Loopt dit wel goed af

Nieuwe Natuurkunde
Wisselwerking & Beweging
VWO
1 Kracht en beweging
Lesplanning
Les
Datum
Keuze
Onderwerp
Klassikaal
Opgaven
1 Introductie
Wat heb je aan mechanica?
Het ontstaan van de mechanica
1 t/m 3
4
1
2 Verplaatsing
De methode van Newton
Beweging bij een constante kracht
5
2
6, 7, 8
60, 61
3
Gravitatie
De grootte van de zwaartekracht
Constructie van een komeetbaan
9, 10
11, 12
Zwaartekracht
Toepassingen van Newton’s theorie
13, 14
3
4
Keuze
4
11
11
15 t/m 18
11
5 Kracht en snelheid
Verandering van de snelheid
Een grafiek van de snelheid
19
10, 11, 12
5
6 Snelheid en versnelling
Een nieuw begrip: versnelling
Stroboscoopfoto vallende kogel
23, 34
6
25, 26, 27
53 t/m 56
64, 65
7 Versnelling en afstand
Versnellen in attractieparken
De oppervlaktemethode
28, 29
30, 31, 32
7
8
7 Versnelling en afstand
Afronden
33
57 t/m 63
72, 73, 74
8 Remmende auto
Een veilige remweg
Maximale remvertraging
36
9
37 t/m 40
68, 69
77, 78, 79
10
Keuze
8 Remmende auto
Twee seconde afstand
41
42, 43, 44
80, 81
Keuze
9 Botsen zonder autogordel
Krachten bij een botsing
Remvertraging bij een botsing
45, 46, 47
11
48, 49
82, 83
12
Keuze
10 Videometen
Videometen en analysetechnieken
Oefenopdracht videometen
13+14
Keuze
10 Videometen
Praktische opdracht videometen
15
Keuze
11 Afsluiting
Terugblik en samenvatting
16
Keuze
2
11 Afsluiting
42
3
Inhoud
1
Introductie
Wat heb je aan mechanica?
Het ontstaan van de mechanica
2
Verplaatsing
De methode van Newton
Beweging bij een constante kracht
3
32
34
Remmende auto
Een veilige remweg
Maximale remvertraging
Twee seconde afstand
9
27
29
Versnelling en afstand
Versnellen in attractieparken
De oppervlaktemethode
8
23
25
Snelheid en versnelling
Een nieuw begrip: versnelling
Stroboscoopfoto vallende kogel
7
18
Kracht en snelheid
Verandering van de snelheid
Een grafiek van de snelheid
6
13
15
Zwaartekracht
Toepassingen van Newton‟s theorie
5
9
11
Gravitatie
De grootte van de zwaartekracht
Constructie van een komeetbaan
4
5
7
39
41
44
Botsen zonder autogordel
Krachten bij een botsing
Remvertraging bij een botsing
47
49
10 Videometen
Videometen en analysetechnieken
Praktische opdracht videometen
Oefenopdracht videometen
51
51
52
11 Afsluiting
4
Terugblik en samenvatting
Begripstest
Oefenopgaven
54
57
59
Antwoorden
64
1 Introductie
Wat heb je aan mechanica?
Wat gaan we doen?
Mechanica is de theorie over de bewegingen van voorwerpen – van de
kleinste atomen tot de grootste sterren – over de oorzaken van die
bewegingen en over de invloed van andere krachten op de beweging. Dit
hoofdstuk gaat over de manier waarop de mechanica gebruikt wordt om
bewegingen te beschrijven, te verklaren en te voorspellen.
 Wat heb je aan mechanica?
 Hoe kun je met mechanica de beweging van een voorwerp beschrijven,
verklaren en voorspellen?
1
Toepassingen in de sport
De Ronde van Frankrijk in 1989 werd beslist in de laatste tijdrit. De drager van
de gele trui, de Fransman Laurent Fignon, had een voorsprong van 50 s op zijn
naaste concurrent, Greg Lemond. Dat leek voldoende maar dankzij voor die tijd
revolutionaire aanpassingen won Lemond de tijdrit met 58 seconde voorsprong
en de Tour met 8 seconde – het kleinste verschil ooit.
Figuur 1 – Laurent Fignon (links) en Greg Lemond (rechts) tijdens de tijdrit in 1989. Fignon
reed toen nog in de gele trui.
a In figuur 1 zie je Fignon en Lemond tijdens die tijdrit. Welke verschillen
merk je op tussen beide wielrenners en fietsen?
b Leg uit hoe die verschillen zorgen voor een grotere snelheid.
In sporten zoals wielrennen en schaatsen zie je voortdurend veranderingen aan
het materiaal die moeten zorgen voor een hogere snelheid.
c Noem twee voorbeelden van zulke veranderingen aan het materiaal.
6
Onderzoekers willen ook graag weten hoeveel verschil die veranderingen
opleveren. Daarvoor gebruiken ze vaak een windtunnel.
d Wat zouden de onderzoekers met de windtunnel eigenlijk meten?
e
2
Op de foto‟s in de kantlijn zie je een antieke en een moderne rolstoel. Noem
twee verschillen en leg uit wat het voordeel van die verschillen is.
Toepassingen in het verkeer
Sinds de jaren 70 is het verkeer is relatief veel veiliger geworden, mede door een
groot aantal veiligheidseisen aan auto‟s.
Figuur 2 - Een antieke rolstoel en de
moderne van Esther Vergeer.
Figuur 3 - Een Toyota Corolla uit 1972 (links) en een uit 2006 (rechts).
Veiliger verkeer
In 1972 reden er
ongeveer 2,8 miljoen
auto‟s rond in Nederland.
In dat jaar waren er bijna
3200 verkeersdoden te
betreuren. In 2006 waren
er ongeveer 7,2 miljoen
auto‟s en vielen er 811
doden in het verkeer.
In figuur 3 zie je een personenauto uit 1972 en een van hetzelfde type uit 2006.
Aan de buitenkant zie je dat de vorm flink veranderd is.
a Wat zou de vorm van de nieuwe buitenkant te maken kunnen hebben lager
brandstofverbruik?
De veiligheidsmaatregelen zijn aan de buitenkant nauwelijks zichtbaar.
b Noem tenminste twee veiligheidsmaatregelen in moderne auto‟s.
c
Zou de nieuwe buitenkant van de auto ook veiliger zijn voor voetgangers?
d Ander maatregelen verbeteren de prestaties van de auto: een hogere snelheid,
betere besturing, zuiniger met brandstof, minder CO2-uitstoot of een betere
wegligging. Noem tenminste twee voorbeelden.
7
3
Het ontstaan van de mechanica
Mechanica is ontstaan in de 17e eeuw. Dat gebeurde aan de hand van een
beroemde gebeurtenis uit die tijd: de komeet Kirch, waargenomen in 1680. De
mensen begrepen toen nog maar heel weinig van kometen. Niemand wist waar
de kometen vandaan komen en waarom ze in een vreemde baan langs de hemel
bewegen.
Komeet Kirch was dagenlang helder en goed zichtbaar aan de hemel, maar het
was lastig om te bepalen hoe ver de komeet van de aarde af stond. Uit
waarnemingen van over de hele wereld is de onderstaande tekening gemaakt.
Daarin zijn de posities van de aarde, de zon en de komeet op verschillende
dagen weergegeven.
Figuur 4 – Schets van komeet Kirch
4 nov
19 nov
posities komeet Kirch
Zon
4 nov
12 dec
21 dec
5 jan
25 jan
5 feb
19 nov
baan van de aarde
12 dec
21 dec
5 jan
5 feb
25 jan
Figuur 5 - De posities van komeet Kirch ten opzichte van de Zon en de Aarde. Naar een tekening van Newton.
De baan van de komeet is nog onduidelijk. Met name in de periode tussen 19
november en 12 december moet de komeet in de buurt van de Zon zijn geweest.
a Hoe denk je dat de komeet bewogen heeft in de buurt van de Zon?
b Wat lijkt je de meest waarschijnlijke baan van de komeet? Schets jouw
voorspelling van de baan (van 4 november tot 5 februari) in figuur 5.
Uit de tekening kun je ook iets zeggen over de snelheid van de komeet.
c Is de snelheid van de komeet steeds even groot geweest? Zo nee, waar was
de snelheid groot, waar was de snelheid klein?
8
Voor het veranderen van de snelheid moet een oorzaak te vinden zijn.
d Wat veroorzaakte de verandering van de snelheid?
e Welk voorwerp zorgde voor die verandering?
4
Kracht en snelheid
In de onderbouw heb je al ontdekt dat een kracht de snelheid kan veranderen.
Dat is een van de manieren waarop je kunt zien dat er een kracht werkt. Een
nettokracht zorgt voor een verandering van de snelheid.
a Welke drie soorten veranderingen heb je in de vorige vraag ontdekt?
De invloedloze beweging
Kan een voorwerp ook
bewegen als er geen
enkele kracht op werkt? Als
de nettokracht nul is?
Newton realiseerde zich
dat je eerst moet weten
hoe een voorwerp beweegt
als er geen enkele kracht
werkt. Hij noemde dat de
invloedloze beweging.
Een belangrijke vraag bij het verklaren van bewegingen is: “Hoe zou de komeet
verder bewegen als er (plotseling) geen enkele kracht meer op zou werken?” Dit
wordt ook wel de invloedloze beweging genoemd. Een voorwerp dat stilstaat zal
natuurlijk niet gaan bewegen als er geen kracht op werkt, maar hoe zit dat met
een voorwerp dat al in beweging is?
b Stel dat er vanaf 19 november opeens geen enkele kracht meer op de komeet
werkt. Wat zou er vanaf dat moment gebeuren met de snelheid? Leg kort uit.
Wetenschappers in de tijd van komeet Kirch, en met name de nu beroemde Isaac
Newton, keken niet naar de snelheid maar naar de verplaatsing van een
voorwerp binnen een bepaalde periode.
4 nov
19 nov
Zon
4 nov
12 dec
21 dec
5 jan
25 jan
19 nov
Figuur 6 – Posities van de komeet
Figuur 7 - Sir Isaac Newton
(1643-1727) op 46-jarige
leeftijd. .
c Stel dat er vanaf 19 november opeens geen enkele kracht meer op de komeet
werkt. Welke verplaatsing zou er dan zijn in de volgende periode van 15
dagen, dus van 19 november tot 4 december? Teken die verplaatsing in de
12 dec
figuur en geef een korte toelichting.
21 dec
d Teken ook de verplaatsing in de volgende periode, van 4 tot 19 december.
5 jan
5 feb
25 jan
9
2 Verplaatsing
De methode van Newton
Wat gaan we doen?
In de vorige les heb je ontdekt dat Als er geen enkele kracht werkt dan blijft
de snelheid constant. Newton noemde dat de invloedloze beweging. Een
kracht zorgt voor een verandering van de snelheid. Newton bedacht ook een
methode om de beweging onder invloed van een kracht te tekenen.
 Hoe werkt de methode van Newton?
Newton voorspelde dat een kracht zou moeten zorgen voor een extra
verplaatsing in de richting van de kracht. De verplaatsing binnen één periode
bestaat volgens Newton uit een combinatie van de verplaatsing door de
invloedloze beweging en de extra verplaatsing door de kracht.
5
Extra verplaatsing
In figuur 8 is de baan van een willekeurige komeet getekend met de methode
van Newton. Rechts zie je de invloedloze beweging en de extra verplaatsing.
Figuur 8 – Extra verplaatsing door de invloed van de zon.
a Welke pijlen horen bij de invloedloze beweging en welke pijlen horen bij de
extra verplaatsing?
10
O
P
Figuur 9 - Constructie van de baan
van de komeet in stappen. De nieuwe
positie wordt getekend met een
parallellogram van de twee
verplaatsingspijlen.
Vanuit positie 2 en 3 is met behulp van de twee pijlen een parallellogram
getekend. De nieuwe positie wordt bepaald met behulp van dit parallellogram
(zie ook figuur 9).
b Teken vanuit positie 4 en 5 het parallellogram met de twee
verplaatsingspijlen en controleer dat de volgende positie op het eindpunt van
het parallellogram ligt.
c Teken positie 9 vanuit positie 8 met behulp van de twee pijlen.
d Teken vanuit positie 6 en 7 de pijl die de extra verplaatsing weergeeft. Laat
zien hoe je die gevonden hebt.
e Alle pijlen bij de extra verplaatsing zijn getekend in de richting van de zon.
Leg uit waardoor dat komt.
f
De pijlen voor de extra verplaatsing zijn niet allemaal even groot. Waardoor
komt dat?
De methode van Newton voor bewegingen
De aanpak van Newton om bewegingen te beschrijven bestaat uit de volgende
stappen:
1. Kies een constante tijdstap, bijvoorbeeld de tijd tussen twee bekende
posities.
2. De invloedloze beweging is gelijk aan de verplaatsing in de voorgaande
tijdstap (alsof er geen enkele kracht invloed heeft op de beweging).
3. Een kracht zorgt voor een extra verplaatsing in de richting van de kracht
(gerekend aan het begin van de tijdstap).
4. De nieuwe positie wordt bepaald uit de som van de invloedloze beweging
en de extra verplaatsing met behulp van een parallellogram.
Benadering van de werkelijke beweging
De methode van Newton is natuurlijk slechts een benadering van de werkelijke
beweging. Newton nam in feite aan dat de snelheid gedurende een gehele
tijdstap constant zou zijn, maar de snelheid verandert natuurlijk doorlopend.
Door hele kleine tijdstappen te nemen kon hij toch een goede benadering van
de beweging maken.
Newton wist natuurlijk nog niet hoe groot de massa van de komeet en de
aantrekkingkracht van de zon zou zijn. Door verschillende aannames te maken
voor de extra verplaatsing en die te vergelijken met de werkelijke baan kon hij
uiteindelijk niet alleen aantonen dat zijn methode succesvol was, hij kon ook
bepalen hoe groot de invloed van de zon op de komeet was. Zeker in die tijd was
dat een grote prestatie.
11
Beweging bij een constante kracht
In de onderstaande oefenopgaven wordt steeds met een constante kracht
gewerkt. De extra verplaatsing door de invloed van de kracht is daardoor in elke
tijdstap even groot.
6
Methode van Newton bij een constante kracht
In figuur 10 is een begin van een beweging volgens de constructiemethode
getekend. Het gaat om een situatie waarbij de kracht constant is..
O
P
Q
Figuur 10 – Constructie bij een constante kracht.
Er zijn drie posities getekend, met gelijke tijdstappen. Positie Q is bepaald met
de constructiemethode. De twee pijlen horen bij de invloedloze beweging en de
extra verplaatsing door de kracht,
a Welke pijl stelt hier de invloedloze beweging voor?
b Welke betekenis heeft de andere pijl?
c Teken in figuur 10 vanuit Q de pijl voor de invloedloze verplaatsing in de
volgende tijdstap.
d Teken ook de pijl voor de extra verplaatsing door de constante kracht en
positie R.
e Teken vervolgens op dezelfde manier positie S.
f Bekijk de beweging. Ken je bewegingen die ongeveer zo verlopen? Hoe
noemen we zo‟n beweging?
7
Newton bij een tegenwerkende kracht
In figuur 11 is een ander voorbeeld van de constructiemethode getekend. Ook
hier is de kracht constant.
O
Figuur 11
P
Q
a Hoe kun je zien dat je hier te maken hebt met een tegenwerkende kracht?
b Teken zelf de volgende twee posities met de constructiemethode.
c Bekijk de beweging. Ken je bewegingen die er zo uitzien? Welke?
12
8
Constructie van een kromlijnige beweging
In figuur 12 is de kracht naar beneden gericht. De kracht is ook in deze situatie
constant: zowel de grootte als de richting veranderen niet.
O
A
B
Figuur 12
a Welke verplaatsingen horen bij de gestippelde pijl en de doorgetrokken pijl
vanuit A?
b Teken in figuur 19 met een „parallellogram‟ de totale verplaatsingspijl.
c Teken vanuit positie B de pijlen voor de invloedloze en de extra verplaatsing.
d Teken met een parallellogram positie C en construeer op dezelfde manier
positie D en E.
e Het voorwerp gaat steeds sneller bewegen. Hoe zie je dat?
f
Ken je bewegingen die er zo uitzien? Hoe noem je zo‟n beweging?
13
3 Gravitatie
De grootte van de zwaartekracht
Wat gaan we doen?
Alles valt omlaag. Iedereen weet dat dit het gevolg is van „de
zwaartekracht‟, de kracht is waarmee de Aarde alle voorwerpen aantrekt
In het heelal werkt dezelfde kracht, die we dan gravitatiekracht noemen.
Zonder deze kracht zou de aarde niet ronde de zon kunnen draaien.
 Hoe kun je de grootte van de gravitatiekracht berekenen?
 Kun je met de gravitatiekracht de baan van de komeet verklaren?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Zwaartekrachtsconstante
Gravitatiewet
Gravitatieconstante
Interactie
Remvertraging
Remweg
Voor de zwaartekracht geldt: Fz = mg
Waarbij g (in Nederland) de waarde 9,81 N/kg heeft. Volgens Newton trekken
alle massa‟s elkaar aan. De aantrekking tussen de zon en de aarde of tussen de
aarde en de maan heeft dus dezelfde oorzaak als de zwaartekracht op aarde.
9
Zwaartekracht op de maan
Op aarde werkt op elke kg een zwaartekracht van 9,8 N. Op de maan is de
zwaartekrachtsconstante slechts 1,63 N/kg, zes keer zo klein als op aarde. Dat
komt omdat de maan kleiner is en minder massa heeft. In BINAS kun je vinden
dat de massa van de maan 81 keer zo klein is als de massa van de aarde.
