Vlaamse Wiskunde Olympiade 2015

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2015-2016: tweede ronde
1. In het gezin Cavalier heeft elke zoon evenveel broers als zussen en elke dochter
driemaal zoveel broers als zussen. Hoeveel kinderen telt dit gezin?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
2. Hoeveel van de volgende gelijkheden zijn waar?
7 7
7 7
−
= ·
6 13
6 13
(A) 0
8 8
8 8
−
= ·
7 15
7 15
(B) 1
(C) 2
9 9
9 9
−
= ·
8 17
8 17
(D) 3
10 10
10 10
−
=
·
9 19
9 19
(E) 4
3. De lerares wiskunde van Jef en Marie schrijft een getal op het bord. Jef
vermenigvuldigt dit getal met 2016 en telt er daarna 20162 bij op. Marie
vermenigvuldigt het getal met 20162 en telt er daarna 2016 bij op. Jef en
Marie verkrijgen hetzelfde resultaat. Welk getal stond op het bord?
(A) −1
(B) 0
(C) 1
(D) 2016
(E) 20162
4. De natuurlijke getallen a, b en c voldoen aan a(a + b)(a + b + c) = 11. Wat
is c?
(A) 0
(D) 11
(B) 1
(C) 10
(E) Niet uniek te bepalen
5. Wat is de kleinste natuurlijke waarde van n waarvoor 102 · 32n · 55n een
derdemacht is?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
6. Voor alle reële getallen x en y met som 1 geldt
(A) x 2 + y = x + y 2
(C) x 3 + y 2 = x 2 + y 3
(B) x 2 − y = y 2 − x
(D) x 3 − y 2 = y 3 − x 2
3
(E) x + y = x + y 3
7. Drie rechten snijden elkaar in een punt, zoals in de figuur. Twee hoeken zijn
gegeven.
120◦
105◦
Wat is de kleinste hoek gevormd door twee van deze rechten?
(A) 45◦
(B) 50◦
(C) 60◦
(D) 65◦
(E) 75◦
8. Als a > b en c > d, dan geldt steeds
(A) a − b > d − c
(D) c − a > d − b
(B) a − c > b − d
(E) c − b > a − d
(C) a − d > c − b
9. Neushoorn 1 wordt afgebeeld op neushoorn 2 door een draaiing. Wat is het
middelpunt van deze draaiing?
A
1
B
2
C
D
E
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D
(E) E
10. In een gelijkzijdige driehoek tekent Veronique patronen door lijnstukken in
twee of drie gelijke delen te verdelen. Welke van de volgende gekleurde
oppervlaktes verschilt van de overige gekleurde oppervlaktes?
Figuur 1
Figuur 2
Figuur 4
(A) Figuur 1
(D) Figuur 4
Figuur 3
Figuur 5
(B) Figuur 2
(E) Figuur 5
(C) Figuur 3
11. Welk van de volgende vijf getallen is groter dan de andere vier?
√
√
√
√
(A) 1
(C) 3 3
(D) 4 4
(E) 5 5
(B) 2
12. Een schaap is met een touw van 2 meter vastgemaakt aan het hoekpunt A
van het blauwe gebouw (plattegrond in de figuur).
3m
3m
1m
A
Wat is de oppervlakte waarop het schaap kan grazen?
17π
6
√
2 8π
+
(D)
2
3
(B) 1 + 2π
(A)
(C) 2 + 2π
√
3 7π
(E)
+
2
3
13. Hoeveel reële oplossingen heeft de vergelijking x + x 2 + · · · + x 2016 = 0?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 2016
14. Welk van de volgende getallen is de som van zes opeenvolgende natuurlijke
getallen?
(A) 66
(B) 66 + 1
(C) 66 + 2
(D) 66 + 3
(E) 66 + 4
15. In een rij getallen is de eerste term t1 = 2016 en voor n > 1 is tn =
n
tn−1
.
Dan is het product van de eerste tien termen van deze rij
(A) 3600
(B) 3660
(C) 3800
(D) 3840
16. In een rechthoekige driehoek is een
scherpe hoek 38◦ en is de rechte hoek
in vijf gelijke delen verdeeld (zoals in
de figuur). Welke driehoek heeft de
kleinste oppervlakte?
