Study of tt production at NLO

Speciale relativiteit
Een inleiding in de
‘Speciale Relativiteit theorie’ van Einstein
Proefcollege UvA
Prof.dr. S. Bentvelsen
1
P2
Albert Einstein (1879 – 1955)
Albert Einstein publiceerde in 1905
drie grensverleggende papers:

De speciale relativiteitstheorie


Het foto-electrisch effect


Begin van de quantumtheorie
‘Brownse’ beweging


Fundamentele verschuiving van
begrippen tijd en ruimte, E=mc2
Aantonen van het bestaan van moleculen
Deze publicaties hebben verstrekkende gevolgen!

Het leven is ingrijpend veranderd



TV, computer, WWW, magnetron,…
Gezondheidszorg, communicatie, militair, ...
Veel van deze veranderingen zijn terug te voeren op ontwikkeling in
de fundamentele natuurkunde. Met name de invloed van Einstein is
enorm.
P3
2005: World year of physics (Unesco)

Kijk voor World Year of Physics op:


http://www.wyp2005.nl/
Manifestaties dit hele jaar door.



NEMO wetenschapweek in Juni
Natuurkundemarkt
Eureka cup
Wat is dit voor een ‘logo’?
De speciale relativiteitstheorie
100 jaar oud en springlevend!
P4
De Klassieke Mechanica

De klassieke mechanica geeft een beschrijving van de
beweging van objecten ten opzichte van elkaar:


Ik fiets met 15 km/uur naar Den Helder. Hoe lang duurt mijn fietstocht?
Ik versnel met mijn auto gedurende 10 seconden met 2 m/s2. Wat is
mijn snelheid na deze 10 seconden?
Galilei (1564 - 1642)
De ‘helden’ van de
klassieke mechanica:
Gallileo Gallilei en
Isaac Newton
Newton (1643 - 1727)
P5
Beweging in de tijd

Met behulp van de ‘tijd’ kunnen we beweging van
voorwerpen in een coordinaten-stelsel beschrijven.

Positie (x,y) als functie van de tijd: x(t), y(t)

De beschrijving hangt af van de keuze
van het coördinaten-systeem:



U bevindt zich in een trein en laat een
steen vallen. De steen valt in een rechte
lijn naar beneden op uw voeten.
Uw vriend bevind zich op het perron
en ziet de trein voorbij rijden.
Zijn beschrijving van de vallende steen
is een parabool.
Beide beschrijvingen worden beschreven
door de Klassieke Mechanica.
P6
Galilei-transformaties


Bekijk nu een kogel die afgeschoten wordt
door iemand in een rijdende trein.
Wat is de snelheid van de kogel t.o.v.




De rijdende trein (S’)
Uw vriend op het perron die de trein
voorbij ziet komen (S)
Stel de kogel vliegt met snelheid V’kogel weg tov trein
De relatie tussen de snelheden in S en S’ wordt
gegeven door Vkogel=V’kogel+vtrein
Dit is de Galilei-transformatie tussen twee coördinatensystemen
P7
Principe van relativiteit

De grootte van je snelheid
kun je niet voelen



Als je in een rijdende trein zit
kun je denken dat je stilstaat
en de rest van de wereld beweegt.
Astronauten in het ISS voelen niet
dat zij met met 29000 km/uur
langs de aarde razen
Alle natuur-wetten (bv die van de mechanica) zijn hetzelfde
in coördinatenstelsels die een constante snelheid tov elkaar
hebben.


In Mechanica volgt dit al uit de 3 hoofdwetten van Newton (zoek op!)
Voor versnelde coördinatenstelsels heeft Einstein de ‘Algemene
Relativiteitstheorie’ ontwikkeld (Einstein 1915)

Een werkelijk knap stukje werk! Zwarte gaten, Big Bang, etcetera!
P8
En nu even wat anders…

Eind 19e eeuw stelt Maxwell de theorie van elektriciteit en
magnetisme op.


‘Maxwell vergelijkingen’ vormen de
kern waarmee alle elektro-magnetische
verschijnselen beschreven kunnen
worden.
Deze theorie beschrijft het gedrag van
elektromagnetische golven

Licht (fotonen) is een continue ‘buiteling’
van elektrische en magnetische velden
Klassieke Mechanica en
Elektro-Magnetisme vormen
de pijlers van de natuurkunde
aan het einde 19e eeuw
P9
Snelheid van het licht

Maxwell vergelijkingen geven aan dat de golven met één
enkele snelheid zich voortplanten:

De snelheid van het licht, c, in vacuum is c=299792458 m/s



Ongeveer 300000 km/s = 3·108 m/s
Ongeacht het coördinaten-systeem!
Hoe kan dit nu?