BINAS 31
 aarde
 maan
massa (kg)
24
5,976·10
24
0,0735·10
straal (m)
6
6,378·10
6
1,738·10
zwaartekracht (N/kg)
9,81
1,63
a Leg in je eigen woorden uit dat de zwaartekracht op een voorwerp niet alleen
afhangt van de massa van het voorwerp maar ook van de massa van de aarde
(of van de maan).
b Hoe komt het dat de zwaartekracht op de maan „slechts‟ zes keer zo klein is
als op aarde, terwijl de massa van de maan maar liefst 81 keer zo klein is?
De gravitatiekracht is de kracht waarmee twee voorwerpen op een bepaalde
afstand elkaar aantrekken. Die voorwerpen kunnen hemellichamen zijn, maar
ook andere voorwerpen. Volgens de theorie geldt voor de gravitatiekracht:
Fg  G 
m1  m2
r2
met gravitatieconstante G = 6,67310-11 Nm²kg-2
c Neem voor m1 de massa van de aarde en voor m2 je eigen massa. Bereken
met welke kracht de aarde aan je trekt. Klopt de uitkomst?
14
De aarde en de maan oefenen ook een kracht uit op elkaar.
d Waaraan kun je merken dat de maan een kracht uitoefent op de aarde? En
andersom?
1
A
2
e Welke kracht is groter, de kracht waarmee de aarde aan de maan trekt of de
kracht waarmee de maan aan de aarde trekt?
1
3
A
2
1
3
A
1+2+3
A
Figuur 14
EXTRA: Als je op de Mount Everest staat ben je ongeveer 8 km boven zeenivo.
Dan ben je dus ook 8 km verder van het binnenste van de aarde. De lucht is daar
veel ijler dan op zeenivo. Zou dat veroorzaakt kunnen worden door een kleinere
zwaartekracht?
f Ga na hoeveel de zwaartekracht op de Mount Everest kleiner is dan de 9,81
N/kg op zeeniveau.
Massa’s in interactie
Massa’s A en B trekken elkaar altijd even sterk aan. Als één van beide
massa’s toeneemt, nemen beide krachten toe. Dat principe geldt voor alle
krachten tussen twee voorwerpen. De voorwerpen oefenen op elkaar
krachten uit die altijd even groot zijn, en tegengesteld van richting.
O
N
P
Q
Figuur 15 –Constructie van de baan in
stappen.
Een formule voor de extra verplaatsing
In Newton‟s constructiemethode zorgt een kracht voor een extra verplaatsing.
Dat betekent dat de snelheid van het voorwerp verandert, in grootte of in
richting (zie figuur). Newton vond een formule om de grootte van de
snelheidsverandering te berekenen. Daarmee kon hij ook de grootte van de extra
verplaatsing berekenen. Voor de snelheidsverandering geldt de formule:
m  v  F  t
In deze formule is m de massa en Δv de snelheidsverandering van het voorwerp,
F is de kracht op het voorwerp en Δt is de tijdsduur waarin de kracht op het
voorwerp werkt.
Bij de bewegingen van hemellichamen is de extra verplaatsing evenredig met de
snelheid en dus ook evenredig met de gravitatiekracht. Omdat tijdens de
beweging alleen de afstand r verandert wordt de formule:
extra verplaatsing 
Figuur 16 – Is de baan van de
komeet Hale-Bopp te verklaren met
de aanpak van Newton?
constante
r2
Nu we Newton‟s constructiemethode voor de beweging van de planeten kennen,
kunnen we die ook toepassen op kometen zoals de komeet Kirch. Dat is de
eerste stap op weg naar het toepassen van Newton‟s aanpak in allerlei andere
situaties.
15
10 Constructie van een komeetbaan
In de onderstaande figuur zie je een begin van een constructie van de beweging
van een komeet in de buurt van de zon. In deze tekening is de tijdstap Δt = 1
dag. Voor de grootte van de extra verplaatsing geldt dan:
extra verplaatsing 
25
r2
B
A
O
C
D
extra verplaatsing in
iedere stap: sextra = 25/r2
S
Figuur 17 – Constructie van de komeetbaan in stappen
a Meet de afstand van positie C tot de Zon en bereken de extra verplaatsing in
de eerste stap. Controleer of de gele pijl in figuur 17 goed getekend is.
16
b Meet de afstand van positie D tot de Zon. Bereken de grootte van de gele pijl
en teken die in figuur 17.
c Teken de invloedloze beweging vanuit positie D en construeer positie E
volgens de methode van Newton.
d Teken daarna met dezelfde methode nog vier posities.
e Op welke dag is de snelheid het grootst? Wat kun je zeggen over de afstand
tussen de komeet en de Zon op die dag?
f
Leg in je eigen woorden uit hoe de komeet kan „omkeren‟ rond de Zon.
g De echte beweging van de komeet is vloeiend. De beweging in figuur 17 is
hoekig. Wat moet je doen om ook met de constructiemethode een vloeiende,
nauwkeurige komeetbaan te krijgen?
11 Invloed van de Aarde op de komeet Kirch
De constructie van de beweging van de komeet Kirch in paragraaf 8 gebruikte
alleen de zwaartekracht van de Zon. Hoe zit het met de kracht die de Aarde op
de komeet uitoefende? Gebruik BINAS.
a Vergelijk de massa van de aarde met de massa van de zon. Hoeveel keer zo
zwaar is de zon?
Op 4 november stond komeet Kirch ongeveer vijf keer zo dicht bij de aarde als
bij de zon.
b Met welke factor neemt de gravitatiekracht toe als de afstand vijf keer zo
klein wordt?
c Vergelijk de gravitatiekracht van de Zon op Kirch met de kracht van de aarde
op Kirch. Wat is je conclusie?
17
12 Deimos, maan van Mars
Eén van de twee manen van Mars is Deimos. Gegevens over Deimos staat in
BINAS.
a Bereken de gravitatiekracht die Mars op Deimos uitoefent.
b Hoe groot is dan de kracht van Deimos op Mars? (Een berekening is niet
nodig, wel een redenering.)
Figuur 18 – Deimos.
Stel dat we in de verre lege ruimte twee ballen plaatsen op een afstand van 1 m.
Ze hebben geen snelheid en er is geen andere invloed dan hun eigen gravitatie.
De twee ballen hebben een verschillende massa: bal 1 heeft een massa van 100
kg en bal 2 heeft een massa van 10 kg. Door hun eigen zwaartekracht gaan de
ballen bewegen. De vraag is nu: hoe gaan ze bewegen?
c Laat met een schets zien in welke richting de ballen gaan bewegen. Noteer in
de tekening de massa van elke bal en geef de richting van de kracht aan.
d Leg uit dat de ballen niet op dezelfde manier gaan bewegen. Wat is het
verschil?
e Na 1 uur is de kracht op bal 2 veranderd. Leg uit: is die kracht groter
geworden of juist kleiner? (Een berekening is niet nodig, een redenering
wel.)
18
4 Zwaartekracht
Toepassingen van Newton’s theorie
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Komeetbaan
Baansnelheid
Omlooptijd
Een constructietekening is niet erg nauwkeurig. Voor een goed tekening
moet een kleine tijdstap gebruikt worden. Dat kan het best met een
computermodel. Met zo‟n model, gebaseerd op de methode van Newton,
kunnen ook andere bewegingen in het heelal onderzocht worden.
 Zijn met Newton’s theorie ook bewegingen van andere voorwerpen in
het heelal te beschrijven en verklaren?
13 De nauwkeurige baan van een komeet
Nu we weten hoe de berekening tot stand komt, kunnen we het reken- en
tekenwerk aan de computer overlaten. Die doet precies dezelfde berekeningen
als je tot nu toe hebt gedaan, maar met veel kleinere stappen.
Figuur 19 – Beeld van de computersimulatie ‘ConstructieKomeet’ met een deel van de baan
van de komeet. De pijlen stellen de invloedloze en de extra verplaatsing in elke stap voor.
Figuur 20 – Met het Control
Panel kan het model bediend
worden.
Open de computersimulatie ConstructieKomeet. Het computerprogramma
berekent in elke positie de grootte van de extra verplaatsing met de formule van
de extraverplaatsing = (25/r²)·Δt².
a Laat de tijd lopen door op „play‟ te klikken..
b Leg uit hoe je aan de getekende baan kunt zien dat deze tijdstap te groot is.
c Stop het model en halveer de tijdstap (in het venster „Initial Conditions‟) en
laat de simulatie lopen. Geeft dat een duidelijke verbetering?
d Maak de tijdstap steeds kleiner. Bij welke waarde van de tijdstap vind je dat
de simulatie nauwkeurig genoeg is?
e De snelheid van de komeet is niet constant. Beschrijf hoe de snelheid
verandert.
f Is de baan van de komeet altijd een ellips? Onderzoek wat er gebeurt als je
de startwaarde voor de snelheid verandert.
19
14 De baan van de komeet Kirch
Open de computersimulatie ConstructieKirch. In deze simulatie kan de
werkelijke baan van de komeet Kirch vergeleken worden met de baan die door
het computerprogramma berekend wordt. In de achtergrond is daarvoor namelijk
figuur 37 afgebeeld. De tijd in het model rekent in dagen. Op t = 0 start de
komeet in de waargenomen positie van 4 november 1680.
a Laat de simulatie lopen tot de komeet bij de volgende waargenomen positie
is. Zet de simulatie dan stil met de pauzeknop. Na hoeveel dagen is de
komeet aangekomen op de positie van 19 november? Klopt dat (met een
marge van 1 dag) met de waarnemingen?
b Laat de simulatie verder lopen en beschrijf wat er gebeurt in de buurt van de
Zon. (In de figuur zijn zowel de Zon als de komeet veel te groot getekend.
Daardoor lijkt het alsof de komeet door de Zon heen gaat.)
De simulatie beschrijft in de buurt van de Zon duidelijk niet de werkelijke baan.
De oorzaak daarvan ligt in een te grote tijdstap.
c Verklein de tijdstap steeds met een factor 10 totdat de komeet omkeert rond
de Zon. Gebruik de knop V om het bewegen de versnellen.
Figuur 21 – Met een zeer kleine tijdstap beschrijft de computersimulatie de baan van de
komeet Kirch vrij nauwkeurig.
Newton’s tekening van komeet Kirch
Met Newton‟s aanpak voor het verklaren van bewegingen is een nauwkeurige
beschrijving te geven van de beweging van de komeet Kirch, die past bij de
waarnemingen. Alle bekende kometen blijken inderdaad zo te bewegen.
Figuur 22 – Newton’s eigen constructie van de beweging van de komeet Kirch in de Principia
Mathematica. De posities van de komeet zijn I, K, L, M enz. De Zon staat in punt D. De baan
van de Aarde is de boog GH. Newton heeft ook de ‘staart’ van de komeet ingetekend.
20
15 Een satelliet lanceren
Figuur 23 – Simulatie van de baan
van het ISS.
Om een satelliet in een cirkelbaan rond de aarde te krijgen is het belangrijk om
de snelheid van de satelliet nauwkeurig te kunnen regelen. Bij elke hoogte hoort
een andere snelheid.
De meest bekende satelliet is het International Space Station (ISS). De
gemiddelde hoogte van dit ruimtestation is ongeveer 342 km boven het
aardoppervlak. Omdat de Aarde zelf een straal heeft van 6.378 km (het ISS
bevindt zich dus relatief dicht bij het aardoppervlak) is de afstand van het
ruimtestation tot het centrum van de Aarde 6.720 km.
De computersimulatie SpaceStation rekent in meters en uren. In het model zijn
waardes voor de afstand en de snelheid ingevuld.
a Open de computersimulatie SpaceStation. Hoe lang doet het ISS over één
rondje van ruim 42.000 km rond de Aarde?
b Op welke hoogte en met welke snelheid start de baan van het ISS?
Figuur 24 – Het International Space
Station ISS draait op een hoogte van
ongeveer 342 km. Elke dag daalt het
vaartuig ongeveer 100 m, waardoor
continu moet worden gecorrigeerd.
Het ISS moet op constante hoogte ronddraaien. Daarvoor moet de snelheid van
het ISS precies de juiste waarde hebben. De simulatie blijkt nog niet goed te
werken: de hoogte verandert teveel. Kennelijk is de opgegeven snelheid niet
nauwkeurig genoeg.
c Is de waarde voor de snelheid te hoog of te laag gekozen?
d Pas de waarde van de snelheid aan tot de hoogte tijdens de omloop niet meer
dan 1 km afwijkt van de startwaarde. Noteer deze waarde.
Omdat de afstand van het ISS tot het midden van de Aarde groter is dan aan het
aardoppervlak zal de zwaartekracht op een voorwerp in het ISS lager zijn.
e Bereken met de gravitatiewet de zwaartekracht op een voorwerp met een
massa van 1 kg dat zich in het ISS bevindt.
16 De baan van Mercurius
Mercurius draait op een veel kleinere afstand rond de Zon dan de Aarde. De
baan van Mercurius verschilt nogal van de baan van de Aarde. Natuurlijk is de
afstand kleiner, maar er zijn nog meer verschillen.
a Open de computersimulatie TweePlaneten en vergelijk de baan van
Mercurius met de baan van de Aarde. Kijk naar de vorm van de baan, de
snelheid en de afstand. Noteer zoveel mogelijk verschillen.
Figuur 25 – Het oppervlak van
Mercurius.
21
Het opmerkelijkste verschil tussen de twee banen is dat bij Mercurius de Zon
niet in het midden van de baan staat. Bij Mercurius is de grootste afstand tot de
Zon ruim 50% groter dan de kleinste afstand.
Op internet zijn de volgende gegevens te vinden (NASA factsheets).
Mercurius
Aarde
kleinste afstand tot de Zon
46,00 miljoen km
= 0,3075 AE
147,1 miljoen km
= 0,9832 AE
grootste afstand tot de Zon
69,82 miljoen km
= 0,4667 AE
152,1 miljoen km
= 1,0167 AE
kleinste snelheid
38,86 km/s
29,29 km/s
grootste snelheid
58,98 km/s
30,29 km/s
b Ga na of de simulatie goed genoeg is om de bewegingen van Mercurius en
de Aarde zo nauwkeurig te berekenen dat de baan klopt met de gegevens in
de tabel.
c Vind je dat met deze „test‟ bewezen is dat het model van Newton ook geldt
voor de bewegingen van de planeten? Geef minstens één argument voor je
mening.
17 De massa van de planeten
In de computersimulatie TweePlaneten kan zowel de massa van de Zon als de
massa van de twee planeten aangepast worden.
a Voorspel eerst wat je verwacht als de massa van de Aarde twee keer zo klein
gekozen wordt.
Figuur 26 – Computersimulatie van de
banen van Mercurius en de Aarde met
de methode van Newton.
b Open de computersimulatie TweePlaneten en verander de massa van de
Aarde in 3,00·1024 kg (ongeveer de helft van de werkelijke waarde). Laat de
simulatie lopen. Komt je voorspelling uit?
Misschien verbaast het resultaat van de simulatie je niet, maar toch is het de
moeite waard om hier even nauwkeurig naar te kijken. In de computersimulatie
TweePlaneten kan zowel de massa van de Zon als de massa van de twee
planeten aangepast worden.
c Voorspel eerst wat je verwacht als de massa van de Zon twee keer zo klein
gekozen wordt. Verander daarna in de computersimulatie TweePlaneten de
massa van de Zon in 1,0·1030 kg (ongeveer de helft van de werkelijke
waarde). Laat de simulatie lopen. Komt je voorspelling uit?
22
De zwaartekracht van de Zon wordt immers kleiner als de massa van de planeet
of de massa van de Zon kleiner wordt. Hoe komt het dan dat de baan van de
Aarde in het ene geval wel verandert en in het andere geval niet verandert?
d Leg in je eigen woorden uit waardoor bij een kleinere massa van de Aarde de
baan van de planeet niet verandert, terwijl bij een andere massa van de Zon
de baan wel verandert.
Extra – Kosmische weegschaal (geen examenstof)
De baan van een planeet hangt alleen af van de massa van de Zon en de
afstand tot de Zon. Daardoor is het mogelijk is om de massa van de Zon te
berekenen uit de omlooptijd en de afstand tot de Zon. Voor de baanstraal r en
de omlooptijd T van een hemellichaam in een cirkelbaan rond een ander
hemellichaam met massa M geldt de volgende formule:
r3 G  M

T2
4π 2
Deze formule wordt wel de „kosmische weegschaal‟ genoemd, omdat op die
manier de massa van veel hemellichamen bepaald is.
18 EXTRA: Is Newton’s theorie echt waar?
Is Newton‟s theorie nu ook echt waar? Dat is geen eenvoudige vraag, er zit zelfs
een filosofisch tintje aan. Newton was in elk geval overtuigd van zijn gelijk.
Over zijn beschrijving van de beweging van de komeet Kirch (figuur 39) zei hij:
„The theory that corresponds exactly to so nonuniform a motion throughout the
greatest part of the heavens, and that observes the same laws as the theory of the
planets, and that agrees exactly with exact astronomical observations cannot fail
to be true.‟
a Ben jij ervan overtuigd dat Newton‟s aannames echt waar zijn? Geef
minstens één argument om je mening te ondersteunen.
b Wat zou er moeten gebeuren om je ervan te overtuigen dat Newton‟s
aannames niet echt waar zijn?
Figuur 27 – Albert Einstein.
