Hoofdstuk 2 – Limieten toepassen

er
sb
v
Hoofdstuk 2 – Limieten toepassen
2.1 Convergentie
bladzijde 34
1a
Er moet gelden dat un+1 > un dus un+1 − un > 0.
3( n + 1)

 

3
un+1 − un =  5 − 3  −  5 − 3  = − 3 + 3 = −3n +
=
> 0, want

n + 1 
n
n + 1 n n( n + 1) n( n + 1) n( n + 1)
n≥1
b
un nadert naar 5 voor n → ∞
c
Uit 5 − 3 = 4, 999 volgt n = 3000 dus vanaf n = 3001 zijn de termen groter dan 4,999.
n
2a
b
c
d
( −1)
ev
n
1, 9999 < 2 +
(−1)n
(−1)n
< 2, 0001 ⇒ −0, 0001 <
< 0, 0001 ⇒ −0, 0001n < (−1)n < 0, 0001n ⇒
n
n
off
− n < 10000 ⋅ (−1)n < n ⇒ n > 10000 .
bladzijde 35
3a
Ui
tg
→ 0 voor n → ∞ dus un → 2
n
De kleinste is u1 = 1 en de grootste is u2 = 2 12 .
(−1)n
(−1)n
1, 9 < 2 +
< 2, 1 ⇒ −0, 1 <
< 0, 1 ⇒ −0, 1n < (−1)n < 0, 1n ⇒
n
n
− n < 10 ⋅ (−1)n < n ⇒ n > 10.
( )
−10 −8 < un < 10 8 ⇒ −10 −8 < − 12
1
n
< 10 8 ⇒ 0 <
()
1
2
n
< 10 8 ⇒
n > 2 log 10 −8 ⇒ n > 26, 6 ⇒ n ≥ 27 .
4a
b
c
5a
b
6a
b
n→∞
Als n ≥ 10 geldt U n < 2, 4 .
4n = 4n − 6 + 6 = 4n − 6 + 6 = 2 + 6
2n − 3
2n − 3
2n − 3 2n − 3
2n − 3
6 < 10 −5 geeft 2 n − 3 > 6 dus n > 3 + 1 1 = 300001, 5
2
10 −5
10 −5
2n − 3
n is geheel dus n ≥ 300002
un =
un nadert naar 1 voor n is even en nadert naar –1 voor n is oneven.
Nee, want lim un nadert niet naar één vaste waarde.
n→∞
Nee, want wn schommelt steeds tussen –1 en 1.
( )
Als x → ∞ dan nadert f x naar nul.


un is convergent want lim  sin 1  = 0
n→∞ 
n
©
c
dh
De rij convergeert en lim un = 0.
or
b
No
© Noordhoff Uitgevers bv
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 29
⁄
29
11-06-09 13:56
rn = 12 n en mn =
()
n
7a
b
Alleen mn convergeert want lim
c
S11 = u1 + u2 + ... + u11 = r1 + r2 + ... + r11 + m1 + m2 + ... + m11 =
n→∞
1
2
n
= 0.
⋅ 11 ⋅ ( 12 + 5 12 ) + 12 ⋅
(
)
(
1
4
) (
n + 14 n2 + 1 −
lim Sn gaat naar oneindig dus Sn convergeert niet.
n→∞
( )
= ( −1) .
= 1 + ( −1) .
n
n
Nee, dit geldt niet voor bijvoorbeeld un = −2 .
8a
b
Nee, dit geldt niet voor bijvoorbeeld un
c
Nee, dit geldt niet voor bijvoorbeeld un
d
Ja, want die constante is dan natuurlijk de limietwaarde.
bladzijde 36
9a
b
10a
c
1
4
n2 + 14 n + 1 −
1n
2
n
Als n → ∞ dan qn → ∞ . De rij qn convergeert niet.
De rij qn convergeert niet.
Als n → ∞ dan rn → 0 dus rij rn convergeert.
off
)=
Ui
tg
2.2 Standaardlimieten
n
1n
2
ev
d
()
1 − ( 12 )11
≈ 33, 9995 .
1 − 12
n
n
 1− 1n 
2
Sn = ∑ rk + ∑ mk = 12 n ⋅ 12 + 12 n + 12 ⋅ 
=
 1 − 12 
k =1
k =1
1
2
1
2
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
3
3
q5 = 55 ≈ 0, 514 ; q10 = 1010 ≈ 0, 017 ;
3
3
b
dh
3
q15 = 1515 ≈ 0, 0002 dus qn lijkt naar nul te naderen als n → ∞.
3
y
200
150
3
4
5
6
x
No
2
De grafiek van g stijgt op den duur sneller.
lim qn = 0, want de noemer gaat ‘sneller naar ∞ ’ dan de teller.
n→∞
©
c
1
or
50
0
f
g
100
⁄
30
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 30
© Noordhoff Uitgevers bv
11-06-09 13:56
11a
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
y
40
h
30
20
10
g
0
c
12a
b
c
( )
1
h
)
1
h
dus
1
h
(
Neem h = 1 dan geldt lim 1 + h
h↓0
n


