan de
stroom een totale impedantie die gelijk is aan nul. De keten gedraagt zich dan
als een zuiver ohmse keten.
De frequentie, waarbij resonantie optreedt, wordt gegeven door :
1
C⋅
1
=
L⋅C
1
2 f =
 L⋅C
1
f r=
2  L⋅C
L⋅=

We noemen fr de resonantiefrequentie van de RCL-keten.
2.4.3
Filter-circuits
We bespreken kort de werking van een RC-filter keten. Deze worden veelvuldig
gebruikt in wisselstroomketens om de karakteristieken te wijzigen van een
signaal. Een filter-circuit kan gebruikt worden om een in de tijd variërende
spanning af te vlakken of te elimineren (te filteren). In radio's bv., wordt een
27
2 Wisselstroomketens °
dergelijke filter gebruikt om de 50
Hz -rimpel van het net uit te
filteren.
Radio's
werken
op
gelijkspanning, en de voeding van
de radio zorgt ervoor dat de
wisselspanning van het net wordt
omgezet in gelijkspanning door
middel van een gelijkrichter. Na
gelijkrichting zal de spanning nog
steeds
een
kleine
wisselspanningscomponent
bevatten op 50 Hz (de “ripple”).
Afbeelding 25: Gelijkgerichte spanning, met en
Deze 50 Hz component moet
zonder filtering. (www.faqs.org)
gereduceerd worden tot een véél
kleinere waarde dan het audiosignaal dat versterkt moet worden. Zonder filter, zal het audio-signaal een
vervelend gezoem op 50 Hz bevatten.
Beschouw een eenvoudig RC circuit zoals hieronder afgebeeld.
Afbeelding 26: Schema van een high-pass filter.
De bronspanning wordt gegeven door
U =U max sin  t .
Hierbij wordt Umax gegeven door :

U max =I max⋅Z =I max R2
1

C
Als de spanning over de weerstand de output-spanning Uuit is, dan volgt uit de
wet van Ohm dat de maximale spanning over de weerstand gegeven wordt door
U uit =I max R
Bijgevolg wordt de verhouding G (van Gain) tussen ingaande en uitgaande
spanning gegeven door
28
2 Wisselstroomketens °
G=
U uit
=
U in
R

R2
1 2

C
Onderstaande grafiek geeft G weer in functie van de frequentie.
We zien dat voor lage frequenties de verhouding uitgaande spanning ten
opzichte van ingaande spanning zeer klein is, terwijl ze voor hogere
frequenties quasi 1 is.
U uit /U in
Enkel componenten van de ingaande spanning met een hoge frequentie worden
doorgelaten. In de literatuur wordt dit bijgevolg een high-pass filter genoemd.
f (Hz)
Afbeelding 27: Verhouding Uin vs. Uuit in functie van f voor een high-pass
RC filter.
Beschouw nu een circuit zoals onderstaand, waar de uitgaande spanning niet
over de weerstand, maar over de capaciteit genomen wordt :
Afbeelding 28: Schema van een low-pass filter
De spanning over de condensator wordt gegeven door
U uit =I m X C =
Im
. In
C
dit geval wordt G gegeven door :
G=
U uit
=
U in
1
C

R2
1 2

C
29
2 Wisselstroomketens °
Uuit/Uin
Als we de grafiek van G bekijken in functie van de frequentie, dan zien we dat
dit circuit vooral signalen met een lage frequentie doorlaat. We noemen
een dergelijk circuit dan ook een low-pass filter.
f (Hz)
Afbeelding 29: Verhouding Uin vs. Uuit in functie van f voor een high-pass
RC filter.
Dit zijn voorbeelden van twee eenvoudige filters. Analoog kan men ook een RL
keten gebruiken als een high-pass of low-pass filter (doe dit als oefening !).
Meer complexe schakelingen kunnen dienst doen als band-pass filters, die enkel
een bepaald bereik aan frequenties doorlaten.
2.5
Vermogen van een wisselstroomketen
In een wisselstroomketen is er in het algemeen een faseverschil tussen spanning
en stroom:
I = I max sin t
U =U max sin t
Hierbij kan φ zowel positieve als negatieve waarden aannemen. Het
ogenblikkelijk vermogen is een functie van de tijd. Het wordt gegeven door :
P=I⋅U
P= I max sin  t⋅U max sin t
P=I max U max sin t sin  t cos cos  t sin 
P=I max U max sin 2 t cos sin t cos t sin 
1
2
P=I max U max sin t cos  sin 2  t sin 
2
Het gemiddelde vermogen over één periode wordt dan :
T
1
⟨P ⟩= ∫ P dt
T 0
T
T
I max U max
1
2
⟨ P ⟩=
cos ∫ sin  t dt sin  ∫ sin 2 t dt 
T
2
0
0
Bij de bereking van de effectieve spanning werd reeds aangetoond dat :
T
∫ sin 2 t dt= T2
0
zodat :
30
2 Wisselstroomketens °
T
I max U max T
1
 cos  sin  ∫ sin 2 t dt 
T
2
2
0
I max U max T
1
⟨P ⟩=
 cos 
sin [cos 2 t] T0 
T
2
4
I max U max T
1
⟨ P ⟩=
 cos 
sin cos 4−cos 0
T
2
4
U I
⟨ P ⟩= max max cos 
2
⟨ P ⟩=U e⋅I e cos 
⟨P ⟩=
cos  noemt men de arbeidsfactor.
Het gemiddeld vermogen is maximaal als cos =1 , of als
De factor
=0 . Dit is het
geval als :
●
er alleen een ohmse weerstand is: stroom en spanning zijn dan steeds in
fase.
●
De RCL-keten in resonantie is.
Indien
=±

wordt er geen reëel vermogen gebruikt. Dit is het geval in een
2
zuiver inductieve of capacitieve kring.
31
2 Wisselstroomketens °
2.6
Oefeningen
1. Een keten verbonden met een wisselspanning van 220 V effectief bevat
een weerstand, een spoel en een condensator in serie. De weerstand
heeft een waarde van 9,00 Ω, de inductieve reactantie bedraagt 28,0 en
de capactieve reactantie bedraagt 16,0. Bereken de totale impedantie, de
effectieve stroomsterkte en het faseverschil tussen spanning en stroom.
2. Een wisselspanning met een effectieve waarde van 220 V en een
frequentie van 50,0 Hz wordt aan een kring gelegd bestaande uit een
ohmse weerstand van 100 Ω, een spoel van 0,100 H met een
verwaarloosbare ohmse weerstand, en een condensator van 20,0 µF, alle
drie in serie. Bereken de effectieve waarde van de stroomsterkte, de
fasehoek tussen spanning en stroomsterkte, en de topspanning over de
ohmse weerstand, spoel en condensator afzonderlijk.
3. Een RLC-seriekring wordt in een radio gebruikt om af te stemmen op een
FM-radiostation dat uitzendt op een frequentie van 99,7 MHz. De
weerstand in de kring is gelijk aan 12,0 Ω en de zelfinductiecoëfficiënt
van de spoel bedraagt 1,4 µH. Hoe groot moet de capaciteit van de
condensator zijn ?
4. Een spoel heeft een inductantie van 0,140 H en een weerstand van 12,0
Ω. Zij wordt verbonden met een wisselspanning met een topwaarde van
110 V en een frequentie van 25 Hz. Bereken de topwaarde van de stroom
in de spoel, de effectieve waarde van de stroom in de spoel, de fasehoek
tussen spanning en stroomsterkte, de arbeidsfactor en het door de spoel
opgenomen gemiddeld vermogen.
5. Bij een RLC-keten, aangesloten op een wisselspanning van 220 V
effectief, heeft men een condensator met een capacitieve reactantie van
30,0 Ω, een ohmse weerstand van 44,0 Ω en een spoel met een
inductieve reactantie van 90,0 Ω en een ohmse weerstand van 36,0 Ω.
Bereken:
•
•
•
•
de effectieve stroomsterkte ;
het maximale potentiaalverschil over elk element
de arbeidsfactor
het gemiddeld vermogen
6. Een stroomkring bevat een spanningsbron (20V, 120 Hz), een weerstand
van 10 W en een condensator van 20 mF. Bereken de totale impedantie
van de kring, de faseverschuiving tussen spanning en stroom, en het in
de kring ontwikkeld actief vermogen.
7. Een spoel (L = 400 mH), een condensator (C = 4.43 µF) en een
weerstand (R = 500 Ω) zijn in serie geschakeld. Een 50 Hz
wisselstroomgenerator levert een maximale stroom van 250 mA in de
kring. Bereken hiervoor de vereiste maximale spanning en bereken de
fasehoek.
8. Een RLC kring met capaciteit 18 µF wordt aangesloten op een
wisselspanningsbron die 30 V effectief spanning levert. We veranderen de
frequentie tot resonantie ontstaat, dan is de effectieve stroomsterkte 800
mA. We stellen de frequentie in op 50 Hz en meten nu een effectieve
stroomsterkte van 360 mA.
•
Bereken met deze gegevens de weerstand R, de inductiviteit L en de
fasehoek.
32
2 Wisselstroomketens °
•
Teken nauwkeurig het fasendiagram.
•
Hoe groot moet L gekozen worden om bij 50Hz resonantie te
bekomen?
33
3 Elektromagnetische golven
3 Elektromagnetische golven
Het bestaan van elektromagnetische golven werd voorspeld door James Clerk
Maxwell (1831 – 1879), die in zijn fundamenteel werk over magnetisme
aantoonde dat de vier vergelijkingen die alle elektromagnetische verschijnselen
beschrijven (de Maxwell-vergelijkingen), oplossingen hebben die geïnterpreteerd
konden worden als “elektro-magnetische golven”. Maxwell vermoedde al dat
licht wel eens een elektro-magnetische golf zou kunnen zijn. Acht jaar na
Maxwell's dood was het Heinrich Hertz, een Duits fysicus, die het bestaan van
elektromagnetische golven experimenteel aantoonde.
Afbeelding 30:
Heinrich Rudolf Hertz
(1857 - 1894)
Afbeelding 31: James
Clerk Maxwell (1831
- 1879)
= 
∇⋅E
0
∇⋅
B =0
∂
B

