Constructies met passer en liniaal, origami en meccano

Constructies met passer en liniaal, origami en meccano
Een wiskunde-D module geschreven door
Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht
Deze module is in ontwikkeling en wordt uitgeprobeerd in het najaar van 2012 op het Junior
College Utrecht (JCU). De auteur bedankt Ton van der Valk (JCU) en Johan van de Leur
(Universiteit Utrecht) voor uitleg over de gang van zaken op het JCU en Joke Daemen (IVLOS)
en Aad Goddijn (Freudenthal Instituut, JCU) voor het lezen van een eerdere versie. Fouten en
onvolkomenheden blijven uiteraard geheel voor de verantwoordelijkheid van de auteur.
De ontwikkeling en het uittesten van het materiaal is mede mogelijk gemaakt door de Hogeschool Utrecht, het Junior College Utrecht (JCU) en het Geometry and Quantum Theory (GQT)
cluster.
Dit werk is gelicenseerd onder een Creative Commons NaamsvermeldingNietCommercieel-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie (2012).
Voorkant: detail van de Atheense School van Rafaël. Het is onduidelijk of de hoofdpersoon
Euclides voorstelt of Archimedes, beiden spelen een belangrijke rol in deze module.
Inhoudsopgave
Inleiding
Constructies
Geschiedenis van constructies met passer en liniaal
Deel 1. Constructies met passer en liniaal
Hoofdstuk 1. Constructies met passer en liniaal
1.1. Spelregels en bewijzen
1.2. Basisconstructies
1.3. Ongeoorloofde en onmogelijke constructies
1.4. Beroemde problemen
Samenvatting H1
Hoofdstuk 2. Van tekenen naar rekenen
2.1. Zijn lengtes van lijnstukken getallen?
2.2. Wat zijn getallen?
2.3. De meetkundige rekenmachine
2.4. Geogebra
Samenvatting H2
1
1
1
5
7
7
10
13
16
23
25
25
27
29
32
36
Hoofdstuk 3. Wat is wel en niet construeerbaar met passer en liniaal
3.1. Snijpunten van lijnen en cirkels
3.2. Lichaamsuitbreidingen
3.3. Verdubbeling van de kubus is niet construeerbaar
Samenvatting H3
37
37
43
47
51
Antwoorden
57
Bijlage A.
Bijlage B.
Antwoorden
Veronderstelde voorkennis van vlakke meetkunde
Een bewijs uit het ongerijmde
53
55
57
Inleiding
Voor je ligt een Wiskunde D module over constructies met passer
en liniaal, origami en meccano. In het eerste deel bekijken we vier
beroemde problemen uit de Griekse Oudheid die gaan over constructies met passer en liniaal. Je zult zien hoe de Grieken hun
uiterste best hebben gedaan om deze problemen op te lossen, maar
het is ze uiteindelijk niet gelukt. Pas 2000 jaar later werd duidelijk
waarom. In het tweede deel zien we dat er meer mogelijk is met
Origami of Meccano als alternatieve constructiemethode. Dit deel
is op het moment nog in ontwikkeling.
Constructies
Heb je je wel eens afgevraagd waarom je wel van een bisectrice hebt gehoord maar nog
nooit van een trisectrice? Of waarom je een regelmatige negenhoek niet kunt construeren met
passer en liniaal, maar wel kunt vouwen met een blaadje papier? Wist je dat Origami wordt
toegepast in de ruimtevaart en de medische wetenschap? En dat het speelgoed Meccano kan
worden gebruikt om een lineaire beweging om te zetten in een cirkelbeweging zoals bij een
stoomlocomotief?
Er zijn talloze hulpmiddelen en gereedschappen om meetkundige figuren te tekenen, elk met
zijn eigen grenzen. Voor een wiskundige is het interessant om het gereedschap te idealiseren, nauwkeurig te omschrijven hoe het gereedschap gebruikt mag worden en vervolgens de
grenzen van dit gebruik op te zoeken. Dat zullen we in deze Module doen voor de constructiegereedschappen Passer en liniaal, Origami en Meccano.
Geschiedenis van constructies met passer en liniaal
Vanaf ongeveer 3000 v. chr. hebben de Babyloniërs en Egyptenaren hun vorderingen in
de wiskunde opgeschreven en doorgegeven aan ons. Voor hen diende wiskunde meestal een
praktisch doel: ze deden berekeningen voor bijvoorbeeld architectuur, landverdeling of het
voorspellen van zonsverduisteringen. Daar kwam verandering in bij de Grieken die rond 400
v.chr. een grote bloeiperiode kenden. Zij dachten na over dingen gewoon omdat ze het interessant vonden en dit noemen we tegenwoordig met een Grieks woord filosofie (filein=houden
van, sofia=kennis). De opbloei van (wiskundige) kennis, logisch nadenken en de Griekse
cultuur gingen hand in hand. De filosoof Plato had niet voor niets boven de ingang van zijn
Academie een inscriptie laten plaatsen
AGEWMETRHTOS MHDEIS EISITO
Laat geen meetkundig ongeschoolde hier ooit binnentreden
1
Je zult deze tekst tegenwoordig weliswaar niet boven een arbeidsbureau zien hangen, maar
toch vinden bedrijven het nog steeds belangrijk dat hun werknemers wiskundig geschoold zijn
als bewijs dat ze logisch kunnen nadenken.
