De monochord is het simpelste snaarinstrument dat je je

Tonen en verhoudingen
Één snaar instrument
De monochord is het simpelste snaarinstrument dat je je kunt
voorstellen. Het bestaat uit één snaar van een vaste lengte op een
plank. Als je op deze snaar tokkelt hoor je toon. De hoogte van deze
toon hangt o.a. af van de dikte en de spanning, en de lengte van de
snaar. Met een soort kammetje kun je de lengte van de snaar - beter
gezegd de lengte van het deel dat vrij kan trillen - veranderen.
Hiermee verander je ook de toon, hoe korter hoe hoger de toon.
De hoogte van de toon wordt bepaald door de het aantal trillingen per seconde, de frequentie.
Zo heeft de (centrale) A volgens de huidige afspraken een frequentie van 440 Hz (trillingen
per seconde). Als je verder niets verandert (ceteris paribus) betekent een halvering van de
lengte een verdubbeling van de frequentie. Lengte en frequentie zijn omgekeerd evenredig.
Twee tonen waarvan de frequenties zich verhouden als 1 : 2 (de ene frequentie dus het
dubbele is van de andere) klinken in onze oren als duidelijk verwante tonen: ze verschillen
een octaaf van elkaar. Tonen die een octaaf verschillen worden weergegeven met de zelfde
letter. Om ze uit elkaar te houden worden aanduidingen als A1, A2, A3 gebruikt
We gaan uit van snaar van 60 cm lengte die zo is gespannen dat deze (vrij trillend) de
centrale A(A4 : 440 Hz) voortbrengt
1.
Wat gebeurt er met de frequentie wanneer je de lengte halveert?
De toon die wordt voorgebracht wordt A5 genoemd
b. Waar moet je het kammetje zetten om A6 (dubbele frequentie van A5) te laten horen?
c. Welke frequentie heeft A3 ? en A1 ?
d. Welke toonhoogte krijg je als een derde van de snaar gebruikt ?
a.
De toon uit de laatste vraag heeft een frequentie die 3 maal zo hoog is als die van de centrale
(A4) , en (dus) 1½ maal zo hoog is als van de hoge A (A5 ). We zeggen dan vaak dat de
verhouding tussen de frequenties dan 2 : 3 is. Dit geldt (in omgekeerde volgorde) ook voor de
verhouding tussen de bijbehorende snaarlengtes. Op de naamgeving komen we nog terug
Vul de volgende tabel verder in :
2.
Naam toon
Frequentie(Hz)
relatief
Lengte (cm)
gedeelte
A4
A5
A6
E5
440
1
60
30
1
20
1
3
4
Tabel 1
3.
a.
b.
Wat is de frequentieverhouding tussen E5 en A5 ?
Wat is de frequentieverhouding tussen E5 en A6 ?
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 1
1
2
Wanneer de frequenties zich verhouden als 2: 3 ( dus de ene 1½ maal zo groot is als de
andere) wordt het bijbehorende interval een (zuivere of reine) kwint genoemd. Kwint
betekent letterlijk vijfde, in het Engels spreekt men van de fifth We komen daar nog op
terug. Tonen die een kwint verschillen klinken goed bij elkaar. Dat zelfde geldt voor
de kwart – twee tonen waarvan de frequenties zich verhouden als 3: 4
4.
Vanuit een bepaalde toon gaan we een kwint omhoog . Wat betekent dit voor
de frequentie?
b. Leg uit met behulp van de frequentieverhoudingen dat een kwint plus een kwart
samen een octaaf vormen.
c. Laat zien dat een kwint omlaag het zelfde is als een kwart omhoog gevolgd
door een octaaf omlaag .
a.
Vanaf de oude Grieken (Pythagoras) tot na de middeleeuwen is (althans in grote
delen van) Europa een toonsysteem gebruikt dat gebaseerd was op octaven en
kwinten. De stemming van strijkinstrumenten als de viool is ook gebaseerd op
(zuivere) kwinten. Met behulp van het monochord kunnen we dit systeem vrij
makkelijk zelf herontdekken.
We starten bij de centrale A en gaan van daaruit kwinten omhoog en omlaag.
Toon
Frequentie
relatief
2
3
90
Lengte snaar
A4
440
1
60
660
990
3
2
40
Tabel 2
5.
Bereken de relatieve frequentie van de hoogste toon.
