De monochord is het simpelste snaarinstrument dat je je

Tonen en verhoudingen
Één snaar instrument
De monochord is het simpelste snaarinstrument dat je je kunt
voorstellen. Het bestaat uit één snaar van een vaste lengte op
een plank. Als je op deze snaar tokkelt hoor je toon. De
hoogte van deze toon hangt o.a. af van de dikte en de
spanning, en de lengte van de snaar. Met een soort kammetje
kun je de lengte van de snaar - beter gezegd de lengte van
het deel dat vrij kan trillen - veranderen. Hiermee verander je ook de toon, hoe korter
hoe hoger de toon.
De hoogte van de toon wordt bepaald door de het aantal trillingen per seconde, de
frequentie. Zo heeft de (centrale) A volgens de huidige afspraken een frequentie van
440 Hz (trillingen per seconde). Als je verder niets verandert (ceteris paribus)
betekent een halvering van de lengte een verdubbeling van de frequentie. Lengte en
frequentie zijn omgekeerd evenredig. Twee tonen waarvan de frequenties zich
verhouden als 1 : 2 (de ene frequentie dus het dubbele is van de andere) klinken in
onze oren als duidelijk verwante tonen: ze verschillen een octaaf van elkaar. Tonen
die een octaaf verschillen worden weergegeven met de zelfde letter. Om ze uit elkaar
te houden worden aanduidingen als A1, A2, A3 gebruikt
We gaan uit van snaar van 60 cm lengte die zo is gespannen dat deze (vrij trillend)
de centrale A(A4 : 440 Hz) voortbrengt
1.
a.
Wat gebeurt er met de frequentie wanneer je de lengte halveert?
De toon die wordt voorgebracht wordt A5 genoemd
b. Waar moet je het kammetje zetten om A6 (dubbele frequentie van A5) te laten
horen?
c. Welke frequentie heeft A3 ? en A1 ?
d. Welke toonhoogte krijg je als een derde van de snaar wordt gebruikt ?
De toon uit de laatste vraag heeft een frequentie die 3 maal zo hoog is als die van de
centrale (A4) , en (dus) 1½ maal zo hoog is als van de hoge A (A5 ). We zeggen dan
vaak dat de verhouding tussen de frequenties dan 2 : 3 is. Dit geldt (in omgekeerde
volgorde) ook voor de verhouding tussen de bijbehorende snaarlengtes. Op de
naamgeving komen we nog terug
2.
Vul de volgende tabel verder in :
Naam toon
Frequentie(Hz)
relatief
A4
A5
A6
E5
440
1
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 1
gedeelte
1
1
2
4
20
Tabel 1
3.
Lengte
(cm)
60
30
1
3
a.
b.
Wat is de frequentieverhouding tussen E5 en A5 ?
Wat is de frequentieverhouding tussen E5 en A6 ?
Wanneer de frequenties zich verhouden als 2: 3 ( dus de ene 1½ maal zo groot is als
de andere) wordt het bijbehorende interval een (zuivere of reine) kwint genoemd.
Kwint betekent letterlijk vijfde, in het Engels spreekt men van de fifth We komen daar
nog op terug. Tonen die een kwint verschillen klinken goed bij elkaar. Dat
zelfde geldt voor de kwart – twee tonen waarvan de frequenties zich
verhouden als 3: 4
4.
a.
Vanuit een bepaalde toon gaan we een kwint omhoog . Wat betekent dit
voor de frequentie?
b. Leg uit met behulp van de frequentieverhoudingen dat een kwint plus
een kwart samen een octaaf vormen.
c. Laat zien dat een kwint omlaag het zelfde is als een kwart omhoog
gevolgd door een octaaf omlaag .
Vanaf de oude Grieken (Pythagoras) tot na de middeleeuwen is (althans in
grote delen van) Europa een toonsysteem gebruikt dat gebaseerd was op
octaven en kwinten. De stemming van strijkinstrumenten als de viool is ook
gebaseerd op (zuivere) kwinten. Met behulp van het monochord kunnen we
dit systeem vrij makkelijk zelf herontdekken.