De zuiverste vorm van meetkunde was voor de Grieken de meetkunde in het platte vlak,
waarbij alleen gebruik mocht worden gemaakt van passer en liniaal. Een belangrijke stelling
over driehoeken in het vlak is bijvoorbeeld de stelling van Pythagoras: voor een rechthoekige
driehoek met rechthoekszijden van lengte a en b en schuine zijde c geldt
a 2 + b2 = c 2
Het bewijs werd meetkundig geleverd volgens een vast stramien:
P robleem
Constructie
Bewijs
Je construeert dus eerst met behulp van passer en liniaal een rechthoekige driehoek volgens
bepaalde afspraken die uitgebreid aan bod komen in hoofdstuk 1. Vervolgens geef je een
bewijs dat het vierkant met zijde c een even grote oppervlakte heeft als de vierkanten met
zijde a en zijde b bij elkaar opgeteld. Dit stramien was zeer succesvol: we noemen deze
stelling immers nog steeds naar Pythagoras ondanks dat de beste man al meer dan 2000 jaar
dood is.
Het indrukwekkende boek de Elementen van Euclides (ca. 300 v. chr.) bevat vrijwel alle
wiskunde die tot dan toe was gedaan. Euclides schreef hierbij duidelijk alle aannames op
voordat hij iets ging bewijzen. Met een minimum aan aannames (5 postulaten en 5 axioma’s)
werd een maximum aan resultaat geboekt: 176 stellingen over vlakke meetkunde!
Ondanks de indrukwekkende hoeveelheid constructies die de Grieken maakten en de meetkundige stellingen die ze konden bewijzen bleef er een aantal taaie problemen over waarvan
een constructie met passer en liniaal ze ontging. En daar wordt het interessant voor onze
Module: zijn dit de grenzen van de gereedschappen Passer en liniaal?
We introduceren die problemen hier kort:
Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). Kun je een vierkant construeren met dezelfde
oppervlakte als een cirkel met straal 1?
Beroemd probleem 2. Kun je iedere regelmatige veelhoek construeren?
Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Kun je een willekeurige hoek met behulp
van een constructie in drieën delen?
2
Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem – verdubbeling van een kubus). Als een kubus
met zijden van lengte 1 gegeven is, kun je dan een kubus construeren met twee keer zo groot
volume?
Zo dus niet... want nu wordt het volume verachtvoudigd.
Bij dit laatste probleem staan we nog even stil. Volgens de legende1 had de god Apollo
gezorgd voor pestepidemie op het Griekse eiland Delos. Toen de Deliërs naar het orakel
van Delphi gingen om te vragen hoe ze weer van de plaag af konden komen kregen ze te
horen dat ze het altaar van Apollo op Delos moesten verdubbelen. De Delische beeldhouwers
verdubbelden de zijden van het altaar, maar de pest ging niet over. Ten einde raad wendden
ze zich tot Plato’s Academie. Daar kregen ze te horen dat het eigenlijke probleem was om het
altaar te verdubbelen in volume en dat de Delische geleerden dus op zoek moesten gaan naar
een constructie van een zijde met de juiste lengte. Volgens Plato was het een terechtwijzing
van de god Apollo: de Grieken moesten minder aandacht besteden aan ruzie maken en oorlog
voeren, en meer aan de wetenschap.
Sindsdien heet dit ook wel het Delische probleem. De Grieken schijnen zich goed te hebben
beseft dat het eigenlijk een probleem van de ruimtemeetkunde is, niet van de vlakke meetkunde.
Ze konden het probleem wel degelijk oplossen met behulp van ruimtemeetkunde of andere
instrumenten dan passer en liniaal, de wiskundige en geschiedschrijver Thomas Heath noemt
zelfs 9 oplossingen in zijn History of Greek Mathematics, maar geen van allen gebruikten
alleen maar passer en liniaal. De constructie van Archimedes bijvoorbeeld gebruikt een liniaal
met streepjes (opgave 25), en die van Menaechmus gebruikt parabolen (opgave 43). Deze
constructies zijn dan ook niet opgenomen in de Elementen van Euclides. Na de inspanningen
van de Grieken bleef de vraag dus overeind: zijn de vier beroemde problemen te construeren
met passer en liniaal?
Na de middeleeuwen werd deze vraag opgepikt door veel vooraanstaande wetenschappers
zoals Descartes, Newton en Gauss. Maar hoewel Gauss bijna kon bewijzen welke regelmatige
veelhoeken kunnen worden geconstrueerd is het de weinig bekende Fransman Pierre Laurent
Wantzel geweest die in 1837 problemen 2, 3 en 4 volledig heeft opgelost. Voordat het zover was
zijn er dus meer dan 2000 jaar overheen gegaan, is er een moord gepleegd (op Archimedes),
is er een wiskundige aan ziekte en armoede gestorven (Niels Abel), een ander is in een
pistoolduel omgekomen (Évariste Galois) en Wantzel zelf is niet beroemd geworden maar in
de vergetelheid geraakt en heeft zich doodgewerkt onder de invloed van opium. Maar daarover
meer in de volgende hoofdstukken...
1Vrij geciteerd uit De E apud Delphos van de Griekse geschiedschrijver Plutarchos, 1e eeuw n.chr.
3
Deel 1
Constructies met passer en liniaal
HOOFDSTUK 1
Constructies met passer en liniaal
Dit hoofdstuk gaat over het construeren van punten, lijnen en cirkels in het platte vlak met
behulp van passer en liniaal. Typische vragen die we ons daarbij stellen zijn: kunnen we
een gelijkzijdige driehoek construeren? En een regelmatige vijfhoek? Kunnen we een hoek in
tweeën delen? En in drieën? Kunnen we een vierkant construeren met dezelfde oppervlakte
als een gegeven cirkel?
Om antwoorden te geven op deze vragen moeten we heel precies omschrijven wat we eigenlijk bedoelen met construeren. Hierbij volgen we ongeveer de spelregels zoals de Griekse
wiskundige Euclides ze opschreef rond 300 v. chr. in zijn beroemde boek de Elementen. De
regels van Euclides zijn niet zaligmakend: het is goed mogelijk om een andere verzameling
spelregels te verzinnen waarmee je vergelijkbare constructies kunt maken. In deel 2 zullen we
onderzoeken wat je allemaal kunt doen met origami en meccano.
