Lijnen en hoeken

WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO  MEETKUNDE  VECTORMEETKUNDE
3 – Lijnen en hoeken
Verkennen
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-d  Vectormeetkunde 
Lijnen en hoeken  Inleiding  Verkennen
ur
Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v van elk punt A op de lijn kan
ur
r
ontstaan als som van twee vectoren: p + t ⋅ r .
Beantwoord nu de vragen bij Verkennen.
Uitleg
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-d  Vectormeetkunde 
Lijnen en hoeken  Uitleg
Opgave 1
Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
 x   0
 4
a) Waarom is   =   + p ⋅   ook een vectorvoorstelling van de getekende
 y   2
 2
lijn?
 x   − 2
 2
b) En is   = 
 + q ⋅   ook een geschikte vectorvoorstelling? Licht je
 y  1 
 1
antwoord toe.
c) Hoe bepaal je vanuit een richtingsvector van de lijn de richtingscoëfficiënt?
d) Laat zien, hoe je nu een vergelijking van de lijn opstelt.
e) Wat is een normaalvector van de lijn? Ga met behulp van het inproduct na,
dat een normaalvector en een richtingsvector van deze lijn loodrecht op
elkaar staan.
f)
Hoe kun je de normaalvector gebruiken om snel van een vergelijking een
vectorvoorstelling te maken en omgekeerd?
Opgave 2
Bekijk de Uitleg, pagina 2. Bekijk wat precies onder de hoek tussen twee lijnen
wordt verstaan.
 x   − 2
 3
 x  0 
 2
a) Bereken de hoek tussen l:   = 
 + p ⋅   en m:   = 
 + q⋅

 y  1 
 1
 y   − 1
 − 1
b) Door de applet anders in te stellen kun je de hoek tussen andere lijnen ma­
ken. Bereken een paar keer die hoek en controleer je antwoord met de ap­
plet.
 x   − 2
 3
c) Welke lijn door het punt (1,2) is een normaal van l:   = 
 + p⋅   ?
 y  1 
 1
d) Hoe kun je met behulp van de normaalvector van l snel een vergelijking van
l maken?
e) Hoe maak je vanuit een gegeven vergelijking van een lijn snel een vector­
voorstelling?
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
1
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO  MEETKUNDE  VECTORMEETKUNDE
Opgave 3
 ry 
 rx 
r
ur
 loodrecht op elkaar staan.
Laat zien dat r =   en n = 
 ry 
 − rx 
Hoe kom je met behulp hiervan snel aan een normaalvector van een lijn waarvan
een vectorvoorstelling is gegeven?
Theorie en Voorbeelden
www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-d  Vectormeetkunde 
Lijnen en hoeken  Theorie
Bekijk eerst de Theorie.
Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover.
Opgave 4
In Voorbeeld 1 zie je hoe je een vectorvoorstelling maakt van een lijn door
twee gegeven punten en daar dan weer een vergelijking van de lijn bij kunt
maken.
a) Loop zelf de berekeningen nauwkeurig na.
b) Maak een vectorvoorstelling en een vergelijking van de lijn door R(−4,1) en
S(2,−1).
c) Stel een vectorvoorstelling en een vergelijking op de van de lijn door
A(−3,0) en B(2,5).
Opgave 5
Gegeven is de lijn l met vergelijking 4x + 3y = 6.
a) Bepaal twee punten op deze lijn en stel met behulp daarvan een bijpassen­
de vectorvoorstelling op.
b) Bepaal vanuit de gegeven vergelijking de richtingscoëfficiënt en laat zien
dat die past bij de in a) gevonden richtingsvector.
c) Je kunt de vectorvoorstelling van l ook opstellen door (bijvoorbeeld) y = p
te kiezen en dan de bijbehorende x-waarde in p uit te drukken. Probeer ook
op deze manier een vectorvoorstelling van l te maken.
Ga na, dat deze vectorvoorstelling overeen komt met die in a).
d) Tenslotte kun je snel een vectorvoorstelling maken vanuit de normaalvector
van deze lijn. Doe het ook nog eens op deze manier.
Opgave 6
In Voorbeeld 2 kun je met behulp van de applet de hoek tussen twee gegeven
lijnen bepalen. Je kunt deze hoek ook berekenen vanuit de richtingsvectoren van
de lijnen.
a) Waarmee moet je dan rekening houden?
b) Loop de berekeningen zelf na.
c) Maak met de applet twee andere lijnen (je kunt A en B verplaatsen en P en
Q langs de assen schuiven). Controleer met een berekening telkens de hoek
tussen beide lijnen.
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
2
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO  MEETKUNDE  VECTORMEETKUNDE
Opgave 7
In Voorbeeld 3 worden de snijpunten van een lijn en een cirkel berekend. In de
uitwerking wordt een vectorvoorstelling van de lijn gebruikt.
a) Voer zelf de berekening uit.
Je hebt nu een vectorvoorstelling van lijn PQ. Een willekeurig punt op deze lijn is
daarom (x,y) = (–2 + 2t,3 – t).
b) Bekijk nu de lijn OM en maak er een vectorvoorstelling van. Denk er om dat
je niet weer de letter t als variabele neemt!
Bepaal een willekeurig punt op OM.
c) Bereken het snijpunt van PQ en OM.
Opgave 8
In Voorbeeld 4 zie je hoe je een vergelijking van een raaklijn aan een cirkel in
een punt op de cirkel kunt opstellen.
Verplaats P naar (2,4) en stel een vergelijking op van de raaklijn aan de cirkel
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 5 in dit punt P. Controleer je antwoord met de applet.
Verwerken
Opgave 9
Maak bij de volgende lijnen een passende vectorvoorstelling:
a) de lijn l door P(−20,45) en Q(30,15);
b) de lijn m met vergelijking 2x − 5y = 10;
c) de lijn n door P(−20,45) en loodrecht op m;
d) de x-as;
e) de y-as.
Opgave 10
Gegeven zijn de lijnen l door A(30,0) en B(0,20) en m: x − y = 50.
a) Stel van beide lijnen een vectorvoorstelling op.
b) Bereken de hoek die beide lijnen met elkaar maken.
Opgave 11
De cirkel c met middelpunt M(2,1) en straal 10 snijdt van de lijn l door P(−3,4)
en Q(7,−6) het lijnstuk AB af. De raaklijnen in A en B aan de cirkel snijden elkaar
in punt S.
a) Bereken de grootte van hoek ASB in graden nauwkeurig.
b) Bereken de oppervlakte van ∆ABS.
Opgave 12
Bereken de afstand van P(2,10) tot l: x + 2y = 8 in twee decimalen nauwkeurig.
Opgave 13 Hoogtelijnen
Door de assen verstandig te kiezen kun je elke driehoek ABC beschrijven met de
hoekpunten A(a,0), B(b,0) en C(0,c). Een hoogtelijn in een driehoek is een lijn
door een hoekpunt loodrecht op de tegenoverliggende zijde.
Toon aan dat alle drie de hoogtelijnen door één punt gaan.
Druk de coördinaten van dit punt uit in a, b en c.
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
3
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO  MEETKUNDE  VECTORMEETKUNDE
Opgave 14 Gelijkbenige driehoek
Bewijs met behulp van het inproduct dat een gelijkbenige driehoek twee gelijke
basishoeken heeft. Kies daartoe (net als in de vorige opgave) een handig
assenstelsel waarin de coördinaten van de hoekpunten eenvoudig worden, maar
wel kunnen variëren.
Testen
Opgave 15
Gegeven de lijnen l door A(−3,2) en B(5,1) en m met vergelijking x + 2y = 24.
a) Stel van beide lijnen een vectorvoorstelling op.
b) Bereken het snijpunt van beide lijnen.
c) Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder beide lijnen elkaar
snijden.
Opgave 16 Middelloodlijnen
Door de assen verstandig te kiezen kun je elke driehoek ABC beschrijven met de
hoekpunten A(a,0), B(b,0) en C(0,c). Een middelloodlijn in een driehoek is een
lijn door het midden van een zijde en loodrecht op die zijde.
a) Toon aan dat alle drie de middelloodlijnen door één punt gaan. Druk de
coördinaten van dit punt uit in a, b en c.
b) Toon aan dat dit snijpunt van de middelloodlijnen het middelpunt is van een
cirkel door de drie hoekpunten van de driehoek.
Antwoorden
1a,b) Ja, beide vectorvoorstellingen zijn OK want de plaatsvectoren wijzen een
willekeurig punt op de lijn aan en de richtingsvector is een vector op de lijn.
c)
Zie de theorie.
d)
 1
e)
 