lim  1 + 1  = lim 1 + h
n→∞ 
h↓0
n
(
)
7
6
4
3
u
2
1
14
= e (zie ook opdracht c)
w
10 20 30 40 50
x
Beide rijen lijken limiet 1 te hebben.
No
n


= lim  1 + 1  .
n→∞ 
n
or
5
0
1
h
)
1
h
dh
y
9
8
x
)
()
bladzijde 37
13
18
f ' x = e x geeft f ' 0 = 1
dus y = x + 1 is de vergelijking van de raaklijn.
In de buurt van x = 0 vallen de grafiek en de raaklijn bijna samen.
Uit opdracht b volgt dat in de buurt van x = 0 geldt:
e h ≈ 1 + h dan
n
16
(
(
e
14
( )
e ≈ 1+ h
12
2
x
h x = x x = x 2 ⋅ 0, 8 − x = x 2 ⋅ 0, 8 −1 = x 2 ⋅ 1, 25 x
0, 8
Rij wn heeft geen limiet omdat zowel x 2 als 1, 25 x oneindig groot worden voor x → ∞.
h
d
10
In de grafiek is te zien dat alleen rij un convergeert.
( e ) ≈ (1 + h )
8
ev
6
Ui
tg
b
4
off
2
e
lim nn = 0 (dit is de tweede standaardlimiet)
n→∞ e
lim
0, 001
= lim 1n ⋅ n 0, 001 = 0 ⋅ 1 = 0
n→∞ e
en
©
n→∞
n
© Noordhoff Uitgevers bv
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 31
⁄
31
11-06-09 13:57
3
15a
1
3
n
n
m



3 



1
3
1
lim  1 +  = lim   1 + 1   = lim   1 +   = e3
n→∞ 
n→∞  
m→∞ 
n
n 
m 

3 


1
1
b
n
m 3
3n 3


1


 
 