We starten bij de centrale A en gaan van daaruit kwinten omhoog en omlaag.
Toon
Frequentie
relatief
2
3
Lengte snaar
90
A4
440
1
60
660
990
3
2
40
Tabel
2
5.
a.
b.
Bereken de relatieve frequentie van de hoogste toon.
Bepaal de relatieve frequenties van de andere tonen (zonder eerst de
frequenties zelf te berekenen)
c. Bepaal de frequentieverhouding tussen de laagste en de hoogste toon.
d. Laat zien dat hoogste toon meer dan 3 octaven hoger is dan de laagste
We kunnen de grote verschillen in toonhoogte tegengaan door tonen zo nodig te
vervangen door een die een octaaf hoger of lager ligt. In plaats van een kwint
omhoog gaan we soms een kwart omlaag, en in plaats van een kwint omlaag een
kwart omhoog
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 2
6.
Doe dat , en zorg ervoor dat alle tonen een frequentie hebben tussen de 220 en
440Hz. Gebruik daarbij onderstaande tabel:
Tabel 3
Toon
Frequentie
A
relatief
7.
196
391
293
440
660
330
8
9
2
3
1
3
4
Zet de tonen in volgronde van frequentie ( laagste links):
Tabel 4
Toon
Frequentie
relatief
A3
220
B3
C4
D4
E4
F4
G4
A4
440
1
De letters zijn de namen die deze tonen hebben gekregen in de loop der tijd.
8.
a.
b.
Zet de letters A t/m G op de juiste plek in de tabel 2 en 3
In tabel 2 is elke toon een kwint hoger dan zijn linkerbuur. Verklaar het woord
kwint (vijfde)
c. Welke toon is een kwart hoger dan de A. Verklaar het woord kwart (vierde).
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 3
Toonladders
De tonen A4 B C D E F G A5 in die volgorde gespeeld vormen de Aeolische
toonladder – ook wel de A mineur toonladder genoemd. Bekender is de Ionische (Cmajeur) toonladder:
C4 D E F G A B C5. Toonladders kunnen uiteraard makkelijk een octaaf verplaatst
worden, bijv. C5 D E F G A B C6. We noteren voortaan C D E F G A B C
Bij het spelen van toonladders hoor je duidelijk verschillende toonafstanden- vaak
aangeduid met hele en halve.
C - heel - D - heel - E - half - F - heel - G - heel - A - heel - B - half - C
Bij de mineurtoonladder(s) is de afwisseling anders :
A - heel - B - half -C - heel - D - heel - E - half - F - heel - G - heel - A
Levert het kwintensysteem van Pythagoras ook ‘hele’ en ‘halve’ toonafstanden op ?
Om dat goed te bekijken gebruiken we niet de (op hele getallen afgeronde)
frequenties, maar de relatieve frequenties uit tabel 4.
9.
a.
b.
c.
d.
e.
Laat zien dat verhouding tussen de C en de D precies 8 : 9 is
Bereken de frequentie verhoudingen E : F exact
Bereken ook de andere frequentieverhoudingen in de majeur toonladder.
Hoeveel verschillende verhoudingen zijn er ?
Ga na in hoeverre geldt “twee halve is een hele”. Hoe controleer je dit ?
In beide toonladders is de ‘afstand’ tussen de eerste en de vijfde toon altijd ‘drie hele
en een halve”, en de afstand tussen de eerste en de vierde altijd ‘twee hele en een
halve’.
De afstand tussen de eerste en de derde toon is echter bij de majeur toon ladder
twee hele, en bij de mineur toonlader een hele en een halve. Dat scheelt nogal.
Daarom maakt men onderscheid in grote terts (derde) en kleine terts, oftewel
majeur(groot) en mineur (klein)
Met behulp van je uitwerking van vraag 9 kun je makkelijk nagaan welke
frequentieverhoudingen er volgens het kwintensysteem van Pythagoras er horen bij
de tertsen.
