30 Voorbeeld vereenvoudigen breuken

IBB
ribWBK11t
Toegepaste wiskunde
Lesweek 01
Opleiding: Bouwkunde / Civiele
techniek Propadeuse, kernprogramma
2e kwartaal
1
Stelsel Eerstegraadsvergelijking
Het bij elkaar horend aantal eerstegraadsvergelijkingen
waaraan de onbekenden gelijktijdig moeten voldoen,
heet een stelsel van lineaire vergelijkingen (in x en y).
2
Stelsel Eerstegraadsvergelijking

Stelsel lineaire vergelijkingen of
eerstegraadsvergelijkingen
Wordt toegepast voor het bepalen van een
snijpunt van twee elkaar snijdende lijnen.
 Hiervoor twee methoden om tot een oplossing te
komen

Eliminatiemethode
 Substitutiemethode

3
Theorie bij een stelsel van meer dan 2 vergelijkingen

4
Bij gebruik van de eliminatiemethode moet het
stelsel herleid worden tot een stelsel waarin twee
vergelijkingen zitten met twee onbekenden.
Voorbeeld eliminatiemethode#1
 x y 5

2 x  3 y  13
2( x  y)  2 * 5
 x  y  5 *2

 2 x  2 y  10



2 x  3 y  13 * 1
 1 * (2 x  3 y )  1 *13
 2 x  3 y  13
2 x  2 y  10
2 x  6  10
x  2



  y  3
 y3
y  3
5
Grafiek: x + y = 5 & 2x + 3y = 13
6
Voorbeeld eliminatiemethode#2
 t s
  5
 3 5
3s  5t  15
 t s
5t  3s  75
 5t  3s  75
   5 *15


 3 5
*1
3s  5t  15
 5t  3s  15



3
s

5
t

15

7
5t  3s  75
5t  45  75
t 6



 6s  90
 s  15
s  15
Eliminatiemethode

Theorie eliminatiemethode





8
werk breuken weg
pas de volgorde van de termen zo aan dat gelijksoortige
termen onder elkaar staan.
Vermenigvuldig beide regels zodanig dat de coefficienten
voor één van de onbekenden hetzelfde en tegengesteld
zijn, zodat na optelling van beide regels de onbekende
geëlimineerd is.
Reken de waarde van de overgebleven onbekende uit.
Substitueer de gevonden waarde in de andere regel en
reken de waarde uit van de andere onbekende.
Grafiek: 1/3S + 1/5T = 5 & 3S – 5T = 15
9
Voorbeeld substitutiemethode
 2a  8b  5

 6a  4b  10
 2a  8b  5 *1
 2a  8b  5
2a  8b  5
b  1,25




 6a  4b  10 * 2
 12a  8b  20
  10a  25
 a  2,5
10
Grafiek: 2a + 8b = -5 & -6a – 4b = -10
11
Substitutiemethode

Theorie substitutiemethode
Gebruik één van de vergelijkingen om de ene
onbekende uit te drukken in de andere.
 Substitueer deze onbekende in de andere
vergelijking en los deze op.
 Bereken met deze oplossing de waarde van de
andere onbekende.

12
Voorbeeld indentiek
6 p  4q  22

 3 p  2q  11
6 p  4q  22 *1
 6 p  4q  22

 Indentiek , p  , q  

 3 p  2q  11 * 2
 6 p  4q  22
13
Grafiek: 6p – 4q = 22 & 3p – 2q = 11
14
Indentiek / afhankelijk
Is een geval waaraan oneindig veel
oplossingen aan voldoen, er is namelijk maar
één vergelijking na substitutie of eliminatie
waarmee twee onbekenden moeten worden
opgelost.
15
Voorbeeld strijdig
 s t 1

 3s  3t  2
 s  t  1 *3
 3s  3t  3
3s  3t  3


 Strijdig ,.0  5

 3s  3t  2 *1
 3s  3t  2
 05
16
Grafiek: s + t = 1 & -3s – 2t = 2
17
Strijdig
Is een geval waarin geen oplossing is waaraan
beide vergelijkingen aan voldoen.
18
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen
Los op:
 abc  7

 2a  b  c  1
 a  b  2c  4

19
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen

Nieuwe vergelijking uit som van eerste en tweede
vergelijking
 abc  7

 2a  b  c  1
 a  b  2c  4

20
 a  b  c  7
2
a

b

c

1

 3a  2c  8
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen

Nieuwe vergelijking uit som van eerste en derde
vergelijking
 abc  7

 2a  b  c  1
 a  b  2c  4

21
 a  b  c  7
a

b

2
c


4

 2a  c  3
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen

Nieuwe vergelijking uit som eerste en tweede
vergelijking
3a  2c  8 *1
3a  2c  8
3a  2c  8
6  2c  8




 2a  c  3 * 2
4a  2c  6
 4a  14
 a2
22
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen

Als laatste de eerste vergelijking weer bij het
stelsel betrekken.
 6  2c  8
c 1


 a  2
 a2
a  b  c  7
b  4


23
Grafiek: 3 vergelijkingen
24
Breuken bewerken


a
b
Doel

25
a = teller, b = noemer
De betreffende breuk te vereenvoudigen.
Rekenregels breuken

