Worteltrekken modulo een priemgetal

Worteltrekken modulo een priemgetal: van
klok tot cutting edge
Roland van der Veen
Modulorekenen
Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een
veelvoud van p verschillen.
Notatie: a = b mod p
Bijvoorbeeld: 11 = −1 mod 12
-1
0
1
-2
2
3
-3
4
-4
-5
6
5
Modulorekenen
Rekenen modulo een getal p lijkt sterk op gewoon
rekenen.
Het enige probleem is dat bijvoorbeeld voor p = 12
4 × 3 = 0 mod 12
Als p een priemgetal is treedt dit probleem niet op.
11
10
1
2
9
3
8
4
7
6
5
Kwadratische vergelijkingen
Kunnen we ook kwadratische vergelijkingen oplossen
modulo een priemgetal p?
Bijvoorbeeld voor p = 11
x 2 = −2
mod 11
x 2 = 5 mod 11
Is er een ABC-formule modulo p?
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Hoeveel oplossingen
Notatie (Legendre):
(
a
1
=
p
−1
zijn er van x 2 = a mod p?
(spreek uit: a op p)
als a een kwadraat is
als a geen kwadraat is
We hebben gezien dat
Maar
2
11
5
11
=1
= −1 zullen we zo zien.
mod p
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Voorbeeld: p = 11:
x
x2
mod 11
mod 11
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
5
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Voorbeeld: p = 11:
x
x2
mod 11
mod 11
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
1
2
3
4
5
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Voorbeeld: p = 11:
x
x2
mod 11
mod 11
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
1
2
4
3
4
5
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Voorbeeld: p = 11:
x
x2
mod 11
mod 11
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
1
2
4
3
-2
4
5
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Voorbeeld: p = 11:
x
x2
mod 11
mod 11
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
1
2
4
3
-2
4
5
5
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Voorbeeld: p = 11:
x
x2
mod 11
mod 11
-5
-4
-3
-2
-1
0
0
1
1
2
4
3
-2
4
5
5
3
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Voorbeeld: p = 11:
x
x2
mod 11
mod 11
-5
3
-4
5
-3
-2
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
-2
4
5
5
3
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Voorbeeld: p = 11:
x
x2
mod 11
mod 11
-5
3
-4
5
-3
-2
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
-2
4
5
Dus de kwadraten modulo 11 zijn 0, 1, 3, 4, 5 en −2.
Het getal 2 is dus geen kwadraat modulo 11:
2
met andere woorden
= −1
11
5
3
Welke getallen zijn kwadraten modulo p?
Kwadratische reciprociteit (Gauss)
Voor (oneven) priemgetallen p en q geldt:
p
q
p−1 q−1
= (−1) 2 2
q
p
Voorbeeld: p = 5 en q = 11.
p−1 q−1
Het rechterlid is (−1) 2 2 = 1
5 een kwadraat modulo 11 ⇔ 11 een kwadraat modulo 5.
Inderdaad 11 = 12 mod 5 en ook 5 = 42 mod 11
Voorbeeld kwadratische reciprociteit
p
q
q
p
= (−1)
p−1 q−1
2
2
Nog een voorbeeld:
p = 5 en q = 23333333333
Het rechterlid is 1 dus
5 een kwadraat modulo 23333333333 ⇔
23333333333 een kwadraat modulo 5.
Omdat 23333333333 = 3 mod 5 geen kwadraat is,
kan 5 ook geen kwadraat zijn modulo 23333333333
Bewijs van de Kwadratische reciprociteit
a
Stap 1 Leg een verband
met hogere machten modulo p
p
Stap 2 Herken deze machten in een mooi product m
Stap 3 Bereken m op een alternatieve manier
Stap 1: Kijk naar hogere machten
x mod 11
x 2 mod 11
-5 -4 -3 -2 -1 0
3 5 -2 4 1 0
1 2
1 4
3 4 5
-2 5 3
Stap 1: Kijk naar hogere machten
x mod 11
x 2 mod 11
x 3 mod 11
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
3 5 -2 4 1 0 1
-4 2 -5 3 -1 0 1
2 3 4 5
4 -2 5 3
-3 5 -2 4
Stap 1: Kijk naar hogere machten
x
x2
x3
x4
mod 11
mod 11
mod 11
mod 11
-5 -4 -3 -2 -1 0
3 5 -2 4 1 0
-4 2 -5 3 -1 0
-2 3 4 5 1 0
1 2 3 4 5
1 4 -2 5 3
1 -3 5 -2 4
1 5 4 3 -2
Stap 1: Kijk naar hogere machten
x
x2
x3
x4
x5
mod 11
mod 11
mod 11
mod 11
mod 11
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
3 5 -2 4 1 0 1 4 -2 5 3
-4 2 -5 3 -1 0 1 -3 5 -2 4
-2 3 4 5 1 0 1 5 4 3 -2
-1 -1 -1 1 -1 0 1 -1 1 1 1
Stap 1: Kijk naar hogere machten
x
x2
x3
x4
x5
mod 11
mod 11
mod 11
mod 11
mod 11
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
3 5 -2 4 1 0 1 4 -2 5 3
-4 2 -5 3 -1 0 1 -3 5 -2 4
-2 3 4 5 1 0 1 5 4 3 -2
-1 -1 -1 1 -1 0 1 -1 1 1 1
De laatste rij van de tabel bepaalt of een getal een
kwadraat is.
