Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09
College:
L. Habets
HG 8.09, Tel. 4230, Email: [email protected]
Instructie:
H.A. Wilbrink
HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: [email protected]
http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2WF09
1
Dimensie van L(V, W )
Lemma: Zij V en W vectorruimten over F, met dim(V ) = n. Zij
x1 , . . . , xn een basis van V , en w1 , . . . , wn vectoren in W . Dan
bestaat er een unieke lineaire afbeelding T : V −→ W zó dat
T xi = wi , voor i = 1, . . . , n.
Stelling: Als V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn, dan
is ook L(V, W ) eindig-dimensionaal, en er geldt
dim L(V, W ) = (dim V ) · (dim W ).
2
Gevolg: Zij V en W vectorruimten, en veronderstel dat V
eindig-dimensionaal is. Zij M een lineaire deelruimte van V , en
T0 : M −→ W een lineaire afbeelding van M naar W . Dan kan T0
uitgebreid worden tot een lineaire afbeelding T : V −→ W zó dat
∀x ∈ M : T x = T0 x.
Gevolg: Zij V een eindig-dimensionale vectorruimte, en S ∈ L(V ).
Veronderstel dat alle lineaire afbeeldingen T ∈ L(V ) commuteren
met S, d.w.z. ST = T S voor alle T ∈ L(V ). Dan is er een c ∈ F zó
dat S = c · I.
3
Duale ruimte
Definitie: Voor een vectorruimte V over het lichaam F wordt de
ruimte L(V, F) van lineaire functionalen op V de duale ruimte van
V genoemd. Notatie: V 0 .
Lemma: Als V een eindig-dimensionale ruimte is, dan is ook de
duale ruimte V 0 eindig-dimensionaal, en er geldt dim V = dim V 0 .
4
Duale basis
Zij V een n-dimensionale vectorruimte over F met als basis
x1 , . . . , xn . Dan bestaan er functionalen f1 , . . . , fn ∈ V 0 zó dat
fi (xj ) = δij ,
(i, j = 1, . . . , n).
De functionalen f1 , . . . , fn vormen een basis van de duale ruimte
V 0 . Deze basis heet de duale basis t.o.v. de basis x1 , . . . , xn van V .
5
Duale afbeelding
Als T : V −→ W een lineaire afbeelding is, dan is voor elke
functionaal g op W , de samenstelling g ◦ T een lineaire functionaal
op V . De afbeelding T 0 : W 0 −→ V 0 gedefinieerd door
T 0 (g) = g ◦ T,
is lineair en heet de duale afbeelding of getransponeerde van T .
Lemma: Als T : V −→ W een lineaire afbeelding is, dan geldt
ker(T 0 ) = {g ∈ W 0 | ∀w ∈ im(T ) : g(w) = 0}.
(in woorden: g is 0 op im(T )).
6
Annihilator
Definitie: Als M een lineaire deelruimte is van de vectorruimte V ,
dan is de annihilator van M de deelverzameling van V 0 , bestaande
uit alle lineaire functionalen f met de eigenschap dat f (x) = 0 voor
alle x ∈ M . Oftewel:
M ◦ = {f ∈ V 0 | ∀x ∈ M : f (x) = 0}.
• M ◦ is een lineaire deelruimte van V 0 ,
• ker(T 0 ) = (im T )◦ .
Stelling: Als V een eindig-dimensionale vectorruimte is, en M is
een lineaire deelruimte van V , met annihilator M ◦ , dan geldt
dim M ◦ = dim V − dim M.
7
Stelling: Als V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn, en
T : V −→ W is een lineaire afbeelding, dan hebben T en T 0
dezelfde rang.
N.B. De nulliteiten van T en T 0 zijn niet noodzakelijkerwijs aan
elkaar gelijk.
Gevolg: Voor een lineaire afbeelding T : V −→ W tussen twee
eindig-dimensionale vectorruimten V en W geldt
(i) T is surjectief ⇐⇒ T 0 is injectief,
(ii) T is injectief ⇐⇒ T 0 is surjectief.
8
Matrices
• V : n-dimensionale vectorruimte over F, met basis {x1 , . . . , xn },
• W : m-dimensionale vectorruimte over F, met basis
{y1 , . . . , ym },
• T : V −→ W lineaire afbeelding.
Voor alle j ∈ {1, . . . , n} zijn er getallen αij ∈ F, (i = 1, . . . , m), zó
dat
T xj =
m
X
αij yi .
i=1
9
Coëfficiënten αij , (i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}) representeren de
afbeelding T t.o.v. de gekozen bases in V en W .


α
· · · α1n
 11

.. 
 ..
A = (αij ) =  .
. 