lim  1 + 1  = lim   1 + 1   = lim   1 + 1   = e 3
n→∞ 
n
→∞
m
→∞





m 
3n
3n 


c
11 n 3
m 3


2
 2 


 
2
1
lim  1 +  = lim   1 + 1   = lim   1 + 1   = e 3
n→∞ 
n→∞  
m→∞ 
3n 
1 2 n 
m 



d


lim  2 n + 1 
n→∞ 
2n 
16a
b
c
2
2
n
−n
2n

 
= lim   1 + 1  
n→∞ 
2n  

− 12
m

 
= lim   1 + 1  
m→∞ 
m 

− 12
ev
=e
Ui
tg

0, 048 
≈ 1049, 15 euro, dus een toename met 4,915%.
1000 ⋅  1 +

52 
De toename per deelperiode met tijdsduur 1 is 5 %, dus de groeifactor is
n
n
n

0, 05 
 1 + n  voor één deelperiode en

0, 05 
 1 + n  over het gehele jaar.
n
n





 0 ,05 

n





0, 05 
= lim  1 + 1  = lim   1 + 1  
lim  1 +


n
n→∞ 
n
→∞
→∞

n
n 
n  




0, 05 
0, 05  
 

m

 
= lim   1 + 1  
m→∞ 
m 

0 ,055
0 ,05
off
d
− 12
1000 ⋅ (1 + 0, 004)12 ≈ 1049, 07 euro, dus een toename met 4,907%.
52
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
= e0 ,05 .
bladzijde 38
dh
2.3 Rekenregels voor limieten
lim U n = 2 en lim Vn = 1
17a
b
lim U n + Vn = lim 3 +
c
Beide beweringen zijn juist.
18a
n→∞
(
n→∞
)
n→∞
(
2
n
) = 3 en lim (U
n→∞
or
n→∞
0, 99 n
1 − 0, 99 n 1 − lim
n→∞
=
=
lim
n→∞ 2 + e − n
2 + lim e1n
1− 0
2+0
=
n
)
(
− Vn = lim 1 +
n→∞
4
n
)=1
1
2
b
c
d
((
lim 4 +
n→∞
lim
n→∞
3
n
) ( 2 − ) (1 − )) = lim ( 4 + ) ⋅ lim ( 2 − ) ⋅ lim (1 − ) = 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 8
( 2 n + 1)
( 3n )
2
1
n
2
3
n2
3
n
n→∞
2


