Zomercursus Wiskunde Module 18 Ge¨ıntegreerde

Zomercursus Wiskunde
Katholieke Universiteit Leuven
Groep Wetenschap & Technologie
September 2011
Module 18
Geı̈ntegreerde oefeningen
(versie 22 augustus 2011)
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
Inhoudsopgave
1 Inleiding
1
2 Opgaves
1
3 Oplossingen
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
11
18 - 1
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
1
Inleiding
In deze module worden oefeningen behandeld waarbij de inhoud van verschillende modules gecombineerd moet worden. Ze werden gebaseerd op concrete problemen die
voorkomen in eerste-jaarsvakken.
2
Opgaves
Oefening 1
Twee heel dunne staven zijn scharnierend verbonden in het punt A en vormen een hoek θ. Tussen deze staven
wordt een schijfje geklemd met straal
R en centrum O. De afstand a =
|OA| tussen het centrum van het schijfje en het scharnierpunt A van de staven hangt af van de hoek θ zodat we de
functie a(θ) kunnen definiëren.
O R
θ
A
(a) Bepaal deze functie
(b) Bepaal de afgeleide van deze functie.
(c) De hoek θ is afhankelijk van de tijd t via de functie θ(t). Op een bepaald ogenblik
dθ
t = t0 is θ(t0 ) = 90◦ en is de afgeleide van deze functie (t0 ) = 3. We definiëren
dt
dã
(t0 ).
de samengestelde functie ã(t) = a(θ(t)). Bepaal
dt
Oefening 2
Een pin P beweegt gelijktijdig
in een vaste gleuf van de vorm
y = a sin bx (met a = 1m en
b = 1 rad/m) en een gleuf in een
bewegende vertikale staaf AB.
De staaf AB beweegt horizontaal
dx
met een snelheid
= 3m/s. Bedt
dy
paal in de getekende stand
dt
(i.e. de y-component van de snelheid van de pin).
y
B
P
A
1/3
gebaseerd op G. Van de Perre, Toegepaste Mechanica, 1e jaar burgelijk ingenieur en burgelijk ingenieur architect
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
x
18 - 2
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
A
Oefening 3
Een staaf AB van 6 cm lang draait op een cirkelvormige geleider met straal 5 cm. De hoek θ tussen
~ verandert in de tijd
de horizontale en de vector OB
volgens θ(t) = θ0 + ωt, met θ0 en ω constanten.
ϕ
B
θ
(a) Bepaal θ0 en ω als je weet dat 2 opeenvolgende tijdstippen waarop θ = 20◦ gegeven zijn
door t = 0 en t = 10.
O
~ en de
(b) Bepaal de hoek ϕ tussen de vector OA
horizontale als functie van de tijd.
(c) Maak een schets van cos[θ(t)] en cos[ϕ(t)] (zonder gebruik te maken van een
grafisch rekentoestel!)
~ op x is gegeven door
(d) Kies de x-as horizontaal. De projectie van de vector AB
ABx e~x . Bepaal ABx (θ). Voor welke hoeken is ABx (θ) maximaal? Op welke
tijdstippen wordt dit maximum bereikt?
d
B1
Oefening 4
Een man (M ) en een kind (K) hangen aan
een constructie weergegeven in de figuur. De
afstand d kan niet veranderen.
A
q
B2
(a) Als katrol B verschuift van de stand
B1 naar stand B2, hoeveel gaat de man
dan naar boven. Druk je antwoord uit
als functie van de hoek θ en de afstand
d van katrol A tot de muur.
(b) Geef de lineaire benadering voor deze
functie in de buurt van θ = π6 .
K
M
gebaseerd op G. Van de Perre, Toegepaste Mechanica, 1e jaar burgelijk ingenieur en burgelijk ingenieur architect
(2006)
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 3
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
Oefening 5
Maak een schets van de grafiek van volgende vergelijkingen in poolcoördinaten. Gebruik
eerst als assen r en θ. Maak daarna een schets in het xy-vlak.
(a) r = 2(1 − cos θ)
(b) r = sin 2θ
Oefening 6
Een gas wordt van een druk p = 1 bar tot p = 4 bar gecomprimeerd. Het volume v
verandert daarbij van 0,1 m3 tot 0,05 m3 . Het verband tussen de druk p en het volume
v bij deze compressie luidt: pv n = C, met n en C constant.
(a) Bepaal de waarde van n en C.
