Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren
advertisement
Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… – 141 – Klas: .......... Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Eventjes herhalen : Wat is een homothetie ? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor k ∈ |R vind je als volgt: • Kies een assenstelsel met centrum O • Bepaal de coördinaat van het punt A • Vermenigvuldig die coördinaat met k • Het punt met het verkregen koppel als coördinaat is het gezochte beeld A’. Trek een pijl van A naar A’. Opmerkingen: Voor k = − 1 krijgen we een puntspiegeling Een homothetie met k = 0 noemen we een constante homothetie Een niet-constante homothetie behoudt het recht zijn, evenwijdige en loodrechte stand, hoekgrootte . Een niet-constante homothetie vermenigvuldigt de lengte van een lijnstuk en de omtrek van een figuur met de absolute waarde van die factor. Een niet-constante homothetie vermenigvuldigt de oppervlakte van een figuur met het kwadraat van de factor. Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 142 – Naam: ……………………………………….… Gelijkvormige figuren: Klas: .......... F2 F1 Welke figuren zijn gelijkvormig ? ……………………………………...... ……………………………………...... F3 F4 Definitie: Een figuur F is gelijkvormig met een figuur F’ als F’ congruent is met een homothetisch beeld van F. Notatie : F ~ F’ Voorbeelden: Een foto en een vergroting van die foto Een dia en het beeld ervan op een scherm Een figuur en een tekening van die figuur op schaal ( bv. Landkaarten) Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 143 – Naam: ……………………………………….… Klas: .......... Gelijkvormigheidsfactor: (boek pag 226) Als F gelijkvormig is met F’ dan bestaat er een niet - constante homothetie h die F afbeeldt op F’zo dat F” ≅ F’. De absolute waarde van de factor van die homothetie noemen we de gelijkheidsfactor van de figuren F en F’. Gelijkstandige elementen: Het lijnstuk [ AB ] en [ A' B' ] noemen we gelijkstandige lijnstukken Het lijnstuk [ BC ] en [ B'C ' ] noemen we ........................................ lijnstukken Het lijnstuk [ AC ] en [ A'C ' ] noemen we ................................................................. De hoeken  en Â' noemen we ............................................................ De hoeken B̂ en B̂ ' noemen we ............................................................. De hoeken Ĉ en Ĉ ' noemen we ............................................................. We spreken af dat we voor gelijkvormige veelhoeken de gelijkstandige hoekpunten op de overeenkomstige plaatsen noteren. In het voorbeeld krijgen we dus ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ Opmerkingen: Congruente figuren zijn ook ................................................................ figuren F ≅ F’ ⇒ F ~ F’ Geldt dit ook omgekeerd? ............................................... Elke figuur is gelijkvormig met .......................................................... F ~ F Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 144 – Naam: ……………………………………….… Eigenschappen van gelijkvormige figuren: ( boek pag 228) Klas: .......... a) Evenwijdige stand in een figuur vind je ................... in een gelijkvormige figuur AD // BC ⇒ A' D ' // ............... b) Loodrechte stand in een figuur vind je .................... in een gelijkvormige figuur AD ⊥ AB ⇒ A' D' ⊥ .............. c) Gelijkstandige hoeken zijn .......................................... Aˆ = ............. Bˆ = ................. Cˆ = ....................... Dˆ = ....................... d) De lengten van gelijkstandige lijnstukken hebben een ................................ verhouding die gelijk is aan de ................................................................. A' B' AB = ............ ............ ............. = = = ................. ............. ............. .............. We kunnen dit ook schrijven als : A' B' = ........ AB e) De verhouding van de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is ........................... Omtrek F ' = ....................... ⇔ Omtrek F ' = ............................................ Ontrek F f) De verhouding van de oppervlakten van twee geljikvormige figuren is gelijk aan het ............................................................................................ Oppervlakte F ' = .................... ⇔ Oppervlakte F ' = ..................................... Oppervlakte F Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 145 – Naam: ……………………………………….