HAVO-VWO D deel 1 H1

havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 1
Telproblemen overzichtelijk weergeven.
•
•
•
•
Boomdiagram.
Wegendiagram.
Rooster maken.
Alle mogelijkheden systematisch uit schrijven.
Hoe maak je een boomdiagram ?
•
•
•
Zoek uit hoeveel takken er bij de eerste keuze
horen, deze takken vertrekken uit het beginpunt.
Zet de keuzemogelijkheden langs de takken.
Zet de volgorde achter de laatste takken.
1.1
v.b.
Tenniswedstrijd 2 gewonnen sets.
1e set
2e set
3e set
N-N
N wint
N wint
N wint
N-G-N
G wint
N-G-G
N wint
G-N-N
G wint
G-N-G
G wint
geef aan hoe G in 3 sets wint
G wint
N wint
G wint
G-G
1.1
Wegendiagram
kip
soep
∙
ham
∙
cocktail
ijs
∙
pizza
∙
meloen
schnitzel
1.1
Rooster maken
Je gooit met een rode en een blauwe dobbelsteen
tel de ogen bij elkaar op, maak hiervan een rooster.
som
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
1.1
Systematisch de mogelijkheden noteren.
Er zijn 4 mogelijkheden om bij een worp met
vier dobbelstenen in totaal 5 te gooien.
1112
1121
1211
2111
1.1
Halve competitie
Hele competitie
Je speelt maar 1x tegen elkaar.
Je speelt 2x tegen elkaar.
vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
vb. Hoeveel wedstrijden spelen 4 teams
4 x 3 : 2 = 6 wedstrijden.
4 x 3 = 12 wedstrijden.
Je speelt niet tegen jezelf.
A
B
C
D
A
X
A-B
A-C
A-D
B
X
X
B-C
C
X
X
D
X
X
A
B
C
D
A
X
A-B
A-C
A-D
B-D
B
B-A
X
B-C
B-D
X
C-D
C
C-A
C-B
X
C-D
X
X
D
D-A
D-B
D-C
X
6 wedstrijden
12 wedstrijden
1.1
Wegendiagram
kip
soep
∙
ham
∙
ijs
∙
pizza
cocktail
∙
meloen
schnitzel
2 mogelijkheden 4 mogelijkheden 2 mogelijkheden
vermenigvuldigingsregel
2
x
4
x
2
=
16
1.2
De vermenigvuldigingsregel
Een gecombineerde handeling die bestaat uit :
1. handeling I die op p manieren kan worden uitgevoerd
2. en handeling II die op q manieren kan worden uitgevoerd
3. en handeling III die op r manieren kan worden uitgevoerd
kan op p x q x r manieren worden uitgevoerd.
De vermenigvuldigingsregel of de somregel
Kan handeling I op p manieren en handeling II op q manieren,
dan kan :
1. handeling I EN handeling II op p x q manieren.
2. handeling I OF handeling II op p + q manieren.
1.2
Zonder herhaling
Uit 5 personen wordt er eerst een voorzitter gekozen en dan een secretaris
het aantal manieren is
aantal =
5
x
eerst de voorzitter :
keuze uit 5 personen
4
= 20
dan de secretaris :
keuze uit 4 personen
1.2
Met herhaling
In Nederland zijn er nummerborden met 2 cijfers – 2 letters – 2 letters,
hierbij zijn de klinkers A, E, I, O en U niet toegestaan.
Het aantal mogelijke nummerborden is
aantal = 10 x 10 x 21 x 21 x 21 x 21 = 19.448.100
10 cijfers voor de
eerste plaats
10 cijfers voor de
tweede plaats
26 – 5 = 21 letters
voor de derde plaats
26 – 5 = 21 letters
voor de vierde plaats
enz.
1.2
Permutaties en faculteiten
Een ander woord voor rangschikking is permutatie
Het aantal permutaties van 3 uit 8,
dus het aantal rangschikkingen van drie dingen die je uit 8 kiest,
is 8 · 7 · 6
Het aantal permutaties van 4 uit 9 is
9·8·7·6
Het aantal permutaties van 9 uit 9 is
9·8·7·6·5·4·3·2·1
de notatie voor dit product is 9! (faculteit)
Het aantal permutaties van 9 dingen is 9!