Achtergrond – Bij de baan van Mercurius om de Zon blijkt een merkwaardig
effect op te treden. Na een groot aantal omwentelingen wordt zichtbaar dat de
baan langzaam verschuift. Dat effect wordt ook wel de periheliumverschuiving van Mercurius genoemd. Het effect was in Newton‟s tijd nog
niet waargenomen, maar als Newton het met zijn theorie had willen verklaren
was dat niet gelukt.
Albert Einstein formuleerde in 1916 nieuwe aannames over bewegingen in
zijn Algemene Relativiteitstheorie. Einstein‟s aannames zijn anders dan die
van Newton, maar voor alle andere planeten worden de bewegingen even
goed verklaard als bij Newton. Voor Mercurius verklaart Einstein de
periheliumverschuiving die in feite bij alle planeten optreedt. Voor Mercurius
is die verschuiving beter waarneembaar, omdat de ellipsbaan van die planeet
langgerekter is.
23
5 Kracht en snelheid
Verandering van de snelheid
Wat gaan we doen?
De methode van Newton gaat over verplaatsingen in een bepaalde tijdstap.
Tegenwoordig kijken we meer naar de snelheid bij een beweging. De extra
verplaatsing betekent dat de snelheid toe- of afgenomen is of dat de richting
van de snelheid veranderd is. In dit hoofdstuk kijken we alleen naar
bewegingen in een rechte lijn waarbij de kracht constant is.
 Welke invloed heeft een constante kracht op de snelheid van een
voorwerp?
 Hoe kun je de grootte van die invloed berekenen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Snelheidstoename
Versnelling
Voorbeeld: Optrekkende auto
Een voorbeeld van een beweging in een rechte lijn met een constante kracht is
een optrekkende auto. De onderstaande tekening geeft de positie van de auto op
vijf achtereenvolgende tijdstippen weer.
Figuur 28
19 De snelheid bij een constante kracht
Volgens Newton zorgt een kracht voor een extra verplaatsing. Bij een constante
kracht moet de extra verplaatsing in elke periode even groot zijn.
a Neemt in de tekening de afstand regelmatig toe? Ga na door te meten.
b Schets in de tekening de eerstvolgende positie van de auto.
c Voorspel in de grafiek (figuur 29) hoe de snelheid van de auto verandert. Het
gaat alleen om de vorm van de grafiek, er staan geen getallen bij de assen.
Figuur 29
d Schets hoe de grafiek zou verlopen als de kracht twee keer zo groot zou zijn.
e Schets hoe de grafiek zou verlopen als de massa twee keer zo groot zou zijn.
24
Plan van aanpak
Constructiemethode
Voor de beweging bij een constante kracht bestaat het plan van aanpak uit:
 Maak een constructie volgens Newton met een constante kracht.
 Teken op basis van die beweging een grafiek van de snelheid.
 Verklein vervolgens de tijdstap
 Ga na wat er gebeurt als de tijdstap zeer klein wordt gekozen.
De constructiemethode
van Newton bestaat uit:
invloedloze beweging =
verplaatsing zoals in het
voorgaande interval
extra verplaatsing = door
de invloed van de kracht
20 Constructiemethode
In figuur 30 is een begin gemaakt met een constructie volgens de methode van
Newton. Bij deze tekening is een constante kracht gebruikt, de afwijking bij elke
tijdstap is daardoor ook constant. De tekening is op ware grootte gemaakt. De
tijdstap tussen twee posities is steeds 0,4 s.
0
2
4
6
8
12
10
Figuur 30 – Constructie van een beweging onder invloed van een constante kracht.
a Ga met de constructietekening na dat de extra verplaatsing steeds 0,40 m is.
b Noteer in de onderstaande tabel de verplaatsing in de resterende tijdstappen.
c Teken de volgende vier posities van het voorwerp.
1
2
3
4
5
6
7
0,0–0,4
0,4-0,8
0,8-1,2
1,2-1,6
1,6-2,0
2,0-2,4
2,4-2,8
verplaatsing (m)
0,40
0,80
1,20
1,6
snelheid (m/s)
1,0
tijdstap (s)
21 Een grafiek van de snelheid
Snelheid
Bij de constructie van
Newton neem je aan dat de
snelheid gedurende
iedere tijdstap constant is
en tussen de stapjes
verspringt.
In de eerste tijdstap legt het voorwerp 0,40 m of in 0,40 s.
a Ga met een berekening na dat de gemiddelde snelheid dan 1,0 m/s is.
b Noteer in de tabel de snelheid in de overige tijdstappen.
In figuur 31 is de snelheid gedurende de eerste vier tijdstappen al getekend.
s  vt
De constructie levert alleen
een goede beschrijving als
de tijdstap heel erg klein is.
Figuur 31 – Snelheid volgens de methode van Newton met een tijdstap Δt = 0,40 s.
c Maak de grafiek in figuur 31 verder af aan de hand van de tabel.
25
d De snelheidstoename v is in elke tijdstap even groot. Hoe groot?
Volgens Newton hangt de snelheidstoename v af van de tijdstap t, de kracht F
en de massa m. Het verband daartussen is F  t  m  v . In dit voorbeeld
heeft het voorwerp een massa m van 2,0 kg en F = 5,0 N.
e Past de snelheidstoename in dit voorbeeld bij F  t  m  v ? Leg uit of
geef een berekening.
Hoe groot zou de snelheidstoename v worden als de kracht twee keer zo
groot was? En als alleen de massa m twee keer zo groot was?
f
g Leg in je eigen woorden uit dat deze grafiek niet de werkelijke snelheid van
het voorwerp weergeeft. Het is slechts een benadering van de echte
beweging. Hoe zou je een betere benadering kunnen maken?
Verandering van de snelheid volgens Newton
De constructiemethode laat zien dat een kracht invloed heeft op de snelheid.
Door de kracht verandert de snelheid van grootte of van richting. De
verandering van de snelheid wordt geschreven als ∆v.
Kracht en snelheidsverandering
Een belangrijke conclusie van Newton was dat een kracht zorgt voor een
extra verplaatsing ten opzichte van de invloedloze beweging. De extra
verplaatsing betekent dat de snelheid in de volgende tijdstap t veranderd is.
Voor de verandering van de snelheid Δv geldt de formule:
F  t  m  v
26
Verkleinen van de tijdstap
De resultaten van de constructie zijn nog niet erg nauwkeurig. Dit is goed te zien
aan figuur 3. Volgens de constructie blijft de snelheid binnen een tijdstapje
gelijk, en maakt dan steeds een „sprongetje‟. In het echt zal de snelheid van de
kogel geleidelijk toenemen. Om nauwkeuriger resultaten te krijgen, moet de
tijdstap in de constructiemethode kleiner gemaakt worden.
22 Een twee keer zo kleine tijdstap
De grafiek in figuur 32 is het resultaat van een constructie van de beweging van
een vallende kogel, maar nu met een tijdstap die twee keer zo klein is: 0,20 s. De
kogel heeft (nog steeds) een massa m van 2,0 kg en F = 5,0 N.
Figuur 32 – Snelheid bij een tijdstap Δt = 0,20 s.
Figuur 33 – Teken de snelheid bij een zeer kleine tijdstap.
a Bereken bij een tijdstap van 0,20 s de grootte van de snelheidstoename Δv
met de formule Ft = mv. Klopt het antwoord met de grafiek? Leg uit.
b Hoe zal de grafiek lopen als de tijdstap nog veel kleiner gekozen wordt?
Teken die lijn in figuur 33.
c Beschrijf in je eigen woorden de invloed van een constante kracht op de
snelheid.
Centrale vragen
De centrale vragen waren:
 Welke invloed heeft een
constante kracht op de
snelheid van een
voorwerp?
 Hoe kun je de grootte van
die invloed berekenen?
De helling van de grafiek geeft aan hoe snel de snelheid toeneemt. De helling
van de lijn kan berekend worden met:
helling 
y v

x t
d Bereken de helling van de grafiek van de snelheid.
e Beschrijf in je eigen woorden welke betekenis de helling van de grafiek
heeft.
27
6 Snelheid en versnelling
Versnelling
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Versnelling
Valversnelling (op Aarde:
g = 9,81 m/s2)
Tweede wet van Newton
Wat gaan we doen?
Bij een constante kracht verandert de snelheid regelmatig. Het voorwerp
vertraagt of versnelt dan. De versnelling is de groei van de snelheid per
seconde.
 Hoe bereken je de versnelling?
 Hoe hangt de versnelling af van de kracht en de massa?
Een nieuw begrip: versnelling
Bij een constante kracht neemt de snelheid regelmatig toe, het voorwerp versnelt
steeds op dezelfde manier. Je kunt ook zeggen: De versnelling is constant, maar
wat bedoelen we nu eigenlijk met het woordje versnelling? En hoe hangt de
versnelling af van de kracht en de massa van het voorwerp?
23 De versnelling bij een constante kracht
Versnelling
Bij een constante kracht blijft de snelheid van het voorwerp voorturend
toenemen. Bij elke tijdstap neemt de snelheid steeds evenveel toe. Het voorwerp
heeft een constante versnelling.
a Lees het theorieblok en leg in je eigen woorden uit wat versnelling is.
Met de versnelling a
bedoelen we hoe snel de
snelheid per seconde groeit.
versnelling = groei van
de snelheid per seconde
De daarbij passende eenheid
is m/s per seconde. Dat
wordt geschreven als m/s².
In dit voorbeeld werkt er een kracht van 5,0 N op een voorwerp van 2,0 kg. In
elke tijdstap t neemt de snelheid toe met v. De versnelling is 2,5 m/s².
b Kijk naar de resultaten van de vorige opgave. Hoe kun je de versnelling
bepalen uit v en t?
De versnelling geeft aan hoe snel de snelheid groeit. Je kunt de versnelling dus
ook gebruiken om te berekenen hoe groot de snelheid na enige tijd is geworden.
c Bereken de snelheid van het voorwerp na 3,0 s versnellen.
De versnelling van 2,5 m/s² is het gevolg van een kracht F die op een massa m
werkt. In dit voorbeeld geldt F = 5,0 N en m = 2,0 kg.
d Hoe kun je nu de versnelling a berekenen uit de kracht F en de massa m?
Gebruik een berekening of leg uit.
28
Versnelling
Bij een constante kracht hoort een gelijkmatige groei van de snelheid.
Daarvoor gebruiken we het begrip versnelling.
versnelling = groei van de snelheid per seconde
v
a
t
De passende eenheid is m/s per seconde. Dat wordt geschreven als m/s².
Als de beginsnelheid nul is dan geldt voor de snelheid na t seconde
versnellen:
v(t )  a  t
24 Snelheid en kracht
In het voorbeeld werkte er een kracht van 5,0 N op een voorwerp met een massa
van 2,0 kg. Daardoor neemt de snelheid toe zoals in de grafiek is weergegeven.
Figuur 35 – De snelheid bij een versnelling van 2,5 m/s².
De versnelling is het gevolg van een kracht F die op een massa m werkt.
a Hoe groot wordt de versnelling als de kracht twee keer zo groot wordt? Leg
uit met Ft = m·v en teken in de grafiek hoe de snelheid toeneemt.
b Wat gebeurt er als de massa groter wordt? Neem m = 4,0 kg en F = 5,0 N.
Bereken de versnelling en teken daarmee de grafiek van de snelheid.
Versnelling en kracht: de tweede wet van Newton
Een belangrijke conclusie van Newton was dat een kracht zorgt voor een
verandering van de snelheid. Met het begrip versnelling kan de formule van
Newton ook anders geschreven worden.
F  t  m  v
F  ma
(of
a
F
)
m
Kennelijk geldt ook: Een kracht van 1 newton die op een massa van 1 kg
werkt zorgt voor een versnelling van 1 m/s².
29
Test: Stroboscoopfoto vallende bal
0
1,5
3,9
Een goede manier om de methode van Newton bij een constante kracht te testen
is met behulp van een stroboscoopfoto van een vallende bal. Op de foto is de
beweging van een vallende bal zichtbaar. De foto is gemaakt met behulp van een
stroboscoop die 30 flitsen per seconde geeft. De foto is verkleind weergegeven
(elk blokje van de liniaal stelt 1 cm voor). De foto lijkt op een
constructietekening, maar het is niet precies hetzelfde.
25 De snelheidstoename van een vallende bal
7,4
10
12,0
Volgens Newton zorgt een kracht voor een verandering van de snelheid. Bij een
vallende bal neemt de snelheid voortdurend toe. Bij een tijdstap Δt neemt de
gemiddelde snelheid tussen twee opeenvolgende tijdstappen toe met Δv.
Volgens Newton geldt: F  t  m  v
De massa van de bal in de stroboscoopfoto is 250 gram, de zwaartekracht is dus
2,45 N. De tijd tussen twee flitsen is steeds 1/30e seconde, dus Δt = 0,033 s.
a Bereken met deze gegevens Δv tussen twee opeenvolgende tijdstappen..
17,7
De positie van de onderkant van de bal is naast elk beeldje weergegeven
b Laat met enkele voorbeelden zien dat de extra verplaatsing in elke periode
1,1 cm is (ten opzichte van de verplaatsing in de vorige periode).
20
24,5
Klopt de extra verplaatsing in de foto nu met de snelheidstoename v volgens
de formule van Newton?
c Laat zien dat de extra verplaatsing (vraag b) goed overeenkomt met de
snelheidstoename v (vraag a). Gebruik in je berekening de tijdstap.
30
32,3
De zwaartekracht op de bal is constant. De luchtwrijving blijkt hier geen rol van
betekenis te spelen.
d Hoe kun je aan de beweging zien dat de luchtwrijving te verwaarlozen is?
40
41,2
26 De versnelling van een vallende bal
figuur 36 – Stroboscoopfoto
van een vallende kogel met
30 beeldjes per seconde.
De positie van de onderkant
van de kogel staat rechts
van de foto.
De versnelling van de bal is constant. In elke tijdstap van Δt = 0,033 seconde
neemt de gemiddelde snelheid met Δv toe met 0,32 m/s.
a Bereken uit v en t de versnelling van de bal.
b Leg uit dat een twee keer zo zware bal met dezelfde versnelling valt.
30
De versnelling is het gevolg van de kracht F die op massa m werkt.
c Bereken de versnelling ook met F en m.
Elk voorwerp op aarde valt met dezelfde versnelling, dat noemen we de
valversnelling g = 9,81 m/s². Dat getal is precies hetzelfde als de
zwaartekrachtsconstante g = 9,81 N/kg.
d Leg in je eigen woorden uit dat de valversnelling g = 9,81 m/s² altijd precies
hetzelfde is als de zwaartekrachtsconstante g = 9,81 N/kg.
a = mF
a=
F
M
27 De versnelling bij een valbeweging
De snelheid van een vallende bal blijft voorturend toenemen. De bal heeft een
constante versnelling zolang de luchtwrijving te verwaarlozen is. We vergelijken
het versnellen tijdens een valbeweging met het versnellen van een auto. In de
onderstaande grafiek zie je hoe de snelheid van een vallend voorwerp toeneemt.
Val met
g = 9,81 N/kg
Figuur 38 – Snelheid bij een valbeweging met g = 9,81 N/kg.
a Lees in de grafiek af na hoeveel tijd een snelheid van 2,0 m/s bereikt wordt.
b Bereken na hoeveel seconde een snelheid van 50 km/h bereikt wordt.
Een Mini Cooper versnelt in 9,9 s van 0 tot 100 km/h.
c Bereken de gemiddelde versnelling van de Mini Cooper tijdens het
optrekken van 0 tot 100 km/h. Reken 100 km/h eerst om naar m/s.
Figuur 39 – De Mini Cooper D
versnelt van 0 tot 100 km/h in
9.9 s.
31
Sportauto‟s trekken veel sneller op dan een Mini Cooper. De allersnelste auto‟s
kunnen in een ideale een versnelling halen die vrijwel gelijk is aan de
valversnelling.
d Bereken binnen hoeveel seconde een auto moet optrekken van 0 tot 100
km/h om een gemiddelde versnelling van 9,81 m/s² te halen.
Figuur 40 - Het nieuwe automerk
IFR presenteert de Aspid, een
bloedsnelle compacte raceauto
van slechts 700 kg met 400 pk. De
aandrijving vindt plaats op de
achterwielen en zorgt voor een
acceleratie van 0-100 km/h in 2,8
seconden.
Figuur 41 - Dragracen: een
wedstrijdje ‘versnellen’.
Er zijn weinig activiteiten waarbij mensen grotere versnellingen ondergaan dan
bij het dragracen. Een korte afstand (¼ mijl) wordt door de sterkste machines
afgelegd in iets meer dan 5 s. Dat gaat niet altijd goed, is erg milieuonvriendelijk
en maakt een hoop lawaai. Maar hard gaat het wel.
Het onderstaande v,t-diagram is gemaakt voor een dragster die tot de
allersterksten behoort. We hebben aangenomen dat de voortstuwende kracht
constant is. Dat is een ruwe benadering, maar de waarden zijn verder wel
realistisch.
d Hoe kun je aan het
v,t-diagram zien dat
is aangenomen dat de
125
voortstuwende kracht
constant is?
Δv
1000
e Bepaal uit het v,tdiagram de
snelheid
(m/s)
versnelling van de
75
dragster.
Δt
50
25
0,0
0,0
1,0
2,0
t1
3,0
4,0
tijd (s)
5,0
t2
Figuur 42 - Snelheidsverloop bij dragracen.
Zwaartekracht en valversnelling
Bij een valbeweging zonder luchtweerstand werkt alleen de zwaartekracht.