Bepaal de relatieve frequenties van de andere tonen (zonder eerst de frequenties zelf te
berekenen)
c. Bepaal de frequentieverhouding tussen de laagste en de hoogste toon.
d. Laat zien dat hoogste toon meer dan 3 octaven hoger is dan de laagste
a.
b.
We kunnen de grote verschillen in toonhoogte tegengaan door tonen zo nodig te vervangen
door een die een octaaf hoger of lager ligt. In plaats van een kwint omhoog gaan we soms een
kwart omlaag, en in plaats van een kwint omlaag een kwart omhoog
6.
Doe dat , en zorg ervoor dat alle tonen een frequentie hebben tussen de 220 en 440Hz.
Gebruik daarbij onderstaande tabel:
Tabel 3
Toon
Frequentie
relatief
7.
196 391
293
8
9
2
3
Zet de tonen in volgronde van frequentie ( laagste links):
Tabel 4
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 2
A
440
1
660 330
3
4
Toon
Frequentie
relatief
A3
220
B3
C4
D4
E4
F4
G4
A4
440
1
De letters zijn de namen die deze tonen hebben gekregen in de loop der tijd.
8.
Zet de letters A t/m G op de juiste plek in de tabel 2 en 3
In tabel 2 is elke toon een kwint hoger dan zijn linkerbuur. Verklaar het woord kwint
(vijfde)
c. Welke toon is een kwart hoger dan de A. Verklaar het woord kwart (vierde).
a.
b.
Toonladders
De tonen A4 B C D E F G A5 in die volgorde gespeeld vormen de Aeolische toonladder – ook
wel de A mineur toonladder genoemd. Bekender is de Ionische (C-majeur) toonladder:
C4 D E F G A B C5. Toonladders kunnen uiteraard makkelijk een octaaf verplaatst worden,
bijv C5 D E F G A B C6. We noteren voortaan C D E F G A B C
Bij het spelen van toonladders hoor je duidelijk verschillende toonafstanden- vaak aangeduid
met hele en halve.
C - heel - D - heel - E - half - F - heel - G - heel - A - heel - B - half - C
Bij de mineurtoonladder(s) is de afwisseling anders :
A - heel - B - half -C - heel - D - heel - E - half - F - heel - G - heel - A
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 3
Levert het kwintensysteem van Pythagoras ook ‘hele’ en ‘halve’ toonafstanden op ?
Om dat goed te bekijken gebruiken we niet de (op hele getallen afgeronde) frequenties, maar
de relatieve frequenties uit tabel 4.
9.
a.
b.
c.
d.
e.
Laat zien dat verhouding tussen de C en de D precies 8 : 9 is
Bereken de frequentie verhoudingen E : F exact
Bereken ook de andere frequentieverhoudingen in de majeur toonladder.
Hoeveel verschillende verhoudingen zijn er ?
Ga na in hoeverre geldt “twee halve is een hele”. Hoe controleer je dit ?
In beide toonladders is de ‘afstand’ tussen de eerste en de vijfde toon altijd ‘drie hele en een
halve”, en de afstand tussen de eerste en de vierde altijd ‘twee hele en een halve’.
De afstand tussen de eerste en de derde toon is echter bij de majeur toon ladder twee hele, en
bij de mineur toonlader een hele en een halve. Dat scheelt nogal. Daarom maakt men
onderscheid in grote terts (derde) en kleine terts, oftewel majeur(groot) en mineur (klein)
Met behulp van je uitwerking van vraag 9 kun je makkelijk nagaan welke
frequentieverhoudingen er volgens het kwintensysteem van Pythagoras er horen bij de tertsen.
10.
a.
b.
c.
Bereken de frequentieverhouding A : C (kleine terts)
Bereken de frequentieverhouding C: E (grote terts)
Controleer je antwoorden met bijlage 1
Tonen met een frequentieverhouding 2 : 3 of 3 : 4 klinken goed samen. Als de
frequentieverhouding is 8 : 9 klinkt het minder mooi. Hoe kleiner de getallen, hoe
harmonieuzer. (uiteraard vereenvoudig je 8: 12 eerst tot 2:3)
Een interval met frequentieverhouding 27 : 32 of 64 : 81 klinkt niet fraai.
Kort gezegd de stemming volgens Pythagoras levert valse tertsen op, met name de grote terts.
Dat was de belangrijkste reden dat er in de loop der tijd ( met name in de 16e , 17e eeuw)
steeds meer weerstand kwam tegen de deze stemming.
