Cursus%deeltjesfysica even$voorstellen…

Cursus%deeltjesfysica
Bijeenkomst 1 (5 maart 2014)
de speciale relativiteitstheorie
prof$Stan$Bentvelsen$en$prof$Jo$van$den$Brand$
Nikhef$+$Science$Park$105$+$1098$XG$Amsterdam$
[email protected][email protected]
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
1
even$voorstellen…
• prof$Jo$van$den$Brand$
– VU$Amsterdam$
– directeur$subatomic*physics*group*VU*
– programmaleider$VIRGO$
•zwaartekrachtgolven$bij$Pisa$
– achtergrond$bij$LHCb$en$HERA$
•CP$violatie$
• prof$Stan$Bentvelsen$
– UvA$Amsterdam$
– directeur$instituut*hoge*energie*fysica*UvA*
– werkzaam$bij$ATLAS$
•programmaleider$tijdens$ontdekking$
van$het$Higgs$deeltje$
– achtergrond$bij$LEP$en$HERA
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
2
Programma$cursus
• Bijeenkomsten$op$Nikhef$
–
–
–
–
–
–
Speciale%relativiteitstheorie%(woensdag%5%maart%2014)%
De$quantum$wereld$(woensdag$12$maart$2014)$
Elementaire$deeltjes$en$krachten$(maandag$24$maart$2014)$
Symmetrie$en$wisselwerkingen$(maandag$7$april$2014)$
Elementaire$deeltjes$en$kosmologie$(donderdag$17$april$2014)$
Projecten$en$NiNa$module$(donderdag$8$mei$2014)$
• Onderwerpen$per$avond$in$drie$delen:$
–
–
–
–
–
–
–
16:30$inloop%koffie%en%thee$$
16:45$start$eerste$sessie$ $
17:30$pauze$
$
17:45$start$tweede$sessie$ $
18:30$soep%en%broodjes$ $
19:15$start$derde$sessie$ $
20:15$+$20:30$einde%programma$
Materiaal beschikbaar bij
http://master.particles.nl/Docenten/
in pdf, powerpoint en keynote
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
3
Speciale$relativiteitstheorie
• Eerste$uur$
– basis$van$de$Speciale$Relativiteitstheorie$
•lichtsnelheid$+$gelijktijdigheid$+$tijdsdilatatie$
– Lorentz$transformaties$
•invariante$interval$+$optellen$van$snelheden$
• Tweede$uur$
– ruimte+tijd$$
•(ct,x)$diagrammen$+$causaliteit$+$tweelingparadox$+$$
– energie$en$impuls$
•doos$van$Einstein$+$branden$van$de$zon$
• Derde$uur$
– relativistische$impuls$
•invariante$massa$+$deeltjesproductie$
– deeltjesversnellers$&$kosmische$straling$
• principes$+$$stand$van$zaken$+$de$LHC
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
4
1$+$Speciale$Relativiteitstheorie
• Eerste$uur$
– basis$van$de$Speciale$Relativiteitstheorie$
•lichtsnelheid$+$gelijktijdigheid$+$tijdsdilatatie$
– Lorentz$transformaties$
•invariante$interval$+$optellen$van$snelheden
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
5
Relativiteitstheorie
• 1905:$Speciale$relativiteitstheorie$(SRT)$
– Nieuwe$opvattingen$over$begrip$ruimte$en$tijd,$en$E=mc2$
• 1915:$Algemene$relativiteitstheorie$(ART)$
–
–
–
–
Verdere$uitbreiding$van$het$relativiteit$principe$
Ook$van$toepassing$op$versnelde$beweging$en$gravitatie$
Fundamentele$verandering$zienswijze$heelal$
Ook$geheel$te$danken$aan$A.$Einstein$
!
• Toepassing$relativiteitstheorie$in$dagelijks$leven$minder$merkbaar$dan$
Quantum+Mechanica$
– Denk$aan$GPS$navigatiesysteem.$
– In$elementaire$deeltjes$fysica$onmisbaar.$Zonder$relativiteitstheorie$bijvoorbeeld$
geen$deeltjesversnellers$
– Kernfusie,$kernsplijting:$het$branden$van$de$zon.$
• Algemene$theorie:$gravitatie$bepaalt$de$kosmologie;$zwarte$gaten;$
uitdijend$heelal,$oerknal.
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
6
Einstein’s$publicatie$in$1905
• Motivatie$Einstein:$
– theorie$van$elektro+dynamica$
zoals$geformuleerd$door$
Maxwell$
!
!
!
!
!
!
!
– beschrijving$van$‚licht’$dat$door$
deze$vergelijkingen$wordt$
beschreven
7
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Geldigheid$domeinen$
?
?
QuantumF%
veldentheorie
Speciale%RelativiteitsF%
theorie
QuantumF%
mechanica
KlassiekeF%
mechanica
Elementaire deeltjes
Menselijke maat
lichtsnelheid
Snelheid
Grootte
• Klassieke)(Newton))mechanica)als)‘oude’)theorie.))
– Let$wel!$De$Klassieke$mechanica$is$niet$fout.$Het$beschrijft$mechanische$verschijnselen$om$ons$
heen$zeer$nauwkeurig.$
– Alleen$bij$zeer$hoge$snelheden$of$zeer$kleine$afstanden$vervangen$door$relativiteitstheorie$resp$
quantummechanica
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
8
De$Klassieke$Mechanica
• Wetenschappelijke$revolutie$van$de$‘gouden’$17e$eeuw$
– Klassieke$mechanica$geeft$kwantitatief$‘recept’$voor$de$
beschrijving$van$bewegende$objecten.$
•Ik$gooi$een$steen$omhoog$met$snelheid$van$10$m/s.$Hoe$hoog$
komt$de$steen?$
•Beschrijving$van$de$beweging$van$planeten$en$manen$in$het$
zonnestelsel.
‘Helden’(van(de(
klassieke(mechanica:
Galileo(Galilei,(
Isaac(Newton
9
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Ruimte$en$Tijd$voor$Newton
•Volgens$Newton$zijn$“tijd”$en$“ruimte”$‘absoluut’,$
dwz:$beschikbaar$vòòr$alle$andere$dingen.$
Deze begrippen
vormen voor
Newton het
‘kader’ van het
universum
• Newton$over$de$ruimte:$
•Ruimte$als$gegeven$‘toneel’$waarop$de$natuur$zijn$toneelstuk$brengt$
– “Absolute$space,$of$its$own$true$nature$without$reference$to$anything$
external,$always$remains$homogeneous$and$immovable”$$$
•Er$is$een$referentiesysteem$dat$de$voorkeur$verdient;$waarvoor$de$wetten$van$
de$mechanica$gelden.$$
•referentiesysteem$waarin$de$sterren$niet$bewegen$$
•Een$‘inertiaalsysteem’$is$een$stelsel$dat$verbonden$is$met$dit$‘voorkeurs’+systeem$
via$een$eenparig$constante$snelheid$
• Newton$over$tijd:$
• Tijd$als$‘klok’$van$het$heelal.$Doortikkend$met$ijzeren$regelmaat.$
– “Absolute,$true$and$mathematical$time,$of$itself,$and$from$its$own$nature,$
flows$equably$without$relation$to$anything$external”
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
10
Galilei$transformaties
• Bekijk$een$kogel$die$wordt$afgeschoten$
vanuit$een$rijdende$trein.$
– Wat$is$de$snelheid$van$de$kogel$t.o.v$de$rijdende$trein?$
– Uw$vriend$op$het$perron$die$de$trein$
voorbij$ziet$komen?$
• Stel$de$kogel$vliegt$met$snelheid$V’kogel$weg$tov$trein$$
– Relatie$tussen$de$snelheden$is$vanzelfsprekend:$
Vkogel=V’kogel+vtrein$
11
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Galilei+transformaties
•Indien$we$verschijnselen$in$een$plat$vlak$beschrijven$hebben$we$aan$twee$
coördinaten$genoeg:$2d$ruimte.$
• Beschouw$nu$twee$coördinaten+
stelsels,$die$tov$elkaar$eenparig$en
rechtlijnig$bewegen:$
– Stelsel$S$$(bv$perron)$en$S’$(bv$trein)$$
– Stel$dat$stelsel$S’$een$snelheid$v$heeft,
in$de$x+richting,$tov$stelsel$S.$
• Wat$is$de$relatie$tussen$de$coördinaten$S$en$S’?$
– Wel,$dit$is$eenvoudig:$
•x’$=$x+vt$
•y’$=$y$
•z’$=$z$
•t’$=$t$
Dit is de Galilei-transformatie
tussen twee coördinatensystemen
– We$hebben$S’$zo$gekozen$dat$op$t=0:$$$S$en$S’$vallen$samen
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
12
Principe$van$relativiteit
•De$wetten$van$de$mechanica$zijn$identiek$in$coördinatenstelsels$
S$en$S’,$waarbij$S’$zich$eenparig$rechtlijnig$tov$van$S$beweegt$
• Zie$de$drie$hoofdwetten$van$Newton:$
– Indien$een$lichaam$stil$staat$of$met$constante$snelheid$
voortbeweegt,$dan$blijft$het$in$rust$of$beweegt$met$constante$
snelheid$zolang$er$geen$uitwendige$kracht$op$werkt.$
– Een$uitwendige$kracht$op$een$lichaam$brengt$een$versnelling$
teweeg$gelijk$aan:$F=ma$
– De$acties$op$twee$lichamen$op$elkaar$zijn$gelijk$maar$
tegengesteld$$(actie=+reactie)$
• De$waarde$van$de$grootheden$in$de$natuurwetten$
kunnen$wel$degelijk$verschillen$in$stelsel$S$en$S’$
– $Bijvoorbeeld$verrichte$arbeid$FΔx$en$kinetische$energie$Ekin=½mv2$
13
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Principe$van$relativiteit
• De$grootte$van$je$snelheid$
kun$je$niet$voelen$
– Een$rijdende$trein,$of$sta$je$stil$
en$de$rest$van$de$wereld$beweegt?$
– Astronauten$in$het$ISS$voelen$niet$
dat$zij$met$29000$km/uur$
rond$de$aarde$razen$
• Alle$natuurwetten$(ook$die$van$de$mechanica)$zijn$
hetzelfde$in$coördinatenstelsels$met$een$constante$
snelheid$tov$elkaar.$$
– In$de$Klassieke$Mechanica$
wordt$dit$beschreven$door$de$
3$hoofdwetten$van$Newton
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Voor versnelde coördinatenstelsels heeft
Einstein de ‘Algemene
Relativiteitstheorie’ ontwikkeld
(Einstein 1915).
Gevolg: Zwarte gaten, Big Bang, etc!
14
Snelheid$van$het$licht
• Eind$19e$eeuw$stelt$Maxwell$de$theorie$
van$elektriciteit$en$magnetisme$op.$$
– Licht$(fotonen)$is$een$
continue$‘buiteling’$
Maxwell
(1831– 1879)
van$elektrische$en$
magnetische$velden$$
– Maxwell$vergelijkingen:$
de$lichtsnelheid$is$een$
natuurconstante,$onacankelijk$van$het$coördinatenstelsel!$
• Snelheid$van$het$licht,$c,$in$vacuüm$is$c=299792458$m/s$
– Ongeveer$300000$km/s$=$3i108$m/s$$
– We$hadden$gezien$dat$de$snelheid$
van$dingen$acankelijk$is$van$hoe$
je$observeert?
