Afstand tot de maan en tot de zon volgens de Griekse filosofen

begin lesactiviteit
Afstand tot de maan en tot de zon volgens de Griekse
filosofen
In de derde eeuw voor Christus slaagde Eratosthenes (°276 v. C.) er in een schatting te maken van de
omtrek van de aarde: 250000 stadiën of, in onze lengtematen uitgedrukt, 39250 km. Dit was een goede
benadering, als je weet dat de aardomtrek aan de evenaar momenteel geraamd wordt op 40 075 km.
Anaxagoras van Klazomenai (°500 v. C.) was de eerste natuurfilosoof die beweerde dat de zon een grote,
vlammende vuurbol was (en niet een godheid die op een vuurwagen getrokken door paarden zijn
dagelijkse ritje langs de hemelbaan trok) en dat de maan een rotsachtige bol was die het licht van de zon
weerkaatste. Op deze manier kon hij een verklaring geven voor hemelse verschijnselen zoals een
zonsverduistering.
Aristarchos van Samos (°310 v. C.) ging hierop verder. Uit metingen van een maansverduistering
probeerde hij de diameter van de maan te berekenen. Het was nog even wachten op de berekeningen van
Eratosthenes voor de daadwerkelijke uitvoering van zijn plan. Aristarchos koppelde de diameter van de
maan immers aan de diameter van de aarde. We lichten zijn denkwijze in deze werktekst toe.
Op de figuren hieronder kun je aflezen dat er ongeveer 50 minuten voorbij gaan vanaf het moment dat de
maan de schaduwzone van de aarde raakt tot wanneer ze er helemaal in verdwenen is (zie de bovenste en
de middelste figuur). Na nog eens 150 minuten wachten komt de rand van de maan weer voor het eerst in
het volle zonlicht (zie de onderste figuur).
1.
Hoe verhouden de diameter van de aarde en die van de maan zich volgens deze vaststelling?
2.
Waarom is deze redenering niet helemaal juist?
3.
Combineer deze verhouding met de door Eratosthenes geschatte straal van de aarde om de straal van
de maan te benaderen.
Voor het vervolg van zijn berekeningen had Eratosthenes eenvoudige tuin- en keukenwiskunde nodig. Op
een volle-maandag zonder bewolking keek hij naar de maan en strekte hij zijn arm recht voor zich uit zo
dat de nagel van zijn opgestoken duim de maan net overdekte. Als bij toeval lukte dit. Waarschijnlijk was
dit het geval omdat de verhouding van de lengte de vingernagel tot die van de gestrekte arm bij
benadering 1:100 was. Hierboven zie je een symbolische voorstelling van de situatie, niet op schaal.
4.
Kleur op deze figuur twee rechthoekige driehoeken die gelijkvormig zijn maar niet congruent. Duid
ook de rechte hoeken aan.
5.
Van welke zijde van deze twee driehoeken ken je een benaderende waarde? Is deze benadering te
klein of te groot?
6.
Bereken met evenredigheden tussen de zijden van gelijkvormige driehoeken de afstand tussen het
aardoppervlak (het oogpunt van Eratosthenes) en het middelpunt van de maan.
De volgende stap in de berekening danken we weer aan een vernuftige redenering van Aristarchos van
Samos. Daarbij wordt gesteund op het feit dat twee keer per maanmaand, tijdens het eerste en het laatste
kwartier, de helft van de maan door de zon wordt verlicht (zie de onderstaande tekening).
Op de dagen van de ‘halve schijngestalten’ is de driehoek bepaald door het middelpunt van de aarde (B),
het middelpunt van de maan ( ) en dat van de zon ( ) rechthoekig. De maan bevindt zich dan in de rechte
hoek. Eratosthenes slaagde er in de hoek ̂ op te meten. De meetwaarde 87° was echter maar een slordige
benadering van de werkelijkheid (89,85°). Hoewel de redenering van Aristarchos feilloos was, was de
praktische uitwerking ervan de zwakke schakel. Kleine meetfouten bij lijnen die ongeveer evenwijdig zijn,
zoals de zijden
en
, kunnen immers grote gevolgen hebben.
7.
Teken op een groot blad papier een rechthoekige driehoek met een hoek van 87° en meet de korte
rechthoekszijde en de schuine zijde. Als je het nuttiger acht, mag je dit ook in GeoGebra doen. De
getekende driehoek is gelijkvormig met de driehoek bepaald door aarde, zon en maan tijdens de halve
schijngestalte. Maak nu een schatting van de afstand aarde-zon met het principe van Aristarchos. Een
hoeveelste deel is dit van de werkelijke waarde?
einde lesactiviteit