Op aarde werkt op elke kg een kracht van 9,81 N. Dat wordt ook wel de
zwaartekrachtsconstante g genoemd:
zwaartekrachtsconstante g = 9,81 N/kg
Fz  m  g
De zwaartekracht zorgt voor een versnelling. Elk vallend voorwerp versnelt
met dezelfde versnelling van g = 9,81 m/s2. De waarde van de
zwaartekrachtsconstante bepaalt dus ook de valversnelling.
valversnelling g = 9,81 m/s².
Zonder luchtweerstand zouden alle voorwerpen dus even snel naar beneden
vallen.
32
7 Versnelling en afstand
Bij een constante kracht
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Afstand
Verplaatsing
Oppervlaktemethode
Bewegingsvergelijkingen
Wat gaan we doen?
Nu we weten dat bij een constante kracht de snelheid regelmatig toeneemt
(een constante versnelling) zijn we ook benieuwd naar de manier waarop de
afstand toeneemt.
 Op welke manier neemt de afstand toe tijdens een versnelde beweging?
 Met welke formule kun je de grootte van de afstand berekenen?
Een voorspelling doen
In deze paragraaf gaat het om te kunnen begrijpen op welke manier de afstand
verandert tijdens een versnelde beweging en om te kunnen berekenen hoe groot
de afstand op elk moment is.
28 Versnellen in attractieparken
Een bekend attractie die gebruik maakt van de valversnelling is de Space Shot.
De bezoekers zitten daar in een ring met stoelen die omhoog gelanceerd wordt.
Na het hoogste punt valt de ring over een afstand van 40 m vrij naar beneden
met een versnelling van 9,8 m/s². De vraag is nu: welke snelheid wordt gehaald
bij een vrije val over een afstand van 40 m?
a Voorspel in de onderstaande grafiek de beweging van de Space Shot vanaf
het hoogste punt. Het gaat alleen om de vorm van de grafiek. Begin op t = 0
met een hoogte van 40 m.
Figuur 43
b Voorspel welke snelheid de Space Shot haalt na 40 m vallen.
Figuur 44 – Vanaf het hoogste
punt van de Space Shot
ervaren de inzittenden een
vrije val over een afstand van
40 m.
c Leg uit dat je de eindsnelheid zou kunnen berekenen als je zou weten hoe
lang de Space Shot over de vrije val doet.
33
Plan van aanpak
0
2
4
Bij deze beweging is het plan van aanpak voor een formule voor de afstand:
 Gebruik een constructietekening om een grafiek van de afstand te maken.
 Ga na wat er gebeurt als de tijdstap zeer klein wordt gekozen.
 Onderzoek of je daarmee een formule voor de afstand kunt vinden.
Als voorbeeld wordt niet gekeken naar een valbeweging omdat een versnelling
van 9,81 m/s² lastig te tekenen is. De versnelde beweging uit paragraaf 3 wordt
gebruikt, met een versnelling a = 2,5 m/s² en een tijdstap Δt = 0,40 s. Dit
voorbeeld is geschikt om te onderzoeken hoe de afstand toeneemt.
29 De grafiek van de afstand
De constructie van een versnelde beweging met een versnelling van 2,5 m/s² en
een tijdstap van 0,40 s heeft de onderstaande tabel opgeleverd. Daarmee is
eenvoudig een grafiek van de totale afstand te maken.
6
Figuur 45 - Constructie van een
versnelde beweging volgens de
methode van Newton met:
a = 2,5 m/s² en Δt = 0,40 s.
1
2
3
4
5
6
7
0,0–0,4
0,4-0,8
0,8-1,2
1,2-1,6
1,6-2,0
2,0-2,4
2,4-2,8
snelheid (m/s)
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
verplaatsing (m)
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
2,40
totale afstand (m)
0,4
1,20
tijdstap (s)
a Vul de tabel verder in en controleer deze punten in de constructie (figuur 26)
en in de onderstaande grafiek van de afstand.
Figuur 46 – Snelheid en afstand bij een versnelde beweging (Newton) met Δt = 0,40 s.
De rechter grafiek geeft de afgelegde afstand tijdens de valbeweging weer.
b Leg uit waardoor deze grafiek uit rechte lijnstukjes bestaat.
Verplaatsing
Voor het berekenen van de
verplaatsing wordt de
volgende formule gebruikt:
s = vt
Hierin is s de verplaatsing
(in m), v de (gemiddelde)
snelheid (in m/s) en Δt de
tijdstap (in s).
c Schets in beide diagrammen jouw voorspelling van de werkelijke beweging.
d De werkelijke grafiek van de snelheid is een rechte lijn door de oorsprong.
Welke formule hoort bij deze lijn? Noteer de formule als v(t) = …..
e Wat voor soort formule of functie denk je dat bij de grafiek van de afstand
hoort?
34
Tijdstap verkleinen: De oppervlaktemethode
Het kost veel tijd om met de constructiemethode van Newton een nauwkeurige
of exacte formule voor de grafiek te vinden. Een andere manier om die formule
te vinden is met behulp van de oppervlakte onder het snelheid-tijd-diagram.
Oppervlakte onder een (v,t)-diagram
De verplaatsingen in een tijdsinterval is gelijk aan de oppervlakte onder de
snelheid-tijd-grafiek. Als de snelheid constant is dan geldt:
oppervlakte = hoogte  breedte = snelheid × tijd = verplaatsing.
30 Verplaatsing en oppervlakte
De verplaatsingen binnen een tijdsinterval is in feite hetzelfde als de oppervlakte
onder de snelheid-tijd-grafiek (zie theorieblok). In de onderstaande grafieken is
steeds een deel van de oppervlakte gearceerd.
Figuur 47 – Oppervlaktes onder de snelheid-tijd grafiek stellen verplaatsingen voor.
a Leg uit of controleer met een berekening dat het gearceerde oppervlak in de
linkergrafiek de verplaatsing in de tweede tijdstap voorstelt.
b Wat stelt het totale gearceerde oppervlak in de rechtergrafiek voor?
Bij een zeer kleine tijdstap wordt de grafiek van de snelheid een rechte lijn. In
figuur 16 staat de snelheid-tijd-grafiek die hoort bij een constructie met een zeer
kleine tijdstap bij een versnelling a = 2,5 m/s².
Figuur 48
c Arceer het oppervlak onder de grafiek tussen t = 0 en t = 2,0 s.
35
d Bepaal uit de oppervlakte onder de grafiek de afstand die de kogel tussen t =
0 en t = 2,0 s heeft afgelegd.
Het resultaat kan snel gecontroleerd worden met behulp van de gemiddelde
snelheid. De beginsnelheid is 0 m/s, op t = 2,0 is de snelheid 5,0 m/s.
e Leg uit dat de gemiddelde snelheid 2,5 m/s is en bereken daarmee de afstand
na 2,0 s.
31 Een formule voor de afstand
Met de oppervlaktemethode kan de afstand berekend worden, maar we hebben
nog geen formule gevonden voor de afstand gevonden.
In figuur 49 is de snelheid getekend bij een willekeurige versnelling a. Na een
willekeurige tijd van t seconde is de snelheid gegroeid tot a·t (in m/s).
a Leg uit dat de snelheid na t seconde is gegroeid tot at (in m/s).
a·t
b Stel zelf een formule op voor de gearceerde oppervlakte, uitgedrukt in a en t.
t
Figuur 49 – Grafiek van de snelheid
bij een willekeurige versnelling a.
c Laat zien dat jouw formule ook geschreven kan worden als s(t) =
1
2
 a t 2 .
d Klopt de formule bij de grafiek van jouw voorspelling bij opgave 19?
Conclusie: Bewegingsvergelijkingen
Een constante kracht zorgt voor een beweging waarbij de snelheid regelmatig
toeneemt. De afstand neemt kwadratisch toe, de lijn gaat steeds steiler lopen.
Bij een versnelde beweging vanuit rust met een constante kracht is de afstand
die op tijdstip t is afgelegd te bepalen met de oppervlaktemethode of de
gemiddelde snelheid. Voor de afstand geldt de formule:
s(t )  12  a  t 2
Deze formule vormt samen met de formule voor de snelheid de
bewegingsvergelijkingen. Deze beschrijven op elk tijdstip t de positie en de
snelheid van het voorwerp.
v(t )  a  t
36
32 Versnellen in attractieparken
Bij de Space Shot vallen de inzittenden na het hoogste punt over een afstand van
40 m vrij naar beneden.
a Met welke versnelling valt de Space Shot naar beneden?
De afstand s is hier de afstand die de Space Shot heeft afgelegd vanaf het
hoogste punt op 40 m hoogte.
b Welke formule geldt hierbij voor de afstand s(t)?
c Schets in de onderstaande grafiek hoe de afstand s toeneemt waarover de
Space Shot vanaf het hoogste punt gevallen is. Begin op t = 0 met s = 0.
Figuur 51 – Grafiek van de afstand gemeten vanaf het hoogste punt.
Figuur 50 – Vanaf het hoogste
punt van de Space Shot
ervaren de inzittenden een
vrije val over een afstand van
40 m.
Om de snelheid na 40 m vallen te kunnen berekenen moet je eerst weten hoe
lang de Space Shot over het vallen doet.
d Bereken hoe lang een vrije val over 40 m duurt.
e Bereken de eindsnelheid na 40 m vallen. Reken het antwoord om in km/h.
Bewegingsvergelijkingen bij vallen
Bij een versnelde beweging met een constante kracht vanuit rust geldt voor de
afstand s en de snelheid v op tijdstip t:
s(t )  12  a  t 2
v(t )  a  t
Bij een valbeweging vanuit rust is de versnelling a = g = 9,81 m/s². Bij een
valbeweging zijn de bewegingsvergelijkingen dus:
s(t )  12  g  t 2
en
v(t )  g  t
37
33 The Apollo 15 Hammer-Feather Drop
De valbeweging van voorwerpen is ook op de Maan onderzocht. Commander
Dave Scott van de Apollo 15 liet live op tv een hamer van 1,32 kg en een veer
van 30 g tegelijk vallen van een hoogte van 1,6 m losgelaten en bereikten
tegelijk de grond. Miljoenen aardbewoners zagen dat beide voorwerpen even
snel vallen, maar wel veel langzamer dan op aarde.
Figuur 52 – Beelden uit de video van het experiment Hammer-Feather Drop
Met het experiment werd een theorie over de valbeweging gecontroleerd.
a Welke theorie werd met dit experiment bewezen?
De val op de Maan van een hoogte van 1,6 m duurde 1,4 s. Dat is bijna 2,5 maal
zo lang als op de Aarde. Betekent dat nu ook dat de zwaartekracht op de Maan
2,5 maal zo klein is als op de Aarde?
b Bereken met behulp van de valtijd de valversnelling g op de Maan.
c Hoeveel keer zo klein is de zwaartekracht op de Maan?
34 Terugblik en formules
In deze paragraaf zijn de volgende aspecten aan bod gekomen:
1. Een constante kracht zorgt voor een regelmatige
toename van de snelheid.
2. De versnelling geeft aan hoe snel de snelheid
groeit.
3. De versnelling hangt af van de kracht en de
massa.
4. De valversnelling is voor alle voorwerpen op
Aarde 9,81 m/s².
5. De methode van Newton geeft bij een constante
versnelling vanuit stilstand formules voor de
snelheid en de afstand.
a Noteer bij elk van deze vijf aspecten de bijbehorende formule(s).
b Welke twee formules gelden alleen als de beginsnelheid nul is?
38
35 Oefenen met de formules
Een snelle auto trekt op van 0 tot 90 km/h (dat is 25 m/s) in 7,2 s. We nemen in
deze opgave aan dat de kracht op de auto constant is. De auto heeft een massa
van 1240 kg.
a Bereken de versnelling van de auto.
b Bereken de afstand die de auto tijdens het versnellen aflegt.
c Bereken de (netto)kracht op de auto tijdens het versnellen.
d Kun je in deze situatie ook de formule F·Δt = m·Δv gebruiken? Leg uit of
laat zien.
De „bloedsnelle‟ Aspid (figuur 53) heeft een enorme acceleratie. Dat voelt alsof
je met een flinke kracht in je stoel wordt gedrukt, maar in feite is het de stoel die
je naar voren versnelt.
e Bereken uit de gegevens bij de foto de gemiddelde versnelling en bepaal
daarmee de kracht waarmee de stoel je naar voren duwt.
Figuur 53 - Het nieuwe automerk
IFR presenteert de Aspid, een
bloedsnelle compacte raceauto
van slechts 700 kg met 400 pk. De
aandrijving vindt plaats op de
achterwielen en zorgt voor een
acceleratie van 0-100 km/h in 2,8
seconden.
39
8 Remmende auto
Een veilige remweg
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
In het verkeer is een veilige remweg van groot belang. De overheid voert
regelmatig campagne, bijvoorbeeld onder het motto „Houd 2 seconden
afstand‟. Door alle veiligheidsmaatregelen is het aantal verkeersslachtoffers
sinds de jaren zeventig spectaculair gedaald.
 Werkt de methode van Newton ook bij een vertraging?
Remkracht
Remvertraging
Remweg

Hoe bepaal je met de methode van Newton de remweg van een auto?

Hoe groot moet de remkracht zijn om binnen een bepaalde afstand stil te
staan?
Een vertraagde beweging
In de situatie van een remmende auto is er maar één kracht van belang: de
remkracht. Die kracht is bij benadering constant. In dat opzicht lijkt deze situatie
op die van de vallende bal. Maar nu werkt de kracht in een richting tegengesteld
aan de bewegingsrichting. Bovendien is het voorwerp al in beweging en wordt
de eindsnelheid 0 m/s. Bij een vallende bal is dat de beginsnelheid.
36 Oriëntatie
We gaan op zoek naar een manier om de remweg van een auto te bepalen. Als
eerste bekijken we welke factoren daarbij een rol spelen. Verder maken we
gebruik van de kennis van de vorige paragraaf.
a Met „de remweg‟ bedoelen we: de afstand waarin een auto die voluit remt tot
stilstand komt, vanaf het punt waar hij begint te remmen. Van welke factoren
hangt de remweg van een auto af, denk je?
b Op welke manier zou je de remweg van een auto kunnen bepalen? Maak een
schema in stappen en geef daarbij aan welke informatie je nodig hebt.
Figuur 54 - Remmen zijn al lang
niet meer zo simpel als vroeger.
Auto’s beschikken tegenwoordig
over zaken als ABS, EBD en
Brake Assist.
Plan van aanpak
Voor de vertraagde beweging bij een constante kracht bestaat het plan van
aanpak uit:
 Onderzoek op welke manier de remkracht van een auto bepaald kan
worden en bereken daarmee de remvertraging.
 Teken een (v,t)-diagram.
 Gebruik de oppervlaktemethode om de remweg te bepalen.
40
Remkracht en remvertraging
wegdek weer
f
beton
droog
0,90
asfalt
droog
0,85
klinkers
droog
0,80
beton
nat
0,75
asfalt
nat
0,60
klinkers
nat
0,4
sneeuw
0,2
ijs
0,1
Figuur 55 – Wrijvings-coëfficiënt
bij verschillende soorten
wegdek.De waarden gelden voor
rubber banden die niet slippen
(statische wrijving).
We kunnen de remvertraging alleen berekenen als we weten hoe groot de
remkracht is. Bij de oriëntatie heb je waarschijnlijk een groot aantal factoren
gevonden die invloed hebben op de remweg of de remkracht.
 Het remsysteem van de auto. Daaronder vallen schijfremmen, ABS en
andere zaken in de auto die zorgen voor een kracht op de wielen. Voorlopig
nemen we aan dat het remsysteem in orde is.
 De banden en het wegdek. Stroeve banden en een ruw wegdek zorgen voor
een grote remkracht.
 De kracht van de banden op de weg. Het gewicht van de auto drukt de
banden op de weg. Als de druk verandert (bijvoorbeeld bij een kleine hobbel
in de weg) dan verandert ook de remkracht.
Remkracht en wrijving
De werking van de remmen berust op de wrijvingskracht tussen de banden en
het wegdek. Die wrijvingskracht heeft een maximale waarde. Als de remmen
te hard worden ingetrapt worden dan gaan de banden slippen. Voor de
maximale remkracht geldt:
Fw,max  f  Fn
In deze formule is f de wrijvingscoëfficiënt die afhangt van het contact tussen
het wegdek en de band (zie tabel). Goede banden en een ruw wegdek zorgen
voor een hoge wrijving. Fn is de normaalkracht
Normaalkracht
Fn
Fn
Fz
Figuur 56 – Zwaartekracht en
normaalkracht op een auto.
Een zwaardere auto duwt met een grotere kracht op de weg. De weg „draagt‟
de auto, deze draagkracht wordt de normaalkracht genoemd en staat
loodrecht op de weg (normaal betekent loodrecht). Bij een auto op een vlakke
weg is de normaalkracht even groot als de zwaartekracht.
Bij een zwaardere auto zal de normaalkracht ook groter zijn. Daardoor wordt
de maximale remkracht ook groter. Een andere manier om de normaalkracht
groter te maken is met behulp van spoilers of vleugels (bij racewagens).
37 De maximale remkracht
Lees het theorieblok over remkracht, wrijving en normaalkracht.
a Leg uit dat de formule Fw,max  f  Fn de invloed van zowel de banden, het
wegdek als de kracht van de banden op de weg weergeeft.
b Leg uit dat de maximale remkracht bij een fiets groter wordt als er iemand
achterop zit.
Figuur 57 – Bij een racewagen
zorgt de vleugel voor een grotere
normaalkracht.
c Zal de remvertraging van een fiets groter of kleiner worden of gelijk blijven
als er iemand achterop zit? Geef argumenten.
o.
