Samenvatting Wiskunde B - Willem

Samenvatting Wiskunde B
Bereken:
De opgave mag berekend worden met de hand of
met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules
en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval
voor berekenen met de GR.
Bereken algebraisch:
Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR.
Rond antwoord indien nodig af.
Bereken exact:
Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR.
Rond het antwoord niet af.
Laat wortels, breuken etc. staan.
Bereken met behulp van afgeleide:
Bereken met behulp van differentiëren:
Bereken de formule van de afgeleide.
De rest van de berekening mag met
de GR opgelost worden.
Willem-Jan van der Zanden
1
Samenvatting Wiskunde B
1. Lineaire vergelijkingen oplossen:
2x + 1 = 2
2x = 1
x=½
Alles met x naar links, alle losse getallen naar rechts.
2. Tweedegraads vergelijking oplossen (ax2 + bx = 0)
3x2 + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
3x = 0 ˅ x + 2 = 0
x = 0 ˅ x = -2
Haal de x buiten de haakjes.
Willem-Jan van der Zanden
2
Samenvatting Wiskunde B
3. Tweedegraads vergelijking oplossen (ax2 + c = 0)
3x2 – 6 = 0
3x2 = 6
x2 = 2
x = √2 ˅ x = - √2
Herleid tot x2 = getal
4. Tweedegraads vergelijking oplossen (ax2 + bx + c = 0)
x2 – 6x – 7 = 0
(x + 1)(x – 7) = 0
x = -1 ˅ x = 7
Ontbindt het linkerlid in factoren.
Willem-Jan van der Zanden
3
Samenvatting Wiskunde B
5. Tweedegraads vergelijking oplossen (ax2 + bx + c = 0)
2x2 – 5x – 7 = 0
D = b2 – 4ac = (-5)2 – 4∙2·-7 = 81
b  D
b  D
x
2a
2a
5  81
5  81
x
x
22
22
1
x  3  x  1
2
x
Gebruik de ABC formule
6. Hogeregraads vergelijking oplossen (Haal x, x2, x3, … buiten de haken)
x3 – 3x2 + 2x = 0
x(x2 – 3x + 2) = 0
x(x – 1)(x – 2) = 0
x=0˅x=1˅x=2
Willem-Jan van der Zanden
4
Samenvatting Wiskunde B
7. Hogeregraads vergelijking oplossen (substitutiemethode)
x4 – 3x2 + 2 = 0
p2 – 3p + 2 = 0
(p – 1)(p – 2) = 0
p=1˅p=2
x2 = 1 ˅ x 2 = 2
x = 1 ˅ x = -1 ˅ x = √2 ˅ x = - √2
[Neem x2 = p]
[Schrijf oplossing als x = ...]
8. Modulusvergelijking oplossen
|2x + 6| = 5
2x + 6 = 5 of 2x + 6 = -5
2x = -1 of 2x = -11
x = -½ of x = -5½
Willem-Jan van der Zanden
5
Samenvatting Wiskunde B
9. Wortelvergelijking oplossen
x  x  12
[Zorg dat links enkel nog de wortelterm staat]
x  12  x
x  (12  x)2
x  144  24x  x
2
x2  25x  144  0
(x  9)(x  16)  0
x  9  x  16
o.k.  k.n.
[Kwadrateren om wortel weg te werken]
[Controleer altijd of de oplossing klopt!!!]
Willem-Jan van der Zanden
6
Samenvatting Wiskunde B
10.Gebroken vergelijking oplossen
x 7
x

x 2 x 6
(x  7)(x  6)  x(x  2)
[Kruislings vermenigvuldigen]
x2  6x  7x  42  x 2  2x
x2  13x  42  x 2  2x
15x  42
2
x  2
15
[Let op x = 2 en x = -6 mogen niet als oplossing
want dan heb je een noemer die 0 is.]
Willem-Jan van der Zanden
7
Samenvatting Wiskunde B
11. Stelsels van vergelijkingen (Optellen en aftrekken)
 2x  y  3 x3


