3. hemelmechanica

3. HEMELMECHANICA
(Orbital Mechanics)
Isaac Newton (1642-1727)
1665 Annus Mirabilis
Wetten v. d. Mechanica
(ook: Galileo, Huygens)
Gravitatiewet
(ook: Bullialdus, Hooke)
Infinitesimaalrekening
(tegelijkertijd: Leibniz)
Optica
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
(1687) en Opticks (1704)
Wetten van Newton
Impuls (momentum)
N1 Als
= 0 dan is
constant
N2 Als
≠ 0 dan is
=
N3 Actie + Reactie = 0 ,
+
Als m constant, dan N2 → m =
Draai-impuls (angular mom.)
N2 → =
met moment (torque)
=0
Gravitatiewet
Twee puntdeeltjes (of homogene bollen) met
massa’s
en
op afstand oefenen een
aantrekkende kracht op elkaar uit ter grootte
met gravitatieconstante
=
Doel: Wetten van Kepler hieruit afleiden
(in volgorde K2, K1, K3)
Poolcoördinaten (r, θ)
x = r cos θ , y = r sin θ
r = (x2 + y2)1/2 , θ = arctan y / x
Eenheidsvectoren in r- en θ -richting:
,
Poolcoördinaten (2)
Let op! :
en
hangen van
af →
,
Als
van t afhangt dan (kettingregel!)
,
Opg: Ontbind de willekeurige vector in r- en
-componenten. Doe dit i.h.b. voor de positieen snelheidsvector
Tweelichamenprobleem
Dubbelster (binary star) , ‘Aarde en Zon’
, j = 1 of 2, bewegen o.i.v. zwaartekracht
Positie - vectoren
Snelheidsvectoren
Laat t vaak weg!
=
← t-afgeleide
Kinetische energie K = K1 + K2
Potentiële energie U
Totale energie E = K + U is constant
Tweelichamenprobleem (2)
Zwaartepuntsysteem (Center of Mass System)
Totale massa M = m1 + m2
Gereduceerde massa μ = m1m2 / M
Positievector v. Zpunt
Relatieve positievector
Snelheidsvector Zpunt
Relatieve snelheidsvector
In ‘t Z-systeem geldt (verifieer!)
K = ½M V2 + ½ μv2 , U = – GM μ / r
Z beweegt eenparig! (Vgl College Mechanica)
Alleen relatieve beweging is van belang!
Tweelichamenprobleem (3)
Totale energie v.d relatieve beweging is constant
E = ½μv2 – GM μ/r = const.
Één ‘lichaam’ μ loopt om centrum met M
Los dit op + ga terug naar ‘normale’ ref.-systeem
… maar er is nog een behouden grootheid!
Definieer Totale impulsmoment =
Opg: Laat zien dat dit gelijk is aan
In ‘n centraal krachtveld is
behouden!
Tweelichamenprobleem (4)
heeft vaste richting & grootte en
De beweging ligt dus in een vlak!
A(t) = door voerstraal bestreken oppervlak
Na Δt is toename van A ‘n driehoekje dus
→
(basis) (hoogte)
= const.
Dit is K2 !
Baan (orbit)
Elimineer t tussen r(t) en θ(t) → Baan r(θ)
Nu is
en
, dus
→
Bewegingsvgl.
Vermenigvuldig links en rechts met
Gebruik links
Dus
=
/
)˙ = 0 met
en rechts
Tweelichamenprobleem (5)
Integreer over t en kies t = 0 in ‘t perihelium
=
met integratieconst. e
‘Dot product’ met →
=
Met
=
=1+
/
→
dus 1/r oscilleert met θ
Tweelichamenprobleem (6)
Of ook r =
(1)
Zo’n r-θ-relatie beschrijft een ‘kegelsnede’
Tweelichamenprobleem (7)
Als
dan ≈
en ≈
Ryden behandelt alleen dit speciale geval
en schrijft M voor
en m voor
We hebben (meer dan) K1 gevonden:
In het N=2 - probleem zijn
ellipsen (of cirkels) de gesloten banen, maar
hyper- (of para)-bolen zijn open banen!