41
ABS
Het ABS-systeem moet voorkomen dat de banden gaan slippen. Zodra met
een sensor wordt waargenomen dat de wielen blokkeren wordt de remkracht
elektronisch verminderd. De remkracht wordt dan steeds net iets kleiner dan
Fw,max gehouden. De remkracht is dan ongeveer 90% van Fw,max.
Wettelijke remvertraging
Bij de APK wordt de werking van de remmen getest. De wettelijke minimale
remvertraging voor personenauto‟s bedraagt 5,2 m/s². De meeste auto‟s
kunnen sterker remmen, zeker als het wegdek droog en ruw is. Je mag
aannemen dat op een droog wegdek alle auto‟s de wettelijke remvertraging
halen. Maar de wettelijke remvertraging zegt nog niet alles over hoe hard
auto‟s daadwerkelijk remmen in een noodsituatie. Een auto met ABS kan in
veel situaties harder remmen.
38 Maximale remvertraging
Als voorbeeld nemen we een auto met een massa van 1200 kg en ABS die op
een vlakke weg maximaal remt op droog asfalt.
a Bereken de normaalkracht Fn bij deze auto.
Normaalkracht
De normaalkracht is de
kracht waarmee het
wegdek de auto „draagt‟.
Op een vlakke weg is de
normaalkracht even groot
als de zwaartekracht op de
auto
b Bereken de maximale remkracht van deze auto.
In plaats van de valversnelling in de vorige paragraaf gaat het nu om de
remvertraging. Deze versnelling a is dan negatief.
c Bereken de maximale remvertraging van deze auto.
Een vergelijkbare auto zonder ABS zal minder goed remmen. In een
noodsituatie gaan de wielen makkelijk slippen. Daardoor wordt de auto niet
alleen onbestuurbaar, de wrijvingscoëffiënt wordt ook lager. Voor glijdende
banden geldt de dynamische wrijvingscoëfficiënt.
d Lees het theorieblok „Wrijving en slippen‟. Leg uit wat het verschil is tussen
dynamische en statische wrijving.
In de tabel van figuur 58 staat ook de dynamische wrijvingscoëfficiënt van
rubber banden op droog asfalt gegeven.
e Bereken daarmee de remvertraging van een slippende auto op droog asfalt.
Figuur 58 – Dynamische en
statische wrijvingscoëfficiënt bij
verschillende oppervlakken. Bij
slippen geldt de dynamische
wrijving.
42
Wrijving en slippen
Een auto met ABS heeft een kortere remweg dan een slippende auto. Dat
komt omdat de wrijvingskracht maximaal is als een voorwerp net niet gaat
schuiven. Bekijk figuur 59 .
1. Bij een kleine duwkracht is de wrijvingskracht precies even groot als de
duwkracht. Het voorwerp ligt dan stil.
2. Als de duwkracht toeneemt wordt ook de wrijvingskracht groter, totdat
de maximale wrijvingskracht bereikt is. Het voorwerp ligt nog steeds
stil.
3. Bij een iets groter kracht komt het voorwerp met een schok in beweging.
Als het over de ondergrond schuift is de wrijvingskracht kleiner
geworden. Dit wordt dynamische wrijving genoemd.
Fduw
Fduw
Fw
Fw = Fw,max
Fduw
Fw < Fw,max
Figuur 59 – Wrijvingskracht en duwkracht in verschillende situaties. Bij een glijdend
voorwerp geldt de dynamische wrijving.
39 De snelheidsgrafiek
De auto heeft een beginsnelheid van 25 m/s en een remvertraging van 6 m/s2.
Hoe ziet dan de grafiek van de snelheid er uit?
a Leg in je eigen woorden uit wat het betekent dat de remvertraging 6 m/s² is.
b Teken in de onderstaande grafiek hoe de snelheid afneemt vanaf 25 m/s.
Figuur 60 – Snelheid van een remmende auto met vbegin = 25 m/s en remvertraging 6 m/s2.
c
Bereken de remweg van deze auto uit de oppervlakte onder de grafiek.
43
De remweg moet ook bepaald kunnen worden met de gemiddelde snelheid.
d Bereken de gemiddelde snelheid tijdens het remmen en laat zien dat geldt:
remweg = gemiddelde snelheid × remtijd.
Geldt de formule s(t )  12  a  t 2 nu ook voor een vertraagde beweging met
eindsnelheid nul?
e
Conclusie
Bij het remmen van een auto met een constante vertraging levert de methode
van Newton verschillende manieren om de remweg te berekenen (zie kader).
Het belangrijkste verschil met de versnelde beweging vanuit rust is dat er nu
geen bewegingsvergelijkingen zijn. De formules gelden niet op elk tijdstip maar
alleen voor de gehele remweg.
De remweg berekenen
Voor het berekenen van de remweg srem bij een constante remvertraging a
bestaan verschillende methoden:
 met de oppervlakte onder de lijn in het v,t-diagram.
 met de gemiddelde snelheid tijdens het afremmen en de remtijd. Bereken
de remtijd met de formule vbegin  a  trem
 met de formule srem  12  a  t 2
De twee formules gelden alleen als a constant is en de eindsnelheid nul is.
40 Remkracht en remweg
Op een natte asfaltweg is de wrijvingscoëfficiënt f = 0,65. Een onderzoeker gaat
na welke invloed de beginsnelheid in deze situatie heeft op de remweg van een
auto met ABS.
a Bereken de maximale remvertraging voor een auto met ABS op een natte
asfaltweg.
b Bereken voor de verschillende beginsnelheden de remweg van deze auto.
Noteer de resultaten in de tabel hieronder.
beginsnelheid (m/s)
10
20
30
40
50
remweg (m)
c
44
De remweg is niet evenredig met de snelheid. Als de beginsnelheid twee
keer zo groot wordt, wordt de remweg ........... keer zo groot. Wat voor soort
evenredigheid is dat?
Toepassing: ‘Twee seconden’ afstand
In het verkeer is een veilige remweg van groot belang. De overheid voert
regelmatig campagne, bijvoorbeeld onder het motto „Houd 2 seconden afstand‟.
In de praktijk blijkt dat automobilisten op de snelweg een veel kleinere afstand
aanhouden.
Hoe gevaarlijk is het om minder afstand te houden? Welke afstand is dan wel
veilig? En in welke situaties moet je extra afstand houden? In deze paragraaf
wordt het nut van de campagne onderzocht.
Onderlinge afstand en reactietijd
De reactietijd is bij de meeste automobilisten maximaal 1 seconde (een
oplettende bestuurder kan binnen 0,5 s reageren). Dan lijkt het alsof er nog maar
één seconde over is om tot stilstand te komen, maar de voorste auto heeft
natuurlijk ook een remweg
Om te begrijpen wat „2 seconden afstand‟ inhoudt en om na te gaan of dat een
geschikte vuistregel is onderzoeken we één situatie.
Figuur 61
30 m
A
B
Twee auto‟s rijden achter elkaar met een snelheid van 90 km/h (dat is 25 m/s).
Een veilige afstand bij die snelheid zou dus 50 m zijn maar veel automobilisten
houden maar 30 m afstand. Wat zal er gebeuren bij een noodstop?
41 Oriëntatie op de situatie
Ter oriëntatie bekijken we twee auto‟s die met 90 km/h op 30 m van elkaar op
de snelweg rijden, zoals in figuur 61. Stel dat de voorste auto met volle kracht
remt bij A en tot stilstand komt bij B.
a Stel dat beide auto‟s precies even hard afremmen. Op welke plaats moet de
achterste dan beginnen met remmen, wil hij nog net op tijd stil staan?
b Hoeveel tijd heeft hij dan om te beginnen met remmen, vanaf het punt waar
hij nu is?
Als je rekening houdt met de schrikseconde dan is 30 m een redelijk veilige
afstand. Het wordt ingewikkelder als de auto‟s niet even hard afremmen.
c Wanneer wordt het gevaarlijk, als de achterste auto harder remt dan de
voorste of andersom?
d Stel dat de remweg van de achterste auto 10 m langer is dan de remweg van
de voorste auto. Binnen hoeveel tijd moet de bestuurder dan beginnen met
remmen?
45
42 Verschillen in remvertraging
Uit de oriëntatie blijkt dat er een gevaarlijke situatie kan ontstaan als de
achterste auto een langere remweg heeft dan de voorste auto. Dat is bijvoorbeeld
het geval als de voorste auto ABS heeft en de achterste auto zo hard remt dat de
wielen slippen. Neem aan dat de auto‟s op droog asfalt rijden.
schrikseconde
remweg auto 2
1
2
B
A
remweg auto 1
Figuur 62 – Remweg en afstand tijdens schrikseconde.
De voorste auto heeft ABS waardoor de remkracht 90% van de maximale
wrijvingskracht Fw,max is. Op deze weg is de wrijvingscoëfficiënt f = 0,85.
a Ga met een berekening na dat de remvertraging dan 7,5 m/s² is.
b De achterste auto slipt, zodat f = 0,67. Bereken de remvertraging van deze
auto.
c
Bereken bij beide auto‟s de remweg bij een beginsnelheid van 90 km/h.
Voor een veilige afstand moet de bestuurder van de achterste auto rekening
houden met 1 schrikseconde plus het verschil in remweg.
d Bereken de afstand die de achterste auto in deze situatie moet aanhouden.
e
46
Is de aanbeveling ‘Houd 2 seconden afstand’ in deze situatie zinvol? Geef
bij je eigen mening een argument.
43 ‘2 seconden’ afstand in andere situaties
Een slippende auto op nat asfalt heeft een remvertraging van 5,2 m/s². Een auto
met ABS kan in die situatie remmen met een vertraging van 7,4 m/s². Beide
auto‟s rijden 130 km/h (dat is 36 m/s).
a Bereken voor beide auto‟s de remweg.
b Onderzoek of „2 seconden‟ afstand in dit geval een goed advies is.
c
Veronderstel dat de achterste auto niet door de APK zou komen: hij heeft
een remvertraging van 4,5 m/s2. Welke afstand moet deze auto houden bij
een snelheid van 130 km/h op een natte asfaltweg?
d Het lijkt vaak alsof je geen gevaar loopt zolang je maar zorgt dat je eigen
remmen goed functioneren. Toch is dat niet juist. Waar moet een bestuurder
van een auto met ABS (of Brake Assist) speciaal op letten?
44 Conclusie: ‘Houd 2 seconden afstand’
Wat is nu de eindconclusie over de vuistregel van de campagne voor een veilige
afstand? Is „2 seconden‟ afstand een handige en veilige keuze?
a Wat is jouw mening over de vuistregel? Is het een goede regel?
b Leg uit waarom de afstand „2 seconden‟ moet zijn. Gebruik in je uitleg in elk
geval ook de „schrikseconde‟.
47
9 Botsen zonder autogordel
Toepassing: een zeer korte remweg
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Autogordel
Kreukelzone
De autogordel is een belangrijke veiligheidsmaatregel die al veel
mensenlevens gered heeft. Is zo‟n gordel ook nodig bij een botsing met lage
snelheid, of kun je jezelf schrap zet tegen het stuur of het dashboard?
Een botsing is een voorbeeld van een vertraagde beweging, maar dan met
een zeer korte remweg. In deze situatie is dus de remweg bekend en is het de
vraag hoe groot de kracht moet zijn.
 Hoe bepaal je welke kracht nodig is om zelf de klap op te vangen?.
 Bij welke snelheid heb je voldoende kracht om de botsing op te
vangen?
Krachten bij een botsing
Bij een botsing komt de auto in zeer korte tijd tot stilstand. De „remweg‟ is dus
heel klein. De kreukelzone aan de voorkant zorgt ervoor dat de rest van de auto
(de kooiconstructie) geleidelijk tot stilstand komt. Toch blijft de remweg heel
kort en de kracht groot. En hoe zit dat met de passagiers?
45 Oriëntatie op de situatie
Bij een botsing is de „remweg‟ zeer kort. Op de bovenstaande foto is goed te
zien dat de voorkant van de auto een flink stuk ingedeukt is. Dat is de
kreukelzone van de auto.
a Leg uit dat de remweg van de auto vrijwel gelijk is aan de afstand waarover
de kreukelzone is ingedrukt.
b Is de remweg voor de inzittenden even groot als voor de auto? Leg uit.
c Doe eerst een voorspelling: bij welke snelheid denk je dat je genoeg kracht
kunt leveren om niet met je hoofd tegen de voorruit te komen?
48
Plan van aanpak


Onderzoek hoeveel kracht een persoon maximaal kan leveren als hij armen
en benen gebruikt om zich schrap te zetten. Gebruik een computermodel
om te onderzoeken wat er bij verschillende snelheden gebeurt als je deze
kracht gebruikt om je schrap te zetten.
Ga na welke afstand de inzittenden afleggen bij een botsing en bepaal
daarmee de remvertraging en de kracht die nodig is om niet met de
voorruit te botsen.
46 Hoeveel kracht kun je zetten?
Het eerste wat je wilt onderzoeken is hoeveel kracht je maximaal kunt leveren
als je jezelf schrap zet. Met een experiment is dat na te gaan.
Armkracht – Ga met een ruggensteun voor een verticaal opgestelde weegschaal
zitten en druk de weegschaal met je armen zo hard mogelijk in, zoals in de
linker afbeelding van figuur 65. Reken de massa van de weegschaal (in
kilogram) om naar kracht (in newton)
Beenkracht – Doe hetzelfde voor de kracht die je met je benen kunt zetten.
a Noteer de resultaten.
Figuur 65 – Experiment om de
kracht te meten die je met armen
en benen kunt leveren. Als het
niet lukt om het experiment uit te
voeren, maak dan met elkaar een
schatting van de kracht die je
kunt leveren.
De kracht die je met je armen kunt zetten is ……… N.
De kracht die je met je benen kunt zetten is ……… N.
De totale kracht waarmee je jezelf schrap kunt zetten is dus ……… N.
Als deze meting niet uitgevoerd kan worden dan is het ook mogelijk om een
schatting te maken van de krachten die je armen en benen kunnen leveren door
een vergelijking met je lichaamsgewicht. Een redelijke schatting is dat je met je
benen 150% van de gewicht kunt leveren en met je armen 50%.
b Hoe groot is dan de maximale afzetkracht (in N)?
47 Botssimulatie met de computer
In het computermodel „Botsing‟ zijn de beginsnelheid, de massa van de
bestuurder en de maximale kracht die de bestuurder kan leveren zelf in te
stellen.
a Noteer in het model je eigen massa en de totale kracht die je kunt leveren.
b Kies verschillende waarden voor de snelheid en onderzoek bij welke
snelheid je voldoende kracht kunt zetten om niet tegen de voorruit te botsen.
Noteer deze snelheid .
c
Kies een snelheid die twee keer zo groot is als het antwoord bij de vorige
vraag. Met welke snelheid botst de bestuurder tegen de voorruit?
Figuur 66 – Sommige auto’s
komen niet goed uit de botsproef.
d Bij hogere snelheden blijkt het nauwelijks effect te hebben om je schrap te
zetten. Hoe kan dat?
49
48 De remvertraging bij een botsing berekenen
Een botsing is een vertraagde beweging met een zeer korte remweg. De
kreukelzone is ontworpen om de remweg langer te maken. Figuur 31 is een
voorbeeld van de werking van een kreukelzone. Bij een snelheid van 65 km/h
(dat is 18 m/s) wordt de kreukelzone 65 cm ingedrukt.
Figuur 67 – Botsproef bij 65 km/h. De auto is zo’n 65 cm ingedrukt.
Ter vereenvoudiging nemen we aan dat tijdens de botsing de kracht op de auto
constant is. De onderstaande grafiek geeft aan hoe dan de snelheid afneemt.
remweg =
oppervlakte = 65 cm
Figuur 68
In deze grafiek is de „remweg‟ van de auto gelijk aan de oppervlakte onder de
grafiek. Bij een beginsnelheid van 18 m/s is de „remweg‟ slechts 65 cm.
a Bereken met de oppervlakte in figuur 68 de remtijd van de auto.
b Bereken de remvertraging van de auto.
Tijdens de botsing beweegt de bestuurder ook nog een stuk naar voren in de
auto, dat geeft een extra „remweg‟. De afstand tussen je lichaam en het stuur of
het dashboard en de voorruit. Deze extra afstand is ongeveer 50 cm.
c Hoe groot is nu de totale „remweg‟ van de bestuurder?
Figuur 69 – Ook aan de kleinste
inzittenden wordt aandacht besteed
bij botsproeven.
De massa van de bestuurder is 70 kg.
d Bereken de remvertraging en de kracht die jij als bestuurder zou moeten
leveren om niet tegen het stuur of de voorruit te botsen. Wat is je conclusie?
50
49 Botsing bij hogere snelheden
Bij hogere snelheden vangt de autogordel de klap op. Een autogordel heeft een
bijzondere eigenschap, de gordel rekt uit als er een grote kracht op werkt.
a Leg uit dat door het uitrekken van de gordel de gemiddelde kracht van de
gordel op de bestuurder kleiner wordt.
Bij een botsing met een snelheid van 60 km/h levert de autogordel een extra
remweg van 30 cm. De kreukelzone van de auto is 60 cm ingedrukt
b Bereken in deze situatie de remweg en de remvertraging.
c
De bestuurder van de auto heeft een massa van 82 kg. Bereken de
gemiddelde kracht van de gordel op de bestuurder tijdens de botsing.
Figuur 70 – Gordel niet om, erg
onverstandig.
Bij botsingen met nog hogere snelheden geeft ook de autogordel onvoldoende
bescherming. De krachten worden simpelweg te groot.
d Welke veiligheidsmaatregel geeft extra bescherming bij botsingen met
hogere snelheden?