10.
a.
b.
c.
Bereken de frequentieverhouding A : C (kleine terts)
Bereken de frequentieverhouding C: E (grote terts)
Controleer je antwoorden met bijlage 1
Tonen met een frequentieverhouding 2 : 3 of 3 : 4 klinken goed samen. Als de
frequentieverhouding is 8 : 9 klinkt het minder mooi. Hoe kleiner de getallen, hoe
harmonieuzer. (uiteraard vereenvoudig je 8: 12 eerst tot 2:3)
Een interval met frequentieverhouding 27 : 32 of 64 : 81 klinkt niet fraai.
Kort gezegd de stemming volgens Pythagoras levert valse tertsen op, met name de
grote terts. Dat was de belangrijkste reden dat er in de loop der tijd ( met name in de
16e , 17e eeuw) steeds meer weerstand kwam tegen de deze stemming.
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 4
Zuivere intervallen en drieklanken
De valse grote terts van Pythagoras heeft een verhouding (64 : 81) die erg dicht bij
een mooie verhouding ligt (64 : 80 = 4 : 5)
Het lijkt een goed idee om voor de grote terts de verhouding 4: 5 te nemen. De kleine
terts heeft een verhouding in de buurt van 5 : 6. Om een terts aan te vullen tot een
octaaf hebben we de sext (zesde) nodig, uiteraard weer in twee uitvoeringen, klein
en groot.
We hebben nu de volgende zuivere intervallen:
Kleine terts
Grote terts
Kwart
Kwint
Grote sext
Kleine sext
5:6
4:5
3:4
2:3
3:5
5:8
11.
a.
Laat met frequentieverhoudingen zien dat de grote terts en de kleine sext
samen een octaaf vormen
b. Laat met frequentieverhoudingen zien dat de kleine terts en de grote sext
samen een octaaf vormen
c. Laat ook zien dat een grote en een kleine terts samen een kwint vormen.
Een drieklank zoals C-E-G bestaande uit een grote terts gevolgd door een kleine
terts
wordt een grote drieklank (ook wel een grote terts akkoord) genoemd. De
bijbehorende frequentie verhouding is 4:5:6.
Wanneer grote en kleine terts van plaats wisselen, zoals in A-C-E hebben we te
maken met een kleine drieklank ( kleine terts akkoord)
12.
Bepaal de frequentieverhouding van een kleine drieklank. (met hele getallen)
We gaan kijken in hoeverre het mogelijk is met zuivere (grote en kleine) tertsen te
werken
Kijkend naar de C majeur toonladder zie je de volgende tertsen:
 Groot : CE ; FA; GB
 Klein: DF ; EG; BD
We gaan kijken wat we krijgen als we dat combineren:
Toon
Rij 1
Rij 2
Rij 3
Rij 4
Rij 5
Rij 6
C
4
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 5
D
E
5
F
G
4
5
6
5
3
B
5
4
5
A
6
5
13.
Waarom staat in rij 6 de verhouding 3 : 5 (grote sext) in plaats van 5 : 6 ?
Door rij 2 met rij 4 te combineren kun je frequentieverhouding D : A berekenen
Doe dat ( hele getallen)
Bereken op een dergelijke manier de frequentieverhouding F : B
Bereken de frequentieverhoudingen C : D, C : E , C : F enz.
Bereken de frequentieverhoudingen C : D, D : E, E : F ( twee opeenvolgende
tonen)
e. Welke conclusie trek je ?
14.
a.
b.
c.
d.
Je kunt laten zien dat er iets ‘scheefgegroeid’ is door bijv. te letten op het interval EA.
Bij de stemming volgens Pythagoras is dit een zuivere kwart (verhouding 3 : 4). In
het systeem met zuiver tertsen krijgen we de frequentieverhouding 100 : 135 (=
20:27) en dat is net even anders.