3x

2y

6

 x2
 6x  3y  9


6x

4y

12


 
7y  21
y 3
Willem-Jan van der Zanden
8
Samenvatting Wiskunde B
12. Stelsels van vergelijkingen (Substitutie)
y = x2 + 4 ⋀ 9x + 3y = 6
9x + 3y = 6
9x + 3(x2 + 4) = 6
9x + 3x2 + 12 = 6
3x2 + 9x + 6 =0
x2 + 3x + 2 = 0
(x + 2)( x + 1) = 0
x = -2 ˅ x = -1
Willem-Jan van der Zanden
9
Samenvatting Wiskunde B
13.Omzetten exponentiële en logaritmische functies
2x = 7
x = 2log(7)
2log(x
+ 1) = 3
x + 1 = 23
x+1=8
x=7
Gebruik de regel: Uit glog(x) = y volgt x = gy
Willem-Jan van der Zanden
10
Samenvatting Wiskunde B
14. Exponentiële functies
x
1
3     7  55
2
x
1
3     48
2
Zorg dat alle “losse getallen” rechts komen te staan.
x
1
 2   16
 
Zorg dat links alleen nog maar een macht staat.
2 
Schrijf de vergelijking in de vorm gA = gB
1
x
 24
2 x  24
x  4
x  4
Je kunt de grondtallen nu “wegstrepen”
Willem-Jan van der Zanden
11
Samenvatting Wiskunde B
15. Logaritmische vergelijkingen (een logaritme)
1  2  5 log(x)  7
2  5 log(x)  6
5
log(x)  3
x  53
x  125
Zorg dat alle “losse getallen” rechts komen te staan.
Zorg dat links alleen nog maar een logaritme staat.
Gebruik de regel: Uit glog(x) = y volgt x = gy
16. Logaritmische vergelijkingen (meerdere logaritmes)
3
log( x  2)  1  4 3 log(2)
3
log( x  2)  3 log(31 )  3 log(24 )
3
log( x  2)  3 log(3)  3 log(16)
log( x  2)  3 log(48)
x  2  48
x  50
voldoet
3
Willem-Jan van der Zanden
12
Samenvatting Wiskunde B
17. Logaritmische vergelijkingen (substitutiemethode)
2
log 2(x)  5 2 log(x)  6  0
p  2 log(x)
p2  5p  6  0
(p  2)(p  3)  0
p  2  p  3
2
log(x)  2  2 log(x)  3
x  22  x  23
1
1
x x
4
8
Gebruik de regel: Uit glog(x) = y volgt x = gy
Alle regels voor logaritmen gelden ook voor natuurlijke logaritmen: elog(x) = ln(x);
Alle regels voor machten gelden ook voor e-machten.
Willem-Jan van der Zanden
13
Samenvatting Wiskunde B
18. Oplossen sinusvergelijkingen
sin(x  1)  sin(2x  3)
x  1  2x  3  k  2 of x  1    (2x  3)  k  2
x  4  k  2 of x  1    2x  3  k  2
x  4  k  2 of 3x    2  k  2
1
2
2
x  4  k  2 of x     k  
3
3
3
sin(A) = sin(B) geeft A = B + k ∙ 2π of A = π – B + k ∙ 2π
Willem-Jan van der Zanden
14
Samenvatting Wiskunde B
19. Oplossen cosinusvergelijkingen
1
cos(3x)  cos(x   )
4
1
1
3x  x    k  2 of 3x  (x   )  k  2
4
4
1
1
2x     k  2 of 3x   x    k  2
4
4
1
1
1
x     k   of 4x    k  
8
4
2
1
1
1
x     k   of x    k  
8
16
8
cos(A) = cos(B) geeft A = B + k ∙ 2π of A = – B + k ∙ 2π
Gebruik indien nodig rekenregels om vergelijkingen van de vorm
sin(…) = cos(…) om te schrijven naar sin(…) = sin(…) of cos(…) = cos(…)
Willem-Jan van der Zanden
15
Samenvatting Wiskunde B
1. Standaardafgeleide
f(x) = axn geeft f’(x) = naxn-1
f(x) = 7x5 – 4x4 + 3x3 – 2x + 1 geeft g’(x) = 35x4 – 16x3 + 9x2 – 2
2. Productregel
p’(x) = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)
p(x) = (x + 6)(2x + x2) geeft
p’(x)
= [x + 6]’ ∙ (2x + x2) + (x + 6) ∙ [2x + x2]’
= 1 ∙ (2x + x2) + (x + 6) ∙ (2 + 2x)
= 2x + x2 + 2x + 2x2 + 12 + 12x
= 3x2 + 16x + 12
Willem-Jan van der Zanden
16
Samenvatting Wiskunde B
3. Quotiëntregel
De afgeleide van q(x) = t(x) wordt nu:
n(x)
q'( x )  n( x ) t '( x )  t(2x ) n'( x )
(n( x ))
2  8x
5x
q(x) 
3x  6 geeft
2
2
q'(x)  (3x  6)[5x  8x]' (5x2  8x)[3x  6]'
(3x  6)
2
q'(x)  (3x  6)(10x  8) 2(5x  8x)3
(3x  6)
2  24x  60x  48  15x2  24x
30x
q'(x) 
(3x  6)2
2  60x  48
15x
q'(x) 
(3x  6)2
Willem-Jan van der Zanden
17
Samenvatting Wiskunde B
4. Kettingregel
dy  dy  du
dx du dx
y = (x2 – x + 6)2 schrijf je als: y= u2 met u = x2 – x + 6
y'  dy  du
du dx
 2u (2x  1)
 2(x2  x  6)(2x  1)
5. Afgeleide van een e-macht
f(x) = ex geeft f’(x) = ex
Willem-Jan van der Zanden
18
Samenvatting Wiskunde B
6. Afgeleide van een exponentiële functie
f(x) = ax geeft f’(x) = ax · elog(a) = ax · ln(a)
7. Afgeleide van een natuurlijke logaritme
[ln(x)]'  1
x
8. Afgeleide van een logaritme
[ g log(x)]' 
1
xln(g)
9. Afgeleide van een sinusoïde
f(x) = sin(x) => f’(x) = cos(x)
g(x) = cos(x) => g’(x) = -sin(x)
Willem-Jan van der Zanden
19
Samenvatting Wiskunde B
10. Bepaal de richtingscoëfficiënt (helling)
y y B  y A