EXTRA – Na een botsing snijdt de politie altijd de gordel door. Daardoor moet
de eigenaar van de auto (als die niet totaal vernield is) een nieuwe gordel in de
auto laten plaatsen.
e Leg uit waarom de gordel na een botsing niet meer gebruikt mag worden.
De werking van de autogordel
Een veel gebruikte uitdrukking is dat de autogordel „de klap opvangt‟. Dat is
natuurlijk niet een echte verklaring, want er is hoe dan ook een grote kracht
nodig om in een zeer korte tijd stil te staan. De werking van de autogordel
berust op de volgende aspecten:
 De borstkas kan meer kracht „opvangen‟ dan het hoofd.
 De kracht verdelen over een groter oppervlak. De autogordel is vrij breed
en daardoor ontstaat een vrij groot oppervlak. Een smalle autogordel zou in
het lichaam kunnen snijden.
 De kracht verdelen over een grotere remweg. De autogordel kan een stuk
uitrekken. Daardoor wordt de remweg groter en is de benodigde remkracht
kleiner. Dit is te vergelijken met de werking van de kreukelzone.
De uitrekking van de autogordel mag uiteraard niet elastisch zijn, want dan
zou de inzittende direct na de botsing teruggeschoten worden in de stoel. De
uitrekking van de autogordel moet dus blijvend zijn (plastische vervorming).
51
10
Praktische opdracht: Videometen
Bewegingen vastleggen
Wat gaan we doen?
Nieuwe begrippen in
deze paragraaf
Videometen
Functiefit
Actiekracht
Reactiekracht
In dit hoofdstuk zijn bewegingen onder invloed van een constante kracht
bekeken. Het zijn bewegingen met een constante versnelling of vertraging.
Een goede methode om dergelijke bewegingen te analyseren is videometen.
In deze paragraaf zijn de centrale vragen:
 Hoe kun je een beweging vastleggen met videometen?
 Hoe bepaal je met videometen de versnelling of vertraging?
Videometen en analysetechnieken
Videometen met de computer is een handig hulpmiddel om bewegingen te
analyseren en om de theorie over bewegingen te onderzoeken. De beweging van
een voorwerp op een filmpje wordt met videometen omgezet in een grafiek van
de positie en een grafiek van de snelheid. De analysetechnieken van de software
maken het mogelijk om de kennis uit de voorgaande paragrafen toe te passen op
de grafieken. Daarbij gaat het om vragen zoals:
 Welke vorm heeft de grafiek van de snelheid? Is er een formule bij de
grafiek te vinden?
 Hoe bepaal je de versnelling uit de grafiek van de snelheid? Past de
versnelling bij de theoretische waarde in de situatie?
 Welke vorm heeft de grafiek van de plaats? Is er een formule bij de grafiek
te vinden? Hoe bepaal je de versnelling uit de grafiek van de plaats?
 Kun je bij deze grafieken de helling of de oppervlaktemethode gebruiken?
Praktische Opdracht videometen
Figuur 71 - Bij videometen wordt de
positie van het voorwerp op
achtereenvolgende filmbeeldjes
vastgelegd. Daardoor ontstaat een ‘spoor’
van de beweging.
Deze opdracht gaat over het analyseren van een beweging onder invloed van een
constante kracht met behulp van videometen. De onderzoeksvragen bij deze
opdracht zijn?
 Hoe groot is de versnelling van het voorwerp?
 Is de versnelling in overeenstemming met de krachten die op het voorwerp
werken?
Uitvoering onderzoek
Bij het onderzoek maak je gebruik van software die geschikt is voor
videometen, zoals Coach6 of LoggerPro.
 Leg met behulp van een videocamera een beweging vast die veroorzaakt
wordt door een constante kracht. De versnelling of vertraging van het
voorwerp moet nagenoeg constant zijn.
 Kies een opstelling of situatie waarbij je ook de kracht kunt vaststellen die
voor de versnelling zorgt.
 Maak een afstand-tijd-diagram van de beweging en bepaal daarmee de
versnelling van het voorwerp. Maak gebruik van een geschikte
analysemethode zoals functiefit of coordinatentransformatie.
52

Maak een snelheid-tijd-diagram van de beweging en bepaal daarmee de
versnelling van het voorwerp. Maak gebruik van een geschikte
analysemethode.
 Ga na of de versnelling past bij de krachten die bij jouw opstelling of
situatie op het voorwerp werken. Verklaar eventuele verschillen.
 Er zijn extra punten te verdienen door een originele situatie te kiezen
(bijvoorbeeld een olifant die weggeschoten wordt met een katapult). De
enige beweging die verboden is, is een valbeweging waarbij de
luchtweerstand vrijwel te verwaarlozen is.
Neem in het verslag tenminste de volgende onderdelen op: een afbeelding van
de meetopstelling met meetpunten, grafieken van snelheid en afstand, grafieken
waarin analyse of functiefit is toegepast en een vergelijking tussen de gemeten
versnelling en de krachten op het voorwerp.
Bij videometen wordt de positie van het
voorwerp op achtereenvolgende
filmbeeldjes vastgelegd. Daardoor
ontstaat een ‘spoor’ van de beweging.
Videometen
Bij het gebruik van videometen zijn bij elk softwareprogramma de volgende
handelingen nodig om de videobeelden om te zetten in een serie metingen.
a. Het filmpje laden
b. De schaal van de videobeelden instellen
c. Het assenstelsel voor de meting plaatsen
d. De plaats van het voorwerp op elk beeldje vastleggen
e. Grafieken maken van de plaats en de snelheid
f. De metingen analyseren
De verschillende softwareprogramma‟s zoals Coach6 en LoggerPro zijn in grote
mate identiek, op sommige plaatsen is het gebruik van het programma
verschillend. Raadpleeg de handleiding of vraag je docent.
50 Oefenopdracht met LoggerPro
De onderstaande opdracht is een oefening met het programma LoggerPro. Voor
andere software zijn de handelingen meestal goed vergelijkbaar. De opdrachten
zijn gebaseerd op een filmpje van een springende danseres.
In het filmpje zie je een danseres omhoog springen en weer neerkomen. Zodra
de danseres los komt van de grond werkt er nog maar één constante kracht op de
danseres: de zwaartekracht. Voor de onderzoeksvraag is alleen dat deel van de
sprong interessant.
De onderstaande opdrachten zijn ook bruikbaar bij een filmpje met een andere
versnelde beweging bij een constante kracht.
a. Een filmpje laden
Start het programma LoggerPro. Open een videofilmpje met behulp van de
menu-optie: Insert  Movie  Sample Movies. Kies voor het filmpje van de
Jumping Dancer. Vraag zonodig aan je docent waar je het filmpje kunt vinden.
Menubalk
- Meetpunten toevoegen
- Oorsprong plaatsen
- Schaal instellen
b. De schaal van de videobeelden instellen
Open de video analysis met de button rechtsonder in het videoscherm. Daardoor
verschijnt er een extra menubalk.
Kies voor het instellen van de schaal en teken een lijn van de voeten van het
meisje tot het hoofd. Vul de lengte van het meisje (1.68 m) in.
- Afstand meten
- Extra serie metingen
- Verberg meetspoor
- Verberg oorsprong
- Verberg schaal
53
Menubalk
- Meetpunten toevoegen
- Oorsprong plaatsen
c. Het assenstelsel voor de meting plaatsen
Kies voor het plaatsen van de oorsprong en plaats de oorsprong op een plek naar
keuze. Voor deze videometing is de oorsprong niet belangrijk. Met de muis kun
je de oorsprong verplaatsen of draaien (met de ronde punt langs de x-as)
- Schaal instellen
- Afstand meten
- Extra serie metingen
- Verberg meetspoor
- Verberg oorsprong
- Verberg schaal
d. De beweging vastleggen
Kies voor meetpunten toevoegen en zoek het videoframe waar je de meting wilt
starten. Bedenk welk punt van het bovenlichaam je wilt gebruiken als meetpunt
(bijvoorbeeld de neus of de bovenkant van een oor). Zorg dat het videoscherm
groot genoeg is om nauwkeurig te meten.
Klik met de muis op het meetpunt. Er verschijnt een blauwe stip en programma
gaat naar het volgende frame. Klik alle meetpunten aan.
e. Grafieken maken
LoggerPro laat direct de metingen zien in een grafiek. Er zijn twee grafieken
getekend: van de x-coördinaat en van de y-coördinaat. Voor deze videometing is
de x-coördinaat niet van belang.
Dubbelklik op de grafiek en geef de grafiek een passende titel. Laat het vakje
Connect Points open. Kies voor Axes Options en zet het vinkje voor de Xmeetserie uit.
Een grafiek van de snelheid
Als je een nieuwe grafiek maakt (Insert Graph) dan zal het programma
automatisch een grafiek tekenen van de verticale snelheid.
f. Analyseren: de helling, functiefit en oppervlaktemethode
De raaklijn aan een grafiek wordt getekend met de optie Tangent bij Analyse.
Sleep de muis langs de grafiek en onderzoek hoe de helling verandert
Selecteer voor een functiefit het relevante deel van de grafiek. Kies bij Analyse
voor Curve Fit. Bedenk zelf welk type verband het best past bij de grafiek.
Selecteer voor de oppervlaktemethode het relevante deel van de grafiek. Kies bij
Analyse voor Integral. Bedenk zelf welke betekenis het oppervlak heeft.
51 Onderzoeksvraag toepassen op danseres
Pas de onderzoeksvragen van de PO toe op het filmpje van de danseres.
a Hoe groot is de versnelling van de danseres? Bepaal de versnelling zowel uit
de grafiek van de snelheid als uit de grafiek van de hoogte.
b Is de versnelling in overeenstemming met de krachten die op het voorwerp
werken?
54
9 Afsluiting
Terugblik, samenvatting en oefening
Terugblik en samenvatting
Het gaat bij mechanica om het verklaren van bewegingen van voorwerpen als
gevolg van de krachten die op die voorwerpen werken. Het resultaat van de
aanpak van Newton bestaat uit:
De eerste wet van Newton:
Een belangrijke stap was de ontdekking van de invloedloze beweging. Een
voorwerp waarop de nettokracht nul blijft met constante snelheid in een rechte
lijn bewegen.
s  v t
Isaac Newton (1643-1727).
De tweede wet van Newton
Een voorwerp waarop een nettokracht werkt wordt versneld of vertraagd. De
versnelling van een voorwerp is de groei van de snelheid per seconde. De
versnelling is gelijk aan de helling in de grafiek van de snelheid.
v
a
t
De versnelling is recht evenredig met de nettokracht die op het voorwerp werkt,
en omgekeerd evenredig met de massa van dat voorwerp.
Fnetto  m  a
Bewegingen met constante kracht
Als de kracht constant is levert de aanpak van Newton formules op die de
beweging beschrijven, zowel bij een versnelling als een vertraging.
v(t )  a  t
s(t )  12  a  t 2
Krachten
Bewegingen worden veroorzaakt door krachten zoals de zwaartekracht, de
wrijvingskracht en de normaalkracht. In de komende hoofdstukken worden ook
andere krachten onderzocht.
Fz  m  g
Fw,max  f  Fn
55
52 Samenvatting
Maak hieronder je eigen samenvatting van dit hoofdstuk. In het onderstaande
schema staan de belangrijkste begrippen uit dit hoofdstuk. Ga na of je goed
begrijpt wat elk begrip betekent en geef een korte omschrijving van het begrip in
je eigen woorden. Noteer zo mogelijk ook eenheden en symbolen.
Begrippen
Korte omschrijving, symbool, eenheid, formule…
Zwaartekracht
Normaalkracht
Wrijvingskracht
Versnelling
Remvertraging
Valversnelling
Snelheidsverandering
Gemiddelde snelheid
Remweg
Oppervlakmethode in het
v,t-diagram
Autogordel
Kreukelzone
56
In het onderstaande schema staan alle belangrijke formules uit dit hoofdstuk. Ga
na of je de betekenis van de symbolen en de eenheden kent. Noteer ook in welke
situaties de formules geldig zijn/
Betekenis symbolen, eenheden, situatie waarbij de formule gebruikt wordt
Formules
Fz  m  g
Fw,s  f  Fn
Fnetto  m  a
v  a  t (of a 
v
)
t
v(t )  a  t
s(t )  12 a  t 2
s  v gem  t
srem  12 vbegin  trem
v(t )  g  t
s(t )  12 g  t 2
57
Begripstest
In dit hoofdstuk wordt de aanpak van Newton gebruikt voor het beschrijven van
„alledaagse‟ bewegingen – zoals de eenparig versnelde en vertraagde beweging
– met grootheden als plaats, snelheid, versnelling en kracht. In deze test ga je na
of je het verband tussen deze begrippen begrijpt.
53
In 2,5 s neemt de snelheid van een auto toe van 60 tot 65 km/h, terwijl een fiets
vanuit stilstand in dezelfde tijd optrekt tot een snelheid van 5 km/h. Welk
voertuig heeft de grootste versnelling?
54
Een auto versnelt vanuit stilstand tot een snelheid van 50 km/h. Een andere auto
versnelt vanuit stilstand tot een snelheid van 60 km/h. Weet je nu welke auto de
grootste versnelling heeft? Leg uit waarom wel of niet.
55
Hoe groot is de versnelling van een auto die gedurende 10 s met een constante
snelheid van 100 km/h rijdt?
56
De versnelling van een vrij vallend voorwerp is 9,81 m/s2 (de valversnelling).
Waarom staat in de eenheid van versnelling de eenheid seconde in het kwadraat?
57
Kan een voorwerp bewegen als zijn versnelling nul is? Zo ja, geef een
voorbeeld.
58
Kan een voorwerp versnellen als zijn snelheid nul is? Zo ja, geef een voorbeeld.
59
In de onderstaande grafieken zie je het v,t-diagram van drie verschillende
bewegingen.
Figuur 1
a Leg uit welke van die bewegingen eenparig versneld is/zijn.
b Bepaal uit het v,t-diagram van die beweging(en) de versnelling.
60
In figuur 2 zie je het s,t-diagram van een bewegende auto.
a Leg uit dat de snelheid van de auto niet constant is.
b Wordt deze snelheid in de loop van de tijd groter of kleiner? Hoe zie je dat
aan het s,t-diagram?
Figuur 2
58
61
In figuur 3 zie je het v,t-diagram van vier verschillende bewegingen. Bepaal bij
elk van die bewegingen de verplaatsing tussen t = 0 en t = 20 s.
62
Als de kracht op een voorwerp driemaal zo groot wordt, hoeveel maal zo groot
wordt dan de versnelling?
De glijder op een luchtkussenbaan staat stil. Dan wordt gedurende een bepaalde
tijdsduur een constante kracht op de glijder uitgeoefend, zoals in figuur 4. De
glijder krijgt daardoor een bepaalde eindsnelheid. De wrijvingskracht tussen de
glijder en de luchtkussenbaan is verwaarloosbaar klein.
a Het experiment wordt herhaald met een tweemaal zo kleine kracht, tot de
glijder dezelfde eindsnelheid heeft. Hoeveel keer zo lang moet de kracht dan
op de glijder worden uitgeoefend?
b Het experiment wordt herhaald met dezelfde kracht en dezelfde tijdsduur,
maar met een glijder die een tweemaal zo grote massa heeft. Hoeveel keer zo
groot is dan de eindsnelheid van de glijder?
Figuur 3
63
F
Figuur 4
Figuur 5
64
In vacuüm vallen een veertje en een muntstuk op dezelfde manier zij aan zij.
Betekent dit dat dan de zwaartekracht op de twee voorwerpen gelijk is? Leg uit
waarom wel of niet.
65
Als je een voorwerp laat vallen (zonder luchtweerstand) beweegt het met een
versnelling van 9,81 m/s2 (de valversnelling). Als je het voorwerp omlaag gooit
(dus: met een beginsnelheid), hoe groot is dan de versnelling na het loslaten:
9,81 m/s2 of meer of minder? Leg uit waarom.
66
Vanaf dezelfde hoogte gooi je eerst een kogel met een bepaalde snelheid
omhoog, en daarna een tweede kogel met dezelfde snelheid omlaag. De
luchtweerstand is verwaarloosbaar klein. Welke kogel raakt de grond met de
grootste snelheid?
67
Je gooit een bal recht omhoog de lucht in. Hoe groot is de snelheid van de bal in
het hoogste punt van de baan? En hoe groot is de versnelling van de bal in dat
punt?
68
In figuur 5 zie je het v,t-diagram van de eenparig vertraagde beweging van twee
verschillende voertuigen.
a Welk voertuig heeft de grootste beginsnelheid?
b Welk voertuig heeft de grootste vertraging?
c Welk voertuig heeft tijdens de eenparig vertraagde beweging de grootste
verplaatsing?
59
69
Op een droge asfaltweg is de remweg van een auto 2,8 m bij een beginsnelheid
van 25 km/h.
a Beredeneer hoe lang dan de remweg is op hetzelfde wegdek en bij dezelfde
remkracht, maar bij een tweemaal zo grote beginsnelheid (50 km/h). En bij
een viermaal zo grote beginsnelheid (100 km/h)?
b Op nat asfalt is de schuifwrijvingscoëfficiënt 1,5 maal zo klein als op droog
asfalt. Beredeneer hoe lang dan de remweg is bij dezelfde beginsnelheid (25
km/h).
