Hoofdstuk 3 – Arbeid en energie

Natuurkunde 1
Inhoudsopgave
HOOFDSTUK 1 – BEWEGING ...........................................................................................................................................3
§1 EENPARIGE RECHTLIJNIGE BEWEGING .............................................................................................................................3
§2 HET PLAATS-TIJD-DIAGRAM ............................................................................................................................................3
§3 AFGELEGDE WEG EN VERPLAATSING ...............................................................................................................................4
§4 SNELHEID OP EEN TIJDSTIP ..............................................................................................................................................4
§5 EENPARIG VERSNELDE RECHTLIJNIGE BEWEGING (1) ......................................................................................................4
§6 EENPARIG VERSNELDE RECHTLIJNIGE BEWEGING (2) ......................................................................................................5
§7 VALBEWEGING: ONDERZOEK VAN EEN VRIJE VAL ...........................................................................................................5
§8 VALBEWEGING MET WRIJVING ........................................................................................................................................5
HOOFDSTUK 2 – KRACHT EN MOMENT......................................................................................................................6
§1 KRACHT ALS VECTOR ......................................................................................................................................................6
§2 ‘KRACHTEN IN EVENWICHT’ ............................................................................................................................................6
§3 EERSTE WET VAN NEWTON (WET VAN DE TRAAGHEID) ...................................................................................................6
§4 TWEEDE WET VAN NEWTON ............................................................................................................................................6
§5 ZWAARTEKRACHT, NORMAALKRACHT, VEERKRACHT EN SPANKRACHT ..........................................................................7
§6 SCHUIFWRIJVING, ROLWRIJVING EN LUCHTWRIJVING ......................................................................................................7
§7 ZWAARTEPUNT ................................................................................................................................................................7
§8 MOMENT VAN EEN KRACHT .............................................................................................................................................8
§9 HEFBOOM EN HEFBOOMWET ............................................................................................................................................8
§10 TOEPASSINGEN VAN DE HEFBOOM(WET) .......................................................................................................................8
HOOFDSTUK 3 – ARBEID EN ENERGIE ........................................................................................................................9
§1 VERRICHTEN VAN ARBEID (1)..........................................................................................................................................9
§2 VERRICHTEN VAN ARBEID (2)..........................................................................................................................................9
§3 ARBEID EN ENERGIE ........................................................................................................................................................9
§4 WET VAN BEHOUD VAN ENERGIE .....................................................................................................................................9
§5 WET VAN BEHOUD VAN ENERGIE: TOEPASSINGEN ......................................................................................................... 10
§6 VERMOGEN ................................................................................................................................................................... 10
§7 RENDEMENT EN ENERGIEVERBRUIK .............................................................................................................................. 10
HOOFDSTUK 4 – LICHT .................................................................................................................................................. 11
§1 VOORTPLANTING EN TERUGKAATSING VAN LICHT ........................................................................................................ 11
§2 SPIEGEL EN SPIEGELBEELD ............................................................................................................................................ 11
§3 BREKING VAN LICHT (1): DE BREKINGSWET .................................................................................................................. 12
§4 BREKING VAN LICHT (2): TOEPASSINGEN....................................................................................................................... 12
§5 LENZEN (1): EEN AANTAL BELANGRIJKE BEGRIPPEN ..................................................................................................... 12
§6 LENZEN (2): BEELDVORMING EN BEELDCONSTRUCTIE................................................................................................... 13
§7 LENZEN (3): LENSFORMULE EN LINEAIRE VERGROTING ................................................................................................. 14
HOOFDSTUK 5 – DE WERKING VAN HET OOG ....................................................................................................... 15
§1 BOUW VAN HET OOG; ACCOMMODATIE VAN HET OOG ................................................................................................... 15
§2 NABIJHEIDSPUNT EN VERTEPUNT; OUDZIENDHEID ......................................................................................................... 15
§3 BIJZIENDHEID EN VERZIENDHEID ................................................................................................................................... 16
§4 GEZICHTSHOEK; LOEP; WERKING VAN DE PUPIL ............................................................................................................ 16
HOOFDSTUK 6 – ELEKTRICITEIT ............................................................................................................................... 18
§1 SPANNINGSBRON EN STROOMKRING .............................................................................................................................. 18
§2 ELEKTRISCHE LADING ................................................................................................................................................... 18
§3 ELEKTRISCHE GELEIDING IN METALEN, STROOMRICHTING EN STROOMSTERKTE ........................................................... 18
§4 WET VAN OHM, METEN VAN WEERSTAND ..................................................................................................................... 19
§5 WEERSTAND VAN EEN DRAAD ....................................................................................................................................... 19
§6 WEERSTAND EN TEMPERATUUR: ‘BIJZONDERE’ WEERSTANDEN .................................................................................... 20
§7 ELEKTRISCHE ENERGIE EN ELEKTRISCH VERMOGEN ...................................................................................................... 20
§8 WEERSTANDEN PARALLEL; WEERSTANDEN IN SERIE ..................................................................................................... 21
§9 DE JUISTE SPANNING; VEILIG TOEPASSEN VAN ELEKTRISCHE STROOM .......................................................................... 22
HOOFDSTUK 7: TRILLING EN GOLF .......................................................................................................................... 24
§1 KENMERKEN VAN EEN TRILLING ................................................................................................................................... 24
§2 REGISTREREN VAN TRILLINGEN ..................................................................................................................................... 24
§3 FASE EN FASEVERSCHIL ................................................................................................................................................. 24
§4 DE HARMONISCHE TRILLING; WISKUNDIG GEZIEN ......................................................................................................... 25
§5 DE HARMONISCHE TRILLING; OORZAAK EN GEVOLG ..................................................................................................... 25
§6 SNELHEID, VERSNELLING EN ENERGIE VAN EEN HARMONISCH TRILLEND VOORWERP ................................................... 25
§7 ENERGIEOVERDRACHT; RESONANTIE ............................................................................................................................ 26
§8 GOLVEN ........................................................................................................................................................................ 26
§9 GOLFLENGTE, GOLFSNELHEID EN FASEVERSCHIL .......................................................................................................... 26
HOOFDSTUK 8: GELUID ................................................................................................................................................. 27
§1 GELUID: EEN LONGITUDINALE GOLF .............................................................................................................................. 27
§2 GELUIDSINTENSITEIT; KWADRATENWET ....................................................................................................................... 27
§3 GELUIDSNIVEAU; DECIBELMETER.................................................................................................................................. 27
§4 GELUIDSHINDER; GELUIDSBEPERKING........................................................................................................................... 28
§5 INTERFERENTIE; ANTIGELUID ........................................................................................................................................ 28
§6 MUZIEK MAKEN: SNAARINSTRUMENTEN ....................................................................................................................... 29
§7 MUZIEK MAKEN: BLAASINSTRUMENTEN........................................................................................................................ 29
§8 DOPPLEREFFECT ............................................................................................................................................................ 30
HOOFDSTUK 9 – ELEKTROMAGNETISCH SPECTRUM ......................................................................................... 31
§1 LICHT ALS GOLF ............................................................................................................................................................ 31
§2 GOLFLENGTEBEPALING MET EEN TRALIE....................................................................................................................... 32
§3 ELEKTROMAGNETISCHE GOLVEN (1) ............................................................................................................................. 32
§6 LICHT ALS DEELTJE; FOTONEN....................................................................................................................................... 33
HOOFDSTUK 10 – SIGNAALVERWERKING ............................................................................................................... 34
§1 DE ROL VAN AUTOMATEN ............................................................................................................................................. 34
§2 MEET-, STUUR- EN REGELSYSTEMEN ............................................................................................................................. 34
§3 BINAIRE GETALLEN ....................................................................................................................................................... 34
§4 SYSTEEMBORD; INVOERELEMENTEN ............................................................................................................................. 35
§5 UITVOERELEMENTEN .................................................................................................................................................... 35
§6 VERWERKERS (1) .......................................................................................................................................................... 36
§7 VERWERKERS (2) .......................................................................................................................................................... 36
§8 VERWERKERS (3) .......................................................................................................................................................... 36
§9 AD-OMZETTER .............................................................................................................................................................. 36
HOOFDSTUK 11: RADIOACTIVITEIT .......................................................................................................................... 37
§1 DE BOUW VAN ATOMEN ................................................................................................................................................. 37
§2 KERNSTRALING ............................................................................................................................................................. 37
§3 AANTONEN VAN IONISERENDE STRALING ...................................................................................................................... 38
§4 VERVAL VAN ATOOMKERNEN........................................................................................................................................ 38
§5 HET TEMPO VAN RADIOACTIEF VERVAL ........................................................................................................................ 39
§6 IONISERENDE STRALING: RISICO EN VEILIGHEID ............................................................................................................ 40
§7 TOEPASSINGEN VAN IONISERENDE STRALING ................................................................................................................ 40
HOOFDSTUK 12: GASSEN EN VLOEISTOFFEN ........................................................................................................ 42
§1 MOLECUULTHEORIE ...................................................................................................................................................... 42
§2 TEMPERATUUR .............................................................................................................................................................. 42
§3 DRUK ............................................................................................................................................................................ 43
§4 GASWETTEN (I): AANTAL MOL; WET VAN BOYLE .......................................................................................................... 43
§5 GASWETTEN (II): DRUKWET VAN GAY-LUSSAC ............................................................................................................ 43
§6 ALGEMENE GASWET; IDEAAL GAS ................................................................................................................................. 43
§7 DE WET VAN BERNOULLI............................................................................................................................................... 43
§8 DE WET VAN BERNOULLI TOEGEPAST............................................................................................................................ 44
HOOFDSTUK 13: ENERGIE EN WARMTE .................................................................................................................. 45
§1 WARMTE ....................................................................................................................................................................... 45
§2 WARMTETRANSPORT..................................................................................................................................................... 45
§3 METEN VAN WARMTEHOEVEELHEDEN .......................................................................................................................... 45
§4 DE EERSTE HOOFDWET VAN DE WARMTELEER ............................................................................................................... 46
§5 DE TWEEDE HOOFDWET VAN DE WARMTELEER ............................................................................................................. 46
2
Hoofdstuk 1 – Beweging
§1 Eenparige rechtlijnige beweging
Om de snelheid te berekenen delen we de afstand door de benodigde tijd om die afstand af te leggen. Hierbij
geldt de formule: v = s / t. Alleen bij een eenparige beweging komt hier bij verschillende periodes dezelfde
waarde uit (m.a.w. een eenparige beweging heeft een constante snelheid).
Als we een niet eenparige beweging bekijken, kunnen we niet spreken van een constante snelheid maar wel van
een gemiddelde snelheid over een bepaalde tijd (vgem). In een bepaalde tijd wordt dan de afgelegde afstand
gemeten, waarmee de gemiddelde snelheid te berekenen is volgens vgem = s / t.
Hierbij moeten ook de tijdsintervallen vermeld worden! (als je de snelheid van t = 0,20s tot t = 0,35s meet, moet
je dit aangeven als: vgem (0,20s0,35s) = s / t)
Bij een beweging kun je een snelheid-tijd-diagram - (v,t)-diagram - maken.
Bij een eenparige beweging hoort een grafiek die recht evenredig aan de
tijdas is; de snelheid is op ieder tijdstip constant.
Als we nu naar de oppervlakte onder de rode lijn kijken, dan geldt er voor
de grootheden: tijd · snelheid. Als we de eenheden bekijken, dan volgt er:
meter
seconde ·
. Je ziet dat de tijd wegvalt. Hieruit volgt dat de
sec onde
oppervlakte onder deze lijn de afstand is die afgelegd is!
Zoals we een (v,t)-grafiek hebben, kunnen we ook afgelegde weg-tijddiagram maken. Hierin kun je direct aflezen wat de afgelegde afstand is
op een bepaald tijdstip. Uit dit diagram kun je ook de snelheid
berekenen, de steilheid van de grafiek geeft namelijk de snelheid (v = s /
t). Je deelt de afgelegde weg dus door de tijd. In dit geval is dat: 21,0 cm
/ 0,50 s = 42 cm/s
Omdat dit een rechte lijn door de oorsprong is, kunnen we hier heel
eenvoudig een formule voor opstellen: steilheid ∙ tijd = afgelegde
afstand. In formule: s(t) = 42 · t, ofwel: s(t) = v · t.
Relatieve snelheid is de snelheid waarmee je je ten opzichte van een
ander voorwerp verplaatst. Stel dat je iemand wilt inhalen die een halve kilometer voor je fietst met een
snelheid van 18 km∙h-1. Jij fietst met 25 km∙h-1. Je relatieve snelheid is dan (25-18 =) 7 km∙h-1. Je doet er dus 0,5
km / 7 km∙h-1 = 4m 17s over om hem in te halen.
§2 Het plaats-tijd-diagram
Een plaats-tijd-diagram geeft de plaats waar je bent aan. Er wordt echter
niet begonnen op een afstand 0. Dit is te begrijpen als je denkt aan de
hectometerpaaltjes naast de grote wegen. Ze geven een plaats aan, maar
niet de afstand die je hebt afgelegd! Dit is meteen het grote verschil met
een afgelegde weg-tijd-diagram. De plaats wordt aangegeven met
symbool x. De situatie van de fietsers van hierboven kunnen we nu ook
grafisch oplossen: we hebben een grafiek waar twee lijnen de fietsers
voorstellen, en allebei een eigen steilheid en beginplaats hebben. Het
punt waar ze elkaar snijden halen ze elkaar in (er zijn hiernaast andere
getallen gebruikt dan in het voorbeeld hierboven).
3
§3 Afgelegde weg en verplaatsing
We maken een onderscheid tussen de afgelegde weg en verplaatsing. De afgelegde weg is de afstand die
iemand bijvoorbeeld fietst. Stel ik fiets naar Amsterdam en terug en ik stop halverwege de terugweg. Dan heb
ik anderhalf keer de afstand naar Amsterdam (ongeveer 160km) gefietst, dit is dus 240km.
Als ik dan echter naar de verplaatsing op dat moment ga kijken, dan blijkt dat deze veel minder is dan 240 km.
Het is namelijk de kortst mogelijke (hemelsbrede dus) afstand van het beginpunt tot het eindpunt. In het geval
van de fietstocht is dit ongeveer 80 km (½ · 160). De verplaatsing op dat moment is dus 80 km! Bekijk ook het
onderstaande figuur:
De verplaatsing heeft echter niet alleen een grootte, maar ook een richting. Een grootheid die zowel een grootte
als een richting heeft noemen we een vector.
§4 Snelheid op een tijdstip
Als je je niet met constante snelheid voortbeweegt wordt het lastiger om een goede
snelheid op een bepaald tijdstip te geven. De gemiddelde snelheid over deze rit
wordt gegeven door de afgelegde afstand te delen door de tijd die daar voor nodig
was. Willen we echter de snelheid op een specifiek
tijdstip weten, dan moeten we dit probleem anders
aanpakken. We moeten dan de steilheid van de