∇ × E=−
∂t
 =−0 
∇× B
J 0 0
3.1
∂
E
∂t
Opwekken van EM golven
3.1.1
De LC-oscillator
Beschouw een spoel en een condensator
parallel
geschakeld
over
een
wisselspanningsbron.
We
plaatsen
lampjes zowel in de hoofdtak als in de
takken van de spoel en de condensator.
Wat merk je als in de spoel langzaam
een ijzeren kern schuift ?
Bij resonantie zullen de lampjes in de
takken van de spoel en de condensator
fel branden, terwijl het lampje in de
hoofdtak bijna uitgedoofd is.
We kunnen dit begrijpen als we het
fasoren-diagram bekijken.
Over beide schakelingen is de spanning
Afbeelding 32: Experimentele opstelling LC circuit
34
3 Elektromagnetische golven
dezelfde (parallelschakeling), dus de spanning
nemen we als referentie.
De stroom door de spoel loopt π/2 achter op de
spanning, de stroom door de condensator loopt π/2
voor op de spanning. De stroom door de hoofdtak
wordt bepaald door de samenstelling van beide
stromen.
I max= I C ,max −I L , max
Bij resonantie is IC = IL, en bijgevolg is de stroom
door de hoofdtak nul.
Afbeelding 33:
Fasorendiagram LC
oscillator
Hoe groot is de impedantie van het circuit bij
resonantie ?
In realiteit zullen we altijd het lampje nog enigszins zien branden, omdat we de
weerstand van de draden ook in rekening moeten brengen, waardoor de stroom
in de hoofdtak nooit helemaal nul zal worden.
Afbeelding 34: Evolutie van elektrisch en magnetisch veld in LC oscillator
Bij resonantie zal de stroom oscilleren tussen de condensator en de spoel.
Veronderstel dat op t = 0 s de condensator volledig is opgeladen (a). De
energie van het circuit zit volledig opgeslagen in het elektrisch veld van
de condensator. De stroom is nul en er is geen energie opgeslagen in de spoel.
Als de condensator begint te ontladen, ontstaat er een stroom, die een
magnetisch veld veroorzaakt in de spoel (b). De energie in de condensator zal
wegvloeien, en het elektrisch veld zal afnemen.
Wanneer de condensator volledig ontladen is, bereikt de stroomsterkte
een maximum, evenals het magnetisch veld binnen in de spoel. De energie
35
3 Elektromagnetische golven
zit nu volledig in het magnetisch veld (c).
De stroom zal de condensator terug opladen, zij het nu met een andere
polariteit.
Naarmate de stroom (en bijgevolg het magnetisch veld) weer afneemt zal het
elektrisch veld in de condensator toenemen, maar met een omgekeerde zin ten
opzicht van de beginsituatie (d), tot de condensator weer volledig opgeladen is
(e) en de stroom en magnetisch veld nul zijn geworden. De energie zit weer
volledig in het elektrisch veld.
De condensator zal weer ontladen (f), maar met een stroom in tegengestelde
zin, waardoor weer een magnetisch veld zal ontstaan (met tegengestelde zin)
tot alle energie weer in het magnetisch veld zit (g), waarna de condensator weer
zal opladen met omgekeerde polariteit (h) om zo terug naar de oorspronkelijke
situatie (a) te komen.
Een dergelijke schakeling wordt ook een “tank circuit” genoemd, omdat je in
dit circuit tijdelijk energie kan opslaan.
In een ideaal tankcircuit waar de ohmse weerstand van de componenten nul is,
zal de hierboven beschreven oscillatie oneindig blijven doorgaan. In het reële
geval, waar zowel de verbindingen als de spoel een ohmse weerstand
vormen, zal er energie verloren gaan door warmteontwikkeling en zal de trilling
gedempt zijn.
3.1.2
Energietransfer via elektromagnetische golven
We schakelen een spoel over een wisselspanningsbron. We plaatsen naast deze
schakeling een andere spoel, die we verbinden met een lampje. Tussen de twee
spoelen is geen verbinding. Wat merk je ?
Wat gebeurt er als we de afstand tussen beide spoelen vergroten ?
Is dit fenomeen afhankelijk van de frequentie van de wisselspanning ?
Wat gebeurt er als we een condensator parallel met de spoel plaatsen ?
Blijkbaar wordt er energie overgedragen van het ene circuit naar het andere.
Deze energie-overdracht is optimaal als de resonantie-frequenties van beide
circuits gelijk zijn.
De energie-overdracht gebeurt door
middel van elektro-magnetische golven.
De elektromagnetische oscillaties in het
ene circuit (zender) wekken wisselende
elektrische en magnetische velden op,
die de ladingen in het tweede circuit
(ontvanger) in beweging zetten.
Afbeelding 35: Zender en ontvanger
waarmee Hertz het bestaan van
elektro-magnetische golven aantoonde.
Deze situatie is het elektromagnetisch
equivalent
van
het
mechanische
fenomeen waar één stemvork de trilling
overneemt van een andere stemvork, als
de
eigenfrequenties
van
beide
stemvorken gelijk zijn.
Elektromagnetische golven bestaan uit een wisselend elektrisch veld en
een wisselend magnetisch veld, die onderling loodrecht staan en beide
loodrecht staan op de voortplantingsrichting. Het elektrisch en
magnetisch veld oscilleren in fase.
36
3 Elektromagnetische golven
Afbeelding 36: structuur elektromagnetische golf
Experimenten tonen aan dat deze
volgende golfeigenschappen vertonen :
●
Diffractie
●
Reflectie
●
Interferentie
●
Breking
●
Polarisatie
golven
en dat ze zich voortplanten met een snelheid
van om en bij de 3.108 m/s.
Afbeelding 37: Opstelling om de
golfeigenschappen van elektromagnetische golven aan te tonen.
(299 792 458 m/s in vacuüm om precies te
zijn).
De lichtsnelheid in vacuüm wordt aangeduid als c.
3.2
Het elektromagnetisch spectrum
3.2.1
Overzicht
Het elektromagnetisch spectrum is de verzamelnaam voor alle mogelijke vormen
van elektromagnetische golven. Het is onderverdeeld in een aantal klassen,
gebaseerd op de frequentie en golflengte. Deze onderverdeling is niet scherp
afgelijnd.
●
Radiogolven, alle golven met een frequentie kleiner dan 1 GHz
●
Microgolven, elektromagnetische golven met een frequentie tussen 1 en
300 GHz.
37
3 Elektromagnetische golven
●
Infra-rood
(IR),
elektromagnetische
golven
met
een
golflengte tussen 1
mm en 750 nm.
●
Zichtbaar
licht,
golven met golflente
tussen 700 nm en
400 nm.
●
Ultra-violet, heeft
een golflengte korter
dan zichtbaar licht,
tussen de 400 en de
10 nm.
●
X-stralen
of
Röntgenstraling
vinden we tussen de
10 en 0,1 nm.
●
Gamma-stralen
tenslotte, zijn alle
elektromagnetische
golven
met
een
golflengte
kleiner
dan 0,1 nm.
De atmosfeer blokkeert (is
opaak voor...) de meeste
hoog-energetische golven,
en
transparant
voor
zichtbaar
licht
en
radiogolven. We bespreken
nu alle vormen en hun
belangrijkste toepassingen.
Afbeelding 38: Het elektromagnetisch spectrum.
38
3 Elektromagnetische golven
Afbeelding 39: Opaciteit van de atmosfeer voor verschillende
soorten elektromagnetische golven.
3.2.2
Radiogolven
Radiogolven zijn elektro-magnetische golven die opgewekt worden door ladingen
die heen- en weer oscilleren in geleiders (de antennes).
De voornaamste toepassing van radiogolven ligt in de telecommunicatie.
Radio- en TV signalen worden doorgestuurd via radiogolven. GSM-verkeer
gebruikt frequenties die op de grens liggen tussen radiogolven en microgolven.
Radiosignalen worden uitgezonden tussen 30 kHz en 3 MHz (lange golf en
middengolf AM-band) en tussen de 88 en 108 MHz (FM-band).
Televisiesignalen maken gebruik van VHF1 (54 – 88 MHz), VHF2 (174-216 MHz)
en UHF (470 – 806 Mhz).
GSM's opereren binnen Europa ofwel in de GSM900 (890-915 MHz voor
communicatie mobiel-station en 935-960 MHz voor communicatie station –
mobiel) ofwel in de GSM1800 band (1710-1785 MHz en 1805-1880 Mhz). Singleband GSM's communiceren enkel binnen de GSM900, dual-band kunnen zowel
binnen GSM900 als GSM1800 band communiceren.
Buiten Europa wordt in bepaalde gebieden ook met de GSM1900 band gewerkt.
GSM's met de vermelding “tri-band” kunnen in alle drie de GSM-banden
opereren.
Om geluid over te zenden, wordt het geluid door middel van een microfoon eerst
omgezet in een elektrisch signaal, waarmee de opgewekte oscillatorgolf (de
draaggolf) gemoduleerd (gewijzigd) wordt.
De twee meest gebruikte technieken van modulatie zijn AM (Amplitude
Modulatie) en FM (Frequentie Modulatie).
Bij amplitude-modulatie wordt de amplitude van het signaal van de draaggolf
gemoduleerd met het signaal, bij frequentie-modulatie wordt de frequentie van
de draaggolf gemoduleerd.
39
3 Elektromagnetische golven
Afbeelding 40: De bovenste figuur toont een AM signaal, de onderste figuur een
FM signaal. (www.vintage-radio.com)
3.2.3
Microgolven
Microgolven worden meestal opgewekt door geladen deeltjes die oscilleren in
een magnetisch veld (bvb. in een magnetron of klystron). Microgolven worden
veelvuldig gebruik in hedendaagse toepassingen als de microgolfoven, radar en
telecommunicatie.
a
Radar
Radar staat voor Radio Detecting and Ranging. Radar is gebaseerd op het
principe dat elektromagnetische golven gereflecteerd worden bij elke overgang
tussen materialen met grote verschillen in diëlektrische constante. Dit is
uitgesproken het geval voor de overgang tussen lucht en geleiders, wat radar
zeer geschikt maakt voor
de detectie van schepen
en vliegtuigen.
Hoewel het gereflecteerde
signaal zeer zwak is, is
het
gemakkelijk
te
versterken.
Afstanden
kunnen
bepaald worden door de
transit tijd te meten
tussen
uitgestuurd
signaal
en
ontvangen
signaal,
snelheden
kunnen bepaald worden
door gebruik te maken
van het Doppler effect.
Toepassingsgebieden van
radar zijn o.a. :
Afbeelding 41: Boeing E3A AWACS (Airborne Warning And
Control System) met grote radarantenne op de rug.
●
Lucht- en zeeverkeerscontrole – en geleiding ;
●
Militaire
toepassingen
(detectie
van
vijandelijke
voertuigen,
40
3 Elektromagnetische golven
wapengeleiding, ...) ;
b
●
Weerradar;
●
Topografie (in kaart brengen van hoogteverschillen in landschappen) ;
●
Snelheidscontroles op autowegen.
Microgolfoven
Een microgolfoven warmt voedsel op door er microgolfstralen doorheen te
sturen. Polaire molecules (zoals water, vet en suikermolecules) absorberen de
energie doordat zij zich continu proberen te richten volgens het wisselend
magnetisch veld. Door de oscillaties van de polaire molecules zal het materiaal
beginnen opwarmen. Deze opname van energie door watermolecules zal het
effectiefst zijn bij een frequentie van om en bij de 2450 Mhz.
Een microgolfoven bestaat uit een magnetron om microgolven op te wekken, en
uit een kookruimte, wat niet meer is dan een geleidende holte met specifieke
afmetingen waarbinnen staande golven opgewekt worden. De kookruimte is een
kooi van Faraday, en schermt de omgeving af tegen de microgolfstralen.
Afbeelding 42: Constructie van een microgolfoven.
Microgolfstralen hebben al bij al maar een beperkte penetratie (hooguit enkele
cm's, afhankelijk van de materie). Het voedsel wordt dus niet “van binnen uit”
gekookt, het grootste gedeelte van de opwarming gebeurt door convectie.
Over de al dan niet vermeende schadelijkheid van microgolfstraling woedt al
enige tijd een discussie, waar emotionele en onwetenschappelijke argumenten
niet geschuwd worden. We zetten de feiten even op een rijtje :
●
Microgolfstraling is niet ioniserend, en wijzigt bijgevolg niet de structuur
of samenstelling van het voedsel. Voedsel opgewarmd met de
microgolfoven is niet méér kankerverwekkend dan voor opwarming.
●
Het menselijk oog is zeer gevoelig voor de opwarming veroorzaakt door
microgolfstraling. Blootstelling van het netvlies aan hoogvermogen
microgolfstraling (zoals opgewekt in een microgolfoven) kan permanente
schade veroorzaken.
●
Bij opwarming van vloeistoffen met de microgolfoven kan er “overkoken”
voorkomen. Dit is een fenomeen analoog aan onderkoeling, waar een
vloeistof boven kooktemperatuur gebracht wordt, zonder echter te koken.
De minste onzuiverheid die dan in de vloeistof komt kan deze hevig aan
de kook brengen.
41
3 Elektromagnetische golven
c
●
Scherpe metalen voorwerpen kunnen vonken veroorzaken.
●
Zet nooit de microgolfoven aan zonder dat er iets instaat. Ook als je
kleine voorwerpen in de microgolfoven (bvb. een druif) plaatst, zorg dan
dat er ook glas water in de oven staat om energie te absorberen.
Telecommunicatie
WiFi en Bluetooth werken op microgolffrequenties.
3.2.4
Infra-rood
Het bestaan van IR is experimenteel vastgesteld door
Friedrich Wilhelm Herschel, en eigenlijk min of meer ontdekt
bij toeval. Herschel onderzocht hoe licht van verschillende
kleuren voorwerpen opwarmde. Hiertoe brak hij met een
prisma zonlicht, en plaatste bij de verschillende delen van het
spectrum een thermometer. Hij stelde vast dat de
thermometer het meest steeg naarmate hij dichter bij het
rood kwam, en dat de thermometer bleef stijgen als hij hem
buiten het zichtbaar gedeelte plaatste, voorbij het rood
(Infra-rood, onder het rood).
We bespreken kort de belangrijkste toepassingen van IR :
Afbeelding 43:
Wilhelm Friedrich
Herschel, naast de
ontdekker van IR,
ook de ontdekker
van de planeer
Uranus.
●
Telecommunicatie : IR is zeer nuttig in gesloten
ruimtes binnenshuis. Het dringt niet door muren, dus
er kan geen interferentie optreden met IR bronnen bij
de buren. Afstandsbedieningen werken bijna zonder
uitzondering met IR.
●
Nachtzicht : warme voorwerpen zoals lichamen, motoren, ... sturen
aanmerkelijk meer IR uit dan koude voorwerpen in de omgeving. Deze
eigenschap wordt gebruikt door nachtkijkers om een beeld te vormen van
de omgeving. Ook de brandweer gebruikt IR-kijkers. Vermits rook
transparant is voor IR, kunnen IR kijkers
gebruikt worden om in dichte rook overlevenden
te zoeken.
●
Verwarming : IR lampen worden frequent
gebruikt in kinesitherapie. Het voordeel van IR
om voorwerpen of lichamen te verwarmen, is
dat enkel het bestraalde voorwerp verwarmd
wordt, en niet de lucht rondom.
●
Spectroscopie : bepaalde stoffen absorberen
sterk IR van een bepaalde frequentie (bvb. CO2,
die een sterke absorptieband heeft rond 4,2
µm).
●
Afbeelding 44: IR beeld van
een kat.
Meteorologie : Verschillende wolkentypes
hebben
een
verschillende
IR
signatuur.
Weersatellieten uitgerust met IR camera's kunnen op die manier een
goed beeld vormen welke wolken waar aan het opbouwen zijn.
42
3 Elektromagnetische golven
3.2.5
Zichtbaar licht
Zichtbaar licht (kortweg licht) is dat gedeelte van het elektromagnetisch
spectrum dat waargenomen kan worden door het menselijk oog. Dit is
slechts een minimale fractie van het hele elektromagnetische spectrum.
Zichtbaar licht passeert quasi ongehinderd door de aardse atmosfeer, hoewel
blauw licht net iets meer verstrooid wordt dan componenten meer naar het rood
(de reden waarom de hemel blauw is...). Hoewel het spectrum continu is,
worden volgende kleuren “afgebakend” :
Afbeelding 45: Het zichtbare spectrum
3.2.6
Violet
380–450 nm
Blauw
450–495 nm
Groen
495–570 nm
Geel
570–590 nm
Oranje
590 - 620 nm
Rood
620 – 750 nm
Ultra-violet
Afbeelding 46: De zon gefotgrafeerd in het UVspectrum.
Het ultra-violette deel van het
spectrum werd begin 19e eeuw
ontdekt door de Duitse fysicus
Johann
Wilhelm
Ritter.
Hij
observeerde
dat
onzichtbare
straling voorbij het violet (ultraviolet)
reageerde
met
in
zilverchloride gedrenkt papier. Hij
noemde
deze
straling
“deoxiderende” of “chemische”
stralen, een term die later
vervangen werd door UV. De UV
band wordt verder onderverdeeld
in UVA (400–320 nm), UVB (320
– 280 nm) en UVC (< 280 nm) ,
naar de effecten van de straling op
mens en gezondheid.
De zon zendt zowel UVA, UVB als
UVC naar de aarde. De ozon-laag absorbeert het grootste gedeelte van UVB en
UVC, zodat het grootste aandeel (99%) dat ons bereikt UVA is.
Zowel UVA, als UVB en UVC dringen door in de huid, en kunnen
collageenvezels beschadigen, wat het verouderen en rimpelen van de
huid aanzienlijk versnelt. UVA dringt diep binnen in de huid, en veroorzaakt
43
3 Elektromagnetische golven
geen zonnebrand.
UVB is energetischer dan UVA, maar dringt niet zo diep door in de huid. UVB is
de primaire oorzaak van zonnebrand. UVB is tevens energetisch genoeg om
DNA-molecules te exciteren, en zo permanente DNA-schade te veroorzaken, met
huidkanker tot gevolg.
UVC wordt quasi volledig geblokkeerd door de atmosfeer, en speelt geen rol van
belang als we de risico's bekijken van blootstelling aan zonnestralen. UVC
gegenereerd door artificiële bronnen is echter extreem gevaarlijk, en de nodige
maatregelen moeten genomen worden om rechtstreekse blootstelling te
voorkomen.
De huid beschermt zichzelf tegen gematigde UV-blootstelling door aanmaak van
melanine,
wat
de
huid
een
bruine
kleur
geeft.
Dit
natuurlijk
beschermingsmechanisme is echter onvoldoende bij langdurige blootstelling aan
zonnestralen.
Glas is gedeeltelijk transparant voor UVA, maar blokkeert UVB en UVC volledig.
Toepassingen van UV zijn o.a. : sterilisatie, spectroscopie en analyse
technieken, namaakpreventie (o.a. bij bankbiljetten), ...
3.2.7
X-stralen
X – stralen zijn in 1895 ontdekt door Wilhelm Conrad
Röntgen, een feit dat hem de allereerste Nobelprijs voor
Fysica opleverde in 1901.
X-stralen worden opgewekt door elektronen die
loskomen uit een verwarmde draad (kathode) door
een potentiaalverschil te versnellen en te laten
botsen met een metalen plaat (anode). Als de
elektronen energetisch genoeg zijn, kunnen zij
elektronen uit de binnenste schillen van het
metaal losslaan. Hun plaats wordt ingenomen door
elektronen van hoger gelegen schillen, en bij deze
overgang
komt
hoog-energetische
elektromagnetisch
e straling vrij.
Afbeelding 47: Wilhelm
Conrad Röntgen, 1845 1923
X-stralen
worden
soms ook “Brehmsstrahlung”
(remstraling) genoemd.
X-stralen maken fotografische platen
zwart. Röntgen ontdekte dat X-stralen
ongehinderd door zacht weefsel trekken,
maar wél tegengehouden worden harder
materiaal zoals botten.
Afbeelding 48: Een van de
eerste Röntgen-foto's.
Deze eigenschap van X-stralen vormt de
basis voor het opsporen van breuken en
andere
toepassingen
van
medische
beeldvorming.
X-stralen vinden verder nog toepassingen in
kristallografie, spectroscopie en astronomie.
44
3 Elektromagnetische golven
Afbeelding 49: Schema van een Röntgen-apparaat.
3.2.8
Gamma-stralen
Gamma-stralen zijn hoog-energetische
elektromagnetische
golven die
uitgezonden worden door atoomkernen in geëxciteerde toestand. Gammastralen zijn ioniserend, en bijgevolg kankerverwekkend. Niettemin vinden zij
toepassingen in radiotherapie, spectroscopie, sterilisatie, ...
Er volgt meer over gamma-stralen in het gedeelte over nucleaire fysica.
3.3
Golfeigenschappen van zichtbaar licht
In de vorige paragraaf hebben we gesteld dat licht een vorm van elektromagnetische golven is. In deze paragraaf kijken we na hoe we dat golfkarakter
van licht kunnen vaststellen.
Als licht een golf is, moet het typische golfeigenschappen vertonen :
●
interferentie;
●
diffractie;
●
breking.
Als licht daarbij, zoals gesteld, een transversale golf is, moet het ook
polarisatie vertonen.
3.3.1
a
Interferentie
Interferentieproef van Young
Willen we een bestendig interferentiepatroon bekomen, dan hebben we twee
coherente puntbronnen nodig. Dit is op het eerste zicht niet evident, omdat
bv. een gewone gloeilamp bestaat uit een grote hoeveelheid minieme kleine
bronnen, die allemaal onderling incoherent licht uitsturen.
45
3 Elektromagnetische golven
Om
twee
coherente
lichtbronnen
te
bekomen
kunnen we als volgt te werk
gaan
(experiment
van
Young) : we nemen een
gewone lichtbron, en plaatsen
die
achter
een
scherm,
waarin één kleine opening is
gemaakt. Deze opening zal
fungeren als puntbron.
Evenwijdig met het eerste
scherm, plaatsen we een
tweede scherm, waarin met
kleine tussenafstand, twee
kleine openingen gemaakt
zijn. Het licht afkomstig uit de
eerste opening zal invallen op
de twee openingen in het
Afbeelding 50: Opstelling voor het experiment
tweede scherm. Deze twee
van Young. (Bron : www.uoregon.edu.)
openingen zullen conform het
beginsel
van
Huygens
fungeren als puntbronnen. Deze bronnen zijn bovendien coherent omdat ze hun
licht ontlenen aan golffronten afkomstig van éénzelfde bron. Analoog zoals bij
watergolven zal in de ruimte achter beide openingen interferentie ontstaan. Als
we een derde scherm plaatsen op grote afstand achter beide openingen, zullen
we afwisselend heldere en donkere gebieden zien.
b
Kwantitatieve verklaring
We gaan nu berekenen waar we de maxima en de minima kunnen vinden. We
beschouwen een punt P op het achterste scherm, waar zowel licht toekomt uit
de eerste opening (B1) als uit de tweede opening (B2), met O het midden tussen
B1 en B2.
46
3 Elektromagnetische golven
Als we ervan uitgaan dat de afstand ∣OP∣ veel groter is dan de afstand
tussen beide bronnen ∣B1 B2∣ , dan kunnen beide golfstralen die vertrekken
uit B1 en B2 als evenwijdig beschouwd worden.
Het verschil in weglente (afstand
bron tot punt P) tussen golven die
verstrekken uit B1 en golven die
vertrekken uit B2 wordt gegeven
door ∣B 2 C∣ (zie figuur).
Uit de figuur kunnen we afleiden
dat ∣B 2 C∣=∣B1 B2∣sin  , met a de
∣OP∣ en de
hoek tussen de
middelloodlijn van B1 en B2.
Uit een vorig hoofdstuk weten we
dat in het punt P een maximum is,
als het verschil in weglengte een geheel aantal maal de golflengte is :
∣B1 B2∣sin =n 
Met andere woorden, we vinden een maxima onder hoeken waarvoor geldt
dat :
sin =
n
∣B 1 B 2∣
Een analoge redenering geeft ons de hoeken waaronder we de minima kunnen
aantreffen :
1