= lim  2 n + 1  = lim
n→∞ 
n→∞
3n 
 2

lim  n − n3 − 1  = lim n1 ⋅ lim −
n→∞ 
 n→∞ n→∞
n
©
No
n→∞
⁄
32
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 32
1
n2
(
2
3
+
⋅ lim −
n→∞
1
n
n→∞
1
3n
1
n3
) =( )
2
2
3
2
n→∞
=
3
n2
4
9
= 0⋅0⋅0 = 0
© Noordhoff Uitgevers bv
11-06-09 13:57
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
bladzijde 39
19a
b
20a
(
)
Als U n = n2 en Vn = 3 − n2 dan is lim U n + Vn = lim 3 = 3.
n→∞
n→∞
U
Als U n = n2 en Vn = n3 dan is lim n = lim n1 = 0.
n→∞ V
n→∞
n
Un
2 + U n 2 + lim
n→∞
=
=
n→∞ 1 − U
1 − lim U n
n
lim
= −4
2+2
1− 2
b
21a
b
22a
b
U n2 − U n + 2 0, 4 2 − 0, 4 + 2
=
=
n→∞
Un − 2
0, 4 − 2
≈ −2, 93
1, 76
−0 ,6
lim
Deel de teller en de noemer door n2 .
lim
n→∞
1 − n2 +
1+
6
n2
=
2
n2
1− 0 + 0
1+ 0
Ui
tg
ev
n→∞
=1
3
2 − n22 + n21 n
=
lim 2 n −32 n + n = lim
n→∞
n→∞
1 − n23
n −2
2−0+0
1− 0
4
2
3− 2
lim 3n 3− 2 n = lim 1 ne
n→∞
n→∞
+ n4
n +e
n
2
=2
c
4
3
lim 2e4 − 3e3 + n2e = lim
n→∞ e + 2e − n
n→∞
d
lim
e
off
De teller nadert tot 3 en de noemer tot 0 dus de limiet bestaat niet.
2 e4
n2
− 3ne2 + ne
e4
n2
+ 2ne2 − 1
3
= 0−0+0 = 0
0+0−1
3
( 2 n + 3) ( 2 n − 3) = lim 2 n + 3 = lim 2 + = = 1
2n − 3
2−
( 2 n − 3)
2 n ( n − 4 n + 6 n − 4 n + 1)
2 n ( n − 1)
lim
= lim
2
n→∞
4
(2n
3
+1
)
n→∞
2
4
3
2+0
2−0
2
dh
2
n→∞
n→∞
3
n
3
n
2
4 n6 + 4 n3 + 1
n→∞
6
5
4
3
2
2 − n8 + 12
− n83 +
n2
= lim 2 n − 8 n +6 12 n 3− 8 n + 2 n = lim
n→∞
n→∞
4 + n43 + n16
4n + 4n + 1
f
lim
23a
or
n→∞
2
n + 2 = lim  1 + n  =
4 n + 1 n→∞  4 + n1 
n→∞
c
n→∞
n+1
n
= lim 2
1+ n1
n→∞
1
n
=
1
4
=
=
2
4
=
1
2
1
2
= lim 2 = 2
n→∞
= 2 1+ 0 = 2
n
n
n
n
lim n 2 n + 3n = lim n 2 +n 3 ⋅ 3n = lim n 3n ⋅ 2 n + 3n = lim 3 ⋅ n 1 +
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
3
3
3
lim n 2 n + 3n + 5 n = lim 5 ⋅ n
©
n→∞
No
n→∞
n→∞
b
( )
lim n 2 n + 1 = lim n 2 n = lim 2 n
lim n 2 n+1 = lim 2
1+ 0
4+0
2
n4
n→∞
© Noordhoff Uitgevers bv
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 33
n→∞
( ) +( )
2
5
n
3
5
n
()
2
3
n
= 3⋅1 = 3
+ 1 = 5 ⋅1 = 5
⁄
33
11-06-09 13:57
2.4 Functies en limieten
bladzijde 40
b
25a
b
26a
b
c
d
Ja, want F = 1, 8 × 19, 8 + 32 = 67, 64 ° F .
Temperaturen in graden Celsius uit het interval  20, 84; 21, 38  .
Een linkeromgeving van x = a is een interval van de vorm a − p, a met p > 0.
x ↑ a betekent dat x naar a nadert terwijl x < a
ev
24a
Interval  0; 0, 25 is het beeld van U.
Het beeldinterval van deze gereduceerde omgeving is 0; 0, 25 .
f x → 1 als x ↑ 1 en f x → 2 als x ↓ 1
f x → 1 als x ↓ −1 en f x → 0 als x ↑ −1
( )
( )
( )
( )
Ui
tg
bladzijde 41
27a
b
c
Het domein van f is ←, 3 ∪ 3, → .