grafiek op dát tijdstip weten. Grafisch kun je deze
te weten komen door een raaklijn aan de grafiek te
tekenen op het tijdstip waarvan je de snelheid wilt
weten. De gemiddelde snelheid van de
rechtergrafiek is 50m / 20 s = 2,5 m/s.
Links is de raaklijn op tijdstip A getekend. De
steilheid van deze raaklijn geeft de snelheid, en is
in dit geval: 50m / 15,5 s ≈ 3,2 m/s.
Van een plaats-tijd-diagram kun je een snelheids-tijd-diagram maken met
behulp van de raaklijntechniek. Je hoeft dan niet te getailleerd te werken, omdat
je anders veel te lang bezig zou zijn met het omzetten van het diagram. Je krijgt dus een globale benadering.
Om van een snelheids-tijd-diagram een plaats-tijd-diagram te maken, gebruik je de oppervlakte onder de
grafiek!
§5 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (1)
Een eenparige rechtlijnige beweging heeft een constante snelheid. Als de snelheid echter met een constante
waarde verandert, spreken we over een eenparig versnelde of een eenparige vertraagde beweging. Om deze
versnelling of vertraging te kunnen beschrijven bestaat het begrip versnelling (symbool a). De versnelling is het
v
snelheidsverschil gedeeld door het tijdsverschil waarin de snelheid veranderd. In formule: a 
. De eenheid
t
van versnelling is m∙s-2.
Als de versnelling gegeven is kun je met de formule v  a  t berekenen wat het snelheids verschil is op een
bepaald tijdstip. Weet je ook de beginsnelheid, dan kun je de snelheid op een bepaald moment uitrekenen met
de formule: vtijdstip  vbegin  a  t . Als er gestart wordt vanuit rust geld er v(t )  a  t
Om uit een snelheids-tijd-diagram de versnelling op een tijdstip uit te rekenen kunnen we weer de raaklijn
methode gebruiken. In dit diagram wordt namelijk de snelheid tegen de tijd uitgezet, en de versnelling wordt
4
gegeven door de snelheidsverandering gedeeld door de tijd. Op deze manier kun je dus van een snelheids-tijddiagram een versnelling-tijd-diagram maken.
§6 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (2)
Als we een eenparig versnelde beweging bekijken, dan kunnen we de
snelheid op een tijdstip schrijven als v(t )  a  t . De afgelegde weg op
een tijdstip is de oppervlakte onder de grafiek, en in het geval van een
eenparige versnelde beweging is dit ½ · v · t.
Voor v kunnen we echter ook a · t schrijven, dus krijgen we:
s(t) = ½ · a · t2.
Voor de formules s(t) = ½ · a · t2 én v(t) = a · t geldt dat ze alleen
gebruikt kunnen worden als het voorwerp op t=0 geen snelheid heeft.
Volgens s(t) = ½ · a · t2 is de grafiek van de afgelegde weg een parabool.
Door een raaklijn te tekenen kun je de snelheid te weten komen op een
bepaald tijdstip. De grafiek van de snelheid als functie van de tijd is in
dit geval een stijgende of dalende rechte lijn. De steilheid van deze grafiek geeft aan wat de versnelling van het
voorwerp is.
§7 Valbeweging: onderzoek van een vrije val
Een vrije val is een beweging waarbij de invloed van de luchtwrijving is te verwaarlozen. Hierdoor verloopt een
vrije val voor elk voorwerp (ongeacht gewicht en afmetingen) op dezelfde manier.
Als we een vrije val in een luchtledige koker bekijken, dan blijkt dat deze val een eenparig versnelde beweging
is! De versnelling is zoals eerder gezegd voor alles constant; het is een natuurconstante. De waarde van de
valversnelling (gravitatie - g) is in Nederland 9.81 m∙s-2.
Voor een vrije val geld dus s(t) = ½ · g · t2 en v(t) = g · t.
§8 Valbeweging met wrijving
Hierboven is een vrije val besproken. Hierbij was er
geen invloed van luchtwrijving. In de praktijk is deze er
vaak wel. Hierdoor neemt de snelheid van een voorwerp
minder snel toe dan je zou verwachten. De snelheid
neemt steeds minder toe ofwel de versnelling wordt
steeds kleiner! Als de versnelling 0 is geworden, blijft de
snelheid constant! Dit kun je zien in nevenstaande
grafiek. De groene lijn is een vrije val, terwijl de rode
lijn dezelfde val is mét luchtwrijving.
5
Hoofdstuk 2 – Kracht en moment
§1 Kracht als vector
Een kracht kan een voorwerp vervormen (tijdelijk of blijvend). Ook kan een kracht een voorwerp een
snelheidsverandering geven. De eenheid van kracht is Newton (N).
Een kracht is een vector; het heeft namelijk zowel een grootte als een richting! Als we een kracht tekenen doen
we dat met een pijl. Deze pijl begint dan waar de kracht begint, in het aangrijpingspunt.
Als er op een voorwerp meerdere krachten werken kun je die
tekenen als één kracht, de resulterende kracht (of somkracht) op
dat voorwerp. Dit kun je doen met behulp van een parallellogram
of door de krachten kop-aan-staart te leggen.
Zoals je twee krachten als één kracht kan
tekenen, kun je één kracht ook als twee
krachten tekenen. Je ontbindt de krachten
dan in twee componenten. Met de sinus en cosinus kun je dan uitrekenen wat de
grootte van de componenten is.
§2 ‘Krachten in evenwicht’
Als er op een voorwerp meerdere krachten (in verschillende richtingen) werken,
en het voorwerp beweegt niet is de resulterende kracht (Fres) 0. Als je alle krachten
dan gaat ontbinden blijkt dat de krachten elkaar opheffen. Wat je doet is dus eigenlijk
meerdere krachten terugbrengen tot twee, zodat je ze met elkaar kunt vergelijken. In de
situatie hiernaast kun je uitrekenen wat de krachtmeter aangeeft door de krachten op het buigpunt
van het touw te bepalen. Er moet dus 40N omhoog gericht zijn. Dan kun je met de tangens bepalen
welk deel van de spankracht op het touw naar links is gericht. Omdat het voorwerp stil hangt moet er
dus een even grote kracht naar rechts zijn gericht! De kracht naar links is 40 · tan(25°) ≈ 19N, dus de
krachtmeter zal ook ongeveer 19N aangeven.
§3 Eerste wet van Newton (wet van de traagheid)
Als we een sleetje over een luchtkussenbaan laten glijden, blijft deze met bijna constante snelheid
voortbewegen. Er is dus geen constante kracht nodig om het voorwerp in beweging te houden! Als er totaal
geen wrijving is, blijft een voorwerp met constante snelheid in dezelfde richting bewegen. Hieruit kunnen we de
volgende wet opmaken: Op een voorwerp dat met constante snelheid rechtoor blijft bewegen, werkt geen
resulterende kracht. Er is dus geen verschil tussen ‘in rust zijn’ (v = constant = 0) en eenparig ‘rechtlijnig
bewegen’.
Een voorwerp zal altijd zijn rechtlijnige beweging of toestand van rust te behouden. Het voorwerp verzet zich
als het ware tegen een snelheidsverandering; de traagheid van een voorwerp. De traagheid van een voorwerp
hangt samen met de massa van het voorwerp; een grotere massa geeft een grotere traagheid. De eenheid van
massa – kg – is gedefinieerd door een stukje platina waarvan men heeft gezegd dat het precies één kilogram
weegt. Op elk voorwerp werkt een zwaartekracht (Fz). Hiervan is de eenheid gewoon Newton. De
zwaartekracht is afhankelijk van de aantrekkingskracht van de aarde, en is dus afhankelijk van de planeet waar
je bent. De massa (traagheid) van een voorwerp is echter overal hetzelfde!
§4 Tweede wet van Newton
Als een voorwerp een versnelling krijgt, werkt er een resulterende kracht op dat voorwerp. Als een auto optrekt
krijgt het een versnelling omdat de motor een kracht levert die de auto laat rijden. Er is dus een verband tussen
de resulterende kracht en de versnelling van een object.
Uit onderzoek blijkt dat als er op een voorwerp een constante kracht werkt, er ook een constante versnelling
optreedt. Als er verschillende grootten van krachten worden gebruikt, blijkt dat de resulterende kracht recht
evenredig is met de versnelling (Fr ~ a). Als de massa van het voorwerp wordt vergroot, en de kracht constant
blijft, blijk dat de versnelling omgekeerd evenredig is met de versnelling (a ~ m-1).
Deze twee stappen (a ~ m-1 én Fr ~ a) zijn samen te voegen tot: a ~ Fr/m. Dit is te herschrijven als:
Fr = m · a, de bekende schrijfwijze van de tweede wet van Newton.
6
Volgens deze formule is de eenheid van kracht 1 kg · m∙s-2. Omdat dit echter zo lang is hebben ze er de eenheid
Newton (N) aan gegeven. Als de versnelling en de kracht dezelfde richting hebben wordt boven de a en Fr een
pijl naar rechts getekend om dit aan te geven.
§5 Zwaartekracht, normaalkracht, veerkracht en spankracht
Tijdens een vrije val werkt er maar één kracht op het vallende voorwerp. Deze is dus meteen ook de
resulterende kracht! Omdat de versnelling (in dit geval de valversnelling) gelijk is aan de aantrekkingskracht
van de aarde (g) kunnen we de tweede wet van Newton als volgt herschrijven: Fz = m · a  Fz = m · g.
Als een voorwerp in rust is (een vaas die op tafel staat bv) is er geen resulterende kracht. Er werkt een
normaalkracht (Fn) op de vaas, die veroorzaakt wordt doordat de zwaartekracht “aan de vaas trekt”. Hierdoor
wordt de vaas tegen de tafel gedrukt, die dan een tegenkracht gaat leveren. De normaalkracht staat loodrecht op
het vlak waar het voorwerp op staat. Als we aan een veer een gewicht hangen wordt deze uitgetrokken. Als het
geheel in evenwicht is geldt er dan Fv = - Fz. De veerkracht (Fv) werkt immers de zwaartekracht tegen!
Bij een touw spreken we niet van veerkracht maar van spankracht (Fs). Een touw kan immers alleen aan een
voorwerp trekken, het kan er niet tegen duwen (wat een veer wel kan)
§6 Schuifwrijving, rolwrijving en luchtwrijving
Als iemand iets heel erg zwaars wil verschuiven lukt dit vaak niet, omdat een grote wrijvingskracht (Fw) hem
tegenwerkt. Deze wrijvingskracht ontstaat door oneffenheden in het oppervlak.
Om een voorwerp in beweging te krijgen moet je een steeds groter wordende trekkracht gebruiken. Omdat het
voorwerp tot een bepaalde kracht niet beweegt, moet de wrijvingskracht even groot zijn als je trekkracht. Met andere woorden, de
wrijvingskracht varieert van 0 tot een bepaalde maximale waarde.
Als een voorwerp eenmaal beweegt heeft de wrijvingskracht zijn
maximale waarde bereikt. Rolwrijving is veel minder groot dan
schuifwrijving. Denk maar aan een zwaar vat dat je wilt
verplaatsen; dit gaat veel makkelijker als je het rolt terwijl de massa
hetzelfde is! De grootte van deze wrijving wordt bepaald door de
soorten oppervlakten die over elkaar rollen én met de kracht
waarmee de oppervlakten tegen elkaar worden gedrukt. Een andere
vorm van weerstand is de luchtwrijving. Hiernaast is te zien hoe
groot bepaalde weerstands-krachten zijn, uitgezet tegen de tijd.
Hieruit blijkt dat bij een verdubbeling van de snelheid de weerstand
vier keer zo groot wordt. Bij een grotere weerstand wordt meer
benzine verbruikt, dus het is belangrijk om deze zo klein mogelijk te
houden. De rolweerstand kan kleiner gemaakt worden door te zorgen dat de massa kleiner wordt. De
luchtwrijving kan kleiner worden gemaakt door het frontale oppervlak kleiner te maken en de stroomlijn van de
auto te verbeteren. Dit houdt in dat de lucht zo makkelijker langs de auto gaat. Er geldt dan dat
Fw,lucht  k  v 2 waarbij k  ½  c w  A  p , dit geeft samen: Fw,lucht  ½  cw  A  p  v 2 .
§7 Zwaartepunt
Als een voorwerp in rust is moeten de aanwezige krachten even groot en tegengesteld gericht zijn (ze moeten
elkaar opheffen). Er is echter nog een voorwaarde. Stel dat we een blokje hout hebben (rechts) en de krachten
F1 en F2 werken op dit blokje met de aangrijpingspunten A en B (de lijnen l en
m zijn de werklijnen van deze krachten). Het blokje zal nu gaan draaien zoals in
de tweede positie weer gegeven. Dit is te verklaren met het feit dat de werklijnen
niet over elkaar heen liggen. De aangrijpingspunten moeten dus op de werklijn
van de krachten liggen. Als we een object aan verschillende punten van dat object
ophangen, kunnen we de werklijnen van de zwaartekracht en de spankracht van
het touw tekenen. Deze lijnen snijden elkaar
allemaal in hetzelfde punt, het zwaartepunt. Dit is de plaats waar we
zeggen dat de zwaartekracht op het voorwerp werkt. Dit zwaartepunt
ligt altijd op dezelfde plaats, en is dus onafhankelijk van de stand
van het voorwerp. Het zwaartepunt van een voorwerp hoeft niet
persé in het voorwerp zelf te liggen (bijvoorbeeld bij een
hoefijzer). Als een voorwerp overal dezelfde dichtheid heeft,
noemen we het een homogeen voorwerp.
7
§8 Moment van een kracht
De arm van een kracht is de loodrechte afstand van de werklijn van de kracht tot het draaipunt van
de arm. Als je een spijker uit een stuk hout trekt, spelen de armen een belangrijke rol. Er is een
grootheid voor het product kracht · arm, het moment. Het symbool voor moment is M. M = F · r.
Hierbij is r het symbool voor de arm. De eenheid van moment is N·m, ofwel: Nm.
Als een voor werp tegen de wijzers van de klok in draait, dan wordt het moment van die kracht
positief. Draait het echter met de wijzers van de klok mee, dan wordt het moment negatief.
§9 Hefboom en hefboomwet
Voorwerpen die om hun as kunnen draaien noemen we hefbomen.
Als er op een voorwerp aan de rechterkant van het draaipunt een kracht (en daarbij ook een
arm) gaat werken, ontstaat er een moment. Hierdoor zal het voorwerp gaan draaien. Om dit
te compenseren kunnen we aan de linkerkant óók een kracht (en daarbijbehorende arm)
laten werken. Hierdoor zal het voorwerp in evenwicht raken. Als het moment linksom
gelijk is aan het moment rechtsom, blijft het voorwerp in evenwicht. We kunnen dus
zeggen: Fl · rl = Fr · rr.
Het maakt niet uit op welke hoogte de gewichtjes gehangen worden; dit laat zien dat de arm
puur de afstand van het draaipunt tot de raaklijn van de kracht is.
Als een hefboom in evenwicht is, dan geldt er dus dat Fl · rl = Fr · rr. We kunnen dit ook schrijven als ∑M
= 0.
§10 Toepassingen van de hefboom(wet)
Door een hefboom te gebruiken kun je met weinig kracht een grote kracht overwinnen. Stel je wilt een noot
kraken met een notenkraker. Dan is de arm van de kracht van je hand tot het draaipunt véél groter dan de arm
van de noot tot het draaipunt. Stel dat de arm naar je hand vijf keer zo groot is, dan is de kracht die op de noot
komt te staan ook vijf keer zo groot als jij die uitoefent op de handgrepen.
Een ketting kan krachten overbrengen van één tandwiel op een ander. Om de verandering van het toerental
(rondjes per minuut) te berekenen dat er optreedt als er een kettingsysteem wordt gebruikt, kunnen we gebruik
maken van de formule n1 · z1 = n2 · z2. Hierbij is n het toerental per minuut, en z het aantal tanden op het
tandwiel. Als we naar de diameter van een wiel kijken, kunnen we daaruit ook een formule afleiden:
n1 · d1 = n2 · d2.
Als we katrollen gebruiken geldt er voor een vaste katrol dat Ft = Fl (-Ft·r + Fl·r = 0).
Voor een losse katrol geldt er dat Ft = -½ Fl (de katrol draait om S: -Ft·2r + Fl·r = 0).
Als een voorwerp in evenwicht is (bijvoorbeeld een wip), dan moet er aan twee
voorwaarden worden voldaan. De som van de momenten op de wip moet gelijk zijn, anders
zou één van de twee kanten naar “beneden vallen”.
De som van alle krachten moet óók 0 zijn; op de wip werken de krachten Fz1, Fz2 en Fsteun
(van het steunvlak op de wip). De steunkracht moet dus gelijk zijn aan de som van beide
zwaartekrachten (en logischerwijs ook tegengesteld, dus omhoog, gericht zijn).
8
Hoofdstuk 3 – Arbeid en energie
§1 Verrichten van arbeid (1)
Arbeid is de energie die je moet verzetten om een object te verplaatsen. Natuurkundig gezien: W  F  s .
Hierbij is W de arbeid, F de uitgeoefende kracht en s de afstand van de verplaatsing. Deze formule is alleen te
gebruiken als de kracht en de verplaatsing dezelfde richting hebben. Is dit niet het geval dan moeten we voor de
kracht het horizontale component nemen. Dit doen we door de formule te vermenigvuldigen met de cosinus van
de hoek , die tussen de richting van de kracht en de richting van de verplaatsing zit. We krijgen nu:
W  F  s  cos . Hierbij moet de kracht wel contant zijn. Als  90 is dan wordt er geen arbeid verricht. Als 
groter is dan 90 dan wordt de arbeid negatief. Dit houdt in dat de kracht de beweging van het voorwerp
tegenwerkt. We weten dat de arbeid gegeven wordt door F  s. De oppervlakte onder het (F,s)-diagram is gelijk
aan het product van de kracht en de afstand, en dus de arbeid. De eenheid van arbeid is niet Nm, zoals je zou
verwachten, maar Joule. Dit is gedaan omdat Nm al de eenheid is van het moment.
§2 Verrichten van arbeid (2)
De arbeid die de zwaartekracht verricht is onafhankelijk van de vorm van de baan van het voorwerp. Er geldt
altijd Wz = +Fz  h. Hierbij is h het hoogteverschil tussen het beginpunt en het eindpunt van de baan. De
wrijvingskracht is altijd tegengesteld aan de richting van de verplaatsing. Omdat deze altijd tegengesteld gericht
is en als het ware meedraait met de baan van het voorwerp, geldt er voor de arbeid van de wrijvingskracht
Ww = -Fw  s. Hierbij is s de afgelegde weg tussen het begin en het eindpunt van de baan.
§3 Arbeid en energie
Er is al gezegd dat arbeid de energie is die je nodig hebt om een voorwerp te verplaatsen. Er moet dus energie
zijn om arbeid te kunnen verrichten. Als je energie bezit ben je in staat arbeid te verzetten. Er zijn verschillende
soorten energie. Zo heb je bewegings (ofwel kinetische) energie, zwaarte-energie, veerenergie, elektrische
energie, magnetische energie, chemische energie, kernenergie, stralingsenergie en warmte. De kinetische
energie kunnen we berekenen met de formule Ek = ½ m  v2. Een voorwerp moet daarbij een massa m en een
snelheid v hebben. Als de massa en/of de snelheid toenemen dan neemt de kinetische energie dus toe. Een
voorwerp dat valt verplaatst zich, en verricht dus arbeid (bij “aankomst” op de grond oefent het een kracht uit
op de grond). Om deze energie-inhoud te kunnen berekenen gebruiken we de formule m  g  h. Hierbij is g de
valversnelling. Als een voorwerp valt, stellen we dat het laagste punt een energieniveau van 0 J heeft.
Als een veer ingedrukt of uitgetrokken (t.o.v. zijn natuurlijke positie) dan bezit deze veerenergie.
Je kan je handen over elkaar wrijven, waarbij er dan warmte (symbool Q) ontstaat. De arbeid van je handen
wordt dus omgezet in warmte. Deze warmte is even groot als de arbeid van de wrijving (Ww)!
§4 Wet van behoud van energie
De energie die een voorwerp bezit, kan van soort veranderen maar blijft in grootte constant.
Dit noemen we de wet van behoud van energie. Als we in de praktijk kijken naar een bolletje dat
aan een slinger hangt, en we laten het heen en weer slingeren door het naar punt A te trekken en
dan los te laten, dan blijkt het bolletje niet boven een bepaalde hoogte uit te komen. Op het
moment dat het op zijn hoogst is (A), dan is de kinetische energie 0 en de zwaarte-energie het
grootst. Is het bolletje echter helemaal beneden (in de evenwichtstand, B) dan is de
kinetische energie het grootst en de zwaarte-energie 0. In symbolen (energiebalans):
1
Ez in A = Ek in B  m  g  h A  m  v B2
2
Nu kan je zeggen dat dit niet klopt met de wet van behoud van energie, het bolletje blijft niet eindeloos
doorslingeren. Dit is te verklaren met het feit dat er wrijving optreedt met de lucht en in het ophangpunt,
waardoor er constant energie (in dit geval warmte) aan de omgeving wordt afgestaan.
Als er ook warmte vrij komt bij het verrichten van arbeid, dan schrijven we de energiebalans als volgt:
1
Ez in A = Ek in B + Q  m  g  h A  m  v B2 + Q
2
Omdat het bolletje in B tot rust komt, is alle zwaarte-energie omgezet in warmte en kunnen we het schrijven als:
energie in A = warmte  m  g  hA  Q .
9
Bij wrijving ontstaat ook warmte, en in dat geval is de grootte van deze warmte gelijk aan de arbeid die de
wrijving verricht (dus Ww = Q  Fw ∙ s = Q).
§5 Wet van behoud van energie: toepassingen
Als we de hefboom uit het vorige hoofdstuk bekijken, waarbij we minder kracht moesten gebruiken naarmate
de arm groter werd, en dan vooral naar de zwaarte-energie dan valt op dat er wel een krachtbesparing optreedt,
maar geen energiebesparing. Dit bekijken we aan de hand van het volgende voorbeeld. In de situatie hiernaast is
ma 20kg, mb 5kg, AC 50 cm en BC 200 cm. Omdat kracht ∙ arm aan beide kanten gelijk is, is de hefboom in
evenwicht (20∙50 = 5∙200). Bij B hoeven we dus maar weinig
kracht te zetten om bij A een grote kracht te kunnen verplaatsen.
Kijken we echter naar de energie-inhouden, dan blijkt dat deze ook
gelijk zijn!
m∙g∙ha = - m∙g∙hb  20 ∙ 9,81 ∙ 0,25 = 5 ∙ 9,81 ∙ 1,00 (als B
1,00m omlaag gaat, gaat A 0,25m omhoog; gelijkvormige driehoeken). Met andere woorden, de energie-inhoud
van de hefboom blijft onveranderd.
Als je een auto-ongeluk krijgt en je draagt geen gordel dan blijf je tijdens de botsing met gelijke snelheid
vooruit bewegen totdat je tegen de voorruit komt (traagheidswet). Omdat de auto dan al stilstaat heb je maar een
hele kleine remweg. Omdat er geldt ½ m  v 2  F  s , is F dus erg groot; er gaat een hele grote kracht op je
lichaam werken. Als je daarentegen wel netjes de gordel draagt, dan krijg je een veel langere remweg; je wordt
al bijna meteen afgeremd als de auto snelheid begint te verminderen. Hierdoor krijgt de passagier een veel
grotere remweg en wordt de kracht F die op zijn lichaam staat veel kleiner.
De kreukelzone van een auto zorgt er ook voor dat de remweg vergroot wordt, en heeft dus hetzelfde effect als
de gordel (gecombineerd geven ze natuurlijk het beste resultaat).
§6 Vermogen
Het vermogen is een grootheid om verschillende apparaten met elkaar te kunnen vergelijken in het opzicht
hoeveel energie ze verbruiken (hoeveel arbeid ze verrichten). Een auto kan in een veel kortere tijd dezelfde
arbeid verrichten als een stofzuiger; het vermogen van de auto is dus groter.
Het vermogen wordt gegeven door de formule: P = W / t. Uit de formule volgt dat de eenheid van vermogen
Joule per seconde is. Hier wordt ook wel de naam Watt voor gebruikt (1 J/s = 1 Watt).
Met de formules W = F ∙ s en v = s/t vinden we wat het verband tussen vermogen en snelheid is.
W F s
s
P