Bij de grafiek y = ax + b hoort een r.c. van
x x B x A
11. Bepaal de helling in een punt
Bereken de helling in het punt met xA = 1 van de grafiek van f(x) = x3 – 12x + 1
f’(x) = 3x2 – 12
f’(1) = 3 · 12 – 12 = -9
Willem-Jan van der Zanden
20
Samenvatting Wiskunde B
12. Het opstellen van een raaklijn
Gegeven is de functie: f(x) = x2 + 3x + 4
Stel de met behulp van de afgeleide de vergelijking op van de raaklijn l in punt
A met r.c. = 1
Stap 1:
Stel de afgeleide van de functie f(x) op:
l:y = ax + b en dus l:y = x + b
f(x) = x2 + 3x + 4
f’(x) = 2x + 3
Stap 2:
Bereken wanneer de afgeleide gelijk is aan 1:
f’(x) = 1
2x + 3 = 1
2x = -2
xA = -1
Willem-Jan van der Zanden
21
Samenvatting Wiskunde B
12. Het opstellen van een raaklijn
Gegeven is de functie: f(x) = x2 + 3x + 4
Stel de met behulp van de afgeleide de vergelijking op van de raaklijn l in punt
A met r.c. = 1
Stap 3:
Bepaal de y-coördinaat van het punt A:
yA = f(xA) = (-1)2 + 3 · -1 + 4 = 2
Stap 4:
Stel de vergelijking van de raaklijn l op:
l:y = x + b
Invullen van A = (-1, 2) geeft:
2 = -1 + b
b=3
Hieruit volgt: l:y = x + 3
Willem-Jan van der Zanden
22
Samenvatting Wiskunde B
13. Raaklijn aan de grafiek door een bekend punt niet op de grafiek
m is een lijn, die de grafiek van f raakt in het punt P. De lijn m gaat niet door de
oorsprong. Er geldt nu: f '(x p ) 
f(x P )  y A
xP  x A
Gegeven zijn de functie f(x) = x2 – 2 en het punt A(4, 5).
Bereken de coördinaten van de raakpunten van de raaklijnen aan de
grafiek van f(x) en het punt A.
(x2  2)  5
2x 
x 4
2x(x – 4) = x2 – 7
2x2 – 8x = x2 – 7
x2 – 8x + 7 = 0
(x – 1)(x – 7) = 0
x=1˅x=7
De raakpunten zijn nu (1, -1) en (7, 47)
Willem-Jan van der Zanden
23
Samenvatting Wiskunde B
14. Het raakpunt van twee grafieken
Twee grafieken raken elkaar in het punt A.
Er geldt: f(xA) = g(xA) EN f’(xA) = g’(xA)
1
Bereken het raakpunt van de functies f(x) = x3  x 2 5 en g(x) = -x2 + 9x - 13
3
Stap 1:
Bereken de afgeleiden van f(x) en g(x).
f’(x) = x2 – 2x
EN
g’(x) = -2x + 9
Stap 2:
Los de vergelijkingen f(x) = g(x) ⋀ f’(x) = g’(x) op:
1 3
x  x 2 5   x2  9x  13  x2  2x  2x  9
3
1 3
x  9x  18  0  x2  9
3
1 3
x  9x  18  0  x  3, x  3
3
Willem-Jan van der Zanden
24
Samenvatting Wiskunde B
14. Het raakpunt van twee grafieken
Twee grafieken raken elkaar in het punt A.