Als de spelregels eenmaal zijn vastgelegd kunnen we onderzoeken wat mogelijk en vooral ook
onmogelijk is met passer en liniaal. Daarbij stuiten we uiteindelijk op een aantal klassieke
problemen uit de Griekse Oudheid. Ten slotte nemen we nog een loopje met de spelregels:
door vals te spelen kunnen sommige constructies plotseling wél worden gemaakt!
1.1. Spelregels en bewijzen
In dit hoofdstuk bekijken we de vlakke meetkunde van punten, lijnen en cirkels. Het boek de
Elementen van Euclides van omstreeks 300 v.chr. gaat hierover en geldt al eeuwenlang als
een blauwdruk voor een wiskundige tekst omdat het duidelijk onderscheid maakt tussen de
volgende aspecten van wiskunde:
Aannames – Logische regels – Stellingen – Bewijzen
Euclides begint met 23 definities waarin hij uitlegt wat meetkundige begrippen zoals punt,
lijn, driehoek, cirkel etcetera betekenen. Dan volgen 5 postulaten, waarin aannames worden
gedaan over relaties tussen deze begrippen:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Er gaat één lijnstuk door twee gegeven punten.
Een lijnstuk kan in beide richtingen worden verlengd tot een rechte lijn.
Er is één cirkel met gegeven middelpunt en gegeven straal.
Alle rechte hoeken zijn gelijk.
Stel dat twee lijnen worden gesneden door een derde. De twee lijnen snijden elkaar
alleen als de kleinste hoeken die ze maken met de derde lijn samen kleiner zijn dan
twee rechte hoeken.
De eerste drie postulaten gaan over toegestane meetkundige constructies, de laatste twee
kunnen worden gebruikt om te bewijzen dat die constructies voldoen aan bepaalde eigenschappen. Omdat Euclides zo duidelijk maakt wat zijn aannames zijn, kun je onderzoeken wat
er gebeurt als je een aanname verandert. Vooral over het vijfde postulaat (het parallellenpostulaat) is in de loop der eeuwen veel discussie ontstaan en het is inderdaad mogelijk gebleken
7
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
om zonder dit postulaat een consistente theorie op te bouwen: de niet-Euclidische meetkunde.
Een voorbeeld hiervan is meetkunde op een boloppervlak, waarin twee evenwijdige lijnen elkaar inderdaad kunnen snijden, denk maar aan de meridianen op het aardoppervlak die elkaar
snijden in de noord- en zuidpool.
De opbouw van de Elementen is weliswaar lovenswaardig, maar er is nog wel het één en
ander op af te dingen1. We kijken nog eens kritisch naar de eerste drie postulaten en we
merken op dat ze niet helemaal volledig zijn: hoe construeren we bijvoorbeeld nieuwe punten?
Euclides zwijgt daarover in zijn postulaten, maar in de tekst worden wel degelijk nieuwe
punten geconstrueerd. We vullen daarom de eerste drie postulaten aan tot een verzameling
spelregels die wij zullen hanteren bij het construeren:
Spelregels voor constructie met passer en liniaal
Constructie van nieuwe lijnen en cirkels:
PL1. Een lijn door twee gegeven punten.
PL2. Een cirkel door een gegeven punt met
een ander gegeven punt als middelpunt.
Constructie van nieuwe punten:
PL3. Een willekeurig punt in het vlak
(geen bijzondere eigenschappen)
PL4. Snijpunt van twee lijnen.
PL5. Snijpunt(en) van een lijn en een cirkel.
PL6. Snijpunt(en) van twee cirkels.
1Er is vanuit modern wiskundige oogpunt nog wel meer af te dingen op de Elementen dan wat we hier
vermelden, en daarom heeft David Hilbert in 1899 een verbeterd stelsel voorgesteld met daarin 21 aannames.
8
Als het goed is ken je nog een aantal constructies uit de onderbouw, zoals bijvoorbeeld de
bissectrice van een hoek en de middelloodlijn van een lijnstuk.
1a Opgave
Maak een lijstje van constructies die je al eens hebt gezien en probeer ze weer uit te voeren.
1b Opgave
Bedenk tenminste drie constructies in het platte vlak die je nooit hebt gezien maar waarvan
je denkt dat ze uitvoerbaar zijn.
We komen later nog op deze lijstjes terug.
1.1.1. Wat bedoelt Euclides met een bewijs?
Normaal gesproken loopt een wiskundig bewijs als volgt:
Stelling
aannames+logica
! Bewijs
Euclides vond het echter belangrijk dat een meetkundige stelling niet alleen voorstelbaar is,
maar ook construeerbaar op basis van de spelregels. Hij hanteerde daarom het volgende
stramien
Stelling
spelregels
! Constructie
aannames+logica
! Bewijs
Later zullen we zien dat bijvoorbeeld een regelmatige zevenhoek niet construeerbaar is en
Euclides zwijgt dan ook in alle toonaarden over zo’n figuur, terwijl we geen enkele moeite
hebben om ons een regelmatige zevenhoek voor te stellen.
Laten we eens kijken hoe Euclides zijn eerste stelling uit de Elementen bewijst:
Er bestaat een gelijkzijdige driehoek
ABC met een gegeven lijnstuk AB als zijde.
2a Opgave (eerste stelling uit de Elementen)
Construeer volgens de bovenstaande spelregels de gevraagde gelijkzijdige driehoek
Schrijf bij elke stap op welke spelregel van PL1 t/m PL6 het is.
2b Opgave
Bewijs dat de driehoek die je hebt geconstrueerd inderdaad gelijkzijdig is.
ABC.
Het is dus mogelijk om een gelijkzijdige driehoek te construeren vanuit een gegeven zijde.
3a Opgave (tweede stelling uit de Elementen)
In de figuur hiernaast staat een constructie afgebeeld.
Lijnstuk P Q en punt R zijn gegeven, lijnstuk RS is het eindresultaat.