… Merk op: Klas: .......... De eigenschap voor de gelijkstandige zijden geldt voor alle gelijstandige lijnstukken. In vorige figuur geldt ze bv. ook voor de diagonalen van de trapezium. • Duidt op de figuur F’ de gelijkstandige elementen aan. F’ • figuur F’. F Besluit: A' C ' AC Teken de diagonalen in de = ................ = .................... ................ Als twee figuren F en F’ gelijkvormig zijn, dan is F’ een tekening op ........................van F. Bovendien geldt : schaal = ..................................................... Opgave: boek pag 229 nr 1 a. a) Beschouw een homothetie met centrum : ....................................................... factor : ........................................................ b) Contrueer F” c) F " ≅ F ' want F’ is het ........................ van F” door een .......................................... d) Besluit: F ………… F’ Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren b. – 146 – Naam: ……………………………………….… Klas: .......... ABCD is een gelijkbenig trapezium. Bewijs : F ~ F’ Opgave: (boek pag 229 nr. 2) De gestippelde figuur is telkens gelijkvormig met de groen gekleurde figuur. Bepaal de gelijkvormigheidsfactor. a. b. Opgave (boek pag 230 nr. 6) Een driehoek met zijden van 12 cm, 8 cm en 14 cm is gelijkvormig met een driehoek met zijden van 21 cm en 12 cm. Bereken de lengte van de overblijvende zijde. Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… Opgave: (boek pag 230 nr. 7) – 147 – Klas: .......... Een ruit met zijden van 5 cm heeft een oppervlakte van 18 cm2. Die ruit is gelijkvormig met een ruit met zijden 7 cm. Bereken de oppervlakte van die laatste ruit. Opgave: boek pag 230 nr. 9 Een rechthoekige driehoek met oppervlakte 12 cm2 is gelijkvormig met een rechthoekige driehoek met oppervlakte 12 m2. De kortste rechthoekzijde van de eerste driehoek is 4 cm. Bereken de lengte van de korste rechthoekszijde van de andere. 12 m2 12 cm2 Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 148 – Naam: ……………………………………….… Klas: .......... Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken: (Boek pag 234) a) Gelijkvormigheidskenmerk 1 voor driehoeken De zijden van bovenstaande driehoeken De zijden van bovenstaande driehoeken zijn paarsgewijs ....................... lang en zijn ......................................... dus zijn die driehoeken Besluit: ............................................ 4 2 .......... = = 2 ......... 1,5 Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs de drie zijden evenredig zijn. Met symbolen: ∆ABC , ∆A' B ' C ' A' B ' AB = Bewijs : Zie boek pag 234 B' C ' BC = C ' A' CA ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B ' C ' Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 149 – Naam: ……………………………………….… b) Gelijkvormigheidskenmerk 2 voor driehoeken Klas: .......... Bovenstaande driehoeken hebben Bovenstaande driehoeken hebben paarsgewijs twee ............................. even paarsgewijs twee zijden ............................ lang en de ingesloten ................... even groot. en de ingesloten ....................... De twee driehoeken zijn dus 3 2,4 = 2 ......... .......................................... Bˆ = Bˆ ' = 60 o Besluit: Twee driehoeken zijn gelijkvormige als paarsgewijs twee zijden evenredig zijn en de ingesloten hoek even groot is. Met symbolen: ∆ ABC , ∆ A' B' C ' A' B' AB Aˆ Bewijs: boek pag 235 = = Aˆ ' C ' A' CA ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B' C ' Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 150 – Naam: ……………………………………….… c) Gelijkvormigheidskenmerk 3 voor driehoeken Bovenstaande driehoeken hebben Bovenstaande driehoeken hebben paarsgewijs twee paarsgewijs één ............................ even lang en twee ........................................... hoeken .................................... De twee driehoeken zijn ................ Klas: .......... hoeken ................................................ Bˆ = Bˆ ' Cˆ = Cˆ ' We hebben maar twee lengtes en dus kunnen we niets zeggen over de evenredigheid van de lengtes. Besluit: Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs twee hoeken even groot zijn. Met symbolen: ∆ ABC , ∆ A' B ' C ' Aˆ = Aˆ ' Bˆ = Bˆ ' Bewijs: zie boek pag 236 ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B ' C ' Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… Gevolgen: – 151 – Klas: .......... a) Twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig als een ………………................…. hoek even ........................... is. b) Twee gelijkbenige driehoeken zijn gelijkvormig als de ………………………….......................... ( of een ………………….