(E) 4000
38◦
E
D
C
B
A
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D
(E) E
17. In een (convexe) vierhoek met loodrechte diagonalen is de lengte van drie
opeenvolgende zijden achtereenvolgens 3, 11 en 16. Hoe groot is de vierde
zijde?
(A) 8
(B) 9
(C) 10
18. Op het vierkant ABCD kiezen we twee
punten P en Q:
• P ligt op [AB] zodat |BP | = 2|P A|;
• Q ligt op [AD] zodat |AQ| = 2|QD|.
(D) 11
A
(E) 12
Q
D
P
“ + QCP
“ + P DA?
“
Hoe groot is QBA
B
(A) 45◦
(B) 60◦
(C) 66◦
(D) 75◦
C
(E) 90◦
19. Welk deel van het vierkant is
gekleurd?
(A)
3
4
(B)
3
5
(C)
4
5
(D)
5
6
(E)
7
10
20. Emma tekent een 6 × 6-rooster en noteert (a, b) voor
het vakje op de a-de rij en b-de kolom. Bijvoorbeeld:
in het rooster hiernaast is (1, 2) gekleurd. Twee vakjes
(a, b) en (c, d) geeft ze dezelfde kleur als en slechts als
de kans dat ze met twee dobbelstenen a + b ogen gooit
gelijk is aan de kans dat ze met twee dobbelstenen c + d
ogen gooit. Hoe ziet het volledig gekleurde rooster van
Emma er dan uit?
(A)
(B)
(D)
(E)
(C)
21. Voor elke reële x is f (x) gelijk aan het minimum van 3x + 1, 2x + 3 en
−4x + 24. Wat is de grootst mogelijke waarde van f (x)?
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 14
(E) 16
22. Een afgeknotte kegel wordt door een vlak evenwijdig met het gronden bovenvlak in twee gelijkvormige delen verdeeld. Het grondvlak heeft
oppervlakte A en het bovenvlak oppervlakte B. Wat is de oppervlakte van
de doorsnede?
√ √
√
A+B
A B
(C) AB
(A)
(B)
2
2
√
√
A + B + 2 AB
(E) A2 + B 2
(D)
4
23. Het getal M bestaat uit 99 negens. Wat is de som van de cijfers van M 2 ?
(A) 98
(B) 99
(C) 882
(D) 891
(E) 8991
24. De rest bij deling van een veelterm door x 3 −x 2 +x −1 is gelijk aan 2x 2 +x +3.
Wat is de rest bij deling van diezelfde veelterm door x − 1?
(A) x 2 + 1
(B) 0
(C) 2
(D) 4
25. Welk deel van de gelijkzijdige driehoek
△ABC (met zijde 5) wordt ingenomen
door de kleinere gelijkzijdige driehoek
△P QR?
(E) 6
A
2
P•
•
•
•
•
3
•Q
•
B
(A) 20 %
(B) 24 %
(C) 25 %
•
•
(D) 28 %
•
R
•
•
C
(E) 36 %
26. Het precies aantal nullen waarop n! = 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n eindigt kan nooit
gelijk zijn aan
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
(E) 8
27. Zij f een functie van N naar N zodat f (n + 1) = f (n) + 2n en f (4) = 13.
Wat is het voorschrift van f ?
(A) f (n) = 6n − 11
(C) f (n) = n2 − n + 1
(B) f (n) = 8n − 19
(D) f (n) = n2 + n − 7
(E) f (n) = 5 + 2n−1
28. Hoeveel nieuwe snijpunten kunnen er hoogstens ontstaan als je alle zijden
van een willekeurige tienhoek verlengt?
(A) 30
(B) 35
(C) 40
29. De vier zijden van een rechthoekig
trapezium raken aan eenzelfde cirkel. De
benen hebben lengte 24 en 25. Wat is de
lengte van de kleine basis?
(A) 12
(B) 21
(C) 23
(D) 50
(E) 70
25
24
(D) 24
(E) 28
30. Hoe groot is de maximale oppervlakte van een vierhoek waarvan de zijden
opeenvolgend lengte 5, 10, 11 en 14 hebben?
(A) 82,5
(B) 90
(C) 97,5
(D) 102
(E) 180