Z 0,05m3
p dv
(b) Bereken
0,1m3
gebaseerd op M. Baelmans en P. Wollants, Thermodynamica, 1e jaar burgelijk ingenieur
Oefening 7
Toon aan dat:
(a)
n−1
X
i=
n
X
ri−1 =
i=1
(b)
(n − 1)n
2
i=1
rn − 1
if r 6= 1
r−1
Oefening 8
Bepaal het punt op de rechte y = 2x + 3 dat het dichts bij (4,2) ligt.
A. Bultheel, oefeningenbundel lineire algebra, wiskundige analyse, 1e jaar burgelijk ingenieur architect (2007)
Oefening 9
Bepaal de punten op de ellips x2 /4 + +y 2 /9 = 1 die het dichts en het verst van (1, 0)
gelegen zijn. Wat is de afstand tussen deze punten en (1, 0)?
Oefening 10
Evalueer
2
Rx
sin
t
dt
,
lim R x0
x→0
sin(t2 ) dt
0
gebruik makend van de regel van de l’Hôpital. Motiveer waarom je deze regel hier mag
gebruiken.
A. Bultheel, oefeningenbundel lineire algebra, wiskundige analyse, 1e jaar burgelijk ingenieur architect (2007)
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 4
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
Oefening 11
Een bal wordt in een kamer schuin naar boven gegooid onder een hoek θ uit het interval
[0, π/2] en volgt een parabool gegeven door de vergelijking
y = tan θ x −
x2
+ 1, 6 (met x en y in meter).
10 cos2 θ
Het plafond is 2,6m hoog (y ∈ [0; 2, 6] en de kamer is 4m lang (x ∈ [0; 4]).
(a) Bepaal voor welke hoeken θ de bal tegen het plafond stoot.
(b) In welk punt stoot de bal tegen het plafond als θ = π/4
Oefening 12
Beschouw de tafel in onderstaande figuur. Het tafelblad valt samen met de x-as. In de
oorsprong (0, 0) ligt een elektrisch geladen balletje met lading 1 Coulomb.
Als we een tweede lading met een positieve lading q aanbrengen in het punt (x, y), met
x > 0 en y > 0, dan oefent die op de eerste puntlading in (0, 0) een coulombkracht uit
met als x-component
−kq cos θ
(1)
Fx = 2
x + y2
waarbij θ de hoek is tussen de x-as en het lijnstuk tussen de twee puntladingen, en k
een fysische constante. De y-component van de coulombkracht wordt gecompenseerd
door de reactiekracht uitgeoefend door de tafel, waardoor we in het vervolg van de
oefening enkel de krachtcomponent F~x moeten beschouwen.
y
y
(1, u + ∆u)
(1, u)
q
F~x
F~x
θ
x
θ
x
In plaats van de tweede puntlading, beschouwen we voor deze oefening een verticale
geladen staaf met lengte 1, die zich bevindt op het lijnstuk tussen de punten (1, 0) en
(1, 1). Deze staaf heeft een totale lading Q die gelijkmatig verdeeld is over de staaf.
a) Beschouw een klein stukje staaf tussen de punten (1, u) en (1, u + ∆u). Veronderstel
dat u zo klein is dat het effect benaderd kan worden door het effect van een puntlading
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 5
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
in het punt (1, u). Geef een uitdrukking voor de x-component van de kracht ten gevolge
van dit stukje staaf op het balletje in de oorsprong als functie van Q en u. (θ mag niet
meer voorkomen in deze uitdrukking)
b) Beschouw een verdeling van de staaf in een groot aantal N van dergelijke kleine
stukjes. De som van alle bijdragen tot de kracht op het balletje wordt in het limietgeval voor N → ∞ een integraal. Stel deze integraal op.
c) Bereken de waarde van deze integraal.
Oefening 13
Los volgend stelsel op waarin a ∈ R een parameter is. (Hint: volg de gewone methode
en splits in gevallen wanneer een stap afhangt van de waarde van a).

 x +ay +z = 1
x +y +z = a

−x +y +az = 1
Oefening 14
Gegeven:
f : R → R : x 7→ x2 , g : R → R : x 7→ 2x , h : R → R : x 7→ cos( π3 x).
Bepaal de reële getallen a, b, en c zodat de functie k = af + bg + ch voldoet aan
k(1) = 0, k(2) = −1, k(3) = −1.
Oefening 15
Gegeven:
√
c
= −1 + 3i
x(t) = Re(cei5t )
met i2 = −1.