15
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Snelheid$van$het$licht
• Vragen:$
– Wat$golft$er$nu$eigenlijk?$
•Dit$is$de$‘ether’$
•De$‘ether’$werd$als$reëel$beschouwd$einde$19e$eeuw$
– Welk$coördinatenstelsel$heeft$de$voorkeur$om$de$natuur$te$
beschrijven?$
•Die$waarbij$het$medium,$de$ether,$in$rust$is$
•Vergelijk$de$voortplanting$van$het$geluid$door$de$lucht.$
•De$lichtsnelheid$is$c$ten$opzichte$van$dit$medium$
– Kunnen$we$de$ether$observeren?
Einstein: dit zijn de verkeerde vragen,
de ether bestaat gewoonweg niet
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
16
Elektromagnetisme$
• Kan$een$experiment$de$ether$zichtbaar$maken?$
•Omdat$de$aarde$om$de$zon$draait
kan$de$ether$nooit$altijd$met$de
aarde$meevoeren,$en$moet$er$een$
moment$zijn$waarop$er$een$‘etherwind’$is.$
– Experiment$van$Michelson$&$Morley:$
•Zichtbaar$maken$van$de$etherwind!$
• In$feite$een$culminatie$van$de$meting$van$lichtsnelheid:$
•Astronomisch:$Rømer$in$1676$in$samenwerking$met$Huygens$
– Via$eclips$van$Io,$een$maan$van$Jupiter$
– Met$schatting$van$de$grootte$van$het$planetenstelsel:$$c=220.000$km/s$
•Mechanisch:$Fizeau$lichtstraal$door$tandwiel$en$spiegel$8$km$
verderop$
– Snelheid$tandwiel$variëren$zdd$licht$net$niet$meer$door$zelfde$gat$terugkwam$
– Bepaling$c$=$313.000$km/s$
•Foucault$(1862)$met$een$ronddraaiende$spiegel:$c=298.000$km/s
17
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Metingen$van$de$ether
•Als$de$ruimte$is$gevuld$met$
de$ether,$vliegt$de$aarde$er$
met$snelheid$v$doorheen$
•Snelheid$waarmee$aarde$om
zon$draait:$v=30$km/s$
30 km/s
aarde
ether
• Meting$van$de$lichtsnelheid$op$aarde$
– Meet$snelheid$c+v$in$bewegingsrichting$aarde$tov$ether?$
– Praktisch$vrijwel$onmogelijk$in$praktijk$–$door$enorm$hoge$waarde$van$c$
• Gebruik$het$golsarakter$van$licht$
– Huygens$kende$al$de$interferentie$van$licht$
– Kleine$verschillen$in$snelheid$mogelijk$zichtbaar$
door$interferentie$$
– Gebruikt$worden$om$v$te$meten?
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
18
Michelson$&$Morley$interferometer
• Lichtstraal$mbv$halfdoorlatende$
spiegel$gesplitst:$
– Deel$1$neemt$route$‘NZ’$
– Deel$2$neemt$route$‘OW’$
– In$detector$komen$bundels$weer$samen$
en$vormen$een$interferentie$patroon$
• Gehele$opstelling$kan$worden$
geroteerd$
– NZ$bundel$wordt$OW$
– OW$bundel$wordt$NZ
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
19
Michelson$&$Morley:$resultaat
– Wat$blijkt:$het$interferentie$patroon$verschuift$niet$na$rotatie$
van$de$opstelling!$$
• Meest$beroemde$‘nulmeting’$in$de$natuurkunde$
(ca$1887)$
!
– Men$stond$perplex!$Wat$is$er$aan$de$hand?$
•Deze$experimenten$werden$steeds$nauwkeuriger$overgedaan$
•Steeds$weer$het$‘nulresultaat’.$
!
– Het$lijkt$alsof$de$ether$daarmee$niet$bestaat.$$
•Hoe$kan$de$lichtsnelheid$nu$hetzelfde$zijn$in$beide$richtingen?$
•Ad$hoc$theorieën:$e.g.$wordt$arm$interferometer$wellicht$korter$
in$een$richting?$(zoals$gesuggereerd$door$H.$Lorentz)
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
20
De$inbreng$van$Einstein
• Einstein$bracht$helderheid$in$de$situatie$
– Met$een$eenvoud$zoals$alleen$een$genie$doen$kan$
– Overtuiging$dat$er$een$relativiteit$principe$moest$bestaan$
zowel$voor$mechanica$als$voor$elektromagnetisme$
•Hiermee$wordt$Galilei$transformatie$overboord$gezet$
!
• Einstein$baseerde$zich$op$twee$postulaten:$
– Het%relativiteit%principe%
•Natuurwetten$in$referentiesysteem$zijn$onacankelijk$van$de$
translatie$beweging$van$het$systeem$
– Constantheid%van%de%lichtsnelheid%
•De$snelheid$van$het$licht$is$eindig$en$onacankelijk$van$de$
bewegingstoestand$van$de$lichtbron;$het$heeft$dezelfde$waarde$
in$ieder$inertiaalsysteem
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
21
Perplex$met$licht
• Sta$even$stil$bij$de$consequentie$hiervan$$
– Stel$u$ontsteekt$een$zaklantaarn$in$een$rijdende$trein.$
– De$snelheid$waarmee$het$licht$zich$beweegt$tov$de$zaklamp$is$
c,$dwz,$~300000$km/s.$
• Uw$vriend$bevind$zich$op$het$perron$en$ziet$de$
voorbijsnellende$trein.$Hij$kan$de$snelheid$van$het$licht$
uit$de$zaklamp$bepalen,$tov$het$perron:$
– Uw$vriend$op$het$perron$zal$dezelfde%snelheid%c$meten!$$
!
!
!
• Duidelijke$tegenspraak$met$de$Galilei+transformatie
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
22
Meting$van$de$tijd
Voor beschrijving van beweging moeten tijden op
verschillende locaties worden gesynchroniseerd:
• Hoe$synchroniseer$je$alle$klokken$(van$het$universum)?$
– Als$de$lichtsnelheid$oneindig$is,$dan$is$dat$geen$probleem:$
•Met$oneindige$precisie$zeggen$we$“NU”$om$t=0$te$bepalen$
– Maar$het$lichtsignaal$doet$er$even$over,$zijn$snelheid$is$eindig$:$
!
!
!
• Synchronisatie$van$klokken$A$en$B:$
– Snelheid$licht$van$A$naar$B$is$even$groot$als$die$van$B$naar$A$
– Recept:$
•Op$t=0$zendt$je$licht$uit$van$A.$Het$kaatst$bij$B$op$spiegel$terug$
•Op$t=t1$komt$het$licht$weer$aan$in$A$
– Moment$waarop$licht$in$B$aankomt:$moment$t=t1/2
23
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Synchronisatie$bewegende$systemen$
• Volgende$gedachten$experiment:$
– Neem$lange$trein$–$sta$in$het$midden$en$ontsteek$een$lampje$
!
A
B
!
!
– Het$duurt$een$tijdje$en$dan$komt$het$licht$aan$bij$de$voor+$en$
achterkant$van$de$trein$(A$en$B)$
– Licht$bereikt$voor+$en$achterkant$van$de$trein$tegelijkertijd$
!
A
B
!
• Het$licht$bereikt$A$en$B$gelijktijdig
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
24
Gelijktijdig,$of$niet?
• Nu$gaat$de$trein$rijden$en$bekijkt$uw$vriend$op$het$perron$
dit$alles:$
A
!
B
!
– In$de$tijd$dat$het$licht$nodig$heeft$om$de$uiteinden$te$bereiken,$is$
de$trein$een$stukje$opgeschoven.$
– De$lichtsnelheid$naar$links$en$naar$rechts$is$hetzelfde$(constant!)$
!
A
B
!
!
– Het$licht$bereikt$nu$uiteinde$A$eerder$dan$B!$
• Het$licht$bereikt$A$en$B$niet$gelijktijdig$voor$de$vriend$op$
perron.$
Synchronisatie niet mogelijk voor bewegende systemen!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
25
De$lichtklok
• Stel$u$maakt$een$klok$op$de$volgende$manier:$
– Lampje$en$spiegel$–$en$elke$keer$
dat$licht$heen$en$weer$gaat$een$
volgende$‘tik’$van$de$klok$
L0
!
!
!
– De$tijdsduur$Δτ$tussen$twee$‘tikken’:$$
!
– Deze$klok$geeft$uiterst$regelmatig$tikken.$
Hoewel$praktisch$gezien$het$maken$van$de$klok$best$lastig$is.$$
– Hiermee$wordt$de$voortgang$van$de$tijd$bekeken$
• Het$is$gemakkelijk$te$analyseren!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
26
De$lichtklok$op$de$trein
• Zet$nu$de$lichtklok$op$een$trein.$De$waarnemer$op$het$
perron$ziet$de$klok$tikken$met$snelheid$Δt$
!
!
!
B
L0
Snelheid,van,de,trein,v
A
!
C
!
!
– De$afstand$AB$wordt$gegeven$door$Pythagoras$
– $De$snelheid$van$het$licht$is$constant,$
en$de$totale$afstand$ABC$wordt$
afgelegd$in$een$tijd$cΔt
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
27
Tijds5uitrekking,(dilatatie)
• We$hebben$nu$een$vergelijking$
met$Δt,$die$kunnen$we$oplossen:$
– Voor$de$stilstaande$klok$
(in$de$trein$dus)$hadden$we$Δτ:$
!
!
– Hiermee$zijn$de$tikken$niet$
meer$gelijk$voor$de$man$in$de$
trein$en$de$vriend$op$het$perron:$
!
– De$man$op$het$perron$ziet$de$tijd$in$de$trein$anders$verlopen!$
• Gevolg$van$constante$lichtsnelheid…
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
28
Tijdsdilatatie
• We$hebben$nu$laten$zien$dat:$
•Δτ$:$‘stilstaande’$klok:$tijd$
$$$$$$$$$$in$de$trein$zelf$
•Δt$$:$Tijd$in$de$voorbijsnellende$trein,$gezien$vanaf$het$perron$
• Stel$een$ruimteschip$beweegt$met$een$snelheid$
v$=$0.8c$=$(4/5)c$
– Een$seconde$voor$een$reiziger$het$ruimteschip$
ziet$de$vriend$vanaf$de$aarde$als$$
!
!
• Man$op$aarde$ziet$alle$bewegingen$‘trager’$verlopen$in$
het$ruimteschip,$met$een$factor$1.66!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
29
Dilatatie
• Bij$lage$snelheden$is$het$effect$van$tijdsvertraging$klein$
– Voor$een$trein$met$v=100$km/uur$zijn$de$tijden$Δt$en$Δt’$hetzelfde$
tot$op$99.999994%$nauwkeurig$
– Toch$blijft$u$iets$jonger$in$de$
rijdende$trein$tov$de$thuisblijver!$
!