sin =n 
2 ∣B1 B2∣
De positie van de minima en de maxima wordt bijgevolg bepaald door :
c
●
de golflengte van het licht;
●
de afstand tussen de openingen.
Interferentie aan dunne films
Als je dunne films zoals een zeepbel, olie op water, of een CD-oppervlak bekijkt
onder gewoon wit licht, dan kan je een veelheid van kleuren waarnemen. Dit
fenomeen wordt veroorzaakt door interferentie van golven die gereflecteerd
worden door de tegenoverliggende oppervlakken van de film.
Beschouw een film met uniforme dikte d, met brekingsindex n. Veronderstellen
we verder dat de lichtstralen quasi loodrecht invallen op het oppervlak.
47
3 Elektromagnetische golven
Om te bepalen of de gereflecteerde
stralen constructief of destructief
interfereren, moeten we rekening
houden met volgende feiten :
●
Een golf die uit een medium
met
lage
brekingsindex
gereflecteerd wordt door een
medium
met
hoge
brekingsindex,
ondergaat
een fasesprong van 180°;
●
Zij λ de golflengte van een
lichtgolf in vacuüm, dan wordt
de golflengte van licht in
een
medium
met
Afbeelding 51: Interferentie aan een zeepbel. (bron
: www.answers.com)
brekingsindex n, gegeven door
n =