 − 2
f)
2a)
b)
c)
d)
3.
4a)
b)
c)
Zie de applet.
x − 3y = −5
De normaalvector opstellen en van daaruit de vergelijking maken.
Inproduct = 0
 x   − 4
 3
  =   + p   en x + 3y = −1
 y  1 
 − 1
 x   − 3
 1
  =   + q   en x − y = −3
 y  0 
 1
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
4
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO  MEETKUNDE  VECTORMEETKUNDE
5a)
 x   0
 3
  =   + p 
 y   2
 − 4
b)
rc=− 34
c)
y = p geeft 4x + 3p = 6 en dus x = 1,5 − 0,75p.
 x   1,5 
 − 0, 75 
(1,5 − 0,75p; p) ligt op de lijn dus een v.v. is   = 
 + p

 y  0 
 1 
d)
normaalvector is 
6a)
b)
c)
7a)
b)
c)
8.
9a)
d)
10a)
b)
11a)
b)
12.
13.
c)
d)
14.
15a)
 4
 − 3
 dus richtingsvector is   en (0,2) is een punt op de lijn
 3
 4
De hoek tussen twee lijnen moet scherp zijn, de hoek tussen twee vectoren niet.
 x
 5
OM:   = s  
 y
 2
4
Nu moet −2 + 2t = 5s en 3 − t = 2s. Dit stelsel oplossen geeft ( 20
9 , 9 )
Zie Voorbeeld 4.
 x   − 20 
 5
  = 
 + p 
 y   45 
 − 3
 x
  =
 y
 x
l:  
 y
 x   5
 5
 =   + q 
 y   0
 2
 1
 x
 0
t 
e)   = s  
 0
 y
 1
 0
 3
 x   50 
 1
= 
 + p   en m:   =   + q  
 20 
 − 2
 y  0 
 1
Controleer dat dit punt ook op de derde hoogtelijn ligt.
13.054 Nm
Nee, de man verricht het meeste arbeid (9397 Nm).
Neem A(−a,0), B(a,0) en C(0,c).
 x   − 3
 8
 x  0 
 2
l:   = 
 + p   en m:   =   + q  
 y  2 
 − 1
 y   12 
 − 1
(27 23 ,−1 56 )
c)
19°
b)
 x   − 20 
 2
 = 
 + r 
 y   45 
 − 5
c) 
79°
53°
16
7,16
Maak v.v. van elk van de hoogtelijnen en snijdt er twee. Je vindt ( ac
b ,0).
b)
16a)
b) 
( a2+ b , ac2−abc )
De afstanden van dit punt tot aan elk der hoekpunten is hetzelfde.
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
5