αm1 · · · αmn
heet de matrix van T t.o.v. de bases {x1 , . . . , xn } van V , en
{y1 , . . . , ym } van W .
10
Alternatieve definitie:
Zij F een lichaam.
Een m × n matrix over F is een afbeelding A van de verzameling
{1, . . . , m} × {1, . . . , n} naar F:
A : (i, j) → αij ∈ F, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n
De volgende (suggestieve) schrijfwijze wordt veel meer gebruikt:


α
· · · α1n
 11

.. 
 ..
A = (αij ) =  .
. 


αm1 · · · αmn
11
De αij ∈ F heten de elementen van de matrix A. Hierbij is i de
rij-index, en j de kolom-index.
n
αi1 · · · αin ∈ F , i = 1, . . . , m
is de i-de rij van A.


α
 1j 
 .. 
 .  ∈ F m , j = 1, . . . , n


αmj
is de j-de kolom van A.
Een 1 × n matrix heet ook wel een rij-vector en een m × 1 matrix
heet ook wel een kolom-vector.
12
De verzameling m × n matrices geven we aan met Mm,n (F). Als
m = n schrijven we Mn (F)
Mm,n (F) heeft een vectorruimte-structuur (over F):
• Voor A, B ∈ Mm,n (F) en α, β ∈ F is αA + βB ∈ Mm,n (F)
gedefinieerd door
(αA + βB)(i, j) = αA(i, j) + βB(i, j)
• De nulvector in Mm,n (F) is de nulvector O gedefinieerd door:
O(i, j) = 0,
i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n
13
Zij T : V −→ W een lineaire afbeelding van de n-dimensionale
vectorruimte V naar de m-dimensionale vectorruimte W . Zij
x1 , . . . , xn een basis van V en y1 , . . . , ym en basis voor W . Voor
iedere j ∈ {1, . . . , n} zijn er getallen αij ∈ F, (i = 1, . . . , m), zó dat
T xj =
m
X
αij yi .
i=1
De m × n matrix (αij ) heet de matrix van T t.o.v. de bases
x1 , . . . , xn en y1 , . . . , ym .
• Matrix afhankelijk van basis en volgorde basisvectoren,
• Speciaal geval: W = V met basis x1 , . . . , xn .
14
Identiteitsafbeelding I : V → V . Zij x1 , . . . , xn een basis van V .
Dan geldt
Ixj =
n
X
δij xi .
i=1
Dus t.o.v. iedere basis van V is de matrix van de
identiteitsafbeelding
I(i, j) = δij ,
i, j = 1, . . . , n.
15
Stelling: Zij A = (αij ) een m × n matrix over F, en zij V een
n-dimensionale- en W een m-dimensionale vectorruimte over F.
Dan bestaat er voor iedere keuze van bases in V en W een unieke
lineaire afbeelding T : V −→ W , zó dat de matrix van T ten
opzichte van de gekozen bases gelijk is aan A.
16
Stelling: Zij V en W eindig-dimensionale vectorruimten over F,
en veronderstel dat voor zowel V als W een vaste basiskeuze is
gedaan. Voor elke lineaire afbeelding T : V −→ W , wordt met MT
de matrix van T aangeduid, t.o.v. de gekozen bases. Dan is de
afbeelding T 7→ MT een bijectieve lineaire afbeelding van L(V, W )
naar Mm,n (F) met m = dim W en n = dim V .
17
Matrixproduct:
Laat A ∈ Mm,k (F) en B ∈ Mk,n (F). Dan is AB ∈ Mm,n (F)
gedefinieerd door:
(AB)(i, j) =
k
X
A(i, `)B(`, j)
`=1
18
Stelling: Zij U, V, W eindig-dimensionale vectorruimten over F, en
zij T : U −→ V en S : V −→ W lineaire afbeeldingen, met
samengestelde afbeelding S ◦ T : U −→ W . Kies bases in elk van de
ruimten U, V, W , en zij MT , MS , en MS◦T de matrices van de
afbeeldingen S, T , en S ◦ T ten opzichte van deze bases. Dan geldt:
MS◦T = MS MT .
19
Eigenschappen matrixproduct:
• A(B + C) = AB + AC,
• (A + B)C = AC + BC,
• (AB)C = A(BC),
• AI = A en IA = A,
• A0 = 0 en 0A = 0.
20
Stelling: Mn (F) is een algebra met eenheidselement I.
Zij V een n-dimensionale vectorruimte over F met basis x1 , . . . , xn .
Dan is de afbeelding T 7→ MT een bijectief algebra isomorfisme van
L(V ) naar Mn (F)
• MT −1 = MT−1 ,
• MT n = (MT )n .
21
Zij p : F → F een polynoom,
p(t) = α0 + α1 t + · · · + αn tn ,
t∈F
Dan is voor iedere A ∈ Mn (F), p(A) ∈ Mn (F) gedefinieerd door:
p(A) = α0 I + α1 A + · · · + αn An
Opmerking: als p = q + r dan geldt p(A) = q(A) + r(A) en als
p = qr dan geldt p(A) = q(A)r(A).
22