Oefenopgaven
70
Constructie van bewegingen
Voor elk van de onderstaande afbeeldingen geldt dat de beweging gaat van O
naar A naar B. In elke situatie is de kracht constant.
a Teken in elke situatie tussen A en B de invloedloze beweging en de extra
verplaatsing.
b Construeer in elke situatie de positie C waar het voorwerp in de volgende
tijdstap terecht zal komen (neem aan dat de invloed niet verandert).
situatie I
B
A
O
situatie II
A
O
B
situatie III
A
O
B
situatie IV
B
A
O
60
71 De invloed van een kracht op de beweging
Als er een kracht is, wijkt de beweging af van de invloedloze, eenparig
rechtlijnige beweging. Een kracht zou dus een snelheidsverandering moeten
veroorzaken.
a Kan het ook gebeuren dat een kracht alleen de grootte van de snelheid
verandert? In welk geval zal dat gebeuren?
b Hoe noemen we zo’n beweging waarbij alleen de grootte van de snelheid
verandert?
c Aan welke voorwaarde moet de kracht voldoen zodat alleen de richting
van de snelheid verandert?
d Hoe noemen we zo’n beweging waarbij alleen de richting van de snelheid
verandert?
72
Beeldbuis
In de beeldbuis van een tv-toestel krijgen elektronen een grote snelheid met
behulp van twee elektrisch geladen platen. In het elektronenkanon van figuur 7
komen uit de negatief geladen plaat elektronen vrij (met beginsnelheid nul).
Op het elektron werkt een constante elektrische kracht Fe van 2,7·10–13 N. De
massa van een elektron is 9,1·10–31 kg. De afstand tussen de twee geladen platen
in het elektronenkanon is 1,1 cm.
a Welk soort beweging voert het elektron tussen de twee geladen platen uit?
Leg uit waarom.
b Met welke snelheid schiet het elektron door het gat in de positief geladen
plaat (richting beeldscherm)? Bedenk daarbij eerst van welke twee
grootheden die snelheid afhangt en hoe je die twee grootheden kunt
berekenen.
Figuur 7 – Versnellen van
elektronen in het
elektronenkanon van een
beeldbuis.
73
Sprinten
De beweging van een atleet op de 100 m sprint is te vereenvoudigen tot een
eenparig versnelde beweging met een versnelling van 4 m/s2, gevolgd door een
eenparige beweging met een (constante) snelheid van 12 m/s.
Bereken de eindtijd van deze atleet op de 100 m sprint.
74
Figuur 8 – Doorgeven van het
estafettestokje.
Wisselen op de estafette
Het doorgeven van het estafettestokje op de viermaal 100 m sprint geeft nogal
eens problemen. Een ploeg met goede wissels boekt vaak betere resultaten dan
een ploeg met topsprinters. Het wisselen moet gebeuren binnen bepaalde
grenzen. In figuur 9 is deze wisselzone weergegeven.
Sprinter A heeft een constante snelheid van 10 m/s. Sprinter B start volgens het
(vereenvoudigde) v,t-diagram van figuur 10.
Bereken hoe groot de afstand tussen beide sprinters moet zijn op het moment dat
sprinter B start voor een zo goed mogelijke wissel.
Figuur 9 – Start- en wisselzone bij de viermaal 100 m sprint.
Figuur 10 – Het v,t-diagram van de
beweging van sprinter B bij zijn start.
61
75
Vallen en botsen
In figuur 11 worden de gevolgen van het niet dragen van de autogordel bij een
botsing vergeleken met het vallen van een bepaalde hoogte. Een botsing met een
snelheid van 60 km/h is te vergelijken met een val vanaf 14 m hoogte.
Ga door berekening na of deze informatie juist is.
76
De beweging bij het hoogspringen is een combinatie van een beweging in
verticale richting en een beweging in horizontale richting. In deze opgave
houden we geen rekening met de beweging in horizontale richting.
Een hoogspringster komt met een snelheid v van 4,0 m/s los van de grond. Deze
snelheid is verticaal omhoog gericht. Tijdens de beweging is de
luchtwrijvingskracht verwaarloosbaar klein. Om erachter te komen of de
hoogspringster in de situatie van figuur 3 over de lat heen komt, moet je bepalen
welke hoogte haar zwaartepunt Z maximaal bereikt. Dus: op welke hoogte haar
snelheid in verticale richting nul is.
Laat met een berekening zien of de hoogspringster in de situatie van figuur 12
wel of niet over de lat heen komt.
Figuur 11 – Botsen zonder gordel
voorgesteld als vallen van bepaalde
hoogte.
77
Figuur 12 – De beweging
van het zwaartepunt van de
hoogspringster bepaalt of zij
wel of niet over de lat heen
komt.
Hoogspringen
Rem-testrapport
In figuur 13 zie je een gedeelte van een testrapport van een auto. Neem aan dat
de auto bij elk van de drie remproeven een eenparig vertraagde beweging
uitvoert.
Figuur 13 – Gedeelte uit een auto-testrapport: de lengte van de
remweg bij een beginsnelheid van 100 km/h.
Het remmen begint steeds op het moment dat de voorkant van de auto de lijn bij
afstand 0 passeert.
a Bereken voor elk van de drie proeven de remvertraging van de auto.
b Voldoen de remmen van de geteste auto aan de wettelijke voorschriften?
Waarom wel of niet?
62
78
Remmende auto
In figuur 14 zie je het v,t-diagram van een rijdende en maximaal remmende
auto. De auto heeft een massa van 800 kg. Op het tijdstip t = 0 s ziet de
bestuurder dat er geremd moet gaan worden.
a Bepaal de reactietijd van de bestuurder en de vertraging tijdens het remmen.
b Bereken de remweg van de auto. Houd daarbij rekening met de reactietijd
van de bestuurder.
Als deze auto een aanhangwagen zonder eigen rem heeft, wordt de remweg
langer (bij dezelfde beginsnelheid en remkracht). De aanhangwagen heeft een
massa van 400 kg.
c Bereken hoeveel langer de remweg van de auto met aanhangwagen is.
Figuur 14
79
Veiliger op weg
Lees eerst het onderstaande gedeelte uit een folder over verkeersveiligheid. Geef
daarna antwoord op de vraag die onder het artikel staat.
Staat u op tijd stil?
Als er iets onverwachts gebeurt, waarvoor u
moet stoppen, heeft u tijd nodig om te
reageren. Dat duurt gemiddeld één
seconde. In deze heel korte tijd bent u als u
maar 10 km per uur rijdt bijna drie meter
verder, voordat er werkelijk geremd wordt.
In de tekening ziet u de totale afstand die u
nodig heeft om tot stilstand te komen, bij
de minimum eisen voor de remvertraging.
Wat betekent dit in de praktijk?

Remmen binnen 30 meter lukt alleen
als u met een personenauto niet harder dan
50 km per uur rijdt.

Als u 60 km per uur rijdt is de
botssnelheid dan nog altijd 40 km per uur.
Voor voetganger en fietser kan zo’n botsing
fataal zijn.
Ga met een berekening na of de informatie in de folder over de remweg (bij 50
km/h) en de botssnelheid (bij 60 km/h na 30 m) wel of niet juist is.
Figuur 15
80
Rijsnelheid bij mist
Op een mistige dag is het zicht beperkt tot 50 m. Dat betekent dat een
automobilist de weg over een afstand van 50 m kan overzien. Het grootste
gevaar is dan dat er plotseling een stilstaande auto op 50 m afstand opdoemt.
Laat met een berekening zien wat onder deze omstandigheden een veilige
rijsnelheid (in km/h) is.
81
Afstand houden
Voor het bepalen van een veilige afstand (in m) tussen twee rijdende auto's
bestaat een eenvoudige rekenregel: deel de snelheid in km/h door 10 en
kwadrateer de uitkomst van die deling.
a Wat is volgens deze rekenregel een veilige onderlinge afstand bij een
snelheid van 120 km/h?
b Laat met een berekening zien of de rekenregel wel of niet een redelijke
waarde voor een veilige onderlinge afstand oplevert.
63
82
Botsen
Een vrachtwagen rijdt op een afstand van 40 m achter een personenauto op de
snelweg. Beide voertuigen hebben een snelheid van 90 km/h. Plotseling moet de
bestuurder van de personenauto remmen. De personenauto remt vanaf het
tijdstip t = 0 s met een vertraging van 6,0 m/s2 af tot stilstand. De
vrachtwagenchauffeur reageert daar 0,75 s later op. Vanaf dat moment remt de
vrachtwagen met een vertraging van 4,0 m/s2.
a Teken in één v,t-diagram het verband tussen snelheid en tijd voor beide
auto‟s.
b Bereken voor beide auto‟s de verplaatsing vanaf het tijdstip t = 0 s en laat
zien of de vrachtwagen wel of niet tegen de personenauto botst.
83
Airbag
Lees eerst het onderstaande gedeelte uit een krantenartikel. Geef daarna
antwoord op de vragen die onder het artikel staan.
Botsballon opblazen
Een airbag wordt opgeblazen bij botsingen
met een snelheid die hoger is dan 35 km/h.
Daaronder biedt alleen de gordel voldoende
bescherming.
Na een botsing wordt in veel minder dan
een seconde (ca. 50 milliseconden: 0,05 s)
de luchtzak opgeblazen met een mengsel
dat voor een groot deel uit stikstof bestaat.
Bij een botsing beslist binnen 10 tot 15
milliseconden de elektronica achter het
dashboard dat actie geboden is. Vijf
milliseconden later begint de airbag zich te
ontvouwen. Tien milliseconden later is hij
half vol en al bruikbaar.
Bron: De Gelderlander
Figuur 16 – De airbag
voorkomt dat hoofd en romp
bij een botsing het stuur of de
voorruit kunnen raken.
De airbag of „botsballon‟ wordt bij een botsing wel snel opgeblazen, maar is dat
snel genoeg?
Bij een botsing met een snelheid van 72 km/h deukt de kreukelzone van een auto
35 cm in en zorgt de uitrekking van de autogordel ervoor dat de bestuurder in de
cabine nog 20 cm naar voren schiet.
a De massa van de bestuurder is 70 kg. Bereken de kracht van de autogordel
op de bestuurder tijdens de botsing.
b Bereken de tijd die nodig is voor het afremmen van de bestuurder tijdens de
botsing.
c Wordt de airbag snel genoeg opgeblazen? Leg uit waarom wel of niet.
64
b.-d. Zie figuur.
Antwoorden
O
A
B
1
a. Lemond heeft een druppelvormige helm op, een dicht
achterwiel, een triathlon stuur en een aangepast
fietsframe.
b. Lagere luchtwrijving.
c. Klapschaats, zwempakken.
d. De grootte van de luchtwrijving.
e. Tegenwoordig: betere vering, evenwicht, zelf
aandrijven (houvast wielen), wendbare voorwielen,
rugsteun, sterkere materialen, opklapbare voetensteun,
etc. Sportrolstoel: schuine wielen (evenwicht), lichtere
materialen, bewegingsvrijheid bovenlijf, sterkere
constructie, wendbaarheid.
2
a. Betere stroomlijn.
b. Verschillen die het verkeer veiliger maken zijn o.a.
gordels voor en achter, airbags, ABS, rembekrachtiging,
stuurbekrachtiging, kreukelzone en kooiconstructie.
c. Ja, de voetganger wordt opgetild.
d. Hybride auto, traction control, betere banden.
3 en 4
Eigen antwoorden
5
a. De gestippelde pijlen zijn de invloedloze beweging, de
andere pijlen de extra verplaatsing.
d. De pijl van de extra verplaatsing moet in de richting van
de zon wijzen.
e. De verplaatsing wordt veroorzaakt door de aantrekking
van de zon.
f. De aantrekking van de zon wordt groter naarmate de
komeet dichter bij de zon is.
6
a. De gestippelde pijl.
b. De invloedloze beweging
O
P
Q
f. Een versnelde beweging.
S
7
a. De extra verplaatsing is tegengesteld gericht aan de
beweging, dus de invloed werkt de beweging tegen.
O
P
Q
c. De verplaatsing wordt steeds kleiner: het voorwerp remt
af.
8
a. Invloedloze beweging (gestippeld) en de extra
verplaatsing t.g.v. aanwezige kracht.
C
D
e. De verplaatsing per tijdstap neemt toe.
f. Een bal die je horizontaal weggooit beweegt ongeveer
zo (de kromme is dan vloeiend niet hoekig.)
9
a. Eigen uitleg.
b. De afstand tot het middelpunt is kleiner.
c. Met b.v. 70 kg:
6,67310-11´70´5,9761024/(6,378106)² = 686 N
d. Eb en vloed. De maan draait in een cirkel.
e. Even groot. De maan heeft veel meer massa om aan te
trekken.
f. Met b.v. 70 kg: r wordt 6,386106 m
6,67310-11´70´5,9761024/(6,386106)² = 684 N. Een
verschil van 0,25%.
10
a. Afstand 5,3 cm, dat geeft 25/5,3² = 0,90 cm, in de
richting van S.
b. Zie figuur, afstand 3,8 cm. 25/(3,8)2=1,7cm
c.-d.: zie figuur.
e. Grootste snelheid (want grootste afgelegde weg per
tijdstap): DE (dag 5). In E is de afstand tot S het kleinst.
f. De komeet wordt naar de Zon toegetrokken maar
beweegt ook vooruit. De kracht is groot genoeg om de
komeet te laten omkeren (maar te klein om de komeet
op de Zon te laten stoppen.)
g. Kleinere tijdstapjes gebruiken.
11
a. mZon = 3·105mAarde
b. factor 5² = 25
c. De kracht van de zon is ongeveer 104 maal zo groot.
12
a. 1,55.1014 N
b. Deimos en Mars oefenen even grote krachten op elkaar
uit.
c. Ze bewegen in tegengestelde richting, naar elkaar toe.
d. De krachten zijn gelijk, maar bal 2 is lichter en gaat dus
sneller bewegen.
e. Ze zijn dichter bij ekaar, de kracht wordt groter.
B
A
O
c. De zwaartekracht is kleiner, maar je hebt ook evenredig
minder kracht nodig om de planeet in zijn ellipsbaan te
houden.
d. Eigen uitleg.
C
D
Let op:
S
extra verplaatsing in
iedere stap: sextra = 25/r2
- stippellijn (invloedloze beweging) is
steeds kopie van de vorige stap
18
a.-b. Eigen antwoord v/d leerling.
- extra verplaatsing tijdens de stap bepaal
je op het beginpunt van de stap
- de extra verplaatsing op dat punt wijst
naar S
- bereken de extra verplaatsing met:
Sextra = 25/(afstand tot S)2
(Dit levert, met gebruik van de figuur op
p. 15: A: 0,33 B: 0,51
C: 0,87 D: 1,67 E: 1,79 F: 0,99
G: 0,56 H: 0,35 I: 0,24)
Figuur 32 Constructie van de komeetbaan in stappen
19
a.
b.
c.
d.
e.
20
a. De eerste stap is 0,4 m, de tweede 0,80 m, de derde 1,20
m.
b.
tijdstap
13
b. Baan niet vloeiend.
c. Ja maar niet voldoende.
d. 0.2 (of kleiner): bij nog kleinere stap blijft de baanvorm
hetzelfde, dus wordt de berekening niet meer door de
stapgrootte beinvloed.
e. Hoe dichter bij de Zon, des te groter de snelheid.
14
a. Ja.
b. Er ontstaat een kink in de baan, de komeet schiet in
rechte lijn weg.
c. Maar probeer het eens met een tijdstap van 0.001! (En
gebruik de V-knop.)
15
a. 1,47 uur
b. 342 km, 7690 m/s
c. Te laag gekozen (hij verliest nl hoogte, aantrekking v/d
Aarde is te groot.)
d. 366 - 367 km
e. Met hoogte = 366,5 km: 8,77 N/kg.
16
a. Omlooptijd van Mercurius is kleiner, de afstand tot de
Zon varieert sterker, de snelheid is hoger en varieert
sterker dan die van de Aarde.
c. Eigen antwoord leerling.
17
a. Eigen antwoord v/d/ leerling.
b. Veranderen van de massa van de Aarde heeft geen
waarneembare invloed op de baan.
c. Bij deze waarde „ontsnappen‟ de planeten aan de
zwaartekracht van de Zon.
66
De afstand wordt steeds 1,0 cm groter.
Op 5 cm links (op een vast punt gemeten)
Eigen voorspelling
Twee keer zo steil.
Half zo steil.
1
2
3
4
5
6
7
verplaatsing
0,40
0,80
1,20
1,6
2,0
2,4
2,8
snelheid
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0
2
4
6
8
1
0
1
2
21
a.
b.
c.
d.
e.
0,40 m in 0,40 s geeft 1,0 m/s.
Zie vorige vraag.
Maak het „trappetje‟ verder af.
Elke stap 1,0 m/s.
Uit Fv = mt volgt 5,00,40 = 2,0v. Dat geeft v
= 1,0 m/s.
f. Als F = 10 N dan volgt v = 2,0 m/s. Als m = 4,0 kg en
F = 5,0 N dan volgt v = 0,5 m/s.
g. De snelheid neemt geleidelijk toe, niet in sprongen.
22
a. Bij t = 0,20 s volgt v = 0,50 m/s. Dat klopt met de
grafiek.
b. Een rechte lijn door de oorsprong.
c. Een constante kracht zorgt voor een geleidelijke
toename van de snelheid.
d. De helling is v/t = 1,0/0,40 = 2,5.
e. Elke seconde groeit de snelheid met 2,5 m/s.
23
a. Eigen uitleg.
b. v/t = 1,0 / 0,40 = 2,5 m/s per seconde.
c. Elke seconde komt er 2,5 m/s bij. Na 3,0 s is de snelheid
7,5 m/s.
d. a = F/m = 5,0/2,0 = 2,5 m/s².