Er geldt: f(xA) = g(xA) EN f’(xA) = g’(xA)
1
Bereken het raakpunt van de functies f(x) = x3  x 2 5 en g(x) = -x2 + 9x - 13
3
Stap 3:
Controleer of de gevonden oplossingen kloppen.
f(3) = 5 EN g(3) = 5
f(-3) = -31 EN g(-3) = -49
Deze oplossing klopt
Deze oplossing klopt niet.
Het punt (3, 5) is het raakpunt van beide grafieken.
Willem-Jan van der Zanden
25
Samenvatting Wiskunde B
15. Grafieken die elkaar loodrecht snijden
In het punt waar twee grafieken elkaar loodrecht snijden geldt:
f(x) = g(x) ⋀ f’(x) · g’(x) = -1
Bereken exact de waarde van p en de coördinaten van het punt waar de
p
elkaar loodrecht snijden.
x
grafieken f(x) = 2√x en gp(x) =
Stap 1:
Bereken de afgeleiden van f(x) en gp(x)
f’(x) =
1
x
EN g’(x) = 
p
x2
Willem-Jan van der Zanden
26
Samenvatting Wiskunde B
15. Grafieken die elkaar loodrecht snijden
Bereken exact de waarde van p en de coördinaten van het punt waar de
p
grafieken f(x) = 2√x en gp(x) =
elkaar loodrecht snijden.
x
Stap 2:
Los de vergelijkingen f(x) = g(x) ⋀ f’(x) · g’(x) = -1 op:
p
1 p
2 x
 1
2
x
x
x
p
p  2x x
 1
2
x x
2x√x = x2√x
p  x2 x
2x√x – x2√x = 0
x√x (2 – x) = 0
x=0˅x=2
Stap 3:
x = 2 geeft p = 4√2
f(2) = 2√2, dus de grafieken snijden elkaar loodrecht in (2, 2√2)
Willem-Jan van der Zanden
27
Samenvatting Wiskunde B
16. Buigpunten
In een buigpunt gaat de helling bv. van afnemend stijgend naar toenemend
stijgend. (Eén van de vier mogelijkheden)
Ga na of de functie f(x) = x3 + 6x + 4 een buigpunt heeft.
Stap 1:
Bereken de tweede afgeleide
f’(x) = 3x2 + 6
f’’(x) = 6x
Stap 2:
Los de vergelijking f’’(x) = 0 op.
6x = 0 geeft x = 0
Stap 3:
Controleer of de afgeleide in het punt met x-coördinaat 0 een extreme waarde
heeft. Dit is zo, dus er is nu een buigpunt bij x = 0.
Willem-Jan van der Zanden
28
Samenvatting Wiskunde B
1. Regels primitiveren
a n 1
x  c met n  1
n 1
gx
x
f(x)  g  F(x) 
c
ln(g)
f(x)  ax n  F(x) 
f(x)  ex  F(x)  ex  c
1
f(x)   F(x)  ln| x | c
x
f(x)  ln(x)  F(x)  x ln(x)  x  c
1
f(x)  g log(x)  F(x) 
(x ln(x)  x)  c
ln(g)
Willem-Jan van der Zanden
29
Samenvatting Wiskunde B
2. Primitiveren sinusoïde
f(x) = sin(x)
g(x) = cos(x)
=> F(x) = -cos(x) + c
=> G(x) = sin(x) + c
3. Kettingregel voor primitiveren
De primitieven van f(ax + b) zijn
1
2
f(x)  4x  1  (4x  1)  u
1
F(x) 
4
1
F(ax  b)  c
a
1
2
1
1 
 1
1
2
u