Zuivere intervallen en drieklanken
De valse grote terts van Pythagoras heeft een verhouding (64 : 81) die erg dicht bij een
mooie verhouding ligt (64 : 80 = 4 : 5)
Het lijkt een goed idee om voor de grote terts de verhouding 4: 5 te nemen. De kleine terts
heeft een verhouding in de buurt van 5: 6 . Om een terts aan te vullen tot een octaaf hebben
we de sext (zesde) nodig, uiteraard weer in twee uitvoeringen, klein en groot.
We hebben nu de volgende zuivere intervallen:
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 4
Kleine terts
Grote terts
Kwart
Kwint
Grote sext
Kleine sext
5:6
4:5
3:4
2:3
3:5
5:8
11.
Laat met frequentieverhoudingen zien dat de grote terts en de kleine sext samen een
octaaf vormen
b. Laat met frequentieverhoudingen zien dat de kleine terts en de grote sext samen een
octaaf vormen
c. Laat ook zien dat een grote en een kleine terts samen een kwint vormen.
a.
Een drieklank zoals C-E-G bestaande uit een grote terts gevolgd door een kleine terts
wordt een grote drieklank (ook wel een grote terts akkoord) genoemd..De bijbehorende
frequentie verhouding is 4:5:6.
Wanneer grote en kleine terts van plaats wisselen, zoals in A-C-E hebben we te maken met
een kleine drieklank ( kleine terts akkoord)
Bepaal de frequentieverhouding van een kleine drieklank. (met hele getallen)
12.
We gaan kijken in hoeverre het mogelijk is met zuivere (grote en kleine) tertsen te werken
Kijkend naar de C majeur toonladder zie je de volgende tertsen:
 Groot : CE ; FA; GB
 Klein: DF ; EG; BD
We gaan kijken wat we krijgen als we dat combineren:
Toon
Rij 1
Rij 2
Rij 3
Rij 4
Rij 5
Rij 6
C
4
D
E
F
G
A
B
5
4
5
4
5
5
3
5
6
6
5
Waarom staat in rij 6 de verhouding 3 : 5 (grote sext) in plaats van 5 : 6 ?
13.
14.
a.
b.
c.
d.
e.
Door rij 2 met rij 4 te combineren kun je frequentieverhouding D : A berekenen
Doe dat ( hele getallen)
Bereken op een dergelijke manier de frequentieverhouding F : B
Bereken de frequentieverhoudingen C : D, C : E , C : F enz
Bereken de frequentieverhoudingen C : D, D : E, E : F ( twee opeenvolgende tonen)
Welke conclusie trek je ?
Je kunt laten zien dat er iets ‘scheefgegroeid’ is door bijv. te letten op het interval E-A.
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 5
Bij de stemming volgens Pythagoras is dit een zuivere kwart (verhouding 3 : 4). In het
systeem met zuiver tertsen krijgen we de frequentieverhouding 100 : 135 (= 20:27) en dat is
net even anders.
15.
Maak het verschil (in de zin “wat scheelt het?“) tussen 3 : 4 en 20 : 27 duidelijk(er).
Toonsystemen
In feite hebben we nog maar een (klein) gedeelte van het toonsysteem van Pythagoras
bekeken. Wat gebeurt er bijv als je vanuit de toon die helemaal rechts in tabel 3 staat (de
B) weer een kwint omhoog gaat, en dan weer een kwint omhoog (of een kwart omlaag als
dat zo uitkomt)
16.
Laat zien de toon die een kwint boven de B ligt een frequentie heeft die tussen die van
de F en de G in ligt. Deze toon noemt de Fis (verhoogde F)
b. Vul de volgende tabel verder in. Zorg dat de frequenties tussen de 220 en 440 Hz
liggen, en ga na of je (de ingevulde) tabel 3 kunt gebruiken.
a.
Tabel 5
Toon
B
Fis
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 6
Cis
Gis
Dis
Ais
Eis
Bis
Frequentie
Relatief t.o.v.
A4
247,5
9
16
27
32
Je kunt je afvragen of je op den duur weer de zelfde toon terugkrijgt.
Het antwoord hang af van de vraag of je bedoelt precies de zelfde toon, of bij benadering.
We gaan eerst kijken of we precies zelfde toon kunnen terugkrijgen.
We gaan steeds een kwint omhoog of een kwart omlaag, we vermenigvuldigen dus steeds met
3 en delen steeds een of twee keer door 2 . De vraag is dus: Is het mogelijk dat
3

