Document

IBB
ribwis1
Toegepaste wiskunde
Lesweek 01 – Deel B
Opleiding: Bouwkunde / Civiele
techniek Propadeuse, kernprogramma
2e kwartaal
1
Voorbeeld substitutiemethode
 2a  8b  5

 6a  4b  10
 2a  8b  5 *1
 2a  8b  5
2a  8b  5
b  1,25




 6a  4b  10 * 2
 12a  8b  20
  10a  25
 a  2,5
2
Grafiek: 2a + 8b = -5 & -6a – 4b = -10
3
Substitutiemethode

Theorie substitutiemethode
Gebruik één van de vergelijkingen om de ene
onbekende uit te drukken in de andere.
 Substitueer deze onbekende in de andere
vergelijking en los deze op.
 Bereken met deze oplossing de waarde van de
andere onbekende.

4
Voorbeeld indentiek
6 p  4q  22

 3 p  2q  11
6 p  4q  22 *1
 6 p  4q  22

 Indentiek , p  , q  

 3 p  2q  11 * 2
 6 p  4q  22
5
Grafiek: 6p – 4q = 22 & 3p – 2q = 11
6
Indentiek / afhankelijk
Is een geval waaraan oneindig veel
oplossingen aan voldoen, er is namelijk maar
één vergelijking na substitutie of eliminatie
waarmee twee onbekenden moeten worden
opgelost.
7
Voorbeeld strijdig
 s t 1

 3s  3t  2
 s  t  1 *3
 3s  3t  3
3s  3t  3


 Strijdig ,.0  5

 3s  3t  2 *1
 3s  3t  2
 05
8
Grafiek: s + t = 1 & -3s – 2t = 2
9
Strijdig
Is een geval waarin geen oplossing is waaraan
beide vergelijkingen aan voldoen.
10
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen
Los op:
 abc  7

 2a  b  c  1
 a  b  2c  4

11
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen

Nieuwe vergelijking uit som van eerste en tweede
vergelijking
 abc  7

 2a  b  c  1
 a  b  2c  4

12
 a  b  c  7
2
a

b

c

1

 3a  2c  8
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen

Nieuwe vergelijking uit som van eerste en derde
vergelijking
 abc  7

 2a  b  c  1
 a  b  2c  4

13
 a  b  c  7
a

b

2
c


4

 2a  c  3
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen

Nieuwe vergelijking uit som eerste en tweede
vergelijking
3a  2c  8 *1
3a  2c  8
3a  2c  8
6  2c  8




 2a  c  3 * 2
4a  2c  6
 4a  14
 a2
14
Stelsel van 3 lineaire vergelijkingen

Als laatste de eerste vergelijking weer bij het
stelsel betrekken.
 6  2c  8
c 1


 a  2
 a2
a  b  c  7
b  4


15
Grafiek: 3 vergelijkingen
16
Breuken bewerken


a
b
Doel

17
a = teller, b = noemer
De betreffende breuk te vereenvoudigen.
Rekenregels breuken

Rekenregel 01
a
a a
  

b
b
b

18
(b ≠ 0)
Rekenregels breuken

Rekenregel 02
a pa

b pb

19
(b ≠ 0, p ≠ 0)
Rekenregels breuken

Rekenregel 03
a
c ac
 a 
b
b b
c

20
(b ≠ 0, c ≠ 0)
Voorbeeld vereenvoudigen breuken
x  5x  6
2
x  4x  4
2
x  5x  6
( x  2)( x  3)
x3


2
( x  2)( x  2)
x2
x  4x  4
2
x≠2
21
Voorbeeld vereenvoudigen breuken
x  5x
2
x  25
2
x  5x
x( x  5)
x


2
( x  5)( x  5)
x 5
x  25
2
22
 x≠5
Voorbeeld vereenvoudigen breuken
4
5 2
4
5
5x y z
3 4 4
10 x y z
2
5x y z
5 xy
xy

 2
3 4 4
2
10 x y z
10 z
2z
23
z≠0
Voorbeeld vereenvoudigen breuken
x x y
2
2
x  xy
3
2
2
x x y
x( x  xy
 2
2
2
2
x  xy
x  xy
3
24
2
2
2
2)
x
 x
1
Rekenregels breuken