Zijn de lengtes |P Q| en |RS| gelijk?
Wat denk je dat het doel is van de constructie?
3b Opgave
Schrijf een stappenplan, waarbij de deelconstructie van opgave 2
één stap is.
3c Opgave
Bewijs dat het doel van de constructie inderdaad wordt bereikt.
9
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.1.2. De rol van de passer en de liniaal
Euclides noemt nergens de woorden “passer” en “liniaal". Toch is het uit zijn tekst duidelijk
dat hij grote waarde hecht aan constructies, en dat daarbij alleen specifieke gereedschappen
op een bepaalde manier mogen worden gebruikt. Je bent zelf bijvoorbeeld gewend te werken
met een geodriehoek. Daarmee kun je zowel afstanden als hoeken opmeten, wat heel handig
kan zijn bij het construeren. Als je bijvoorbeeld een hoek in tweeën moet delen, dan meet je
de hoek op en je deelt dit getal door twee. De Grieken vonden dit niet zuiver: de meting is
nooit precies en dus ‘aards’.
Liniaal
Passer
Een liniaal bevat geen markeringen en mag alleen worden gebruikt om
reeds geconstrueerde punten te verbinden.
De passer mag alleen worden gebruikt om cirkels te construeren met een
reeds geconstrueerd middelpunt en randpunt. Moderne passers hebben
een radartje waarmee je de benen vast kunt zetten. Op die manier kun
je de afstand tussen twee punten P en Q “meten” met je passer en vervolgens de passerpunt ergens anders neerzetten. Volgens de spelregels
hierboven mag dit niet zomaar! Uit de vorige opgave volgt echter dat het
toch mogelijk is om net te doen of je een moderne passer hebt.
Op het ongeoorloofd gebruik van de passer en liniaal (valsspelen dus) komen we terug in
paragraaf 1.3.
1.2. Basisconstructies
In deze paragraaf proberen we structuur aan te brengen in het denken over constructies. We
bekijken een aantal basisconstructies: niet al te ingewikkelde constructies die vaak van pas
komen als bouwsteen in grotere constructies. De constructie van een gelijkzijdige driehoek in
opgave 2 kwam bijvoorbeeld meteen van pas in opgave 3. Eerst even opwarmen:
4 Opgave
Geef een samengestelde constructie die uiteenvalt in basisconstructies. Gebruik als inspiratie
de lijstjes die je hebt gemaakt in opgave 1. Je hoeft niet te beschrijven hoe de basisconstructies
moeten worden uitgevoerd, je kunt deze behandelen als “black box”.
5a Opgave
Met het aantal stappen van een constructie bedoelen we het aantal keren dat PL1 of PL2
wordt gebruikt. Geef een constructie waarmee het midden van een lijnstuk wordt bepaald (3
stappen).
5b Opgave
Gegeven is een lijn m en een punt P dat niet op m ligt. Geef een constructie voor de loodlijn
op m die door P gaat (het kan in 3 stappen).
5c Opgave
Gegeven is een lijn m met daarop een punt P . Geef een constructie voor de loodlijn op m die
door P gaat (het kan in 3 stappen).
10
B1
T���� �. Basisconstructies
Het midden van lijnstuk AB.
B2
De loodlijn van AB door punt C.
Punt C ligt niet op AB.
B3
...
B4
De combinatie van I en III. Hoe
heet dit?
B5
De lijn door C evenwijdig aan AB.
B6
De bissectrice: lijn die de hoek
\CAB door midden deelt.
B7
...
...
...
...
In tabel 1 staat een lijst van basisconstructies met de opdracht aan de lezer om deze aan te
vullen, de details van de constructies te geven en te bewijzen dat ze voldoen aan de gevraagde
eigenschappen.
6 Opgave
Vul tabel 1 aan en bewijs dat de constructies doen wat ze moeten doen.
11
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
Beschrijf van de volgende constructies welke basisconstructie van pas komt:
7a Opgave
Het snijpunt van de drie zwaartelijnen van een driehoek.
7b Opgave
Het snijpunt van de drie hoogtelijnen van een driehoek.
7c Opgave
Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een driehoek.
7d Opgave
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek.
8 Opgave
Gegeven zijn punten M en N en de cirkel met middelpunt M en randpunt N . Construeer de
gelijkzijdige driehoek N P Q waarbij P en Q op de cirkel liggen.
Hint: Begin met het construeren van een regelmatige zeshoek.
9 Opgave
Zijn er constructies in opgave 1b) die je inmiddels met passer en liniaal kunt maken?
De volgende constructies zijn goede oefeningen en hebben iets te maken met de beroemde
problemen uit de Griekse Oudheid. Geef bij iedere constructie nieuwe punten een naam (in
hoofdletters) en nieuwe lijnen en cirkels een naam (in kleine letters). Schrijf nummertjes in
je tekening om aan te geven wat de volgorde is en beschrijf bij ieder nummer kort welke
basisconstructie het is.
10a Opgave (Verdubbeling van een vierkant)
Gegeven is een vierkant ABCD waarvan de zijde 1cm lang is. Construeer een vierkant met
oppervlakte 2cm2 .
10b Opgave
Gegeven is een vierkant ABCD. Construeer een vierkant waarvan de oppervlakte twee keer
zo groot is.
11 Opgave (Kwadratuur van een rechthoek)
Gegeven is een rechthoek ABCD. Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte.
Hint: Introduceer getallen a = |AB| en b = |BC|.pDe oppervlakte van de rechthoek is dus
gelijk aan ab en we zoeken een vierkant met zijde ab. Ga na dat
ab =
✓
a+b
2
◆2
12
✓
a
b
2
◆2
Als we dit lezen met een “Pythagorasbril” op, dan staat hier dat een rechthoekige driehoek
p
a b
met schuine zijde a+b
ab.
