lineaire algebra

LINEAIRE ALGEBRA
QUIZ 1
1. De verzameling van alle koppels reële getallen met de optelling (x,y)+(x1,y1) = (x+x1,0)
en de scalaire vermenigvuldiging a(x,y) = (ax,ay) bepaalt een vectorruimte.
2. Als V = V1 + V2 + V3 , V1 doorsnede (V2 +V3 ) = {0} en V2 doorsnede V3 = {0} dan is de
som V = V1 + V2 + V3 direct.
3. Als S=span(v1 ,v2 ,v3 ,v4 ) en dim S = 3 dan vormt het drietal {v1 ,v2 ,v3 } altijd een vrij
deel.
4. De volgende verzameling van vectoren is lineair afhankelijk:
{[5, 2, -2], [2, 5, -5], [27, 15, -15]}
5. De volgende verzameling van vectoren is lineair afhankelijk:
{-4 - 2 x + 6 x² , -7 - x - 2 x² , 43 + 9 x - 2 x² + x³ }
6. Voor een idempotent homomorfisme T op V geldt dat Im(T) en N(T) complementaire
deelruimten zijn.
7. Zij L (<>0) een endomorfisme op R2 [x] gedefinieerd door:
x
L( p( x ) )
a
 p( t ) dt
0
x

b  p( x ) 

 x

Er bestaan waarden van de parameter a en b zo dat L een projectie is.
8. Er bestaan homomorfismen T : V -> W waarvoor dim(V)=8, dim(W)=6 en dim(N(T))=6.
9. Gegeven :
S = {A behorende tot R2x2 | ASo =So A}
T = {A behorende tot R2x2 | ATo =To A} met
1
So
1
a. Gevraagd : basis voor S
b. Gevraagd: dim(S)
0

1
0
To
0
1

0
c. Gevraagd: basis voor T
d. Gevraagd: dim(T)
e. Gevraagd: basis voor (S doorsnede T)
f. Gevraagd: dim (S doorsnede T)
g.Gevraagd: dim (S + T)
h. Gevraagd: basis voor (S + T)
10. De verzameling van alle veeltermen in Rn [t] die deelbaar zijn door een gegeven
polynoom p(t) van een graad m kleiner dan n vormt een deelruimte van Rn [t].
11. Als V1 en V2 twee deelruimten zijn van een vectorruimte V dan is het verschil V1 -V2 =
{v1 -v2 , v1 V1 en v2 V2 } altijd een deelruimte van V.
12. De deelverzameling W = {{x,y,z) in R3 : x^2+y^2-z^2+1 = 0} van R3 is een deelruimte
van R3 .
13. Als S=span(v1 ,v2 ,v3 ,v4 ) en dim S = 3 dan vormt het drietal {v1 ,v2 ,v3 } altijd een vrij
deel.
14. De verzameling vectoren uit de vectorruimte R [x] voor :
x + 2, 2 x + 4 + x² , x² + x - 3, x³ - x²
vormen :
vrij deel
voortbrengend deel
basis
geen van de 3 vorige
15. Als {v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 } een vrij deel is in een vectorruimte V met dim V = 6 dan vormt
voor elke vector v in V die verschillend is van v1 , ..., v5 de verzameling {v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ,v}
een basis van V.
16. Het spoor is een lineaire vorm op End(V).
17. Er bestaan homomorfismen van V -> W zo dat T(v) = 0w voor v <> 0v .
18. De unie van twee deelruimten van een vectorruimte V is altijd opnieuw een deelruimte.
19. De verzameling van alle vectoren van R3 van de vorm (a,b,c) met a+1=b+c vormt een
deelruimte van R3 .
20. De verzameling van de veeltermen van graad < of = n in de veranderlijke x die deelbaar
zijn door x+1 vormen een deelruimte van Rn [x] (n>1).
21. Als (v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ) lineair onafhankelijke vectoren van een vectorruimte V zijn dan kan
dim(span(v1 ,v2 ) +span(v4 ,v5 )) = 3.
22. Als {a,b,c} vrij is in een vectorruimte V dan is ook {u,v,w} een vrij deel, met:
u = 2 a + b + 2 c, v = -2 a - 2 b - c, w = 2 b - 2 c
23. Voor een homomorfisme T : V -> V definieren we de deelruimten (controleer zelf dat het
om deelruimten gaat):
Fix T = {v behorende tot V | T(v) = v} en So (T) = {v behorende tot V | T(v) = -v}.
Er geldt steeds V = Fix T (+) So (T). ((+) = directe som)
24. Voor elk stel verschillende basissen (e1 ,...,en ) en (f1 ,...,fn ) van een vectorruimte V en
voor elk n-tal vectoren (v1 ,...,vn ) van V bestaat er altijd een endomorfisme T waarvoor T(ei )
= vi en T(fi )=vi , i=1..n.
25. De verzameling van alle polynomen van R2 [x] van de vorm a+bx+cx2 met a=b=c vormt
een deelruimte van R2 [x]
26. Als V = W (+) W1 = W (+) W2 , ((+) = directe som), dim V = 3, dim W = 2 en dim(W1
doorsnede W2 ) > 0 dan is W1 = W2 .
27. De verzameling Z van de gehele getallen met de klassieke optelling over Z en de
vermenigvuldiging met rationale getallen als scalaire vermenigvuldiging bepaalt een
vectorruimte.
28. Als S={v1 ,v2 ,v3 ,v4 } een vrij deel vormt dan is het drietal {v1 ,v2 ,v3 } altijd een vrij deel.
29. Voor alle endomorfismen T op een vectorruimte V geldt dat V = N(T) + Im(T).
30. Als (e1 ,...,en ) een basis van de vectorruimte V is en (f1 ,...,fn ) een basis van de
vectorruimte W dan bestaat er een uniek isomorfisme T:V -> W waarvoor T(ei ) = fi , i=1..n.
31. Zij L een endomorfisme op R3 [x] gedefinieerd door:
x
L( p( x ) )2
 p( t ) dt