c



0,5

1
4


1
1
1 
1
2
1
2
2
 (4x  1)   c  (4x  1)  c
6
3

Willem-Jan van der Zanden
30
Samenvatting Wiskunde B
4. Oppervlakte onder een grafiek
Bereken de oppervlakte van vlakdeel V
ingesloten door de f(x) = 4x – x2 en
de x-as en y-as.
4
O(V)   (4x  x 2 )dx 
0
4
 2 1 3
2x  3 x  

0
1
2
(2 42  43 )  (0  0)  10
3
3
Willlem-Jan van der Zanden
31
Samenvatting Wiskunde B
5. Oppervlakte tussen twee grafieken
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel
dat wordt ingesloten door de grafieken van
f(x) = x2 – 1 en g(x) = 5 – 2x
Stap 1:
Bepaal met de optie INTERSECT de twee
snijpunten van beide grafieken. Dit zijn -2,41
en 1,68
Stap 2:
Merk op dat in het interval [-2,41; 1,68] de
grafiek van g(x) boven de grafiek van f(x) ligt.
Willlem-Jan van der Zanden
32
Samenvatting Wiskunde B
5. Oppervlakte tussen twee grafieken
Stap 3:
De oppervlakte van het gevraagde vlakdeel
kan nu berekend worden met:
1,68

1,68
(g(x)  f(x))dx 
2,41

(5  2x  (x2  1))dx  13,94
2,41
Integreren met de GR:
Y1 = 5 – 2^x – (x^2 – 1)
2ND | TRACE | Optie 7
Vul bij “Lower Limit” -2,41 in en bij
“Upper Limit” 1,68 en druk op ENTER
Willlem-Jan van der Zanden
33
Samenvatting Wiskunde B
6. Booglengte
Als je de lengte van de grafiek van f tussen x = a en x = b wilt berekenen,
gebruik je hiervoor de volgende formule:
b
a
1  (f '(x))2dx
Voorbeeld:
Het vlakdeel wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = ln(x), de x-as en
de lijn x = 10. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de booglengte.
10

1
1  (f '(x))2dx 
10
1
1
1  ( )2dx  9,42
x
Willlem-Jan van der Zanden
34
Samenvatting Wiskunde B
7. Inhoud van een lichaam:
Bereken de exact de inhoud van het
lichaam L dat ontstaat als V om de
x-as wentelt.
4
I(L)    f(x)2 dx 
0
4
2 2

(4x

x
) dx 

0
4
2
3
4

(16x

8x

x
)dx 

0
4
1 5
 16 3
4

(
x

2x

x  
 3
5

0
1
4
2

  341  512  204   34 
3
5
15

Willlem-Jan van der Zanden
35
Samenvatting Wiskunde B
8. Inhoud tussen twee lichamen:
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de
grafieken van f(x) = x2,5 – 8 en g(x) = -x – 2 en
de y-as. Bereken nu de inhoud van het lichaam L
dat ontstaat als V om de x-as gewenteld wordt.
Stap 1:
Bereken het snijpunt van f(x) en g(x) met
INTERSECT. Dit is 1,779
Stap 2:
Omdat f(x) onder g(x) ligt in het interval [0; 1,779]
is de inhoud van het omwentelingslichaam L nu
als volgt te berekenen:
1,779