Bepaal a, b, r en φ zodat
x(t) = a cos(5t) + b sin(5t) en
x(t) = r cos(5t + φ).
Oefening 16
Bepaal de vergelijking van vlak dat raakt in het punt (3, 2, −1) aan het boloppervlak met middelpunt (1, 0, −2) en straal 3. (Het punt (3, 2, −1) is een punt op het
boloppervlak).
Oefening 17
Gegeven de functie met voorschrift
Bepaal de inverse van f.

als x < 1
 x
2
x√
als 1 ≤ x ≤ 4
f : x 7→

8 x als x > 4.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 6
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
Oefening 18
Bewijs uit het ongerijmde dat je de complexe getallen niet kunt ordenen tot een totaal
geordende verzameling, waarbij de orde beperkt tot de reële getallen de gekende orde
zou zijn en waarbij de orde op heel C aan volgende eigenschappen zou voldoen.
(1) Voor elk tweetal getallen x en y geldt precies één van de volgende mogelijkheden
x < y,
x = y,
x>y
men noemt de orde totaal.
(2) Voor getallen x, y en z geldt
x < y ⇒ (x + z < y + z)
(3) Voor getallen x, y en z geldt
(x < y ∧ z > 0) ⇒ xz < yz
(x < y ∧ z < 0) ⇒ xz > yz
(4) Voor getallen x, y en z geldt
(x < y ∧ y < z) ⇒ x < z
de orde is transitief.
Hint: Je stelt uit het ongerijmde dat C wel kan geordend worden. Vermits i 6= 0
zal omwille van de totale orde (1) moet gelden dat ofwel i < 0, ofwel i > 0. Maak
nu gebruik van de andere eigenschappen van de orde, om aan te tonen dat beide
onderstellingen leiden tot een contradictie.
Oefening 19
Geef door middel van een grafiek of een expliciet functievoorschrift een voorbeeld van
een overal gedefinieerde functie f : R → R : x 7→ f (x) die voldoet aan
∀ε > 0 : ∃x ∈ R : |f (x) − 2| < ε,
maar NIET voldoet aan
∃x ∈ R : ∀ε > 0 : |f (x) − 2| < ε.
Hint: (∀ε > 0 : |x − a| < ε) ⇔ x = a.
Oefening 20
Zoek een voorbeeld van een niet-constante functie f : R → R die voldoet aan
∀x ∈ R : f (x) = f (−x) én ∃y ∈ R, ∀x ≥ 3 : f (x) = y.
Denk in eerste instantie zeker niet in termen van een concreet functievoorschrift, maar
interpreteer wat beide uitspraken over f betekenen en probeer zo de grafiek van dergelijke functie te tekenen.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 7
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
Oefening 21
Zij f : A ⊂ R → R : x 7→ f (x) een functie met domein A. Stel dat 2 ∈ A. Zeg in eigen
woorden wat elk van volgende eisen betekent voor de functie f en haar grafiek. Maak
hiertoe gebruik van grafieken om de eigenschap te illustreren of om tegenvoorbeelden
te geven. Zoek welke implicaties gelden tussen de uitspraken, je hoeft het niet strikt
te bewijzen maar argumenteer telkens je bewering. Als een implicatie tussen twee
uitspraken niet geldt, toon dit dan aan door het geven van een concreet tegenvoorbeeld.
Leg alle implicaties vast in een schema.
(a) ∀ε > 0 : ∃x ∈ A \ {2} : |f (x) − f (2)| < ε
(b) ∃x ∈ A \ {2} : ∀ε > 0 : |f (x) − f (2)| < ε
(c) ∀ε > 0 : ∀x ∈ A \ {2} : |f (x) − f (2)| < ε
(d) ∃x ∈ A \ {2} : f (x) = f (2)
(e) f is een constante functie.
Hint: (∀ε > 0 : |x − a| < ε) ⇔ x = a.
Oefening 22
Zij n een natuurlijk getal. Zoek een formule voor de n-de afgeleide van de functie
f : R → R : x 7→ f (x) =
1
= (1 + x)−1
1+x
en bewijs deze per inductie.
Opmerking: De 0-de afgeleide van f is f zelf, de n-de afgeleide wordt recursief gedefinieerd als de afgeleide van de (n − 1)-ste afgeleide van f .
Oefening 23
Voor het berekenen van de n-de afgeleide van de functie f : R → R : x 7→ xe2x geldt
volgende formule voor alle n ∈ N0 :
dn
(xe2x ) = (n2n−1 + 2n x)e2x
n
dx
Bewijs deze formule door volledige inductie .