 F   F  v . Bij een gloeilamp ligt het anders, daar spreken we niet van arbeid, maar van
t
t
t
energie die om wordt gezet in licht (stralingsenergie) en warmte. Hiervoor kunnen we schrijven: P = ΔE / t,
waarbij ΔE de omgezette hoeveelheid energie is.
§7 Rendement en energieverbruik
Het rendement van een apparaat is niets anders dan de hoeveelheid energie die nuttig wordt gebruikt. Er geldt:
Wnuttig
Pnuttig

 100 % maar ook  
 100 % , omdat P = W / t en P = ΔE / t.
Ein
Pin
Het energieverbruik van een auto is afhankelijk van: 1) de totale weerstand, 2) de rijstijl van
de bestuurder, 3) onderhoud v/d auto, 4) het rende ment van de motor en
5) het aantal ingeschakelde elektrische apparaten. Een vliegwiel wordt gebruikt om
bewegingsenergie tijdelijk om te zetten in rotatie-energie, om het daarna snel weer om te
zetten in bewegingsenergie. Het is een tijdelijke opslag van energie.
10
Hoofdstuk 4 – Licht
§1 Voortplanting en terugkaatsing van licht
Licht is iets wat we niet kunnen zien, maar het stelt ons wél in staat om voorwerpen waar licht op valt
te kunnen zien. Dit komt doordat een deel van het licht dat op een voorwerp valt weerkaatst wordt en
in onze ogen komt. Als je rook of mist ziet wordt het licht door de rook/water deeltjes in
alle richtingen weerkaatst en zou je kunnen denken dat je het licht zelf ziet. Maar dit is dus
niet het geval, je ziet alleen de weerkaatsing van het licht op die deeltjes.
Licht kan zich alleen voortplanten in doorschijnende stoffen (of vacuüm), in een stof als ijzer
wordt geen licht doorgelaten. Het voortplanten van licht in vacuüm en lucht blijkt te gaan
met een snelheid van 3,00∙108 m/s. Wat heel belangrijk is, is dat licht zich rechtlijnig
voortplant. Als je een lichtstraal ziet, dan is deze eigenlijk een lichtbundel, omdat een
lichtstraal heel erg smal is. Hele kleine bundels worden echter toch lichtstralen genoemd. Als
verschillende lichtstralen uit één punt komen en ze gaan uit elkaar, spreken we van een
divergerende lichtbundel. Komen de lichtstralen echter steeds dichterbij elkaar, om
uiteindelijk in één punt samen te komen dan spreken we van een convergerende
lichtbundel. Als alle stralen precies dezelfde richting hebben (en elkaar dus niet
snijden/kruisen) dan noemen we het een evenwijdige lichtbundel.
Behalve dat licht teruggekaatst wordt kan het ook geabsorbeerd worden, of doorgelaten waarna er
waarschijnlijk een andere richting waargenomen wordt; breking. Als licht op een ruw oppervlak
valt wordt het licht in alle mogelijke richtingen weerkaatst; diffuse terugkaatsing. Wil je
een evenwijdige lichtbundel weerkaatsen zodat het evenwijdig blijft dan heb
je een beperkte keuze van materiaal. Een voorbeeld is de “gewone” spiegel.
Wat je daarbij waarneemt noemen we spiegelende terugkaatsing.
Als een lichtstraal wordt weerkaatst, dan blijkt te gelden dat
invallende en teruggekaatste lichtstraal in één vlak liggen. Ook is de
hoek van inval ( i ) gelijk aan de hoek van weerkaatsing (  t ) of in
symbolen: i  t . Deze hoeken zijn de hoeken tussen de lichtstraal en de normaal
van het vlak waar de lichtstraal op valt! Loopt de lichtstraal andersom, dan treedt er nog steeds
dezelfde weerkaatsing op.
§2 Spiegel en spiegelbeeld
Als je een voorwerp voor een spiegel hebt staan, dan mag je een punt áchter de
spiegel tekenen (punt B) dat symmetrisch is met het originele punt (L) ten op
zichtte van de spiegel (S). Daarna kun je vanuit dat punt alle mogelijke
weerkaatsingen tekenen, en als laatste stap kun je vanuit het originele punt een
lijn tekenen naar het punt waar de virtuele straal de spiegel snijdt.
Lichtpunt L wordt ook wel het voorwerpspunt genoemd, en punt B het
beeldpunt.Om een lichtbundel te construeren kun je bovenstaande volgen, hier
links staat het uitgebeeld.
Omdat het beeld gelijkvormig is met het origineel en één voorwerpspunt
correspondeert met één beeldpunt spreken we van ideale beeldvorming.
Het beeld B dat hier wordt gebruikt is een virtueel beeld. Dit houdt in dat het
niet op een scherm te vangen is omdat het niet echt bestaat. Ga maar na; het is
een beeld dat wij tekenen om een makkelijke constructie uit te kunnen voeren.
Een beeld dat wel echt bestaat noemen we een reëel
beeld, wat wel op een scherm te vangen is. Een
lichtstraal die achter een spiegel “doorloopt” omdat wij
hem daar tekenen, bestaat eigenlijk niet. Daarom moet
die gestreept getekend worden.
11
§3 Breking van licht (1): de brekingswet
Als we licht laten vallen op een stukje glas, dan zien we dat het licht in het glas een andere
richting heeft dan in de lucht voor het glas. Er treedt breking op. Dit is alleen het geval
als er een hoek is tussen de lichtstralen en de normaal van het oppervlak van het glas.
Als deze hoek namelijk 0° is dan gaat het licht precies rechtdoor. Als het licht het glas
weer uit gaat treedt er opnieuw breking op. Bij de eerste keer wordt er
naar de normaal toe gebroken; de hoek van inval (i1) is groter dan de
hoek van terugkaatsing (r1). Bij het uitgaan geldt precies het omgekeerde;
de hoek van inval (in het glas!) is kleiner dan de hoek van breking; er
wordt van de normaal af gebroken.
Het verband tussen de invalshoek en de brekingshoek wordt gegeven door de
sin i
 n.
brekingsindex. Deze brekingsindex wordt gegeven door deze formule
sin r
Hierbij is n de brekingsindex. Ieder paar stoffen heeft een eigen brekingsindex. Voor de brekingsindex van
lucht naar glas schrijven we: nlg = 1,51, en voor lucht naar water: nlw = 1,33. Als er wordt geschreven over
de brekingsindex van water, dan hebben we het over de breking die optreed bij de overgang van lucht naar
water! Als er naar de normaal toe wordt gebroken is de brekingsindex groter dan 1.
De overgang van glas naar lucht is precies het omgekeerde van 1,51: 1/(1,51) = 0,66. We kunnen dit schrijven:
n g l 
1
nl  g
.
§4 Breking van licht (2): toepassingen
De breking van licht is te zien als je bijvoorbeeld een rietje in een glas hebt gestoken. Het lijkt dan
alsof het rietje gebogen is, maar dit is het niet! Rechts is te zien wat er eigenlijk gebeurt. Je
ogen denken dat het licht, dat gebroken wordt bij het uitgaan van het water, een rechte
straal is; alsof het licht uit het verlengde van de gebroken stralen komt (de gestippelde
lijnen). In werkelijkheid zit het rietje dus lager dan dat je denkt!
Als je door een prisma naar een potlood kijkt, dan blijkt er een merkwaardig fenomeen op te
treden. Er is sprake van volledige terugkaatsing. Dit wordt veroorzaakt door de grenshoek (g).
Dit is de hoek waarbij de brekingshoek precies 90° is. Deze grenshoek is als volgt te berekenen,
want er geldt (voor glas met n=1,51):
sin i
1
1
 ng l 

 0,662 . Nu kunnen we zeggen:
sin r
nl g 1,51
sin g
1
 0,662 en geeft dan g = 45°. “ sin g  ” is de algemene
sin 90
n
vorm van de formule voor de grenshoek van een stof.
Voor volledige terugkaatsing moet de hoek van inval groter zijn dan
de grenshoek en moet er van de normaal af gebroken worden.
Glasvezelkabels bestaan uit een groot aantal dunne glasvezeldraden
(deze zijn even dik als een haar!). Een glasvezeldraad bestaat uit een glazenkern met daaromheen een glazen
omhulsel. Omdat het omhulsel van een ander glas is en het licht dat er door gaat een bepaald minimum hoek
heeft is er een constante totale terugkaatsing, zodat er geen licht verloren gaat. Dit principe is goed te gebruiken
voor het vervoeren van informatie omdat er niets verloren gaat onderweg.
Als licht op een prisma valt dan blijkt dat je een waaier van verschillende kleuren (een spectrum) krijgt als het
licht de prisma verlaat. Dit komt doordat er voor verschillende kleuren licht (licht met verschillende
frequenties) een andere brekingsindex is. In tabel 18A van BINAS kun je de brekingsindices vinden van
gewoon glas, en er blijkt voor nv=1,52 en nr=1,51. Als er echter zwaar flintglas wordt gebruikt dan geldt er:
nv=1,94 en nr=1,88. Wit licht bestaat dus uit
alle kleuren van het spectrum en voor iedere kleur licht heeft
een stof een iets verschillende brekingsindex.
§5 Lenzen (1): een aantal belangrijke begrippen
Een lens is een doorschijnend voorwerp waarbij minimaal één oppervlak gebogen is. Bij een sferische lens is dit
oppervlak een deel van een boloppervlak. Als een lens aan beide kanten gekromd is dan hoeven de stralen van
de bollen waardoor “de kromming ontstaat” niet gelijk te zijn. Het optisch middelpunt ligt het dichtst bij het
12
lensoppervlak dat het meest gekromd is. Elke rechte lijn die door het optisch middelpunt gaat maar niet
samenvalt met de hoofdas noemen we een bijas van die lens.
Er zijn zes verschillende typen sferische lenzen, ingedeeld in twee groepen:
- de bolle (of positieve) groep. Deze lenzen zijn in het midden dikker dan aan de rand.
- de holle (of negatieve) groep. Deze lenzen zijn in het midden dunner dan aan de rand.
Een bolle lens breekt licht anders dan een holle; een bolle lens
werkt convergerend; het buigt lichtstralen naar elkaar toe. Een
holle lens werkt divergerend, het buigt lichtstralen van elkaar
af.
Voor dunne lenzen blijkt te gelden dat elke lichtstraal die door
het optische middelpunt gaat ongebroken door gaat.
Als we lenzen tekenen dan gebruiken we een dikke streep voor
een lens, waarboven we een + zetten als het een positieve lens
is, of een - als het een negatieve lens is.
Als een aantal stralen voor een lens evenwijdig aan de
hoofdas lopen, dan gaan ze na breking door de lens door één punt dat op de hoofdas ligt. Dit punt noemen we
het hoofdbrandpunt en geven we aan met de letter F. De afstand van het hoofdbrandpunt tot het optisch
middelpunt noemen we de brandpuntsafstand en geven we aan met de letter f. Als de stralen nu van de andere
kant evenwijdig komen, dan blijkt dat er aan de andere kant van de lens op precies dezelfde afstand ook een
hoofdbrandpunt! Als de invallende stralen nog wel evenwijdig aan elkaar lopen, maar onder een
hoek op de lens vallen dan blijkt dat alle stralen wéér door één
punt gaan. Dat punt licht op het bijbrandpunt F’ dat op
de bijas ligt. Het vlak waarin het
hoofdbrandpunt en de bijbrandpunten
liggen noemen we het brandvlak, en dat
brandvlak staat loodrecht op de hoofdas.
§6 Lenzen (2): beeldvorming en beeldconstructie
We hebben een convergerende bundel licht die het snijpunt vóór een lens heeft en we gebruiken dat punt als
voorwerpspunt (L) . De afstand van het gevormde beeld B tot het optisch middelpunt heet de beeldafstand,
symbool b.
Als de voorwerpsafstand (de afstand
van het optisch middelpunt tot de plaats
van het voorwerp, symbool v) groter is
dan de brandpuntsafstand dan is de
bundel na breking convergerend. Er
wordt een reëel beeld B gevormd.
Is de voorwerpsafstand kleiner dan de
brandpuntsafstand dan is er na breking
een divergerend bundel licht. Er wordt
dan een virtueel beeld B gevormd.
Als L in het brandpunt van de lens ligt,
dan ontstaan er na breking evenwijdige
stralen! Er is dus geen beeld omdat de
stralen na breking niet door één punt
gaan!
13
Meestal staat er niet één punt maar een voorwerp voor de lens. Zo’n voorwerp kun je zien als een verzameling
punten. Voor elk punt word er feitelijk een lichtstraal gebroken.
Als we een punt L hebben dat niet op de hoofdas ligt kunnen we als volgt het beeld construeren. We weten hoe
3 lichtstralen gebroken worden,
namelijk degene die door het optisch
middelpunt gaat, die door het brandpunt
voor de lens gaat en de straal die voor de
lens evenwijdig aan de hoofdas is. Als je
2 van deze constructie-stralen hebt
getekend dan weet je waar het beeldpunt
ligt.
Als we van de situatie hieronder het beeld BB’ van het voorwerp LL’ willen construeren moet je onthouden dat
BB’ net als LL’ loodrecht op de hoofdas moet staan! Nu hoeven we dus eigenlijk alleen het punt B’ te
construeren, B ligt namelijk op de hoofdas recht onder B’.
Omdat LL’ áchter het brandpunt
ligt moeten we de lichtstralen
doortrekken naar achteren (de
gestippelde lijnen). Er ontstaat
dus een virtueel beeld.
Als de voorwerpsafstand groter
is dan de brandpuntsafstand dan
zijn er 3 verschillende
mogelijkheden. Het beeld is dan reëel en omgekeerd (als het voorwerp boven de hoofdas is, dan hangt het beeld
daar als het ware onder, alsof het omgevallen is) en per situatie geld dan nog:
1) v > 2f, dan is het beeld verkleind (bijvoorbeeld als je een foto van iemand maakt).
2) v = 2f, dan is het beeld even groot als het voorwerp.
3) f < v < 2f, dan is het beeld vergroot (bijvoorbeeld als je dia’s projecteert).
Als de voorwerpsafstand kleiner is dan de brandpuntsafstand ontstaat er een virtueel beeld dat rechtop staat en
vergroot wordt. Dit is het geval als je door een loep naar een postzegel oid kijkt.
§7 Lenzen (3): lensformule en lineaire vergroting
1
N |