3

....

3

1
?
2

2

...

2

2
Anders geschreven is het mogelijk dat 3×3×…×3 = 2×2×…×2×2 ?
(het aantal tweeën is groter dan het aantal drieën)
17.
Geef een reden waarom dit onmogelijk is
We kunnen wel in de buurt komen.
18.
a.
b.
c.
d.
Vergelijk de Bis uit tabel 5 met de centrale C ( zie eventueel bijlage 1)
Laat zien dat 12 kwinten omhoog bijna het zelfde is als 7 octaven omhoog
Wat is het verband tussen beide vorige vragen (en antwoorden)?
Wanneer je 12 kwinten omhoog gaat en 7 octaven om laag krijg je niet precies de zelfde
toon. Bereken hoeveel het scheelt.
Vaak wordt gedaan of je na 12 kwinten (en 7 octaven omlaag) weer
de zelfde toon krijgt. Men spreekt dan van de kwintencirkel.
Het belangrijkste probleem van dit toonsysteem gebaseerd op zuiver
kwinten is echter de valse terts. Door de kwinten net niet helemaal
zuiver te stemmen zijn de loop van de 15e – 17e eeuw stemmingen
ontwikkeld met zuivere tertsen.
Hoewel zuivere kwinten en tertsen elkaar lijken te ‘bijten’ zijn er in de 18e eeuw zijn
toonsystemen ontwikkeld gebaseerd op zuivere kwinten en zuivere tertsen.
(Rameau ; Euler).
De basis wordt gevormd door de drieklank C E G, een bekend grote terts akkoord.We zetten
echter de tonen niet allemaal naast elkaar, maar in een 2-dimensionaal schema:
E
C
G
Horizontaal gaan we (van links naar rechts) steeds een kwint omhoog (en zonodig een octaaf
omlaag) Verticaal gaan we een grote terts omhoog (en zonodig een octaaf omlaag)
19.
Vul gebruik makend van de letterlijke betekenis van terts en kwint de letters A, B, D en
F op de juiste plek
b. Bereken de relatieve frequenties t,a,v, de toon linksonder in de tabel.
c. Bepaal de (exacte) frequentieverhouding B : C
d. Bepaal de (exacte) frequentieverhouding C : D
a.
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 7
e.
f.
Doe het zelfde voor D : E t/m A : B
Ga na wat de verschillen zijn met de verhoudingen die we kregen bij het
kwintensysteem van Pythagoras.
Voor in het vakje rechtsboven hebben we eigenlijk een extra naam nodig .Evenals in tabel 5
noemen we deze toon de Fis (van Euler).Extra namen zijn ook nodig wanneer we nog een rij
toevoegen. Ga na dat deze namen overeenkomen met die van de zwarte toetsen op een
klavier. Deze worden echter meestal ( zoals bij een piano) anders gestemd
20.
a.
Vul in de volgende tabel de juiste relatieve frequenties in. (Zorg dat alle getallen tussen
de 1 en 2 blijven)
Cis
Gis
Dis
A
E
B
F 1
C
G
b. Laat zien dat de Cis tussen de C en de D inzit
c. Zet de tonen is volgorde van relatieve frequentie.
Ais
Fis
D
Bovenstaand systeem kan in verticale richting ( zowel naar boven als naar onderen) en in
horizontale richting uitgebreid worden. Als we letten op de frequenties betekent een stap naar
rechts een vermenigvuldiging met 3 (gevolgd door een deling door 2 of 4). Een stap naar
boven betekent een vermenigvuldiging met 5 (gevolgd door een deling door 4 of 8).
We gaan weer na of het mogelijk is om na een aantal stappen de zelfde toon. te krijgen.
21.
5