31
a.
b.
c.
d.
24
a. a wordt 5,0 m/s². De grafiek is twee keer zo steil.
b. a wordt 1,25 m/s².
25
a. Ft = mv geeft 2,450,033 = 0,250v. En v =
0,323 m/s.
b. De verplaatsingen zijn: 2,4 – 3,5 – 4,6 – 5,7 – 6,8 – 7,8
– 8,9 cm
c. De snelheid is 0,32 m/s hoger. In 0,033 s is de extra
verplaatsing 0,3230,033 = 0,011 m.
d. De extra verplaatsing is constant, dus de kracht moet
ook constant zijn.
26
a.
b.
c.
d.
a = v/t = 0,323/0,033 = 9,8 m/s².
F is twee keer zo groot en m ook. Dan blijft v gelijk.
a = F/m = 2,45/0,250 = 9,8 m/s².
Eigen uitleg.
27
a. Na 0,205 s.
b. 50 km/h = 13,9 m/s. De snelheid groeit elke seconde
met 9,8 m/s. Na 1,42 s wordt die snelheid bereikt.
c. 100/3,6 = 27,8 m/s. a = v/t = 27,8/9,9 = 2,8 m/s².
d. a = v/t geeft 9,81 = 27,8/t. Dus optrekken in t =
2,8 s.
28
a. Eigen voorspelling.
b. Eigen voorspelling.
c. Eigen uitleg. Gebruik a = g = 9,81 m/s².
29
tijdstap
1
2
3
4
5
6
7
snelheid
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
verplaatsing
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
2,40
2,80
totale afstand
0,4
1,20
2,40
4,00
6,00
8,40
11,2
b.
c.
d.
e.
De snelheid is tijdens een stap constant.
Eigen voorspelling.
v = 2,5t
Eigen voorspelling.
30
a.
b.
c.
d.
e.
Opp = lb = 0,40 s  1,0 m/s = 0,40 m.
De afstand na 1,60 s.
Opp = ½bh = 0,52,05,0 = 5,0 m.
s = vgemt = 2,52,0 = 5,0 m/s.
Gebruik v = at.
Opp = ½bh = ½t(at) = ½at².
s(t) = ½at².
De grafiek zou een halve parabool moeten zijn.
32
a. 9,81 m/s².
b. s(t) = ½at² = 4,9´t².
c. Een halve parabool vanaf de oorsprong door b.v. (1,
4.9) (2, 19.8) (3, 44.1)
d. s = ½at² geeft 40 = 4,9t² en t = 2,86 s.
e. v = at = 9,81´2,86 = 28 m/s (= 101 km/h)
33
a. Bij afwezigheid van luchtwrijving krijgen alle
voorwerpen dezelfde versnelling, ongeacht hun massa
(ook op de Maan).
b. s = ½gt² geeft 1,6 = 0,5g1,4² en g = 1,63 m/s²
c. Fg,Aarde/Fg,Maan=m.g/m.gMaan=9,81/1,63=6 (6x zo klein)
34
a. Gebruik de formules v(t) = at; s(t) = ½at²; Ft =
mv; F = ma; a = v/t; F = mg
b. De formules voor v(t) en s(t).
35
a.
b.
c.
d.
a = v/t = 25/7,2 = 3,5 m/s².
s = ½at² = 0,53,57,2² = 90 m.
F = ma = 12403,5 = 4,34 kN.
Ft = mt geeft 4.3407,2 = 1240v geeft v = 25
m/s
e. a = v/t = (100/3,6)/2,8 = 9,9 m/s². Dat geeft F =
m9,9 (neem je eigen massa)
36
a. Eigen antwoord v/d leerling
b. Eigen antwoord leerling (rekening houdend met alle
factoren genoemd bij a.)
37
a. f geeft weer de invloed van het contact tussen band en
wegdek op de maximale wrijvingskracht (hoe stroever
des te groter f). Fn is de invloed van de kracht waarmee
de banden op het wegdrek neer duwen (hoe zwaarder de
auto des te groter Fn=m.g).
b. Dan is Fn groter, en Fw, max is evenredig met Fn.
c. F en m worden beiden groter, dus a zal ongeveer gelijk
blijven. Het hangt ook af van het soort remmen
(terugtraprem of handremmen).
38
a. Fn = Fz = 9,81200 = 11,8 kN.
b. f = 0,85, dus Fw,max = 10,0 kN.
c. a = F/m = 10 kN/1240 kg = 8,1 m/s².
67
d. Eigen uitleg.
e. f = 0,67 geeft Fw,max = 7,9 kN. a = F/m = 6,4 m/s².
39
a. De snelheid neemt elke seconde met 6,0 m/s af.
b. Van v = 25 m/s op t = 0, en dan elke seconde 6,0 m/s
omlaag.
c. Opp = 0,54,1725 = 52,1 m.
d. vgem = 52,1/4,17 = 12,5 m/s en dus is s = v gemt =
12,54,17
e. Ja.
40
a. a = 0,9fg = 0,90,659,81 = 5,74 m/s²
b. Gebruik de formules voor trem en srem:
vbegin
10
20
30
40
srem
8,7
34,8
78,4
139
c. Vier keer zo groot: remweg is evenredig met het
kwadraat van de beginsnelheid.
50
218
41
a. Met de voorkant op dezelfde plek als de achterkant van
de voorste auto.
b. 30 m / 25 m/s = 1,2 s.
c. Als de voorste auto harder remt.
d. Dan heeft de auto 20 m ruimte, dat is 0,8 s.
42
a. Fn = 11,8 kN; Fw,max = 0,90,85Fn = 9,0 kN; a = F/m
= 8966/1200 = 7,5 m/s².
b. Met f = 0,67 wordt a = 5,9 m/s².
c. Voorste: t = 25/7,5 = 3,36 s; s = ½at² = 42 m. De
achterste: srem = 53 m.
d. Verschil in remweg: 11 m. Bij 25 m/s afgelegd in
schrikseconde: 25 m. Totaal benodigd afstandsverschil:
36 m.
e. In 2 s legt de achterste auto 50 m af. De
veiligheidsmarge is 14 m of ongeveer 0,5 s. Dat is een
ruime aanbeveling.
43
a. Met ABS 87,6 m, zonder ABS 124,6 m.
b. Zie fig 40. Voorste auto: „2 seconden‟ voorsprong +
remweg = 2x36+87,6= 160 m Achterste auto: 1
schrikseconde seconde + remweg = 36+124,6 = 161 m.
Dat gaat niet goed, de achterste auto raakt de voorste
(bij nat weer dus minder hard rijden).
c. s = 144 m; 36+144=180 m om tot stilstand te komen.
Voorste auto: A + 87,6 met A de afstand tussen de
auto‟s. Als A = 92,4 m gaat het net goed. Bij een
snelheid van 36 m/s is dat 92,4/36= 2,6 s „afstand‟.
d. De spiegel (niet te hard remmen ivm achteropkomend
verkeer).
44
a. Ieder zijn mening maar: deze regel werkt alleen in
combinatie met andere regels (max snelheid, APK,
voorzichtig bij nat wegdek, etc.)
b. Als identieke auto‟s 1 s „afstand‟ houden, en als de
achterste precies 1 schrikseconde na de voorste voluit
remt, raakt de voorkant van de een net de achterkant van
de ander aan het eind. Dat is de ideale situatie, dus 1 s is
te weinig. 2 s is onder normale omstandigheden
voldoende: zie opg 28.
45
a. Op het moment dat de auto het obstakel raakt is de
snelheid nog ongewijzigd (als er zonder remmen
frontaal gebotst wordt). De snelheid is nul als de
kreukelzone niet verder wordt ingedrukt. De afstand dat
die wordt ingedrukt is dus de remweg.
b. Met gordel om heeft een passagier een grotere remweg:
ook nog de afstand die de gordel meegeeft.
c. Eigen voorspelling
46 en 47
Eigen antwoorden
48
a. Opp = 0,518t = 0,65 geeft t = 0,072 s.
b. a = v/t = 18/0,071 = 249 m/s².
c. Bij schrap zetten wordt de totale remweg:
0,65+0,50=1,15 m.
d. Dus: 1,15 = 0,518trem geeft trem=0,128 s en
arem=vbegin/trem=141 m/s2 zodat Frem=m.a=9861 N
49
a. Eigen antwoord leerling.
b. Remweg is 90 cm. Opp = 0,5(60/3,6)t = 0,90 geeft t
= 0,108 s. a = 16,7/0,108 = 154 m/s².
c. F  m.a  82  154  12628 N.
d. Een airbag.
e. De gordel is niet elastisch: als hij eenmaal is uitgerekt
kan hij niet opnieuw uitrekken en zorgt dus niet langer
voor veiligheid.
53
Bij beide neemt de snelheid met 5 km/h toe in dezelfde
tijdstap van 2,5 seconde: de versnellingen zijn dus
gelijk.
54.
Dat weet je niet: er is niet gegeven hoe lang iedere auto
erover doet om de eindsnelheid te bereiken. Als auto 2
daar veel langer over doet dan auto 1 kan zijn
versnelling best de kleinste zijn.
55.
De snelheid is constant: a= 0 m/s2.
68
die is altijd even groot. De versnelling is dus ook dan
9,81 m/s2.
56.
De snelheid neemt toe met 9,81 m/s per seconde.
66.
57.
De snelheden zijn even groot. Bekijk de bal die je
omhoog gooit: na een tijdje T heeft de zwaartekracht de
snelheid tot nul gereduceerd: het hoogste punt is bereikt.
Daarna werkt precies dezelfde kracht nog steeds: na
hetzelfde tijdje T zal de bal de beginhoogte weer bereikt
hebben, en heeft dan dezelfde snelheid als aan het
begin, maar nu naar beneden gericht. Verder verloopt de
val van beide ballen dus identiek, ze zullen dezelfde
eindsnelheid hebben.
Ja, als de snelheid constant is
58.
Ja: een bal die omhoog gegooid wordt heeft op het
hoogste punt een snelheid 0 maar wordt door de
zwaartekracht naar beneden getrokken, en heeft dus nog
steeds versnelling g. (In het algemeen is er op het
moment dat een beweging omkeert wel een versnelling
maar geen snelheid).
59.
a. Bij grafieken B en C hoort een eenparig versnelde
beweging (want de snelheid verandert gelijkmatig).
b. B: bijv a = 6,5/20 = 0,325 m/s2
c: bijv a=(15-10)/(20-10)=0,5 m/s2
60.
a. Bij een constante snelheid krijg je een rechte lijn als
(s,t)-grafiek (omdat de verplaatisng dan in iedere
tijdstap even groot is)
b. De verplaatsing wordt groter in opeenvolgende
tijdstappen (de grafiek wordt steiler) dus de snelheid
neemt toe in de tijd.
61.
Methode: bepaal het oppervlak onder de grafiek.
a. 5x20=100 m b. ½ x 20 x 6,5 = 65 m
c. 5x20 + ½ x 20 x (15-5)= 200 m
d. s(20) = sA + sB
s(20) =
0  6,5
 10  7,5  10 = 32,5 + 75 = 107,5 m
2
67.
Snelheid 0 m/s, versnelling 9,81 m/s2.
68.
a. Voertuig A heeft de grootste snelheid op t=0.
b. Voertuig A heeft de grootste vertraging (raakt zijn
snelheid in de kortste tijd kwijt).
c. Verplaatsing A: ½ x 3 x 20 = 30 m. B: ½ x 6 x 15 = 45
m. B heeft de grootste verplaatsing.
69.
a. s = vgemt. Bij een twee maal zo grote beginsnelheid
wordt zowel vgem als t twee keer zo groot. De remweg
wordt dan 4 maal zo groot (4x2,8 = 11,2 m). Bij een
viermaal zo grote snelheid is de remweg 16 keer groter
(16x2,8=44,8 m).
b. Als de schuifwrijving 1,5 keer zo klein is, de de
remkracht 1,5 keer zo klein, en de versnelling dus ook.
Zie de formule: s is omgekeerd evenredig met a en dus
1,5 keer zo groot: 1,5x2,8=4,2 m.
70
62.
Ook drie keer zo groot
63.
a. Als de snelheid twee keer zo groot is dan wordt de
remweg vier keer zo groot.
b. Anderhalf keer zo lang.
65.
B
C
X
B =
A
O
C
B
A
O
64.
Het betekent in ieder geval dat de valversnelling van
beide voorwerpen gelijk is, want de snelheden blijven
steeds gelijk, veranderen dus op dezelfde manier.
Omdat a = F/m zal de zwaartekracht op beide alleen
even groot zijn als ze dezelfde massa hebben (dus een
hele grote veer en/of een heel klein muntstuk).
X
A
O
X
C
C
B
X
A
O
De versnelling, dus de manier waarop de snelheid
verandert, wordt alleen bepaald door de grootte en
richting van de kracht die op een voorwerp werkt. Hoe
snel het beweegt maakt voor de zwaartekracht niet uit,
69
71
a.
b.
c.
d.
79.
50 km/h = (50/3,6) m/s = 13,9 m/s. Remweg:
Afstand tijdens schrikseconde: 13,9 m.
Resterend bij a = 5,2 m/s2: t = 13,9/5,2 = 2,67 s.
remweg = vgemt = 0,513,92,67 = 18,6 m
Totaal: 13,9+18,6 = 32,5 m. (Dus meer dan 30 m.)
60 km/h = 16,7 m/s. Afstand tijdens schrikseconde: 16,7
m. Afstand over voor remmen: 30-16,7 = 13,3 m
Remvertraging a = 5,2 m/s2 en Δv = 16, 67-11,11 = 5,56
m/s. t = v/a = 5,56/5,2 = 1,07 s.
dus afstand tijdens remmen = vgemiddeld·t =
½(16,67+11,11)·1,07 =14,8 m en totale remweg =
16,7+14,8 = 31,5 m
De auto heeft dus 31,5 m nodig om af te remmen tot 40
km/h. Na 30 m zal de auto nog niet helemaal tot 40
km/h zijn afgeremd. De werkelijke botssnelheid is dus
zelfs nog net iets hoger.
Ja: als de kracht in de richting van de beweging is.
Rechtlijnige beweging.
F moet dan steeds loodrecht op v staan
Eenparige beweging.
72.
a. Verwaarloos luchtwrijving en zwaartekracht. Het deeltje
versnelt eenparig door de constante elektrische kracht.
b. a = 2,971017 m/s en v = 8,1107 m/s
73.
De snelheid van 12 m/s wordt bereikt na een tijd van 3 s
als de versnelling 4 m/s2 is. Afgelegd: s(3)= ½ .4.(3)2 =
18 m.
Nog te doen: 100-18=82 m. Benodigde tijd: s/v = 82/12
= 6,833 s. Totale tijd: 3 + 6,833 = 9,83 s.
80.
74.
Bij de beste wissel bereikt A de positie van B juist als B
zijn maximale snelheid bereikt: B heeft afgelegd na 4 s:
½ x 4 x 10 = 20 m.
A legt in dezelfde tijd af: 4 x 10 = 40 m.
Dan start B dus als A 20 m achter hem is.
75.
s = ½gt² geeft 14 = 4,9t² dus t = 1,69 s.
v = gt = 9,81,69 = 16,6 m/s. Klopt wel ongeveer.
76.
v = at geeft t = 4/9,81 = 0,41 s.
h = ½gt² = 0,59,810,41² = 0,82 m.
Omdat haar zwaartepunt zich al op 1,0 m hoogte
bevindt bij het begin komt het tot op 1,82 m hoogte,
77.
a. voetrem koud: a = 386/50 = 7,7 m/s2
voetrem warm: a = 386/55 = 7,0 m/s2
handrem: a = 386/17 = 23 m/s2
b. Alle waarden liggen boven 5,2 m/s2 dus alle remmen
voldoen aan de voorschriften.
De automobilist heeft 50 m om tot stilstand te komen.
met a=5,2 m/s2 wordt v = 18,2 m/s = 66 km/h
81.
a. (120/10)2= 144 m.
b. 120 km/h betekent 120/3,6 = 33,33 m/s. Een afstand van
144 m komt dan overeen met een tijdverschil van
144/33.33 = 4,3 s. Dat is bij deze snelheid ruim
voldoende (uit Hfdst 2 volgt immers dat 2 s meestal al
voldoende is.)
82.
a. beginsnelheid: 25 m/s. De auto komt tot stilstand na t =
25/6 = 4,2 s. De vrachtauto: 0,75 + 25/4 = 7,0 s.
40
v
(m/s)
30
20
10
0
0
78.
a. Reactietijd is de tijd waarin v constant is: volgens de
grafiek 1,2 s.
a = v/t = 20/3,2 = 6,3 m/s².
b. Totale oppervlak onder de (v,t)-grafiek = 1,2 x 20+ ½ x
(4,4-1,2) x 20 = 24 + 32 = 56 m.
c. Zonder aanhanger: F = ma 8006,25 = 5,0 kN. .
Met aanhanger: a = 5000/1200 = 4,2 m/s²
v = at geeft t = 4,8 s en s = 1,220 + 0,54,820 = 72
m. Dus de remweg met aanhanger is 72-56 = 16 m
langer
70
2
4
6
8 t (s)
b. auto: 52 m vrachtauto: 97 m. Het onderlinge verschil is
meer dan 40 m, dus de vrachtauto heeft onvoldoende
afstand gehouden om een botsing te voorkomen.
83.
a. Remweg: 0,55 m. a = 363 m/s² en F = 25 kN
b. t = 20/363 = 0,055 s
c. Volgens de tekst is de airbag na 25-30 ms bruikbaar:
dan is de botsing half voorbij, dat lijkt voldoende.
71