0
x
p( x )
a. Gevraagd: dimensie van N(L)
b. Gevraagd: dimensie van Im(L)
c. Gevraagd: tr(L)
32. Als V = V1 + V2 + V3 , V1 doorsnede V2 = {0}, V2 doorsnede V3 = {0} en V3 doorsnede
V1 = {0} dan is de som V = V1 + V2 + V3 direct.
33. De verzameling C van de complexe getallen z = x+iy met de klassieke complexe optelling
en de scalaire vermenigvuldiging az = ax+iay (a is reëel, K = R) bepaalt een vectorruimte.
34. Er bestaan vectoren a, b, c van een vectorruimte V zo dat voor de deelruimten V1
=span(a,b) en V2 =span(b,c) geldt dat dim(V1 +V2 ) = 2.
35. Beschouw de reële 2 x 2-matrices met de eigenschap dat de som van de nietdiagonaalelementen = de som van de diagonaalelementen.
Overtuig je er eerst van dat dit een deelruimte is van R(2x2)!
a. Gevraagd: Bepaal de dimensie van deze deelruimte
b. Gevraagd: Geef nu een basis van deze deelruimte.
c. Gevraagd: Bekijk nu de reële 2 x 2-matrices met de eigenschap dat de som van de
elementen op de eerste rij = de som van de elementen op de tweede rij. Ga opnieuw na
dat dit een deelruimte is en geef de dimensie.
d. Gevraagd: Geef een basis van deze deelruimte.
e. Gevraagd: Beschouw de doorsnede van beide voorgaande deelruimten en geef haar
dimensie !
f. Gevraagd: Geef een basis van deze deelruimte
g. Gevraagd: Geef tenslotte de dimensie van de som van de twee deelruimten !
OPLOSSINGEN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
vals
waar
vals
waar
vals
waar
vals
waar
9.a.
0

1
9.b.
2
9.c.
0

0
9.d.
2
9.e.
1

0
0

1
1
3
0

1
0

0
9.f.
9.g.
9.h.
10. waar
11. waar
12. vals
13. vals
14. vrij deel
15. vals
16. waar
17. waar
18. vals
19. vals
20. waar
21. vals
22. vals
23. vals
24. vals
25. waar
26. waar
27. vals
28. waar
29. vals
0

0
1

0
0

1
1

0
1

0
0

1
1

0
0

1
0

0
1

0
30. waar
31. a. 0
31. b. 4
31. c. 49/6
32. vals
33. waar
34. waar
35. a. 3
0

35. b.
1
1

2
 0 1  2

 
-1 0  1
1

0
1

0
0

1
0

0
1

1
0

0
0

0
1

1
1

1
0

0
35. c. 3
35. d.
35. e. 2
35. f.
35. g. 4
1

1