Opg: Wat zijn
en als =
? Baan?
Tweelichamenprobleem (8)
Ellips r =
Vgl. (1) →
Eccentriciteit
Ap & perihelium
(Snelheid)² daar
[ Zie boek voor bewijs]
(2)
Tweelichamenprobleem (9)
Na 1 omloop is A(P) = πab (Vgl. Cirkel ) →
(K2)
Kwadrateer dit en gebruik (2) en (3)
K3 !
(Vgl. 3.53)
Meet P en a → Bereken
Zon
[ Ik schrijf K3 ook als
]
Sections 3.2 - 3.4
• Thuis lezen – ook WC -- vragen stellen.
Baanenergie
3.2
Baansnelheid
3.3 – use E-conserv.
Viriaalstelling
3.4
4. HET SYSTEEM AARDE-MAAN
of algemener
Tweede-orde Zwaartekrachtseffecten
Vgl. 4.12-17 van 4.2 in ‘t WC ; 4.4 al af; 4.6 tot vgl. 4.53
Tweede-orde Zwaartekrachtseffecten
Hemellichamen zijn
• Geen puntdeeltjes
• Niet perfect bolvormig (afplatting)
• Vaak met meer dan twee (N > 2)
Dit leidt tot ‘tweede-orde-effecten’:
• Precessie van rotatieas
• Getijden
• Storingen (perturbations) voor N > 2 :
• Banen zijn géén ellipsen: Periheliumprecessie
[ N > 2 probleem heeft géén analytische oplossing ]
4.1 Afplatting en Precessie
Rotatie → Ellipsoïde met afplatting f = (a – b)/a
Opg. Vind relatie tussen f en eccentriciteit e
Aarde: a ≈ 6378 km, b ≈ 6357 km → f ≈ 1/300
Vraag : Voor welke planeet is f het grootst?
Antwoord:
Saturnus ( hier ‘edge-on’) heeft f ≈ 1/10
MacLaurin Ellipsoïde
MacLaurin (1742) gaf ω²/Gρ als functie van e (Geen details)
Opg : Laat zien dat ω²/Gρ dimensieloos is.
En wat is de dimensie va e ?
(Waarom gaf ik deze opgave?)
Precessie
Aarde heeft ‘n ‘zwembandje’ en is ‘n ‘peertje’
(maar ze is toch mooi)
Hoek ecliptica & equator-vlak = 23.5°
Zon & Maan trekken aan
‘zwembandje’.
=
dus
draait op een kegel!
Zon 16''/yr, Maan 34''/yr
Tot. 50''/yr, P ≈ 26 kyr
Hipparchus, Newcomb, …
Precessieperiode (extra)
Relevante component , gemiddeld over ’n baan:
T = 3Gm (C – A) sin 2ε
m = storende massa (Zon of Maan) ,
ε = hoek ecliptica & equatorvlak,
C = traagheidsmoment v. Aarde om as
A = traagheidsmoment v. Aarde om lijn ⊥ as.
Precessie-hoeksnelheid en -periode zijn dan
ωp = 3Gm (C – A) / C cos ε , Pp = 2π / ωp
J.G. Williams, The Astronomical Journal 108 (1994) 711
Periheliumprecessie (apisdal precession)
Door de storing van de ‘lastige buren’ volgt elke planeet
(langzaam!) een rozet
Aarde: 11½"/yr
Periode ≈ 100 kyr
Mercurius: Verschil met
voorspelling gebaseerd op
Newton is 43" per eeuw.
Einsteins Algemene Relativiteitstheorie verklaart
deze discrepantie!
M. Stewart, American Journal of Physics 73 (2005) 730
Milankovic-cycli
Eccentriciteit 0 < e < 0.05 met periode P ≈ 100 kyr
Nutatie van aardas 21.5° < α < 24.5 ° met P ≈ 41 kyr
Precessie v. aardas (zie eerder) met P ≈ 26 kyr
Wat is het belang van deze periodes voor ons?
Berger & Loutre, Insolation values for the climate of the
last 10 million years, Quaternary Science Reviews 10
(1991) 297-317
Getijden
Equipotentiaal : Oppervlak waarop V const. is
Voor bolvormig lichaam : concentrische bollen
Nabij object vervormt de equipotentialen.