5
x =
x
11
mod 11
In het algemeen is dit de rij van de
p−1
-de
2
machten.
Stap 2: bewijs kwadratische reciprociteit
Voor het gemak nemen we steeds steeds p = 5 en q = 7.
p−1
= 2 en q−1
= 3.
2
2
We willen bewijzen dat:
5
7
= (−1)2×3
7
5
Volgens stap 1 is
5
3
mod 7
5 =
7
en
2
7 =
7
5
mod 5
Stap 2: Bewijs kwadratische reciprociteit
De machten 53 en 72 komen allebei voor in het product
17! =
1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11×12×13×14×15×16×17
Probeer dit product uit te rekenen modulo 5 en modulo 7
of liever het product:
m = 1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 8 × 9 × 11 × 12 × 13 × 16 × 17
7
5
Stap 2:
!
herkennen in m
Eerst modulo 5:
m=
1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 7 · 8 · 9 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17
7 · 14
6 · 7 · 8 · 9 = (5 + 1)(5 + 2)(5 + 3)(5 + 4)
11 · 12 · 13 · 14 = (10 + 1)(10 + 2)(10 + 3)(10 + 4)
Dus
(1 · 2 · 3 · 4)3 · 1 · 2
= 4!3
m=
2
1·2·7
7
5
mod 5
Stap 2:
5
7
!
herkennen in m
Resultaat:
m = 4!
3
7
5
mod 5
Net zo modulo 7 (verwissel rol van 7 en 5)
m = 6!
2
5
7
mod 7
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7
maken we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17.
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
-2
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
mod 5
-1 0 1
0
2
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
-2
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
mod 5
-1 0 1
1
0
2
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
-2
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
mod 5
-1 0 1
2
2
1
0
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
mod 5
-1 0 1
2
2
1
0
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
mod 5
-1 0 1
2
2
1
0
4
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
mod 5
-1 0 1
2
2
1
0
5
4
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
mod 5
-1 0 1
2
2
1
0
6
5
4
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
mod 5
-1 0 1
2
2
1
0
7
6
5
4
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
mod 5
-1 0 1
2
2
8
1
0
7
6
5
4
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
mod 5
-1 0 1
2
9
2
8
1
0
7
6
5
4
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
mod 5
-1 0 1
10
9
1
0
6
5
4
2
2
7
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-1
mod 5
0
1
10
9
2
2
8
1
0
7
6
5
4
11
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-1
mod 5
0
1
10
9
2
2
8
1
0
7
6
5
4
12
11
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-1
mod 5
0
1
10
9
2
2
8
1
0
13
7
6
5
4
12
11
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-1
mod 5
0
1
10
9
2
2
8
1
14
0
13
7
6
5
4
12
11
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-1
mod 5
0
1
10
9
8
14
2
2
15
0
13
1
7
6
5
4
12
11
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Om m op een andere manier berekenen modulo 5 en 7 maken
we eerst een tabel van de getallen 1 . . . 17. Van ieder getal
staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en verticaal zijn waarde
modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
13
mod 5
0
1
10
9
16
15 1
14 0
6
5
4
11
-1
2
2
7
12
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
13
mod 5
0
1
10
9
16
15 1
14 0
6
5
4
11
-1
2
17
2
7
12
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
13
mod 5
-1 0
1
10
9
16
15 1
14 0
-1
6
5
4
11
2
17
2
7
12
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
13
-2
mod 5
-1 0
1
10
9
16
15 1
14 0
-1
6
5
4
11
2
17
2
7
12
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
13
-2
mod 5
-1 0
1
10
9
16
15 1
14 0
-1
6
5
4
11
2
17
2
7
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
13
-2
mod 5
-1 0
1
10 -4
9
16
15 1
14 0
-1
6
5
4
11
2
17
2
7
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
13
-2
mod 5
-1 0
1
10 -4
9 -5 16
15 1
14 0
-1
6
5
4
11
2
17
2
7
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
13
-2
mod 5
-1 0
1
10 -4
9 -5 16
-6 15 1
14 0
-1
6
5
4
11
2
17
2
7