.
n
Laat ons deze regels toepassen op de film
zoals gegeven in onderstaande figuur.
Volgens de eerste regel zal straal 1, die
gereflecteerd wordt aan het oppervlak A,
een fasesprong van 180° ondergaan
vergeleken met de invallende straal.
Aan de andere kant zal straal 2, die
gereflecteerd wordt aan oppervlak B, geen
fasesprong ondergaan, en bijgevolg zijn
straal 1 en 2 180° uit fase, wat equivalent
is met een weglengteverschil van
n
.
2
Daarbij zal straal 2 een extra afstand 2d
hebben afgelegd.
Afbeelding 52: Interferentie bij reflectie
aan een dunne film wordt veroorzaakt
door de samenstelling van golven
gereflecteerd van het bovenste en het
onderste oppervlak.
of, rekening houdend met
Dit
gecombineerd
geeft
volgende
voorwaarde
voor
constructieve
interferentie :
1
2d=m  n
2
n=
m∈ℕ

,
n
1
2nd= m 
2
m∈ℕ
Analoog kan men de voorwaarde voor destructieve interferentie afleiden :
2nd=m
m∈ℕ0
Waarom zie je nu verschillende kleuren als je een dunne film met wit licht
beschijnt ?
Deze voorwaarden zijn alleen geldig als de film omgeven is door media met
beiden een lagere brekingsindex dan de film. Bewijs als oefening dat mocht de
film omringd zijn door een medium met lagere (bovenaan) en een medium met
hogere (onderaan) brekingsindex, dat dan de voorwaarden voor minima en
48
3 Elektromagnetische golven
maxima omgekeerd worden.
3.3.2
Diffractie
We laten laserlicht passeren door een regelbare opening. Als we de opening
steeds kleiner en kleiner maken, dan merken dat er licht afgebogen wordt achter
de opening. Maken we de opening nog kleiner, dan zien we dat er een patroon
onstaat van minima en maxima rond een helder centraal maximum.
Afbeelding 53: Diffractiepatroon van laserlicht na doorgang
door nauwe opening.
In deze paragraaf gaan we het ontstaan van minima en maxima verklaren, en
proberen berekenen waar de minima zich bevinden.
a
Kwalitatieve verklaring
We sturen licht uit een bron naar een scherm
∣ab∣ . Als
met kleine opening met breedte
een golffront in de opening toekomt, zullen
volgens het principe van Huygens alle punten
van dat golffront zich gedragen als een
puntbron. Vanuit elk punt tussen a en b
vertrekken golfstralen in alle richtingen. De
opening kan bijgevolg beschouwd worden als
een verzameling puntbronnen, die allemaal
in fase zijn. De golven afkomstig van deze
puntbronnen zullen met elkaar interfereren,
en waar de interferentie constructief is, zullen
maxima ontstaan, en waar de interferentie
Afbeelding 54: Alle punten van
destructief is, zullen zich minima bevinden.
de opening gedragen zich als
Als we het licht dat door de nauwe opening
puntbronnen.
passeert projecteren op een scherm op
voldoende grote afstand, nemen een patroon waar bestaande uit minima
rond een centraal maximum.
b
Kwantitatieve verklaring
Het centrale maximum kan eenvoudig verklaard worden als we afstand tot het
scherm groot beschouwen ten opzichte van de opening. In dat geval is de
weglengte voor alle golfstralen die evenwijdig lopen met de
middelloodlijn van ab gelijk, en is de voorwaarde voor constructieve
interferentie voldaan. De stralen zullen elkaar versterken, en een intens
maximum veroorzaken.
49
3 Elektromagnetische golven
Beschouw nu alle golfstralen die
een hoek α maken de middelloodlijn van ab, zo dat het
verschil in weglengte tussen
een straal afkomstig van a en
een straal afkomstig van b
juist
gelijk
is
aan
één
golflengte (zie figuur).
∣bc∣=
Afbeelding 55: Als het weglengteverschil tussen een
straal afkomstig uit a en een straal afkomstig uit b één
golflengte is, zien we een minimum.
verschil in weglengte net gelijk is aan
Onder deze hoek a zullen we
steeds een minimum vinden,
want voor elke straal in de
bovenste helft van de bundel
(afkomstig van een punt tussen a
en d) zal er een straal zijn in de
onderste helft van de bundel
(afkomstig van een punt tussen d
en b), waarvoor geldt dat het

. Met andere woorden, voor elke
2
straal uit de bovenste helft van de bundel is er een straal uit de
onderste helft van de bundel die destructief interfereert, waardoor we
onder die hoek geen licht aantreffen.
Een analoge redenering toont ons dat we steeds een minimum aantreffen als het
weglengteverschil tussen een straal afkomstig van a en een straal afkomstig van
b gelijk is aan een geheel veelvoud van de golflengte. Dit geeft ons de
algemene voorwaarde voor de hoeken waaronder we een minimum
kunnen aantreffen :
∣bc∣=n
∣ab∣sin =n 
n
sin =
∣ab∣
De positie van de minima worden bijgevolg bepaald door:
●
de golflengte van het licht;
●
de breedte van de opening.
Het spreekt vanzelf dat tussen twee opeenvolgende minima ook een maximum
aangetroffen wordt, maar de exacte positie van deze maxima berekenen zou ons
te ver leiden. Dit geldt eveneens voor de exacte intensiteitsverdeling.
3.3.3
Polarisatie
In bovenstaande paragrafen hebben we duidelijk aangetoond dat licht een
aantal golfeigenschappen bezit, zoals diffractie en interferentie. In het begin van
dit hoofdstuk hebben we vermeld dat elektromagnetische golven transversale
golven zijn. Het fenomeen van polarisatie, dat we hieronder zullen bespreken, is
een duidelijke bevestiging hiervan.
50
3 Elektromagnetische golven
a
Polarisatieverschijnsel
Een gewone lichtstraal bestaat uit de superpositie van golven die uitgestuurd
worden door de atomen of de moleculen van de lichtbron. Elk atoom produceert
een golf met een eigen oriëntatie van 
E , afhankelijk van de atomaire vibratie.
We definiëren de polarisatierichting van een elektromagnetische golf als
de richting waarin 
E vibreert.
Vermits alle oriëntaties mogelijk zijn, is de resulterende elektromagnetische golf
een superpositie van velden met verschillende oriëntatie. Het resultaat is
ongepolariseerd licht. Alle richtingen zijn even waarschijnlijk voor de elektrische
veldsterkte. Let op, op een gegeven moment en een bepaalde positie, is er
slechts één resulterend elektrisch veld, dus laat je niet misleiden door
afbeelding.
Afbeelding 56: Mogelijke richtingen van het elektrisch
veld voor ongepolariseerd licht en gepolariseerd licht.
Veronderstellen we dat de golf zich voortplant in de Z-richting. Introduceren we
een orthogonaal assenstelsel, dan kan de elektrische veldsterkte in een gegeven
punt ontbonden worden in een component volgens de X-richting E x en een
component
in
de
Y-richting
E y ,
zodat

E = Ex  Ey
We noemen een golf lineair gepolariseerd als

E steeds in dezelfde richting trilt voor een
E x en
gegeven punt. Dit is het geval als
E y in fase variëren.
Een golf is circulair gepolariseerd als 
E in
een gegeven punt een cirkel beschrijft. Als
E x en E y beiden gelijk zijn in grootte, en
variëren met een faseverschil van
de golf circulair gepolariseerd.
Variëren
van
E x en

, dan is
2
Afbeelding 57: Componenten van
elektrisch veld in X en Y richting.
E y met een faseverschil