..

5

3

...

3

1niet juist kan zijn
2

....

2
[De aantallen tweeën, drieën en vijven hoeven niet gelijk te zijn]
5... 5
b. Ga na of het mogelijk is dat
= 2×...×2
3.. 3
a.
Geef een argument waarom
a.
b.
Laat zien dat je op deze manier nooit op precies de zelfde toon kunt uitkomen.
Laat zien dat 8 kwinten plus een(grote) terts in dit systeem heel weinig verschilt van 5
octaven.
22.
Cents
Wanneer je een chromatische toonladder op een piano speelt: bijv. C-Cis-D-Dis-… C, zijn
alle stapjes (voor het gehoor) even groot. Dit betekent dat de verhouding tussen twee
opeenvolgende tonen steeds het zelfde is. We noemen die wel de gelijkzwevende stemming
(zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Gelijkzwevende_temperatuur ). Na 12 stapjes zijn we een
octaaf hoger uitgekomen.
23.
Laat zien dat de vaste verhouding tussen twee opeenvolgende tonen in een chromatische
toonladder ongeveer 17:18 moet zijn
b. Bereken de bijbehorende vermenigvuldigingsfactor in 5 decimalen, en controleer het
antwoord.
c. Hoe noteer je de exacte waarde van dit getal ?
a.
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 8
De Engelse musicoloog Ellis kwam op het idee om het stapje tussen twee opeenvolgende
tonen te verdelen in 100 mini stapjes: cents
24.
Laat zien een toonafstand van 1 cent overeenkomt met een verhouding van ongeveer
1731 : 1732
b. Bereken de bijbehorende vermenigvuldigingsfactor in zes decimalen, en controleer het
antwoord.
a.
De verdeling van Ellis in cents is voorbeeld van een logaritmische schaalverdeling. Het
voordeel is dat vermenigvuldigingen en delingen (van breuken) vervangen worden door
optellen en aftrekken (in dit geval van hele getallen). Zie bijlage 2
25.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Ga met behulp van bijlage 2 na wat het effect is van :
Een kleine terts omhoog gevolgd door een grote terts omhoog. (gelijkzwevend)
Een grote terts omhoog gevolgd door een kwart omlaag (rein)
Een grote sext omhoog en een kwint omlaag. (gelijkzwevend)
Een octaaf omhoog en een kleine terts omlaag. (gelijkzwevend)
Twee kwinten omhoog. (rein)
Drie kwarten omhoog. (gelijkzwevend)
Het bepalen van het aantal cents bij een bepaald interval is bij gelijkzwevende stemming
eenvoudig:
1. Bepaal het aantal treden dat je op de chromatische toonladder omhoog moet.
 Bij de kwint is dat 7, zoals je makkelijk kunt nagaan op een toetsenbord.
2. Het aantal cents is nu 7 x 100 = 700
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 9
Bij reine intervallen zoals de zuivere kwint moeten we gebruik maken van logaritmen.