2 en rechte zijde 2 een tweede rechte zijde heeft met lengte
Construeer zo’n rechthoekige driehoek.
12a Opgave (Kwadratuur van een veelhoek)
Gegeven is 4ABC. Construeer een vierkant met dezelfde oppervlakte. Geef hierbij nauwkeurig aan welke constructies van de voorgaande opgaven je hebt gebruikt.
Hint: Probeer dit probleem te reduceren tot de kwadratuur van een rechthoek.
12b Opgave
Gegeven is een regelmatige veelhoek. Laat zien dat je een vierkant kunt construeren met
dezelfde oppervlakte.
Hint: Probeer dit probleem te reduceren tot de kwadratuur van driehoeken en rechthoeken.
13 Opgave (Regelmatige veelhoeken)
Je kleine zusje krijgt voor school de opdracht om op een lege wijzerplaat de uren van de klok
aan te geven. Je besluit haar aan een tien te helpen door met behulp van passer en liniaal
de streepjes op de juiste plek te zetten.
Hint: begin met een gelijkzijdige zeshoek (zie opgave 8) en gebruik bissectrices.
Er is ook een andere aanpak mogelijk om de uren op de wijzerplaat van een klok te construeren:
de constructie van een regelmatige 12-hoek vanuit een regelmatige driehoek en vierhoek.
Daarover gaat de volgende opgave.
14a Opgave (Regelmatige veelhoeken)
Gegeven is een cirkel met daarin een gelijkzijdige 4P0 P1 P2
en vierkant ⇤Q0 Q1 Q2 Q3 met één gemeenschappelijk punt
e
P0 = Q0 . De hoekpunten Pi liggen op 3i deel van de cirkel,
e
de hoekpunten Qj liggen op 4j deel. Leg uit dat P1 Q1 gelijk
1 e
is aan 12
deel van de cirkel en dus de zijde is van een
regelmatige twaalfhoek.
14b Opgave
Je zou het vermoeden kunnen krijgen dat met behulp van een regelmatige m-hoek en n-hoek
een regelmatige m · n-hoek kan worden geconstrueerd.
Leg uit dat dit vermoeden waar is voor een regelmatige vijftienhoek.
14c Opgave
Start met een vierkant en een regelmatige achthoek met wederom P0 = Q0 .
Leg uit dat je zo geen regelmatige 32-hoek kunt construeren.
14d Opgave
Probeer te ontdekken waaraan m en n moeten voldoen zodat het vermoeden wél waar is
(schrijf duidelijk je vermoeden op en controleer het voor een aantal gevallen. Een bewijs
wordt niet gevraagd maar levert wel bonuspunten op).
1.3. Ongeoorloofde en onmogelijke constructies
Het is natuurlijk leuk om te zien dat je met de basisconstructies in de hand een aantal
ingewikkelde constructies kunt uitvoeren. Interessanter zijn echter de constructies die je (nog)
niet kunt maken! In deze paragraaf bekijken we niet wat de mogelijkheden zijn, maar juist
wat de onmogelijkheden zijn. We lopen tegen de beperkingen van de spelregels op, enerzijds
omdat sommige constructies met cirkels en lijnen niet zijn toegestaan en anderzijds omdat we
alleen mogen werken met lijnen en cirkels en niet met bijvoorbeeld parabolen, hyperbolen of
andere figuren.
13
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.3.1. Ongeoorloofde constructies met lijnen en cirkels
Er zijn constructies met lijnen en cirkels die je volgens de spelregels niet zomaar mag uitvoeren
terwijl ze in de praktijk geen probleem opleveren. Als er een cirkel en een punt buiten de
cirkel gegeven is kun je bijvoorbeeld een lijn tekenen die raakt aan de cirkel en door het punt
gaat (er zijn zelfs twee van deze lijnen). Volgens de spelregels is dit niet zomaar toegestaan.
Is er een manier om deze constructie toch te maken op een legale manier?
15 Opgave
Probeer zo precies mogelijk uit te leggen waarom het tekenen van een raaklijn aan een cirkel
niet aan de spelregels PL1 t/m PL6 voldoet.
Gelukkig bestaat er wél een eerlijke constructie van een raaklijn aan een cirkel.
16a Opgave
Gegeven is een cirkel c met middelpunt M en randpunt S.
Bewijs dat de lijn door S loodrecht op lijnstuk M S maar één snijpunt heeft met c. De raaklijn
aan c door S staat dus loodrecht op de straal.
Hint: Een tweede snijpunt S 0 zou leiden tot een onmogelijke driehoek 4SM S 0 .
De stelling van Thales luidt: een driehoek ingeschreven in een cirkel, waarbij één van de
zijden een middellijn is van de cirkel, is altijd een rechthoekige driehoek.
16b Opgave
Gegeven is een punt P buiten de cirkel c. Construeer een nieuwe cirkel met middellijn M P
en noem de snijpunten met c respectievelijk S1 en S2 . Leg met behulp van de stelling van
Thales en onderdeel a) uit waarom de lijnen P S1 en P S2 raken aan de cirkel.
16c Opgave
Wat gebeurt er als het punt P op de cirkel ligt? En als het er binnen ligt?
17 Opgave
Van twee gegeven cirkels (niet even groot, niet snijdend of rakend) kun je eenvoudig de vier
gemeenschappelijke raaklijnen tekenen. Maar kun je ze ook volgens de spelregels construeren?
Probeer de vorige opgave te gebruiken, bijvoorbeeld door beide cirkels te krimpen totdat één
van de cirkels een punt is geworden.
In opgave 25 zien we hoe Archimedes een loopje neemt met de spelregels om een hoek in
drieën te kunnen delen. Ook in die situatie is het lang niet zo duidelijk of er ook een eerlijke
constructie als alternatief bestaat..