, maar zijn ze verschillend in grootte, dan is de golf elliptisch
2
gepolariseerd.
51
3 Elektromagnetische golven
Afbeelding 60:
Lineair
gepolariseerde golf.
Bron : wikipedia.
b
Afbeelding 58:
Circulair
gepolariseerde golf.
Afbeelding 59:
elliptische
gepolariseerde golf
Polarisatie door absorptie
De meest gebruikte techniek
om gepolariseerd licht te
bekomen, is gebruik maken
van een polarisator. Dit is
materiaal dat enkel golven
doorlaat
waarvan
het
elektrisch veld volgens één
bepaalde richting varieert (de
doorlaatof
transmissierichting), en alle
golven
met
andere
trilrichtingen absorbeert.
Combineren
we
twee
polarisatoren waarvan we de Afbeelding 61: Absorptie door combinatie van twee
doorlaatrichtingen loodrecht polarisatoren.
op elkaar plaatsen, dan is het
mogelijk om de doorgang van licht volledig te blokkeren. Indien de
doorlaatrichtingen van de twee polarisatoren een willekeurige hoek  maken,
dan wordt de intensiteit van de doorgelaten straling gegeven door de wet van
Malus :
I =I 0 cos 2 
Een zonnebril is een voorbeeld van een polarisator. Door licht te filteren waarvan
het elektrisch veld niet volgend de voorkeurrichting ligt, wordt de intensiteit
drastisch gereduceerd. Direct invallend zonlicht kan beschouwd worden als
ongepolariseerd licht, met trilrichting van het elektrisch veld uniform verdeeld
52
3 Elektromagnetische golven
over alle mogelijke hoeken. Vermits de gemiddelde
waarde
van
2
cos =
1
, is de intensiteit na
2
passeren van een zonnebril ongeveer met de helft
gereduceerd.
c
Polarisatie bij weerkaatsing
Polarisatie kan je ook verkrijgen door reflectie en
refractie.
De mate van polarisatie hangt af van de invalshoek.
Bij invalshoek van 0° of van 90°, wordt het licht
niet gepolariseerd. Bij tussenliggende hoeken,
wordt zowel de gereflecteerde als de gebroken
straal gedeeltelijk gepolariseerd. Indien de hoek tussen gereflecteerde en
gebroken straal 90° is, dan is de gereflecteerde straal volledig gepolariseerd. De
invalshoek waarbij dit gebeurt staat bekend als de hoek van Brewster.
Afbeelding 62: Een zonnebril
is een toepassing van
polarisatoren.
Deze hoek kunnen we als volgt berekenen. Bekijk afbeelding waar zowel de
invallende als de gebroken lichtstraal afgebeeld staan.
 p de hoek waarbij volledige polarisatie optreedt. Uit de brekingswet
Zij
volgt :
n=
sin  p
,
sin 
met n de brekingsindex van het medium.
Vermits
=90° − p , volgt hieruit dat sin =cos  p , waaruit :
tan  p=n
Vermits de brekingsindex varieert met de golflengte, varieert ook de hoek van
Brewster met de golflengte.
d
Polarisatie door verstrooiing
Wanneer licht invalt op een systeem deeltjes, zoals een gas, dan kunnen de
elektronen van dat medium het licht absorberen en het daarna opnieuw
uitsturen in een andere richting (verstrooiing). Bij dit proces wordt het licht
gedeeltelijk gepolariseerd. Dit effect wordt gebruikt in fotografie, waar men
polarisatiefilters voor lenzen gaat plaatsen, om de lucht donkerder te laten lijken
Afbeelding 63: Het effect van een polarisatiefilter. Hetzelfde
landschap links zonder, en rechts met polarisatiefilter gefotografeerd.
53
3 Elektromagnetische golven
en een groter contrast te bekomen.
De mate waarin licht wordt verstrooid is sterk afhankelijk van de golflengte. N2
en O2 molecules verstrooien kortere golflengtes (blauw) aanzienlijk meer dan
langere golflengtes (rood), wat ervoor zorgt dat de hemel overdag blauw lijkt,
zolang je binnen de atmosfeer blijft, en zwart wordt eens je buiten de atmosfeer
bent.
e
Optische activiteit
Een materiaal wordt optisch actief genoemd als het de polarisatierichting van
invallend licht gaat roteren. Voorbeelden hiervan zijn suikeroplossingen, en
plexiglas dat optisch actief wordt als er druk wordt uitgeoefend.
Afbeelding 64: Optische activiteit in een plastic
voorwerp.
Afbeelding 65: Analoog als
hiernaast.
54
3 Elektromagnetische golven
3.4
Oefeningen
1. Op 1,2 m van een dubbele opening staat een scherm. De afstand tussen
de twee openingen bedraagt 0,03 mm. Het tweede-orde maximum (n=2)
ligt op 45 cm van de middelloodlijn tussen de twee openingen. Bereken
de golflengte van het licht, en bereken de afstand tussen twee
opeenvolgende maxima.
2. Een lichtbron stuurt licht uit met twee verschillende golflengtes in het
zichtbaar gebied, gegeven door =430 nm en =510 nm . Deze bron
wordt gebruikt in een interferentie-experiment met dubbele opening, met
onderlinge afstand van 0,025 mm. Het scherm bevindt zich op 1,5 m van
de openingen. Bereken de afstand tussen de afstand tussen de derdeorde maxima die corresponderen met de gegeven golflengtes.
3. Bereken de minimum dikte van een dunne zeepfilm (n= 1,33) waarvoor
constructieve interferentie wil optreden als de film belicht wordt met licht
met golflengte in lucht van 600 nm.
4. Licht met golflengte 587,5 nm valt in op een enkelvoudige opening van
0,75 mm breed. Op welke afstand van de opening moeten we een scherm
plaatsen als het eerste minimum zich op 0,85 mm van het midden van
het scherm moet bevinden ?
55
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
4.1
Invariantie van de lichtsnelheid
4.1.1
Het relativiteitsprincipe
Het feit dat beweging relatief is, ken je al uit de lessen fysica van de voorbije
jaren. We herhalen het kort aan de hand van een voorbeeld :
Beschouw twee waarnemers, Robbe en Fien. Robbe staat op een perron, en Fien
bevindt zich in een treinwagon. De treinwagon verplaatst zich met een snelheid
v ten opzichte van het perron.
Afbeelding 66: Waarnemers die ten opzichte van elkaar in beweging zijn zullen verschillende snelheden
waarnemen.
Als nu in de wagon een derde persoon zich ten opzichte van Fien verplaatst met
een snelheid v”, dan is de snelheid van die derde persoon ten opzichte van
Robbe gegeven door
v '=vv ' '
Snelheid is bijgevolg relatief.
Niettemin, beide waarnemers zullen voor metingen van tijdsintervallen,
lengtes, versnellingen, krachten en massa's gelijke resultaten
verkrijgen.
4.1.2
De snelheid van het licht
De vraag die we ons nu gaan stellen is of dit ook geldt voor een lichtgolf : als
een lichtgolf ten opzichte van waarnemer A beweegt met snelheid c, met welke
snelheid beweegt dezelfde lichtgolf dan voor waarnemer B, die t.o.v. A beweegt
met snelheid v ?
Uit de Maxwell-vergelijkingen volgt de lichtsnelheid in vacuum :
c=
1
 0 0
maar ten opzichte van welke waarnemer ?
Eind 19e eeuw werd de hypothese geopperd dat lichtgolven zich bewogen in een
56
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
medium, de lichtdragende ether. Dit medium werd verondersteld de hele
ruimte te doordringen, geen massa te hebben, star en zelf bewegingsloos te zijn,
en geen effect te hebben op de beweging van andere objecten, zoals planeten.
De lichtsnelheid die volgt uit de Maxwell-vergelijkingen, zou de snelheid zijn
ten opzichte van de ether. De ether zou bijgevolg een absoluut
referentiesysteem vormen.
4.1.3
Het Michelson-Morley experiment
Om het bestaan van de ether te bevestigen werd in 1887 door Michelson en
Morley het volgende experiment uitgedacht. Als de ether effectief zou bestaan,
dan zou de aarde door de ether moeten bewegen met een snelheid v. De
snelheid van een lichtstraal die beweegt met de aarde mee zou dan, gemeten
door een waarnemer op de aarde, c - v moeten zijn. De snelheid van een
lichtstraal die beweegt tegen de bewegingsrichting van de aarde door de ether,
zou dan, gemeten door een waarnemer op de aarde, c + v moeten zijn.
Om dit te testen ontwierpen zij volgend experiment :
Licht afkomstig uit een bron werd door een half-transparante spiegel S gestuurd,
waardoor de lichtbundel in twee gesplitst werd. Als de bundels van en naar S2
volgens de bewegingsrichting van de aarde door de ether gericht zijn, dan heeft
de bundel naar S2 een snelheid c – v, en de door S2 gereflecteerde bundel een
snelheid c + v. De twee bundels afkomstig van S1 en S2 recombineren bij de
detector, en door de snelheidsverschillen is er een faseverschil tussen de bundel
uit S1 en de bundel uit S2, waardoor er interferentie zou moeten optreden.
Afbeelding 68: Opstelling Michelson-Morley experiment
Afbeelding 67: Principe van het Michelson-Morley
experiment
Door de opstelling te draaien zouden ook de snelheidsverschillen en bijgevolg de
faseverschillen, moeten wijzigen, wat merkbaar zou moeten zijn in een
wijziging in het interferentiepatroon.
Geen enkele uitgevoerde meting slaagde er echter in om deze wijziging waar te
nemen ! Hoewel het door de jaren heen met steeds verfijndere apparatuur
herhaald is, was de uitkomst steeds negatief.
Conclusie : het is onmogelijk om de beweging van de aarde ten opzichte
57
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
van de lichtdragende ether waar te nemen.
4.1.4
Verklaringen
Er zijn verschillende pogingen gedaan om dit negatief resultaat te verklaren :
●
De hypothese dat de aarde de ether “meesleurt” bij haar beweging
doorheen de ruimte (aether dragging), is ontkracht geweest door het
Michelson-Morley experiment te herhalen op verschillende hoogtes, maar
er werd geen enkel verschil waargenomen.
●
Fitzgerald en Lorentz opperden dat de lengte van een object dat
meebeweegt in de ether, verkort met een factor