We hadden toch net gezien dat de snelheid van dingen afhankelijk
is van hoe je observeert?
Een diepe krisis
voor veel geleerden
zo rond 1900.
Poincare
(1854 – 1912)
Lorentz
(1853 – 1928)
P 10
Perplex met licht…

Sta even stil bij de consequentie hiervan

Stel voor dat u zich in een rijdende trein bevind, en u
ontsteekt een zaklantaarn.

De snelheid waarmee het licht zich beweegt tov de zaklamp is c,
dwz, ~300000 km/s.
Uw vriend bevind zich op het perron. Hij ziet de voorbijsnellende
trein en ziet dat u uw zaklamp aansteekt. Ook hij kan meten wat de
snelheid is van het licht uit de zaklamp, tov het perron:
 Uw vriend op het perron zal dezelfde snelheid c meten!


Duidelijke tegenspraak met de Galilei-transformaties.
P 11
Einsteins Speciale Relativiteitstheorie

Door zeer logisch te doordenken wat de consequenties van
van de constante lichtsnelheid zijn kwam Einstein tot zijn
speciale relativiteitstheorie



De consequenties veranderen
het beeld over tijd en ruimte volledig



Hoe meten we plaats?
Hoe meten we tijd?
En niet intuïtief gemakkelijk voor te stellen
Hoewel de wiskunde eenvoudig is
De huidige natuurkunde is ondenkbaar zonder deze theorie.
P 12
Gelijktijdigheid

Volgende gedachten experiment:

Neem lange trein – sta in het midden en ontsteek een lampje
A

Het duurt een tijdje en dan komt het licht aan bij de voor- en achterkant van
de trein (A en B)
A


B
B
Licht bereikt voor- en achterkant van de trein tegelijkertijd
Gelijktijdigheid
P 13
Gelijktijdig, of niet?

Nu gaat de trein rijden en bekijkt uw vriend op het perron dit
alles:
A


B
In de tijd dat het licht nodig heeft om de uiteinden te bereiken, is de
trein een stukje opgeschoven.
De lichtsnelheid naar links en naar rechts is hetzelfde (konstant!)
A


B
Het licht bereikt nu uiteinde A eerder dan B!
Aankomst in A en B is niet gelijktijdig voor vriend op perron.
P 14
Merkwaardige tijd

De ‘tijd’ speelt een grote rol in de relativiteitstheorie

Hoe meten we eigenlijk de tijd?





ct
Tikken van de klok
Kloppen van een hart – polsslag
Quartz kristal
Rotatie van de aarde om de zon
Voortgang in tijd beschrijven mbv (t,x) diagram:
Stilstaand
object
x
ct
Konstant
bewegend
object
x
ct
Bewegend
object
x
P 15
De lichtklok

Stel u maakt een klok op de volgende manier:

Lampje en spiegel – en elke keer dat licht heen en weer gaat een
volgende ‘tik’ van de klok
spiegel
L0
lampje


De tijdsduur ΔT’ tussen twee ‘tikken’ is hiermee gelijk aan: T ' 2 L0
c
Deze klok geeft uiterst regelmatig tikken. Hoewel praktisch gezien het
maken van de klok best lastig is.


Hiermee wordt de voortgang van de tijd bekeken
Het is gemakkelijk te analyseren!
P 16
De lichtklok op de trein

Zet nu de lichtklok op een trein. Wat ziet de waarnemer op het perron?
B
L0
Snelheid van de trein v
A
C
x  v
T
2
 T 
2
L20   v
  AB
 2 
2

De afstand AB wordt gegeven door Pythagoras!