!
• Bij$snelheden$in$de$buurt$van$de$
lichtsnelheid$wordt$tijdsdilatatie$groot$
–
–
–
–
Lichtsnelheid$v=c$is$de$maximum$snelheid$
Tijd$kan$wel$langzamer$lopen,$maar$niet$terug+lopen$
Effect$in$elementaire$deeltjes$onmiskenbaar$
Voor$positie$bepaling$met$GPS$systeem$is$relativiteit$onmisbaar
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
30
Tijds+dilatatie
• Nog$een$paar$opmerkingen$nav$de$tijdsdilatatie:$
– Het$effect$van$tijdsdilatatie$is$wederzijds$
– Waarnemers$zijn$inwisselbaar$
• De$klokken$lopen$voor$elkaar$langzamer$
– Loop$nu$alleen$deze$‘merkwaardige’$lichtklok$langzamer?$
•Neen!$Alle$klokken$lopen$langzamer:$ook$je$hartslag,$bioritme,$etc$
– Stel$nl$dat$ze$wel$ongelijk$zouden$gaan$lopen:$$
•Neem$twee$ruimteschepen$D$en$E$die$tov$bewegen$$
•Stel$dat$je$twee$klokken$hebt$in$D:$een$is$de$lichtklok$en$de$andere$
een$‘gewone’$klok,$of$hartslag,$of$wat$ook$om$de$tijd$te$meten.$
– Als$D$stil$staat$tov$E$lopen$de$twee$klokken$gelijk$
– Als$D$beweegt$tov$E$lopen$de$klokken$uit$de$pas$
– Dit$is$duidelijke$tegenspraak$met$het$postulaat:$je$zou$je$
‘absolute$snelheid’$kunnen$bepalen$door$de$twee$klokken$te$
vergelijken!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
31
Afstand$tussen$twee$planeten
• Stel$twee$planeten$voor,$A$en$B$en$waarnemers$E$en$D$
!
!
!
!
!
– Waarnemer$E$staat$stil$tov$beide$planeten$(Stelsel$S)$
– Waarnemer$D$beweegt$met$snelheid$v$van$planeet$A$naar$B$
(Stelsel$S’)$
• Stel$je$bent$E$met$klok$en$ziet$D$langs$vliegen:$
– Je$ziet$de$klok$van$D$langzamer$lopen$volgens$
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
32
Lorentz$contractie
• E$ziet$D$langskomen$met$snelheid$v:$
– E$drukt$stopwatch$in$als$D$langs$planeet$A$komt$en$opnieuw$
als$D$langs$planeet$B$raast$
•Voor$E$heeft$de$klok$Nt$tikken$getikt$van$Δt$seconden$elk.$$
Nt =
T
t
– E$concludeert$dat$de$afstand$l$tussen$A$en$B$gelijk$is$aan$$
!
l = vNt t
• E$ziet$de$klok$in$D$langzamer$lopen$$
– observatie$dat$de$klok$in$D$een$kleiner$aantal$tikken$Nt’$heeft$
gemaakt$van$tijdsduur$Δt$
– Waarnemer$D$concludeert$dus$dat$
de$afstand$l’$tussen$A$en$B$gelijk$is$aan$
N
l
• Lorentz$contractie:$
l = vNt t = v
t
t=
– Voor$bewegende$waarnemer$is$lengte$korter!$
33
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Lorentz+contractie
• ‘Bewegende$objecten$worden$korter’$
– Lengte$contractie$vind$alleen$plaats$in$de$richting$van$de$
beweging$$
•Een$meetlat$wordt$korter$als$hij$beweegt$
•Maar$dit$geldt$niet$voor$lengten$
loodrecht$op$de$bewegingsrichting:$
lx
= lx /
ly
= ly
lz
= lz
– Ook$dit$kunnen$we$aantonen$met$een$gedachte$experiment$
•Twee$stukken$pijp$met$precies
dezelfde$diameter$
•Schiet$ze$op$elkaar$af.$Welke$pijp$
past$in$de$andere?$
– Als$ook$contractie$loodrecht$op$bewegingsrichting$plaatsvindt,$
krijg$je$een$tegenspraak!$
•In$ene$stelsel$gaat$stippels$in$groene,$vanuit$ander$stelsel$schuift$
groene$in$stippel
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
34
‘Invariant’$interval
• Een$ruimteschip$met$lichtklok$van$3m$hoog$beweegt$met$
snelheid$0.8c$tov$de$aarde$
– Tov$aarde:$Klok$tikt$anders,$maar$heeft$ook$een$afstand$afgelegd$
– Is$er$een$grootheid$invariant?$
!
!
!
• ‘Interval’$tussen$twee$
gebeurtenissen$
!
– Onacankelijk$van$de$beweging+
snelheid$van$de$klok!
35
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Invariante$ruimte+tijd$interval
• Ruimte+tijd$interval$krijgt$de$naam$‘s’:$
!
!
( s) = (c t)
2
2
( x)
2
eenheden
[c t] = [m]
– Dit$interval$is$invariant$in$elk$inertiaalsysteem$(eenparig$en$
rechtlijnige$beweging$tov$elkaar)$
• Je$kunt$dit$vergelijken$in$de$2d$ruimte$met$de$lengte:$
!
(! r)2 = ( x)2 + ( y)2
•Dit$interval$Δr$is$invariant$onder$rotaties$en$translaties$van$de$
Euclidische$ruimte$$
• We$komen$deze$invariant$‘s’$voortdurend$tegen
Vergeet nooit het ‚min-teken in de uitdrukking van Δs!
Dit zal grote gevolgen hebben; het definieert de ‚vlakke ruimte-tijd’.
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
36
Lorentz+transformaties
• Galilei$transformaties$in$Klassieke$Mechanica:$
– Transformatie$van$coördinaten$voor$verschillende$
inertiaalsystemen$
•Coordinaten$(x,y,z)$transformeren$naar$(x’,y’,z’)$
•Niet$in$overeenstemming$met$de$postlaten$van$de$speciale$
relativiteitstheorie$
• De$‘Lorentz+transformaties’$$vervangen$de$Galilei$
transformaties.$
•We$hebben$coördinaten$(ct,x)$in$stelsel$S$die$we$transformeren$
naar$coördinaten$(ct’x’)$in$stelsel$S’$
•Voor$coördinaten$y$en$z$zie$volgende$transparant.$
– Het$interval$‘s’$is$hetzelfde$voor$coördinaten$(ct,x)$en$(ct’,x’)$
s2 = (ct)2
!
x2 = (ct )2
x2
– De$transformaties$zijn$lineair$in$de$tijd$en$ruimte$$$
37
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Lorentz+transformaties:$resultaat
• De$coördinaten$y$en$z$staan$loodrecht$op$de$
y = y
bewegingsrichting$en$die$bleven$hetzelfde$$
z =z
in$elk$stelsel$
•We$gaan$er$altijd$van$uit$dat$de$bewegingsrichting$in$de$x+as$is$
•De$Lorentztransformaties$zijn$dus$‘triviaal’$voor$deze$
coördinaten.$
– De$tijd$coördinaat$ct$en$ruimte$coördinaat$x$worden$gemixt:
x
ct
=
=
x
vt
1
ct
v2
c2
vx/c
1
v2
c2
Lorentz>transforma;es
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
x
= x
y
= y
z
= z
t
= t
vt
Galilei(transforma;es
38
Nogmaals$Lorentztransformaties
• Beschrijven$tov$twee$bewegende$stelsels$
– Galilei$transformaties$
•Klassieke$mechanica$
•Vergelijk$beschrijving$vanuit$
trein$en$vanuit$het$perron$
•Gebruik$schrijfwijze$
Naar links bewegend coördinatenstelsel
!
– Lorentz$transformaties$$
•Enige$mogelijkheid$die$interval
s$‘invariant’$laat$
•Modificatie$van$Galilei$
bij$hoge$snelheden$
!
• ‘Mixen’$van$ruimte$en$tijd
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
39
Opdracht
• Laat$zien$dat$de$Lorentztransformaties
de$grootheid$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$invariant$laat.
Maw,$laat$zien$dat$geldt:
gebruik$de$definities:$
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
40
Optellen$van$snelheden
• Optellen$van$snelheden$
– Stel$trein$beweegt$met$snelheid$v1$
– Kogel$in$de$trein$beweegt$met$snelheid$v2
tov$de$trein$
• Wat$is$de$snelheid$van$de$kogel$tov$het$perron?$
– Klassiek:$$
!
– Met$Lorentz$transformaties$
!
!
– Hierdoor$kan$snelheid$niet$groter$worden$dan$c$
•Voorbeeld:$snelheid$licht$op$trein,$
bezien$vanaf$perron:$
41
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
‘Eigentijd’$en$‘eigenlengte’
• De$‘eigentijd’$τ$(Griekse$letter$tau):$
– Een$waarnemer$heeft$een$‘eigentijd’.$Tikken$van$de$klok$in$rust$tov$zichzelf.$
•Tov$alle$inertiaalsystemen$is$dit$de$‘snelst+lopende’$klok!$
!
– De$eigentijd$Δτ$tussen$twee$gebeurtenissen$is$het$tijdsinterval$zoals$
waargenomen$op$dezelfde$positie$
– (Δs)2$is$een$invariant,$en$heeft$dezelfde$waarde$voor$elk$stelsel.$
– Omgekeerd,$als$(Δs)2>0$dan$
2
2
2
x= y= z=0
( s) = c
=
c
( s)2
• De$‘eigenlengte’$λ$(Griekse$letter$lambda)$
– Twee$gebeurtenissen$die$gelijktijdig$plaatsvinden:$heet$de$eigenlengte$Δλ$
– In$dit$geval$is$(Δs)2$<$0$
2
2
2
2
( s) =
!
( x)
( y)
( z)
=
• Mogelijke$intervallen$
– (Δs)2$>$0$:$ “tijdachtig”$
we$kunnen$‘eigentijd’$definiëren$
– (Δs)2$=$0$:$ “lichtachtig”$
dit$is$het$pad$van$het$licht$
– (Δs)2$<$0$:$ “ruimteachtig”$
we$kunnen$‘eigenlengte’$definiëren
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
( s)2
42
Voorbeelden
⌅
1
1
2
⇥1+
2
2
voor
⇤0
• Stel$trein$gaat$met$100$km/uur$
– Dit$is$plm$30$m/s$
!
=⇤
1
!
1
v2
c2
=⇤
1 + 5 · 10
!
1
⇥2
30
300.000.000
1
15
= v/c
– Tijdsdilatatie$en$Lorentzcontractie$niet$merkbaar$
• Verval$van$een$muon$deeltje$
– ‘Muonen’$of$μ+deeltjes$zijn$ontdekt$in$1947$
•1.88353109$×$10+28$kg,$dit$is$plm$208$keer$zo$zwaar$als$de$elektron$
massa$
•Muon$deeltjes$kunnen$worden$gemaakt$bij$botsingen$tussen$
elementaire$deeltjes$
– En$vallen$vrijwel$ogenblikkelijk$weer$uit$elkaar
e + energie
µ
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
43
Muon$verval
• Uiteenvallen$van$muonen$volgens$$
•Hoeveelheid$vervallen$
evenredig$met$aantal$
muonen$
dN
!