I(L) =
1,779
(f(x)) dx 
2
0

0
1,779

(g(x))2 
1,779
(x
2,5
 8) dx 
Willlem-Jan van0 der Zanden
2

0
( x  2)2dx  218,3
36
Samenvatting Wiskunde B
9 Substitutiemethode integreren (Alleen schoolexamen)
∫(f ∙ g)dx = ∫f dG
Primitiveer de functie f(x) = 5(x2 + x)4 · (2x + 1)
∫ 5(x2 + x)4 · (2x + 1) dx =
∫ 5(x2 + x)4 d(x2 + x)
∫ 5u4 du =
u5 = (x2 + x)5
[Neem x2 + x = u]
Hieruit volgt dat de primitieve van f(x) gelijk is aan F(x) = (x2 + x)5 + C
Let op:
Door het “handig” toepassen van de substitutiemethode krijgt je een functie,
die je kunt primitiveren met de regels uit Hoofdstuk 10.
Willem-Jan van der Zanden
37
Samenvatting Wiskunde B
10. Partieel integreren (Alleen schoolexamen)
Voor partieel integreren geldt de volgende regel: ∫gdf = f ∙ g - ∫ fdg
Primitiveer de functie h(x) = x ln(x)
∫ x ln(x)dx
= ∫ln(x) d(½ x2)
[f = ½x2 en g = ln(x)]
= ½ x2 · ln(x) – ∫ ½ x2 · d(ln(x))
=½
x2
· ln(x) – ∫½
x2
1
· dx
x
= ½ x2 · ln(x) – ∫½ x dx
= ½ x2 · ln(x) - ¼ x2
H(x) = ½ x2 · ln(x) - ¼ x2 + C is de primitieve van de functie h(x) = x ln(x)
Willem-Jan van der Zanden
38
Samenvatting Wiskunde B
11. Cyclometrische functies (Alleen schoolexamen)
1
heeft als primitieve: F(x)= arctan(x) + c
x2  1
1
De functie g(x) = arctan(x) heeft als afgeleide: g’(x) = 2
x 1
De functie f(x) =
De functie f(x) =
1
1 x
2
heeft als primitieve: F(x)= arcsin(x) + c
De functie g(x) = arcsin(x) heeft als afgeleide: g’(x) =
De functie f(x) =
1
1 x
2
1
1  x2
heeft als primitieve: F(x)= arccos(x) + c
De functie g(x) = arccos(x) heeft als afgeleide: g’(x) =
Willem-Jan van der Zanden
1
1  x2
39
Samenvatting Wiskunde B
12 Breuken herschrijven via staartdeling (Alleen schoolexamen)
4
2x 2  5x  1
dx
Bereken exact 
x 1
1
Stap 1:
Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren:
x+1/
2x2 + 5x + 1 \ 2x
2x2 + 2x
---------------- 3x + 1
2x maal x + 1 = 2x(x + 1) = 2x2 + 2x
Let op: Hierdoor valt de 2x2 weg.
x+1/
2x2 + 5x + 1 \ 2x + 3
2x2 + 2x
---------------- 3x + 1
3x + 3
--------- -2
3 maal x + 1 = 3(x + 1) = 3x + 3
Let op: Hierdoor valt de 3x weg.
Willem-Jan van der Zanden
40
Samenvatting Wiskunde B
12 Breuken herschrijven via staartdeling (Alleen schoolexamen)
4
2x 2  5x  1
dx
Bereken exact 
x 1
1
Stap 1:
Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren:
2x 2  5x  1
De functie f(x) =
kan dus geschreven worden als:
x 1
2
f(x) = 2x + 3 + x  1
Stap 2:
2
De primitieven van de functie f(x) = 2x + 3 - x  1 zijn:
F(x) = x2 + 3x – 2ln|x + 1| + C
Let op: Staartdelen kan alleen als de graad van de teller groter of gelijk is
Dan de graad van de noemer.
Willem-Jan van der Zanden
41
Samenvatting Wiskunde B
12 Breuken herschrijven via staartdeling (Alleen schoolexamen)
4
2x 2  5x  1
dx
Bereken exact 
x 1
1
Stap 3:
Bereken nu de gevraagde integraal:
4
4
2x 2  5x  1
2
dx

2
x

3

dx 
1 x  1
1
x 1
4
 x 2  3x  2ln| x  1| 
1
(42  3 4  2ln| 4  1|)  (12  3 1  2ln|1  1|) 
28  2ln|5| 5  2ln|2|
23  2ln|5| 2ln|2|
Willem-Jan van der Zanden
42
Samenvatting Wiskunde B
13. Breuken herschrijven, Discriminant noemer kleiner dan 0 (Alleen SE)
Primitiveer de functie f(x) =
2x  1
x 2  4x  5
Let op:
1) De discriminant van de noemer (x2 + 4x + 5) is kleiner dan 0 (42 – 4 · 1 · 5 = -4).
Je kunt de noemer niet ontbinden in factoren;
1) De afgeleide van x2 + 4x + 5 is 2x + 4;
2) Staartdelen is niet mogelijk.
2x  1
2x  4  5
2x  4
5
dx