1

1
S
v b f
Als men met een bolle lens werkt, dan is f positief. Bij een holle lens is deze waarde echter negatief.
Bij een reëel beeld is b positief, maar bij een virtueel beeld is b negatief.
Vaak worden de grootte van het beeld en het originele voorwerp met elkaar vergeleken. Hiervoor heeft men de
lineaire vergroting ingevoerd. Deze lineaire vergroting (N of Nlin) geeft aan hoeveel maal het beeld groter is dan
het voorwerp. Omdat er altijd met de positieve waarde wordt gerekend schrijft men
Deze luidt als volgt:
b
|.
v
14
Hoofdstuk 5 – De werking van het oog
§1 Bouw van het oog; accommodatie van het oog
De iris is vergelijkbaar met het diafragma van een fototoestel. Het
kan de pupil groter en kleiner maken, en zo meer of minder licht
doorlaten. De grootte van de pupil varieert van 2-8mm (gemiddeld
4mm). Beide ogen reageren gelijk. Er zijn bepaalde invloeden die de
werking van de pupil beïnvloeden; drugs en alcohol zorgen voor
extra pupil vernauwing/verwijding. Als de pupilreflex niet goed is,
kan dit wijzen op hersen-beschadiging. Het middelpunt van het oog
wordt het knooppunt van het oog genoemd. In het algemeen wordt
dit punt bij lenzen het optisch middelpunt genoemd.
De gele vlek is het punt waar de meeste gezichtscellen zitten en men
dus het scherpst mee kan zien. Bij de blinde vlek verlaten de
zenuwen het oog en op dat punt is het oog ongevoelig voor licht.
Omdat je alles scherp ziet, geldt de formule 1/v + 1/b = 1/f
Hierbij geld dat de beeldafstand (b) een vaste waarde heeft, omdat het beeld altijd op dezelfde afstand
(=knooppunt tot netvlies) geprojecteerd wordt. Hieruit volgt dus dat het oog een variabele brandpuntsafstand
heeft.
Als de kringspier ontspannen is, is de ooglens het minst bol; hij is ongeaccommodeerd.
Als de kringspier max. aangespannen is, is de ooglens het bolst; hij is maximaal geaccommodeerd.
Als het oog maximaal geaccommodeerd is, dan is de brandpuntsafstand het kleinst.
§2 Nabijheidspunt en vertepunt; oudziendheid
Hoe sterker de convergerende (=naar de as toe) of divergerende (=van de as af) werking van een lens is, des te
sterker de lens genoemd wordt. De sterkte van een lens wordt gemeten in dioptrie (dpt).
S=1/f. S staat voor de lenssterkte (in dpt) en f voor de brandpuntsafstand in meters!!!
Een negatieve lens heeft een negatieve brandpuntsafstand, dus wordt de sterkte dus ook negatief!
Vb1: De sterkte van een lens met f=+50 is gelijk aan 1/0.5 = 2 dpt
Vb2: De sterkte van een lens met f=-25 is gelijk aan 1/-0.25 = -4 dpt
Het vertepunt is het punt dat het oog nog scherp kan zien als het ongeaccommodeerd is.
Verder dan het vertepunt kan het oog niet scherp zien!
Het nabijheidspunt is het punt dat het oog nog scherp kan zien als het maximaal geaccommodeerd is. Dichterbij
dan het nabijheidspunt kan het oog niet scherp zien!
Normaal oog:
Brengt evenwijdige lichtstralen in één punt op het netvlies samen. Deze stralen zijn afkomstig van een punt dat
oneindig ver weg op de hoofdas ligt. Ergo; een normaal oog heeft het vertepunt in het oneindige (VO = ∞).
Het nabijheidspunt hangt af van de elasticiteit van de ooglens; des te ouder je wordt, des te veder het weg ligt.
Oudziend oog
Kenmerk: het nabijheidspunt ligt te ver weg
Doordat het nabijheidspunt te ver weg ligt, kan je alleen voorwerpen op een bepaalde (grotere) afstand scherp
zien. Voor kleine dingen (bijvoorbeeld letters in een boek) is dat een probleem, door de grotere afstand zie je ze
(te) klein! Het oog heeft bij max. accommodatie een te zwakke convergerende werking. Om dit te verhelpen is
een positieve lens nodig. Deze maakt een virtueel beeld in het nabijheidspunt van het oog.
Voorbeeld:
15
Het nabijheidspunt van het oog ligt op 80cm. We willen dit terug
brengen naar 15cm.
1/v + 1/b = 1/f  1/15 + 1/-80 = 1/f 
f = 18,5cm. S=1/f  S=1/.185  S = 5.4 dpt
§3 Bijziendheid en verziendheid
Bijziendheid
Kenmerk: zowel het nabijheidspunt als het vertepunt liggen te dicht bij.
Het oog is te sterk; het heeft een te sterke convergerende werking! Hierdoor komt een evenwijdige lichtbundel
vóór het netvlies samen, waardoor een onscherp beeld ontstaat. Geen natuurlijke verbetering mogelijk;
accommoderen maakt de vlek alleen maar groter!
Oplossing: Een divergerende lens voor het oog plaatsen. Hierdoor worden de stralen van de as af gebroken,
waardoor de convergerende werking van het oog (die te sterk is) ongedaan wordt gemaakt.
De brandpuntsafstand moet gelijk zijn aan de vertepunt afstand; de stralen moeten hiervandaan lijken te komen!
Voorbeeld:
Sterkte van de bril:
Stel:VO = 50cm NO = 6cm
De sterkte van de bril: f = - 50cm  S= -2,0 dpt
Het nabijheidspunt met bril:
1/f = 1/v + 1/b 1/-50 = 1/-6 + 1/x
 x = 6.8 cm
Verziendheid
Kenmerk: zowel het nabijheidspunt als het vertepunt liggen te ver weg.
Het oog is te zwak; het heeft een te zwakke convergerende werking! Hierdoor komt een evenwijdige
lichtbundel ná het netvlies samen, waardoor een onscherp beeld ontstaat. Dit kan het oog corrigeren door
constant te accommoderen, maar dit moet ook voor objecten erg ver weg, waardoor je ogen moe worden, wat
hoofdpijn kan veroorzaken.
Oplossing: Een convergerende lens voor het oog plaatsen. Hierdoor worden de stralen naar de as toe gebogen,
waardoor de zwakte van het oog wordt opgeheven.
De brandpuntsafstand moet gelijk zijn aan de vertepunt afstand; de stralen moeten hiervandaan lijken te komen!
Voorbeeld:
Sterkte van de bril:
Stel:VO = 80cm NO = 30cm
De sterkte van de bril: f = 80cm  S= 1,25 dpt
Het nabijheidspunt met bril:
1/f = 1/v + 1/b 1/80 = 1/-30 + 1/v
 v = 22 cm
§4 Gezichtshoek; loep; werking van de pupil
Gezichtshoek
De gezichtshoek is de hoek tussen de 2 lichtstralen die van de uiteinden van het
voorwerp komen en die door het knooppunt van het oog gaan. Des te groter de
gezichtshoek is, des te duidelijker je het voorwerp kan zien.
Werking van de loep
16
Een loep is eigenlijk niets anders dan een positieve lens die zorgt dat je nabijheidspunt dichterbij komt
te liggen. Hierdoor wordt de gezichtshoek groter, waardoor je het voorwerp groter op je netvlies te
zien krijgt.
Als je het voorwerp iets binnen het brandpunt van de loep houdt, wordt er een virtueel beeld gevormd,
waardoor het lijkt of je het voorwerp iets verder weg houdt.
Werking van de pupil
Lichtsterkte wordt uitgedrukt in lux. De pupil reageert op de lichtsterkte. Zoals eerder gezegd kan deze
(diameter)grootte variëren van 2 tot 8 millimeter. Het verschil tussen het minste licht en het meeste
licht is dus: 42 = 16 keer.
Angulaire Vergroting
Nang = n/f  Nang is de hoekvergroting waarmee je het voorwerp ziet.
Hoekvergroting die optreed als je een voorwerp bekijkt in NO (max. geaccommodeerd) en vervolgens
naar hetzelfde voorwerp kijkt via een loep en ongeaccommodeerd. De brandpuntsafstand moet gelijk
zijn aan de vertepunt afstand; de stralen moeten hiervandaan lijken te komen!
Voorbeeld:
Hoe groot is de hoekvergroting als het voorwerp in NO staat ipv VO?
Nang = ß / α  hoekvergroting
17
Hoofdstuk 6 – Elektriciteit
§1 Spanningsbron en stroomkring
Stromingen worden veroorzaakt door drukverschillen. Zo stroomt water naar
het laagste punt, en stroomt lucht van een hoge luchtdruk naar een lage
luchtdruk. Elektrische stroom loopt van een plek met een hoge potentiaal naar
een plek met een lage potentiaal. Elektrische stroom wordt dus veroorzaakt
door een potentiaalverschil.
Het potentiaalverschil wordt ook wel de spanning genoemd!
Het symbool van spanning is: “U”. De spanning wordt uitgedrukt in volt (V)
Een standaard batterijcel levert een spanning van 1,5V. Als je een grotere
spanning wilt, moet je meerdere batterijcellen in serie schakelen. Het geheel
van batterijcellen dat je dan krijgt noem je een batterij. De batterij (of
spanningsbron) kun je zien als de pomp die de elektrische stroom rondpompt.
Een stroomkring is het geheel van de spanningsbron, de elektriciteitsdraden,
en het apparaat dat is aangesloten.
Een stroomkring tekenen we met een schakelschema. Dit is een schematische
tekening van een stroomkring. In zo’n tekening worden symbolen (zie figuur
hiernaast) gebruikt om fysieke dingen voor te stellen.
§2 Elektrische lading
Elektrische stroom bestaat uit bewegende elektrisch geladen deeltjes. Er zijn 2 soorten ladingen.
Een positieve en een negatieve. Als je barnsteen met wol opwrijft, kan het kleine dingen aantrekken. Het is dus
in een staat gekomen waarin het krachten uit kan oefenen. Het stukje barnsteen is nu elektrisch geladen, ofwel:
het heeft een elektrische lading gekregen.
Glas kan je met een zijden lap opwrijven, en eboniet met een bontvelletje. Als je twee gelijkwaardige staven bij
elkaar brengt zullen ze elkaar afstoten, terwijl twee verschillende staven elkaar zullen aantrekken! Men heeft de
lading die het glas krijgt positief genoemd, en die van eboniet negatief.
Stoffen waardoor elektrische lading zich wel kan verplaatsen noemen we geleiders.
Stoffen waardoor elektrische lading zich niét kan verplaatsen noemen we isolatoren.
Als je een geladen geleider met de aarde verbind, ontlaadt deze zich!
Elektrische verschijnselen kun je verklaren met de bouw van een atoom.
Het atoom model van Rutherford – Bohr
Elk atoom bestaat uit een atoomkern, waar elektronen omheen zweven.
Het atoom is elektrisch neutraal. De kern is positief en de elektronen negatief, maar zo dat ze precies in
evenwicht zijn.
- Elektronen zitten in schillen om de kern heen (K,L,M, enz)
- De afstand tussen de elektronen en de kern is zeer groot.
- De massa en de lading van ieder atoom zijn verschillend
Ionen zijn atomen, waar minder óf meer elektronen omheen zweven dan normaal. Bij een magnesium ion wordt
de lading bijvoorbeeld 2+. Het symbool van dit ion is dan: Mg2+.
Chloor daarentegen neemt makkelijker elektronen op, en wordt dan Cl- (1e negatief).
Atoomkernen, elektronen en ionen worden ladingdragers genoemd. De lading is dus altijd aan een stukje
materie gekoppeld. Als je de glazen staaf opwrijft, wrijf je elektronen van het glas af, waardoor het glas positief
geladen wordt.
De eenheid van lading is coulomb (symbool Q). Deze eenheid hangt samen met de eenheid van elektrische
stroomsterkte. De kleinste hoeveelheid waarin een lading kan voorkomen, noemt men de elementaire lading.
Deze lading wordt voorgesteld met e. Deze lading is 1,60 · 10-19 C groot.
1 C telt dus 6,25 · 1018 elektronen.
-
§3 Elektrische geleiding in metalen, stroomrichting en stroomsterkte
Doordat een elektron dat zich in de buitenste schil van een atoom bevindt niet zo sterk wordt aangetrokken door
de kern, kan het gemakkelijk van atoom naar atoom springen. Zo kan het zich door het hele metaal verplaatsen.
18
Zo’n elektron noemen we een geleidingselektron. Je kunt dus zeggen dat een stuk magnesium bestaat uit
magnesiumionen met daartussen losse elektronen.
De ionen liggen vast in een rooster. Ze worden bij elkaar gehouden door de elektronen.
Als je een spanningsbron hebt met daaraan verbonden een metaaldraad, gaat er een elektrische stroom lopen.
Deze stroom is feitelijk niets anders als de geleidingselektronen die zich in één bepaalde richting verplaatsen.
Elektrische geleiding in een stof is alleen mogelijk als er in die stof vrij beweegbare ladingdragers aanwezig
zijn. In metalen zijn dat de geleidingselektronen.
De stroomrichting kan soms belangrijk zijn. De elektronen lopen in de tegengestelde richting (van – naar +) dan
de afgesproken stroom richting (van + naar -).
De stroomsterkte wordt weergegeven met het symbool I. De eenheid hiervan is ampère
(symbool A). Als de stroomsterkte in een draad 1 A is, dan gaat er per seconde 1C aan lading
door die draad. De bijbehorende formule is: I = Q / t wat neer komt op: 1A = 1 C∙s-1.
Bij een vertakking geldt dat I = I1 + I2 + I3. Dit is logisch, want de lading wordt gewoon
verdeeld over de 3 draden!
Als je de stroomsterkte door een apparaat (bijvoorbeeld een lampje) wilt meten, dan moet je een ampère meter
in serie schakelen met dat apparaat. De stroomsterkte moet namelijk gelijk zijn met die door het lampje gaat!
Als je de spanning op een apparaat (bijvoorbeeld een lampje) wilt meten, dan moet je een voltmeter (ook wel
spanningsmeter genoemd) parallel schakelen aan dit lampje. Je meet dan het potentiaal verschil tussen de
punten A en B, waartussen het lampje ligt.
Bij het aansluiten van deze meters moet je er voor zorgen dat je ze goed aansluit, ze slaan namelijk maar 1 kant
op uit! De stroom moet via het rode aansluitpunt de meter binnenkomen, en er via de zwarte weer uit gaan. Veel
meters hebben meerdere meetbereiken. Je begint dan met het aansluiten op het grootste bereik. Als de meter dan
maar weinig uitslaat, verklein je het bereik.
§4 Wet van Ohm, meten van weerstand
De weerstand geeft aan hoe gemakkelijk een stroom door een draad of apparaat kan gaan. De weerstand hangt
samen met de stroomsterkte en de spanning.
Als je een variabele spanningsbron hebt (voedingskastje), dan kan je een test doen met een ‘draadkokertje’
(=weerstandje). Dit is een kokertje waarop een zeer dunne draad is gewonden, die aan (veel dikkere)
aansluitdraden zijn verbonden. Als je dan een voltmeter en een ampèremeter gebruikt om te bepalen wat de
stroomsterkte is bij verschillende voltages (stroomspanningen), dan zul je zien dat er een constante verhouding
tussen de spanning en de stroomsterkte is.
Dit volgt uit U / I. Deze contante verhouding betekent dat de wet van Ohm geldt. Bij bijvoorbeeld een lampje
is U / I niet constant, dus geldt deze wet niet!
De weerstand wordt aangeduid met het symbool R en de formule U / I. De eenheid hiervan
is Volt per ampère. Deze eenheid wordt ook wel ohm (Ω) genoemd. 1 ohm is dus 1 volt per
ampère. In formule: 1 Ω = 1 Volt per Ampère.
Om een weerstand te berekenen moet je dus de stroomsterkte en de spanning weten.
Hiervoor maak je een opstelling waarin je deze kan meten, zodat ze gelijk zijn aan die over
het weerstandje. Eenmaal gemeten gebruik je de formule R = U / I.
De weerstand van de huid hangt af van de toestand waarin deze zich bevindt. Een vochtige huid heeft een lagere
weerstand dan een droge. Het vocht op de huid bevat vaak (veel) zout, en is daarom een goede geleider. In het
lichaam zit ook veel water met opgelost zout, dus ook dit is een goede geleider. Bij een vochtige huid wordt een
spanning van 30 V als ongevaarlijk beschouwd.
§5 Weerstand van een draad
De weerstand is recht evenredig met de lengte van de draad. Dit volgt uit een proef, waarbij de
weerstand van meerdere stukken constantaandraad met dezelfde dikte, maar met een andere lengte,
worden gemeten.
De weerstand van een metaaldraad is omgekeerd evenredig met de doorsnede van de draad. Dit
volgt uit een proef, waarbij de weerstand van meerdere stukken constantaandraad met dezelfde
19
lengte, maar met een andere dikte, worden gemeten.
Voor de weerstand van een metaaldraad geldt dus:
- De weerstand is evenredig met de lengte van de draad: R ~ l
- De weerstand is omgekeerd evenredig met de doorsnede van de draad:
R ~ 1/A. Hieruit volgt: R ~ l · 1/A, dus: R ~ l/A. En dus geldt: R =
constante · l/A
Als je vervolgens draden van verschillende materialen met elkaar gaat vergelijken
(uiteraard dezelfde lengte en dikte), blijkt dat de resultaten sterk kunnen verschillen! De
weerstand van een draad hangt dus ook af van het materiaal van de draad. De constante van
daarnet, heet de soortelijke weerstand. Hiervoor wordt het symbool ρ gebruikt. Je krijgt
dan:
 l
R
A
Deze soortelijke weerstand kan je gebruiken om bijvoorbeeld de lengte of de dikte van de draad uit te rekenen.
Een ander soort weerstand is de regelbare weerstand. Hierbij kan je regelen hoeveel weerstand de stroom zal
ondervinden. Op een dergelijke manier werkt de volumeknop van bijvoorbeeld een radio.
§6 Weerstand en temperatuur: ‘bijzondere’ weerstanden
De weerstand van een metaaldraad neemt toe als de temperatuur van die draad stijgt.
Als je een lampje hebt en de stroomsterkte hoog genoeg is om het te laten branden, dan is de temperatuur van
de draad tot ruim 2000 ºC opgelopen. De weerstand is dan meer dan 10x zo groot geworden!
Een PTC is een stof (bijvoorbeeld metaal) die een positieve temperatuurscoëfficiënt heeft. Dit houdt in dat
naarmate de temperatuur stijgt, de weerstand ook stijgt!
Een NTC is een stof (bijvoorbeeld grafiet, silicium en germanium) die een negatieve temperatuurs-coëfficiënt
heeft. Dit houdt in dat naarmate de temperatuur stijgt, de weerstand daalt!
Een LDR (Light Dependent Resistor)is een weerstand waar de weerstand bepaald wordt door hoeveelheid licht
die op het weerstandje valt. Hoe meer licht er op het weerstandje valt, des te lager de weerstand wordt! Een
LDR wordt bijvoorbeeld gebruikt bij de straatverlichting, maar ook bij een belichtingsmeter op een fototoestel.
Een bijzonder schakelelement is de halfgeleiderdiode. Zo’n diode is vaak gemaakt van silicium. Silicium wordt
een halfgeleider genoemd omdat deze stroom zelf redelijk kan geleiden. Door het te mengen met andere stoffen
krijgt het silicium betere geleidingseigenschappen.
De kenmerkende eigenschap van een diode is dat hij de stroom maar in één richting doorlaat. Bij het symbool
van een diode geeft de richting van de pijl aan in welke kant de geleiding mogelijk is.
Als je een stroomkring bouwt met een diode (met bijvoorbeeld een lampje), en het lampje gaat branden, dan
zegt men dat de diode in doorlaatrichting is geschakeld. Als het lampje echter niet gaat branden, dan is de diode
in sperrichting geschakeld. Een speciaal soort diode is de LED (Light Emitting Diode). Dit soort diode geeft
licht als het in doorlaatrichting geschakeld is.
Symbolen bij de verschillende soorten weerstanden:
PTC-weerstand
NTC-weerstand
LDR
Diode
LED
§7 Elektrische energie en elektrisch vermogen
Bij stroomverbruik wordt er geen stroom verbruikt, alleen maar de elektrische energie die het levert! De stroom
is alleen maar het transportmiddel voor de energie. Bij ieder elektrisch apparaat treedt warmte ontwikkeling op.
Bij apparaten die dit juist willen (denk aan strijkbout, elektrischa kachel), wordt bijna alle elektrische energie
omgezet in warmte.Als je een stroom 10 minuten laat lopen door een draad, geeft hij 2x zo veel energie af als
hij maar 5 minuten zou lopen. Ee ~ t: De elektrische energie is evenredig met de tijd.
Als de stroomsterkte 2x zo groot is, dan wordt er ook 2x zoveel energie afgegeven.
Ee ~ I: De elektrische energie is evenredig met de stroomsterkte.
Als de spanning 2x zo groot is, dan is de energie afgifte ook 2x zo groot,
Ee ~ U: De elektrische energie is evenredig met de spanning.
20
Voor Ee blijkt de formule: Ee = U · I · t. (waarbij U de spanning is, I de stroomsterkte en t de tijd. Het vermogen
kan worden geschreven als: P = E / t. De eenheid is dan watt (W). Pe = U · I · t / t = U · I . 1 Watt is dus 1 volt
· ampère. Kilowattuur (kWh) is de energiemaat die elektriciteitsbedrijven hanteren.
1 kWh = 1000W · 3600s = 1000J/s · 3600s = 3.6·106J = 3.6MJ
Voor een verwarmingselement (=1 groot weerstand) geldt dat U = I · R. Als je dan de formule van elektrische
energie bekijkt, zie je dat je dit kan schrijven: Ee = U · I · t  Ee = I · R · I · t  Ee = I2 · R · t
Bij benadering is de hoeveelheid warmte dus Q = I2 · R · t
§8 Weerstanden parallel; weerstanden in serie
Doordat op het lichtnet aangesloten apparaten parallel aangesloten zijn, kan je een apparaat zomaar uitzetten
zonder dat het invloed heeft op de andere apparaten. Als je alles in serie zou schakelen (kerstverlichting), dan
zou alles uitvallen zodra er 1 apparaat uitvalt.
Stel dat de spanning op het plaatje hiernaast 6V is. I1 = 6.0V / 30Ω = 0,20 A.
Dan is I2 = 6.0V / 20Ω = 0,30 A
De “hoofdstroom” is dan I1 + I2 = 0,50 A
Bij een parallelschakeling vertakt de hoofdstroom zich dus in 2 aparte
stromen!
Je hebt nu dezelfde stroomkring, alleen zijn de 2 parallelle weerstanden nu
vervangen door 1 weerstand. Deze weerstand noemt men de
vervangingsweerstand. De spanning en de stroomsterkte zijn dus even groot
als bij de vorige schakeling (6,0 V en 0,50 A). De weerstand moet nu dus
R = 6,0V / 0,50A = 12,0Ω zijn.
Nu kunnen we een verband tussen R1, R2 en Rv zien. Dit is namelijk:
1
1
1