x+3 x−3
( ) ( 4 x) (− 3 ) = x 4+ 3 = ( x + 3) mits x ≠ 3
( )
f x =
1
4
(1) V = 2, 96; 3 ∪ 3; 3, 04
off
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
(2) V = 2, 9996; 3 ∪ 3; 3, 0004
c
29a
b
b
Die beelden zijn getallen uit een gereduceerde omgeving van x = 2.
Nee, want f 3 = 4 .
lim f x = 2
x→ 3
()
( )
dh
28a
Je kunt alleen maar voor een rechteromgeving van x = 2 kiezen omdat het domein
van f gelijk is aan ←, −2  ∪  2, → .
lim f x = f −2 = 1 en lim f x = f 2 = 1
x↑−2
( )
( )
x↓2
( )
()
or
2.5 Continuïteit
bladzijde 42
b
c
d
Het bereik bestaat uit alle gehele getallen ofwel .
No
30a
( )
( )
Nee, want f −3 = −3 en f −2 = −2.
Op interval 1, 99; 2 is het beeld 1 en op interval  2; 2, 01 is het beeld 2.
( )
()
lim f x = f a als a geen geheel getal is.
x→ a
©
⁄
34
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 34
© Noordhoff Uitgevers bv
11-06-09 13:57
31a
b
c
d
e
( )
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
( )
f x = 1 voor x > 0 en f x = −1 voor x < 0
1 en –1 vormen het bereik.
x > 0 wordt afgebeeld op 1 en x < 0 wordt afgebeeld op –1.
De beelden zijn –1 en 1.
lim f x = −1 want f x = −1 voor x < 0 en lim f x = 1 want f x = 1 voor x > 0
( )
x↑0
( )
x↓1
( )
( )
32
( )
lim h ( x ) = 2
ev
bladzijde 43
lim h x = 2 3 − 3 ⋅ 2 2 + 3 ⋅ 2 − 1 = 1
x↑2
2
x↓2
− a ⋅ 2 + b = 4 − 2a + b
33a
b
()
()
(1) f 0 = 0 + 0 + c = 2 dus c = 2
(2) f 1 = a + b + 2 = 1 dus a + b = −1
(4) f heeft geen nulpunten en c = 2 dus moet de grafiek van f een dalparabool zijn
dus a > 0.
(3) Uit (4) volgt dat f continu moet zijn in x = 3 dus lim ax 2 + bx + 2 = 9 a + 3b + 2 = 3
x↑3
waaruit volgt dat 9 a + 3b = 1
Uit (2) en (3) volgt a = 23 en b = −1 23 .
Dus a = 23 , b = −1 23 en c = 2.
y
8
6
4
2
–4
–3
–2
–1 0
–2
1
2
3
4
5
x
dh
–5
off
Ui
tg
Als h continu is in x = 2 dan zijn de linker- en rechterlimiet gelijk, dus geldt
4 − 2 a + b = 1 dus −2 a + b = −3 .
–4
–6
34a
b
De verticale lijntjes moeten weg omdat er voor gehele getallen steeds een sprong in
de grafiek te zien is.
( )
f ( −2 ) =
f 2 12 = 14 ⋅ 2 12 ⋅ 2 = 1 14
1
2
c
1
4
⋅ −2 12 ⋅ −3 = 1 87
x ≥ 0 ⇒ int( x) ≥ 0 ⇒ f ( x) = 14 x ⋅ int( x) ≥ 0 en
No
or
( )
x < 0 ⇒ int( x) < 0 ⇒ f ( x) = 14 x ⋅ int( x) > 0 dus f x ≥ 0 voor elke x.
d
e
f
( )
( )
lim f x = 14 ⋅ 2 ⋅ 2 = 1 en lim f x = 14 ⋅ 2 ⋅ 1 =
x↓2
x↑2
1
2
dus f is niet continu in x = 2
f is niet continu als x is een geheel getal. (f is wel continu in x = 0 )
Voor x = 0 is f wel continu.
©
© Noordhoff Uitgevers bv
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 35
⁄
35
11-06-09 13:57
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