De snelheid van het licht is constant, dus
de totale afstand AB en weer terug naar
C wordt afgelegd in een tijd cΔT
 T 
2 L  v
  ABC  cT
 2 
2
2
0
P 17
Tijds-uitrekking (dilatatie)


We hebben nu een vergelijking met ΔT,
die kunnen we oplossen.
Voor de stilstaande klok (in de trein dus)
hadden we:
2L
T '

0
c
Hiermee zijn de tikken niet meer gelijk
voor de man in de trein en de vriend op
het perron:
T '
T 


2
v
1
c2
De man op het perron ziet de tijd in de
trein anders verlopen!
Gevolg van constante lichtsnelheid…
 T 
 2 L  v

 2 
 2  T  2 
 4  L0   v
 
2

 

2
cT
cT 2
cT 2  vT 2
T
2
0


4 L20
2 L0
c 1 v
2
c2
P 18
Tijdsdilatatie
T 

We hebben nu afgeleid dat:



2
v
1
2
c
ΔT’ : Tijd in de trein zelf
ΔT : Tijd in de voorbijsnellende trein, gezien vanaf het perron
Stel de NS introduceert een trein die beweegt met een snelheid
v = 0.6c = (3/5)c

Een seconde voor een treinreiziger in trein ziet
de vriend vanaf het perron als
1
2
(
3
/
5
c
)
1


T '

1
5

(16 / 25) 4
c2
Met andere woorden: de man op het perron ziet alle bewegingen ‘trager’
verlopen in de trein, met een factor 1.25!
Gek genoeg gaat precies dezelfde redenatie op voor de man in de trein


Hij zal zeggen dat het ‘perron’ beweegt met een snelheid v=0.6c
Hij zal zien dat de bewegingen op het perron langzamer gaan met factor
1.25
P 19
Dilatatie

Bij lage snelheden is het effect van tijdsvertraging klein



Voor een trein met v=100 km/uur zijn de tijden ΔT en ΔT’ hetzelfde
tot op 99.999994% nauwkeurig
Toch blijft u iets jonger in de
rijdende trein tov de thuisblijver!
Bij snelheden in de buurt van de
lichtsnelheid wordt het effect heel groot



Maar lichtsnelheid v=c is het maximum
Tijd kan wel langzamer lopen, maar niet terug-lopen
Gelukkig! Anders problemen met oorzaak en gevolg



Bv: U kunt niet uw eigen ouders vermoorden voordat u geboren bent!
Elementaire deeltjes
Bij grote nauwkeurigheid zijn effecten merkbaar

Voor positie bepaling met GPS systeem is relativiteit onmisbaar
P 20
Licht kegel

Niets kan sneller gaan dan het snelheid van het licht



In tijd-ruimte diagram (ct,x)
Lichtsnelheid is een lijn
met 45o
Licht kan naar links of rechts
bewegen
Mogelijk
ct
x

Ruimte-tijd wordt gescheiden:



Daar waar je mogelijk kan komen
Daar waar je nooit kunt komen
‘Lichtkegel’

Kegel voor dimensies (ct,x,y)
Onmogelijk
P 21
Reis door het heelal

Stel u wilt een ster bezoeken op afstand van 100 lichtjaar



Duurt het dus minstens 100 jaar voor de ster bereikt wordt?
Het super-ruimteschip vertrekt met v=0.98c




1 ly ~ 9.5 1012 km
Nu gaat de tijd ~5 keer zo langzaam
Vanaf de aarde duurt de reis plm 102 jaar
In ruimteschip duurt de reis maar ~20 jaar!
De astronaut is op de ster in 20 jaar!



Hij keert weer terug naar de aarde, en
is 40 jaar ouder bij terugkomst
Hij ziet dat 204 jaar is verstreken op aarde!
Ontmoeting met achter-achter kleinkind?
T 
T '
1 v
2
c2
P 22
De paradox
Maar wacht even...
 De ruimtereiziger kan ook redeneren dat de aarde wegvliegt
van het ruimteschip vandaan – en hijzelf staat stil


En dus blijven de personen op aarde jonger
Wie wordt er nu ouder? De astronaut of the man op aarde?

