Dictaat Rekenvaardigheden

Dictaat Rekenvaardigheden
Faculteit Wiskunde en Informatica
7 mei 2007
Voorwoord
Voorwoord
In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken:
de tweede fase met de daaraan verbonden proelkeuze en het studiehuis zijn ingevoerd. In
sommige opzichten is daardoor de aansluiting tussen vwo en universiteit verbeterd. Echter,
niet voor alle studies is dit het geval. Bij de technische studies is gebleken dat een deel van
1
de instromende studenten deciï¾ ties heeft. Dit geldt zowel voor studenten met het proel
2
1
"Natuur en Techniek" als voor studenten met het proel "Natuur en Gezondheid". Eï¾ van
2
1
1
de deciï¾ ties betreft de algebraï¾ che vaardigheden oftewel het manipuleren met formules.
2
2
1
1
Het eciï¾ t omgaan met ï¾ het inzicht krijgen in formules wordt op het vwo nauwelijks
2
2
meer geoefend. Dit hangt samen met het aantal beschikbare uren en met het invoeren van
de formulekaart en de grasche rekenmachine.
Doordat veel aankomende studenten deze
vaardigheden ontberen, besteden zij in het eerste jaar op de universiteit vaak veel te veel tijd
aan het maken van vraagstukken of blijven daar zelfs in steken. Het is veel beter om je op
de essentie van een vraagstuk te concentreren dan om teveel tijd aan rekenwerk te besteden.
1
Voor de eerstejaars met genoemde deciï¾ ties is deze syllabus Rekenvaardigheden gemaakt.
2
1
Deze syllabus is bedoeld voor het aanleren van de algebraï¾ che vaardigheden die benodigd zijn
2
voor een technische studie op universitair niveau. Aan de opgaven uit de eerste 10 paragrafen
kan men zien wat men aan rekenvaardigheden van eerstejaars verwacht. De paragrafen 11 t/m
14 bevatten opgaven over onderwerpen die niet tot de standaard VWO-stof behoren, maar
bijzonder nuttig zijn voor een technische studie. De wiskundestof wordt steeds kort herhaald,
waarna er een groot aantal opgaven volgt. Door het (met de hand!) maken hiervan maakt de
student zich de stof eigen en verkrijgt hij/zij inzicht in formules en rekenregels.
Gebrek aan rekenvaardigheden en formulekennis los je niet binnen een paar maanden op.
Extra training in het eerste tri- of semester zal waarschijnlijk niet genoeg zijn. In dat geval
moet je zelf aandacht blijven besteden aan rekenvaardigheden en formulekennis. Deze syllabus
is geschikt voor zelfwerkzaamheid: de antwoorden op de opgaven staan achterin.
ii
Voorwoord
ii
1
Factoren en veeltermen
1
2
Machten
2
2.1
3
4
7
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
Opgaven
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
3.2
Opgaven
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
3.3
Opgaven
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
Rationale breuken
Opgaven
.
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Goniometrie
Opgaven
9
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Goniometrische formules
12
14
6.1
Opgaven
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
6.2
Opgaven
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16
6.3
Opgaven
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
Dierentiëren
18
7.1
Dierentiëren van goniometrische functies:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
7.2
Kettingregel
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18
7.3
Opgaven
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
.
Primitiveren
8.1
9
.
3.1
5.1
6
.
Herleiden
4.1
5
Opgaven
Opgaven
21
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Oefening graeken tekenen
22
23
10 Vergelijkingen en ongelijkheden
25
10.1
Polynoomvergelijkingen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
25
10.2
Polynoomongelijkheden
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
27
10.3
Breukvergelijkingen .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
10.4
Breukongelijkheden
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
10.5
Exponentiële vergelijkingen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
.
iii
Inhoudsopgave
10.6
Exponentiële ongelijkheden
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
10.7
Logaritmische vergelijkingen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
10.8
Logaritmische ongelijkheden
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
10.9
Goniometrische vergelijkingen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
10.10 Wortelvergelijkingen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
10.11 Wortelongelijkheden
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
11 Noemer wortelvrij maken (extra stof )
47
12 Breuksplitsen A (extra stof )
49
13 Breuksplitsen B (extra stof )
52
14 Cyclometrische functies (extra stof )
55
15 Antwoorden
58
iv
Hoofdstuk 1
Factoren en veeltermen
We onderscheiden factoren en termen. Een factor is een onderdeel van een vermenigvuldiging;
een term is een onderdeel van een som (of verschil). Bijvoorbeeld,
uit de factoren
3
en
a; 3 − a
3a is een eenterm die bestaat
3 en −a .
is een tweeterm die bestaat uit de termen
Voorbeelden:
• 2a 2 b − 3c
bestaat uit twee termen, namelijk
• 2a 2 b
bestaat uit drie factoren:
• −2c
bestaat uit twee factoren:
• 2a(3b − 2cd)
• 3b − 2cd
2, a 2
−2
en
en
2a 2 b
en
−3c.
b.
c.
bestaat uit drie factoren:
2, a
en
(3b − 2cd).
is een tweeterm waarvan de eerste term bestaat uit de factoren
tweede term uit
−2, c
en
3
en
b;
de
d.
Waarschuwing:
Bij de vraag: "Ontbind
3a − 6ab
in factoren"zou je kunnen antwoorden:
3a − 6ab = 3(a − 2ab).
Echter, met ontbind in factoren wordt altijd bedoeld Ontbind in zoveel mogelijk factoren.
Daarom:
3a − 6ab = 3a(1 − 2b).
1
2. Machten
Hoofdstuk 2
Machten
De volgende regels gelden onder de voorwaarden
a>0
en
b > 0:
ap
= a p−q , (a p )q = a pq
aq
√
√
q
n
p
an = a 2 ,
aq = a p
a p · a q = a p+q ,
(ab) p = a p b p ,
Een voorbeeld waarbij van het bovenstaande gebruik wordt gemaakt:
1
(3a 2 b) 3
1
2a 4 b− 2
1
=
2
1
33 a 3 b3
1
2a 4 b− 2
1
3 3 − 10 5
a 3 b6
=
2
De uitdrukking is teruggebracht tot een product van getallen en machten van de vorm
C · a n bm co · · ·
2
2.1 Opgaven
2.1 Opgaven
Herleid onderstaande uitdrukkingen tot een vorm
C · a n b m c o . . ..
Alle variabelen zijn positieve getallen.
Serie A
Serie B
1.
( p 4 q 2 )3 · ( p 2 q 5 )2 =
2.
(−a 5 b2 )4
=
(a 3 b)3
3.
4.
5.
6.
(−2cd 4 )3
=
2(3c2 d)2
√
(−3a b)3 =
√
√
2ab2 · 2 a =
p
2 p 3 q2
p
=
4
p3 q
6.
(3a b)
9.
3a
b
1
2a 2 b− 3
1
2
· (6a b ) =
− 23 2
(−a 3 b2 )4
=
(−a 4 b)3
5.
8.
3 2
2.
4.
(a 2 b−3 )2 · −3a −7 b−2 =
− 14
( p 3 q 4 )2 · ( p 3 q 2 )4 =
3.
7.
2
1.
7.
(a −2 b3 )2 · −3a 3 b−2 =
8.
(3a 2 b)− 3 · (6a 3 b2 ) 4 =
=
(2a)
1
2a − 2
1
1
2
9.
− 41
10.
(−2c2 d 4 )4
=
−2(3c2 d)3
√
(−2ab b)5 =
√
p
2ab3 · 3 ab =
p
2 p 3 q4
p
=
p3 q
=
3a − 5 b2
1
2a 3 b− 2
=
1
10.
(2a)− 3
1
2a − 2
=
3
3. Herleiden
Hoofdstuk 3
Herleiden
Er geldt:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Speciale gevallen van deze regel zijn de zogenaamde 'merkwaardige producten':
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b2
en
(a − b)(a + b) = a 2 − b2
Voorbeeld:
√
√
• (3a − 2 b)2 = 9a 2 − 12a b + 4b
Verder moeten we ook wortels kunnen herleiden.
Voorbeelden:
√
√
36 · 2 = 6 2,
√
3
3 7
3√
• √ =
=
7
7
7
7
•
4
√
72 =
√
3.1 Opgaven
3.1 Opgaven
Herleid onderstaande uitdrukkingen met behulp van bovenstaande regels. Zorg ervoor dat er
geen wortels in de noemer blijven staan. Herleid wortels zoveel mogelijk.
Serie B
Serie A
1.
(3a − b)2 =
2.
(−2a 2 + 3a)2 =
√
√
(3 6 − 6 3)2 =
3.
4.
5.
7.
(−3a b +
=
√
√
√
√
(−2a 3 + 21)(2a 3 + 21) =
8.
(2a − b + 1)(3a + 2b − 5) =
6.
2
9. ( √
20
10.
+
1 4 2
a b)
3
√3 )2
5
(−3a + 2b)2 =
2.
(2a 3 − 3a)2 =
√
√
(3 15 − 2 3)2 =
3.
(m − 2n)(3m + n) =
√ √
(6 − 2 3)( 3 + 2) =
2 3
1.
=
(3a − 1)(3a + 1)(9a + 1) =
4.
5.
(2m − 3n)(3m + 2n) =
√ √
(1 − 2 5)( 5 + 2) =
7.
(−2a 4 b3 + 14 a 2 b)2 =
√
√
√
√
(−2a 3 + 30)(2a 3 + 30) =
8.
(2a − 3b + 1)(3a + 2b − 4) =
9.
( √220 +
6.
√3 )2
45
=
2
10.
(2a − 1)(2a + 1)(4a 2 + 1) =
5
3. Herleiden
Voorbeelden:
• x 3 − 3x 2 − 28x = x(x 2 − 3x − 28) = x(x + 4)(x − 7).
• x 4 − 16 = (x 2 + 4)(x 2 − 4) = (x 2 + 4)(x + 2)(x − 2).
In deze voorbeelden treden steeds gehele getallen op. Echter, wees erop bedacht dat dit lang
niet altijd het geval is. Bijvoorbeeld:
√
√
(2x 2 − 1) = ( 2x − 1)( 2x + 1).
3.2 Opgaven
Ontbind in zoveel mogelijk factoren, uitgedrukt met gehele getallen.
Serie B.
Serie A.
1.
16x 4 − 81 =
1.
81x 4 − 16 =
2.
3x 5 − 12x 4 − 63x 3 =
2.
3x 4 − 15x 3 + 12x 2 =
3.
x 16 − 1 =
3.
x 12 − 16 =
4.
x4 + x2 − 6 =
4.
x 4 − x 2 − 20 =
5.
x 2 − 19x + 34 =
5.
x 2 − 21x + 38 =
6.
x 2 − 15x − 34 =
6.
x 2 − 17x − 38 =
7.
x(x − 1) − (x − 1) =
7.
2x(x + 1) + 2(x + 1) =
8.
x(x − 1) + (x − 1) =
8.
x(x 2 − 1) − (x − 1) =
9.
(3x − 2)2 − (2x + 3)2 =
9.
(5x − 3)2 − (3x + 5)2 =
10.
6
2
x 6 − 6x 3 + 9 =
10.
x 10 + 8x 5 + 16 =
3.3 Opgaven
De sommen die nu volgen hebben ook betrekking op 'ontbinden in factoren'.
Voorbeelden:
• 6x 3 − 18x 2 − x + 3 = 6x 2 (x − 3) − (x − 3) = (6x 2 − 1)(x − 3)
• 2x 2 + x − 10 = 2x 2 − 4x + 5x − 10 = 2x(x − 2) + 5(x − 2) = (2x + 5)(x − 2)
3.3 Opgaven
Ontbind in zoveel mogelijk factoren, uitgedrukt met gehele getallen.
Serie A.
Serie B
1.
3x 2 − 20x + 12 =
1.
3x 2 − 14x + 15 =
2.
2x 2 + 7x + 6 =
2.
2x 2 + 9x + 9 =
3.
3x 4 − 11x 2 + 6 =
3.
3x 4 − 13x 2 + 12 =
4.
−2x 2 + 7x + 15 =
4.
−2x 2 + x + 21 =
5.
2x 4 − x 2 − 3 =
5.
2x 4 + 2x 2 − 4 =
6.
x 3 − 4x 2 − x + 4 =
6.
x 3 − 8x 2 − x + 8 =
7.
2x 3 − 6x 2 + x − 3 =
7.
3x 3 − 12x 2 + 2x − 8 =
8.
x 3 + 5x 2 − 4x − 20 =
8.
3x 3 + 15x 2 − 4x − 20 =
9.
−3x 3 + 6x 2 + 2x − 4 =
9.
−2x 3 + 4x 2 + 3x − 6 =
10.
7
4
x + 2x − 15x =
10.
x 8 − 4x 5 − 12x 2 =
7
4. Rationale breuken
Hoofdstuk 4
Rationale breuken
Bij de volgende serie opgaven dien je de uitkomst te schrijven als één breuk. We noemen deze
bewerking onder 'één noemer brengen'.
Voorbeeld:
2
2x − 3
2(x − 1)
2x − 3 − 2(x − 1)
1
1
−
=
−
=
=−
x − 1 2x − 3
(x − 1)(2x − 3) (x − 1)(2x − 3)
(x − 1)(2x − 3)
(x − 1)(2x − 3)
8
4.1 Opgaven
4.1 Opgaven
Serie A.
Serie B.
1.
3
x
+
=
2x − 1 x + 1
2.
√
3.
1
1
+√
=
x −1
x +1
1
3
+
=
x −1 x +3
1.
2x
2
−
=
2x − 1 x + 1
2.
√
3.
1
2x − 3
x2
+√
1
2x + 3
=
x
2
+
=
− 3 2x + 3
4.
6x
−3
−
=
1−x
x +3
4.
−3
6x
+
=
1−x
x +2
5.
13
5
−
=
2x + 3 x + 1
5.
6.
x
3
−
=
x − 2 2x − 4
7
5
=
−
2x + 3 x 2 + 1
6.
x
3
−
=
x + 3 2x + 6
7.
−
7.
−
8.
2x
1
−
x + 1 (x + 1)3
8.
1
1
1
+
=
+
2
x − 1 (x − 1)
x +1
1
2x
+
x − 1 (x − 1)3
9.
1
1
1
+
+
=
x − 1 (x 2 − 1) x + 1
9.
10.
x2
1−
x
2
+
=
− 3 2x + 1
1
3
+
=
2x
x +3
10.
2x
x
+
=
x − 3 2x + 1
1−
2
3
+
=
x
x −3
9
5. Goniometrie
Hoofdstuk 5
Goniometrie
In eerste instantie voert men gewoonlijk de sinus, cosinus als verhoudingen van zijden in een
◦
◦
rechthoekige driehoek. Dit betekent dat de hoek tussen de 0 en 90 ligt. Vervolgens voert
men de tangens in als tangens(x) = sinus(x) / cosinus(x). Een natuurlijke uitbreiding voor
willekeurige hoeken krijgen we met behulp van de eenheidscirkel.
1
We deniï¾ en:
2
P op de eenheidscirkel heeft x -coördinaat cos(α) en y -coördinaat sin(α),
P = (cos(α), sin(α)), of in iets andere notatie P = (cos α, sin α).
Een punt
dus
y
1
P : Hcos Α, sin ΑL
Α
O
1
x
Er blijft dan gelden:
tan α =
α
sin α
cos α
en
sin2 α + cos2 α = 1.
1
Bij een hoek van ï¾ n radiaal hoort een
2
cirkelboog met een lengte die gelijk is aan de straal van de cirkel. Dat is elegant, omdat
De hoek
wordt meestal uitgedrukt in radialen.
daarmee de lengte van een cirkelboog gelijk is aan het product van straal en hoek (in radialen).
10
Daaruit volgt bijvoorbeeld dat
2π
rad overeenkomt met
360◦ .
In deze cursus worden hoeken
altijd in radialen uitgedrukt.
Het verdient aanbeveling onderstaande tabel van buiten te kennen.
Voor
x
0
sin x
0
cos x
1
tan x
0
x = 12 π
is
1
π
6
1
2
√
1
3
2
√
1
3
3
tan x
1
π
4
√
1
2
2
√
1
2
2
1
π
3
√
1
3
2
1
2
√
3
1
1
π
2
1
0
n.g.
niet gedenieerd (n.g.).
Bij hoeken groter dan
1
π rad horen goniometrische verhoudingen die rechtstreeks af te leiden
2
zijn uit de denities.
Voorbeeld:
•
7
welke horen bij een hoek van
π rad kun je aeiden uit de
6
1
die horen bij een hoek van π rad.
6
De coördinaten van
coördinaten van
P
Q
1
P
7Π
€€€€€€€€€€
6
Π
€€€€€
6
O
1
Q
Daarom
7
1
1
sin π = − sin π = −
6
6
2
7
1
1√
cos π = − cos π = −
3
6
6
2
sin 76 π
− 12
1√
7
tan π =
=
3
√ =
7
1
6
cos 6 π
−2 3 3
We noemen dit 'herleiden naar een hoek in het eerste kwadrant'.
11
5. Goniometrie
5.1 Opgaven
Herleid tot hoeken in het eerste kwadrant. Je kunt daarbij bovenstaande tabel gebruiken.
Serie B
Serie A
1.
sin( 34 π ) =
1.
cos( 43 π ) =
2.
tan(− 14 π ) =
2.
sin(− 41 π ) =
3.
cos( 56 π ) =
3.
tan( 56 π ) =
4.
sin( 32 π ) =
4.
cos( 23 π ) =
5.
tan( 85
π) =
4
5.
π) =
sin(− 85
4
6.
tan( 32 π ) =
7.
sin(− 47 π ) =
8.
cos(− 56 π ) =
9.
tan( 23 π ) =
3
6. sin( π )
2
7.
=
cos(− 74 π ) =
5
8. tan( π )
6
=
2
9. cos( π )
3
=
37
10. sin( π )
4
=
10.
12
sin( 34
π) =
3
5.1 Opgaven
Een ander type vraag gaat als volgt:
Gegeven:
√
sin x = − 21 3.
Hoe groot is
x,
indien we de afspraak maken dat
0 ≤ x < 2π ?
1
0
1
1 !!!
- €€€€€ 3
2
Gebruik de eenheidscirkel:
√
y -coördinaat van een punt op de eenheidscirkel. Omdat − 21 3 negatief
is, weten we dat de y -coördinaat negatief is, De y -coördinaat is negatief in het derde of vierde
kwadrant, daar moeten we de hoek x dus zoeken.
Per denitie is
sin x
de
Bekend is:
1
1√
sin π =
3.
3
2
Met behulp van de tekening en bovenstaande tabel is vlot in te zien dat bij
√
sin x = − 21 3
hoeken horen van
1
π+ π
3
en
1
2π − π.
3
Het antwoord luidt dus:
x = 43 π ∨ x = 35 π .
13
6. Goniometrische formules
Hoofdstuk 6
Goniometrische formules
Met behulp van de denitie via de eenheidscirkel zijn de volgende uitdrukkingen eenvoudig in
te zien:
sin(−x) = − sin x,
cos(−x) = cos x,
tan(−x) = − tan x
en
1
sin x = cos( π − x),
2
1
cos x = sin( π − x).
2
De volgende formules worden niet afgeleid of bewezen.
Ze hangen sterk met elkaar samen.
Bijvoorbeeld, indien je er één als uitgangspunt neemt, kun je met behulp van bovenstaande
formules de andere uitdrukkingen aeiden:
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
tan x + tan y
tan(x + y) =
1 − tan x tan y
tan x − tan y
tan(x − y) =
1 + tan x tan y
14
6.1 Opgaven
6.1 Opgaven
1. Leid uit de formule voor
sin(x + y)
de formules voor
sin(x − y), cos(x + y)
en
cos(x − y)
af.
2. Leid zelf af:
tan(x + y) =
tan x + tan y
1 − tan x tan y
tan(x − y) =
tan x − tan y
1 + tan x tan y
en
3. Leid uit bovenstaande uitdrukkingen af:
• sin 2x = 2 sin x cos x
• cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
2 tan x
• tan 2x =
1 − tan2 x
4. Voor een hoek
cos x =
Bereken
x ∈ 0, 12 π
geldt:
1√
2.
2
cos(x − 16 π ).
5. Voor een hoek
x ∈ 12 π, π
geldt:
1
cos 2x = .
3
Bereken
sin x .
6. Voor een hoek
x ∈ 0, 12 π
geldt:
3
cos x = .
4
Bereken
tan 2x .
15
6. Goniometrische formules
6.2 Opgaven
Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrische
formules:
Serie B
Serie A
1. Ontbind in factoren:
sin(x) + sin(2x) =
2. Ontbind in factoren:
sin(x + y) + sin(x − y) =
3. Ontbind in factoren:
4. Ontbind in factoren:
5. Ontbind in factoren:
cos 2x + sin2 x =
1+sin 2x −cos2 x =
cos 2x − 1 =
6. Ontbind in factoren:
sin2 x −5 sin x +4 =
7. Ontbind in factoren:
sin2 x +5 cos x +5 =
8. Bereken exact een uitkomst voor
9. Vereenvoudig
10.
cos2 x
cos2 x
−
1 − sin x
1 + sin x
f (x) = 1 − cos 2x − sin2 x
als f (x) = a + b cos(cx).
Bepaal
a, b
en
cos 18 π
c.
1. Ontbind in factoren:
2 sin2 x − sin 2x =
2. Ontbind in factoren:
cos 2x − cos2 x =
3. Ontbind in factoren:
1−sin 2x −sin2 x =
4. Ontbind in factoren:
cos 2x + 7 =
5. Ontbind in factoren:
sin2 x − sin x − 6 =
7. Schrijf zonder
8. Bereken exact een uitkomst voor
sin 18 π
9. Vereenvoudig
cos4 x − 2 cos2 x sin2 x + sin4 x
is te schrijven
10.
f (x) = 3 cos2 x −sin2 x
f (x) = a + b cos(cx).
Bepaal
16
cos2 x +3 sin x +9 =
r
1 − cos x
=
wortel:
1 + cos x
6. Ontbind in factoren:
a, b
en
c.
is te schrijven als
6.3 Opgaven
6.3 Opgaven
Bij de volgende opgaven dient gebruik te worden gemaakt van bovenstaande goniometrische
formules:
Serie A
Serie B
1. Toon aan dat
sin2 21 x =
cos4 x − sin4 x = cos 2x
2. Toon aan dat
cos4 x(1 − tan4 x) = cos 2x
cos4 x + 21 sin2 2x +sin4 x =
3. Toon aan dat
4 sin2 x − 4 sin4 x = sin2 2x
1. Toon aan dat
cos2 12 x =
2. Toon aan dat
3. Toon aan dat
1
2
+ 12 cos x
1
1
2
− 12 cos x
4. Toon aan dat
2
2
4. Toon aan dat
cos x(1 + tan x) = 1
5. Toon aan dat
tan x =
sin 2x
1 + cos 2x
cos4 x(1 + tan4 x) = 1 − 2 sin2 x cos2 x
5. Toon aan dat
6. Toon aan dat
tan x + tan y
sin(x + y)
=
tan x − tan y
sin(x − y)
tan x =
1 − cos 2x
sin 2x
6. Toon aan dat
cos(x − y)
1 + tan x tan y
=
1 − tan x tan y
cos(x + y)
7. Toon aan dat
tan2 x − sin2 x = tan2 x · sin2 x
7. Toon aan dat
sin 2x −tan x = tan x cos 2x
8. Toon aan dat
8. Toon aan dat
tan2 x − 1
= sin2 x − cos2 x
tan2 x + 1
9. Toon aan dat
tan( 14 π + x) =
10. Toon aan dat
1 + tan x
1 − tan x
2 cos2 x − cos 2x = 1
sin 2x
1 − cos 2x
=
1 + cos 2x
sin 2x
9. Toon aan dat
1
1
2
tan( π +x)+tan( π −x) =
2
4
4
cos x − sin2 x
10. Toon aan dat
cos x − sin x cos x + sin x
2
+
=
cos x + sin x cos x − sin x
cos 2x
17
7. Dierentiëren
Hoofdstuk 7
Dierentiëren
Bij het dierentiëren maken we gebruik van een aantal basisregels:
y = ax n ⇒ y 0 = nax n−1
y(x) = u(x)v(x) ⇒ y 0 = u 0 v + v 0 u
(productregel)
en
y(x) =
nt 0 − tn 0
t (x)
⇒ y0 =
n(x)
n2
(quotiëntregel)
7.1 Dierentiëren van goniometrische functies:
d
cos x = − sin x,
dx
d
sin x = cos x,
dx
d
1
tan x =
= 1 + tan2 x
dx
cos2 x
7.2 Kettingregel
y(x)
Als de functies
en
u(x)
gegeven zijn dan geldt voor de samengestelde functie
y(u(x)):
dy
dy du
=
·
dx
du d x
Voorbeelden:
•
Bereken de afgeleide van de functie
Denieer:
y = 6(3x 2 − 2)2 .
u = 3x 2 − 2.
y = 6u 2 dierentiëren naar u
u = 3x 2 − 2 naar x .
We moeten nu eerst
de afgeleide van
Er geldt:
dy
du
= 12u
en
du
dx
= 6x .
Dus
dy
dy du
=
·
= 12u · 6x = 12(3x 2 − 2) · 6x
dx
du d x
Kortom:
18
y 0 = 72x(3x 2 − 2)
en het resultaat vermenigvuldigen met
7.2 Kettingregel
• y = 3(x 2 − 5)5 ⇒ y 0 = 15(x 2 − x)4 (2x − 1).
Handig om van buiten te kennen
y = u n ⇒ y 0 = nu n−1 u 0
1
1
⇒ y0 = − 2 u0
u
u
√
1
y = u ⇒ y0 = √ u0
2 u
y=
Voorbeelden:
• y = 4(3x 2 − 1)2 ⇒ y 0 = 8(3x 2 − 1) · 6x = 48x(3x 2 − 1)
• y=
• y=
√
1
3
6x − 1 ⇒ y 0 = √
·6= √
2 6x − 1
6x − 1
3
3
18x 2
0
2
⇒
y
=
−
·
6x
=
−
2x 3 − 1
(2x 3 − 1)2
(2x 3 − 1)2
• y = ln(1 − x) ⇒ y 0 =
• y = 3x
2 −5
⇒ y 0 = 3x
1
1
1
· −1 = −
=
1−x
(1 − x)
x −1
2 −5
· ln 3 · 2x = 2x · ln 3 · 3x
2 −5
• y = (2 sin2 x − 1)3 ⇒ y 0 = 3(2 sin2 x − 1)2 · 4 sin x · cos x = 12 sin x cos x · (2 sin2 x − 1)2
19
7. Dierentiëren
7.3 Opgaven
Bereken de afgeleiden van:
Serie B
Serie A
1.
y = −3(1 − 2x)5
2.
y=√
3.
y=
4.
4.
3
y=
(3x − 1)3
1
y=√
3x 2 + 1
5.
y = 6 · 32x−1
5.
y=
6.
y = 2e x
6.
y = sin2 (2x − 16 π )
7.
y = x ln(3x + 4)
7.
y=
y = 2x ln 3x
2.
y=
x
x2
−1
3
5 − x2
2 −1
x
)
x +1
8.
y = ln(
9.
10.
y = x 3 · 22x
√
y = 3x 3x − 1
11.
y=
ln x
1 − ln x
12.
y = (x 2 − 3x) · e x
13.
y = tan3 x
14.
y=
15.
sin x
y=
cos2 x − 1
20
1.
sin x − cos x
sin x + cos x
3.
8.
9.
ln x
x
√
y = sin 2x
x 2 − 7x − 8
x2 − 1
ln2 x
sin x
x
y=√
x2 + 1
√
y = ln( 3x − 1)
2
10.
y = e2 sin
11.
y=
12.
y = ln4 x
13.
y = sin2 x · cos x
14.
y=
15.
x−1
ex + 1
ex
sin x
1 − cos x
cos x
y=
cos2 x − 1
Hoofdstuk 8
Primitiveren
In de integraalrekening neemt primitiveren een essentiële plaats in. Het is de inverse bewerking
van dierentiëren.
Kennis van dierentiëren is daarom vereist.
Basisformules (met
c
een onbepaalde integratieconstante):
Z
1
1
a
x n+1 + c;
(ax + b)n d x = ·
(ax + b)n+1 + c
n+1
a n+1
Z
Z
1
1
1
eax d x = eax + c;
d x = ln |ax + b| + c
a
ax + b
a
Z
1
d
1
d x = tan x + c (want
tan x =
)
cos2 x
dx
cos2 x
Z
Z
1
1
cos(ax)d x = sin(ax) + c;
sin(ax)d x = − cos(ax) + c
a
a
Z
ax n d x =
Controleer altijd of je goed geprimitiveerd hebt door de uitkomst te dierentiëren.
21
8. Primitiveren
8.1 Opgaven
Primitiveer de volgende functies.
Serie B
Serie A
1.
(2x − 1)3
2.
(5 − x)2
√
3x − 4
3.
4.
1
(2x + 3)4
5.
sin 2(x − 16 π )
6.
√
7.
22
(3x + 2)3
2.
(8 − 2x)2
√
2x − 3
3.
4.
1
(2x − 1)5
5.
cos 12 (x − 31 π )
6.
√
7.
x3 − 1
x
8.
cos 2x + e2x
9.
tan2 x + 2
1
x +3
x2 + 1
x
8.
sin x + e3x
9.
tan2 x
10.
1.
2
3 − 2x
10.
2
x −5
3
2 − 3x
Hoofdstuk 9
Oefening graeken tekenen
De bedoeling van deze oefening is dat je bij een aantal functies de graek schetst zonder
gebruik te maken van elektronische hulpmiddelen.
Afstanden tussen eenheden op de
de eenheden op de
x -as
hoeven niet noodzakelijk gelijk te zijn aan die tussen
y -as.
Kies het domein telkens zó dat de eigenschappen van de graek duidelijk te zien zijn, zoals
snijpunten met de assen, asymptoten, perioden, enz.
Zet bij snijpunten en asymptoten ook getallen indien deze vlot uit het hoofd te berekenen zijn.
Voorbeeld:
• f (x) = (x − 3)2
f HxL
9
0
3
x
f HxL = Hx - 3L2
We gebruiken hier de notatie
f (x)
voor een functie van
x.
23
9. Oefening graeken tekenen
Serie A
Serie B
1.
f (x) = (x + 2)4
1.
f (x) =
1
x
2.
f (x) = (x − 2)2 + 3
2.
f (x) =
4
x −2
3.
f (x) = −x 3 + 8
3.
f (x) = 3 +
4.
f (x) = x 2 + 6x + 9
4.
f (x) =
3
x2
5.
f (x) = 6(x + 1)5
5.
f (x) =
4
(2 − x)2
Serie C
Serie D
1.
f (x) = 2x
1.
f (x) = 2 log x
2.
f (x) = ( 12 )x + 3
2.
f (x) = 2 log(x + 2)
3.
f (x) = 2x−2 + 1
3.
f (x) = log x 2
4.
f (x) = 3−x − 1
4.
5.
f (x) = e
f (x) = 2 log x
5.
f (x) = ln(x − e)
x−1
Serie E
1.
2.
3.
4.
5.
24
1
x −3
f (x) =
Serie F
√
x +2
√
f (x) = 4 − 2 x
√
f (x) = 2 + x + 4
√
f (x) = 3 x
√
6
f (x) = x 2 − 1
1.
f (x) = sin 3x
2.
f (x) = 2 cos π x
3.
f (x) = 12 + 8 sin 2π
(x − 1)
6
4.
f (x) = 3 − 2 cos 3(x − 31 π )
5.
1
f (x) = −1 − 3 sin 10
π(x + 5)
Hoofdstuk 10
Vergelijkingen en ongelijkheden
10.1 Polynoomvergelijkingen
Polynoomvergelijkingen kunnen algemeen worden geschreven als:
an x n + an−1 x n−1 + an−2 x n−2 + . . . = 0,
met
n
een geheel getal.
Oplossingen kunnen soms gevonden worden door in factoren te ontbinden.
Voorbeelden:
•
Los op:
x 5 − 4x 3 − 27x 2 + 108 = 0
x 3 (x 2 − 4) − 27(x 2 − 4) = 0
(x 3 − 27)(x 2 − 4) = 0
(x 3 − 27)(x − 2)(x + 2) = 0
x = 3 ∨ x = 2 ∨ x = −2
•
Los op:
(x 2 − 14)(x + 4) = 5x(x + 4):
(x 2 − 14)(x + 4) − 5x(x + 4) = 0
(x 2 − 14 − 5x)(x + 4) = 0
(x + 2)(x − 7)(x − 4) = 0
x = −2 ∨ x = 7 ∨ x = −4
25
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende vergelijkingen op:
Serie A
1.
2x 2 + 7x − 4 = 0
1.
3x 2 + 7x − 6 = 0
2.
x 4 + 6 = 7x 2
2.
x 4 = 2x 2 + 24
3.
x 3 + 6x = 7x 2
3.
x 4 − 24x 2 = 10x 3
4.
x 4 − 42 = x 2
4.
x 4 − 12 = x 2
5.
x 4 − 39x 2 = 10x 3
5.
x 4 − 33x 2 = 8x 3
6.
x 3 − 3x 2 = (x − 3)(x + 20)
6.
x 3 + x 2 = (x + 1)(x + 2)
7.
(x − 2)3 = x − 2
7.
3x 2 + 4x − 4 = 0
8.
3x 3 − x 2 − 12x + 4 = 0
8.
x 3 − 3x 2 = (x − 3)(x + 12)
9.
(x 2 − 4)(x + 3) = (x − 2)(4 − x 2 )
9.
(x 2 − 4)(x − 3) = (x + 2)(x − 3)
10.
26
Serie B
6
4
2
x − 4x = 4x − 16
10.
3(x − 1)2 (x + 1) = (x + 1)2 )
10.2 Polynoomongelijkheden
10.2 Polynoomongelijkheden
Een handig hulpmiddel bij ongelijkheden is een tekenschema.
Tekenschema's geven op een
getallenrechte met plussen en minnen aan waar een uitdrukking positief of negatief is. daar
waar de uitdrukking nul is zetten we één of meerdere nullen op de getallenrechte. Bij elke nul
op de getallenrechte is er sprake van tekenverandering.
Twee voorbeelden van tekenschema's:
• f (x) = (x + 3)(x − 1)(x − 2)
heeft als tekenschema:
Kijk bij één bepaalde gemakkelijke waarde van
komst
f (x).
x
(anders dan een nulpunt)naar de uit-
Als de uitkomst positief of negatief is geldt dat overal tussen de naburige
nulpunten. Bij een
0
op de getallenrechte verandert het teken.
• g(x) = (x + 3)3 (x − 1)(x − 2)2
heeft als tekenschema:
−3 op de getallenrechte staat 3 keer een 0 omdat je daar een oplossing krijgt van
(x + 3)3 = 0 oftewel (x + 3)(x + 3)(x + 3) = 0. Zo'n nulpunt noemen we drievoudig. Dat
betekent ook dat er drie keer tekenwisseling plaats vindt, want bij elke 0 verandert het
teken.Als g(x) dus positief is voor x < 3 zal g(x) negatief zijn als x > −3.
Bij
Bij 2 op de getallenrechte moet 2 keer een
(x − 2)(x − 2).
0
komen, want
(x − 2)2
is te schrijven als
Er vindt daarom 2 keer tekenwisseling plaats wat in feite betekent dat
er geen tekenwisseling is bij de 2.
Kortom, een
wisseling als
n -voudig
n oneven
nulpunt geeft geen tekenwisseling als
n
even is en wel een teken-
is.
Voorbeelden
•
Los op:
x 3 + 8x ≤ 6x 2 .
Herleid eerst op:
x 3 − 6x 2 + 8x ≤ 0.
Ontbind vervolgens in factoren:
x(x 2 − 6x + 8) = 0
x(x − 2)(x − 4) = 0
Tekenschema:
De oplossing is dus:
of in intervalnotatie:
x ≤0∨2≤ x ≤4
(−∞, 0 ∪ 2, 4
27
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
•
Los op:
x(x + 3)3 (x − 2)2 ≥ (x + 3)3 (x − 2)2
x(x + 3)3 (x − 2)2 − 1(x + 3)3 (x − 2)2 ≥ 0
(x − 1)(x + 3)3 (x − 2)2 = 0
Tekenschema:
x ≤ −3 ∨ x ≥ 1
De oplossing is:
of in intervalnotatie:
(−∞, −3 ∪ 1, ∞)
Los de volgende ongelijkheden op:
Serie B
Serie A
1.
x 2 ≤ 25
1.
x 2 ≥ 16
2.
(x − 3)2 ≥ 1
2.
9x 2 ≤ 16
3.
(x − 2)2 ≤
3.
(x − 2)2 ≥
4.
8 < x 2 + 2x
4.
15 < x 2 + 2x
5.
3(x + 1) − 2(2x + 3) > −(x − 2)
5.
3(x − 1) − 2(2x + 3) > 5(x − 2)
6.
35 < x + 2x
6.
x 2 − 1 ≥ 9 − 3x
7.
(x 2 − 4)(x − 4)2 ≤ 0
7.
(x 2 − 9)(x − 3)2 ≤ 0
8.
3(x + 1) − 2(2x + 3) > 5(x − 2)
8.
x 2 (3x − 5) − (2x + 3)(3x − 5) > 0
9.
(x − 7x + 12)(x + 2x − 24) ≤ 0
9.
(x − 1)(x − 2)2 (x − 3)3 ≥ 0
10.
28
1
4
2
2
2
x 6 − 9x 3 + 8 ≤ 0
10.
1
9
3x 3 − 12x ≥ x 4 − 4x 2
10.3 Breukvergelijkingen
10.3 Breukvergelijkingen
Bij breukvergelijkingen zijn 'kruiselings vermenigvuldigen' en 'onder één noemer brengen'
belangrijke technieken.
Voorbeelden:
•
2x + 8
x +5
=
3x − 6
5
Kruiselings vermenigvuldigen geeft:
(3x − 6)(x + 5) = 5(2x + 8)
3x 2 + 9x − 30 = 10x + 40
3x 2 − x − 70 = 0
3x(x − 5) + 14(x − 5) = 0
(3x + 14)(x − 5) = 0
∨x =5
x = − 14
3
•
6
5
+
=3
x −1 x +1
We krijgen:
6(x + 1) + 5(x − 1)
=3
(x − 1)(x + 1)
11x + 1
=3
x2 − 1
11x + 1 = 3x 2 − 3
3x 2 − 11x − 4 = 0
3x 2 − 12x + x − 4 = 0
3x(x − 4) + 1(x − 4) = 0
(x − 4)(3x + 1) = 0
x = − 13 ∨ x = 4
29
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende vergelijkingen op.
Serie A
1.
3
2
=
x +1
x +2
2.
1.
x 2 + 3x − 2
=4
x +1
x −3
x
−3=
x −1
x +2
2.
3.
x −3
x −1
−2=
x −1
x −3
3x 2 + 5x − 2
=2
x 2 + 3x + 2
3.
4.
x 3 − 4x 2
=3
x −4
3x 2 + 6x + 1
=2
x2 + 2
4.
1
1
−2=
2
x
x
3x 3 + 6x
=2
x2 + 2
5.
3
+x =4
2x − 1
4
4
+ =3
2
x
x
6.
2x + 3 x + 1
−
=7
x
x −2
3x − 1
−3= x
x −5
7.
x
x
7
−
=−
x −4 x +3
2
8.
x2 − 4
1
−
=1
2
x +4 x −3
9.
x
2x
+
=3
x −1 x +2
5.
6.
7.
8.
9.
10.
30
Serie B
2x − 1 x 2 − 3
+
=2
5
2x
1
x +8
= 3
2
(x + 1)
x +2
x2
3x − 4
+
=2
2
x +2
10.
1
1
1
+ 2 − 3 =1
x
x
x
10.4 Breukongelijkheden
10.4 Breukongelijkheden
Bij breuken niet alleen bij een nulpunt van de teller, maar ook bij een nulpunt van de noemer
kan het teken omwisselen. Bij tekenschema's worden daarom zowel de nulpunten van de teller
als de nulpunten van de noemer aangegeven; deze laatste met een *. Overigens, in zo'n nulpunt
van de noemer bestaat de functie dus niet.
Voorbeeld
•
2
5
−
≤1
x −1 x +3
2(x + 3)
5(x − 1)
(x − 1)(x + 3)
−
−
≤0
(x − 1)(x + 3) (x − 1)(x + 3) (x − 1)(x + 3)
−x 2 − 5x + 14
≤0
(x − 1)(x + 3)
(x + 7)(x − 2)
≥0
(x − 1)(x + 3)
Tekenschema:
dus
x ≤ −7 ∨ −3 < x < 1 ∨ x ≥ 1
31
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende ongelijkheden met breuken op.
Serie A
1.
2.
x 2 − 2x − 15
≤0
x 2 + 4x + 3
1.
1
≥0
− 3x − 28
2.
x2
x2
x −3
<0
− 3x − 28
10x
>1
+x
x3
3.
5
2
−
≤3
2x + 1 x − 3
3.
4.
x2
2x 2
−
> −3
2x + 3 x + 2
x2 − 1 x + 3
−
≤4
x2 + 1 x − 2
4.
x
6
+
≤2
2x − 5 x + 1
5.
3x
2x − 5
≥
2x − 1
x −2
5.
6.
x −1
x −2
≤
+1
x
x −3
6
5x + 1
≤
x +4
x +1
6.
7.
3x − x 2
≤1
2x − 2
x
x −3
−1≤
x +4
3
7.
1
1
1
+
−
<1
2
x − 1 (x − 1)
(x − 1)3
5
x 2 − 4x + 3
>
2
x − x − 12
6
8.
x 2 − 2x − 15
−1>0
x 2 − 4x + 3
3
x
+
≥1
3x − 1 2x + 1
9.
x
1
≥
x 3 − 2x
2
8.
9.
10.
32
Serie B
3x − 8
2x + 3
−2>
x
x −2
10.
24
3
7
−
<
x +3 x −4
6
10.5 Exponentiële vergelijkingen
10.5 Exponentiële vergelijkingen
Bij onderstaande opgaven is het de bedoeling dat je herleidt tot een vergelijking met machten
oftewel een uitdrukking van de vorm
a uitdrukking met x = a getal .
Je mag dan de machten gelijk
stellen, waarna je de resulterende vergelijking nog dient op te lossen.
Gebruik de regels bij machten, bijvoorbeeld
4x = (22 )x = (2x )2 = 22x .
Voorbeelden
• 2x+3 − 3 · 2x = 80
23 · 2x − 3 · 2x = 80
8 · 2x − 3 · 2x = 80
5 · 2x = 80
2x = 16 = 24
x =4
• 2x + 23−x = 6
2x + 8 · 2−x = 6.
Stel
2x = a ,
dan
a + 8 · a −1 = 6
a 2 − 6a + 8 = 0
(a − 2)(a − 4) = 0
a =2∨a =4
2x = 2 ∨ 2x = 4
x =1∨x =2
33
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende exponentiële vergelijkingen op.
Serie A
1.
2x+1 + 2x+3 = 320
1.
2.
3x+1 = ( 13 )x−2
2.
3x+3 = 6 + 3x+2
√
9x = 31 3
3.
3x+3 = 2160 + 3x−1
3.
3x+2 + 3x−1 =
4.
4x − 12 · 2x + 25 = 0
4.
4 · 3x+1 − 32x = 27
5.
2x+3 = 60 + 2x−1
5.
2x−1 = 5 − 4x
6.
163x+3 = 8x
6.
4 · 32x+1 − 33x = 3x+3
7.
22x + 64 = 2x+4
7.
2
8.
33x − 2 · 32x+1 = 3x+3
8.
√
( 13 3)x = 9
9.
2x + 23−x = 6
9.
6 · ( 14 )x = 23 ( 12 )x
10.
34
Serie B
x
e =2·e
−x
2 +4
+1
10.
3 log x
=
28
27
1
4
600 · (0.4)x = 150 · (0.8)x
10.6 Exponentiële ongelijkheden
10.6 Exponentiële ongelijkheden
Bij exponentiële ongelijkheden moet je met grondtallen kleiner dan 1 oppassen.
Bijvoorbeeld,
2x > 24 ⇔ x > 4
( 12 )x > ( 12 )4 ⇔ x < 4.
maar
Je had deze laatste conclusie ook als volgt kunnen trekken:
(2−1 )x > (2−1 )4 ⇔ 2−x > 2−4 ⇔ −x > −4 ⇔ x < 4.
Voorbeelden
•
We hebben
√
1
5x−1 + 5x−2 > 6 5 ⇔ 5x · 5−1 + 5x · 5−2 > 6 · 5 2
Vermenigvuldig beide zijden met
52 :
5
5
5 · 5x + 5x > 6 · 5 2 ⇔ 6 · 5x > 6 · 5 2 ⇔ x >
•
5
2
We hebben:
3x + ( 13 )x−3 ≤ 12 ⇔ 3x + (3−1 )x−3 ≤ 12 ⇔ 3x + 33−x ≤ 12
en
3x + 33 · 3−x ≤ 12 ⇔ 3x +
Stel
3x = a
a+
en bedenk dat dan
27
≤ 12.
3x
a > 0!
27
≤ 12 ⇔ a 2 + 27 ≤ 12a.
a
Dat mag omdat
a > 0.
a 2 − 12a + 27 ≤ 0 ⇔ (a − 3)(a − 9) ≤ 0 ⇔ 3 ≤ a ≤ 9
Dus
31 ≤ 3x ≤ 32 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2
35
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende exponentiële ongelijkheden op.
Serie A.
Serie B
1.
( 12 )2x−1 < 8
1.
1 − ( 12 )2x−2 ≥ 0
2.
3 + 2x ≤ 2x+2 − 3
2.
9x + 3x+1 > 18
3.
(2x − 4)(2x − 8) > 0
3.
4.
8x−1 ≥ ( 41 )x
22x − 8
≤0
2x − 4
4.
9x+1 ≥
5.
2x + 8 · 2−x ≥ 9
6.
3x + 33−x < 12
7.
5x − 2 · 5x−1 < 75
8.
( 12 )3x − ( 12 )2x ≥ 0
9.
6 · 5x − 52x < 5
5.
x
−x
2 + 32 · 2
≥ 12
x
6.
7.
4x >
x
1
4
· 23x
−x
8.
2 +8·2
9.
26x − 4x+1 > 0
10.
36
6−5
<1
51−x
≥6
33−2x − 4 · 31−x + 3 > 0
10.
1
27
( 13 )2x−3 − 4 · ( 13 )x−1 − 15 < 0
10.7 Logaritmische vergelijkingen
10.7 Logaritmische vergelijkingen
De denitie van logaritme is:
a c = b ⇔ a log b = c.
Bekende regels zijn:
a
log x
a
log 1 = 0,
bestaat alleen als
x > 0,
log a + log b = log ab,
log a − log b = log( ab ),
log a r = r log a,
ln b
a
log b =
ln a
Voorbeelden:
•
Stel
2
log(x + 2) = 2 + 2 log(2x − 1)
Dan geldt:
2
log(x + 2) = 2 log 4 + 2 log(2x − 1) = 2 log 4(2x − 1)
6
x + 2 = 8x − 4 ⇔ 6 = 7x ⇔ x =
7
•
We hebben
Stel
log2 x − log x 2 = 3 ⇔ log2 x − 2 log x − 3 = 0.
log x = a
a 2 − 2a − 3 = 0 ⇔ (a + 1)(a − 3) = 0 ⇔ a = −1 ∨ a = 3
1
∨ x = 1000
⇔ log x = −1 ∨ log x = 3 ⇔ x =
10
37
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende vergelijkingen op.
Serie A
log 16 = 8
1.
2x
2 log(x−1)
2.
4
3.
ln(x + e) − 2 = ln x
log x − 5 = 2 log(x + 14)
4.
2
log(x − 1) + 2 log(x + 13) = 5
5.
2 + 3 log(2x − 1) = 1
6.
log x + log(x + 32 ) = 1
7.
2
8.
log(x + 3) − log(x + 1) = 1
9.
log2 x − log x 3 + 2 = 0
1.
x
2.
3
3.
ln(x 2 − 7x + 7) = 0
4.
2
5.
2
6.
log(x 2 − 20x) = 2
7.
log(7 − x) =
8.
2
9.
10.
38
Serie B
=9
1
1
2
log(x − 1)
log(x + 1) − 2 ·2 log 5 = 3
2
log x + 6 = log x 5
ln2 x + 2 ln x − 3 = 0
10.
log 27 = 3
4 log(8−2x)
=2
log(5 − x) + 2 log x = 2
1
1
log(x + 1) + 2 log(
1
)=5
x −3
log(x 2 − 8) = − log(
1
)
−2 − x
10.8 Logaritmische ongelijkheden
10.8 Logaritmische ongelijkheden
Een belangrijke stap bij het oplossen van logaritmische ongelijkheden is het bepalen van het
domein. Oplossingen dienen uiteraard binnen het domein te liggen.
Ook hier opletten met bijvoorbeeld:
1
2
1
log x < 2 log 4 ⇒ x > 4
Net zoals bij machten is er sprake van het omdraaien van het ongelijkheidsteken als het
grondtal kleiner dan
1
is.
Voorbeelden:
•
1
2
1
log x ≥ 3 + 2 log(x + 3).
Hier geldt:
x > 0 ∧ x > −3,
1
2 log x
1
≥ 2 log
dus
D = (0, ∞).
1 1
1
1
1
+ 2 log(x + 3) ⇔ 2 log x ≥ 2 log (x + 3)
8
8
en dus
1
3
x ≤ (x + 3) ⇔ 8x ≤ x + 3 ⇔ 7x ≤ 3 ⇔ x ≤
8
7
Rekening houdend met het domein
D
is de oplossing:
(0, 73
• 3 log(2x − 3) < 3 − 3 log x .
We hebben:
x>
3
3
∧ x > 0 ⇒ D = ( , ∞)
2
2
Hier moet gelden:
log(2x − 3) + 3 log x < 3 log 27 ⇔ 3 log x(2x − 3) < 3 log 27
9
2x 2 − 3x − 27 < 0 ⇔ (2x − 9)(x + 3) < 0 ⇔ −3 < x <
2
3
Rekening houdend met het domein
D
is de oplossing:
( 23 , 92 )
39
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende logaritmische ongelijkheden op.
Serie A
1.
5
log(2x + 1) ≤ 2
1.
2
log(x 2 − x) ≤ 1
2.
4
log(x 2 − 3x) > 1
2.
4
log(x 2 + 6x) ≤ 2
3.
2
log(x 2 − 4x − 5) ≤ 4
3.
2
log(x 2 − 8x + 7) ≤ 4
4.
2 − ln x
≤0
2 + ln x
4.
2 − ln x
>0
1 + ln x
5.
3 − 3 log x ≥ 3 log(x − 6)
5.
2
6.
ln(x − 3) − 1
≤0
ln x
7.
3
8.
x log(x + 4) + 4 log(x + 4) ≤ 0
9.
2
1
2
6. 3 log x
> −2
7.
ln(x − e)2 > 1
8.
x ln x 3 − ln x > 0
9.
3
10.
40
Serie B
log(x − 1) ≤ 2 − 3 log(x + 7)
ln |x| ≥ ln(3 − 21 x)
10.
log(x − 2) < 3 −2 log x
log(22x + 1) ≤ 2
log(2x − 8) < 3
log(2x + 3)
<2
log x
10.9 Goniometrische vergelijkingen
10.9 Goniometrische vergelijkingen
Enkele regels:
sin x = sin a ⇒ x = a + k · 2π ∨ x = π − a + k · 2π
cos x = cos a ⇒ x = ±a + k · 2π
tan x = tan a ⇒ x = a + k · π
Hierbij geldt steeds dat
kZ,
dus
k = 0, ±1, ±2, . . .
Voorbeelden:
•
We hebben:
3
3
1
cos(x − π ) = sin 2x ⇔ cos(x − π ) = cos( π − 2x)
4
4
2
1
3
1
3
x − π = π − 2x + k · 2π ∨ x − π = − π + 2x + k · 2π
4
2
4
2
5
1
3x = π + k · 2π ∨ −x = π + k · 2π
4
4
5
2
1
x = π + k · π ∨ x = − π + k · 2π
12
3
4
•
We hebben
2 sin2 x = 3 cos x ⇔ 2(1 − cos2 x) = 3 cos x ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0
Stel
cos x = a
dan
2a 2 + 3a − 2 = 0 ⇔ (a + 2)(2a − 1) = 0 ⇔ a = −2 ∨ a =
Merk op dat
cos x =
cos x = −2
1
2
niet is toegestaan, dus
1
1
⇔ x = ± π + k · 2π
2
3
41
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende goniometrische vergelijkingen op. Kies
Serie A.
R
als domein.
Serie B
1.
sin 2x = sin x
1.
cos 2x = cos 3x
2.
tan 2x + tan x = 0
2.
tan x = sin 2x
3.
sin(2x + π4 ) + sin(3x − π4 ) = 0
3.
cos(2x − 31 π ) + sin(x − 16 π ) = 0
4.
cos 2x + cos 3x = 0
4.
sin x − sin 3x = 0
5.
cos2 x + 3 sin x = 3
5.
cos2 x + 2 sin x cos x = sin2 x
6.
2 sin2 x cos x − sin x = 0
6.
sin 2x = 2 cos2 x
7.
tan 2x = 3 tan x
7.
2 tan x = tan 2x
8.
1
sin 2x =
tan x
8.
2 sin 2x =
9.
3 cos2 x − sin2 x = 0
9.
cos2 x + cos x = sin2 x
10.
2 sin2 x + sin 2x = 1
10.
2 sin2 2x + 6 sin2 x = 3
11.
sin 2x − cos 2x = 1
11.
6 cos2 x + 11 sin x = 10
12.
12.
sin 2x − cos 2x = 1
13.
2 cos x + 3 tan x = 0
√
2 − 2 cos 2x = − sin x
13.
sin2 x + 2 cos2 x = 1 + sin x cos x
14.
(tan x − sin x)(tan x + sin x) = cos2 x
14.
sin 2x − tan x = sin x
15.
sin x · sin 2x = cos x
15.
sin x + cos x = 0
42
1
tan x
10.10 Wortelvergelijkingen
10.10 Wortelvergelijkingen
Bij vergelijkingen met wortels moeten we steeds bedenken dat de uitdrukking onder het wortelteken niet negatief mag zijn en dat de wortel een niet-negatief getal als uitkomst heeft.
Controleer een gevonden oplossing altijd door deze in de oorspronkelijke vergelijking in te
vullen:
Voorbeelden:
•
We hebben:
√
2x + 1 = 2x − 5 ⇒ 2x + 1 = (2x − 5)2
2x + 1 = 4x 2 − 20x + 25 ⇔ 4x 2 − 22x + 24 = 0
2x 2 − 11x + 12 = 0 ⇔ (x − 4)(2x − 3) = 0
3
x =4∨x =
2
Aangezien
x =
3
een negatieve uitkomst voor een wortel geeft, blijft
2
x = 4
als enige
oplossing over.
•
We hebben:
p
√
x + 2x + 1 = 5 ⇒ x + 2 2x 2 + x + 2x + 1 = 25
p
2 2x 2 + x = 24 − 3x ⇒ 8x 2 + 4x = 576 − 144x + 9x 2
√
x 2 − 148x + 576 = 0 ⇔ (x − 4)(x − 144) = 0
x = 4 ∨ x = 144.
Alleen
x =4
is een oplossing.
43
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende vergelijkingen met wortels op.
Serie A
1.
2.
3.
4.
√
√
√
Serie B
1.
4x + 1 = x − 1
x −2=
√
√
2x − 3 14 − x = 8
8.
9.
√
√
√
4 4 − p − 31 ( 4 − p)3 − p 4 − p =
6.
7.
10. Voor welke
f (x) = 3x −
elkaar?
p√ raken
2x + 1
9.
√
√
√
4 2 + x − ( 2 + x)3 + 2x 2 + x = 27
4.
x + 3)
=3
√
2x + 1
√
√
x +3
x x +3=
x
√
x 2 − 3 13 + x 2 + 3 = 0
p
√
x − x −1= x
5.
8.
3.
2x + 3 − 2
2x + 1 = x − 7
√
2x + 11 = 12 − x
√
√
x − 1 = 2x + 5 − 2
√
x+ x
√ =2
x− x
√
x + 13 − x
=1
2x − 1
√
√
4x 2 + x
= x
x −1
√
x2
2x 2 + 3
=
√
x2
2x 2 + 3
q
√
3
x − 8−x =2
2
2.
2x − 1 = x − 8
√
5.
6.
7.
8
3
de graeken van
en
g(x) = 2x + p
f (x) =
elkaar?
44
p raken de graeken van
5 − x en g(x) = p − 12 x + 1
10. Voor welke
√
10.11 Wortelongelijkheden
10.11 Wortelongelijkheden
Ook hier moet rekening worden gehouden met het domein.
Bijvoorbeeld, als
√
x − 1 < 2,
dan luidt de oplossing
1, 5)
omdat
x ≥ 1.
Voorbeelden:
•
We hebben:
√
√
2x + 3 x < 20 ⇔ 2x + 3 x − 20 < 0
met
x ≥ 0. Los op:
√
3 x = 20 − 2x ⇒ 9x = 400 − 80x + 4x 2
4x 2 − 89x + 400 = 0 ⇔ 4x 2 − 64x − 25x + 400 = 0
4x(x − 16) − 25(x − 16) = 0 ⇔ (4x − 25)(x − 16) = 0
25
∨ x = 16.
x=
4
Alleen
•
x=
25
is mogelijk. De oplossing is:
4
0, 25
).
4
We hebben:
√
3 + x)
≤ 3.
√
x −5
Het domein is
•
D = (5, ∞).
Dan is de breuk altijd positief.
Los op:
(3 +
√
√
x)/ x − 5 = 3
We hebben:
√
√
√
√
3+ x
= 3 ⇔ 3 + x = 3 x − 5 ⇒ 9 + 6 x + x = 9(x − 5)
√
x −5
√
√
6 x = 8x − 54 ⇔ 3 x = 4x − 27 ⇒ 9x = 16x 2 − 216x + 729
16x 2 − 225x + 729 = 0 ⇔ 16x 2 − 144x − 81x + 729 = 0
16x(x − 9) − 81(x − 9) = 0 ⇔ (16x − 81)(x − 9) = 0
81
x=
∨x =9
16
Alleen
x =9
x = 6 (6 < 9)
bijvoorbeeld x = 14
voldoet. Vullen we namelijk in de ongelijkheid bijvoorbeeld
in, dan krijgen we een uitkomst die groter is dan 3. Maar als we
invullen, krijgen we een oplossing die groter is dan 3.
Dat betekent dat we getallen
moeten hebben groter dan 9.
Oplossing:
(9, ∞).
45
10. Vergelijkingen en ongelijkheden
Los de volgende ongelijkheden met wortels op.
Serie A
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
√
2x + 7 ≤ x − 4
√
x −5 x +6<0
√
5−x
>1
√
5+x
√
x − 2x + 1 ≤ 1
p
(x − 3)2 > 13
√
7 + 3x − 6 > 2x
√
x2 + x + 5 ≤ x + 1
p
√
(x − 3)2 + x ≤ 6x + 1
√
x+ x
√ <3
x− x
√
x + 1 < |x − 5|
Serie B
8.
9.
√
2.
3.
4.
5.
6.
7.
10.
46
√
x − 3 < 12 x − 1
√
x − x −3<5
√
3x + 4
≥2
√
2x − 4
√
x − x −4≤6
p
(x − 3)2 > 1
√
√
1
x2 + 3 < x
2
√
(x − 1) x − 1
>1
√
x +4
√
√
x ≥ 2x − 7 − 3
1.
√
6
x2
−1
>3
x − 3 < |2x − 9|
Hoofdstuk 11
Noemer wortelvrij maken (extra stof)
Bij onderstaande opgaven dien je de noemer van de breuk wortelvrij te maken.
Gebruik hiervoor bijvoorbeeld de regel:
(a − b)(a + b) = a 2 − b2 .
Voorbeeld:
√
√
√
3+ 3
3+ 3
3+ 3
1 1√
1
=
= +
3
√ =
√
√ =
√
6
2 6
3− 3
(3 − 3)(3 + 3)
32 − ( 3)2
47
11. Noemer wortelvrij maken (extra stof)
Maak telkens de noemer wortelvrij:
Serie B
Serie A
1.
1
2
=
√ −√
5
2−1
1.
2
3
=
√ −√
3
5−1
2.
1
2
√ −√ =
3
6
2.
1
3
√ −√ =
6
2
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
48
3
1
√ +√ =
2 3
3
√
2+ 3
=
√
3
√
√
3+ 2
√ =
√
3− 2
1
√
√ =
3 2−2 3
√
2
√ =
√
18 − 8
1
=
√
(1 + 2)2
4.
5.
6.
7.
1
3
√ −√ =
2 5
5
√
3+ 6
=
√
3
√
√
5− 2
√ =
√
5+ 2
2
√
√ =
2 5− 3
√
3
√ =
√
48 − 12
8.
1
=
√
(3 − 2)2
9.
√
1
=
2−1
√
3
√ =
2+ 3
√
3.
10.
1
=
3−1
√
5
√ =
1− 5
Hoofdstuk 12
Breuksplitsen A (extra stof)
Bij de volgende serie breuken is de noemer een product van factoren of kan er een product
van factoren van worden gemaakt.
Het is de bedoeling dat er twee breuken van worden gemaakt met als noemers de afzonderlijke
factoren. Dit heet breuksplitsing.
Voorbeelden:
•
We hebben:
3
1
x + 10
=
−
(2x − 1)(x + 3)
2x − 1 x + 3
Nu is dit eenvoudig te controleren maar hoe kom je aan de tellers?
x + 10
(2x − 1)(x + 3)
vervangen we door
A
B
+
2x − 1 x + 3
waarbij we
A en B
moeten berekenen.
Maak van de uitdrukking weer één breuk:
A(x + 3) + B(2x − 1)
(A + 2B)x + (3A − B)
=
(2x − 1)(x + 3)
(2x − 1)(x + 3)
A + 2B = 1 en 3A − B = 10.
A = 3 en B = −1.
Nu moet
krijg je
•
Als je dit stelsel van twee vergelijkingen oplost,
Los op:
3
=?
(2x + 3)(x + 4)
We stellen:
3
A
B
A(x + 4) + B(2x + 3)
(A + 2B)x + (4A + 3B)
=
+
=
=
(2x + 3)(x + 4)
2x + 3 x + 4
(2x + 3)(x + 4)
(2x + 3)(x + 4)
Nu moet
A + 2B = 0
We kunnen daarom
en
4A + 3B = 3.
3
(2x + 3)(x + 4)
Dit stelsel oplossen geeft
vervangen door
A=
6
en
5
B = − 35 .
6
3
−
.
5(2x + 3) 5(x + 4)
49
12. Breuksplitsen A (extra stof)
•
Vanwege het dubbele nulpunt in de teller gaat de volgende breuk iets anders:
2x + 1
=?
(x − 3)2
De teller veranderen we in een vorm waarin
x −3
2(x − 3) + 7
2
7
2x + 1
=
=
+
2
2
(x − 3)
(x − 3)
x − 3 (x − 3)2
50
voorkomt:
Splits onderstaande uitdrukking in breuken:
Serie A
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Serie B
5
=
(2x − 1)(x − 3)
x2
1
=
−1
2x
=
(x − 1)(x − 3)
1.
2.
3.
x2
x
=
−x −2
4.
x2
2x
=
− 2x
5.
2x
=
(x − 2)2
6.
9x 2
x +4
=
− 6x + 1
7.
5
=
(2x + 1)(x + 3)
1
=
−9
4x 2
4x
=
(x + 1)(x − 3)
x2
3x
=
−x −6
3x
=
+ 3x
−x 2
6x
=
(x − 3)2
4x 2
x +4
=
− 4x + 1
x2 − 1
=
(x − 1)2
8.
2x
=
(x − 1)2
x2 − 4
=
(x − 2)2
9.
6x
=
(x − 3)2
x4 − 4
=
(x 2 + 1)2
10.
x4 − 9
=
(x 2 + 3)2
51
13. Breuksplitsen B (extra stof)
Hoofdstuk 13
Breuksplitsen B (extra stof)
Hieronder staat nog een aantal voorbeelden met opgaven waarbij een breuk wordt opgesplitst
in meerdere delen.
Voorbeelden
•
Zo is
2
23
=3+ .
7
7
We kunnen op 2 manieren aan die uitkomst komen:
23
21 + 2
21 2
2
=
=
+ =3+ .
7
7
7
7
7
We hebben:
7/23\3
21
2
en dus
2
23
=3+ .
7
7
Dit kan altijd als de teller groter is dan de noemer.
•
Ditzelfde kunnen we ook doen met gebroken functies:
3x + 1
3x + 9 − 8
8
=
=3−
x +3
x +3
x +3
Of:
x + 3/3x + 1\3
3x + 9
−8
52
en dus
3x + 1
8
=3−
x +3
x +3
•
We hebben:
2x − 1/ 12 x 2 −3x + 1\ 41 x −
1 2
x − 41 x
2
− 11
x +1
4
11
− 4 x + 11
8
− 83
11
8
en dus
1 2
x
2
− 3x + 1
= 14 x −
2x − 1
11
8
−
3
8
1
2x − 1
De methode uit de laatste twee voorbeelden kan worden toegepast als de graad van de teller
groter dan of gelijk is aan de graad van de noemer.
53
13. Breuksplitsen B (extra stof)
Pas op onderstaande opgaven breuksplitsen toe zoals hierboven.
Serie A
1.
6x 2 − 11x + 5
=
x −1
2.
x 2 + 8x
=
2x − 1
3.
x 2 − 3x + 2
=
x −2
4.
1.
4x 2 + x − 5
=
x −1
2.
x 2 + 4x
=
2x − 1
3.
x 2 + 5x − 14
=
x −2
x3
=
x2 − 1
4.
x4
=
x2 + 1
5.
x4 − 1
=
x −1
5.
6.
x 2 + 2x − 3
=
1−x
x 4 − 16
=
x +2
6.
7.
2x 2 − 4x + 5
=
x −1
x 2 + 2x − 3
=
3+x
7.
8.
x 3 − 3x 2 + 3x − 1
=
x −1
2x 2 − 4x + 5
=
x −2
8.
x 3 − 2x 2 + 3x − 2
=
x2 − 4
x 3 − 6x 2 + 5x + 6
=
x −2
9.
2x 3 − 2x 2 + 3x − 1
=
x2 − 1
9.
10.
54
Serie B
x 4 + x 2 − 2x 3 − 2x + 1
=
x2 + 1
10.
x 4 + x 2 + 2x 3 − 2x + 1
=
x2 + 1
Hoofdstuk 14
Cyclometrische functies (extra stof)
In het voortgezet onderwijs hebben we al met inverse functies te maken gekregen. Zo zijn
√
log x en 10x inverse functies van elkaar evenals bijvoorbeeld x en x 2 voor x ≥ 0. Op de
x
rekenmachine staan deze functies op een toets en daarboven. Je ziet dan dat ln x en e ook
elkaars inversen zijn.
Een eigenschap van inverse functies is dat de graeken elkaars spiegelbeeld zijn indien gespiegeld wordt in de lijn
y = x.
Domein en bereik hoeven voor een functie en zijn inverse niet
hetzelfde te zijn, controleer maar voor bovenstaande functies. De functies
−1
hebben inverse functies op een beperkt domein. sin
x, cos−1 x en tan−1
rekenmachines; wij zullen het hebben over
arcsin x , arccos x
en
sin x , cos x en tan x
x staat er vaak op
arctan x .
We gaan na wat voor de laatste functies het domein en bereik is door te spiegelen. De tekening
links hieronder toont de graek van
y = sin x
gespiegeld in de lijn
Π
y = x.
Π
€€€€€
2
Π
- €€€€€
2
Π
- €€€€€
2
0
0
Π
€€€€€
2
Π
We zien in de linkerguur duidelijk dat de gespiegelde graek geen functie meer voorstelt
indien het domein gelijk is aan
Indien het domein voor
sin x
0, π .
gelijk is aan
D = − 21 π, 12 π ,
is de inverse wél een functie.
Bij deze keuze van het domein zitten we zo dicht mogelijk in de buurt van de oorsprong en
55
14. Cyclometrische functies (extra stof)
zijn alle uitkomsten van
sin x
mogelijk mogelijk (van
−1
tot en met 1). Zie de bovenstaande
guur.
Het bereik van
y = sin x
is
B = −1, 1.
De inverse functie van y = sin(x) noemen we
−1, 1, terwijl B = − 21 π, 12 π .
Zo kunnen we ook de graeken van
y = cos x
1. Ga op dezelfde manier na dat voor
B = 0, π .
2. Ga verder na dat voor
(− 21 π, 12 π ).
y = arcsin x .
en
y = tan x
y = arccos x
y = arctan x
geldt dat
Hiervoor geldt het domein
spiegelen in de graek van
geldt dat
D = −1, 1
D = (−∞, ∞)
y = x.
en gekozen bereik
en gekozen bereik
Zoals we hiervoor bepaald hebben welke mogelijke uitkomsten er waren bij
√
1
kunnen we nu een uitkomst geven van arcsin(−
3).
2
D =
B =
√
sin x = − 12 3,
zo
Het grote verschil is dat we nu maar één uitkomst hebben, logisch omdat dit eigen is aan het
functiebegrip.
Daarom:
arcsin(−
56
1√
1
3) = − π.
2
3
Geef telkens de uitkomst uitgedrukt in
Serie A
4.
arcsin( 21 ) =
√
arccos(− 12 2) =
√
arctan( 3) =
√
arccos( 12 3) =
5.
arctan(1) =
6.
8.
arcsin(−1) =
√
arccos( 12 2) =
√
arctan( 13 3) =
9.
arcsin(0) =
1.
2.
3.
7.
10.
arccos(−1) =
π
(radialen).
Serie B
4.
arccos( 12 ) =
√
arcsin(− 21 2) =
√
arctan(− 3) =
√
arcsin( 12 3) =
5.
arccos(1) =
6.
8.
arctan(−1) =
√
arcsin( 12 2) =
√
arccos( 12 3) =
9.
arctan(0) =
1.
2.
3.
7.
10.
arcsin(−1) =
57
15. Antwoorden
Hoofdstuk 15
Antwoorden
2.1 Machten
Serie B
Serie A
1.
p 16 q 16
1.
p 18 q 16
2.
a 11 b5
2.
−b5
3.
− 49 c−1 d 10
3.
8 2 13
− 27
c d
4.
4.
5.
−27a 3 b 2
√
2 2ab
5.
−32a 5 b 2
√
3 2ab
6.
2 p 4 q 12
6.
2 p− 2 q 6
7.
−3a −3 b−8
7.
−3a −1 b4
8.
12 4 ab 4
8.
( 83 ) 12 a 12 b 6
9.
3 − 83 73
a b
2
9.
5
3 − 17
a 5 b2
2
10.
58
3
1
5
3
1
5
1
2− 4 a 4
10.
15
5
1
1
4
1
1
2− 3 a 6
1
3.1 Herleiden
Serie A
Serie B
1.
9a 2 − 6ab + b2
2.
9a 2 − 12a 3 + 4a 4
√
162 − 108 2
3.
4.
5.
6 4
1 8 2
a b
9
6.
9a b − 2a b +
7.
21 − 12a 2
8.
7b − 7a + ab + 6a 2 − 2b2 − 5
9.
16
5
10.
9a 2 − 12ab + 4b2
2.
9a 2 − 12a 4 + 4a 6
√
147 − 36 5
3.
3m 2 − 5mn − 2n 2
√
2 3+6
4 6
1.
5.
6m 2 − 5mn − 6n 2
√
−3 5 − 8
6.
1 4 2
a b
16
7.
30 − 12a 2
8.
14b − 5a − 5ab + 6a 2 − 6b2 − 4
9.
4
5
4.
4
81a − 1
10.
− a 6 b4 + 4a 8 b6
16a 4 − 1
3.2 Herleiden
Serie A
Serie B
1.
(2x − 3)(2x + 3)(4x 2 + 9)
1.
(3x − 2)(3x + 2)(9x 2 + 4)
2.
3x 3 (x + 3)(x − 7)
2.
3x 2 (x − 1)(x − 4)
3.
(x − 1)(x + 1)(x 2 + 1)(x 4 + 1)(x 8 + 1)
3.
(x 3 − 2)(x 3 + 2)(x 6 + 4)
4.
(x 2 − 2)(x 2 + 3)
4.
(x 2 + 4)(x 2 − 5)
5.
(x − 2)(x − 17)
5.
(x − 2)(x − 19)
6.
(x + 2)(x − 17)
6.
(x + 2)(x − 19)
7.
(x − 1)
7.
2(x + 1)2
8.
(x − 1)(x + x 2 + 1)
8.
(x − 1)(x + x 2 − 1)
9.
(5x + 1)(x − 5)
9.
4(4x + 1)(x − 4)
10.
2
(x − 3)
3
2
10.
(x 5 + 4)2
59
15. Antwoorden
3.3 Herleiden
Serie A
Serie B
1.
(3x − 2)(x − 6)
1.
(3x − 5)(x − 3)
2.
(x + 2)(2x + 3)
2.
(x + 3)(2x + 3)
3.
(3x 2 − 2)(x 2 − 3)
3.
(3x 2 − 4)(x 2 − 3)
4.
(2x + 3)(5 − x)
4.
(x + 3)(7 − 2x)
5.
(2x − 3)(x + 1)
5.
2(x 2 + 2)(x − 1)(x + 1)
6.
(x − 1)(x − 4)(x + 1)
6.
(x − 1)(x − 8)(x + 1)
7.
(x − 3)(2x + 1)
7.
(x − 4)(3x 2 + 2)
8.
(x + 5)(x − 2)(x + 2)
8.
(x + 5)(3x 2 − 4)
9.
(2 − x)(3x 2 − 2)
9.
(2 − x)(2x 2 − 3)
10.
2
2
2
3
3
x(x − 3)(x + 5)
10.
x 2 (x 3 + 2)(x 3 − 6)
4.1 Rationale breuken
Serie A
Serie B
2x 2 +2x+3
(2x−1)(x+1)
√
2 x
2.
x−1
1.
3.
4x
(x−1)(x+3)
4.
−3x−3)
− 3(2x
(x−1)(x+3)
5.
3x−2
(x+1)(2x+3)
6.
2x−3
2(x−2)
x 2 +1
8.
(x+1)3
2.
√
2 2x
2x−9
3.
4x 2 +3x−6
(x 2 −3)(2x+3)
4.
3(2x 2 −x+2)
(x−1)(x+2)
5.
(x−2)(7x+4)
(x 2 +1)(2x+3)
6.
2x−3
2(x+3)
7.
7x
− (x−3)(2x+1)
8.
x 2 +1
(x−1)3
9.
2x+1
(x−1)(x+1)
2x 2 −x+1
(x−1)2 (x+1)
2x 2 +11x−3
10.
2x(x+3)
60
−2x−1)
− 2(2x
(2x−1)(x+1)
2
x+6
7.
(3−x 2 )(2x+1)
9.
2
1.
10.
x 2 −2x+6
x(x−3)
5.1 Goniometrie
Serie B
Serie A
1.
√
− 12 3
1.
2.
−1
2.
4.
√
− 12 3
√
1
3
2
5.
1
3.
6.
7.
4.
5.
−1
√
1
2
√
− 21 2
√
− 31 3
− 21
√
1
2
2
6. niet gedenieerd.
2
√
1
8.
−3 3
9.
− 12
10.
3.
− 21
1
2
8.
−2 3
√
− 3
√
− 21 3
9.
√
− 12 2
√
7.
10.
2
√
1
6.1 Goniometrische formules
1. We hebben:
sin(x − y) = sin(x + (−y)) = sin x cos(−y) + cos x sin(−y) = sin x cos y − cos x sin y
cos(x + y) = sin( 12 π − x − y) = sin(( 21 π − x) − y)
= sin( 12 π − x) cos y − cos( 12 π − x) sin y = cos x cos y − sin x sin y
cos(x − y) = cos(x + (−y)) = cos x cos(−y) − sin x sin(−y) = cos x cos y + sin x sin y
2. We hebben:
tan(x + y) =
sin(x + y)
sin x cos y + cos x sin y
=
cos(x + y)
cos x cos y − sin x sin y
(deel boven en onder door
=
cos x cos y )
tan x + tan y
1 − tan x tan y
tan(x − y) = tan(x + (−y)) =
tan x + tan(−y)
tan x − tan y
=
1 − tan x tan(−y)
1 + tan x tan y
61
15. Antwoorden
3. We hebben:
sin 2x = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos(x + x) = cos x cos x − sin x sin x = cos2 x − sin2 x =
= (1 − sin2 x) − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 cos2 x − 1
2 tan x
tan x + tan x
=
tan 2x = tan(x + x) =
1 − tan x tan x
1 − tan2 x
4. We hebben:
1
1
1
cos(x − π ) = cos x cos π + sin x sin π
6
6
6
Omdat
x
in het eerste kwadrant ligt is ook
cos x cos 16 π = sin x sin 61 π =
1
2
√
2·
1
2
√
sin x =
3+
1
2
√
1
2
√
2·
2.
1
2
=
1
4
√
6+
1
4
√
2
5. We hebben:
1
1
1√
1
3
⇒ = 1 − 2 sin2 x ⇒ sin2 x = ⇒ sin x = ±
3
3
3
3
√
sin x = 13 3
cos 2x = 1 − 2 sin2 x =
Omdat
x ∈ 12 π, π
geldt:
6. We hebben:
1
7
1√
16
7
=
⇒ tan2 x = ⇒ tan x = ±
2
cos x
9
9
3
√
x ∈ 0, 12 π geldt: tan x = 31 7 en dus
tan2 x + 1 =
Omdat
√
√
2 tan x
2
7
2 9√
tan 2x =
=
= ·
7=3 7
7
2
1 − tan x
31− 9
3 2
62
6.2 Goniometrische formules
Serie A
Serie B
1.
(2 cos x + 1) sin x
1.
2 sin x(sin x − cos x)
2.
2 sin x cos y
2.
(cos x − 1)(cos x + 1) = − sin2 x
3.
(1 − sin x)(1 + sin x) = cos2 x
3.
(cos x − 2 sin x) cos x
4.
sin x(sin x + 2 cos x)
4.
−2(sin x − 2)(sin x + 2)
5.
2(cos x − 1)(cos x + 1) = −2 sin2 x
5.
(sin x + 2)(sin x − 3)
6.
(sin x − 1)(sin x − 4)
6.
7.
8.
(cos x + 1)(6 − cos x)
p
√
1
2+ 2
2
2 sin x
8.
9.
(sin x + 2)(5 − sin x)
1 − cos x sin x p
√
1
2
−
2
2
9.
cos2 2x
1
10.
, − 12 en
2
2
7.
10.
−1, 1, − 21 π
of
1, −1, 21 π
63
15. Antwoorden
7.3 Dierentiëren
Serie A.
1.
2.
Serie B
30(1 − 2x)4
−
(x 2
− 1)
3
2
3.
6x(x 2 − 5)−2
4.
−27(3x − 1)−4
5.
4 ln 3 · 32x
4xe
7.
3x
ln(3x + 4) +
3x + 4
9.
1
x + x2
x 2 · 22x (2x ln 2 + 3)
10.
3 9x − 2
√
2
3x − 1
11.
1
x(ln x − 1)2
12.
e x (x 2 − x − 3)
13.
3(tan2 x)(tan2 x + 1)
14.
15.
64
2 ln x + 2 ln 3 + 2
2.
1 − ln x
x2
3.
cos 2x(sin 2x)− 2
4.
−3x(3x 2 + 1)− 2
5.
7(x − 1)−2
6.
−2 cos(4x + 16 π )
7.
2 ln x sin x − x ln2 x cos x
x sin2 x
8.
(x 2 + 1)− 2
9.
3(6x − 2)−1
x 2 −1
6.
8.
1.
1
2
sin 2x + 1
cos x
− 2
cos x − 1
1
3
3
10.
2 sin(2x)e− cos 2x
11.
−e−x
12.
4 ln3 x
x
13.
sin x(2 cos2 x − sin2 x)
14.
cos x − cos 2x
(1 − cos x)2
15.
sin x
sin2 x − 1
8.1 Primitiveren
Serie A
Serie B
1.
1
(2x
8
2.
− 13 (5 − x)3
3.
2
(3x
9
4.
− 16 (2x + 3)−3
5.
− 12 cos 2(x − 16 π )
√
2 x +3
6.
1 2
x
7.
2
8.
9.
10.
− 1)4
1.
1
(3x
12
2.
− 61 (8 − 2x)3
3.
1
(2x
3
− 3) 2
4.
1
(2x
8
− 1)−4
5.
6.
2 sin 21 (x − 13 π )
√
4 x −5
7.
1 3
x
3
8.
1
2
9.
x + tan x
3
− 4) 2
+ ln |x|
− cos x +
1 3x
e
3
tan x − x
− ln |x − 32 |
10.
+ 2)4
3
− ln |x|
sin 2x + 21 e2x
− ln |x − 23 |
9. Oefening graeken tekenen
f HxL
f HxL
f HxL
f HxL
9
8
7
f HxL
3
-2
f HxL = Hx + 2L4
A1
O
x
O
2
f HxL = Hx - 2L2 + 3
A2
-1
x
f HxL = 8 - x3
A3
2
x
-3
O
f HxL = x2 + 6 x + 9
A4
O
x
x
f HxL = 6 Hx + 1L5
A5
65
15. Antwoorden
f HxL
f HxL
f HxL
f HxL
f HxL
3
x
O
O
x
2
-2
O
3
1
x
x
O
1
f HxL = €€€€€
x
B1
B2
O
2
B3
x
4
4
f HxL = €€€€€€€€€€€€€€€€€€€€2€€
H2 - xL
3
f HxL = €€€€€2€€€
x
1
f HxL = 3 + €€€€€€€€€€€€€€€€
x-3
4
f HxL = €€€€€€€€€€€€€€€€
x-2
B4
B5
f HxL
f HxL
f HxL
f HxL
f HxL
3
1
f HxL = 2
1
x
O
x
O
f HxL = 3 + 2-x
x
C1
x
O
f HxL = 1 + 2
C2
1ã
x
O
C3
x
O
-1
f HxL = -1 + 3-x
x-2
f HxL = ã
C4
x-1
C5
f HxL
f HxL
f HxL
f HxL
f HxL
O
O
O
x
1
-2
-1
1
x
O
2
2
f HxL = logHx2 L
f HxL = logHx + 2L
f HxL = logHxL
D1
x
D2
O
1
f HxL = 2 lnHx - ãL
f HxL = 2 logHxL
D3
x
ã+1
ã
x
D4
D5
f HxL
f HxL
f HxL
4
2
f HxL
4
f HxL
2
O
O
f HxL =
!!!
x +2
E1
66
x
f HxL = 4 - 2
E2
4
!!!
x
x
O
-4
f HxL =
!!!!!!!!!!!
x+4 +2
E3
x
O
x
f HxL =
3
!!!
x
E4
-1
O
-1
6
!!!!!
x2 - 1
f HxL =
E5
1
x
f HxL
20
f HxL
f HxL
2
5
f HxL
2
f HxL
1
1
€€€€€
2
O
Π
€€€€€
3
O
2Π
€€€€€€€€€€
3
x
3
€€€€€
2
x
7
1
f HxL = 8 sinJ €€€€€ Π Hx - 1LN + 12
3
f HxL = 2 cosHΠ xL
F1
F2
10
x
1
O 1
-2
-1
f HxL = sinH3 xL
O
-10
4
x
Π
Π
€€€€€
3
Π
f HxL = 3 - 2 cosJ3 Jx - €€€€€ NN
3
O
F3
x
-4
1
f HxL = -3 sinJ €€€€€€€€€ Π Hx + 5LN - 1
10
F4
F5
10.1 Polynoomvergelijkingen
Serie A
1.
2.
Serie B
{x = −4}, {x = 12 }
{x = 1}, {x = −1}, {x =
√
{x = − 6}
√
4.
5.
{x = 0}, {x = 0}, {x = −3}, {x = 13}
6.
{x = 5}, {x = −4}, {x = 3}
7.
{x = 1}, {x = 2}, {x = 3}
8.
{x = 2}, {x = 13 }, {x = −2}
9.
{x = 2}, {x = − 12 }, {x = −2}
√
{x = 2}, {x = −2}, {x = 2},
√
{x = − 2}
10.
{x = −3}, {x = 23 }
2.
{x =
3.
{x = 0}, {x = 0}, {x = −2}, {x = 12}
4.
{x = 2}, {x = −2}
5.
{x = 0}, {x = 0}, {x = −3}, {x = 11}
6.
{x = 2}, {x = −1}, {x = −1}
7.
{x = −2}, {x = 23 }
8.
{x = −3}, {x = 3}, {x = 4}
9.
{x = −2}, {x = 3}, {x = 3}
10.
{x = 2}, {x = 31 }, {x = −1}
6},
{x = 0}, {x = 1}, {x = 6}
√
√
{x = 7}, {x = − 7}
3.
1.
√
√
6}, {x = − 6}
67
15. Antwoorden
10.2 Polynoomongelijkheden
Serie A
Serie B
1.
−5, 5
1.
4, ∞) ∪ (−∞, −4
2.
(−∞, 2 ∪ 4, ∞)
2.
− 34 , 43
3.
3 5
,
2 2
3.
(−∞, 53 ∪ 73 , ∞)
4.
(2, ∞) ∪ (−∞, −4)
4.
(3, ∞) ∪ −∞, −5)
5.
∅
5.
(−∞, 16 )
6.
(5, ∞) ∪ (−∞, −7)
6.
2, ∞) ∪ (−∞, −5
7.
{4} ∪ −2, 2
7.
−3, 3
8.
(−∞, 67 )
8.
(−1, 53 ) ∪ (3, ∞)
9.
{4} ∪ −6, 3
9.
{2} ∪ (−∞, 1 ∪ 3, ∞)
10.
1, 2
10.
−2, 0 ∪ 2, 3
10.3 Breukvergelijkingen
Serie A
1.
{x = −4}
2.
4.
{x = 0}, {x = −1}
√
√
{x = 2 + 1}, {x = 1 − 2}
√
√
{x = 3}, {x = − 3}
5.
{x = −1}, {x = 12 }
6.
{x = 1}, {x = 72 }
7.
{x = 1}, {x = 1}
8.
{x = − 59 }, {x = 3}
9.
{x = − 65 }, {x = − 12 }
3.
10.
68
{x = − 85 }, {x = 2}
Serie B
1.
{x = −2}, {x = 3}
2.
3.
{x = 3}
√
√
{x = 2 3 − 3}, {x = −2 3 − 3}
4.
{x = 23 }
5.
{x = − 23 }, {x = 2}
6.
{x = −2}, {x = 7}
7.
{x = −4}, {x = 3}
8.
{x = −10}, {x = 2}
9.
{x = 2}
10.
{x = −1}, {x = 1}, {x = 1}
10.4 Breukongelijkheden
Serie A
Serie B
1.
(−1, 5
1.
(3, 7) ∪ (−∞, −4)
2.
(−∞, −4) ∪ (7, ∞)
2.
(−3, 3)
3.
2
,2
3
3.
(2, ∞) ∪ (−∞, 1
4.
(−∞, −1) ∪ 5, ∞) ∪ 34 , 52 )
5.
−2, −1 ∪ (1, ∞) ∪ (−∞, −4)
6.
(−4, −1 ∪ 0, ∞)
7.
(4, 6) ∪ (−∞, −3) ∪ (13, ∞)
8.
( 13 , 2 ∪ (− 21 , 14
√
√
( 2, 2 ∪ −2, − 2)
∪ (3, ∞) ∪ (−∞, − 21 )
4.
(−∞, −2) ∪
5.
(2, 5 ∪ ( 21 , 1
6.
(0, 2 ∪ (3, ∞) ∪ (−∞, −3
7.
−1, 1) ∪ 2, ∞)
8.
(1, 2) ∪ (−∞, 0) ∪ (2, ∞)
9.
(1, 3) ∪ (9, ∞)
10.
(− 32 , ∞)
(2, 3) ∪ (0, 23 )
9.
10.
(4, 6) ∪ (−∞, −3) ∪ (13, ∞)
10.5 Exponentiële vergelijkingen
Serie B
Serie A
1.
{x = 5}
1.
{x = −1}
2.
{x =
1
}
2
2.
{x = − 14 }
3.
{x = 4}
3.
{x = −2}
4.
{x = 2}, {x = 3}
4.
{x = 1}, {x = 2}
5.
{x = 3}
5.
{x = 1}
6.
{x = 0}, {x = 4}
6.
{x = 1}, {x = 2}
7.
{x = 3}
7.
{x = 19 }
8.
{x = 2}
8.
{x = −4}
9.
{x = 1}, {x = 2}
9.
{x = 2}
10.
{x = 2}
10.
{x = ln 2}
69
15. Antwoorden
10.6 Exponentiële ongelijkheden
Serie A
Serie B
1.
(−1, ∞)
1.
1, ∞)
2.
1, ∞)
2.
1, ∞)
3.
(−∞, 2) ∪ (3, ∞)
3.
3
, 2)
2
4.
3
, ∞)
5
4.
− 25 , ∞)
5.
(−∞, 2 ∪ 3, ∞)
5.
(−∞, 0 ∪ (3, ∞)
6.
(−∞, 0) ∪ (1, ∞)
6.
(1, 2)
7.
(−∞, 2)
7.
(−∞, 3)
8.
(−∞, 1 ∪ 2, ∞)
8.
−∞, 0
9.
(−∞, 0) ∪ (1, ∞)
1
9. ( , ∞)
2
10.
(−∞, 0)
10.
(0, ∞)
10.7 Logaritmische vergelijkingen
Serie A
√
1.
{x = 32 }
{x = 5}
2.
{x = 3}
3.
{x = 1}, {x = 6}
3.
{x = e/(e2 − 1)}
4.
{x = 2}
4.
{x = 1}, {x = 4}
5.
{x = 3}
5.
{x = 2}
6.
√
√
{x = 10 − 10 2}, {x = 10 + 10 2}
6.
{x = 52 }
7.
{x = 5}
7.
{x = 7}
8.
{x = 199}
8.
{x = − 79 }
9.
{x = 100}, {x = 1000}
9.
{x = 10}, {x = 100}
1.
{x =
2.
10.
70
Serie B
2}
−3
{x = e},{x = e }
10.
{x = −3}
10.8 Logaritmische ongelijkheden
Serie A
Serie B
1.
(− 21 , 12
1.
−1, 0) ∪ (1, 2
2.
(−∞, −1) ∪ (4, ∞)
2.
−8, −6) ∪ (0, 2
3.
−3, −1) ∪ (5, 7
3.
−1, −1) ∪ (7, 9
4.
(0, e ) ∪ (e , ∞)
4.
(e−1 , e2 )
5.
(6, 9
5.
(2, 4)
6.
6.
(3, e + 3
7.
(−3, 0) ∪ (0, 3)
√
√
(−∞, e − e) ∪ (e + e, ∞)
7.
8.
(0, 13 ) ∪ (1, ∞)
(−∞, 32 )
8.
(−4, −3 ∪ (−1, ∞)
9.
(1, 2
9.
(3, 4)
10.
−2
2
(−∞, −6 ∪ 2, 6)
10.
(0, 1) ∪ (3, ∞)
71
15. Antwoorden
10.9 Goniometrische vergelijkingen
Serie A
Serie B
1.
{2kπ } ∪ { 13 π + 32 kπ}
1.
{2kπ} ∪ { 52 kπ}
2.
{ 13 kπ }
2.
{kπ } ∪ { 14 π + 21 kπ}
3.
{ 25 kπ } ∪ { 23 π + 2kπ }
3.
{ 32 kπ}
4.
{ 15 π + 25 kπ}
4.
{kπ } ∪ { 14 π + 21 kπ}
5.
{ 12 π + 2kπ}
5.
{ 83 π + 21 kπ }
6.
{kπ } ∪ { 14 π + kπ }
6.
{ 21 π + kπ } ∪ { 14 π + kπ }
7.
{kπ } ∪ { 16 π + kπ } ∪ { 56 π + kπ}
7.
{kπ }
8.
{ 12 π + kπ} ∪ { 14 π + 21 kπ }
8.
{ 61 π + 31 kπ }
9.
{ 13 π + kπ} ∪ { 23 π + kπ }
9.
{ 31 π + 32 kπ }
10.
{ 18 π + 12 kπ}
11.
{ 14 π + kπ} ∪ { 12 π + kπ }
7
12. { π
6
13.
+ 2kπ }
{kπ }
1
14. { π
4
1
15. { π
2
72
+ 2kπ} ∪
{ 11
kπ
6
+
1
kπ}
2
+ kπ} ∪
{ 14 π
+
1
kπ }
2
10.
{ 61 π + kπ } ∪ { 56 π + kπ }
11.
{ 61 π + 2kπ } ∪ { 65 π + 2kπ}
12.
{ 41 π + kπ } ∪ { 12 π + kπ }
13.
{ 41 π + kπ } ∪ { 12 π + kπ }
14.
{ 32 kπ}
15.
{ 43 π + kπ }
10.10 Wortelvergelijkingen
Serie A
Serie B
1.
{x = 6}
1.
{x = 12}
2.
{x = 13}
2.
{x = 7}
3.
{x = 3}, {x = 11}
3.
{x = 10}, {x = 2}
4.
{x = 9}
5.
{x = 4}
6.
7.
{x = 0}, {x = 6}
√
√
{x = 3}, {x = − 3}
8.
{x = 4}
9.
{x = 7}
10.
{ p = 2}
31
}
4
4.
{x =
5.
{x = 12}, {x = 0}
6.
7.
{x = −3}, {x = 1}, {x = −1}
√
√
{x = 2 3}, {x = −2 3}
8.
{x = 1}
9.
√
3
{ p = 4 − 2 2}
10.
{ p = −1}
10.11 Wortelongelijkheden
Serie A
Serie B
1.
9, ∞)
1.
3, 4) ∪ (4, ∞)
2.
−6, 30)
2.
3, 7)
3.
(−5, 0)
3.
(2, 4
4.
− 12 , 4
4.
4, 8
5.
(−∞, 38 ) ∪ ( 10
, ∞)
3
5.
(−∞, 2) ∪ (4, ∞)
6.
2, 5)
6.
(1, 3)
7.
4, ∞)
7.
5, ∞)
8.
7
, 64
2
9.
√
√
(− 5, −1) ∪ (1, 5)
4
8.
,4
3
9.
10.
(0, 1) ∪ (4, ∞)
−1, 3) ∪ (8, ∞)
10.
3, 4) ∪ ( 21
, ∞)
4
73
15. Antwoorden
11.1 Noemer wortelvrij maken (extra stof )
Serie A
Serie B
6.
√
2 3−3
√
√
1
3 − 13 6
3
√
5
3
6
√
2
3+1
3
√
2 6+5
√
√
1
2 + 13 3
2
7.
1
1.
2.
3.
4.
5.
8.
9.
10.
6.
√
− 41 5 − 54
√
√
1
1
2
−
6
2
2
√
1
5
10
√
√
3+ 2
√
7
2
−
10
3
3
√
√
4
2
3
+
5
17
17
7.
1
2
8.
6
49
9.
1
2
10.
2
3
1.
2.
3.
4.
5.
√
3−2 2
√
2+1
√
√
1
5
−
2
2−2
5
√
√
√
2+
11
49
3+
1
2
3−
3
4
√
5−
3
4
12 Breuksplitsen A (extra stof )
Serie A
1.
(x − 3)−1 − 2(2x − 1)−1
1.
2(2x + 1)−1 − (x + 3)−1
2.
1
(x
2
2.
1
(2x
6
3.
3(x − 3)−1 − (x − 1)−1
3.
(x + 1)−1 + 3(x − 3)−1
4.
1
(x
3
4.
6
(x
5
5.
2(x − 2)−1
5.
3(3 − x)−1
6.
2(x − 2)−1 + 4(x − 2)−2
6.
6(x − 3)−1 + 18(x − 3)−2
7.
1
(3x
3
7.
1
(2x
2
8.
2(x − 1)−1 + 1
8.
4(x − 2)−1 + 1
9.
2(x − 1)−1 + 2(x − 1)−2
9.
6(x − 3)−1 + 18(x − 3)−2
10.
74
Serie B
− 1)−1 − 12 (x + 1)−1
+ 1)−1 + 23 (x − 2)−1
− 1)−1 +
2
1 − 3(x + 1)
13
(3x
3
−2
− 1)−2
2
− 3)−1 − 16 (2x + 3)−1
+ 2)−1 + 59 (x − 3)−1
− 1)−1 + 92 (2x − 1)−2
−1
− 2(x + 1)
10.
1 − 6(x 2 + 3)−1
13 Breuksplitsen B(extra stof )
Serie A
1.
Serie B
6x − 5
1.
4x + 5
2.
2x + 9 + 9(2x − 1)−1
3.
x +7
4.
x 2 − 1 + (x 2 + 1)−1
5.
x 3 − 2x 2 + 4x − 8
6.
x −1
−1
2.
2x + 17 + 17(2x − 1)
3.
x −1
4.
x + 12 (x − 1)−1 + 12 (x + 1)−1
5.
x + x2 + x3 + 1
6.
−x − 3
7.
2x − 2 + 3(x − 1)−1
8.
x 2 − 2x + 1 = (x − 1)2
7.
2x + 5(x − 2)−1
9.
x − 2 + (7x − 10)/(x 2 − 4)
= x + (x − 2)−1 + 6(x + 2)−1 − 2
8.
x 2 − 4x − 3
9.
2x − 2 + (5x − 3)/(x 2 − 1)
10.
x 2 − 2x + (x 2 + 1)−1
10.
x 2 + 2x + (1 − 4x)/(x 2 + 1)
14 Cyclometrische functies (extra stof )
1. De graek van
y = sin x
y = x waarbij de beeldguur
1
1
domein − π, π kozen. Bij dat
2
2
kon gespiegeld worden in de lijn
een graek van een functie bleef als we voor
x
het
domein hadden we te maken met een graek die overal stijgend is.
Het moet geen probleem zijn dat dit ook geldt voor een graek die overal daalt. Dus
1
3
met een domein π, π zou de beeldguur ook een graek van een functie zijn.
2
2
Dit is met een grasche rekenmachine te controleren door voor de TI-83 in te voeren:
y1=sin(x)
en dan met
DrawInv y1
uit het Draw-menu te kijken naar de gespiegelde graek.
Datzelfde kun je gaan controleren voor
y = cos x
binnen
0, π .
2. Zie boven.
75
15. Antwoorden
14 Cyclometrische functies (extra stof )
Serie A
Serie B
1.
1
π
6
1.
1
π
3
2.
3
π
4
2.
− 41 π
3.
1
π
3
3.
− 31 π
4.
1
π
6
4.
1
π
3
5.
1
π
4
5.
0
6.
− 41 π
1
6. − π
2
7.
1
π
4
7.
1
π
4
8.
1
π
6
8.
1
π
6
9.
0
9.
0
10.
π
76
10.
− 21 π