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
-7
13
-2
mod 5
-1 0
1
10 -4
9 -5 16
-6 15 1
14 0
-1
6
5
4
11
2
17
2
7
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
-7
13
-2
mod 5
-1 0
1
10 -4
9 -5 16
-6 15 1
14 0
-1
6
5
4
11
2
17
2
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
-7
13
-2
mod 5
-1 0
1
10 -4
9 -5 16
-6 15 1
14 0
-1
6
5 -9
4
11
2
17
2
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
-7
13
-2
mod 5
-1
0
1
10 -4
9
-5 16
-6 15 1
14 0
-1
6
5
-9
4 -10 11
2
17
2
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
8
-7
13
-2
mod 5
-1
0
-11 10
9
-5
-6 15
14
0
-1
5
4 -10
1
-4
16
1
6
-9
11
2
17
2
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-12
8
-7
13
-2
mod 5
-1
0
-11 10
9
-5
-6 15
14
0
-1
5
4 -10
1
-4
16
1
6
-9
11
2
17
2
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-12
8
-7
13
-2
mod 5
-1
0
-11 10
9
-5
-6 15
14
0
-1
5
4 -10
1
-4
16
1
6
-9
11
2
17
2
-13
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-12
8
-7
13
-2
mod 5
-1
0
1
-11 10 -4
9
-5 16
-6 15
1
14
0 -14
-1
6
5
-9
4 -10 11
2
17
2
-13
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-12
8
-7
13
-2
mod 5
-1
0
1
-11 10 -4
9
-5 16
-6 15
1
14
0 -14
-1 -15 6
5
-9
4 -10 11
2
17
2
-13
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-12
8
-7
13
-2
mod 5
-1
0
1
-11 10 -4
9
-5 16
-6 15
1
14
0 -14
-1 -15 6
-16 5
-9
4 -10 11
2
17
2
-13
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
Van ieder getal staat horizontaal zijn waarde modulo 5 en
verticaal zijn waarde modulo 7
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-12
8
-7
13
-2
-17
mod 5
-1
0
1
-11 10 -4
9
-5 16
-6 15
1
14
0 -14
-1 -15 6
-16 5
-9
4 -10 11
2
17
2
-13
7
-8
12
-3
We zien: ieder opvolgend getal staat een verder naar
rechts en een omhoog (op de torus!).
We vullen de tabel verder in met de negatieve getallen.
Min en plus zijn symmetrisch ten opzichte van 0.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-12
8
-7
13
-2
-17
mod 5
-1
0
1
-11 10 -4
9
-5 16
-6 15
1
14
0 -14
-1 -15
6
-16 5
-9
4 -10 11
2
17
2
-13
7
-8
12
-3
Op een minteken t na is m het product van de getallen in
rood.
Stap 3: Bereken m op een andere manier
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-12
8
-7
13
-2
-17
-1
-11
9
-6
14
-1
-16
4
mod 5
0
1
10 -4
-5 16
15
1
0 -14
-15
6
5
-9
-10 11
2
17
2
-13
7
-8
12
-3
Op een minteken t na is m het product van de getallen in
rood.
Berekenen modulo 5, elke kolom heeft dezelfde waarde
dus:
tm = 4!3 mod 5
Stap 3: Bereken m op een andere manier
m
o
d
7
3
2
1
0
-1
-2
-3
-2
3
-12
8
-7
13
-2
-17
mod 5
-1
0
1
-11 10 -4
9
-5 16
-6 15
1
14
0 -14
-1 -15
6
-16 5
-9
4 -10 11
2
17
2
-13
7
-8
12
-3
Op een minteken t na is m het product van de getallen in
rood.
Berekenen modulo 5, elke kolom heeft dezelfde waarde
dus:
tm = 4!3 mod 5
Berekenen modulo 7, elke rij heeft dezelfde waarde:
Conclusie (mod 5)
Combineer de berekeningen van m uit stap 2 en stap 3:
Eerst Modulo 5:
Stap 2:
7
3
m = 4!
mod 5
5
tm = 4!3
Dus t =
7
5
mod 5
Conclusie (mod 7)
Modulo 7:
m = 6!
2
5
7
tm = 6!2
Dus
5
7
7
5
mod 7
mod 7
= (−1)6
mod 7
Dit zijn mintekens dus de vergelijking geldt ook in het
algemeen (niet alleen mod 7).
We hebben nu de kwadratische reciprociteit bewezen:
7
5
= (−1)6
7
5
Conclusie
We hebben het bewijs gegeven voor p = 5 en q = 7.
Voor algemene p en q gaat het bewijs precies hetzelfde!
Stap 1 heet Eulers criterium en wordt bewezen met
behulp van het Euclidisch algorithme.
Stap 2 de berekening van m blijft vrijwel onveranderd.
Stap 3 Het argument met de torus in heet de Chinese
reststelling.
En verder?
Echt vinden van de wortel van x modulo p gaat met het
algoritme van Cipolla.
We hebben nu een idee van kwadratische vergelijkingen
modulo p.
Hoe zit het met hogere orde vergelijkingen modulo p ?
Deze vraag brengt ons middenin de moderne wiskunde.
Kwadratische reciprociteit is het eenvoudigste geval van
de zogenaamde Artin reciprociteit een belangrijk deel van
de moderne getaltheorie.
Vragen?