15. Maak het verschil (in de zin “wat scheelt het?“) tussen 3 : 4 en 20 : 27
duidelijk(er).
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 6
Toonsystemen
In feite hebben we nog maar een (klein) gedeelte van het toonsysteem van
Pythagoras bekeken. Wat gebeurt er bijv. als je vanuit de toon die helemaal rechts
in tabel 3 staat (de B) weer een kwint omhoog gaat, en dan weer een kwint
omhoog (of een kwart omlaag als dat zo uitkomt)
16.
a.
Laat zien de toon die een kwint boven de B ligt een frequentie heeft die tussen
die van de F en de G in ligt. Deze toon noemt de Fis (verhoogde F)
b. Vul de volgende tabel verder in. Zorg dat de frequenties tussen de 220 en 440
Hz liggen, en ga na of je (de ingevulde) tabel 3 kunt gebruiken.
Tabel 5
Toon
Frequentie
Relatief t.o.v.
A4
B
247,5
Fis
9
16
27
32
Cis
Gis
Dis
Ais
Eis
Bis
Je kunt je afvragen of je op den duur weer de zelfde toon terugkrijgt.
Het antwoord hang af van de vraag of je bedoelt precies de zelfde toon, of bij
benadering.
We gaan eerst kijken of we precies zelfde toon kunnen terugkrijgen.
We gaan steeds een kwint omhoog of een kwart omlaag, we vermenigvuldigen dus
steeds met 3 en delen steeds een of twee keer door 2 . De vraag is dus: Is het
mogelijk dat
3

3

....

3

1
?
2

2

...

2

2
Anders geschreven is het mogelijk dat 3×3×…×3 = 2×2×…×2×2 ?
(het aantal tweeën is groter dan het aantal drieën)
17. Geef een reden waarom dit onmogelijk is
We kunnen wel in de buurt komen.
18.
a.
b.
c.
d.
Vergelijk de Bis uit tabel 5 met de centrale C ( zie eventueel bijlage 1)
Laat zien dat 12 kwinten omhoog bijna het zelfde is als 7 octaven omhoog
Wat is het verband tussen beide vorige vragen (en antwoorden)?
Wanneer je 12 kwinten omhoog gaat en 7 octaven om laag krijg je niet precies
de zelfde toon. Bereken hoeveel het scheelt.
Vaak wordt gedaan of je na 12 kwinten (en 7 octaven
omlaag) weer de zelfde toon krijgt. Men spreekt dan van de
kwintencirkel.
Het belangrijkste probleem van dit toonsysteem gebaseerd
op zuiver kwinten is echter de valse terts. Door de kwinten
net niet helemaal zuiver te stemmen zijn de loop van de 15e
– 17e eeuw stemmingen ontwikkeld met zuivere tertsen.
Hoewel zuivere kwinten en tertsen elkaar lijken te ‘bijten’ zijn er in de 18 e eeuw zijn
toonsystemen ontwikkeld gebaseerd op zuivere kwinten en zuivere tertsen.
(Rameau ; Euler).
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 7
De basis wordt gevormd door de drieklank C E G, een bekend grote terts akkoord.
We zetten echter de tonen niet allemaal naast elkaar, maar in een 2-dimensionaal
schema:
E
C
G
Horizontaal gaan we (van links naar rechts) steeds een kwint omhoog (en zo nodig
een octaaf omlaag) Verticaal gaan we een grote terts omhoog (en zo nodig een
octaaf omlaag)
19.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Vul gebruik makend van de letterlijke betekenis van terts en kwint de letters A,
B, D en F op de juiste plek
Bereken de relatieve frequenties t.a.v., de toon linksonder in de tabel.
Bepaal de (exacte) frequentieverhouding B : C
Bepaal de (exacte) frequentieverhouding C : D
Doe het zelfde voor D : E t/m A : B
Ga na wat de verschillen zijn met de verhoudingen die we kregen bij het
kwintensysteem van Pythagoras.