•Oplossing$is$
!
dt
N (t)
= N
N (t) = N0 e
t
t(µs)
– Levensduur$τ$wanneer$1/e$van$muonen$over$zijn$
•De$levensduur$van$een$muon$is$2.2$microseconde$
– Dit$is$de$levensduur$voor$muonen$in$rust$ N (t) = N0 e
t/
!
• Het$‘tellen’$van$een$muonen$is$een$‘klok’!$$$
= 2.2 · 10
6
s = 2.2 µs
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
44
Muonen$tellen
• Muonen$in$buitenste$lagen$van$de$atmosfeer$
•Door$botsingen$van$kosmische$stralen$vanuit$het$heelal$
•Regenen$van$muonen$‘naar$beneden’$naar$het$aardoppervlakte$
•Meten$van$muonen$met$detectie+apparatuur$
– Eerst$boven$op$berg$en$daarna$op$zeeniveau:$
•Boven$op$de$berg$van$3$km$hoogte:$$1000$muonen$per$uur$
•Op$zee$niveau$met$zelfde$detector:$$$$$904$muonen$per$uur$
– Dit$is$niet$wat$je$(Klassiek)$verwacht!$Als$de$muonen$met$de$
lichtsnelheid$vliegen,$duurt$de$reis$van$3$km$in$totaal$10$μs,$dwz$4.5$
‘levensduren’$
•Je$verwacht$dan$plm$11$muonen$per$uur$te$meten$op$zeeniveau.$$
•Het$is$alsof$er$pas$0.1$levensduren$voorbij$zijn:$ e 0.1 0.904
– Verklaring$via$SRT$
0.9995
• Levensduur$is$met$factor$~45$groter$geworden$$ ⇥ 45 ⇥
• Klok$van$muonen$tikt$45x$langzamer$$
• Vanuit$muonen$is$$afstand$bergtop+zeeniveau$3000/45=66$meter$
– Dat$is$10%$van$cτ=660$meter
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
45
Melkwegstelsel
• Deeltjes$in$ons$melkwegstelsel:$$
– Melkwegstelsel$met$diameter$van$plm$105$lichtjaren$
•Ongeveer$factor$10+20$keer$zo$dun$
•1$lichtjaar$is$afstand$dat$licht$in$1$jaar$aflegt:$
365$x$24$x$3600$x$300000$km$=$1016$m$
– Er$zijn$deeltjes$in$ons$melkwegstelsel$waargenomen$met$een$
snelheid$van$β=0.99999999999999999995$=$1+0.5$10+20$
•Zodat$γ=7$109$
• Waarnemer$in$rust$tov$melkwegstelsel:$
•Het$duurt$105$jaar$voordat$deeltje$het$melkwegstelsel$is$doorkruist$
•Voor$deeltje$zelf$schiet$door$het$melkwegstelsel$heen$in$
105/(7$109)=$7.5$minuten$
– Oftewel,$door$Lorentz$contractie$is$lengte$van$melkwegstelsel$
voor$het$bewegend$deeltje$nog$maar$7.5$lichtminuten$
doorsnede
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
46
Speciale$relativiteitstheorie
• Tweede$uur$
– ruimte+tijd$$
•Minkowski$diagrammen$+$causaliteit$+$tweelingparadox$+$$
– energie$en$impuls$
•doos$van$Einstein$+$branden$van$de$zon
47
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Vier,dimensionale,ruimte
• Gebeurtenis,(“event”):,
– Een,waarneming,op,een,bepaalde,plaats,x,(x,y,z),en,bepaald,JjdsJp,t,
– Er,zijn,vier,coordinaten,nodig,om,de,gebeurtenis,vast,te,leggen,
– We,spreken,dan,van,een,vier5vector:,(ct,x,y,z),
,
• Flits,van,een,lamp:, ,
• Botsing,tussen,twee,auto’s:,
ct,x,y,z,
ct,x,y,z,
• Vierdimensionaal,coördinatensysteem,
– We,kunnen,net,als,in,een,35dimensionaal,systeem,,ook,een,
coördinatenstelsel,maken,voor,,vier5vectoren,
– Het,is,lasJg,een,vier5dimensionaal,
systeem,te,tekenen!,
– We,laten,in,de,prakJjk,de,
ruimte5coordinaten,y,en,z,vaak,weg,
– We,beschouwen,gebeurtenissen,in,de,
(ct,x),–,ruimte.,Dit,is,een,simplificaJe
,en,abstracJe!,
• Botsing,bij,kruising,om,12:30,hrs
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
(ct,x),coordinatenstelsels
• Een,serie,gebeurtenissen,in,het,
(ct,x),coördinatenstelsel,
– Neem,bijvoorbeeld,een,sJlstaande,auto,
• Auto,op,dezelfde,posiJe,voor,een,lange,Jjd,
• Veel,gebeurtenissen,(een,conJnue,stroom)
met,zelfde,waarde,van,x,
– Dit,wordt,een,‘wereldlijn’,genoemd,
• Het,laat,de,hele,geschiedenis,van,de,auto,zien.,
!
– Neem,nu,een,rijdende,auto,
• Deze,zal,van,posiJe,veranderen,
• Als,de,auto,een,constante,snelheid,hee\
is,de,verandering,constant
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
(ct,x),coördinatenstelsel
• Wereldlijnen,in,het,(ct,x),diagram,,
– Een,lichtstraal,maakt,een,hoek,van,45o,
!
!
!
!
– Een,bewegend,voorwerp,maakt,een
curve,in,het,(ct,x),diagram,
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
(ct,x),coördinatenstelsel
• Nog,een,paar,opmerkingen,over
het,stelsel,S:,
– Twee,gebeurtenissen,zijn,‘gelijkJjdig’,als
de,verbindingslijn,precies,horizontaal,is.,
– Alle,gebeurtenissen,op,horizontale,as,zijn
gelijkJjdig,
• De,x>as(is,de,as,waarvoor,alle,gebeurtenissen,Jjd,ct=0,hebben,
– Twee,gebeurtenissen,hebben,zelfde,locaJe,als,de,verbindingslijn,precies,
verJcaal,is,
– Alle,gebeurtenissen,op,verJcale,as,hebben,zelfde,posiJe,
• De,ct>as(is,de,as,waarvoor,all,gebeurtenissen,de,locaJe,x=0,hebben,
• Nog,eens,eenheden:,
– 1,meter,afstand,is,ongeveer,die,van,een,grote,stap,
– 1,meter,Jjd,[ct],,is,de,Jjdsduur,waarin,het,licht,1,meter,aflegt,
• Dit,is,verschrikkelijk,korte,Jjd,
• Tijdens,knipperen,van,je,oog,zijn,er,Jentallen,miljoenen,‘&jdmeters’-voorbij
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
(ct,x),coordinatenstelsels
• We,kunnen,diagrammen,voor,zowel,S,als,S’,maken,
– Stel,een,raket,vliegt,weg,met,snelheid,β=2/3.,,
– Na,3,jaar,hee\,hij,dus,een,afstand,van
2,lichtjaar,afgelegd,tov,de,achterblijvers,
• In,dit,stelsel,S,is,A,de,achterblijver,
en,gaat,B,op,reis.,
– Hoe,zit,dit,vanuit,het,ruststelsel,van,de
reiziger,B,eruit?,
= 2/3 , ⇥ 1.34
– Gebruik,de,LorentztransformaJes!
A:
3
0
⇥
, B:
A :⇥
ct
x
x
ct
B :⇥
ct
x
x
ct
⇥
⇥
3
2
⇥
=⇥
3
2
=⇥
5/3
0
⇥
⇥
⇥
⇥
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
⇥
4.02
2.68
⇥
2.23
0
Brief,uit,de,toekomst
• De,moraal,van,het,verhaal:,
– In,dit,verhaal,willen,we,duidelijk,maken,dat,de,snelheid,van,het,licht,de,
grootste,snelheid,is,waarmee,informaJe,kan,worden,overgedragen,
– Als,er,informaJe,sneller,wordt,overgedragen,,leidt,dit,tot,verwarring,van,
“oorzaak,en,gevolg”.,,
• Het,feit,dat,‘de,oorzaak’,eerder,plaatsvindt,dan,‘het,gevolg’,is,een,zeer,
fundamenteel,principe,in,de,natuurkunde.,ViolaJe,van,de,volgorde,van,
oorzaak,en,gevolg,wordt,nooit,geaccepteerd.,Het,zou,betekenen,dat,je,je,
eigen,ouders,kunt,ombrengen,voordat,je,geboren,bent.,
• Anne,en,Frank,zijn,vrienden,
– Anne,en,Frank,zijn,vrienden,en,wonen,in,op,aarde.,
– Stel,Frank,gaat,op,ruimtereis,met,een,ruimteschip,dat,een,snelheid,hee\,
van,β=0.6,
– Na,4,jaar,wachten,besluit,Anne,een,brief,aan,Frank,te,sturen,,met,een,
nieuw,type,raket,dat,met,snelheid,β=3,kan,reizen,
• Dit,moment,noemen,we,t=0
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Brief,uit,de,toekomst
• We,tekenen,het,verhaal,in,een,(ct,x),
coördinatenstelsel,
• Waarbij,de,reis,van,Frank,in,de,x5richJng
gaat.,
– Na,5,jaar,reizen,hee\,Frank,een,afstand,
van,3,lichtjaar,afgelegd,
– Na,vier,jaar,wachten,stuurt,Anne,
de,brief,weg,in,de,superraket,
• Dit,is,de,oorsprong,van,het,coördinaten5
stelsel,
– Na,1,jaar,nadat,de,brief,is,verstuurd,
ontvangt,Frank,de,brief,in,zijn,raket,
• Hoe,zit,dit,er,vanuit,het,ruststelsel
van,Frank,eruit?,
– Gebruik,de,LorentztransformaJes!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Brief,uit,de,toekomst
• TransformaJe,naar,stelsel,S’,
!
= 0.6 , ⇥ = 1.25
!
⇥
⇥
⇥
4
ct
!A : ct =
⇥ A :
=
x
0
x
!
⇥
⇥
⇥
ct
0
ct
B
B :
=
!: x = 0
x
⇥
⇥
⇥
!
ct
1
ct
C:
=
⇥ C :
=
x
3
x
!
• Wat,zien,we,hier?,
5
3
0
0
1
3
⇥
⇥
⇥
– Frank,bereikt,punt,C,eerder,dan,de,brief,is,verstuurd!,In,zijn,
referenJesysteem,komt,de,brief,eerder,aan,dan,hij,is,verstuurd!,
– Voor,Frank,komt,er,een,brief,‘uit,de,toekomst’,naar,hem,toe,
– Dit,is,onmogelijk,,en,in,dit,verhaal,het,gevolg,van,het,gegeven,dat,de,brief,
met,snelheid,β=3,werd,verstuurd.