Rv R1 R2
Door weerstanden (= apparaten) parallel te schakelen neemt de weerstand af; ga maar na: de totale weerstand
van het voorbeeld van daarnet (waar R1 en R2 parallel geschakeld waren) was veel kleiner dan de 2 losse.
Als je 2 weerstanden in serie schakelt, krijg je de volgende situatie:
Als de stroomsterkte 0,12A is, dan wordt Uab 0,12A ∙ 30Ω = 3,6V en Ubc
0,12A ∙ 20Ω = 2,4V. De totale spanning is dus Uab + Ubc = 6,0V.
De spanning van een serieschakeling wordt dus verdeeld over de in
serie geschakelde apparaten.
Je hebt nu weer dezelfde stroomkring, alleen zijn de 2 seriële weerstanden nu
vervangen door 1 weerstand. De stroomsterkte is nog steeds 0,12A en de
spanning, zoals uitgerekend, 6,0V. De weerstand moet dus R = 6,0V / 0,12A
zijn. De weerstand is dus 50Ω.
De vervangingsweerstand van een serieschakeling is dus de som van de
originele weerstanden! (Rv = R1 + R2)
Door weerstanden (= apparaten) in serie te schakelen neemt de weerstand toe; ga maar na: de totale weerstand
van het voorbeeld van daarnet (waar R1 en R2 in serie geschakeld waren) was even groot als de twee losse
samen.
21
Een combinatie van schakelingen:
Dit is een schakel situatie, waar R1 en R2 in serie zijn, en
samen parallel zijn met R3. Dit samen staat dan weer in serie
met R4.
R1 en R2 kunnen worden vervangen door 1 weerstand van
75Ω. (15Ω + 60Ω)
Rv12 en R3 kunnen worden vervangen door een weerstand
van: 1/75 + 1/50 = 1/Rv123  Rv123 = 30Ω.
Rv123 en R4 kunnen worden vervangen door 1 weerstand van
40Ω (30Ω + 10Ω).
I = Ubat / Rv = 12,0V / 40Ω = 0,30A
Op R4 staat dan (U = I · R) 0,30A / 10Ω = 3,0V. Op de weerstanden R1, R2, R3 staat dus 9,0V. Door Rv12 gaat
dan (I = U / R) 9,0 / 75Ω = 0,12A. Door R3 gaat dus (I = U / R) 9,0 / 50Ω = 0,18A.
§9 De juiste spanning; veilig toepassen van elektrische stroom
Als je een apparaat hebt dat niet op het lichtnet aangesloten kan worden (omdat het de hoge spanning van 230V
niet kan verdragen), kan je dat oplossen door het in serie te schakelen met een ander voorwerp zodat het toch de
juiste spanning krijgt. Maar als je dan een ander voorwerp parallel zet aan 1 van de 2 in serie geschakelde
voorwerpen, klopt de spanning niet helemaal meer.
Met een potentiometer kan men snel vinden wat de juiste spanning wel moet zijn. Deze meter is een grote
weerstand, waar een glijcontact langs kan bewegen. Hierdoor wordt de weerstand feitelijk in 2 stukken
verdeeld, waarover een deel van de spanning staat. Een potentiometer is goedkoop te maken. Een nadeel is wel
dat door het ongebruikte deel toch een stroompje loopt, wat tot energieverlies lijdt.
Een adapter is eigenlijk niets anders dan een transformator. Een transformator bestaat uit 2 klossen koperdraad,
die geen elektrisch contact met elkaar maken. De transformator geeft de elektrische energie van de ene op de
andere spoel door via een andere energievorm!
Een transformator werkt alleen met wisselspanning, dus als er gelijkspanning nodig is moet er een schakeling
met dioden worden gebouwd. Als je op de tweede spoel een glijcontact maakt, kan je de spanning die je wilt
verkrijgen aanpassen!
In een huisinstallatie zijn alle groepen parallel geschakeld. Dit geld ook voor alle apparaten.
Hierdoor worden alle apparaten met dezelfde spanning aangesloten! (in Nederland 230V)
Als er door een draad een grote stroomsterkte gaat, dan is er een kans dat de isolatiemantel smelt. Hierdoor kan
dan brand ontstaan. Hiervoor zijn zogenaamde smeltzekeringen in de huisinstallatie opgenomen. Zo’n zekering
bevat een smeltpatroon, waarin een dunne draad zit die bij een bepaalde stroomsterkte smelt. De gemiddelde
stop is 16A, omdat de draden van hedendaagse huizen daar op zijn berekent. De hoofdzekering is meestal 25A.
Een te grote stroomsterkte kan worden veroorzaakt door 2 dingen: overbelasting en kortsluiting.
Overbelasting: Als je 2 apparaten aan hebt staan die samen meer dan 16A aan stroomsterkte eisen, spreekt men
van overbelasting. Dit kunnen bijvoorbeeld een wasmachine en een droger zijn.
Als de wasmachine een vermogen heeft van 1,8kW en de droger een vermogen van 2,2kW, dan volgt er dus dat
(P = U · I  4,0 · 103 = 230 · I  I = 17,4A). De zekering zal hierdoor dus smelten.
Kortsluiting: Hiervan spreekt men als de stroom die eigenlijk door een apparaat zou moeten gaan direct door
de elektriciteits draden weer terug gaat. Hierdoor ondervindt de stroom minder weerstand, waardoor er veel
hogere stroomsterktes kunnen ontstaan (100A of meer). Ook hierdoor zal de zekering smelten.
In de elektriciteitskabel die het huis binnen komt zitten 2 draden: de fasedraad en de nuldraad. De nuldraad is
geaard, en daarom voert de fasedraad de spanning van 230V
Stel dat de fasedraad van een wasmachine contact maakt met de behuizing ervan. Als jij dan die wasmachine
aanraakt, ga jij als geleider werken (immers, de stroom gaat van de fasedraad via je lichaam naar de aarde). Dit
kan dodelijk zijn, en daarom kun je beter de wasmachine aarden.
Behalve de elektriciteitskabel komt er ook nog een aardleiding je huis binnen. Die is verbonden met een
metalen staaf die diep in de grond steekt, zodat die contact maakt met het grondwater.
Als je de wasmachine dan aansluit op een wandcontactdoos mét randaarde, dan is deze verbonden met die
metalen staaf.
Als je nu de wasmachine aan zou raken, dan zou de stroom niet door jou maar door de randaarde gaan lopen,
omdat als de stroom door jou zou lopen de stroom een grotere weerstand zou ondervinden!
Door die hele kleine weerstand ontstaat er kortsluiting, en is de stroomkring dus onderbroken.
22
Apparaten met een metalen hulsel horen geaard te zijn, omdat er anders een risico op schokken is.
Sommige apparaten zijn dubbel geïsoleerd, deze hoeven niet geaard te zijn.
Het isolatiemateriaal van: fasedraad is bruin, de nuldraad blauw, aarddraad geel/groen.
Als je de fasedraad aanraakt, biedt een zekering geen beveiliging: die gaat pas “af” bij 6-16A. Voor je lichaam
is een stroomsterkte van 40mA al heel gevaarlijk. 100mA is meestal al dodelijk!
Hiervoor is de aardlekschakelaar opgenomen in de huisinstallatie. Dit apparaat reageert op het verschil in
stroomsterkte in de fasedraad en de nuldraad.
Als alles “ok” is, zijn die stroomsterkten even groot. Als er een stroom (via je lichaam) naar de aarde loopt, dan
is de stroomsterkte in de nuldraad dus kleiner! Als dit verschil groter wordt dan 30mA, dan wordt binnen 0,2 s
de huisinstallatie uitgeschakeld. Er gaat dan een schakelaar open waar zowel de fasedraad als de nuldraad in
zitten.
Behalve de aardlekschakelaar is er nog een andere beveiliging: de scheidingstransformator.
Je hebt dan 2 kanten: aan de ene kant heb je een fase en een nul draad, maar aan de andere kant kun je geen
onderscheid maken!
Als je aan de 2e kant draad 1 aanraakt, wordt dat de nul draad, en komt er op de 2e draad 230V te staan!!!
Als je aan de 2e kant draad 2 aanraakt, wordt dát de nul draad, en komt er op de 1e draad 230V te staan!!!
Maar als je allebei de draden tegelijk aanraakt heb je wel een probleem: er gaat een stroom door je lopen, maar
de aardlekschakelaar heeft niet door dat er iets fout is, omdat de stroom toch via de nuldraad van de 1e kant
“terug gaat”!!!
23
Hoofdstuk 7: Trilling en Golf
§1 Kenmerken van een trilling
Een trilling is een periodieke (= constante, gelijke) beweging,
die door een evenwichtsstand gaat. Deze evenwichtsstand is de
positie waar het voorwerp is als het in rust is. Dit punt is te
herkennen aan het gegeven dat de helling van de grafiek er
maximaal is.
Als we de beweging van hiernaast bekijken, zien we dat deze
een uitwijking heeft. Het symbool voor uitwijking is u.
Als de uitwijking maximaal is, noemen we de uitwijking de
Amplitude (aangegeven met A). De amplitude is altijd positief!
Dit kunnen we schrijven als: A = | umax |
De trillingstijd van een voorwerp is de tijd waarin één
volledige trilling wordt uitgevoerd. In het bovenstaande plaatje
is dus precies één trilling weergegeven. De tijd die hierover
wordt gedaan is de trillingstijd. De trillingstijd heet ook wel de periode en het symbool hiervan is T. Nu kunnen
we de frequentie uitrekenen. De frequentie is het aantal trillingen per seconde. Om deze uit te rekenen delen we
dus 1 seconde door het aantal secondes dat een trilling duurt: f = 1 / T. De eenheid van frequentie is Herz (Hz).
De rode lijn in het figuur hierboven is een sinusoïde. Als een trilling de vorm heeft van een sinusoïde, dan
spreken we van een zuivere toon.
Als je een voorwerp in trilling brengt (bijvoorbeeld een stemvork), dan zal de uitwijking langzaam afnemen
naar nul. Dit komt door de wrijving die het voorwerp door de lucht ondervindt, maar ook de wrijving tussen de
verschillende delen van het systeem. Deze trilling noemen we een gedempte trilling.
§2 Registreren van trillingen
Een oscilloscoop is een apparaat dat een elektrische spanning als functie van de tijd kan weergeven.
Deze spanning wordt met een stip weergegeven. Als de spanning 0 is staat deze in het midden, als deze positief
is gaat hij naar boven, en als hij negatief is dan gaat deze naar beneden. Als dit snel genoeg gaat, lijkt het alsof
er een verticale streep staat. Als de stip ook nog van links naar rechts gaat bewegen krijgen we te zien hoe de
spanning als functie van de tijd verloopt. Op een oscilloscoop kunnen we de tijdbasis instellen, ofwel de tijd
waarin de stip van links naar rechts beweegt.
Het scherm van een oscilloscoop bestaat uit 10x8 hokjes. Als de stip dus van links naar rechts gaat, dan heeft hij
10 hokjes afgelegd. Als de de tijdbasis op 1 ms/div staat, dan doet hij 1 ms over 1 hokje, dus 10 ms over het
hele scherm!
Met het beeld van een oscilloscoop kan de trillingstijd en de frequentie worden bepaald.
Als de tijsbasis 2,0 ms/div is, en er precies 5 trillingen op het scherm staan, dan duren die 5 trillingen 20 ms.
5T = 20 ms  T = 4 ms = 4,0 ∙ 10-3 s. f = 1 / T  f = 1 / 4,0 ∙ 10-3 = 250 Hz
Als er meer toppen en dalen op het beeld van een oscilloscoop komen, dan is de frequentie groter en is de toon
hoger! Hoe groter de amplitude is, des te sterker de toon is.
§3 Fase en faseverschil
Voor ieder periodiek verschijnsel kunnen we het begrip fase
gebruiken. Het symbool is φ (uitspraak: fie). De fase is het deel
van de beweging dat een (periodiek bewegend) voorwerp heeft
afgelegd. De fase is een getal zonder eenheid, en geeft aan hoeveel
omlopen er sinds “het nulpunt” zijn afgelegd. De gereduceerde
fase is als de stand onafhankelijk is van de hele getallen (dus als je
deze fases hebt: ¼, 1¼, 2¼, is de gereduceerde fase ¼). Er geld
dan ook: 0 ≤ φr < 1. Als de gereduceerde fase gelijk is, dan bevinden twee punten zich in dezelfde
“trillingstoestand” (zelfde uitwijking, zelfde richting)
Voor de fase geldt de volgende formule: φ = t / T.
Een verschil in fase tussen twee punten noemen we het faseverschil (Zo is de notatie voor het faseverschil
tussen punt A en B: ΔφAB). Zo geldt dus ook: Δφ = Δt / T.
24
Als het faseverschil 0 is, dan trillen de trillingen “in fase”. Als het faseverschil ½ is, dan trillen twee trillingen
“in tegenfase”.
§4 De harmonische trilling; wiskundig gezien
Zoals eerder gezegd is ene harmonische trilling een sinusoïde. Hierdoor is er een (eenvoudige) wiskundige
formule op te stellen voor een harmonische trilling. In BINAS staat:
u(t) = A • sin (2π • f • t) (A = amplitude, f = frequentie, t = willekeurig tijdstip)
LET OP!!! Deze formule kan je alleen gebruiken als de grafiek stijgend door de oorsprong gaat!!! In deze
formule moet ook je GR op radialen staan!
§5 De harmonische trilling; oorzaak en gevolg
Stel we hebben een blokje dat aan een veer (met C = 20 N∙m-1) hangt. In rust is de veerkracht gelijk aan de
zwaartekracht, er is immers geen resulterende kracht. Als we het blokje wat naar beneden trekken (10 cm), dan
ontstaat er een resulterende kracht naar boven! Hierbij kunnen we de formule
Fres = -C • u gebruiken. Hierbij is een uitwijking naar beneden positief, en naar boven negatief.
De resulterende kracht Fres is recht evenredig met de uitwijking u.
In de grafiek loopt de lijn door de oorsprong. Op dat punt is de snelheid maximaal, de resulterende kracht is
daar immers 0. Als het blokje een uitwijking van 10 cm heeft, gaat het blokje omhoog (er is immers een
omhoog gerichte resulterende kracht). In de evenwichtstand is de snelheid maximaal, en vanaf daar zal de
snelheid weer af gaan nemen. Op 10 cm boven de evenwichtstand (uitgaande dat er geen wrijving is) is “wint”
de zwaartekracht het weer van de veerkracht, en zal het blokje weer naar beneden gaan. In de evenwichtsstand
heeft het dan weer de maximale snelheid, waarna het zal af gaan remmen. Dit herhaalt zich steeds. De periode
is compleet.
De resulterende kracht op het blokje is de oorzaak van de harmonische trilling (het gevolg).
De trillingstijd kan door de volgende formule worden berekend: T  2 m / c .
Bij een slinger is de trillingstijd onafhankelijk van de massa. Bij een kleine uitwijkingshoek blijkt de volgende
formule te gelden: T  2 l / g . Een uitwijking is positief als hij naar rechts gaat, en negatief als hij naar links
gaat. Een kracht naar rechts is positief, en naar links negatief.
De resulterende kracht, die zorgt dat het voorwerp weer terug gaat naar de evenwichtstand, wordt ook wel de
terugdrijvende kracht genoemd.
§6 Snelheid, versnelling en energie van een harmonisch trillend voorwerp
Harmonische trillingen worden gekenmerkt door de sinusfunctie van de uitwijking tegen de tijd.
Van een (u,t)-diagram (uitwijking-tijd-diagram) kun je een (v,t)-diagram (snelheid-tijd-diagram) maken. Dit doe
je met behulp van de raaklijnmethode. Hieruit blijkt te volgen dat een (v,t)-diagram de vorm van een cosinus
heeft. Op u = umax is de snelheid 0, op u = 0 is hij het grootst. Voor de maximale snelheid geldt: vmax = (2π·A) /
T. Uit een (v,t)-diagram is een (a,t)-diagram te maken (versnelling-tijd-diagram) , ook weer door gebruik te
maken van raaklijnen. Dit blijkt een negatieve sinus te zijn.
Als de (u,t) en de (a,t)-diagrammen worden vergeleken, dan zijn deze precies tegenovergesteld!
Omdat F = m · a, en de resulterende kracht en de uitwijking in tegengestelde richting werken, zijn de
versnelling en de uitwijking tegengesteld gericht.
Om een veer uit te rekken moet je (relatief) steeds meer kracht zetten om dit met
constante snelheid te doen. Omdat de trekkracht en de uitrekking recht evenredig zijn, en
de formule F = C · u geldt, ontstaat er een rechte lijn door de oorsprong. Omdat de
oppervlakte onder de (F,u)-grafiek gelijk is aan de arbeid die verricht is, geldt er: Wv = ½
·F · u  Wv = ½ ·C · u2. Omdat dit de hoeveelheid energie is die je in de veer hebt
gestoken, is de veerenergie gelijk aan de arbeid, dus: Ev = Wv = ½ ·C · u2.Tijdens een
harmonische trilling van een veer wordt er constant energie omgezet (tussen kinetische- en veerenergie).
Een voorwerp dat in trilling is bezit verschillende vormen energie (kinetische, potentiële). Deze samen wordt
25
ook wel de trillingsenergie van het voorwerp genoemd. Als er geen wrijving ondervonden wordt, is deze
waarde constant. Als de trilling door de evenwichtstand gaat, is de trillingsenergie gelijk aan de kinetische
energie. Er geld dan: Etril = ½ · m · v2max. Hier is vmax = (2π·A) / T. In de uiterste standen geldt: Etril = ½ ·C · u2
§7 Energieoverdracht; resonantie
Als je een blokje aan een veer in trilling brengt door het naar beneden te trekken, gaat het in zijn eigen
frequentie trillen. De eigentrilling is de frequentie waarmee een systeem van nature trilt.
Als je de veer nu aan een touwtje hangt, en daar constant een rukje aan geeft, gaat het een gedwongen trilling
uitvoeren. Dit kan met een heel andere frequentie dan de eigenfrequentie zijn!
De frequentie van het systeem is dan gelijk aan de frequentie van je arm (die het systeem laat bewegen). Bij
verschillende frequenties blijkt de amplitude anders te zijn; de amplitude is afhankelijk van de frequentie. Bij
een bepaalde frequentie is de amplitude maximaal. Er treedt resonantie op. Deze frequentie blijkt de
eigenfrequentie te zijn.
Omdat de trillingsenergie evenredig is met de Amplitude (Etril = ½ · C · A2), is de energieoverdracht blijkbaar
dus het beste als de eigenfrequentie gelijk is aan de frequentie van de veroorzaker.
§8 Golven
Een trilling kan gevolgen hebben op de omgeving: het kan worden doorgegeven. De doorgevers noemen we
golven. Er zijn 3 soorten golven: eerst is er de lineaire golf, die maar in 1 dimensie beweegt (een rechte lijn
dus). Als tweede hebben we de oppervlakte golf, die in 2 dimensies beweegt (links/rechts, boven/beneden). Als
laatste is er de ruimtegolf. Deze kan in 3 dimensies bewegen (naar boven/beneden, links/rechts,
omhoog/omlaag)
Alleen de lineaire golf wordt hier besproken.
Als je een koord hebt, en een uiteinde snel
omhoog trekt en daarna weer terug naar de
evenwichtstand, ontstaat er een halve trilling. Er
ontstaat een golfberg. Dit is de bult die in het
plaatje van links naar rechts beweegt. Ieder
volgend deeltje neemt de positie van het vorige
over. Bij een enkele trilling spreekt men van een
puls. Dit type golf heet ook wel de lopende transversale golf (rechter plaatje). De deeltjes
die zich voortbewegen, bewegen loodrecht op de richting die de golf heeft. (de golf gaat
van links naar rechts, maar de deeltjes bewegen op en neer).
Zo bestaat er ook een lopende longitudinale golf (linker plaatje). Hier bewegen de
deeltjes zich juist precies in de richting die de golf heeft (de golf gaat van links naar
rechts, en de deeltjes - in de vorm van verdichtingen en verdunningen - bewegen ook van links naar rechts).
§9 Golflengte, golfsnelheid en faseverschil
De golflengte is de lengte van een golfberg en een golfdal (ofwel: 1 trilling). Het symbool voor de golflengte is
λ (labda). Als je 2 trillingen hebt gehad (t = 2T), dan heb heeft het golfpatroon dus een lengte van 2λ.
Een golf verplaatst zich over het algemeen met een constante snelheid, dus daarom kunnen we spreken van een
constante golfsnelheid. Hierbij kunnen we gebruik maken van v= s / t. Omdat er over 1 trilling een trillingstijd T
wordt gedaan is dat de tijdsduur. Hierbij wordt de afstand λ afgelegd, dus krijgen we: v = λ / T. Hieruit volgt dat
λ = v · T, wat ook te schrijven is als: λ = v / f.
Als we naar de fase van een golf kijken, dan blijkt dat des te dichter een deeltje bij de kop van de golf zit, des te
kleiner de fase is. Het faseverschil tussen 2 plaatsen in een golf kunnen we bekijken met de formule: Δφ = Δx /
λ. Dit komt doordat 1λ precies 1 periode is.
Als je schetsen maakt van golven, dan druk je tijden uit in de trillingstijd, en afstanden in de golflengte.
26
Hoofdstuk 8: Geluid
§1 Geluid: een longitudinale golf
Geluid kan zich niet in vacuüm voortplanten. Het heeft een medium nodig om zich in voort te kunnen planten.
Voor verschillende media (water,lucht,glas) gelden verschillende snelheden waarmee het geluid zich voortplant.
Deze snelheden noemt men de geluidssnelheid en kun je opzoeken in BINAS tabel 16A.
Geluid kan zich het beste worden voorgesteld als een longitudinale golf.
De golflengte λ is afhankelijk van de frequentie en de voortplantingssnelheid. In formule vorm: λ = v / f.
Het menselijke oor heeft gehoorgrenzen: dit houdt in dat geluid een bepaalde frequentie moet hebben, anders
kunnen we het niet hebben. Deze grenzen liggen ongeveer op 20Hz (onderste gehoorgrens) en 15 kHz
(bovenste gehoorgrens). Geluid dat een frequentie boven de 20kHz heeft, noemen we ultrasoon geluid.
§2 Geluidsintensiteit; kwadratenwet
Een geluidsbron die geluid uitzendt doet dat in veel gevallen in alle richtingen. Daarbij
gebruikt hij energie; het heeft een bepaald vermogen, het geluidsvermogen (Pbron).
Voor het oppervlak van een bol met een straal r geldt: A = 4π·r2. Er geldt dus:
Pbron
uitgezonde n vermogen Pbron
I


