Tentamen Lineaire Structuren II, Vakcode 201100101.

Tentamen Lineaire Structuren
Datum :
Plaats :
Tijd
:
II,
Vakcode 201100101.
27 jaruari 2074
CR-2K
08.45-11.45
Alle antwoorden moeten gemotiveerd worden.
Een rekenmachine mag niet getlruikt worden.
7. ZljV
: {f
afbeelding
, [0,1] -+ R
T:V -+V
e(d)
(t)
:
l/(r) : a*btlce3t,a,b,ce
IR.] en definieer daarop de lineaire
p,(t) + p(o)r.
Hier betekent p' de afgeleide van p.
(a) Bepaal de karakteristieke polynoom van 7.
(b) Bepaal alle eigenvectoren van ?.
(c) Is 7 diagonaliseerbaar?
2. Zlj T en V zoals gegeven in opgave l. Zlj W de lineaire ruimte opgespannen door
f. Toon aan dat I4l ?-invariant is.
1 en
3. Beschouw de ruimte P2(lR) van rei:Ie polynomen van graad 2 of lager, met daarop het
inproduct
1r
U.s)
-/(o)g(o) Jo/
flt)s(t)dt.
(a) Toon aan dat dit inderdaad een inproduct is op Pz(R).
(b) Zij tr4/ de lineaire deelruimte van P2(lR.) opgespannen door {1, t}. Bepaal een orthonormale basis van
trV
(c) Bepaal, voor bovenstaand inproduct, de beste benadering in W van de tweegraads
polynoom t2.
z.o.z.
4. ZijPs(l_1,1])
de complexe vectorruimte van polynomen
lager. Beschouw ? : tre([-1,
("(/))
t]) + tre([-1,1])
p: [-r, r] -> c
van graad 9 of
gedefinieerd als
(t):n.f(-t), ,€ l-1,11.
Toon aan dat
i
en
b. Z\j T en I/ zoals
-i
eigenwaarden zijn van ?.
gegeven
in
opgave
4.
Op de ruimte V hebben we het (standaard)
inproduct
pt
U.s): I
It
flt)s(t)dt.
(a) Is 7 een unitaire afbeelding?
(b) Bepaal7..
(c) Heeft trg([-1,1]) een orthonormale basis van eigenvectoren van 7?
6. Beschouw de matrix
/ t 2 o\
A:[ :1 ; ; \
\-r 1z)
(a) Laat zien dat de karakteristieke polynoom gelijk is aan
(b) Bepaal de Jordan canonieke vorm J var, A.
(c) Bepaal een matrix Q zod'afig dat Q-r Aq : 1-
-(^ - q2Q-2)'
Puntenverdelingl
Som
a
b
C
1
6
Som
2
f)
7
5
rTotaal is 100. U krijgt 10 punten gratis
Som 3
Som
5
Som 6
t)
a
5
8
b
7
b
7
7
c
5
C
7
b
b
c
Som 4
a
a
8