1.3.2. Onmogelijke constructies
Je stuit wel eens op een constructie die je niet kunt uitvoeren. Dit kan twee oorzaken hebben:
je bent ofwel niet handig genoeg geweest bij het verzinnen van een mogelijke constructie, of
de constructie is principieel onmogelijk.
14
Soms is het meteen duidelijk dat een constructie onmogelijk is: je kunt met passer en liniaal
nou eenmaal geen ellips construeren. Een interessante vraag is of er ook constructies bestaan
die onuitvoerbaar zijn, maar waarvan je dat niet meteen kunt zien. En of je van een onuitvoerbare constructie kunt bewijzen dat dat zo is. Als wiskundigen lange tijd een constructie
niet hebben kunnen maken dan bewijst dat natuurlijk nog niets, er zijn genoeg wiskundige
stellingen waar pas na eeuwen een bewijs voor is gegeven. Een voorbeeld is de beroemde
laatste stelling van Fermat (1637) die uiteindelijk is bewezen door Andrew Wiles (1994).
Op deze bewijsbare onmogelijkheid komen we terug in latere hoofdstukken. In de volgende
paragraaf bespreken we eerst nog de vier beroemde constructies uit de Griekse Oudheid die
2000 jaar lang onuitgevoerd bleven. Zijn ze misschien onmogelijk?
15
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.4. Beroemde problemen
De Oude Grieken zijn ware passer–en–liniaal kunstenaars geweest. Toch is er een viertal
constructieproblemen dat zelfs hun pet te boven ging:
(1)
(2)
(3)
(4)
De
De
De
De
kwadratuur van een cirkel.
constructie van bepaalde regelmatige veelhoeken.
driedeling van een hoek.
verdubbeling van een kubus.
In de komende paragrafen geven we een beschrijving van deze problemen. De Grieken hebben
ze niet kunnen oplossen met passer en liniaal, hoe goed ze ook zochten naar constructies.
1.4.1. Kwadratuur van de cirkel
De oppervlakte van een cirkel met straal 1 noemen we ⇡, dit is ongeveer 3, 1415. Het getal ⇡
heeft een lange geschiedenis en bijna elke beschaving sinds de Babyloniërs heeft zich ermee
bezig gehouden. Soms werd het erg onnauwkeurig benaderd (de bijbel rekent in 2 Kronieken
4:2 en 1 Koningen 7:23 bijvoorbeeld met ⇡ = 3), maar soms was een benadering opmerkelijk
nauwkeurig. Een erg efficiënte methode was die van Archimedes: hij tekende een regelmatige
veelhoek zowel binnen de cirkel (zie figuur 1) als eromheen en hij bedacht dat de oppervlakte
van de cirkel tussen die van de veelhoeken moest liggen. Door een regelmatige n-hoek te
gebruiken met grote n wordt de benadering nauwkeuriger.
18 Opgave
Bekijk de eenheidscirkel en bereken de oppervlakte van een ingeschreven en omgeschreven
zeshoek, zie figuur 1. Net als Archimedes mag je daarbij de volgende ongelijkheid gebruiken
265 p
1351
< 3<
153
780
De methode van Archimedes roept een aantal vragen op:
(1) Hoe construeerde hij een regelmatige veelhoek?
(2) Hoe berekende hij de oppervlakte van een regelmatige veelhoek?
In een gegeven cirkel is een regelmatige zeshoek construeerbaar, bijvoorbeeld door alle gelijkzijdige driehoeken in figuur 1 te construeren (zie ook opgave 13). Welke veelhoeken wel
en niet construeerbaar zijn is het volgende beroemde probleem, we richten ons daarom op de
tweede vraag. De oppervlakte van een regelmatige veelhoek is te reduceren tot een som van
oppervlakten van driehoeken door vanuit het middelpunt lijnen te trekken naar de hoekpunten,
zoals gedaan is in figuur 1. Op basis van opgave 12 kun je hier rechthoeken van maken, die je
ook nog eens aan elkaar kunt plakken tot één grote rechthoek. De methode van Archimedes
geeft dus een benadering van de oppervlakte van de cirkel in termen van de oppervlakten van
een rechthoek.
Dit leidt tot de essentie van de kwadratuur van de cirkel: kan de ware oppervlakte van een
gekromd object als de cirkel evenals zijn benaderingen worden uitgedrukt in termen van de
oppervlakte van een rechthoek? Of, omdat er ook een vierkant te construeren is met dezelfde
oppervlakte als een rechthoek (opgave 11): bestaat er een vierkant met dezelfde oppervlakte
als de cirkel met straal 1?
Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel).
Gegeven is een cirkel met straal 1. Kun je een vierkant met dezelfde oppervlakte construeren?
16
F����� �. Een ingeschreven en omgeschreven regelmatige zeshoek voor een
cirkel met straal 1.
Uiteindelijk tekende Archimedes ingeschreven en omgeschreven 96-hoeken (construeerbaar:
deel de hoeken van een gelijkzijdige driehoek vijf keer in tweeën) en kwam2 tot de benadering
1
3 10
71 < ⇡ < 3 7
die tot op twee decimalen nauwkeurig is. Archimedes erkende dat zijn methode de kwadratuur
van de cirkel niet oplost: de veelhoeken blijven benaderingen voor de oppervlakte van de
cirkel.
Voor een echte kwadratuur van de cirkel is de constructie van een lijnstuk met lengte
p
⇡ vereist.
2In de berekening gebruikt Archimedes allerlei afschattingen voor wortels die hij niet uitlegt, zoals de afp
schattingen voor 3. Zie bijvoorbeeld de website van Dick Klingens http://www.pandd.demon.nl/piarchi.htm voor
de hele berekening.
17
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.4.2. De constructie van regelmatige veelhoeken.