Ga natuurkunde studeren en je komt hier achter!
P 23
“The most important task for scientists is to
search for the most fundamental laws, from
which a picture of the world can be deduced.”
P 24
P 25
Klassieke Mechanica
Klassieke mechanica gebaseerd op ideen van Newton en Galilei
P 26


Einstein wrote three fundamental papers, all in a few
months. The first paper claimed that light must sometimes
behave like a stream of particles with discrete energies,
"quanta." The second paper offered an experimental test for
the theory of heat. The third paper addressed a central
puzzle for physicists of the day – the connection between
electromagnetic theory and ordinary motion – and solved it
using the "principle of relativity."
"I want to know how God created this world. I am not
interested in this or that phenomenon, in the spectrum of
this or that element. I want to know His thoughts; the rest
are details."
P 27
Speciale relativiteits theorie
College 1:
Inleiding
Tijd en ruimte voor Newton
Wat is speciale relativiteitstheorie?
Relativiteitsprinciepe
Galileitransformatie
De snelheid van het licht
Michelson Morley experiment
Einsteins postulaten
P 28
Het begin…

1905: Einstein publiceert grensverleggend
artikel (30 juni)
‘Zur Electrodynamic bewegter Körper’


Later dit jaar verschijnt er nog een artikel van
Einstein mbt de relativiteitstheorie
(27 september)
‘Ist die Trägheit einers Körpers von seinem
Energiegehalt abhängig?’


Hierin wordt de speciale relativiteitstheorie kompleet in
behandeld. Er zijn geen externe referenties.
Hierin wordt als eerste de uitdrukking E=mc2
geponeerd.
Deze artikelen vormen de kern van dit college.
P 29
Inleiding

Sinds begin 18e eeuw wordt de natuur beschreven door
o.a. Newtons Klassieke Mechanica

Revoluties van het begin van de 20e eeuw:



Quantummechanica:



Quantummechanica
Relativiteitstheorie
Fundamentele vragen in atoomfysica. “Oude” quantummechanica
geinspireerd door Einstein en Planck. Later Bohr, Schrodinger,
Heisenberg, etc..
Toepassingen overal. Bv: transistoren, chips  PC’s
Relativiteitstheorie:



Hoe zien ruimte en tijd eruit? Is er ‘absolute’ referentiesysteem?
Probleem met voortplanting van het licht.
Eerdere ideeen van H Lorentz en Poincare
Volledige concequente ‘oplossing’ door Einstein
P 30
Lorentz (1853 – 1928)
Poincare (1854 – 1912)
Einstein (1879 – 1955)
P 31
P 32
Relativiteitstheorie


1905: Nieuwe opvattingen over begrip ruimte en tijd,
en E=mc2
1915: Algemene relativiteittheorie:




Verdere uitbreiding van het relativiteitsprincipe
Ook van toepassing op versnelde beweging en gravitatie
Fundamentele verandering zienswijze heelal
Toepassing in dagelijks leven minder merkbaar dan
Quantum-mechanica




GPS navigatiesysteem
In elementaire deeltjes fysica onmisbaar. Zonder relativiteitstheorie
geen deeltjesversnellers
Kernfusie, kernsplijting: het branden van de zon
Algemene theorie: gravitatie merkbaar in cosmologie; zwarte gaten;
uitdijend heelal, oerknal.
P 33
Geldigheids-gebieden
?
Quantumveldentheorie
Quantummechanica
Kleinst ; elementarire deeltjes
?
lichtsnelheid
Speciale Relativiteitstheorie
Snelheid
Klassiekemechanica
Menselijke maat
Grootte
Klassieke (Newton) mechanica als ‘oude’ theorie.
Let wel! De Klassieke mechanica is niet fout. Het beschrijft
mechanische verschijnselen om ons heen zeer nauwkeurig.
Alleen bij zeer hoge snelheden of zeer kleine afstanden vervangen
door relativiteitstheorie resp quantummechanica
P 34
Coordinaten systemen

Gebeurtenissen in de natuur worden beschreven in een
coordinatenstelsel

De basis wordt gegeven door ‘afstand’


Zo spreken we een vaste afstand af, bv de meter, en kunnen elke
gebeurtenis bepalen tov deze meter.
In de drie-dimensionale ruimte wordt een postitie beschreven door
3 coordinaten


De getalswaarde van de
coordinaten hangt af van
de gebruikte eenheid.
De getalswaarde van de
coordinaten hangt af van
de keuze van de oorsprong
van het stelsel
P 35
Coordinaten systeem

Afstand is een invariant:

De afstand tussen twee posities in drie dimensionale ruimte:



Hangt niet af van de keuze van het coordinatenstelsel
De waarde hangt wel af van de gebruikte eenheden (meter, inches…)
Anders gezegd:
De afstand tussen twee objecten (bv aarde en maan) is een fysisch
relevante grootheid.
 De coordinaten van de objecten zijn niet fysisch relevant. De
oorsprong (en translatie) van een coordinatenstelsel is een keuze.
 Coordinaten in de 3d-ruimte om ons heen als hulpmiddel om de
natuur te beschrijven.
 Natuurwetten moeten onafhankelijk van de keuze van het
coordinatenstelsel zijn.