GR
het aantal permutaties
van 6 uit 10 is
optie nPr
10 nPr 6 = 151 200
Het aantal permutaties van n dingen,
dus het aantal rangschikkingen van n dingen is n!
n ! = n · (n -1) · (n -2) · (n -3) · …… · 4 · 3 · 2 · 1
1.3
Rangschikking
Het aantal rangschikkingen van 5 stripboeken en 3 romans
Je kunt 5 stripboeken en 3 romans op :
8! manieren op een boekenplank rangschikken.
Beschouw de stripboeken als één groep
• Je hebt dan 4 dingen (3 romans en 1
groep stripboeken) die je op 4! manieren
kunt rangschikken.
• Binnen de groep van de stripboeken
zijn er telkens 5! rangschikkingen.
• In totaal heb je 4! · 5! rangschikkingen.
4! · 5! manieren rangschikken als de stripboeken naast elkaar moeten staan.
2 · 5! · 3! manieren rangschikken als de
moeten staan.
stripboeken en ook de romans naast elkaar
1.3
Permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn
Het aantal permutaties van n dingen waarvan er p gelijk zijn
(en de rest verschillend is) is n!
p!
7!
Zo kun je de letters van het woord ADRIANA op
3!
manieren rangschikken.
De letters van het woord ALESSANRA kun je op 9!
3! · 2!
manieren rangschikken.
1.3
Combinaties
Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang,
dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7.
Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als
7
4
spreek uit : ‘7 boven 4’
Het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te
kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te letten
is
7
4
Hetaantal combinaties van r uit n, ofwel het aantal manieren om r dingen te
kiezen uit n dingen zonder op de volgorde te letten,
is
n
r
1.4
Combinaties vermenigvuldigen en optellen
Uit klas 4 vwo A wordt een comité van 5 leerlingen gevormd
het aantal mogelijke
3 van decomités
12 jongensmet2 van de 17 meisjes
3 jongens is
12 x 17 = 29 920
2
3
3 jongens EN 2 meisjes,
dus VERMENIGVULDIGEN
4 jongens + 1 meisje
Minstens 4 jongens is
12 x
4
17
+
1
15 jaar
16 jaar
jongen
8
4
12
meisje
10
7
17
18
11
29
5 jongens + 0 meisjes
12
5
x
17
0
= 9207
4 jongens OF 5 jongens,
dus OPTELLEN
1.4
Schema
Op hoeveel manieren
kun je 5 dingen
kiezen uit 8 dingen.
volgorde van belang ?
nee
aantal =
8
5
ja
herhaling toegestaan ?
nee
ja
aantal = 8x7x6x5x4
aantal = 8x8x8x8x8
1.4
Rijtjes bestaande uit A’s en B’s
Het totale aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s vind je als volgt :
B
A
Dus er zijn
B
A
11
4
=
A
11
7
B
B
B
A
B
B
= 165 manieren
Er zijn twee manieren om het eerste hokje te vullen en er zijn twee manieren om het
volgende hokje te vullen, enzovoort.
Totaal zijn er 2 x 2 x 2 x …… x 2 = 211 = 2048 manieren
Het aantal rijtjes bestaande uit 4 A’s en 7 B’s is
11
en ook
4
11
7
Het totale aantal rijtjes van 11 hokjes met in elk hokje een A of een B is 211
1.5
Hoeveel routes zonder omwegen zijn er mogelijk van A
naar C via B ?
Van A naar B heb je te maken met een rijtje bestaande uit
1 N en 2 O’s
dat zijn
3
1
= 3 mogelijkheden
 Noord
Routes in een rooster
A∙
∙C
∙
B
 Oost
Van B naar C heb je te maken met een rijtje bestaande uit
2 N’s en 3 O’s
dat zijn
5
2
= 5 mogelijkheden
Het totale aantal manieren om van A via B naar C te gaan
is dus
3
1
x 5
2
= 3 x 5 = 15
Van A naar B
EN
van B naar C
dus
vermenigvuldigen.
1.5
De driehoek van Pascal
• In de driehoek van Pascal is elk getal gelijk aan de som van de
twee getallen die er schuin boven staan.
• Elk getal in de driehoek geeft het aantal routes om vanuit de top
op die plaats te komen.
• In de 4e rij van de driehoek van Pascal staan de getallen
4
0
,
4
1
,
4
2
,
4
3
4
4
en
• De som van de getallen in de vierde rij is 24
rij 0
rij 1
1
rij 2
1
rij 3
rij 4
1 = 20
1
1
1
2
3
4
2 = 21
1
3
6
4 = 22
1
8 = 23
1
4
1
16 = 24
1.5
1.5
Het binomium van Newton
1.5