1−
v2
. Hierdoor zou
c2
één arm van de interferometer verkorten, zodat geen weglengteverschil
werd waargenomen. Dit was echter een ad-hoc hypothese, en noch
Fitzgerald noch Lorentz slaagden erin om een verklaring te geven waarom
een dergelijke contractie zou plaatsvinden.
4.1.5
Einstein's relativiteitsprincipe
In 1905 formuleerde Einstein zijn relativiteitstheorie, die een uitweg bood uit de
crisis :
Alle wetten van de fysica zijn gelijk voor waarnemers die ten opzichte
van elkaar bewegen met een constante snelheid (inertiaalstelsels).
In de woorden van Einstein :
“... dezelfde wetten van elektrodynamica en optica zijn geldig voor alle
referentiekaders waar de wetten van de mechanica gelijk zijn.”
Een direct gevolg van dit principe is dan :
De snelheid van het licht is gelijk voor alle waarnemers die bewegen
met een constante snelheid ten opzichte van elkaar.
Twee waarnemers, die ten opzichte van elkaar bewegen met een snelheid v,
zullen dus beiden hetzelfde resultaat verkrijgen als zij de lichtsnelheid meten,
namelijk
c=
1
.
 0 0
De lichtsnelheid in vacuüm is bijgevolg een universele constante, en
vastgelegd op 299 792 458 m/s.
Wat betekent dit concreet ? Laten we terugkeren naar onze twee waarnemers uit
de eerste paragraaf. Robbe staat op een perron, Fien in een trein die Robbe
passeert met een snelheid v. Als Fien met een flitslamp een lichtpuls uitstuurt,
dan ziet Fien de lichtflits verwijderen met snelheid c. Robbe ziet dan eveneens
de lichtpuls zich verwijderen met snelheid c.
58
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
Afbeelding 69: Ongeacht of waarnemers ten opzichte van elkaar in beweging zijn, zij nemen
dezelfde lichtsnelheid waar.
Als we dit principe aannemen, dan is het negatief resultaat van het MichelsonMorley experiment gemakkelijk te verklaren : het uitgangspunt (de verschillende
snelheden van het licht als het meebeweegt met de aarde of tegenovergesteld
beweegt) is al verkeerd.
Niettemin, de aanname van dit principe heeft een aantal vreemde gevolgen...
4.2
Gevolgen van het relativiteitsprincipe
4.2.1
Gelijktijdigheid
We blijven bij de twee waarnemers Robbe (op het perron) en Fien (in de trein).
Volgens onze intuïtie en de klassieke fysica zullen twee gebeurtenissen die
Robbe op hetzelfde moment waarneemt, ook door Fien gelijktijdig waargenomen
worden.
Beschouw nu volgend gedachtgenexperiment : Fien staat in het midden van een
wagon. Op het moment dat ze elkaar passeren, stuurt zij met een flitslamp
twee lichtgolven in tegenovergestelde richting. Beide lichtgolven bewegen zich
volgens Fien met snelheid c naar de wanden van de wagon. Vermits Fien in het
midden staat, zie Fien beide lichtgolven tegelijkertijd toekomen aan de voorste
en de achterste wand.
Afbeelding 70: Fien ziet de lichtgolven tegelijkertijd bij de wand
aankomen.
59
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
Robbe daarentegen staat op het perron, en ziet Fien in de wagon met snelheid v
voorbijkomen. Ook hij ziet de lichtgolven met snelheid c naar de wanden van de
wagon bewegen. Maar vermits de wagon voor Robbe in beweging is, zal de
lichtgolf die naar de achterste wand beweegt, een kortere weg moeten
afleggen en dus éérst aankomen, terwijl de lichtgolf die naar de voorste
wand toegaat, een langere weg moet afleggen en dus later toekomt. Voor
Robbe zijn beide gebeurtenissen dus niet gelijktijdig !
Afbeelding 71: Robbe echter ziet eerst de lichtgolf de achterste wand
bereiken, en dan maar de voorste.
Twee gebeurtenissen die gelijktijdig plaatsvinden voor één waarnemer,
zijn niet noodzakelijk gelijktijdig voor een andere waarnemer.
Gelijktijdigheid is géén absoluut concept, maar is relatief ten opzichte
van de waarnemer.
4.2.2
Tijddilatatie
Niet alleen gelijktijdigheid zal relatief zijn, ook de tijdsduur die gemeten wordt
60
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
tussen twee verschillende gebeurtenissen door twee waarnemers die ten
opzichte van elkaar in beweging zijn, zal niet langer dezelfde zijn. Keren we
terug naar Robbe en Fien. Robbe is astronaut geworden en bevindt zich in een
raket, die met snelheid v beweegt ten opzichte van Fien, die op Aarde is
gebleven.
Veronderstel dat Robbe over een laser beschikt, en vanop de vloer een lichtpuls
stuurt naar een spiegel aan het plafond. De lichtpuls wordt gereflecteerd door de
spiegel (gebeurtenis 1) en komt terug aan bij de laser (gebeurtenis 2).
Als de afstand tussen laser
en spiegel gegeven is door
d, dan is de tijd tussen
beide gebeurtenissen zoals
gemeten door Robbe :
 t '=
2d
c
Fien ziet de lichtstraal
echter een andere weg
afleggen, en de tijd tussen
beide
gebeurtenissen
gemeten door Fien is dan
t=
2s
c
Afbeelding 72: Weglengteverschil van gereflecteerde lichtstraal
voor stationaire en bewegende waarnemer.
Voor
Fien
zal
het
tijdsinterval tussen beide
gebeurtenissen groter zijn dan voor Robbe.
Met andere woorden :
Voor een stationaire waarnemer lijkt het of een bewegende klok trager
loopt dan
een identieke stationaire klok. Dit effect noemen we
tijdsdilatatie.
Met eenvoudig rekenwerk kunnen we aantonen dat
 t=
waar
=
1

1−
t '

v2
1− 2
c
= t '
v2
c2
Het tijdsinterval noemen we de eigentijd, zijnde de tijd gemeten tussen
twee gebeurtenissen, gemeten door een waarnemer die de
gebeurtenissen op dezelfde locatie waarneemt.
De relativisitische effecten worden maar belangrijk als v de
lichtsnelheid nadert. Hieronder is de grootte van g afgebeeld als functie van
v/c. Vermits we in het dagdagelijkse leven enkel maar in aanraking komen met
snelheden die aanmerkelijk kleiner zijn dan de lichtsnelheid, merken we niks van
de relativistische effecten.
61
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
Afbeelding 73: Relativisitische effecten worden slechts merkbaar voor snelheden in de buurt
van de lichtsnelheid.
4.2.3
Lengtecontractie
We definiëren de eigenlengte van een object als de lengte gemeten door
een waarnemer in rust ten opzichte van het object.
We keren terug naar Robbe en Fien. Robbe is met zijn raket onderweg naar een
naburige ster, met een snelheid v ten opzichte van Fien (en de ster...). Fien
bepaalt de afstand aarde-ster op L. Vermits Fien in rust is ten opzichte van de
ster, is dit de eigenlengte.
Volgens Fien zal de tijd dat Robbe erover doet om de afstand Aarde-ster af te
leggen gelijk zijn
 t=
L
v
Robbe ziet de ster naderen met een snelheid v, en volgens zijn klok bereikt hij
de ster na een tijd

 t ' = 1−
v2
 t , en besluit hieruit dat de door hem
c2
afgelegde afstand gelijk is aan
L ' = t ' v = t v= L
of
L=
L'

Een lengte gemeten door een waarnemer in beweging is dus steeds kleiner dan
de eigenlengte.
4.3
Andere gevolgen
Aanname van het relativiteitsbeginsel van Einstein heeft nog aan aantal andere
gevolgen, waarvan de afleidingen echter buiten de scope van de cursus vallen.
We vermelden ze hier kort :
●
Ook de massa is onderhevig aan relativistische effecten. Als de massa van een object,
gemeten door een waarnemer in rust ten opzichte van dat object, gegeven is door m0
62
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
●
(rustmassa), dan meet een waarnemer die beweegt met snelheid v ten opzichte van dat
object een massa m= m0 . De massa neemt met andere woorden toe met de snelheid.
Vermits de wetten van Newton blijven gelden, volgt hieruit dat een steeds grotere kracht
zal nodig zijn om een object een constante versnelling te geven. Als het object de
lichtsnelheid nadert, zal zijn massa naar oneindig naderen, en zal de kracht nodig om het
object zelfs maar een minimale versnelling te geven, ook naar oneindig naderen. De
lichtsnelheid is bijgevolg de limietsnelheid voor een deeltje met rustmassa verschillend
van nul.
Men kan afleiden dat de totale energie van een voorwerp gegeven wordt door
E=mc 2= m0 c2 . Dat betekent dat een voorwerp in rust, met rustmassa m0, equivalent is
met een hoeveelheid energie E 0=m0 c2 , de rustenergie. Massa is dus een vorm van
energie, die kan omgezet worden in andere vormen (potentiële energie, kinetische
energie, stralingsenergie, ...).
●
Indien bron en waarnemer ten opzichte van elkaar bewegen, treedt het
Doppler-effect op. De klassieke benadering is hier echter niet meer
geldig en moet gecorrigeerd worden voor relativistische effecten. In geval
van een stilstaande waarnemer en een bron die naar de waarnemer toe
beweegt, wordt de relatie tussen uitgezonden en waargenomen frequentie