Oefening 24
Een raam, gevormd onderaan door een rechthoek
en bovenaan door een halve cirkel, heeft een opgegeven omtrek l. Voor welke afmetingen van de
rechthoek (breedte a en hoogte b) is de totale oppervlakte van het raam maximaal? Bepaal ook de
maximale oppervlakte.
b
a
toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 8
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
Oefening 25
Zij gegeven een afleidbare functie f (x).
(a) Als geweten is dat de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f (a)) door de
oorsprong gaat, wat is dan het verband tussen a, f (a) en f ′ (a)?
(b) Als geweten is dat de normaal op de raaklijn aan de grafiek van f in het punt
(a, f (a)) door de oorsprong gaat, wat is dan het verband tussen a, f (a) en f ′ (a)?
(c) Voor welke punten (a, f (a)) van de grafiek van f (x) = x4 + 6x2 + 6 gaat de
raaklijn door de oorsprong?
3
(d) Voor welke punten (a, f (a)) van de grafiek van f (x) = x2 − gaat de normaal
2
door de oorsprong? Geef telkens ook de vergelijking van deze rechte.
toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003
Oefening 26
De functie f (x) = ekx + ax + b met a, b en k ∈ R en k < 0 heeft een schuine
asymptoot y = x voor x → +∞ en voldoet aan de vergelijking
( D (f (x)))2 + D (f (x))2 + (f (x))2 = (x + 1)2 .
Bepaal a, b en k.
Opmerking: Het symbool D staat voor de afgeleide, m.a.w. D(g(x)) = g ′ (x).
toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003
Oefening 27
De functie f (x) = (ax + b) ex + c cos x + d sin x met a, b, c en d ∈ R heeft een
nulpunt bij x = 0 en voldoet aan de vergelijking
f ′′′ (x) − f (x) = ex − sin x
Bepaal a, b, c en d.
toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003
Oefening 28
De afgebeelde even functie is van de vorm
f (x) = Bgtg
x4 + 2ax2 + b
cx4 + dx2 + e
.
Zij heeft een horizontale asymptoot y = π2 voor x → ±∞ en er geldt ook dat
√
limx→0 f (x) = π2 . Gegeven is verder dat 2 een nulpunt is en dat f (x) haar minimale waarde − π4 bereikt voor x = 2. Bereken de parameters a, b, c, d en e en bepaal
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 9
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
ook de drie andere nulpunten van f (x). Hoeveel buigpunten heeft f (x)? (kijk op de
figuur)
1.5
1
0.5
–4
–2
2
4
x
–0.5
toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003
Oefening 29
De afgebeelde functie is van de vorm
f (x) =
ekx + lex + m
.
ne2x + p
De grafiek gaat door de oorsprong en de raaklijn in de oorsprong staat loodrecht op
de rechte met vergelijking y = x. Verder is gegeven dat de functie een horizontale
asymptoot y = 2 heeft, zowel voor x → +∞ als x → −∞. Bepaal de parameters
k, l, m, n en p en bereken ook het tweede nulpunt van f (x).
1.5
1
0.5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, september 2003
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 10
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
Oefening 30
Zij f (t) een periodiek tijdssignaal met periode T , dus f (t + T ) = f (t), dan noemt men
1
f¯ =
T
Z
T
f (t) dt
0
de gemiddelde waarde van f . We zeggen dat g(t) met
2πt
g(t) = A cos
−φ
T
de fundamentele trilling van f is als A ≥ 0 en φ ∈ ] − π, π] de oplossing zijn van het
stelsel
Z T
2πt
2
dt
f (t) cos
A cos φ =
T 0
T
Z T
2πt
2
dt .
f (t) sin
A sin φ =
T 0
T
Beschouw dan het afgebeelde periodiek signaal met T = 2 zoals op de onderstaande
figuur.
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
t
Bereken de gemiddelde waarde en de fundamentele trilling voor deze f (t).
toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003
Oefening 31
Beschouw het gedeelte van de parabool met vergelijking y = −ax2 + b, gelegen boven
de x–as (a > 0 en b > 0). Een veranderlijke rechthoek kan ingeschreven worden binnen
deze parabool zoals afgebeeld op de figuur.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 11
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
(a) Bepaal de afmetingen van de rechthoek met maximale oppervlakte O1 .