Rekenregel 01
a
a a
  

b
b
b

26
(b ≠ 0)
Rekenregels breuken

Rekenregel 02
a pa

b pb

27
(b ≠ 0, p ≠ 0)
Rekenregels breuken

Rekenregel 03
a
c ac
 a 
b
b b
c

28
(b ≠ 0, c ≠ 0)
Voorbeeld vereenvoudigen breuken
x  5x  6
2
x  4x  4
2
x  5x  6
( x  2)( x  3)
x3


2
( x  2)( x  2)
x2
x  4x  4
2
x≠2
29
Voorbeeld vereenvoudigen breuken
x  5x
2
x  25
2
x  5x
x( x  5)
x


2
( x  5)( x  5)
x 5
x  25
2
30
 x≠5
Voorbeeld vereenvoudigen breuken
4
5 2
4
5
5x y z
3 4 4
10 x y z
2
5x y z
5 xy
xy

 2
3 4 4
2
10 x y z
10 z
2z
31
z≠0
Voorbeeld vereenvoudigen breuken
x x y
2
2
x  xy
3
2
2
x x y
x( x  xy
 2
2
2
2
x  xy
x  xy
3
32
2
2
2
2)
x
 x
1
Rekenregels breuken

Rekenkundige bewerking met breuken

33
Om breuken bij elkaar op te tellen of van elkaar af
te trekken, moeten we de breuken eerst
gelijknamig maken.
Rekenregels breuken

Rekenregel 04

Optellen/Aftrekken:
a b ad bc
bc
 

 ad 
c d cd cd
cd

34
(c ≠ 0, d ≠ 0)
Rekenregels breuken

Rekenregel 05

Vermenigvuldigen:
a b ab
 
c d cd

35
(c ≠ 0, d ≠ 0)
Rekenregels breuken

Rekenregel 06

Delen :
a b a d ad
:   
c d c b bc

36
(b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0)
Voorbeeld vereenvoudiging breuken
5
1
5



2
8a 6b 12a b
5 3ab 1 4a 2
5
2 15ab
4a 2
10
*
 * 2
* 



2
2
2
2
8a 3ab 6b 4a 12a b 2 24a b 24a b 24a b
15ab  4a  10
24a 2b
2
37
Voorbeeld vereenvoudiging breuken
3
5
 2

2
x  3x  2 x  4 x  5
3
5
3( x  5)
5( x  2)




( x  1)( x  2) ( x  5)( x  1) ( x  1)( x  2)( x  5) ( x  1)( x  2)( x  5)
3x  15  5 x  10
 2 x  25

( x  1)( x  2)( x  5) ( x  1)( x  2)( x  5)
38
Staartdelingen
Een staartdeling is het vereenvoudigen van
een breuk.
 Breuken met veeltermen kunnen we
aanpakken met een staartdeling
 Bij het ontbinden in factoren van veeltermen

39
Staartdelingen

Opgaande deling


Niet opgaande deling

40
Een deling waarbij de rest gelijk is aan nul.
Een deling waarbij de rest ongelijk is aan nul.
Voorbeeld staartdeling (opgaand)
2 x  5x  7 x  4

x 1
3
2
2 x 3  5x 2  7 x  4
2 x 3  2 x...............
 3x 2  7 x
 3x 2  3x
x 1
2 x 2  3x  4
...................4 x  4
...................4 x  4
....................0
41
2 x 3  5x 2  7 x  4
 2 x 2  3x  4
x 1
Voorbeeld staartdeling (niet opgaand)
 4 x 4  x 3  5 x 2  .............6
 4 x  x  5x  6

2
2x  1
4
3
2
 4 x 4 ........  2 x 2 ..................
2x 2  1
x 3  3x 2 .......
.....x 3  ..........0,5 x
.................  3 x 2  0,5 x  6
..................  3 x 2 .........  1,5
..........................  0,5 x  7,5
 4 x 4  x 3  5x 2  6
 0,5 x  7,5
2
 2 x  0,5 x  1,5 
2
2x  1
2x 2  1
42
 2 x 2  0,5 x  1,5
Theorie staartdelingen





43
Sorteer de veeltermen in teller en noemer naar de hoogste
macht
Gebruik lege ruimten voor niet voorkomende machten.
Bepaal de macht van X waarmee de deler (noemer) moet
worden vermenigvuldigd, zodat de hoogste macht van X van
de teller verdwijnt als we het verschil bepalen.
Bepaal het verschil
Herhaal de stappen 3 en 4 totdat de graad van het verschil
kleiner is dan de graad van de deler. Dit is dan de rest van de
deling.
Hogegraadsveelterm

Theorie voor het ontbinden in factoren
van een hogegraadsveelterm.
Bepaal één of meer nulpunten door uitproberen.
 Breng deze nulpunten onder in factoren
 Spoor de resterende factoren op door middel van
een staartdeling of door verdere ontbinding.

44
Voorbeeld Hogegraadsveelterm

Ontbind in factoren
f ( x)  x  4 x  7 x  10
3


45
2
Een van de nulpunten van f(x) is x = -1
Dus de veelterm bevat de factor (x + 1)
Voorbeeld Hogegraadsveelterm
x 3  4 x 2  7 x  10
x 3  x 2 .................
x 1
3x 2  7 x
3x 2  3x
x 2  3 x  10
.............  10 x  10
............  10 x  10
..............0
x 3  4 x 2  7 x  10  ( x  1)( x 2  3x  10)  ( x  1)( x  5)( x  2)
46
EINDE
Docent: M.J.Roos
WWW.HRO.MROOS.COM
47