v
c
f '=
f
v
1−
c
4.4
1
Experimentele bevestigingen van de relativiteitstheorie
Ook al lijken de hierboven vermelde fenomenen bevreemdend en contraintuïtief, zij vormen een harde realiteit. De relativiteitstheorie is
onderworpen aan een groot aantal experimenten, en heeft elke test
glansrijk doorstaan. We vermelden hier een aantal experimentele
bevestigingen :
●
Muonen zijn onstabiele elementaire deeltjes (met lading -e en massa 207
x de massa van elektron), die geproduceerd worden bij de absorptie van
cosmische straling door de atmosfeer. Deze onstabiele deeltjes hebben in
rust een levensduur van 2,2 µs. Echter, muonen die versneld worden tot
een niet verwaarloosbare fractie van de lichtsnelheid, hebben een
beduidend langere levensduur. Experimenten uitgevoerd in het CERN,
waar muonen versneld werden tot 0,9994c, hebben een levensduur
gemeten van 63 µs. Deze levensduur werd gemeten door een stationaire
waarnemer. Welke levensduur zou een waarnemer meten die
meebeweegt met de muonen ?
●
In 1971 werden twee atoomklokken meegegeven met lijnvliegtuigen,
waarvan er één oostwaarts (met de draairichting van de aarde mee) rond
de aarde vloog, de andere westwaarts (tegen de draairichting in). Bij
terugkeer werden de klokken vergeleken met een identieke klok, die ter
plaatse was gebleven. De klok die oostwaarts meevloog liep 59 ns achter,
en de klok die westwaarts meegevlogen was, liep 273 ns voor, wat
precies in overeenstemming was met de door de relativiteitstheorie
voorspelde resultaten.
63
4 Inleiding in de speciale relativiteitstheorie
4.5
Oefeningen
1. De frequentie van een slinger wordt bepaald op 3 Hz door een waarnemer
in rust ten opzichte van de slinger. Welke frequentie meet een waarnemer
die beweegt met 90% van de lichtsnelheid ?
2. Een stok met eigenlengte 1 m lijkt voor een waarnemer maar 0,75 m.
Bereken de snelheid waarmee de stok de waarnemer passeert.
3. Wat gebeurt er met de dichtheid van een object als zijn snelheid
toeneemt ?
4. In welke mate zou ons leven drastisch wijzigen mocht de lichtsnelheid
slechts 50 km/h bedragen ? Geef een aantal gevolgen.
5. De massa van Robbe is in rust 80,0 kg. Welke massa meet Fien als Robbe
naar haar toe fietst met een snelheid van 25 km/h ? En als hij van haar
wegvliegt in een raket tegen 85% van de lichtsnelheid ?
6. Bereken met hoeveel energie een massa van 1 kg equivalent is. Hoeveel
lampen van 100 W kunnen we met die hoeveelheid energie één jaar lang
laten stralen ?
7. Bewijs de formule voor het relativistisch Doppler effect. Waarom noemen
ze het licht van een bron die zich met hoge snelheid wegbeweegt van een
waarnemer “roodverschoven” ? Zoek het verschil op tussen “Doppler
roodverschuiving”, “cosmologische roodverschuiving” en “gravitationele
roodverschuiving”.
64
5 Inleiding in de quantummechanica
5 Inleiding in de quantummechanica
Hoewel we in vorige paragrafen licht een elektromagnetische golf hebben genoemd, en duidelijk in
experimenten het golfkarakter van licht hebben
aangetoond, is de aard van licht iets complexer.
De eerste hint dat licht niet echt gehoorzaamde
aan de wetten van de klassieke fysica werd
gegeven door Max Planck, wiens werk uiteindelijk
het
fundament
zou
vormen
voor
de
kwantummechanica, een theorie die een hele
nieuwe kijk op de aard van licht en materie zou
geven.
5.1
Zwarte-lichaamstraling – wet van Planck
Max Planck boog zich eind 19e eeuw over het
probleem van de zwarte lichaamstraling.
Afbeelding 74: Max Planck
Een zwart lichaam is een object dat alle
invallende absorbeert. Het is niet transparant (er passeert geen straling
door) en reflecteert geen straling.
Een zwart lichaam stuurt straling uit over een continu golflengtebereik, maar
de intensiteit is verschillend voor verschillende golflengtes. Deze afhankelijkheid
is enkel functie van de temperatuur van het lichaam (thermische radiatie). Als
we de uitgezonden intensiteit bekijken als functie van de golflengte bij een
gegeven temperatuur, dan kunnen we twee zaken vaststellen :
●
Hoe hoger de temperatuur, hoe groter de intensiteit.
●
Hoe hoger de temperatuur, hoe kleiner λmax, de golflengte
waarbij de intensiteit maximaal is.
Deze relatie staat bekend als de wet van Wien :
max⋅T =
met σ = 0,2898.10 mK.
-2
Noch de wet van Wien, noch de vorm van de kromme die de intensiteit per
golflengte geeft voor een gegeven temperatuur kunnen verklaard worden met
de klassieke fysica.
Plankc beet zich vast in het probleem, maar kon slecht tot een oplossing komen
na het stellen van een toch wel gewaagde hypothese :
De vergelijkingen van Maxwell indachtig, ging Planck ervan uit dat de
elektromagnetische straling werd uitgezonden door “elektrische oscillatoren”
in de wanden van het lichaam (elektronen waren toen nog niet ontdekt).
Volgens de klassieke theorie kan de energie van dergelijke oscillatoren alle
mogelijke waarden aannemen, onafhankelijk van de frequentie f, en is er een
continue emissie en absorptie, eveneens onafhankelijk van f.
65
5 Inleiding in de quantummechanica
Planck stelde dat de energie van de oscillatoren in de wand van een
zwart lichaam niet alle mogelijke waarden kon aannemen, maar enkel
h⋅f , met h een constante (h =
gehele veelvouden (quanta) van
6,626.10-34 Js).
De mogelijke energiewaarden worden gegeven door :
E n=n⋅h⋅ f  n=1, 2, 3,...
Absorptie en emissie van energie gebeurt dan eveneens in pakketjes die een
geheel veelvoud zijn van h⋅f .
Uitgaande van deze veronderstelling, kon Planck de intensiteit als functie van
de temperatuur en golflengte bepalen als:
I  , T =
2 h c2
5