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Lichtsnelheid,is,maximale,snelheid
•
•
Stel,dat,Anne,helemaal,geen,vriend,van,Frank,is,,en,de,brief,is,een,bombrief.,
Dat,is,de,brief,eerder,ontplo\,dan,de,ontsteking,is,afgesteld.,
•
Verwarring,oorzaak,en,gevolg!!,
• Geen,informaJe,kan,sneller,worden,overgebracht,dan,de,
snelheid,van,het,licht,
– Dwz,β=1,is,de,maximale,snelheid.,
!
• Er,zijn,wel,dingen,die,sneller,gaan,dan,het,licht,,maar,er,wordt,
dan,geen,informaJe,overgebracht,
– Bv,de,lichtvlek,van,een,vuurtoren,(of
zaklamp),beweegt,met,een,snelheid,
β>1,op,een,muur,die,heel,ver,weg,staat,
– Er,wordt,geen,informaJe,overgedragen!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Ruimte5Jjd,diagrammen*
• We,laten,nu,de,relaJviteit,van,
gelijkJjdigheid,zien,in,een,(ct,x),diagram,
– Neem,twee,gebeurtenissen,P,en,Q,in,
het,(ct,x),diagram,die,gelijkJjdig,plaatsvinden,
!
!
– Denk,hierbij,aan,de,kop5,en,staart,van
een,trein,,en,er,wordt,in,het,midden,licht
afstraalt,en,komt,gelijkJjdig,aan,in,P,en,Q,
!
– Beschouw,nu,dezelfde,punten,vanuit,een
systeem,S’,dat,beweegt,met,snelheid,β,
• De,trein,hee\,snelheid,maar,lichtsnelheid
is,een,constante,
• Licht,bereikt,voor5,en,achterkant,in,gebeurte5
nissen,P’,en,Q’,
– P’,en,Q’,zijn,gelijkJjdig,in,S’
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Minkowski5diagrammen*
• Voor,stelsel,S’,
– Gebeurtenissen,op,dezelfde,plaats
definiëren,de,ct’5assen,
– GelijkJjdige,gebeurtenissen,definiëren
de,,x’5as,
• Net,als,de,definiJes,van,x5as,en,ct5as
in,stelsel,S,
• Voor,een,stelsel,S’,met,snelheid,β:,
– Definieer,in,het,(ct,x),stelsel,nieuwe,assen,(ct’,x’),voor,stelsel,S’,
– De,vergelijking,van,deze,assen,
x = ⇥(x
ct)
kun,je,verkrijgen,met,de,LT’s:
ct
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
= ⇥(ct
x)
Minkowski5diagrammen*
• Wat,is,de,x’5as?,
– Daar,waar,ct’=0:,
!0 = ⇥(ct
!
α
x) ⇥ ct = x
– Dit,is,een,as,door,de,
oorsprong,met,hoek,α:,
tan
=
⇥x
=⇥
x
!
• Wat,is,de,ct’5as?,
– Daar,waar,x’=0:, 0 = ⇥(x
!
– Dit,is,een,as,door,de,
oorsprong,met,hoek,ρ,
– Dit,is,hoek,met,ct5as:
ct) ⇥ ct =
tan ⇥ =
tan
=
1
x
1
x
=⇥
1/⇥x
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Minkowski5diagrammen*
• Overgang,van,S,naar,S’,
– “rotaJe”,over,hoek,α,,waarbij,tanα=β,
– Dit,is,geen,gewone,rotaJe,,dit,is,een,rotaJe,in,‘Minkowski,ruimte’,–,
o\ewel,ruimte5Jjd,
!
!
!
!
!
!
!
!
– Vergelijk,dit,met,een,normale,rotaJe,in,3,dimensies
x
=
+x cos + y sin
y
=
x cos + y sin
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
1
x = ct
Minkowski5ruimten*
• Minkowski,ruimte5Jjd,
– Door,objecten,te,roteren,in,3d,ruimte,kunnen,we,ze,van,alle,kanten,
bekijken,
• Breedte,en,hoogte,verliezen,hun,absolute,betekenis,in,de,3d,ruimte,met,
rotaJes,,want,ze,gaan,in,elkaar,over.,
• Maw:,we,kunnen,om,objecten,heen,lopen,en,zien,dan,steeds,een,andere,
projecJe,op,ons,netvlies,
– In,ruimte5Jjd,hee\,het,object,een,‘grotere,werkelijkheid’,
• Niet5intuïJef:,ons,brein,berekent,niet,steeds,opnieuw,in,ruimte5Jjd,
!x
!
ct
!
=
⇥x
=
⇥ct
⇥ x + ⇥ct
– LorentztransformaJes,zijn,ook,een,soort,‘rotaJe’,
• En,laat,ruimte,en,Jjd,in,elkaar,overgaan,
• Maar,let,op!,De,ruimte5Jjd,rotaJes,zijn,echt,anders,en,gedragen,zich,niet,als,
Euclidische,ruimte.,We,zullen,steeds,analogieën,maken
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Eenheidscircel*
• RotaJe,in,een,Euclidische
ruimte:, ,
!x = x cos + y sin
!y =
x sin + y cos
!
– De,geroteerde,eenheidsvectoren
liggen,op,de,eenheids,cirkel:,
!2
!r
= x2 + y 2
– Als,funcJe,van,y,is,de,eenheid:,
!
!y
=±
1
x2
– Maw,,de,grootheid,r2,is,invariant,onder,de,rotaJes,
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Eenheids5hyperbool*
ct
• In,twee,stelsels,S,en,S’
is,de,grootheid,s2,invariant,
! s2 = c2 t2 x2
x
– Hiermee,komen,onder
‘rotaJe’,onder,hoek,α,de,assen
op,de,hyperbool,te,liggen,
!
ct = ±
!
!
• Hyperbool:,
1 + x2
– Een,hyperbool,is,in,de,meetkunde,een,tweedimensionale,
figuur,,een,kegelsnede,,die,wordt,gevormd,door,de,
snijlijnen,van,een,kegel,en,een,vlak,dat,beide,hel\en,van,
de,kegel,snijdt.,Een,hyperbool,bestaat,daarom,uit,twee,
takken,,de,snijlijnen,met,de,beide,delen,van,de,kegel.
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
LorentzcontracJe*
ct
ct’
• LorentzcontracJe,in,Minkowski5
ruimten,
– In,stelsel,S’,wordt,afstand,OB’,
gemeten,
• GelijkJjdig,in,stelsel,S’,dus
OB’,ligt,op,de,x’5as,
– Deze,afstand,is,gelijkJjdig
gemeten,in,S,op,de,lijn,OB,
• Lijn,OB,ligt,langs,de,x5as,
• Natuurlijk,wel,op,dezelfde,posiJe,in,S’,
– Conclusie:,vanuit,S’,is,de,bewegende,lat,in,S,korter,
• Dit,is,de,LorentzcontracJe
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
x’
B’
B
x
LorentzcontracJe*
ct
• LorentzcontracJe,in,Minkowski5
ruimten,
ct’
B’
x’
– Nu,gaan,we,vanuit,S,redeneren:,
• GelijkJjdig,in,stelsel,S,dus
OB,ligt,op,de,x5as,
B
x
– Deze,afstand,is,gelijkJjdig
gemeten,in,S’,op,de,lijn,OB’,
• Lijn,OB,ligt,langs,de,x’5as,
• Natuurlijk,wel,op,dezelfde,posiJe,in,S,
– Maar,je,ziet,dat,de,‘eenheidshyperbool’,rechts,ligt,van,B’,
• De,afstand,OB’,representeert,dus,een,lengte,die,korter,is,dan,de,‘eenheid’,
• Terwijl,de,afstand,OB,wel,degelijk,de,eenheidsafstand,representeert.,
– Conclusie:,vanuit,S,is,de,lengte,van,de,bewegende,lat,in,S’,korter
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Reis,naar,de,ster,C
• We,gaan,een,denkbeeldige,reis,maken,(tweelingparadox),
– Vanaf,de,aarde,staat,een,ster,op,een,afstand,van,99,lichtjaren.,Dit,is,ster,C.,
– Met,een,science,ficJon,raket,krijgt,een,astronaut,de,volgende,opdracht:,
• Reis,naar,ster,C,,maak,daar,een,foto,van,de,ster,,en,kom,terug,op,aarde,om,de,
foto,te,laten,zien,
– Merk,op,dat,zonder,SRT:,
• Onmogelijke,opdracht;,dit,gaat,jaren,duren,,minimaal,2*99,jaar,(heen5,en,terug).,
Zo,lang,leven,we,niet.,
– Maar,de,science,ficJon,raket,kan,zeer,hoge,snelheden,bereiken,,en,we,
hebben,toch,JjdsdilataJe?,
• Gegeven:,
– De,raket,R,kan,snelheid,van,β=99/101,ten,opzichte,van,de,aarde,halen.,
• Met,deze,snelheid,duurt,de,trip,naar,de,ster,,bezien,vanaf,de,aarde,,
99/β=101,jaar,
– Tweelingbroer,en,–zus,Anne,en,Robert,
• Anne,blij\,op,de,aarde,achter,,en,Robert,maakt,de,reis,in,de,raket
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Reis,naar,ster,C
• Hoe,lang,duurt,de,reis,voor,Robert,om,op,ster,C,aan,te,komen?,
– Gegeven,
!
!
• Dus,Robert,als,hij,bij,ster,C,aankomt:,
– In,ruststelsel,A,(bewegend,stelsel,R),geldt,Jjds5dilataJe,
!
tA =
tR
tR =
tR
=
101
= 20 jaar
5.05
!
• Dus,Robert,is,20,jaar,ouder,als,hij,op,ster,C,aankomt.,
– Een,andere,manier,om,hieraan,te,komen,is,door,ruimte5Jjd,interval,tussen,
vertrek,en,aankomst,van,Robert,te,bepalen,vanuit,de,Aarde:,
! c2
2
= c2 t2
x2 = (101)2
(99)2 = 400 = (20)2 lichtjaar2
– Deze,grootheid,is,invariant,,dus,hee\,zelfde,waarde,vanuit,Raket,
• En,in,raket,is,ΔxR=0,,en,
c2 t2A
x2A = c2 t2R ,
tR = 20 jaar
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Reis,naar,ster,C
• Reisplan,van,Robert:,
– Robert,vertrek,in,raket,naar,ster,C,en,komt,in,20,jaar,aan.,Hij,neemt,een,
foto,van,de,ster,en,keert,om,,en,gaat,in,20,jaar,weer,terug,
– Robert,hee\,dus,in,40,jaar,de,foto,genomen,en,is,weer,terug,op,aarde,
• Opmerkingen,
– Bij,terugkomst,is,de,‘aardse,Jjd’,toegenomen,met,202,jaar,
– Robert,ontmoet,dus,zijn,achter5achter,kleinkinderen,
• Reizen,in,de,Jjd,
– Met,een,zeer,snelle,raket,door,het,heelal,kun,je,naar,de,‘toekomst’,reizen.,
– Dit,is,niet,omkeerbaar.,Je,kunt,nooit,terug,in,de,Jjd,reizen
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Tweelingparadox
• Hieruit,zien,we,duidelijk,de,tweeparadox,
– We,kunnen,ook,stelsel,R,(raket,van,Robert),als,sJlstaand,beschouwen,en,
stelsel,A,(de,aarde),als,bewegend,
– In,dit,geval,lopen,de,klokken,in,A,dus,langzamer,dan,die,van,R,
• Immers,de,waarnemers,zien,van,elkaar,dat,de,ander,zijn,klok,achter,gaat,
lopen,
– Bezien,vanuit,R,,die,de,reis,naar,C,in,20,jaar,maakt,,is,de,Jjd,in,A,
verstreken,met,
20
!
tR =
tA =
tA ,
5.05
= 3.96 jaar
– Dus,vanuit,R,bezien,wordt,Robert,in,de,raket,ouder,dan,tweelingzus,Anne,
• Als,Robert,na,20,jaar,op,de,ster,C,aankomt,is,zijn,zus,slechts,3.96,jaar,ouder.,
• Fameuze,tweelingparadox:,
– Als,Robert,weer,terug,op,aarde,is,,wie,is,er,dan,ouder:,Robert,of,Anne?,
– Is,dit,een,onmogelijke,situaJe?
