vwo a/c deel 1

vwo A/C Samenvatting Hoofdstuk 1
Telproblemen overzichtelijk weergeven
•
•
•
•
boomdiagram
wegendiagram
rooster maken
alle mogelijkheden systematisch uit schrijven
1.1
Hoe maak je een boomdiagram ?
1 zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze horen, deze takken vertrekken
uit het beginpunt
2 zet de keuzemogelijkheden langs de takken
3 zet de volgorde achter de laatste takken
1.1
voorbeeld:Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets
1e set
2e set
3e set
N-N
N wint
N wint
N wint
N-G-N
G wint
N-G-G
N wint
G-N-N
G wint
G-N-G
G wint
geef aan hoe G in 3 sets wint
G wint
N wint
G wint
G-G
1.1
Wegendiagram
kip
soep
∙
ham
∙
ijs
∙
pizza
cocktail
∙
meloen
schnitzel
2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden
vermenigvuldigingsregel
2
x
4
x
2
=
16
1.1
Rooster maken
Je gooit met een rode en een groene dobbelsteen
tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster.
som
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
1.1
Systematisch de mogelijkheden noteren
Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met vier
dobbelstenen in totaal 5 te gooien.
1112
1121
1211
2111
1.1
halve competitie
Je speelt maar 1x tegen elkaar.
vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden ?
hele competitie
Je speelt 2x tegen elkaar.
vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
4 x 3 = 12 wedstrijden ?
je speelt niet tegen jezelf
A
A X
B X
C X
D X
B C D
A-B A-C A-D
X
X
X
B-C B-D
6 wedstrijden
X
X
C-D
X
A
B
C
D
A
X
B C D
A-B A-C A-D
B-A
X
C-A C-B
B-C B-D
X
D-A D-B D-C
C-D
X
12 wedstrijden
1.1
De vermenigvuldigingsregel
Een gecombineerde handeling die bestaat uit
1 handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd
2 en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd
3 en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd
kan op p × q × r manieren worden uitgevoerd.
1.2
De vermenigvuldigingsregel of de somregel
Kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren,
dan kan :
1 handeling I EN handeling II op p × q manieren
2 handeling I OF handeling II op p + q manieren.
1.2
Herhaling
Het is bij telproblemen belangrijk je af te vragen of herhalingen zijn
toegestaan.
zonder herhaling
een bestuur kiezen
met herhaling
het aantal mogelijke nummerborden
1.2
Zonder herhaling
Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris.
Het aantal manieren is
aantal =
5
eerst de voorzitter:
keuze uit 5 personen
×
4
= 20
dan de secretaris:
keuze uit 4 personen
1.2
Met herhaling
In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters,
hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan.
Het aantal mogelijke nummerborden is
aantal = 10 × 10 × 21 × 21 × 21 × 21 = 19.448.100
10 cijfers voor
de eerste plaats
10 cijfers voor
de tweede plaats
26 – 5 = 21
letters voor de
derde plaats
26 – 5 = 21
letters voor de
vierde plaats
enz.
1.2
Permutaties en faculteiten
een ander woord voor rangschikking is permutatie
bij een permutatie mogen geen herhalingen optreden
het aantal permutaties van 3 uit 8, dus het aantal rangschikkingen van
drie dingen die je uit 8 kiest,
is 8 × 7 × 6
GR
het aantal permutaties van 4 uit 9 is
het aantal permutaties
9×8×7×6
van 6 uit 10 is
optie nPr
het aantal permutaties van 9 uit 9 is
10 nPr 6 = 151200
9×8×7×6×5×4×3×2×1
de notatie voor dit product is 9!
spreek uit : 9 faculteit
kortweg : het aantal permutaties van 9 dingen is 9!
het aantal permutaties van n dingen, dus het aantal rangschikkingen van
n dingen is n!
n ! = n × (n -1) × (n -2) × (n -3) × …… × 4 × 3 × 2 × 1
1.3
Rangschikking
Het aantal rangschikkingen van 5 stripboeken en 3 romans.