We zagen dat Archimedes voor zijn benadering van ⇡ ingeschreven en omgeschreven regelmatige veelhoeken gebruikte. In opgaven 2, 8 en 10 heb je regelmatige veelhoeken geconstrueerd
met passer en liniaal, bijvoorbeeld een driehoek, vierkant en zeshoek. We gaan nu in stappen
de nog ontbrekende regelmatige vijfhoek bekijken.
F����� �. Een springende kangoeroe
19a Opgave (Constructie van een regelmatige vijfhoek)
Gegeven zijn twee halve lijnen die met elkaar een hoek a maken in het punt A. Een kangoeroe
maakt telkens even grote sprongen van de ene lijn naar de andere, indien mogelijk naar een
ander punt dan waar hij net vandaan kwam, zie figuur 2.
Druk de hoeken \a1 , \a2 enz. uit in \a (gebruik eventueel de stelling van de buitenhoek).
19b Opgave
Leg uit: als \a = 36 , dan is 4A2 A3 A gelijkbenig met tophoek \a. Schets deze situatie.
19c Opgave
Leg uit: als \a = 36 , dan kunnen A, A2 en A3 worden gebruikt om een regelmatige tienhoek
te construeren binnen de cirkel met middelpunt A en straal |A2 A|.
19d Opgave
Als \a = 36 en |A2 A| = 1, hoe groot is dan |A1 A|? Is deze lengte construeerbaar?
Hint: zoek gelijkvormige driehoeken en gebruik verhoudingen tussen lengtes van zijden om
een vergelijking te vinden waaraan x = |A1 A| moet voldoen.
19e Opgave
Construeer een regelmatige vijfhoek in een cirkel met straal 1.
Vrije interepretatie van de kangoeroewedstrijd wizPROF 2010, opgave 25.
De Grieken konden dus een regelmatige drie-, vier-, vijf- en zeshoek construeren. Dit roept
de vraag op of het mogelijk is om elke regelmatige veelhoek te construeren.
Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken).
Is het mogelijk om elke regelmatige veelhoek te construeren?
18
F����� �. Het standbeeld van Gauss in Braunschweig
20 Opgave
De Grieken zijn niet verder gekomen dan de drie-, vier-, vijf- en zeshoek en de veelhoeken
die je hieruit kunt construeren door hoeken in tweeën te delen. Maak een lijstje van de
regelmatige veelhoeken die de Grieken konden construeren. Waar zitten de gaten?
Pas toen de wiskundige Carl Friedrich Gauss zich er rond 1800 mee ging bemoeien werd
dit probleem volledig opgelost: hij gaf een beschrijving van de veelhoeken die wel en niet
kunnen worden geconstrueerd. Hij heeft bijvoorbeeld op 18-jarige leeftijd een regelmatige
17-hoek geconstrueerd en hierop was hij zo trots dat hij besloot wiskunde te gaan studeren
(en geen taalkunde). In het volgende hoofdstuk treed je in zijn voetsporen door zelf in het
computerprogramma geogebra een regelmatige zeventienhoek te construeren. In zijn geboorteplaats Braunschweig staat een standbeeld van Gauss met een sokkel in de vorm van een
zeventienpuntige ster.
De constructie van regelmatige veelhoeken is gerelateerd aan het delen van hoeken, zoals
blijkt uit de volgende opgaven.
21 Opgave
Leg uit: als je een willekeurige hoek in n gelijke hoeken kunt verdelen, dan is iedere regelmatige n-hoek construeerbaar.
De vraag of we hoeken in n gelijke stukken kunnen delen is dus algemener dan de vraag of
we een regelmatige n-hoek kunnen construeren.
22 Opgave
Als we hoeken in drieën kunnen delen, hoe verwacht je dat het lijstje van opgave 20 dan
verandert?
19
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.4.3. Driedeling van een hoek
Via de basisconstructies kunnen we inmiddels lijnstukken en hoeken in tweeën delen. Door
deze weer in tweeën te delen, en deze weer in tweeën, enzovoorts kunnen we dus ieder lijnstuk
en iedere hoek verdelen in 2k gelijke delen voor iedere k. Zouden we nu ook een lijnstuk of
een hoek in drieën kunnen delen?
Stelling: Met passer en liniaal kan een lijnstuk in een willekeurig aantal gelijke stukken
worden verdeeld.
B����. We leggen eerst uit hoe een lijnstuk in drieën kan worden gedeeld, zie figuur 4.
Kies twee willekeurige punten A, B op de lijn en een punt C1 dat niet op de lijn ligt. Verleng
het lijnstuk AC1 twee keer en noem de tussenliggende punten C2 en C3 . We krijgen dus
|AC1 | = |C1 C2 | = |C2 C3 |. Teken nu de lijnen door C1 en C2 die evenwijdig zijn aan BC3 .
De snijpunten D1 , D2 met AB delen dit lijnstuk op in 3 gelijke delen omdat de driehoeken
ABC3 , AD2 C2 en AD1 C1 allen gelijkvormig zijn. In figuur 4 staat dit bewijs geïllustreerd. Het
opdelen in meer gelijke stukken gaat analoog, door het lijnstuk AC1 vaker te verlengen. ⇤
Het teken ⇤ geeft aan dat het bewijs hier eindigt.
F����� �. De driedeling van een lijnstuk gebruiken voor de driedeling van een hoek?
De driedeling (trisectie) van een hoek is een ander verhaal. De Grieken hadden hier grote
moeite mee. Zijn wij slimmer dan de Grieken?
23 Opgave
Bekijk een driehoek 4ABC. Verdeel zijde BC in drie gelijke delen. Kun je dit gebruiken om
de hoek \CAB in drieën te delen (zie figuur 4)? Zo ja, geef een bewijs. Zo nee, geef een
tegenvoorbeeld.
Dit is dus geen goede algemene strategie. Nu proberen we een bijzonder geval.
24 Opgave
Verzin een constructie om een hoek van 90 oftewel ⇡2 in drieën te delen.