Rekenkundige bewerking met breuken

25
Om breuken bij elkaar op te tellen of van elkaar af
te trekken, moeten we de breuken eerst
gelijknamig maken.
Rekenregels breuken

Rekenregel 04

Optellen/Aftrekken:
a b ad bc
bc
 

 ad 
c d cd cd
cd

26
(c ≠ 0, d ≠ 0)
Rekenregels breuken

Rekenregel 05

Vermenigvuldigen:
a b ab
 
c d cd

27
(c ≠ 0, d ≠ 0)
Rekenregels breuken

Rekenregel 06

Delen :
a b a d ad
:   
c d c b bc

28
(b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0)
Voorbeeld vereenvoudiging breuken
5
1
5



2
8a 6b 12a b
5 3ab 1 4a 2
5
2 15ab
4a 2
10
*
 * 2
* 



2
2
2
2
8a 3ab 6b 4a 12a b 2 24a b 24a b 24a b
15ab  4a  10
24a 2b
2
29
Voorbeeld vereenvoudiging breuken
3
5
 2

2
x  3x  2 x  4 x  5
3
5
3( x  5)
5( x  2)




( x  1)( x  2) ( x  5)( x  1) ( x  1)( x  2)( x  5) ( x  1)( x  2)( x  5)
3x  15  5 x  10
 2 x  25

( x  1)( x  2)( x  5) ( x  1)( x  2)( x  5)
30
Staartdelingen
Een staartdeling is het vereenvoudigen van
een breuk.
 Breuken met veeltermen kunnen we
aanpakken met een staartdeling
 Bij het ontbinden in factoren van veeltermen

31
Staartdelingen

Opgaande deling


Niet opgaande deling

32
Een deling waarbij de rest gelijk is aan nul.
Een deling waarbij de rest ongelijk is aan nul.
Voorbeeld staartdeling (opgaand)
2 x  5x  7 x  4

x 1
3
2
2 x 3  5x 2  7 x  4
2 x 3  2 x...............
 3x 2  7 x
 3x 2  3x
x 1
2 x 2  3x  4
...................4 x  4
...................4 x  4
....................0
33
2 x 3  5x 2  7 x  4
 2 x 2  3x  4
x 1
Voorbeeld staartdeling (niet opgaand)
 4 x 4  x 3  5 x 2  .............6
 4 x  x  5x  6

2
2x  1
4
3
2
 4 x 4 ........  2 x 2 ..................
2x 2  1
x 3  3x 2 .......
.....x 3  ..........0,5 x
.................  3 x 2  0,5 x  6
..................  3 x 2 .........  1,5
..........................  0,5 x  7,5
 4 x 4  x 3  5x 2  6
 0,5 x  7,5
2
 2 x  0,5 x  1,5 
2
2x  1
2x 2  1
34
 2 x 2  0,5 x  1,5
Theorie staartdelingen





35
Sorteer de veeltermen in teller en noemer naar de hoogste
macht
Gebruik lege ruimten voor niet voorkomende machten.
Bepaal de macht van X waarmee de deler (noemer) moet
worden vermenigvuldigd, zodat de hoogste macht van X van
de teller verdwijnt als we het verschil bepalen.
Bepaal het verschil
Herhaal de stappen 3 en 4 totdat de graad van het verschil
kleiner is dan de graad van de deler. Dit is dan de rest van de
deling.
Hogegraadsveelterm

Theorie voor het ontbinden in factoren
van een hogegraadsveelterm.
Bepaal één of meer nulpunten door uitproberen.
 Breng deze nulpunten onder in factoren
 Spoor de resterende factoren op door middel van
een staartdeling of door verdere ontbinding.

36
Voorbeeld Hogegraadsveelterm

Ontbind in factoren
f ( x)  x  4 x  7 x  10
3


37
2
Een van de nulpunten van f(x) is x = -1
Dus de veelterm bevat de factor (x + 1)
Voorbeeld Hogegraadsveelterm
x 3  4 x 2  7 x  10
x 3  x 2 .................
x 1
3x 2  7 x
3x 2  3x
x 2  3 x  10
.............  10 x  10
............  10 x  10
..............0
x 3  4 x 2  7 x  10  ( x  1)( x 2  3x  10)  ( x  1)( x  5)( x  2)
38
EINDE
Docent: M.J.Roos
WWW.HRO.MROOS.COM
39