Voor in het vakje rechtsboven hebben we eigenlijk een extra naam nodig .Evenals in
tabel 5 noemen we deze toon de Fis (van Euler).Extra namen zijn ook nodig wanneer
we nog een rij toevoegen. Ga na dat deze namen overeenkomen met die van de
zwarte toetsen op een klavier. Deze worden echter meestal ( zoals bij een piano)
anders gestemd
20.
a.
Vul in de volgende tabel de juiste
Cis
relatieve frequenties in. (Zorg dat alle
A
getallen tussen de 1 en 2 blijven)
F1
b. Laat zien dat de Cis tussen de C en de D
inzit
c. Zet de tonen is volgorde van relatieve frequentie.
Gis
E
C
Dis
B
G
Ais
Fis
D
Bovenstaand systeem kan in verticale richting (zowel naar boven als naar onderen)
en in horizontale richting uitgebreid worden. Als we letten op de frequenties betekent
een stap naar rechts een vermenigvuldiging met 3, gevolgd door een deling door 2 of
4. Een stap naar boven betekent een vermenigvuldiging met 5 gevolgd door een
deling door 4 of 8.
Je gaat in de tabel een (flink) aantal stappen naar rechts en naar boven.
5  ..  5  3  ...  3
a. Leg uit waarom de frequentie wordt vermenigvuldigd met
2  ....  2
b. Ga na of het mogelijk dat je weer op precies de zelfde toonhoogte uitkomt
21.
22.
a.
Laat zien dat 8 kwinten plus een(grote) terts in dit systeem heel weinig verschilt
van 5 octaven.
b. Bereken hoeveel % het scheelt..
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 8
Cents
Wanneer je een chromatische toonladder op een piano speelt: bijv. C-Cis-D-Dis-…
C, zijn alle stapjes (voor het gehoor) even groot. Dit betekent dat de verhouding
tussen twee opeenvolgende tonen steeds het zelfde is. We noemen die wel de
gelijkzwevende stemming (zie
http://nl.wikipedia.org/wiki/Gelijkzwevende_temperatuur ). Na 12 stapjes zijn we een
octaaf hoger uitgekomen.
23.
a.
Iemand denkt op basis van het volgende dat één stapje een verhoging met
1
,
12
13
1
of te wel een vermenigvuldiging met 1 12
( 12
) betekent. Laat zien dat dit niet
klopt
b. Laat zien dat een verhoging met
1
17
aardig in de buurt komt.
Bereken in 5 decimalen nauwkeurig de (groei)factor die hoort bij één stapje
omhoog en controleer het antwoord..
d. Hoe noteer je de exacte waarde van dit getal ?
c.
De Engelse musicoloog Ellis kwam op het idee om het stapje tussen twee
opeenvolgende tonen te verdelen in 100 mini stapjes: cents
24.
a.
Laat zien een toonafstand van 1 cent overeenkomt met een verhouding van
ongeveer 1731 : 1732
b. Bereken de bijbehorende vermenigvuldigingsfactor in zes decimalen, en
controleer het antwoord.
De verdeling van Ellis in cents is voorbeeld van een logaritmische schaalverdeling.
Het voordeel is dat vermenigvuldigingen en delingen (van breuken) vervangen
worden door optellen en aftrekken (in dit geval van hele getallen). Zie bijlage 2
25.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Ga met behulp van bijlage 2 na wat het effect is van :
Een kleine terts omhoog gevolgd door een grote terts omhoog. (gelijkzwevend)
Een grote terts omhoog gevolgd door een kwart omlaag (rein)
Een grote sext omhoog en een kwint omlaag. (gelijkzwevend)
Een octaaf omhoog en een kleine terts omlaag. (gelijkzwevend)
Twee kwinten omhoog. (rein)
Drie kwarten omhoog. (gelijkzwevend)
Het bepalen van het aantal cents bij een bepaald interval is bij gelijkzwevende
stemming eenvoudig:
1. Bepaal het aantal treden dat je op de chromatische toonladder omhoog
moet.