Het bekendst (en makkelijk te berekenen) zijn de logaritmen met grondtal 10
Deze worden kortheidshalve aangegeven met log.
Als het grondtal anders is dan wordt dat duidelijk aangegeven, bijv: 2 log 8 of log 2 (8)
Hieronder zie je een gedeeltelijk ingevulde tabel met getallen en hun log.
a
log(a)
26.
0,1
1
10
0
1
100 1000
2
0,5 1
1,25 1,333
−0,301 0
0,125
1,5
2
0,301
0,5
Log(100) =2 want 102 =100
a. Ga na welke vakjes je uit het hoofd kunt invullen
b. Bereken met behulp van een rekenmachine de ontbrekende waarden.
Wat is nu het verband met de cents van Ellis ?
Om dat nader te onderzoeken gebruiken we onderstaande tabel
interval
Grote terts
rein
Factor
(exact)
5
4
(afgerond)
Log
cents
27.
Grote terts
gelijkzw.
3
2
Kwart
rein
4
3
Kwart
Kwint
gelijkzw. rein
12
3
2
25
Kwint
octaaf
gelijkzw
12 7
2
2
1,25
1,260
1,333
1,335
1,5
1,498
2
0,09691
0,10037
400
0,12483
0,12548
0,17609
0,17551
0,30103
700
1200
500
Gebruik de tabel hierboven
a. Controleer getallen in de onderste rij bijna 4000 maal zo groot zijn als die in rij
daarboven.
b. Bereken dit verhoudingsgetal (rond af op een heel getal)
c. Bereken de ontbrekende getallen
Als het goed is heb je zo net gebruik gemaakt van de volgende regel:
c = 3986 · log(v)
c: aantal cents ; v: de factor die hoort bij de verhouding
28.
Gebruik bovenstaande formule
a. Bereken hoeveel cents de reine kleine terts is (verhoudingsfactor: 1,2 )
b. Ga na hoeveel dit scheelt met de gellijkzwevend gestemd
c. Bereken het verschil in cents tussen 12 zuivere kwinten en 7 octaven.
[Dit wordt wel de Pythagoreïsche komma genoemd]
=====Bijlage 1 toonladders
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 10
A- klein (Pythagorasstemming)
Toon
Frequentie (Hz)
relatief
A4
440
B
495
9
8
729
1
frequentiegetal *) 648
t.o.v. voorgaande
9
8
C
~521
32
27
768
256
243
D
~587
4
3
864
9
8
E
660
3
2
972
9
8
F
~695
128
81
1024
256
243
G
A5
~782
880
16
2
9
1152
1296
9
9
8
8
A
440
27
16
648
B
C5
495
~521
243
2
128
729
768
9
256
8
243
C-groot (Pythagorasstemming)
Toon
Frequentie(Hz)
relatief
C4
~261
1
frequentiegetal *) 384
t.o.v. voorgaande
D
~293
9
8
432
9
8
E
330
81
64
486
9
8
F
~348
4
3
512
256
243
G
~391
3
2
576
9
8
9
8
Het frequentiegetal is het aantal trillingen gedurende een periode van
81
( ≈1,47) seconden
55
De periode is zo gekozen dat het frequentiegetal steeds
een heel getal is.Bijlage 2
Bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Gelijkzwevende_temperatuur
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 11
Tonen en verhoudingen versie 2.02 (20-7-2017) pg 12