totale boloppervl ak
A
4  r 2
De eenheid van geluidsintensiteit is dus W∙m-2. Als je verder weg staat is de oppervlakte van
de bol groter geworden waardoor de intensiteit lager is. Dit kun je in het nevenstaande plaatje zien.
Een voorbeeldje: Stel er vliegt een vliegtuig op 2 km hoogte en de motoren hebben een geluidsvermogen van
4,3·105 W. Bereken hiervan de geluidsintensiteit op de grond.
Het vliegtuig is het centrum van de bol, en de afstand tot de grond is de straal. Nu kunnen we dus invullen in de
formule:
4,3  10 3 W
-2
I
4  (2,0  10 3 m) 2
 0,0086 W  m
De geluidsintensiteit op een bepaalde plaats is omgekeerd
evenredig met de straal in het kwadraat (kwadratenwet).
Om iets te kunnen horen moet de geluidsintensiteit groot genoeg
zijn. De geluidsintensiteit die je nog net kunt horen heet de
gehoordrempel (I0). Deze gehoordrempel is per frequentie
verschillend, zie nevenstaande figuur.
De intensiteit waar je pijn begint te voelen heet de pijndrempel.
Om geluid te kunnen horen moet het aan 2 voorwaarden voldoen:
1) De frequentie moet tussen je gehoorgrenzen liggen
2) De geluidsintensiteit I moet groter zijn dan de gehoordrempel I0
§3 Geluidsniveau; decibelmeter
Om geluidsintensiteiten te vergelijken is er een relatieve geluidsintensiteit(Irel) ingevoerd. Die geeft aan hoeveel
maal groter de geluidsintensiteit is als de gehoordrempel. In formule schrijven we dan:
I
I
I
I rel 
 12
L10 log I rel 10 log( )
I 0 10 W  m  2
I
De waardes van Irel lopen heel erg uiteen, daarom gebruiken we een logaritmische
I
schaal om het ons beter voor te kunnen stellen. Deze waarde heet het geluidsniveau
L  10  log( ) (dB )
(L), en is te schrijven als:
I0
Volgens deze formule heeft L geen eenheid, maar men heeft er de eenheid bel
Voorbeeld:
(B) aan toegekend. In de praktijk gebruikt me de dB. Als I exponentieel
4
2,2  10
toeneemt, neemt L dus lineair toe. Als bijkomend voordeel werken onze oren
L  10  log(
)  83 dB
12
10
ook logaritmisch; L geeft dus beter weer wat wij horen dan I. Om een verschil
4
in geluidsintensiteit te kunnen horen moet er een minimaal verschil van 1 dB
2  2,2  10
L

10

log(
)  86 dB
zijn. Als de geluidsintensiteit van een geluidsbron verdubbelt, verdubbeld het
12
10
27
geluidsniveau niet, deze wordt dan alleen maar verhoogd met 3 dB! Omdat onze oren bij verschillende
frequenties een andere gehoordrempel hebben, houdt de dB(a) meter daar rekening mee. Deze verzwakt de lage
tonen overeenkomstig met de grafiek van de vorige pagina.
§4 Geluidshinder; geluidsbeperking
Geluidshinder is niet objectief vast te stellen, het is een subjectief onderwerp.
Geluidshinder is op twee manieren te beperken:
1) Passief, door geluidsisolatie en reflectie van geluid
2) Actief, door de productie van antigeluid. (wordt in paragraaf 5 besproken)
Als geluid een wand raakt, dan wordt een deel door de wand geabsorbeerd (absorptie), een deel doorgelaten
(transmissie) en een deel teruggekaatst (reflectie). Bij een aarden wal wordt het geluid vooral geabsorbeerd.
Een deel van het geluid kan over de rand van de wand naar beneden buigen. Dit is een eigenschap van golven.
Een goede (geluids-)isolator voor kantoorgebouwen is dubbel glas.
Er zijn twee soorten absorberende materialen; poreuze materialen (schuimrubber, zachtboard) en materialen
met een ruw oppervlak met veel kleine holten. In zo’n holte wordt het geluid meerdere malen gereflecteerd,
waardoor het iedere keer een deel van zijn energie verliest aan absorptie.
Iemand met een beroep waarin hij veel in contact staat met een te hoog geluidsniveau is wettelijk verplicht een
gehoorbeschermingskap te dragen. Dit geldt als het gemiddelde geluidsniveau 90 dB of hoger is.
Deze methoden werken vooral voor middel en hoge frequenties. Bij lage frequenties is vooral veel massa nodig
om te isoleren.
§5 Interferentie; antigeluid
Als twee bronnen tegelijk geluid produceren (en die elkaar “raken”) dan versterken en verzwakken die golven
elkaar op bepaalde plaatsen. Waar ze elkaar verzwakken noemt men dat interferentie.
Buiklijnen zijn alle plaatsen op een lijn waar de geluidssterkte maximaal is. Knooplijnen zijn alle plaatsen op
een lijn waar de geluidssterkte minimaal is.
A en B zijn de luidsprekers.
De hele cirkels zijn verdichtingen. De gestippelde
cirkels zijn verdunningen. De afstand tussen te
hele cirkels is een golflengte. Omdat de
luidsprekers in fase zijn zenden ze tegelijkertijd
een verdichting en een verdunning uit.
Als we naar punt P kijken zien we dat daar
tegelijkertijd een verdichting aan komt. Het zal dus net
lijken alsof het geluid daar harder is. Punt P ligt dus op
een buiklijn.Als we vervolgens naar punt Q kijken, dan
zien we dat daar tegelijkertijd een verdichting en een
verdunning passeren. Het zal dus net lijken alsof het geluid daar zachter is in vergelijking met als er maar één
luidspreker zou staan. Punt Q ligt dus op een knooplijn.In het kort: Als twee golven op één punt in fase zijn,
ontstaat er een buikpunt. Zijn in tegenfase, dan ontstaat er een knooppunt. Deze verschijnselen noemen we
interferentie.
Als we (in tegenstelling tot het voorbeeld
hierboven) de luidsprekers in tegenfase aansturen,
vormt zich op de middelloodlijn een knooplijn
(rechts). Een klein gebied rond deze knooplijn
ondervindt ook uitdoving. Om dit in praktisch
gebruik te stellen, moet dit gebied groter worden.
Dit kan men doen door de luidsprekers dichter bij
elkaar te brengen (links). Om zo’n
antigeluidsysteem te maken, hebben we 1) een microfoon nodig, 2) een verwerker en 3)
een luidspreker. De microfoon neemt het geluid op, en de verwerker stuurt de luidspreker
precies in tegenfase aan.
De kleinste ruimte waarin je geluid kan beperken is het oor. De eenvoudigste toepassing is dan ook de
antigeluidkoptelefoon. Deze geeft midden en hoge frequenties gewoon door, maar filtert de lage frequenties
(van de motoren).
28
§6 Muziek maken: snaarinstrumenten
Als je een gespannen snaar loslaat, gaat deze automatisch harmonisch
trillen. Hij voert dan een bepaalde trilling uit: de eigentrilling. Er zijn
een beperkt aantal trillingstoestanden waarin een snaar zich kan
bevinden, dit zijn de eigentrillingen.
Als je met een trillingsbron een snaar aan het trillen brengt dan voert de
snaar een gedwongen trilling uit. De trilling plant zich door de snaar
voort, en komt weer terug als deze aan het einde van de snaar is
aangekomen. Ondertussen worden er steeds nieuwe trilling gemaakt,
waardoor er maar een zwabberende beweging ontstaat.
Alleen bij bepaalde frequenties gaat het koord op een speciale manier
bewegen. Hierbij ontstaat dan een stilstaand golfpatroon.
We spreken van staande golven. In het deel tussen de uiteinden kunnen een of meerdere buiken ontstaan:
punten met een maximale amplitude. De punten die niet in trillingen raken (en dus in de evenwichtstand
blijven) noemen we knopen. De (in dit geval linker) knoop aan de trillingsbron is eigenlijk geen knoop, de
trillingsbron houdt deze immers in trilling. Maar omdat de amplitude daarvan relatief klein is noemen we het
toch een knoop.
De afstand tussen een knoop en een buik is ¼λ. De afstand tussen 2 knopen is ½λ.
Voor de eigenfrequenties is een formule op te stellen, want er geldt: de halve golflengte moet een geheel aantal
keren in de lengte van de snaar passen. In formule:
l = n · ½λ met n = 1,2,3,… Hierbij is n een heel getal, l de lengte van het trillende deel van een snaar, en λ de
golflengte van de staande golf. Omdat de snelheid het product is van de golflengte en de frequentie, kunnen we
heel makkelijk een formule voor de verschillende eigenfrequenties.
v
v
f   n
met n = 1,2,3,…