2.6 Differentieerbaarheid
bladzijde 44
b
c
36
37a
b
c
(
)
()
3
3
3
3
∆f f 0 + h − f 0
=
= 0 + h − 0 = h = h = 3 12 = 1
3 3
3 2
∆x
0+ h−0
h
h
h
h
h
∆f
bestaat niet als h → 0
∆x
f en f’ hebben niet hetzelfde domein.
Het domein van f is en het domein van f’ is ←, 0 ∪ 0, → .
( )
( ) = lim xe
f x −f 0
ev
35a
−2 x
= lim e−2 x = e0 = 1
x→ 0
x→ 0
x−0
x
De limiet bestaat dus f is differentieerbaar in x = 0.
lim
x→ 0
Ui
tg
( ) ( ) = 0 ⋅ f '(a) = 0
( ( ) ( )) ( )
x−a
Uit lim ( f ( x ) − f ( a )) = 0 volgt dat lim f ( x ) = lim f ( a ) = f ( a ) dus f continu in x = a .
f x −f a
lim f x − f a = lim x − a ⋅ lim
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
( )
x→ a
x→ a
f x = x is wel continu in x = 0 maar zeker niet differentieerbaar in x = 0 omdat
lim
( )
( ) = 1 en lim f ( x ) − f ( 0 ) = −1
f x −f 0
x−0
x↓0
x−0
x↑0
()
dus f ' 0 bestaat niet.
38a
off
bladzijde 45
lim f ( x) = lim x 2 − 4 x + 5 = 32 − 12 + 5 = 2 en
x↑3
x↑3
(
) (3
lim f ( x) = lim 12 x 2 − 4 x + 7 =
x↓3
x↓3
dus lim f ( x) = 2 = f (3)
x→ 3
( )
lim f ' ( x ) ≠ lim f ' ( x )
c
39
( )
(
)
fL '(3) = lim f ' x = lim(2 x − 4) = 2 en fR '(3) = lim f ' x = lim 12 2 x − 4 = 1 dus
x↑3
x↑3
)
− 12 + 7 = 2
dh
b
2
x↑3
x↓3
x↓3
x↓3
De grafiek heeft in x = 3 een knikpunt.
( )
( )
Uit lim f ' ( x ) = lim f ' ( x ) volgt lim −
or
1
2
Uit lim f ' x = lim f ' x volgt lim −
x↓1
x↑−1
x↑1
x↓−1
x↓1
1
x2
= lim 3ax 2 + 2bx + c dus −1 = 3a + 2b + c (1)
x↑−1
1
x2
= lim 3ax 2 + 2bx + c dus −1 = 3a − 2b + c (2)
x↑1
x↓−1
©
No
Uit (1) en (2) volgt b = 0 en 3a + c = −1 (3)
De functie is ook continu in x = −1 en x = 1 dus lim ax 3 + bx 2 + cx = f (1) = 1 dus
x↑1
1 = a + c (want b = 0 ) (4)
Uit (3) en (4) volgt a = −1 en c = 2.
Dus a = −1, b = 0 en c = 2.
⁄
36
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 36
© Noordhoff Uitgevers bv
11-06-09 13:57
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
2.7 Gemengde opdrachten
bladzijde 46
40a
x 3 − 8 = x 2 + 2 x + 4 mits x ≠ 2 want
x−2
x − 2 x2 + 2 x + 4 = x3 + 2 x2 + 4 x − 2 x2 − 4 x − 8 = x3 − 8
b
)(
)
lim f ( x ) = 4 + 4 + 4 = 12
c
x = 2 behoort niet tot het domein van f
d
f 2 = 12
(
( )
f' x =
(
)
2 x x + 3 − 1 ⋅ x2
( x + 3)
2
= x + 6 x2
x+3
(
2
ev
41a
()
)
Ui
tg
x→ 2
1+ 6
2
x
+
6
x
x = 1+ 0 = 1
= lim
lim 2
x→∞ x + 6 x + 9
x→∞
6
1 + + 92 1 + 0 + 0
x x
b
a is het hellingsgetal en uit opdracht a blijkt dat de helling nadert naar 1.
c
Uit lim f x − x + b = 0 volgt lim f x − x − b = 0 dus lim f x − x = b
x→∞
( () (
))
x→∞
(
)
( ()
)
x→∞
( () )
2
x2 − x x + 3
f x −x= x −x=
= −3 x
x+3
x+3
x+3
( )
off