(b) Bereken voor deze rechthoek ook de resterende oppervlakte O2 onder de parabool
2
(licht ingekleurd op de figuur) en toon aan dat de verhouding p = O
niet meer
O1
afhangt van a of b. Bereken de exacte waarde voor p en vereenvoudig het resultaat
(zo weinig mogelijk vierkantswortels)!
toelatingsexamen burgelijke ingenieur en burgerlijk ingenieur architect, juli 2003
Oefening 32
Voor welke waarden van a en b voldoet de functie y(x) = x[a cos(2x) + b sin(2x)] aan
de vergelijking y”(x) + 4y(x) = sin x cos x.
modelvragen toelatingsexamen 2003
3
Oplossingen
(a)
1
R
sin 2θ
R cos(θ/2)
2 sin2 (θ/2)
√
−3 2R
(c)
2
(b) −
2 2.835 m/s
1
−1
4 (a) d
cosθ
(b) d(0.666θ − 0.194)
(a) n = 2, C = 0.01 bar m6 .
6
(b) −0.1 bar m3
8 (2/5 19/5)
p
√
√
9 dichts (2, 0) (afstand =1), verst (−4/5, 3 21/5) en (−4/5, −3 21/5) (afstand =3 (30)/5)
10 0
11
p
(a) θ ∈ [Bgsin( 2/5), π/2]
(b) (1.38,2.6)
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
18 - 12
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
√
12 c) F = −kQ 2/2
13 Geval a = 1: (x, y, z) = (0, 1, 0) + k(0, −1, 1) met k ∈ R willekeurig,
Geval a = −1: geen oplossing
2
2
, −1, 1 + a+1
)
Geval a 6= 1 en a 6= −1: (x, y, z) = (a − a+1
14 a = 1, b = −1, c = 2
15
√
x(t) = − cos(5t) − 3 sin(5t)
x(t) = 2 cos(5t + 2π
).
3
16 2x + 2y + z = 8
17
f −1

als x < 1
 x
√
x
als 1 ≤ x ≤ 16
: x 7→
 2
x /64 als x > 16
19 De functiewaarden moeten willekeurig dicht naderen tot 2, maar geen enkele functiewaarde mag gelijk zijn aan 2. Bijvoorbeeld:
x als x 6= 2,
f : R → R : x 7→ f (x) =
3 als x = 2.
20 De functie moet symmetrisch zijn t.o.v. de y-as en constant vanaf x = 3, maar mag
geen constante functie zijn over heel R. Bijvoorbeeld
1 als |x| < 3,
f : R → R : x 7→ f (x) =
2 als |x| ≥ 3.
21 (c) en (e) zijn equivalent.
(b) en (d) zijn equivalent.
(e) ⇒ (b) en (b) ⇒ (a) zodat ook (e) ⇒ (a)
De andere implicaties zijn niet algemeen geldig, bij specifieke voorbeelden kunnen ze per
toeval soms wel kloppen. Maak grafieken van functies die deze implicaties tegenspreken.
22 De formule voor de n-de afgeleide is f (n) (x) =
24 a =
25
l
l2
2l
,b=
, Oppervlakte =
4+π
4+π
8 + 2π
(a) f (a) = a f ′ (a)
(b) f (a) f ′ (a) = −a
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
(−1)n n!
.
(1 + x)(n+1)
18 - 13
Module 18: Geı̈ntegreerde oefeningen
(c) (a, f (a)) = (
(d)
(a, f (a))
(0, − 32 )
p√
p√
√
√
3 − 1, 4 + 4 3) , (−
3 − 1, 4 + 4 3)
(1, − 12 )
(−1, − 12 )
overeenkomstige vergelijking van de normaal
x=0
y = − x2
y=
x
2
26 a = 1, b = 0, k = −1
1
1
1
1
27 a = , b = , c = − , d =
3
2
2
2
28 a = −5, b = 16, c√
= 0,√d = 2,√e = 0
andere nulpunten: − 2, 8, − 8
aantal buigpunten: 4
1
3
29 k = 2, l = −4, m = 3, n = , p =
2
2
Het tweede nulpunt is ln 3
1
30 gemiddelde waarde f¯ =
√4
π2 + 4
π
≃ 1.004
≃
0.377,
φ
=
Bgtg
fundamentele trilling A =
π2
2
r
r
4b
2b
b
b
, breedte = 2
, oppervlakte =
31 (a) hoogte =
3
3a
3
3a
r 4b
b
1
(b) resterende oppervlakte O2 =
1− √ ,
3
a
3
√
O2
3−1
de vereenvoudigde verhouding p =
=
O1
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie