Het SIR-model voor griep in Nederland

Het SIR-model voor griep in Nederland
S.P. van Noort
Universiteit Utrecht
Rijksinstituut voor de Volksgezondheid en Milieu
5 november 2003
Via wiskundige modellen kan de verspreiding van een besmettelijke ziekte, zoals griep, voorspeld
worden. Het meest gebruikte model hiervoor is het zogenaamde SIR-model, waarvan de basis hier
zal worden toegelicht.
1
Inleiding
Griep, officieel Influenza geheten, is een zeer besmettelijke ziekte. Een “besmettelijke ziekte” wil
zeggen dat een persoon die ziek is, tijdens een bepaalde periode van zijn ziek zijn besmettelijk is,
en de ziekte dan over kan dragen aan andere personen. Dit gebeurt bijvoorbeeld via zeer kleine
druppeltjes (aeresolen) die een ziek persoon uitademt. Een besmettelijke ziekte kan een epidemie
veroorzaken. In het begin van een epidemie, neemt het aantal zieken steeds sneller (exponentieel)
toe, omdat meer zieken, weer nog meer nieuwe zieken veroorzaken. Indien een persoon ziek is
geweest, en weer beter is geworden, is hij niet meer besmettelijk en kan hij ook niet meer opnieuw
besmet worden. Zo’n persoon is dan “immuun”. Als het aantal immune personen toeneemt, wordt
de kans dat een persoon die besmettelijk is een vatbaar persoon tegenkomt, steeds kleiner. Dit remt
de toename van nieuwe zieken, net zo lang tot de epidemie is uitgedoofd.
2
2.1
Het SIR-model
Vooraannames
We negeren in dit model dat er ook mensen sterven en geboren worden. Voor de korte tijdschaal
waarop een griep-epidemie plaatsvindt, een paar maanden, is dit een redelijke aanname. De populatiegrootte is dus constant, grootte N . Verder nemen we aan dat de contacten willekeurig
plaatsvinden. Ook nemen we aan dat een persoon die besmet wordt, onmiddelijk besmettelijk is.
1
Dit zijn zeer simplificerende aannamen, die niet goed overeenkomen met de werkelijkheid, maar
we zullen zien dat zo’n simpel model het al heel aardig doet.
Een persoon kan zich in drie verschillende toestanden bevinden. Hij kan vatbaar zijn, dat wil
zeggen dat als hij een persoon tegenkomt die besmettelijk is, en het virus wordt overgedragen, hij
ook daadwerkelijk besmet wordt. Het aantal vatbare personen wordt aangegeven door de letter S
(van susceptibles). Een persoon kan ook besmettelijk zijn. Dit wil zeggen dat deze persoon andere
vatbare personen kan besmetten. Het aantal besmettelijke personen wordt aangegeven door de
letter I (van infectious). Een persoon kan ook immuun zijn, dan besmet deze persoon geen andere
personen meer (dat wil nog niet zeggen dat hij daadwerkelijk beter is), maar hij kan ook niet meer
door andere personen besmet worden. Het aantal immune personen wordt aangegeven door de
letter R (van removed). Er zijn dus drie klassen individuën in dit model, S, I en R. Vandaar dat
dit een SIR-model wordt genoemd.
2.2 Parameters
Een besmettelijk persoon maakt gemiddeld β contacten per dag. Hierbij wordt een contact gezien
als het overdragen van het virus op een ander persoon. Indien er nu I besmettelijke personen op
een bepaalde dag zijn, maken deze tezamen βI contacten die tot besmetting kunnen leiden. Zo’n
contact leidt echter enkel tot een nieuw besmet persoon, indien de persoon met wie het contact
wordt gemaakt vatbaar is. De kans dat een contact met een vatbaar persoon is, is het aantal vatbare
personen gedeeld door het totaal aantal personen (S/N ). Het totaal aantal besmettingen wat op een
dag plaatsvindt is dus βIS/N . Dit is dus het aantal vatbare personen wat per dag besmet wordt.
Het aantal vatbare personen neemt dus af met dit aantal, in formulevorm:
S
dS
= −βI
dt
N
(1)
Personen die besmettelijk zijn, raken na een bepaalde tijd hun besmettelijkheid kwijt. Indien personen gemiddeld a dagen besmettelijk zijn, verliezen van alle besmettelijke personen er elke dag
ongeveer een deel α = 1/a hun besmettelijkheid. Er is dus een afname in het aantal besmettelijke personen per dag van αI. Het aantal immune personen neemt met dit aantal dus toe, in
formuleform:
dR
= αI
dt
(2)
Het aantal besmettelijke personen neemt nu toe met het aantal mensen dat besmet wordt en neemt
af met het aantal mensen dat hun besmettelijkheid verliest, in formulevorm:
dI
S
= βI − αI
dt
N
2
(3)
Optellen van deze drie vergelijkingen (1),(2) en (3) levert inderdaad op dat het totaal aantal personen (S + I + R) niet verandert.
3
Basis reproductie getal: R0
In een samenleving die enkel uit vatbare personen bestaat, dus S = N , zou één zieke β andere
personen per dag besmetten. Een persoon is gemiddeld a = α1 dagen ziek, dus het totaal aantal
personen wat door één besmettelijk persoon wordt besmet, is αβ . Dit wordt het basis reproductie
getal gemoemd, de zogenaamde R0 :
R0 =
β
α
(4)
4 Griep in Nederland
Voor de transmissie van griep kunnen voor Nederland de volgende parameters aangenomen worden. Het totale aantal personen in Nederland is ongeveer 16 miljoen, dus N = 16 · 106 . Aan het
begin van een griepseizoen, is ongeveer 50% van alle personen vatbaar, dus S = 8 · 106 . Bij het
begin van een griep-epidemie zijn er maar zeer weinig zieken, bijvoorbeeld 1 op de 10.000, dus
I = 1600. Hieruit volgt dat R = 8 · 106 . Een persoon die besmet wordt, is gemiddeld 5 dagen
besmettelijk, dus a = 5 dagen en α = 0, 2 per dag. Het gemiddeld aantal contacten per dag per
persoon welke tot een besmetting kunnen leiden is 0, 5, dus β = 0, 5 per dag. Met behulp van
formule (4) volgt dat R0 = β/α = 0, 5/0, 2 = 2, 5.
In figuur 1 staat een plaatje van het aantal besmettelijke personen tijdens een epidemie uitgezet
tegen de tijd, dat geldt voor het model van de differentiaalvergelijkingen (1)-(3), met bovenstaande
parameters.
5 Recurrente betrekkingen
Als we de tijd niet als een continue variabele beschouwen, maar in vaste stapjes opdelen, is het
systeem ook met behulp van recurrente betrekkingen te benaderen. Een persoon is a = α1 dagen
besmettelijk. Als we tijdstappen van a dagen nemen, dan besmet elk besmettelijk persoon tijdens
één tijdstap R0 NS personen. Aangezien één tijdstap precies de duur is van de besmettelijke periode,
worden ook alle besmettelijke personen immuun per tijdstap. Het SIR-model in formulevorm met
behulp van recurrente betrekkingen wordt dan:
3
griepgevallen per 10,000
100
80
60
40
20
tijd in dagen
50 100 150 200 250 300
Figuur 1: Aantal besmettelijke personen uitgezet tegen de tijd, volgens het differentiaalvergelijkingen model (1)-(3)
St−1
N
= St−1 − It
= Rt−1 + It−1
It = R0 It−1
St
Rt
(5)
(6)
(7)
Hierbij is It het aantal besmettelijke personen op tijdstip t, St het aantal vatbare personen op tijdstip
t, en Rt het aantal immune personen op tijdstip t.
In figuur 2 staat een plaatje van het aantal besmettelijke personen tijdens een epidemie uitgezet
tegen de tijd, dat geldt voor het model met de recurrente betrekkingen (5)-(7) en de parameters
aangenomen voor griep in Nederland.
4
griepgevallen per 10,000
100
80
60
40
20
50 100 150 200 250
tijd in dagen
Figuur 2: Aantal besmettelijke personen uitgezet tegen de tijd, volgens het recurrente betrekkingen
model (5)-(7)
5