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Oplossing,tweelingparadox
• Oplossing,van,deze,paradox:,
– Robert,keert,om,bij,ster,C,,en,Anne,keert,nergens,‘om’,
– Robert,hee\,daarmee,een,langere,weg,afgelegd,,grotere,waarde,Δx,
– Vergelijk,weer,
2
2
2
2
2
!
c
=c
t
• Deze,‘eigenJjd’,is,hetzelfde,in,elk,stelsel,S,
• Voor,sJlstaande,waarnemer,geldt:,
c2
• Voor,bewegende,waarnemer,geldt:,, c2
x
= c2 t2
2
= c2 t2
2
x2
• Door,het,‘min’5teken,in,het,invariante,interval:,
– EigenJjd,wordt,het,kleinst,als,zo,groot,mogelijke,afstand,wordt,afgelegd,
!
• Andere,manier,om,hier,naar,te,kijken:,
– Robert,zit,niet,in,1,inerJaalsysteem,Jjdens,zijn,reis,,maar,in,twee,
• Heenweg,en,terugweg,zijn,twee,verschillende,inerJaalsystemen
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Tweelingparadox*
• Stel,de,volgende,situaJe,voor,
• Om,analyse,binnen,de,‘SRT’,te,kunnen,houden,
– Neem,nu,3,inerJaalsystemen,,en,een,‘extra,planeet’,B,achter,de,ster,C,
waarvandaan,ook,raket,richJng,ster,C,beweegt,
!
!
!
!
• A:,,
• RH:,
• RT:,
inerJaalsysteem,van,de,aarde,
inerJaalsysteem,van,de,heenreis,raket.,Robert,op,weg,naar,ster,C,
inerJaalsysteem,van,de,terugreis,raket.,Robert,van,ster,C,naar,aarde,
– Als,Robert,van,aarde,vertrekt,in,stelsel,RH,,vertrekt,tegelijkerJjd,een,lege,
raket,van,B,richJng,ster,C,
– De,rakexen,komen,elkaar,tegen,bij,ster,C.,Op,dat,moment,spring,Robert,over,
van,de,RH,raket,in,de,RT,raket,om,terug,naar,de,aarde,te,reizen,
• Vergelijk,twee,treinen,in,tegengestelde,richJng
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Tweelingparadox*
• We,kunnen,de,Jjden,van,de,verschillende,inerJaalsystemen,
met,elkaar,vergelijken,
– Verschillende,systemen,A,,RH,en,RT,hebben,volledig,verschillende,
synchronisaJe,met,Jjden,op,aarde,
x)
• Simultaanlijnen:,gebeurtenissen,met,dezelfde,‘Jjd’, ct = ⇥(ct
!
• GelijkJjdigheid,RH,op,aankomst,ster,C:
,(ct’,=,20,lj),
!
• GelijkJjdigheid,TR,op,aankomst,ster,C:
20 = 5.05 ct
⇥
99
x
101
ct = 0.98x + 3.96
ct = 198.04 0.98x
Vertrek,Robert
Tijd,op,aarde,, Tijd,voor,Robert Tijd,op,aarde,, Tijd,op,aarde,,
vanuit,A
vanuit,RH
vanuit,RT
0
0
0
194,08
Aankomst,op,C
101
20
3,96
198,04
Vertrek,van,C
101
20
3,96
198,04
Aankomst,op,A
202
40
7,92
202
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Tweelingparadox*
Aard,klok,staat,op,
20253.96=198.04,jaar
ct
=
ct
19
8.
04
101 lichtjaar
=
ct
x
98
.
0
0.
98
x
+
96
3.
Reis,Robert
Wereldlijn,licht
GelijkJjdigheid,RH,
op,aankomst,C
GelijkJjdigheid,RT,
op,aankomst,C
3.96 jaar
99 lichtjaar
Vertrek,RH
Vertrek,RT
x
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Tweelingparadox,5,naschri\
• Eerste,experimentele,verificaJe,
– Hafele,&,Keane,hebben,in,1972,verschillende,atoomklokken,als,passagiers,
in,vliegtuig,gezet,,en,andere,thuisgelaten,
• Vliegtuig,om,aarde,,
oost5,en,west5waards,
– PrachJge,bevesJging
van,de,relaJviteitstheorie!,
• Zwaartekracht,correcJe,
theorie
experiment
westwaards
+275±21,ns
+273±7,ns
oostwaards
540±23,ns
559±10,ns
– In,deze,experimenten,is,ook,een,correcJe,van,klokken,uit,de,Algemene,
RelaJviteitstheorie:,
• Klokken,lopen,langzamer,in,de,buurt,van,zware,massa’s,(bv,de,aarde),
!
!T =
!
!
T0
1
2GM
Rc2
G : Gravitatieconstante, 6.673 · 10
Fz = G
11
m2 kg
1
s
1
Mm
r2
• Klokken,in,vliegtuig,Jkken,dus,sneller,,omdat,vliegtuig,verder,van,aarde,is,
– Klokken,staan,zelfs,sJl,in,de,buurt,van,een,‘zwart,gat’,,daar,waarvoor,geldt,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
(Schwartzschild5radius,van,een,zwart,gat) R = 2GM
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
c2
Invariante,intervallen
S2
=0
2
S
• Ruimte5Jjd,wordt,ingedeeld
in,gebieden,met,verschillend
teken,van,invariante,interval,
S2>0
=0
S2<0
S2<0
– S2>0:, JjdachJg,
– S2=0:,lichtachJg,
– S2<0:, ruimteachJg,,
• Met,(x,y),als,ruimtecoördinaten,
S2>0
– Drie,dimensionaal,diagram,
– LichtachJg,interval,snijdt,een,kegel,
• Toekomst5kegel:,
– Gebied,van,gebeurtenissen,die
in,de,toekomst,liggen,
• Verleden5kegel,
– Gebied,van,gebeurtenissen,die
van,invloed,hebben,kunnen,zijn
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Drie5vectoren
• Gebruik,van,drie5vectoren,
– In,de,Klassieke,Mechanica,worden,de,drie,vectoren,overal,gebruikt:,
• PosiJe,,snelheid,,kracht,,…,
– We,gebruiken,de,notaJe
(a1 , a2 , a3 )
zodat,we,een,compacte,notaJe,kunnen,invoeren,voor,de,lengte,en,
inproduct,van,twee,drie5vectoren:,
!
!
!
!
!
⌅
⇤
⇤
|a| = ⇥
3
3
a2i ,
i=1
a·b=
ai bi
i=1
– De,‘i’,heet,,‘index’,en,loopt,voor,drie5vectoren,van,1,tot,3.,
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Vier5vectoren
• Gebeurtenissen,worden,weergegeven,door,vier5vectoren,
– Vier,coördinaten,nodig,voor,de,beschrijving:,
! x = (c t, x, y, z)
(c t,
x)
• Hier,geen,pijltje,op,de,vier5vector,x,,die,is,voor,drie5vectoren,
– Ook,hier,de,notaJe,met,index,,Jjdcomponent,hee\,index,0:,
!x = (x0 , x1 , x2 , x3 )
• De,componenten,van,de,vier,vector,beschrijven,de,gebeurtenis,
in,een,coordinatenstelsel,
– TransformaJe,naar,ander,coordinatenstelsel,door,de,Lorentz5
transformaJe.,
– We,gebruiken,hiervoor,de,matrix5notaJe:
⇥
y0
a00
⇧ y1 ⌃ ⇧ a10
⇧
⌃ ⇧
⇤ y2 ⌅ = ⇤ a20
y3
a30
a01
a11
a21
a31
a02
a12
a22
a32
⇥
a03
x0
⇧ x1
a13 ⌃
⌃⇧
a23 ⌅ ⇤ x2
a33
x3
⇥
⇥
a00 x0 + a01 x1 + a02 x2 + a03 x3
⌃ ⇧ a10 x0 + a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ⌃
⌃=⇧
⌃
⌅ ⇤ a20 x0 + a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ⌅ .
a30 x0 + a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Lorentz,transformaJes,in,matrix,notaJe*
• We,kunnen,de,LorentztransformaJes,in,matrix,vorm,schrijven:,
⇥
⇥
⇥
!
⇥
⇥
0 0
x0
x0
⇧ x1 ⌃
⇧ x1 ⌃ ⇧ ⇥
⇥
0 0 ⌃
⌃
⇧
⌃
⇧
⌃
⇧
=
! ⇤ x2 ⌅ ⇤ 0
0
1 0 ⌅ ⇤ x2 ⌅
0
0
0 1
x3
x3
!
– En,de,inversie,LT,worden,dan:,
⇥
⇥
⇥
! x0
⇥ ⇥
0 0
x0
⇧ x1 ⌃ ⇧ ⇥
⌃ ⇧ x1 ⌃
⇥
0
0
⌃
⇧
⌃ ⇧
⌃⇧
!
⇤ x2 ⌅ = ⇤ 0
0 1 0 ⌅ ⇤ x2 ⌅
! x3
0
0 0 1
x3
!
• De,LorentztransformaJes,houden,het,interval,s2,invariant,
– Daarmee,zijn,ook,rotaJes,in,35dim,ruimte,deel,van,de,LT’s!
1
⇧ 0
⇧
⇤ 1
0
0
cos
sin
0
0
sin
cos
0
⇥
0
BV:,rotaJe,om,z5as
0 ⌃
⌃ en,rotaJe,om
0 ⌅
y5as
1
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
1
⇧ 0
⇧
⇤ 0
1
0
cos
0
sin
0
0
1
0
0
sin
0
cos
⇥
⌃
⌃
⌅
LorentztransformaJes*,
• De,‘boost’,LorentztransformaJes,
– TranslaJe,tussen,twee,coördinatenstelsels,S,en,S’,die,een,snelheid,hebben,
tov,elkaar,
– Voor,een,snelheid,in,een,willekeurige,richJng,is,de,LT,boost:,
⇥
!