1
e
hc
k T
−1
met h de constante van Planck, c de lichtsnelheid en k de constante van
Boltzman. Deze uitdrukking was in perfecte overeenstemming met de
experimentele resultaten.
Hoewel dit achteraf gezien een geniale ingeving was, was Planck allesbehalve
blij met deze oplossing. Hij beschouwde dit als een tussenoplossing, en hoopte
aan te tonen dat uiteindelijk h tot nul herleid kon worden. Niettemin, in
de jaren volgend op zijn ontdekking, bleef h op de proppen komen in een
aantal fundamentele verschijnselen, en nu heeft h de status van
fundamentele constante.
5.2
Het foto-elektrisch effect – duale aard van licht
Een eerste fenomeen waar de constante van Planck opdook, was het fotoelektrisch effect. Het foto-elektrisch effect is het fenomeen dat een metaal
waarop licht invalt, elektronen begint uit te stoten.
66
5 Inleiding in de quantummechanica
Einstein onderzocht dit fenomeen met
volgende experimentele opstelling :
Afbeelding 75: Het foto-elektrisch effect :
elektronen komen vrij uit een metaal door
invallende elektro-magnetische golven
Afbeelding 76: Schematische voorstelling
van experimentele opstelling fotoelektrisch effect
Licht valt in op de metalen plaat A, en
uit A komen elektronen vrij met
kinetische energie Ek.
In eerste instantie is A negatief, en B
positief. Alle uitgezonden elektronen
verplaatsen zich naar het punt op de
hoogste potentiaal, B. In B worden dus alle elektronen gecollecteerd, er
vloeit een stroom.
In tweede instantie wordt de polariteit omgekeerd, A positief en B negatief.
Veronderstel dat er een potentiaalverschil U is tussen A en B. Alleen de
uitgestoten elektronen waarvoor E k e⋅U bereiken nu nog B. Wordt het
potentiaalverschil verhoogd, dan zullen er op een gegeven ogenblik geen
elektronen meer B bereiken. Het potentiaalverschil waarop dit gebeurt, wordt de
stopspanning Us genoemd.
Nu constateerde men volgende problemen, die niet opgelost konden worden
met behulp van de klassieke fysica.
●
Als de frequentie van de invallende straling beneden een zekere kritische
frequentie fC kwam, dan kwamen er geen elektronen meer vrij, hoe groot
de intensiteit van de straling ook was.
●
Us is onafhankelijk van de intensiteit.
●
De kinetische energie van de elektronen verhoogt naarmate de frequentie
van de invallende straling verhoogt.
●
Er is een directe uitstoot van elektronen (geen absorptietijd).
Afbeelding 77: Stroom versus aangelegde spanning
67
5 Inleiding in de quantummechanica
Einstein kwam met volgende oplossing :
●
Licht kan beschouwd worden als een stroom deeltjes, fotonen. Elk foton
heeft een energie E=h⋅ f , met h de constante van Planck.
●
Als een foton botst met een elektron, geeft het in één keer al zijn
energie af aan één elektron, als ware het een botsing tussen twee
deeltjes.
Het
elektron
krijgt
dan
een
kinetische
energie
E k =h⋅ f −E binding , met E binding de potentiële energie waarmee het
elektron aan het metaal gebonden is. Deze energie wordt ook de
uittrede-arbeid genoemd.
●
Als
h⋅f E binding dan komen er geen elektronen vrij. De kritische
E binding
frequentie is bijgevolg : f C =
h
Conclusie : licht heeft naast een golfkarakter ook een deeltjeskarakter.
Licht heeft een duale aard.
5.3
Duale aard van materie
5.3.1
Emissie-en absorptiespectra van gassen
In een vorige paragraaf hebben we gezien dat een lichaam op een bepaalde
temperatuur licht zal uitsturen, met een continue verdeling over alle golflengtes.
Een lichaam verwarmen (gloeilamp...) is echter niet de enige manier om licht te
verkrijgen: brengen we gas onder lage druk en plaatsen we een spanning over
het gas, dan krijgen we een elektrische ontlading (neonlampen,
wegverlichting, ...).
Het licht dat op die manier verkregen wordt is geen continu spectrum waarin alle
golflengtes vertegenwoordigd zijn, maar bestaat slechts uit een beperkt aantal
golflengtes, een lijnen- of emissiespectrum.
Het lijnenspectrum is specifiek voor het gas
Afbeelding 78: Thermische radiatie stuurt een continu spectrum uit (bovenste afbeelding),
gasontladingen vertonen een discreet spectrum (middelste afbeelding) en wanneer straling met
een contunu spectrum een gaswolk passeert, word straling met specifieke frequentie
geabsorbeerd. (onderste afbeelding). Bron : www.scienceinschool.org
Als licht met een continu spectrum door een gas passeert, zullen bepaalde
68
5 Inleiding in de quantummechanica
golflengtes uit het continue spectrum gefilterd worden. De golflengtes die
gefilterd worden in het absorptiespectrum blijken bij onderzoek
dezelfde die uitgestuurd worden door het gas als we het onder spanning
plaatsen in het emissiespectrum.
Dit fenomeen kan met “klassieke” elektrodynamica niet verklaard worden.
5.3.2
Het atoommodel van Bohr
De verklaring voor de emissie-en absorptiespectra
werd geleverd door Niels Bohr. Hij stelde een nieuw
model voor van de atoomstructuur, waarin hij een
aantal revolutionaire ideeën combineerde :
●
●
Hij gebruikte de (toen) recente ontdekkingen
van Rutherford, dat het atoom bestaat uit
een zéér kleine kern, waarrond elektronen
rondcirkelen. Dit model kon echter niet
verklaard worden met behulp van de
klassieke fysica. Volgens de theorie van het
elektro-magnetisme, zou een elektron dat
een cirkelvormige beweging beschrijft (en
dus een versnelling ondergaat) elektromagnetische golven moeten uitstralen en
bijgevolg energie verliezen, waardoor het in
een spiraal naar de kern zou bewegen en
tenslotte op de kern te pletter zou storten.
Atomen konden dus volgens de klassieke
theorie niet stabiel zijn.
Afbeelding 79: Niels Bohr (1885
- 1962)
Om dit te omzeilen combineerde hij zowel de ideeën van Planck
(quantum-theorie) als van Einstein (foto-elektrisch effect).
Bohr vertrok van volgende aannames :
●
Elektronen bewegen op cirkelvormige banen rond de kern.
●
Alleen bepaalde banen zijn stabiel. Elektronen die bewegen op die banen
geven geen straling af, hun energie blijft stabiel.
●
Elektronen kunnen “overspringen” tussen verschillende banen. Ze kunnen
van een baan met lagere energie overspringen
naar een baan met hogere energie door
absorptie van een foton, of van een baan met
hogere energie naar een baan met lagere
energie door emissie van een foton.
Afbeelding 80: Atoommodel van
Bohr, met mechanisme van emissie
door overgang van elektronen.
●
Tussen het energieverschil van de banen
waartussen het elektron is gesprongen en
frequentie van geëmitteerd of geabsorbeerd
foton geldt de relatie ∣E i− E f∣=h f .
●
De straal van de mogelijke stabiele banen
wordt bepaald de quantisatie van het
impulsmoment :
m v r =n ℏ met
ℏ=
h
.
2
Met deze aannames kon Bohr perfect de emissie- en absorptiespectra verklaren.
Deze verklaring was echter een ad-hoc verklaring, die niet gestoeld was op
dieperliggende, meer fundamentele principes. Hoewel zijn model een perfecte
69
5 Inleiding in de quantummechanica
verklaring gaf voor aan groot aantal fysische (en chemische) fenomen, was er
veel weerstand tegen vanwege het niet-fundamentele karakter.
Afbeelding 81: De emissielijnen van waterstof en bijhorende energieovergangen.
5.3.3
De hypothese van de Broglie
In 1923 slaagde de Franse fysicus Louis de Broglie erin om een
fundamentele verklaring te geven van het atoom van Bohr.
Uitgaande van de deeltjes-golfdualiteit van licht, opperde hij
de hypothese dat elektronen naast een deeltjeskarakter ook
een golfkarakter hebben. Met een deeltje met impuls p (de
impuls is het product van de massa en de snelheid p=mv )
en energie E bezit correspondeert een golf waarvan frequentie
en golflengte gegeven zijn door volgende relaties :
h
p
E
f=
h
=
Afbeelding 82:
Louis de Broglie
(1892-1987)
Het golfaspect van elektronen werd experimenteel bevestigd door Davisson en
Germer in 1928, die overtuigend konden aantonen dat elektronen die door een
70
5 Inleiding in de quantummechanica
nikkelrooster bewogen, diffractie vertoonden. Sindsdien is de duale aard van
materie ook aangetoond door diffractie en interferentie experimenten met
protonen, neutronen, en grotere deeltjes tot en met C60 molecules.
Het feit dat elektronen ook een golfaspect hebben, gaf een diepere verklaring
voor het atoommodel van Bohr. De enige stabiele banen, zijn diegenen waarbij
de elektronengolf zichzelf niet uitdooft door destructieve interferentie. Dit kan
alleen als de omtrek van de baan een geheel aantal maal de golflengte is. Als we
deze voorwaarde uitwerken, zien we dat dit exact de overeenkomt met de
quantisatie van het impulsmoment zoals Bohr dit heeft voorgesteld :
2 r =n 
h
2  r=n
p
m v r=n ℏ
5.4
Gevolgen van het golf-deeltjes dualisme
5.4.1
Interferentie van elektronen
Door een elektron een duale aard toe te kennen, kon het atoommodel van Bohr
perfect verklaard worden, maar wat houdt dat golfaspect nu juist in ? Een golf
hebben we gedefiniëerd als een storing die zich verderzet in de ruimte. Maar wat
houdt deze “storing” in in geval van een “elektron”-golf ?
We proberen het één en ander te verklaren aan de hand van een interferentieexperiment met elektronen. We herhalen de proef van Young (zie interferentie
van licht) maar vervangen de lichtbron door een elektronenbron.
De stroom van elektronen wordt door een dubbele opening gestuurd, en valt in
op een fluorescerend scherm. Waar een elektron het scherm raakt, verschijnt er
een heldere stip. Als we het resultaat van dit experiment bekijken, zien we
duidelijk dat op het scherm heldere en donkere gebieden te vinden zijn, wat
overeenstemt met een interferentiepatroon.
Afbeelding 83: Elektronen-interferentiepatroon.
Ook al zien we hier een duidelijke bevestiging van het golfaspect (interferentie),
valt het toch op dat elk elektron een heldere stip op het scherm achterlaat, alsof
er een deeltje is ingevallen. Gedraagt een hele stroom elektronen zich als een
golf, maar individuele elektronen zich als een deeltje, of hoe zit dat nu ?
71
5 Inleiding in de quantummechanica
Als we de intensiteit van de bundel zodanig
terugschroeven dat slechts één elektron
tegelijkertijd uit de bron afgevuurd wordt,
en we dus niet meer kunnen spreken van
een “stroom” elektronen, maar van
individuele elektronen die één per keer
naar het scherm bewegen. Wat krijgen we
dan ?
De resultaten van dit experiment staan
afgebeeld hiernaast. Individuele elektronen
schijnen op willekeurige plaatsen toe te
komen op het scherm. Na 10 elektronen
(a) krijg je blijkbaar willekeurig verspreide
stippen. Na 100 elektronen (b) is er nog
geen patroon zichtbaar, maar na 1000 (c)
en 10000 (d) elektronen tekenen zich
duidelijk gebieden af waar méér elektronen
toekomen
dan
andere.
Na
100000
elektronen is het interferentiepatroon
duidelijk zichtbaar. Hoe moeten we dit nu
interpreteren
?
Blijkbaar
gedragen
individuele elektronen zich eveneens als
golven, en interfereren ze met zichzelf. Dit
betekent dat één elektron door beide
openingen tegelijk moet gaan !
Het wordt nog vreemder als we proberen
achterhalen door welk van de twee
openingen het elektron passeert. Plaatsen
we bij beide openingen een detector, dan
zal bij passage van een elektron slechts
één van beide detectoren afgaan, dus het
elektron passeert volgens de detectoren
slechts door één opening. En als we de
resultaten op het scherm bekijken, zien we
dat het interferentiepatroon verdwenen is !
Halen we de detectoren weg, dan
verschijnt het interferentiepatroon weer.
5.4.2
Waarschijnlijkheidsgolven
We kunnen dit gedrag beter begrijpen als
we de betekenis van het “golfaspect” van
het
elektron
inzien.
De
golffunctie
die
een
“elektronengolf”
 r ,t 
beschrijft, moet gezien worden als een
waarschijnlijkheidsdistributie die de kans
weergeeft dat het elektron op een bepaald
tijdstip, op een bepaalde plaats wordt aangetroffen. Voordat het elektron wordt
waargenomen, is het als het ware “uitgesmeerd” over de hele ruimte. Het is
nergens op een specifieke plaats, noch op een bepaald tijdstip. Bij detectie
(waarbij de elektronengolf zal interageren met het detectiemechanisme) klapt de
golffunctie in elkaar, en lokaliseert het elektron zich in tijd en ruimte. Waar en
Afbeelding 84: Interferentie met individuele
elektronen.
72
5 Inleiding in de quantummechanica
wanneer het elektron gedetecteerd wordt kan niet op voorhand bepaald worden.
Alleen de waarschijnlijkheid of het op die plaats op een welbepaald tijdstip zou
kunnen waargenomen worden kan berekend worden.
Waar het elektron uiteindelijk wordt waargenomen is zuiver toeval. Er is geen
mechanisme dat als oorzaak aan de basis ligt. Op het niveau van elementaire
deeltjes is toeval een bepalende factor. De kwantummechanica stelt ons bv.
perfect in staat te berekenen hoeveel % van de kernen van radioactief materiaal
zullen vervallen na een bepaalde tijd, maar het is onmogelijk om te zeggen
welke individuele kernen wanneer zullen vervallen.
Dit was (en is nog altijd) een controversieel element in de kwantummechanica,
waar vele fysici moeite mee hadden. De meest bekende criticus was Albert
Einstein, die zijn twijfels verwoordde met de bekende zinssnede “Gott würfelt
nicht” (God dobbelt niet). De experimentele bevestigingen van de
kwantumtheorie zijn echter zo overweldigend, dat uiteindelijk zelfs Einstein zich
erbij heeft moeten neerleggen (zij het met grondige tegenzin...). God speelt
blijkbaar wel degelijk met dobbelstenen, maar nogal bijzondere. Een worp met
een reële dobbelsteen, kan namelijk perfect begrepen worden met de klassieke
wetten van de mechanica, en de uitkomst is een functie van de beginsituatie. De
uitkomst van een “quantumdobbelsteen” wordt door niks voorgaand bepaald,
het heeft geen oorzaak, het is een “zuiver toeval”.
5.4.3
Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg
Een gevolg van de duale aard van de materie is dat je onmogelijk tegelijkertijd
én de positie, én de impuls van een deeltje kan kennen. Met andere woorden,
als je weet waar het deeltje is, weet je niet waar het naartoe gaat, en als je
weet waar het naartoe gaat, dan weet je niet exact waar het is.
Dit kan het best geïllustreerd worden door een vlakke golf die een scherm nadert
met één kleine opening in. Voor het scherm ben je zeker dat het elektron zich
naar het scherm toe beweegt, maar is de waarschijnlijkheid om het elektron aan
te treffen overal even groot. Er is dus een grote onzekerheid over de positie.
Na het scherm heb je grote zekerheid over de positie (het elektron is 100%
zeker door de opening gegaan), maar door diffractie heb je nu geen idee meer in
welke richting het elektron zich voortbeweegt.
De onnauwkeurigheid op de positie en op de impuls is gerelateerd door het
onzekerheidsprincipe van Heisenberg :
 x  p
ℏ
2
Dit onzekerheidsprincipe heeft tot gevolg dat je over posities en bewegingen van
deeltjes moet spreken in termen van waarschijnlijkheden. Je kan van een
elektron bvb. zeggen dat je het met 99% zekerheid kan aantreffen binnen een
straal van 1 nm rond de kern, maar er blijft een 1% onzekerheid dat het zich
daar niet bevindt, het is zelfs niet onmogelijk (zij het wel zéér onwaarschijnlijk)
dat het elektron zich aan de andere kant van de universum bevindt.
Een alternatieve vorm van het onzekerheidsprincipe is
 E  t
ℏ
2
Hoe groter de zekerheid over de energie van een deeltje, hoe groter de
onzekerheid over het tijdsinterval waarin het deeltje die energie bezat. Dit heeft
tot bizar gevolg dat een perfect vacuüm allesbehalve leeg is. In een volledig lege
73
5 Inleiding in de quantummechanica
ruimte kunnen plots deeltjes ontstaan en terug verdwijnen , zolang dit maar
gebeurt binnen de marges van het onzekerheidsprincipe van Heisenberg. Waar,
hoe, en wanneer die deeltjes verdwijnen en verschijnen is ook weer zuiver
toeval.
Volgens
theoretische
modellen
kunnen
dergelijke
toevallige
quantumfluctuaties aan de basis liggen van het ontstaan van hele universa !
5.5
Oefeningen
1. Bereken de golflengte van een elektron dat zich verplaatst aan 10% van
de lichtsnelheid.
2. Bereken de golflengte van een auto met massa 1200 kg die zich
verplaatst met een snelheid van 120 km/h. Hoe komt het dat we van het
golfaspect van materie zo weinig merken in ons dagdagelijks bestaan ?
74