 −3 
 −3 x 
b = lim 
=
 = lim
x→∞  x + 3 
x→∞ 
3
 1 + 
x
Het domein van f is .
−3
+0
1+
= −3
42a
b
c
d


f ' x = e x + 1 ⋅ e x ⋅ − 12 = e x  1 − 12 

x
x 
De linker afgeleide waarde bestaat niet in x = 0.
e
Nee, want f ' bestaat niet voor x = 0.
f
( )
( )
Nee, want lim f x = 0 en lim f x bestaat niet.
( )
1
1
1
x↓0
dh
x↑0
1
No
or


lim e x  1 − 12  = e0 ⋅ 1 = 1
x→∞

x 
De grafiek van f lijkt voor grote waarden van x steeds meer op een rechte lijn met
hellingsgetal 1.
bladzijde 47
43a
x sin 1 = 0 als sin 1 = 0 dus 1 = kπ ( k ∈ en k ≠ 0 )
x
x
x
x = 1 ( k ∈ en k ≠ 0 )
kπ
()
©
x = 0 is ook een nulpunt omdat f 0 = 0
© Noordhoff Uitgevers bv
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 37
⁄
37
11-06-09 13:57
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
lim sin α = 1
α ↓0
α
y = 1 is de horizontale asymptoot
b
c
d
e
f
g
44a
b
45a
b
f x = cos x ⇒ f ' x = − sin x en f ' 0 = 0
c
f x = ln x ⇒ f ' x = 1 en f ' e =
x
46a
b
c
d
Omdat −1 ≤ sin 1 ≤ 1 ⇒ − x ≤ x sin 1 ≤ x
x
x
lim − x ≤ lim x sin 1 ≤ lim x geeft 0 ≤ lim x sin 1 ≤ 0 dus lim x sin 1 = 0
x→ 0
x→ 0
x→ 0
x→ 0
x x→ 0
x
x
Ja, want lim f x = 0 = f 0 .
x→ 0
x sin 1 − 0
f x −f 0
x
Nee, want lim
= lim
= lim sin 1 bestaat niet.
x↓0
x↓0
x↓0
x−0
x−0
x
x↓0
( )
g x =x
1 12
g ( x) − g ( 0)
= lim x x − 0 = lim x = 0
x↓0
x↓0
x−0
x−0
( )
()
1
dus g ' x = 1 12 x 2 = 1 12 x dus g ' 0 = 0
( )
( )
f x = x ⇒ f' x =
( )
()
1 en f ' 4 =
2 x
( )
( )
1
4
()
( )
()
1
e
Ui
tg
g '(0) = lim
()
()
ev
( )
( )
() ( ) () ()
() ()
()
f (0) = f (a + −a) = f (a) + f (−a) = 0 ⇒ f (−a) = − f (a)
f ( x − a) = f ( x + −a) = f ( x) + f (−a) = f ( x) + − f (a) = f ( x) − f (a)
Kies m = x − a.
dh
Als x → a dan m → 0 .
off
f 0 = f 0 + 0 = f 0 + f 0 dus f 0 = 2 f 0 ofwel f 0 = 0
( )
( ) ()
lim f ( x − a ) = lim ( f ( x) − f (a)) = lim f ( x ) − lim f ( a ) = lim f ( x ) − f ( a ) = 0
lim f ( x ) = f ( a ) dus f continu voor elke waarde van a ∈.
lim f x − a = lim f m = f 0 = 0
e
x→ a
m→ 0
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
dus
or
x→ a
x→ a
bladzijde 50
2
u10 = 10 2 − 1 =
10 + 1
99
101
u50 = 2500 − 1 =
2500 + 1
b
c
2499
2501
≈ 0, 999
9999
u100 = 10000 − 1 = 10001
≈ 1, 000
10000 + 1
De rij convergeert naar 1.
Vanaf n = 45 liggen de termen van de rij in het interval 0, 999; 1, 001 .
©
≈ 0, 980
No
T-1a
⁄
38
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 38
© Noordhoff Uitgevers bv
11-06-09 13:57
(
(
lim 3 −
n→∞
)
n
n→∞
)
(
= lim 3 1 − 1 1 n
n
−n
2
−n
(
)
−n
(
)
1 12 n