2l
Als je n = 1 neemt, krijgen we de grootst mogelijke golflengte, en dus de kleinst mogelijk frequentie. Deze
noemen we de grondfrequentie of grondtoon. Voor de andere waarden van n krijg je hogere frequenties; de
boventonen. Als je een snaar laat trillen bepaalt de grondtoon de toon die je hoort, en zorgen de boventonen
voor de klankkleur.
§7 Muziek maken: blaasinstrumenten
Bij een blaasinstrument heb je een luchtkolom die in trilling wordt gebracht. Dit kan op verschillende manieren
(blazen over een scherpe rand, een riet in trilling brengen). Als de lucht trilt is er nog geen toon. De
luchttrillingen vormen nog geen harmonische trilling met één bepaalde frequentie. De toon wordt bepaald door
de lengte van de luchtkolom.Bij bepaalde frequenties resoneert de luchtkolom met de trilling van de
luidspreker. Deze frequenties heten de eigenfrequenties of de resonantiefrequenties.
Net als bij de snaar is er dan sprake van een staande golf. Er kan aangetoond worden dat de lucht op sommige
plaatsen in de kolom een maximale amplitude heeft (buiken) en op sommige plaatsen een amplitude van nul
(knopen). Net als bij een snaarinstrument is de afstand buik-knoop ¼λ. Een dicht uiteinde van een luchtkolom is
altijd een knoop en een open uiteinde altijd een buik. De golflengte λ wordt bepaald door de lengte l en de
trillingswijze wordt aangegeven met de letter n.
Er zijn 2 mogelijke situaties:
1) Trillingstoestanden in een buis met één open en één dicht uiteinde.
Hier geldt de formule: l = (2n-1) · λ / 4 met n = 1,2,3,… Hier kunnen we een formule voor de
frequentie afleiden: f = v / λ = (2n-1) · v / 4l
2) Trillingstoestanden in een buis met twee open uiteinden.
Hier geldt de formule: l = n · ½ λ met n = 1,2,3,… Ook hier kunnen we een formule voor de frequentie
afleiden: f = v / λ = n · v / 2l
Zo worden de frequenties van de tonen bepaald door de snelheid (v), de lengte van de luchtkolom (l) en de teller
waarde n. Net zoals bij snaarinstrumenten bepaalt de grondtoon welke toon je hoort, en bepalen de boventonen
de klankkleur.
29
§8 Dopplereffect
Het dopplereffect is het verschijnsel dat het lijkt alsof een voorbijgaand voorwerp dat geluid maakt, een andere
frequentie geluid uitzendt als hij je passeert (denk hierbij bijvoorbeeld aan een ambulance die voorbijkomt).
Als de afstand tussen een geluidsbron en een waarnemer kleiner wordt, dan is de waargenomen toon hoger dan
de “echte” toon. Wordt deze afstand echter groter, dan lijkt het alsof de toon lager is dan de “echte” toon.
Als een trillingsbron op een vaste plaats in het water staat te trillen, dan ontstaan er
cirkelgolven, waarvan de afstand tussen twee golven één λ is. Je krijgt hierbij een
plaatje als hiernaast. Overal trilt het geluid even snel.
Als deze trillingsbron echter een beweging (in het plaatje aan de linkerkant naar
rechts), dan zie je dat de golven aan de rechterkant dichter bij elkaar liggen dan aan
de linkerkant. Rechts trilt het water dus sneller dan links!
Als we dit gaan toepassen op geluidsgolven, dan krijgen we het
volgende plaatje: bij W1 en W2 passeren evenveel golven in een
bepaalde tijd, dus is de frequentie voor beide waarnemers
gelijk. Kijken we echter naar een bewegende bron, dan
zien we dat de golven aan de rechterkant een kleinere
onderlinge afstand hebben en ze aan de linkerkant juist een
grotere onderlinge afstand hebben. Bij W1 passeren er dus in een
bepaalde tijd meer golven dan W2 waardoor hij dus een hogere frequentie hoort!
Voorbeeld
In de situatie hiernaast bekijken we een stilstaande
auto, die per seconde 800 golven opwekt met zijn
toeter. De geluidssnelheid is 340 m/s. De
golflengte is nu dus 340 / 800 = 0,425m. De
golven met deze golflengte worden gelijkmatig naar
beide kanten gestuurd, en komen dus met dezelfde
frequentie bij beide waarnemers aan.
Als diezelfde auto nu met een snelheid van 25 m∙s-1
rijdt en hij weer toetert waardoor die toeter 800
golven per seconde opwekt, dan is de afstand
waarover de 800 golven zich verplaatsen 34025 = 315m! De auto heeft zich immers in 1 seconde
25 meter naar rechts bewogen. Voor W1 geldt nu dus
dat: λ = 315/800 = 0,394 m. Omdat deze golven zich
met de geluidssnelheid verplaatsen, geldt bij W1:
f = 340 / 0,394 = 863 Hz. Voor W2 geldt nu: λ = 365/800 = 0,456m. Bij W2 is de frequentie nu:
f = 340 / 0,456 = 745 Hz. Je kunt hiervoor ook een formule gebruiken: f w  f b  (
v
)
v  vb
Fw is hierbij de waargenomen frequentie, v de geluidssnelheid en vb de snelheid van de geluidsbron. Als de
geluidsbron naar de waarnemer toegaat dan is vb positief. Als de geluidsbron zich van de waarnemer verwijdert
dan is vb negatief.
30
Hoofdstuk 9 – Elektromagnetisch spectrum
§1 Licht als golf
Licht is op te vatten als twee verschillende verschijnselen. Het eerste is als golf, en het twee is als
deeltje, wat we in paragraaf 6 zullen zien. Volgens Huygens zou licht, net als geluid, uit golven
bestaan. Hierbij is de lichtbron de trillingsbron en het licht de trilling. Als je met een trillend
puntvormig voorwerp een wateroppervlak in trilling brengt, krijg je lopende cirkelgolven (rechts);
er ontstaan golfbergen en golfdalen.
Als je in plaats van een puntvormig voorwerp een latje neemt, krijg je alleen maar lijnen die
evenwijdig lopen aan het latje. Deze noemen we lopende vlakke golven (links).
Rechts zie je een momentopnamen van een lopende cirkelgolf,
van bovenaf gezien. De buitenste (groene) cirkel is de uiterste
cirkel tot waar de golf zich heeft verspreidt, en waar alle
waterdeeltjes trillen; het golffront.
De rode lijnen, die loodrecht op het golffront staan, heten golfstralen. Deze geven
aan in welke richting de golf zich verplaatst. Hoe verder de golf gaat, des te lager
de bergen worden en des te ondieper de dalen. Omdat de cirkel steeds groter wordt,
wordt de trillingsenergie over steeds meer deeltjes verdeeld, zodat de deeltjes met
een kleinere amplitude trillen.
Als je een bak wat er hebt, waarin 2 staafjes naast elkaar liggen met
daartussen een kleine opening, en aan één kant van die staafjes is een
vlakke golf dan krijg je afhankelijk van de grootte van de opening ofwel
a) volledige buiging (links), b) onvolledige met onderbrekingen (midden)
of c) onvolledige breking met een nagenoeg rechtdoorgaande golf.
Bij het bekijken van interferentie van licht worden tegenwoordig lasers gebruikt omdat die licht met maar één
golflengte uitzenden. Helium-neonlasers zenden bijvoorbeeld rood licht uit met één golflengte.
Als je een laserstraal loodrecht op een diafragma met een verticale spleet laat schijnen, waarbij deze spleet
ongeveer 1 mm is, zie je geen buiging; het licht plant zich rechtlijnig voort.
Als deze spleet veel kleiner wordt, zal het licht horizontaal gaan buigen, om de hoek van de spleet. Als er
sprake is van onvolledige buiging, zie je een onderbroken lijn. Is de spleet echter kleiner dan de golflengte van
het licht, dan treedt er volledige buiging op, en krijgen we een golf. Het buigt op dezelfde manier als water bij
de het stukje hierboven, dus gedraagt het zich als een golf.
Als we nu een plaatje nemen waarin 2 spleten zitten die minder dan 1 mm van elkaar af zitten,
krijgen we interferentie als de laserstraal op een scherm wordt geprojecteerd. Er ontstaat een lijn
met maxima en minima in lichtsterkte.
Links is schematisch weergegeven wat er gebeurd. Evenwijdig licht valt op de
twee spleten, en wordt volledig gebogen waardoor er (in het plaatje)
golfbergen uit beide spleten op het scherm komen. Omdat er ook
donkere plekken waar te nemen zijn, geldt er schijnbaar “licht plus licht is duisternis”. Dit
is te verklaren met het feit dat licht een golfkarakter heeft; een golfberg en een golfdal
kunnen elkaar namelijk uitdoven. Als het faseverschil gelijk is aan ½, 1½, 2½ enz, dan
wordt het golfberg van spleet 1 uitgedoofd door het golfdal van spleet 2. Komen de
lichtstralen echter in fase aan, dan worden ze versterkt.
De golflengte van licht bepaalt wat voor kleur het licht heeft. Iedere frequentie
heeft zijn eigen brekingsindex, dus als je licht door een prisma laat breken (er
wordt dan 2x gebroken) krijg je een waaier van alle kleuren.
Licht heeft een constante snelheid in vacuüm en is een natuurconstante.
Deze heeft het symbool c en de waarde 2,99792458 · 108 m/s. In lucht is deze
snelheid net wat anders, maar in 3 significante cijfers precies hetzelfde; 3,00 ·
108 m/s. Als een lichtstraal door een ander medium gaat met een lagere
voortplantingssnelheid, dan wordt de golflengte ook lager. De kleur hangt dus
niet van de golflengte af, maar van de frequentie (omdat deze constant is).
31
§2 Golflengtebepaling met een tralie
Een tralie (links) is een stukje glas, met daarop een laagje nikkel waarin evenwijdig dunne lijntjes zijn
gekrast. Alleen door deze lijntjes komt licht. Het aantal lijnen kan tussen enkele honderden tot
meer dan duizend per millimeter variëren. De afstand tussen twee lijnen
heet de tralieconstante (d). Een tralie heeft dezelfde werking als het
plaatje met 2 spleten van de vorige pagina.
Om de golflengte van het licht van een natriumlampje te bepalen,
wordt er gezorgd dat er een monochromatische evenwijdige
bundel licht op een tralie valt. Het licht dat na de tralie
rechtdoor gaat, is licht van de nulde orde (n = 0). De
lichtstralen aan beide kanten zijn licht van de eerste
orde (n = 1) enzovoorts. Tussen de hoek α (tussen het rechtdoorgaande licht
en het gebogen licht) en de golflengte is een verband, dat omschreven
wordt met de formule:
sin   n 

d
met n = 1,2,3, …
Hierbij is d de tralieconstante.
Als je nu dus de hoek en de tralieconstante weet, kan je de golflengte uitrekenen.
Nu een rekenvoorbeeld. We gaan uit van een lichtstraal van de eerst orde. Stel dat de tralieconstante d gegeven
is; 1,81 · 10-6 m. Op de liniaal is de afstand 45,0 cm, en de afstand tussen de liniaal en de tralie is 131 cm.
PQ
45
tan  