Hint: Welke regelmatige veelhoek hoort bij een hoek van 30 ?
Het is dus in ieder geval mogelijk om sommige hoeken met passer en liniaal in drieën te
delen. Archimedes (ja, dezelfde van de kwadratuur van de cirkel) heeft een manier bedacht
om alle hoeken in drieën te delen. Voor de constructie van de regelmatige vijfhoek maakten
we in opgave 19 gebruik van figuur 2 waarbij \a = 36 . Voor de driedeling van Archimedes
gebruiken we geen specifieke waarde. In figuur 5 is de volgorde van tekenen anders dan in
figuur 2: Archimedes start met de punten B, C en D en tekent daarna E en A.
20
F����� �. Driedeling van een hoek volgens Archimedes
25a Opgave (De constructie van Archimedes)
Leg uit dat \A en driedeler is van \DBC (zie ook opgave 19).
25b Opgave
Leg uit A dat de tekening van Archimedes geen geldige constructie is met passer en liniaal.
Welke stap voldoet niet aan de regels PL1 t/m PL6?
De Grieken konden dus wel degelijk alle hoeken in drieën delen, maar ze maakten daarbij
gebruik van extra hulpmiddelen naast de gewone passer en liniaal zoals de neusis (Grieks:
⌫" ◆&). Dit is een liniaal waarop je streepjes mag zetten (zoals op je geodriehoek) en die je
mag schuiven zodat je één streepje op een gegeven lijn mag zetten en een ander streepje op
een andere gegeven lijn of een cirkel.
Ruim 2000 jaar lang bleef het onbekend of een hoek in drieën kan worden gedeeld. Het is
ons derde beroemde passer–en–liniaal probleem.
Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek).
Kun je een willekeurige hoek met passer en liniaal in drieën delen?
Archimedes van Syracuse (287 - 212 v.Chr.) was een Grieks
wiskundige, natuurkundige, ingenieur, uitvinder en sterrenkundige. In opdracht van de koning moest hij een kroon testen op het goudgehalte zonder deze kapot te maken. Hij zat
in bad na te denken, ontdekte in een flits de wet van de opwaartse kracht, sprong uit bad en rende naakt door de straten
van Syrakuse. Hij schreeuwde: ·urhka (eureka) – ik heb het
gevonden! Hier zie je Archimedes afgebeeld op de Fields
Medaille, de “Nobelprijs” voor de wiskunde.
21
Hoofdstuk 1 Constructies met passer en liniaal
1.4.4. Verdubbeling van een kubus
Het laatste beroemde probleem is al uitegebreid aan bod gekomen in de inleiding via een
legende die ermee samenhangt. In opgave 10 heb je de oppervlakte van een vierkant verdubbeld. Als het oorspronkelijke vierkant zijden met lengte p
1 heeft, dan heeft volgens de stelling
van Pythagoras het nieuwe vierkant zijden met lengte 2. Nu moeten we een soortgelijke
constructie maken voor een kubus:
Beroemd probleem 4 (HetpDelische probleem – verdubbeling van een kubus).
Is een lijnstuk met lengte 3 2 construeerbaar?
22
Samenvatting H1
Dit hoofdstuk ging over vlakke meetkunde met passer en liniaal, gebaseerd op het boek de
Elementen van Euclides. In dit boek doet hij meetkunde volgens het paradigma
Aannames – Logische regels – Stellingen – Constructies – Bewijzen
Wij richten ons in deze module vooral op de constructies. Daarin mag alleen gebruik worden
gemaakt van een passer en liniaal volgens de spelregels PL1 t/m PL6.
Passer
Met de passer mag je bovendien nog een geconstrueerd lijnstuk opmeten en ergens anders
een cirkel met deze straal maken.
Liniaal
De liniaal heeft geen streepjes, en je mag er niet mee schuiven om bijvoorbeeld raaklijnen te
vinden.
Eerder gemaakte constructies dienen als bouwstenen voor nieuwe constructies, bijvoorbeeld
de veel gebruikte basisconstructies B1 t/m B6.
Spelregels voor constructie met passer en liniaal
PL1.
PL2.
PL3.
PL4.
PL5.
PL6.
Basisconstructies
Lijn door twee gegeven punten.
Cirkel met gegeven middelpunt en randpunt.
Willekeurig punt in het vlak
Snijpunt van twee lijnen.
Snijpunt(en) van lijn en cirkel.
Snijpunt(en) van twee cirkels.
B1
B2
B3
B4
B5
B6
Midden van lijnstuk.
Loodlijn op lijn door punt dat niet op lijn ligt.
Loodlijn op lijn door punt dat wel op lijn ligt.
Middelloodlijn van lijnstuk.
Lijn door punt evenwijdig aan gegeven lijn.
Bissectrice van twee gegeven lijnen.
Een paar beroemde constructieproblemen bleven eeuwen lang onopgelost:
Kwadratuur van de cirkel:
Kun je een vierkant construeren met dezelfde oppervlakte als
een cirkel met straal 1?
Driedeling van een hoek:
Kun je een willekeurige hoek met behulp van een constructie
in drieën delen?
Regelmatige veelhoeken:
Het Delische probleem:
(verdubbeling van een kubus)
Kun je iedere regelmatige veelhoek construeren?
Als een kubus met zijden van lengte 1 gegeven is, kun je dan
een kubus construeren met twee keer zo groot volume?
Een aantal constructies bleken uitvoerbaar met passer en liniaal, bijvoorbeeld:
•
•
•
•
•
De raaklijn aan een cirkel door een punt.
Een vierkant met opp. twee keer zo groot als dat van een gegeven vierkant.
Een vierkant met dezelfde opp. als een driehoek, rechthoek of regelmatige veelhoek.
Het verdelen van een lijnstuk in n gelijke stukken
Een regelmatige driehoek, vierhoek, vijfhoek, zeshoek, achthoek, twaalfhoek.
23