P 36
Ruimte en Tijd voor Newton


Volgens Newton zijn “tijd” en “ruimte” ‘absoluut’, i.e.
beschikbaar vòòr alle andere dingen.
Newton over de ruimte:



Ruimte als gegeven ‘toneel’ waarop de natuur zijn toneelstuk brengt
“Absolute space, of its own true nature without reference to anything
external, always remains homogeneous and immovable”
Er is een referentiesysteem dat de voorkeur verdient; waarvoor de
wetten van de mechanica gelden.



referentiesysteem waarin de sterren niet bewegen
Een ‘inertiaalsysteem’ is een stelsel dat verbonden is met dit
‘voorkeurs’-systeem via een eenparig constante snelheid
Newton over tijd:


Tijd als ‘klok’ van het heelal. Doortikkend met ijzeren regelmaat.
“Absolute, true and mathematical time, of itself, and from its own
nature, flows equably without relation to anything external”
Het ‘kader’ van het universum
P 37
Metingen van de ether



Als de ether zich in de ruimte
bevind, vliegt de aarde er met
een snelheid v doorheen
Snelheid waarmee aarde om
zon draait: v=30 km/s
aarde
ether
Meting van de lichtsnelheid op aarde

Verwachting: meet snelheid c+v in bewegingsrichting aarde tov ether


30 km/s
Practisch vrijwel onmogelijk in praktijk – door enorm hoge waarde van c
Gebruik het golf-karakter van licht



Huygens kende al de interferentie van licht
Kleine verschillen in snelheid mogelijk zichtbaar
door interferentie
Hoe kan dit gebruikt worden om v te meten?
P 38
Michelson & Morley interferometer

Lichtstraal mbv half-doorlatende
spiegel gesplitst:




Deel 1 neemt route ‘NZ’
Deel 2 neemt route ‘OW’
In detector komen bundels weer
samen en vormen een
interferentiepatroon
Gehele opstelling kan worden
geroteerd


NZ bundel wordt OW
OW bundel wordt NZ
P 39
Situatie 1:
Omdat de aarde door de ether beweegt, is er een tijdverschil waarin het licht
het pad NZ of het pad OW aflegt.
De twee bundels vormen een inteferentie patroon
Situatie 2:
Nu roteer je de hele opstelling met 90o. Het tijdsverschil tussen de twee paden draait om, en
daarmee verschuif je het inteferentiepatroon
Uit de verschuiving van het inteferentiepatroon kan de snelheid v worden bepaald
P 40
Michelson & Morley: resultaat

Wat blijkt: het inteferentie-patroon verschuift niet na rotatie
van de opstelling!
Meest beroemde ‘nul-meting’ in de natuurkunde (ca 1887).

Men stond perplex! Wat is er aan de hand?



Deze experimenten werden steeds nauwkeuriger overgedaan
Steeds weer het ‘nul-resultaat.
Het lijkt alsof de ether daarmee niet bestaat.


Hoe kan de lichtsnelheid nu hetzelfde zijn in beide richtingen?
Ad hoc theorieen: e.g. wordt arm inteferometer wellicht korter in een
richting? (Lorentz)
P 41
Einsteins inbreng

Einstein bracht helderheid in de situatie
(Met een eenvoud zoals alleen een genie doen kan)

Hij was ervan overtuigd dat er een relativiteits-princiepe moest
bestaan zowel voor mechanica als voor electromagnetisme


Hiermee wordt Galileitransformatie overboord gezet
Einstein baseerde zich op twee postulaten:

Het relativiteitsprinciepe


Natuurwetten in referentiesysteem zijn onafhankelijk van de
translatiebeweging van het systeem
Constantheid van de lichtsnelheid

De snelheid van het licht is eindig en onafhankelijk van de
bewegingstoestand van de lichtbron; het heeft dezelfde waarde in
ieder inertiaalsysteem
P 42
Programma

Volgende week zullen we zien:

Hoe worden de Galilei-transformaties vervangen?
Wat zijn de concequenties hiervan




Gelijktijdigheid
Tijds-diletatie
Lengte-contractie
P 43
P 44