⇥
⇥ x
⇥ y
⇥ z
2
(⇥ 1) x
(⇥ 1) x y
!⇧
1+
1 + (⇥ 1)2 x z ⌃
⇧ ⇥ x 1+
⌃
2
2
⇧
⌃
2
!⇧
(⇥ 1) y
(⇥ 1) x y
(⇥ 1) y z ⌃
⇥
1
+
1
+
1
+
2
2
2
y
⌅
!⇤
2
(⇥
1)
(⇥ 1) y z
z
⇥ z 1 + (⇥ 1)2 x z 1 +
1+
2
2
!
– Waarbij,de,snelheid,β,nu,eigenlijk,een,drie5vector,is:,
x
=
vx /c
y
=
vy /c
=
vz /c
=
2
x
=
(1
z
2
⇥
+
2
y
+
2
x
2
z
2
y
2
1/2
.
z)
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Vier5vectoren
• De,lengte,van,een,vier5vector,wordt,gegeven,door:,
!
!
– De,lengte,is,dus,invariant,onder,de,LT,
– En,we,kennen,het,in5product,van,vier5vectoren, x · x
!
a · b = a0 b0
!
3
a1 b1
a2 b2
a3 b3 = a0 b0
|x|2
ai bi = a0 b0
i=1
a·b
• Het,pijltje,weer,alleen,voor,de,ruimtelijke,componenten!,
• Ook,het,inproduct,is,invariant,onder,de,LT:,
– Bewijs:,neem,twee,vier5vectoren,en,schrijf,als,som,en,verschil,van,a,en,b:,
!(a + b) · (a + b) = a · a + b · b + 2a · b
!(a b) · (a b) = a · a + b · b 2a · b
– Neem,het,verschil,van,deze,vergelijkingen,en,je,vindt:,
1
! a · b = ((a + b) · (a + b) (a b) · (a b))
4
• Rechts,is,invariant,,dus,linkerkant,ook!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Vier5vectoren
• Gebruik,indices,voor,notaJe:,
3
3
! x·y =
xµ y µ =
xµ yµ
µ=0
µ=0
!
Vector met indices boven heet „contravariant”
Vector met indices beneden heet „covariant”
– De,indices,met,‘Griekse,lexers’,gaan,van,0,t/m,3,
• Er,is,een,subJel,verschil,tussen,indices,‘boven’,en,indices,
‘onder’:,
– DefiniJe,van,‘bovenindex’,in,termen,van,onderindex:,
!
!
!
– Bij,inwendig,product,sommeer,je,dus,over,ene,vier5vector,met,
bovenindices,,en,de,ander,met,‚benedenindices’.,
– convenJe,van,Einstein
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Metriek
• Hoe,breng,je,boven5,en,onder,indices,in,elkaar,over:,
!
⇥
!
1 0
0
0
⇧ 0
1 0
0 ⌃
! µ
µ
⌃
x = µ x
;
=⇧
⇤
0 0
1 0 ⌅
!
0 0
0
1
!
!
– De,matrix,ημν,heet,de,‘metriek’,en,definieert,de,structuur,van,onze,ruimte5
Jjd.,
• Dit,is,de,‘metriek’,van,een,vlakke,,vier,dimensionale,ruimte,
– In,de,algemene,relaJviteitstheorie,speelt,de,metriek,een,centrale,rol,
– De,matrix,is,in,het,algemeen,ingewikkelder,en,beschrij\,ook,gekromde,
ruimten,
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Doos,van,Einstein,(publicaJe,1905)
• Beschouw,een,zwevende,,afgesloten,door,
• massa,M,en,lengte,L,
• In,doos,schiet,foton
van,links,naar,rechts,
• energie,
• impuls,
• Doos,beweegt,naar,links
door,behoud,van,impuls
terwijl,foton,onderweg,is,
• Totale,zwaartepunt,kan
niet,zijn,veranderd,
• effecJef,is,massa,m,verschoven
dat,gelijk,is,aan,
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
De$vier+impuls$vector
• Voor$de$Klassieke$Mechanica$
– Impuls$wordt$gegeven$door$
– Impuls$is$behouden$–$gebruik$analyse$van$bv$botsingen$
• Vier$dimensionale$equivalent:$
– Kunt$niet$differentiëren$naar$de$tijd$t$
•In$plaats$daarvan$gebruik$‘eigentijd’$τ$–$tijd$van$eigen$horloge$
!
!
– Voor$stilstaande$waarnemer$is$tikken$van$klok$gelijk$aan$eigentijd$
– Verder$is$eigentijd$‘invariant’,$dwz$hetzelfde$tov$iedere$waarnemer$
– Enige$mogelijke$vier+vector:
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
84
Relativistische$impuls
– De$eigentijd$t$kan$worden$geschreven$als$
•Vergelijk$de$situatie$met$stilstaande$en$bewegende$klok,$eigentijd$
werd$daar$$t’$genoemd.$
!
• Bekijk$het$‘ruimtelijk’$gedeelte$van$vier+impuls$
– De$relativistische$impuls$wordt$nu$
!
!
!
– De$wiskundige$expansie$van$γ$
rond$kleine$snelheden$$
– Hiermee$vinden$we$terug
voor$lage$snelheden
85
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Relativistische$energie
• Impuls$vier+vector$componenten$
– De$ruimtelijke$componenten$zijn$de$relativistische$impuls$
– De$nul+component$kunnen$we$met$de$energie$identificeren.$
•Dimensies$zijn$correct$als$vier+vector$gelijk$is$aan$$
!
• Hiermee$is$de$relativistische$energie$gelijk$aan$$
!
!
– Met$de$ontwikkeling$van$γ$wordt$dit
Relativistische energie geeft klassieke uitdrukking voor kinetische energie,
plus ‘rust’ energie,
plus ‘kleine’ correcties
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
86
Energie5impuls,vergelijking
• We$hebben$nu$een$vier+impuls$
– De$componenten$voldoen$aan$de$Lorentz$transformaties$
– Uit$de$eerdere$discussie$$volgt:$
!
• De$lengte$van$de$vier+impuls$is$invariant:$
!
!
– Waarmee$we$uiteindelijk$vinden$$
!
•Een$vergelijking$voor$op$je$t+shirt!$
•Aanzet$tot$bestaan$anti+materie$als$
negatieve$energie$oplossing
87
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Energie,van,een,deeltje
• Totale,energie,E=γmc2,,
– Bestaat,uit,een,‘rust,energie’
gelijk,aan,mc2,
– En,daarbij,een,kineJsche,energie,
!Ekin = E mc2 = ( 1)mc2
E
• KineJsche,energie,
– Voor,heel,lage,snelheden,gelijk
aan,Newton:,½mv2.,,
– Voor,hoge,snelheden,geldt,dit,absoluut,niet,meer!,
Ekin
mc2
β=v/c
• Rust,energie,mc2,
– De,‘massa’,van,een,object,vertegenwoordigt,een,enorm,grote,energie!,
– Kun,je,deze,energie,om,zexen,in,bewegingsenergie?,
• In,sommige,gevallen,wel,,zoals,bijvoorbeeld,in,kernreacJes,zoals,plaatsvinden,
in,de,zon
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
88
Samenvaâng,kinemaJca
• Deze,vier5impuls,voldoet,aan,
de,Lorentz,transformaJes,
– Voor,een,‘boost’,langs,
de,x5as,te,schrijven,als:,
E /c
=
⇥(E/c
px
=
⇥(px
py
=
py
px )
E/c)
!
pz = pz
!
• En,de,lengte,van,de,vier5vector,is,invariant:,
!
Wellicht de meest beroemde E 2 c2 |p|2 = m2 c4
uitdrukking van de relativiteitstheorie!
!
– Elk,(bewegend),voorwerp,voldoet,aan,deze,vergelijking,
• De,energie,en,impuls,kunnen,heel,groot,worden,,maar,de,massa,‘m’,is,een,
constante:,een,invariant.,Dit,wordt,ook,wel,de,‘rustmassa’,genoemd.,
– Elk,systeem,van,deeltjes,voldoet,ook,aan,deze,vergelijking,
• Je,kunt,ook,spreken,over,de,‘systeemmassa’,van,een,aantal,deeltjes
89
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Samenvaâng,van,kinemaJca
• De,definiJe,van,de,snelheid,β:,
p
– Krijgt,een,nieuwe,betekenis,in,termen,
⇥ = ⇥v = c⇥
van,energie,en,impuls:,
c
E
– Merk,op,dat,de,impuls,van,een,systeem,alJjd,kleiner,is,dan,de,energie,
• Anders,zou,het,voorwerp,sneller,dan,c,voort,bewegen!,
• Massaloze,deeltjes,hebben,m=0,
E 2 c2 |p|2 = m2 c4 ⇥ E 2
!
c2 |p|2 = 0
– Hieruit,volgt,dat,voor,massaloze,deeltjes,geldt:,
!
E = ±c|p|
!
– En,dat,deze,deeltjes,zich,per-defini&e-met,
de,lichtsnelheid,voortbewegen:,
|⇥| =
|⇥v |
±c|⇥
p|
=
= ±1
c
E
• Licht,deeltjes,of,fotonen,gedragen,zich,zo.,
• Ook,‘gravitonen’,moeten,zich,zo,gedragen,,maar,die,zijn,nog,nooit,
waargenomen!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
90
Toepassing:,Kernfusie
• Bij,kernfusie,komen,proton,(p),en,neutron,(n),bij,elkaar,om,
deuterium,“zwaar,waterstof”,te,vormen,(d),,
! mp = 938.27231 MeV/c2
! mn = 939.56563 MeV/c2
! md = 1875.61339 MeV/c2
– Merk,op:,we,kunnen,mbv,E=mc2,massa,uitdrukken,als,“Energie/c2”,
– In,deeltjesfysica,wordt,andere,eenheid,gebruikt:,de,elektronvolt,(eV),
• Energie,dat,elektron,oppikt,na,doorlopen,van,potenJaalverschil,van,1,Volt,
• Lading,elektron:,1.6,10519,Coulomb,
• 1,eV,=,1.6,10519,Joule;,1,MeV,=,106,eV,
!
• Verschil,in,massa,tussen,proton+neutron,en,deuterium,
E = mp c2 + mn c2 md c2 = 2.22455 MeV
!
– massa’s,tellen,niet,op!,Dit,levert,extra,energie
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
91
Kernfusie,en,het,branden,van,de,zon
• Waar,blij\,het,massaverschil?,
– Extra,energie,wordt,uitgezonden,in,de,vorm,van,een,foton,met,energie,
!E
= 2.22455MeV
– zodat,de,reacJe,is:, p + n ! d +
• Strikt,genomen,komt,niet,alle,energie,toe,aan,een,enkel,foton.,Er,moet,ook,
aan,impuls,behoud,worden,voldaan,,en,het,deuterium,zal,een,‘terugslag’,
krijgen,van,het,foton.,,
!
• Onder,andere,dit,mechanisme,verklaart,het,lange,bestaan,van,
het,branden,van,de,zon,
– Als,de,zon,een,‘benzine,bom’,zou,zijn,,zou,het,opgebrand,zijn,na,ongeveer,
150000,jaar.,Dit,komt,niet,overeen,met,bijvoorbeeld,de,vondst,van,
fossielen,op,,aarde.