 Bij de kwint is dat 7, zoals je makkelijk kunt nagaan op een
toetsenbord.
2. Het aantal cents is nu 7 x 100 = 700
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 9
Bij reine intervallen zoals de zuivere kwint moeten we gebruik maken van logaritmen.
De logaritme geeft aan hoeveel stappen je moet doen (met een bepaalde groeifactor)
om een getal te bereiken.
Bijv.
log 2 (32) = 5 want 25 =32
1
1
log 2 (√2) = 2 want 22 = √2
12
1
1
12
log 2 ( √2) = 12 want 212 = √2
De log toets op je rekenmachine werkt met grondtal/ groeifactor 10:
Log(1000) =3 want 103 =100
Op sommige rekenmachines kun je logaritme met een ander grondtal (groeifactor)
direct berekenen. Bij andere kan dat niet en moet je gebruik maken van de regel
log 𝑎
log 𝑔 𝑎 = log 𝑔
Hieronder zie je een gedeeltelijk ingevulde tabel met getallen en hun log (met
grondtal 2)
0,5
a
Log2(a) -1
26.
a.
b.
1
0
2
1
4
2
8
3
1,25
4
1,5
√2
0,5
0,25
2
1
0,75
Ga na welke vakjes je uit het hoofd kunt invullen
Bereken met behulp van een rekenmachine de ontbrekende waarden.
Wat is nu het verband met de cents van Ellis ?
Om dat nader te onderzoeken gebruiken we onderstaande tabel
interval
Grote
terts
rein
factor
(exact)
5
4
Grote
terts
gelijkzw
.
3
2
1,25
1,260
1,333
≈0,3219
3
1
3
≈0,4150
4
(afgerond
)
Log2(f)
Cents
27.
a.
Kwart
rein
4
3
400
Kwart
gelijkzw
.
12
25
1,335
Kwint
rein
3
2
1,5
Kwint
gelijkz
w
27
2
1,498
2
12
≈0,5849
6
500
1
700
Gebruik de tabel hierboven
Bereken de ontbrekende getallen
Als het goed is heb je zo net gebruik gemaakt van de volgende regel:
c = 1200 · log2(f)
c: aantal cents; f: de factor die hoort bij de verhouding
28.
Gebruik bovenstaande formule
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 10
octaa
f
1200
a.
b.
c.
Bereken hoeveel cents de reine kleine terts is (verhoudingsfactor: 1,2 )
Ga na hoeveel dit scheelt met de gelijkzwevend gestemd
Bereken het verschil in cents tussen 12 zuivere kwinten en 7 octaven.
[Dit wordt wel de Pythagoreïsche komma genoemd]
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 11
Bijlage 1 toonladders
A- klein (Pythagorasstemming)
Toon
Frequentie
(Hz)
relatief
A4
B
C
D
E
F
440
495
~521
~587
660
~695
1
9
8
32
27
4
3
3
2
128
81
729
768
864
972
1024
frequentiegeta
648
l *)
t.o.v. voorgaande
9
8
256
243
9
8
9
8
G
~782
A5
880
16
9
1152
256
243
9
8
2
1296
9
8
C-groot (Pythagorasstemming)
Toon
Frequentie(Hz)
relatief
C4
~26
1
1
frequentiegeta
384
l *)
t.o.v. voorgaande
D
E
F
~293
330
~348
81
64
4
3
3
2
27
16
486
512
576
648
9
8
432
9
8
9
8
256
243
G
~391
9
8
A
B
495
440
9
8
~521
243
128
729
9
8
Het frequentiegetal is het aantal trillingen gedurende een periode van
2
768
256
243
81
( ≈1,47)
55
seconden
De periode is zo gekozen dat het frequentiegetal steeds een heel getal is.
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 12
C5
Bijlage 2
Bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gelijkzwevende_temperatuur
Tonen en verhoudingen versie 3.1 (20-7-2017)pg 13