Tonen en verhoudingen

Tonen en verhoudingen
Één snaar instrument
1.
a.
b.
c.
d.
Wat gebeurt er met de frequentie wanneer je de lengte halveert? Verdubbelt
Op een kwart
A3 220 Hz ; A1 55 Hz
1320 Hz
2.
Naam toon
Frequentie(Hz)
relatief
Lengte (cm)
gedeelte
A4
A5
440
880
1
2
60
30
1
A6
1760
4
15
1
4
E5
1320
3
20
1
3
1
2
Tabel 1
3.
a.
b.
3:2
3:4
a.
×1,5 = 
4.
3
2
3 4
  2 of: 2 : 3: 4
2 3
4 1 2
c. .  
of: 3 : 4 : 2
3 2 3
Toon
≈87
≈130
Frequentie
relatief
16
8
81
27
≈304
≈203
Lengte snaar
b.
≈196
4
9
135
Tabel 2
5.
9
4
b. zie tabel
9
c. 16
81 : 4  64 : 729
a.
d.
9
4
3
: 16
81  11  2
Tonen en verhoudingen versie 3.0(20-7-2017) pg 1
≈293
A4
440
660
2
3
1
3
2
90
60
40
990
9
4
≈27
6.
Tabel 3
Toon
Frequentie
relatief
F
C
64
81
16
27
G
196 391
D
293
A
440
E
660 330
8
9
2
3
1
3
4
B
247,5
9
16
Zet de tonen in volgronde van frequentie ( laagste links):
7.
Tabel 4
Toon
Frequentie
relatief
A3
220
1
2
B3
C4
D4
E4
F4
G4
9
16
16
27
2
3
3
4
64
81
8
9
8.
a.
b.
c.
Zie boven
Als je de (centrale) A de eerste toon noemt, is de E de vijfde
Welke toon is een kwart hoger dan de A. D.
De D is de vierde toon
Toonladders
9.
a.
b.
c.
d.
e.
18
; dus C : D = 16
 18
27 : 27 =16:18 = 8 : 9
27
243: 256
[zie bijlage 1]
twee
243 243
8

 0,90  ( 0,89) Klopt dus niet helemaal, maar wel bijna
256 256
9
2
3
10.
a.
b.
c.
27: 32
64 : 81
Controleer je antwoorden met bijlage 1
Tonen en verhoudingen versie 3.0(20-7-2017) pg 2
A4
440
1
Zuivere intervallen en drieklanken
11.
Laat met frequentieverhoudingen zien dat de grote terts en de kleine sext samen een
octaaf vormen 4 : 5 : 8
b. Laat met frequentieverhoudingen zien dat de kleine terts en de grote sext samen een
octaaf vormen 3 : 5 = 6 : 10, dus 5 : 6 : 10
c. Laat ook zien dat een grote en een kleine terts samen een kwint vormen.
4:5:6
a.
Bepaal de frequentieverhouding van een kleine drieklank. 10 : 12 : 15
12.
Toon
Rij 1
Rij 2
C
4
Rij 3
Rij 4
Rij 5
Rij 6
13.
14.
a.
b.
c.
d.
e.
15.
D
4,5
3 13
3
E
5
G
6
6
5
A
6,75
5
4
3 13
5
3
F
5,4
4
B
7,5
5
7,5
6
4
5
Waarom staat in rij 6 de verhouding 3 : 5 ( grote sext) in plaats van 5 : 6 ?
We springen een octaaf naar beneden
Door rij 2 met rij 4 te combineren kun je frequentieverhouding D : A berekenen
Doe dat (met hele getallen) 2 : 3
Bereken op een dergelijke manier de frequentieverhouding F : B 18 : 25
Bereken de frequentieverhoudingen C : D, C : E , C : F enz
8:9; 4:5; 20:27 ; 2:3; 16:27 ; 8:15
Bereken de frequentieverhoudingen C : D, D : E, E : F ( twee opeenvolgende tonen)
8:9; 9:10; 25:27; 9:10 ; 8: 9; 9:10; (15: 16)
Welke conclusie trek je ? vier verschillende
Maak het verschil (in de zin “wat scheelt het?“) tussen 3 : 4 en 20 : 27 duidelijker).
3 : 4 = 21 : 28 20/27 ≈ 0,7407 ; ¾=0,75
Tonen en verhoudingen versie 3.0(20-7-2017) pg 3
Toonsystemen
16.
Laat zien de toon die een kwint boven de B ligt een frequentie heeft die tussen die van
de F en de G in ligt. 247,5 ×1,5 ≈ 371
b. Vul de volgende tabel verder in. Zorg dat de frequenties tussen de 220 en 440 Hz
liggen, en ga na of je (de ingevulde) tabel 3 kunt gebruiken.
a.
Tabel 5
Toon
Frequentie
Relatief t.o.v.
A4
B
247,5
Fis
371
9
16
27
32
Cis
278
81
128
Gis
418
243
256
Dis
313
Ais
235
Eis
352
Bis
264
0,71
0,53
0,80
0,60
Geef een reden waarom dit onmogelijk is links even, rechts omeven
17.
18.
Vergelijk de Bis uit tabel 5 met de centrale C ( zie eventueel bijlage 1)
Laat zien dat 12 kwinten omhoog bijna het zelfde is als 7 octaven omhoog
1,512≈129,7≈27
c. Wat is het verband tussen beide vorige vragen (en antwoorden)?
d. Wanneer je 12 kwinten omhoog gaat en 7 octaven om laag krijg je niet precies de zelfde
toon. Bereken hoeveel het scheelt. 1,512 /27 ≈1,014, dus ca 1,4 %
a.
b.
5
4
F 1
15
8
3
C
2
A
45
32
9
G
8
E
B
D
27
16
19.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Vul gebruik makend van de letterlijke betekenis van terts en kwint de letters A, B, D en
F op de juiste plek
zie tabel
Bereken de relatieve frequenties t,a,v, de toon linksonder in de tabel.
Bepaal de (exacte) frequentieverhouding B : C 15:16
Bepaal de (exacte) frequentieverhouding C : D 8:9
Doe het zelfde voor D : E t/m A : B
9:10; 15:16; 8:9; 9:10; 8:9
Ga na wat de verschillen zijn met de verhoudingen die we kregen bij het
kwintensysteem van Pythagoras. Zie bijlage
20.
a.
Vul in de volgende tabel de juiste relatieve frequenties in. (Zorg dat alle getallen tussen
de 1 en 2 blijven)
Cis
25
16
Tonen en verhoudingen versie 3.0(20-7-2017) pg 4
Gis
75
64
Dis
225
128
Ais
675
512
5
4
F 1
15
8
3
C
2
45
135
Fis
32
128
9
27
G
D
8
16
3 24 24 25 27