= lim 2  1 +
n→∞

−n
((
2
2
3
m
33 1 −
 = mlim
→∞

)
2 23 n



− 83
lim 2 +
c

lim  1 +
n→∞ 
1
e
n
n
m

e 
e  = lim   1 + 1   = lim   1 + 1   = ee



1
n→∞  
m→∞ 
n
n  
m  

e


1
2 23 n
e
(

= lim 3  1 − 1 11 n
n→∞
2

n
b
n→∞
1+
)
n
3
4n
n→∞
= lim 2
1
+ 2 −1
n2
2 n+1
3 n2
2 n+1
0 + 12
= − 12
0−1
2 − n52 + n23
T-3a
2
n
lim n2 + 2n+1 = lim
n→∞ 3n − 2
n→∞
b
3
= lim
lim 23n − 52n + 2
n→∞ −5 n + 4 n − n − 1
n→∞ −5 + 4 −
n
c
100
lim n0 ,001 =
n→∞ e
−1
=
1
n2
−
1
n3
=
1
2 23 n
= lim 2
b
−2; − 12
c
←, −100, 01
lim n100 bestaat niet
y
T-5a
m→∞
m
) =∞
1
3
((1 + )
1
m
m
)
− 83
=0
Ui
tg
0; 0, 001
− 83 m
)
2−0+0 = −2
5
−5 + 0 − 0 − 0
1
e 0 , 001 n→∞
T-4a
1
m
ev
T-2a
2
n
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
7,5
5
–5
–4
–3
–2
–1
0
–2,5
–5
–7,5
b
c
x
1
2
behalve in x = 0.
De functie f is continu voor x = 4 ⇒ lim f ( x) = lim f ( x) = f (4) ⇒
x↓4
x↑4
4 a + b = 161 ⋅ 4 3 – 4 ⇒ 4 a – b = 0 (1)(1)
en f is continu voor x = 8 ⇒ lim f ( x) = lim f ( x) = f (8) ⇒
x↑8
x↓8
8 a + b = 161 ⋅ 8 3 − 8 ⇒ 8 a + b = 24 ((2)
2)
(1) en (2) geeft 4 a = 24 ⇒ a = 6 en b = –24.
f is differentieerbaar voor x = 4 als fL '(4) = fR '(4).
or
b
4
No
3
f is niet continu voor veelvouden van
bladzijde 51
T-6a
2
dh
1
off
2,5
lim f '( x) = lim( 163 x 2 – 1) = 2 
x↑4
x↑4
 ⇒ fL '(4) ≠ fR '(4) ⇒ f is niet differentieerbaar voor x = 4.
lim f '( x) = lim(6 x – 24) = 0 
x↓4
x↓4

f is differentieerbaar voor x = 8 als fL '(8) = fR '(8).
©
lim f '( x) = lim(6 x – 24) = 24 
x↑8
x↑8
 ⇒ fL '(8) ≠ fR '(8) ⇒ f is niet differentieerbaar voor x = 8.
lim f '( x) = lim( 163 x 2 – 1) = 11 
x↓8
x↓8

© Noordhoff Uitgevers bv
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 39
⁄
39
11-06-09 13:57
( )
( )
T-7a
lim f x = lim f x = 0
b
lim f x = π sin π = 0 en lim f x = − π sin − π = 0
c
d
x↑π
x↑0
( )
x↓− π
( )
( )
lim x sin x − 0 = lim x sin x = lim sin x = 1 = 1
x↓0
x↓0
x↓0
x−0
x
x2
lim x sin x − 0 = lim x sin x = lim − sin x = −1 dus f niet differentieerbaar in x = 0
x↑0
x↑0
x↑0
x−0
x
− x2
Onjuist, de grafiek kan bijvoorbeeld een perforatie hebben voor x = a .
Juist.
Onjuist.
 2
1
 x ⋅ sin als x ≠ 0
x
Kies f x = 
.
 0
als
0
x
=

ev
T-8a
b
c
x↓0
()
Op bladzijde 49 zie je dat f ' 0 = 0.
d
( )
Ui
tg
( )
er
sb
v
Moderne Wiskunde Uitwerkingen bij vwo D deel 3 Hoofdstuk 2 Limieten toepassen
( )
Maar f ' x = 2 x sin 1 − cos 1 en daarvoor geldt dat lim f ' x niet bestaat.
x→ 0
x
x
Juist.
T-9a
lim x 3 − x 2 + ax = 0 en lim bx 3 + x 2 + x = 0 dus fa ,b is continu voor elke a en b ∈.
Uit lim 3 x − 2 x + a = lim 3bx 2 + 2 x + 1 volgt a = 1.
b
x↑0
x↓0
2
x↑0
x↓0
©
No
or
dh
off
fa ,b is differentieerbaar voor a = 1 en b ∈.
⁄
40
1COLOR_INF_9789001701680_Uitw.indd 40
© Noordhoff Uitgevers bv
11-06-09 13:57