……………..) even ………………….. is. c) Twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken zijn steeds ..................................................... d) Twee gelijkzijdige driehoeken zijn steeds ..................................................... Opgave (boek pag 237 nr. 14) Bewijs dat ∆ ABC en ∆ DEF gelijkvormig zijn. Noteer telkens de driehoeken met de gelijkstandige hoeken op dezelfde plaats. a. Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… b. c. d. e. f. – 152 – Klas: .......... Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… Opgave : boek pag 238 nr. 16 – 153 – Klas: .......... a. Een rechte evenwijdig met de zijde [ BC ] van een ∆ ABC snijdt de andere zijden in D en E. Bewijs : ∆ ADE ~ ∆ ABC b. Twee snijdende rechten x en y worden gesneden door twee evenwijdige rechten a en b. Bewijs dat de verkregen driehoeken gelijkvormig zijn. Opgave: boek pag 238 nr. 19 a. Een driehoek heeft een hoek van 60o en een hoek van 70o. Een andere driehoek heeft een hoek van 50o en een hoek van 60o. Zijn ze gelijkvormig? b. Een driehoek heeft zijden van 8 cm, 6 cm en 12 cm. Een andere driehoek heeft zijden van 9 cm, 12 cm en 18 cm. Zijn ze gelijkvormig? Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 154 – Naam: ……………………………………….… Samenvatting: Klas: .......... a) Gelijkvormigheidskenmerk 1 voor driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs de .............................................. evenredig zijn. ∆ ABC , ∆ A' B ' C ' A' B ' AB = B' C ' BC = C ' A' CA ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B ' C ' b) Gelijkvormigheidskenmerk 2 voor driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormige als paarsgewijs ............................. evenredig zijn en de .......................... .................................. even groot is. ∆ ABC , ∆ A' B' C ' A' B' AB Aˆ = C ' A' CA = Aˆ ' ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B' C ' c) Gelijkvormigheidskenmerk 3 voor driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs ............................................. even groot zijn. ∆ ABC , ∆ A' B ' C ' Aˆ = Aˆ ' Bˆ = Bˆ ' ⇒ ∆ ABC ............∆ A' B ' C ' Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… – 155 – Klas: .......... Opgave : boek pag 244 nr. 35 Zoek telkens gelijkvormige figuren. Geef een bewijs. Leid er enkele gelijkheden uit af. a. b. c. Opgave : boek pag 244 nr. 36 : Bereken x. a. Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… b. c. d. e. – 156 – Klas: .......... Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… f. Opgave: boek pag 245 nr. 37 - Bereken x en y. a. b. – 157 – Klas: .......... Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… c. d. e. – 158 – Klas: .......... Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… – 159 – Klas: .......... Opgave: boek pag 245 nr. 38 Nevenstaande figuur is een parallellogram ABCD. Bereken x (2 mogelijkheden). Opgave: boek pag 247 nr. 49 In nevenstaande piramide TABC zijn de punten A’, B’ en C’ zo gekozen dat: A’B’ // AB B’C’ //BC C’A’ // CA Bewijs : ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 160 – Naam: ……………………………………….… Klas: .......... Opgave: boek pag 247 nr. 51 De ribben van nevenstaande kubus meten 5 cm. We nemen op [ CC ' ] het punt E zodat CE = 2 cm . Geef het snijpunt van B’E en BC de naam F. Bereken de lengte van [ AF ] Opgave: Boek pag 247 nr. 52 Gegeven is een houten balk met afmetingen 12 m, 10 m, 6 m ( zie figuur). Een mier neemt de kortste weg van B’ naar D. • Is dit langs een punt M ∈ [ A' D'] of langs een punt N ∈ [ C ' D' ] ? Bepaal de plaats van het correcte punt. • Welke afstand legt de mier af? Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren – 161 – Naam: ……………………………………….… Klas: .......... Toepassingen op gelijkvormigheid: schaal Eventjes herhalen! De schaal van een tekening is de .................................... van het maatgetal van de ............................. van een lijnstuk op de tekening tot het maatgetal van de corresponderende lengte in ......................................., waarbij beide lengten met dezelfde eenheid worden gemeten. getekende lengte werkelijke lengte a. Een rechthoekige kamer heeft een lengte van 4,5 m en een breedte van 3 m. Teken een plan op 1 . 100 = schaal Werkboek Meetkunde Hoofdstuk 7: Gelijkvormige figuren Naam: ……………………………………….… b. Brussel ligt in vogelvlucht 1150 km van Rome verwijderd. Welke afstand is dit op een kaart met schaal c. 1 ? 5 000 000 Op een plan met schaal 1 meet 50 een lijnstuk 3 cm. Hoeveel meet dit lijnstuk op een plan met schaal 1 . 40 d. Een voetbalveld met een oppervlakte van 9900 m2 is op schaal getekend als een rechthoek met opp 99 cm2. Bereken de schaal – 162 – Klas: ..........