b. Laat zien dat de Cis tussen de C en de D inzit
;
2 16 16 16 16
c. Zet de tonen is volgorde van relatieve frequentie.
F Fis G Gis A Ais B C Cis D Dis E
A
E
B
21.
Stap naar rechts: vermenigvuldiging met 3 en een of twee keer delen door 2
Stap naar boven: vermenigvuldigen met 5 en delen twee of drie keer delen door 2
Gecombineerd: vermeningvuldigen met 3×3×.. en met 5×5×.. en delen door 2×3×…
b. De tellervan de breuk is oneven, en de noemer even, de uitkomst kan dus nooit exact 1
zijn.
a.
22.
4
8
2  ..  2
of  dus 
5
5
5
5  ..  5  2  ..  2
Combinatie van een aantal stappen naar rechts en naar beneden geeft:
3  ..  3  2  ..  2
Afhakelijk van het aantal tweeën boven en onder krijg je een van de
drie genoemde uitkomstem
b. In de eerste twee gevallen is de teller even en de noemer niet, of andersoms. In het
derde geval is de teller een getal dat eindigt op een 5, en de noemer een getral dat
eindigt op 1, 3, 7 of 9. Uit de breuk kan dus nooit precies 1 komen
a.
Een stap naar beneden betekent 
a.
b.
1,58 × 5/4 ≈ 32,036 ≈ 25
Ca 0,1 (%)
23.
Cents
24.
a.
bijv
1213 12  2,6
18
  1,986  2
bijv 17
c. 1,05946
1
d. 212 of 12 2
b.
12
25.
Laat zien een toonafstand van 1 cent overeenkomt met een verhouding van ongeveer
1732 1200
(
)
 1,99978
1731 : 1732
1731
b. Bereken de bijbehorende vermenigvuldigingsfactor in zes decimalen , en controleer
a.
het antwoord.
1200
1
2  2 1 20 0  1,000578;
26.
a.
b.
300+400=700; dus een kwint omhoog
386 − 498 = -112; dus ruim een kleine secunde omlaag
Tonen en verhoudingen versie 3.0(20-7-2017) pg 5
c.
d.
e.
f.
900 − 700 =200; dus een grote secunde omhoog
1200 − 300 = 900; dus een grote sext omhoog
2 × 702 =1404; dus een octaaf en een (reine) secunde omhoog
3 × 500 = 1500; dus een octaaf en een kleine terts omhoog
27.
a
log(a)
0,1
-1
1
10
100 1000
0
1
2 3
0,5 1
1,25 1,333
2 1,414
−0,301 0 0,097 0,125 0,176 0,301
28.
a.
b.
c.
1200 / log(2) ≈ 3986 ≈ 4000
386
; 498 ; 702 ;
a.
b.
c.
316
16 cents
12×3986 ×log(1, 5) ≈ 8423; 7×1200 = 8400; verschil 23 cents
29.
Tonen en verhoudingen versie 3.0(20-7-2017) pg 6
1,5
0,5