Dit heet getijdenwerking (tidal action)
Aarde & Maan. Water :
Vloed (flood tide) : periode v. stijgend water
Hoogtij: moment v. hoogste water
Eb (ebb tide): periode v. dalend water
Laagtij (low tide): moment v. laagste water
Hoogtij komt elke
, dito laagtij
Bay of Fundy (CAN)
(Ook atmosfeer en aardkorst reageren!)
Getijden (2)
Zon èn Maan dragen bij
Springtij (spring tide): Hoek Z & Maan 0 òf 180°
Doodtij (neap tide): Hoek Zon & Maan 90°
Galilei en Descartes fout.
Newton (1687) gaf correcte uitleg.
Evenwichtstheorie Daniel Bernoulli (1740) (‘Matteüseffect’)
Dynamische theorie Laplace (en vele anderen)
Getijden (3)
Kracht door Maan op testmassa m (op Aarde)
Getijden (4)
Als r0 >> R1 dan is deze Taylorreeks OK:
met
derde macht!
Getijdeverwekkende kracht (differential tidal force) =
Variatie over 1 v. zwaartekracht dóór M op test m =
F (r )
F (r ) F (r0 )
In verste en nabijste punt r
F (r )
Mm
(r r0 )2G 3
r0
r0
Mm
2GR1 3
r0
R1 geldt dus
Getijden (5)
1 = Aarde, 2 = Maan of Zon. Verhouding Z/M
FZ
FM
3
M Z rAM
3
M M rAZ
0.44
MZ = 27 x 106 MM maar 3e macht van 2.5 x 10 –3 wint.
NB: Straal & massa van Aarde doen er niet toe.
WC-opg: Variatie van ΔF over hele oppervlak

F
Mm ˆ
GR1 3 (2i cos
r0
ˆj sin )
Getijden (6) ‘Pijnbank’
Ken je een beroemd voorbeeld in ons Zonnestelsel?
Io Getijden (7)
‘Pizzamaan’ Io met ~ 400 vulkanen die SO2
spuwen. Getijdewerking v. Jupiter verhit Io !
Getijden (8)
Getijdewerking door lichaam j op lichaam k
GW ( j op k )
2G
m j rk
r
3
GW (1op 2) / GW (2op1)
dus verhouding
m1r2
≈
m2 r1
r1
r2
2
mits …
“Kleinste krijgt de hardste klappen”
Aarde-Maan: GWA op M / GWM op A ≈ 14 ,
eigenlijk ≈ 20
Synchrone Rotatie Getijden (9)
Geen water op Maan (jammer!) maar door
getijderemming (tidal braking) is
Pas = Pbaan = 27⅓ d (sid.)
We zien steeds dezelfde kant van de Maan!
[ Fout: Dark side of the Moon ]
Stabiel door ‘terugkoppeling’ (feedback)
Duurt lang tot Aarde synchroon zal draaien
Roche-limiet Getijden (10)
Getijdewerking bepaalt de kleinste afstand
Roche-limiet rR =
kleinste veilige afstand
≈ 2.5 R. Bij r < rR :
GW groter dan zelfzwaartekracht van
het ‘kleintje’
Ken jij een beroemd voorbeeld?
Hill-radius Getijden (11)
Getijdewerking bepaalt de grootste afstand
Hill-radius rH = grootste r waarop m1 en m2 nog
gebonden blijven oiv GW van m3 (m1 < m2 < m3)
op afstand a >> r
Getijden (11)
Bij r > rH ‘steelt’ de GW v.d. ‘dikke’ het ‘kleintje’
1/ 3
m2
rH
a
2m3
NB : Massa van ‘kleintje’ doet er niet toe.
Voor Maan-Aarde-Zon: rH ≈ 0.01 AU
Maan is voorlopig ‘van ons’
Getijdenwerking belangrijk in dubbelsterren
[ Lees par. 4.5 over Libratie v.d. Maan
Lees par. 4.6 over Eclipses tot aan vgl. 4.53 ]