Je kunt 5 stripboeken en 3 romans op
8! manieren op een boekenplank
rangschikken
4! × 5! manieren rangschikken als de
stripboeken naast elkaar moeten staan
2! × 5! × 3! manieren rangschikken als de
stripboeken en ook de romans naast elkaar
moeten staan
beschouw de stripboeken als één groep
• je hebt dan 4 dingen (3 romans en 1
groep stripboeken) die je op 4! manieren
kunt rangschikken
• binnen de groep van de stripboeken zijn
er telkens 5! rangschikkingen
• in totaal heb je 4! × 5! rangschikkingen
1.3
Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn
het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn
(en de rest verschillend is) is
n!
p!
7!
zo kun je de letters van het woord ADRIANA op
3!
manieren rangschikken
9!
de letters van het woord ALESSANRA kun je op
3! × 2!
manieren rangschikken
immers je hebt in totaal 9 letters :
de letter A komt 3 keer voor en de letter S komt 2 keer voor
1.3
Combinaties
is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang,
dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7
het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als 7
4
spreek uit: 7 boven 4
het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen
uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten, is 7
4
1.4
Aantallen combinaties vermenigvuldigen en optellen
uit klas 4 vwo A wordt een comité van 5 leerlingen gevormd
het aantal mogelijke comités met
3 van de 12 jongens
3 jongens is
12×
3
2 van de 17 meisjes
17= 29 920
2
15 jaar
16 jaar
jongen
8
4
12
meisje
10
7
17
18
11
29
3 jongens EN 2 meisjes,
dus VERMENIGVULDIGEN
4 jongens + 1 meisje
minstens 4 jongens is
12×
4
17+
1
5 jongens + 0 meisjes
12×
5
17= 9207
0
4 jongens OF 5 jongens,
dus OPTELLEN
1.4
Schema
op hoeveel manieren
kun je 5 dingen
kiezen uit 8 dingen
volgorde van belang ?
nee
aantal = ‘6 boven 2’
ja
herhaling toegestaan ?
nee
ja
aantal = 8x7x6x5x4 aantal = 8x8x8x8x8
1.4
Rijtjes bestaande uit A’s en B’s
het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt :
B
A
B
A
A
B
B
B
A
B
B
11
11
=
= 165 manieren
4
7
er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het
volgende hokje te vullen, enzovoort
totaal zijn er 2 × 2 × 2 × …… × 2 = 211 = 2048 manieren
dus er zijn
het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is
11
en ook
4
11
7
het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211
1.5
Hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A
naar C via B.
Van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande 1
N en 2 O’s
3 = 3 mogelijkheden
1
Van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit
2 N’s en 3 O’s
dat zijn
 Noord
Routes in een rooster
A∙
∙C
∙
B
 Oost
5 = 10 mogelijkheden
2
Het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan
is dus
dat zijn
3
1
×
5
2
= 3 × 10 = 30
van A naar B
EN
van B naar C
dus
vermenigvuldigen
1.5
Algemeen
∙
B
het aantal routes zonder omwegen van A naar B in het
rooster hiernaast
is
8
3
afspraak:
In deze paragraaf bedoelen we met routes in een rooster
altijd routes zonder omwegen, we zetten dat er meestal
niet bij.
A∙
1.5
De driehoek van Pascal
• in de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de twee getallen
die er schuin boven staan
• elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top op die plaats
te komen
• in de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen
4 , 4 , 4 , 4 en 4
0
1
2
3
4
• de som van de getallen in de vierde rij is 24
rij 0
rij 1
1
rij 2
1
rij 3
rij 4
1 = 20
1
1
1
2
3
4
2 = 21
1
3
6
4 = 22
1
8 = 23
1
4
1
16 = 24
1.5
1.5