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
92
Branden,van,de,zon
• Hoeveel,energie,zendt,de,zon,uit?,
• Bepaal,eerst,de,hoeveelheid,energie,die,op,aarde,valt,
– Op,aarde,bereikt,1372,Wax/m2,energie,loodrecht,van,de,zon,
(zonnekonstante),
• Radius,aarde,~,6.4,106,m,
– Hoeveelheid,massa,ongezet,in,energie,op,aarde:,
• 1,W,=,1,J/s,=,1,kg,m2/s3,
• 1372,J,correspondeert,met,1.524,10514,kg,
– Elke,seconde,valt,er,1.5,10514,kg,zonlicht,op,aarde,per,m2,
– Totaal,bereikt,op,aarde,per,seconde,(A=πr2=1.3,1014,m),ongeveer,2,kg,
zonlicht.,
• Zonlicht,wordt,uniform,verspreid,door,de,zon,
• Afstand,aarde5zon,~150,106,km,
• oppervlakte,4πR2,=,2.8,1023,m2,
– Totaal,converteert,de,zon,per,seconde,4.2,109,kg/s,(4.2,miljoen,ton!)
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
93
Branden,van,de,zon
• De,reacJe,die,op,de,zon,plaatsvindt,
– kernfusie,met,waterstof,tot,helium:,
4H
! ! He + energie
– ongeveer,0.7%,van,rust,energie,wordt,omgezet,in,straling,
– Om,4.2,109,kg,c2,aan,energie,te,produceren,moet,er,~6.3,1011,kg,waterstof,
worden,omgezet,
• De,zon,verbruikt,630,miljoen,ton,waterstof,per,seconde!,
– De,totale,massa,van,de,zon,is,~2,1030,kg,
• Met,de,huidige,snelheid,zou,de,zon,het,dus,~1018,s,=,100,miljard,
jaar,uithouden,
– Hierbij,is,geen,rekening,gehouden,met,de,evoluJe,van,de,zon,zelf,
– Gee\,wel,de,“goede,orde,grooxe”,aan,
– Einstein,gaf,met,E=mc2,een,verklaring,voor,het,lange,branden,van,de,zon
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
94
Speciale$relativiteitstheorie
• Derde$uur$
– relativistische$impuls$
•invariante$massa$+$deeltjesproductie$$
– deeltjesversnellers$&$kosmische$straling$
• principes$+$$stand$van$zaken$+$de$LHC
95
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Natuurlijke$eenheden
• Twee$fundamentele$constanten:$
!
– De$constante$van$Planck$h$
– De$lichtsnelheid$c$
!
=
h
= 1.055 · 10 34 Js
2
c = 2.998 · 108 ms 1
• Natuurlijk$eenheden:$
– Kies$eenheden$zodanig$dat$$ c = ~ = 1
c ~
– Niet$meer$nodig$om$$$$en$$$$$te$schrijven$
c ~
– Dimensionale$argumentatie$om$$$$$en$$$$$weer$terug$te$zetten$in$eind+
antwoord
Conversie
1 kg = 5.61 · 1026 GeV
1 m = 5.07 · 1015 GeV 1
1 sec = 1.52 · 1024 GeV 1
Eenheden (~ = c = 1)
GeV
GeV 1
GeV 1
Standaard$Model$van$elementaire$deeltjes
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Werkelijke eenheid
GeV
c2
~c
GeV
~
GeV
96
Vier$dimensionale$vectoren
• Gebeurtenis$wordt$beschreven$door$vier+vector$
– Vergelijk$drie+$en$vier$vectoren$
• Klassieke$drie+vector:$
• Vier+vector$$
– Tijd$coördinaat,$uitgedrukt$in$[m]:$ct$
– Lengte$van$de$vectoren$
• Lengte$van$drie+vector:$$
– De$lengte$is$invariant$onder$rotaties$
van$het$coördinatenstelsel$
• Lengte$van$vier$vector:$$
!
!
– Deze$lengte$is$invariant$onder$3d$rotaties$van$het$‘ruimtelijk’$
coördinatenstelsel$
– Maar$bovendien$is$deze$lengte$invariant$voor$bewegende$
coördinatenstelsels
Standaard$Model$van$elementaire$deeltjes
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
97
Vier+vectoren
• Contra+variante$viervector$
– indices$$
• Co+variante$viervector$
– invariante$interval:$
•Einstein$sommatie
conventie$van$
contra+$en$covariante$vector$
• Lorentz$transformaties$
– Boost$langs$x+as
in$matrix:$
– Compacte$notatie
met$sommatie$conventie$
– Tensor$Λμν:$$4x4$matrix
Standaard$Model$van$elementaire$deeltjes
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Transformatie van een contra-variante vector
98
Lorentz$transformaties$en$metriek
Transformatie van een co-variante vector
• Lorentz$transformatie$$
– voor$co+variante$vector
is$gelijk$aan$inverse
Lorentztransformaties$
– Inverse$matrix$Λμν$(eerste$index$beneden)$
• Relatie$co+$en$contravariante$vector$
– tensor$notatie$
!
– met$de$metriek$gμν:$
!
– eigenschappen
g µ⇥ = gµ⇥ ,
gµ g
xµ = gµ x ,
⇥
=
⇥
µ
xµ = g µ x
Standaard$Model$van$elementaire$deeltjes
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
99
Co+variantie$+$energie$impuls
• 4$vectoren$alleen$voor$grootheden$die$aan$
Lorentz$transformatie$voldoen$
– uitdrukking$vanzelf$Lorentz$invariant$
!
• Energie$en$impuls$
– vier$vector$
!
– lengte$(Lorentz
invariant!)$
Standaard$Model$van$elementaire$deeltjes
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
100
Veel$deeltjes$systemen
• De$‘rustmassa’$van$een$veel+deeltjes$systeem$kan$
eenvoudig$geïntroduceerd$worden...$
– Twee$botsende$deeltjes$a$en$b$
– Impuls+energie$van$deeltjes$a$en$b:$pa$en$pb$
– Rustmassa$van$deeltjes$a$en$b:$ma$en$mb$
!
!
!
!
!
!
!
• Invariante$massa$mab:$
101
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Behouden$tijdens$botsingen
• Botsingen$tussen$(willekeurig$aantal)$deeltjes:$$
!
!
!
Toestand(‘in’
?
Toestand(‘uit’
– Alle$componenten$van$de$vier+impuls$zijn$behouden$bij$de$
botsing$
!
• Invariante$massa$van$de$botsing$$
– ook$behouden$–$en$bovendien$hetzelfde$in$elk$
coördinatenstelsel
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
102
Twee$deeltjes$botsing
• Beschouw$de$reactie$a+b→c+d$
!
!
!
!
!
– zwaartepuntsenergie$
!
!
• Mandelstam$variabelen
(Lorentzinvariant)$
– ga$na$dat$geldt:
103
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Zwaartepuntenergie$in$CM$systeem
• Energie$en$impulsbehoud$in$het$CM$systeem$
– Totale$impuls$nul$voor$botsing$
•en$na$de$botsing$
!
!
!
!
– energie$Ec$na$de$botsing$
!
!
!
pf
pi
pi
pf
•bewijs?$stug$doorrekenen!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
104
Kinematische$voorwaarden
• Om$reactie$a+b→c+d$te$laten$plaatsvinden$
– zwaartepuntenergie$√s$moet$groter$zijn$dan$massa$van$
deeltjes$c$en$d:$
!
!
!
• De$zwaartepunt$energie$is$de$cruciale$parameter$van$
een$deeltjesversneller$
– het$bepaalt$de$‚maximale’$massa$van$nieuwe$deeltjes$die$in$
reacties$kunnen$worden$gecreëerd$
– het$bepaalt$hoe$„diep”$we$in$de$materie$kunnen$doordringen
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
105
Geschiedenis:
Large Electron Positron collider (LEP)
r.i.p.
(1989-2000)
Standaard$Model$van$elementaire$deeltjes
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
106
De$‘oude$dame’
LEP versn
eller:
– Elektro
nen
anti-elekt op ronen
–
27 km om
trek
– Werkz
aam 1989
-2000
– E
nergie (m
ax): 207
GeV
107
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Voorbeeld,van,deeltjesversneller
• In,LEP,deeltjesversneller,werden,elektronen,en,anti5elektronen,
op,elkaar,geschoten,
verwaarloos
!
de rustmassa
van elektronen
!
en anti-elektronen
!
– Elk,met,energie,E=45.5,GeV,,
• verwaarloos,de,massa,van,elektron,,die,is,,
– De,invariante,massa,M2,van,dit,systeem,wordt,dan:,
!
!
!
!
– Oftewel:
precies,genoeg,voor,de,productie,van,het,Z0,deeltje!,
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
overal is lichtsnelheid
c=1 genomen!
Waarom,‘botsende,bundels’?
• Stel,je,wilt,het,Z,deeltje,maken,met,botsingen,op,een,
trefplaatje:,
!
!
• Welke,energie,moet,bundel,anti5elektronen,hebben,om,Z,
deeltje,te,creëren?,
– De,massa,van,het,systeem,wordt,nu:,,,
!
!
!
– Om,Z,deeltje,te,maken,hebben,we,een,bundelenergie,nodig,van,
!
!
• Dit,is,heel,ver,buiten,technologische,mogelijkheden!
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
$CMS$
Atlas
$ATLAS$
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Haarlemse Chemische Kring
LHC$zwaartepunt$energie:$$7000+7000%GeV
$
aan$te$houden
lb
e
k
ir
$c
$in
n
e
n
$proto
.9$K
magneten$om
fgekoeld$tot$1
.3$T,$a
Magneetveld$8
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
Vergelijk,LEP,met,LHC
• Twee,grote,versnellers,op,Cern,,bij,Geneve:,
– LEP,(198452000),
• Versnellen,van,elektronen,op,positronen,,elk,met,een,energie,van,maximaal,
105000,MeV.,Rustmassa,van,deze,deeltjes,is,0.511,MeV/c2,
• Hiermee,is,de,Lorentzfactor,γ,
• Invariante,massa,
• Limiet,van,de,bundelenergie
wordt,gegeven,door,de,synchrotron,straling:,
– Hoeveel,energie,kun,je,per,‘rondje’,maximaal,in,de,bundel,,inpompen,
– LHC,(200952020+),
• Versnellen,van,protonen,op,protonen,,elk,met,een,energie,van,maximaal,
7000000,MeV.,Rustmassa,van,deze,deeltjes,is,plm,938,MeV/c2,
• Hiermee,is,de,Lorentzfactor,γ,
• Invariante,massa,
• Limiet,van,de,bundelenergie
wordt,gegeven,door,de,sterkte,van,de,afbuigingsmagneten,
– Bij,hogere,energie,‘schieten’,de,protonen,hun,baan,uit,
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
– Synchrotron,straling,bij,protonen,verwaarloosbaar
111
Creatie van elementaire deeltjes
e+e− → μ+μ−
ITS$academy$+$5$maart$2014$+$Speciale$relativiteitstheorie
e+e− → quarks
113