dx


 x 2  4x  5  x 2  4x  5  x 2  4x  5 x 2  4x  5dx
2x  4
 x 2  4x  5 dx 
1
2
 x 2  4x  5 d( x  4x  5) 
1
 u du ln| u |
ln| x 2  4 x  5|
Door het herschrijven van de functie ontstaan
twee breuken die je kunt primitiveren:
1) Gebruik de substitutiemethode (breuk 1);
2) Primitieve is de natuurlijke log. (breuk 2).
Willem-Jan van der Zanden
43
Samenvatting Wiskunde B
13. Breuken herschrijven, Discriminant noemer kleiner dan 0 (Alleen SE)
2x  1
Primitiveer de functie f(x) = 2
x  4x  5
5

 x 2  4x  5dx 
Herleiden van de breuk zorgt dat je
5
de tweede breuk kunt primitiveren.
  ( x  2)2  1dx 
 5arctan( x  2)
2x  1
2
x
 4x  5
De primitieve van de functie f(x) =
wordt nu:
F(x) = ln|x2 + 4x + 5| - 5 arctan(x + 2) + C
Willem-Jan van der Zanden
44
Samenvatting Wiskunde B
14. Breuken herschrijven, Discriminant noemer gelijk aan 0 (Alleen SE)
2x  1
Primitiveer de functie f(x) = 2
x  4x  4
Let op:
1) De discriminant van de noemer (x2 + 4x + 4) is gelijk aan 0 (42 – 4 · 1 · 4 = 0);
2) De noemer is te schrijven als x2 + 4x + 4 = (x + 2)2;
3) De teller is te schrijven als 2x - 1 = 2x + 4 – 5 = 2(x + 2) – 5;
4) Staartdelen is niet mogelijk.
2x  1
2( x  2)  5
dx

 x 2  4x  4  ( x  2)2 dx 
2
5
2
2

dx


5(
x

2)
dx 
 x  2 ( x  2)2  x  2
Door het herschrijven van de functie
ontstaan twee breuken die je kunt
primitiveren.
2ln| x  2| 5( x  2)1 
Willem-Jan van der Zanden
45
Samenvatting Wiskunde B
15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0
Bereken de primitieven van f ( x ) 
x 8
x 8

x 2  x  2 ( x  1)( x  2)
Let op:
1) De discriminant van de noemer (x2 + x -2) is groter dan 0 (12 – 4 · 1 · -2 = 9).
De noemer kan in factoren ontbonden worden;
1) De noemer geschreven worden als x2 + x -2 = (x – 1)(x + 2);
2) Staartdelen is niet mogelijk.
Stap 1:
Merk op dat je deze functie niet kunt primitiveren op de manieren zoals geleerd.
Dit is op te lossen door de functie f als volgt te schrijven: f ( x ) 
Willem-Jan van der Zanden
a
b

x 1 x  2
46
Samenvatting Wiskunde b
15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0
Stap 1:
a
b


x 1 x  2
a( x  2)
b( x  1)


( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2)
a( x  2)  b( x  1)

( x  1)( x  2)
ax  2a  bx  b

( x  1)( x  2)
(a  b)x  2a  b
( x  1)( x  2)
We kiezen a en b nu zodanig dat (a + b)x + 2a – b gelijk is aan x + 8
Er geldt nu: a + b = 1 en 2a – b = 8
Willem-Jan van der Zanden
47
K.4 Breuksplitsen [3]
15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0
Stap 2:
Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op:
 ab 1

2a  b  8
 
3a  9
a 3
Invullen van a = 3 in a + b = 1 geeft b = -2.
De vergelijking f ( x ) 
f (x) 
x 8
x 8

kan dus geschreven worden als:
x 2  x  2 ( x  1)( x  2)
a
b
3
2

f
(
x
)


met a = 3 en b = -2. Dit geeft:
x 1 x  2
x 1 x  2
Willem-Jan van der Zanden
48
K.4 Breuksplitsen [3]
15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0
Stap 3:
3
2
f
(
x
)


Primitiveer de functie
x 1 x  2
F(x) = 3 ln|x-1| - 2ln |x+2| + C
Willem-Jan van der Zanden
49