 0,344    18,96 .
PM 131
sin   n 

d
 0,325 

1,81  10
6
   588  10 9 m  588 nm
Met een tralie vormen alle rechtdoorgaande stralen een
vlek op een scherm, als je dit op een scherm projecteert.
Gebruik je echter een positieve lens, dan kun je het licht
in één punt samen laten komen. Zo gaat het ook met
stralen van andere ordes. Als er geen lens gebruikt wordt
krijg je een grote waas op het scherm, zonder duidelijke
minima en maxima.
Bij het gebruik van een lens (links en rechts) krijg je dus
scherpe lijnen voor licht uit iedere orde.
Tralies worden vooral gebruikt om eenvoudig kleurenspectra mee te maken; licht van de nulde orde is gewoon
wit licht, maar van de eerste en hogere orden krijg je een kleurenspectra doordat je bij een lagere frequentie een
lagere afbuigingshoek krijgt (d·sin α=λ/d).
§3 Elektromagnetische golven (1)
Licht heeft geen medium nodig om zich te verplaatsen, het is een zg. elektromagnetische golf. Behalve licht zijn
bijvoorbeeld ook radiogolven, röntgenstraling en gammastraling vormen van elektromagnetische golven. Zie
tabel 19B in Binas. Hier staan de golven op frequentie gesorteerd; ze vormen het elektromagnetische spectrum.
Radio en TV maken gebruik van de radiogolven; deze hebben een frequentie tussen de 104 en 1011 Hz. Om de
signalen naar de ontvanger te transporteren, worden radiogolven opgewekt door elektronen in de zendantenne.
Deze trillen zo erg dat ze een elektromagnetische golf uit gaat zenden.
Radiogolven in de orde van 1010 en 1011 worden ook wel microgolven genoemd. Enkele belangrijke
toepassingen zijn de magnetron, de radar en snelheidscontrole in het verkeer.
• In een magnetron wordt een frequentie van 2,45 Ghz opgewekt, waarmee watermoleculen aan het trillen
worden gebracht. De metalen wanden dienen als spiegels; ze houden de microgolven tegen. In de deur zit een
metaalrooster waardoor de straling niet kan (omdat de gaatjes veel kleiner zijn dan de golflengte), maar licht
wel omdat dit een véél kleinere golflengte heeft.
• In de scheep en luchtvaart worden microgolven ook wel radargolven genoemd. Radar staat voor radio
detection and ranging. Een paraboolvormige antenne wordt door een schakelaar beurtelings met de zender en
de ontvanger verbonden. Als de antenne met de zender is verbonden wordt er een sterke puls radargolven
32
uitgezonden die zich met de lichtsnelheid voortplanten. Als deze straling op een metalen voorwerp botst, wordt
het teruggekaatst; de puls T. Kunststof objecten absorberen radargolven grotendeels, dus zijn nagezien
onzichtbaar voor de radar. Ondertussen is de antenne met de ontvanger verbonden en kunnen teruggekaatste
golven worden ontvangen. Op een scherm wordt een teruggekaatst signaal als een stip getoond, waarbij de
afstand vanuit het middelpunt gelijk is aan de tijd die de puls erover deed om heen en terug te gaan. De
reikwijdte van een radar is afhankelijk van het vermogen.
• Bij snelheidscontroles wordt gebruik gemaakt van het dopplereffect bij radargolven. Dit effect vertoont zich
bij alle soorten golven. De meetapparatuur van de politie werkt met frequenties tussen de 10 en 35 Ghz, waarbij
de golflente tussen de 3,0 en 0,85 cm ligt. Hierdoor kan de antenne heel klein zijn.
Het radarapparaat zend een golf uit (frequentie fb), waarvan een deel wordt teruggekaatst door een auto. Omdat
de auto beweegt ontstaat het dopplereffect. Het signaal dat de antenne opvangt noemen we fw.
De dopplerverschuiving is het verschil in frequentie tussen het uitgezonden en ontvangen signaal.
fd = | f w – fb |
De formule voor de dopplerverschuiving luidt (vanwege de lichtsnelheid c):
2v  f b
fd 
 cos 
c
§6 Licht als deeltje; fotonen
Een gas absorbeert licht met de frequenties die het zelf uit zou zenden als het in lichtgevende toestand is.
Dit gebeurt met een zgn. lijnenspectrum. Een atoom kan alleen maar bepaalde kleuren licht uitzenden of
opnemen. Als een atoom licht opneemt komt het in een aangeslagen toestand. Als het atoom de energie weer
uitzend in de vorm van licht raken ze weer in een normale toestand, ofwel de grond toestand. Dat een atoom
alleen bepaalde vormen van licht opneemt en uitzendt kan alleen verklaard worden als licht wordt gezien als
een stroom deeltjes, zgn. fotonen.
De energie van een foton is rechtevenredig met de frequentie van het licht dat bij dat deeltje hoort.
E foton  h  f
Hierbij is h de constante van Planck (h = 6,63·10-34 J·s) en staat in Binas tabel 7.
Nu een rekenvoorbeeld. We gaan de energie van een foton uit een natriumlamp (589 nm) bepalen.
c 3,00  10 8
f  
 5,09  1014 Hz . De energie van een foton bedraagt dan:
 589  10 9
E f  h  f  (6,63  10 34 )  (5,09  1014 )  3,37  10 19 J
Omdat de energie van een elektron erg klein is, wordt er gebruik gemaakt van een andere eenheid; de
elektronvolt (eV). Één elektronvolt is gelijk aan 1,60·10-19 J. Doordat h zo ontzettend klein is, kunnen we niets
zien van individuele lichtdeeltjes. We moeten licht met twee modellen beschrijven omdat het te ingewikkeld is
om ons de werkelijkheid voor te stellen. Alle elektromagnetische stralingssoorten hebben een deeltjeskarakter.
De energie van het natrium foton is dus ook gelijk aan
3,37  10 19
1,60  10 19
33
 2,11 eV.
Hoofdstuk 10 – Signaalverwerking
§1 De rol van automaten
Een automaat is een apparaat dat zelfstandig handelingen uit kan voeren. Een automaat moet a) signalen kunnen
ontvangen, b) signalen kunnen verwerken en c) verwerkte signalen kunnen gebruiken.
Dit is weer te geven in een blokschema:
Invoer
Verweking
Uitvoer
S1
S2
S3
S4
natuurkundige
grootheid
‘waarnemen’
‘denken’
‘doen’
S1 is het signaal dat een sensor waarneemt. De sensor zet de waargenomen grootheid om in een elektrisch
signaal, signaal S2. Het verwerkingsblok kan verschillende dingen doen, bijvoorbeeld a) kan er gekeken worden
of er aan bepaalde eisen wordt voldaan, b) kan het ingangssignaal vergeleken worden met andere elektrische
signalen, c) kan er gemeten worden hoe lang het signaal aanhoudt. Als er iets is gebeurd in het verwerkingsblok
wordt er een signaal naar het uitvoerblok gestuurd, signaal S3. Het uitvoerblok kan apparaten aansturen (lamp,
luidspreker, elektromotor) met signaal S4.
Een continu signaal is een signaal dat alle mogelijke waarden tussen bepaalde grenzen aan kan nemen.
Sensoren geven bijvoorbeeld vaak een continu signaal af, de spanning is afhankelijk van de grootheid.
Een discreet signaal is een signaal dat maar een aantal waarden aan kan nemen. Zo geeft een verwerkingsblok
veelal een discreet signaal af, bijvoorbeeld één signaal voor aan en één voor uit.
§2 Meet-, stuur- en regelsystemen
Automaten zijn er in drie verschillende soorten, namelijk:
 Meetsystemen; voeren alleen maar metingen uit
 Stuursystemen; voeren na de meting ook nog een handeling uit
 Regelsystemen; voeren na de meting een correctie uit
De grootheid die je meet noem je de gemeten waarde.
Soms is er sprake van een grenswaarde; als die waarde wordt overschreden moet er wat gebeuren.
Het verschil tussen de grenswaarde en de gemeten waarde wordt de afwijking genoemd.
Bij een regelsysteem is er sprake van terugkoppeling; er wordt na de eventuele correctie steeds opnieuw
gekeken of de grenswaarde wordt overschreden of niet.
§3 Binaire getallen
Het binaire stelsel bestaat uit maar 2 getallen, 0 (geen spanning) en 1 (wel spanning). Één zo’n getal wordt in
de informatica een bit genoemd. Acht van die getallen samen noemen ze dan een byte (de afkorting van by
eight). In het binaire getal kan je ieder willekeurig getal uit het decimale stelsel maken. Dit doe je door steeds te
kijken wat de grootste macht van 2 is die in het getal past, en dat er dan af te trekken en dan weer te kijken wat
de grootste macht van 2 is die er in past.
8
2.
6
2.
5
2.
2.
2.
2.
2.
256 128 64
32
16
8
4
2
1
enz. 2 .
7
2.
4
3
2
1
0
Voorbeeld:
We hebben het getal 383 en willen dit omzetten in een binair getal.
Als grootste macht van 2 past er 28 (256) in, 29 (512) is immers groter dan 383. In de rest (383-256 =
127) past als volgende grootste macht 26 (64) en er blijft 63 over. Nu past er nog 25 (32) in, en blijft er 31
over. Hier past 24 (16) in en er blijft 15 over. In 15 past 23 (8) en blijft er 7 over. Daarin gaat weer 22 (4),
en is 3 de rest. In 3 past weer mooi 21 (2), waarna er 1 over blijft. Die ene werken we weg met 20).
We hebben nu dus: 28 + 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20, ofwel:
1x256 + 0x128 + 1x64 + 1x32 + 1x16 + 1x8 + 1x4 + 1x2 + 1x1
Het binaire getal voor 383 is dus 101111111.
Als je een binair getal om wilt zetten naar een decimaal getal dan kijk je naar de tabel (uit GR of zelf even
opgeschreven) en kijk je welke getallen je hebt. Als je 10101 hebt, dan krijg je het volgende:
34
Binair getal
1
4
0
3
1
2
0
1
1
0
Binair stelsel 2 (16) 2 (8) 2 (4) 2 (2) 2 (1)
Decimaal
16
0
4
0
1
= 16 + 4 + 1 = 21
Als je een binair getal om gaat zetten naar een decimaal getal, dan stelt ieder getal een macht van 2 voor. Het
meeste linkse getal is het grootste (in het voorbeeld hierboven bijvoorbeeld 24). We zeggen ook wel dat dit de
most significant bit is, ofwel: het belangrijkste getal. Het laatste getal (altijd 20) heeft de kleinste waarde; de
least significant bit ofwel het minst belangrijke getal.
In de natuurkunde wordt er een onderscheid gemaakt tussen een hoog signaal en een laag signaal.
Een hoog signaal heeft een spanning van 5V, een laag signaal een spanning van 0V. Het signaal van 5V wordt
vaak voor 1 gebruikt bij automaten (een binair systeem), dus logisch gezien heeft het hoge signaal de waarde 1.
In schema:
natuurkundig
logisch
0V 5V
laag hoog
0
1
§4 Systeembord; invoerelementen
Om te experimenteren met automaten wordt tijdens een practicum vaak een zgn.
systeembord gebruikt. Zo’n systeembord is op dezelfde manier ingedeeld als een
blokschema; links een kolom invoer, in het midden een kolom verwerking en rechts
een kolom uitvoer.
Een sensor neemt een natuurkundige grootheid waar en zet dit om in een elektrische
spanning. Hierbij moet de spanning veranderen als de grootheid verandert.
Een sensor heeft drie aansluitsnoeren; twee voor de voeding (rood met een spanning
van 5V en zwart met een spanning van 0V) en één voor de uitgang van de sensor.
Een ander soort invoerelement is een reedcontact; dit is een schakelaar die normaal
open is, maar door de aanwezigheid van een magneet gesloten wordt.
Een voorbeeld van de bouw van een lichtsensor:
Een LDR (Light Dependant Resistor) is in serie geschakeld met een vaste weerstand van 200Ω. Als
de weerstand van de LDR gelijk is aan de vaste weerstand (200Ω ) is de uitgangsspanning
2,5V; de spanning wordt immers gelijk verdeeld over beide weerstanden. De spanning
die over de vaste weerstand staat is de uitgangsspanning. Als de lichtsterkte toeneemt,
neemt de weerstandswaarde af (NTC – negatieve temperatuurscoëfficiënt), tot
bijvoorbeeld 50Ω. Over de vaste weestand staat nu 200/250 (= 0,8)e deel van de
bronspanning (= 5V); de uitgangsspanning is nu dus 4V.
Het ijken van een sensor houdt in dat je kijkt naar welke waarde van een grootheid bij welke spanning hoort.
Hieruit kun je een zgn. ijkgrafiek maken.
 De gevoeligheid van een sensor geeft aan wat de verhouding tussen de spanningsverandering en de
verandering van de grootheid is. Een sensor die een temperatuurverschil van 1°C kan waarnemen is
minder gevoelig dan een sensor die een temperatuursverschil van 0,1°C kan waarnemen.
 De lineariteit van een sensor is het meetgebied van de sensor dat in de ijkgrafiek recht is.
 Het bereik van een sensor zijn de waarden van de grootheid die de sensor kan waarnemen. Het bereik
van een temperatuursensor dat tussen 0°C en 250°C ligt is groter dan het bereik van een sensor dat
tussen de 0°C en 25°C ligt.
 De nauwkeurigheid is het verschil tussen de gemeten waarde en de daadwerkelijke waarde. Hoe kleiner
het verschil des te nauwkeuriger de sensor.
§5 Uitvoerelementen
Een actuator is een apparaat dat ingeschakeld kan worden door een verwerker als er een bepaalde waarneming
wordt gedaan met een sensor.
Op het systeembord zitten een aantal LEDs (Light Emitting Diode; een
diode die licht uitzendt), een zoemer en een relais; dit zijn allemaal
uitvoer elementen. Het relais wordt gebruikt om een apparaat in een
andere schakeling in of uit te schakelen. Dit moet je dus zien als een
schakelaar die wordt bediend door een automaat (de verwerker(s)). Als
het ingangssignaal hoog is, wordt de schakelaar gesloten en wordt de
andere stroomkring gesloten.
35
§6 Verwerkers (1)
 Comparator – De comparator vergelijkt twee spanningen met elkaar; daarom heeft deze poort twee
ingangen. De spanning op de plus-ingang wordt de ingangsspanning (Uin) genoemd, en is afkomstig
van bijvoorbeeld een sensor. De spanning op de min-ingang wordt de referentiespanning (Uref)
genoemd, en deze waarde kun je zelf instellen tussen de 0V en de 5V.
Als Uin < Uref dan is Uuit 0V.
Hierbij is Uuit de uitgangsspanning;
Als Uin > Uref dan is Uuit 5V.
ofwel de spanning die de poort afgeeft.
 Ivertor – De invertor heeft één ingang en één uitgang. Het signaal dat de invertor inkomt wordt precies
omgedraaid. Als Uin hoog is dan is Uuit laag, en andersom ook. Je kunt dit in een zogenaamde
waarheidstabel zetten; dan werk je met de logische symbolen 0 en 1. Er ontstaat in het geval van de
invertor de nevenstaande tabel. De invertor is een zogenaamde logische poort. Een
ingang uitgang
logische poort werkt met een tweewaardig signaal (maar 2 mogelijke in- en
0
1
uitgangen).
1
0
§7 Verwerkers (2)
 OF-poort – De OF-poort heeft twee ingangen en één uitgang, en is
ook een logische poort. Als één van de twee - of allebei de ingangen hoog is, dan is de uitgang ook hoog. Ook hier kan weer
een waarheidstabel bij gemaakt worden.
 EN-poort – de EN-poort beschikt ook over twee ingangen en één
uitgang, en is eveneens een logische poort. Het uitgangssignaal van
de EN-poort is alleen hoog als beide ingangen óók hoog zijn! Ook
hier weer een waarheidstabel:
ingang A
0
1
0
1
ingang A
0
1
0
1
ingang B
0
0
1
1
ingang B
0
0
1
1
uitgang
0
1
1
1
uitgang
0
0
0
1
§8 Verwerkers (3)
 Geheugencel – De geheugencel heeft twee ingangen en één uitgang. Als het ingangssignaal (de Set)
hoog is dan onthoud deze cel dat, en is de uitgang hoog totdat hij cel ge-reset wordt d.m.v. de resetingang. De set wint het van de reset, met andere woorden: als er zowel bij de set als de reset ingang
een hoog signaal binnenkomt dan is de uitgang hoog!
 Teller – De teller heeft drie ingangen en vier uitgangen. De eerste ingang telt het aantal pulsen
dat op een kanaal voorkomt. Als de tweede ingang (aan/uit) is aangesloten wordt er alleen maar
geteld als het signaal op dit kanaal hoog is. De teller op het systeembord loopt maar t/m 9, maar
in andere gevallen kan deze veel langer doorlopen (afhankelijk van het aantal bits).
Als de derde ingang – de reset – gebruikt word en het signaal is hoog, dan wordt er niet geteld.
Als het signaal laag wordt word er pas weer geteld, en dan begint hij bij 0.
§9 AD-omzetter
“AD-omzetter” is een afkorting voor Analoog-Digitaal-omzetter. Het zet een continue waarde om in een
discrete waarde, zodat bijvoorbeeld een computer deze kan gebruiken. In dit geval noemen we het continue
signaal een analoog signaal en het discrete signaal het digitale signaal.
Afhankelijk van het aantal bits dat gebruikt wordt om het digitale signaal van te maken, zijn er een aantal
spanningsgebiedjes die bij een bepaalde digitale waarde horen. Als de uitgang 4 bits breed is dan zijn er 24 = 16
1
Spanningsgebiedje (x 5V) hoort de binaire code
spanningsgebiedjes. Bij 0hoort dan de code 0000.
0 tot 1/16
0000
16
1/16 tot 2/16
0001
Zo kun je een hele tabel maken:
2/16
tot
3/16
0010
De resolutie van deze AD-omzetter is 1/16 ∙ 5V =
…
0,31V.
15/16 tot 16/16
1111
Als je een AD-omzetter van 8 bits zou hebben krijg je
8
een resolutie van 1/(2 ) ∙ 5V = 0,020V.
Om een spanningswaarde om te zetten in een binaire code is tijd nodig; dit noemen we de conversietijd.
36
Hoofdstuk 11: Radioactiviteit
§1 De bouw van atomen
Een atoom bestaat uit een atoomkern die wordt omgeven met elektronen (deeltjes met een negatieve lading).
Het atoom zelf is elektrisch neutraal, dus de positieve lading van de kern is even groot als de negatieve lading
van de elektronen eromheen. Een atoom bestaat voor het grootste deel uit lege ruimte; elektronen bewegen in
cirkelvormige banen op een relatief heel grote afstand van de kern. De massa van de kern is
zoveel groter dan die van alle elektronen samen dat de kern eigenlijk alle massa van het
atoom bezit. Elk chemisch element heeft zijn eigen soort atomen. Ieder verschillend
soort atoom heeft een verschillende kern en meestal ook een verschillend aantal
elektronen. De lading van een elektron is de kleinst bekende (negatieve) lading die
er bestaat en wordt weergegeven met het symbool -e. Dit wordt ook wel de
elementaire lading genoemd. Je kunt deze lading uitdrukken in Coulomb. In tabel
7 kun je vinden dat er geldt dat 1e = 1,602∙10-19 C. Hiernaast staat het model van
het element Boor. Omdat er vijf elektronen om de kern zweven, heeft de kern dus
een lading van +5e. In BINAS tabel 104 staan alle elementen. Het getal linksonder
(5B) geeft aan dat er vijf elektronen om de kern zweven. Voor ieder element is dat getal
verschillend en wordt dus gebruikt om onderscheidt te maken tussen de verschillende
elementen. Het wordt ook wel het atoomnummer Z genoemd en is het aantal protonen dat in de kern zit.
Waterstof (Z=1) is het kleinste atoom dat bestaat. De kern bestaat alleen uit een proton en er zweeft één elektron
omheen. De lading van een proton wordt aangegeven met het symbool +e. De massa van een proton is 1,7∙10-27
kg (tegen 9,1∙10-31 kg van een elektron). Nu blijkt echter dat de massa van een fluorkern (Z=9) niet 9 maar 19
keer zo groot is als die van een proton! Er zitten ook nog 10 neutronen (N) in de kern. Ze hebben geen lading en
de massa is bijna gelijk aan die van een proton. Het atoomnummer van fluor is dus 9, het massagetal (A) is 19!
Voor het massagetal van een atoom geldt: A = Z + N. Isotopen zijn stoffen met hetzelfde atoomnummer maar
met een verschillend massagetal. Er zitten dus meer neutronen in de kern. Zo zijn deuterium ( 21 H ) en
tritium( 31 H ) isotopen van waterstof ( 11 H ). Het getal linksboven is het massagetal A. In BINAS tabel 25 vind je
veel nuttige informatie over isotopen! Met de notatie 73 Li bedoelen we 1) een bepaalde atoomsoort, 2) één
atoom van die atoomsoort en 3) de kern van het atoom (dus zonder de elektronen!).
§2 Kernstraling
Bij straling is altijd sprake van een bron die de straling uitzendt, een medium dat de straling als het ware
vervoert, én een voorwerp dat de straling ontvangt. Bij straling geldt dat er altijd transport van energie plaats
vindt. Bij straling maken we onderscheid tussen elektromagnetische straling en straling die niet bestaat uit
fotonen. Elektromagnetische straling bestaat uit pakketjes energie (fotonen) die met ongeveer 3,0∙108 meter per
seconde bewegen. De andere vorm van straling bestaat uit materiedeeltjes die langzamer dan 3,0∙108 m∙s-1
bewegen. Voorbeelden hiervan zijn α-straling en β-straling. Deze vorm van straling blijkt uit de kernen van
atomen te komen (vandaar de naam kernstraling). Dit verschijnsel heet radioactiviteit. Radioactieve straling is
fout, omdat niet de straling maar de stof radioactief is.
Kernstraling is veel energierijker dan elektromagnetische straling en heeft ioniserend vermogen.
Atoomsoorten die de mens zelf heeft gemaakt zijn allemaal radioactief, we noemen dit kunstmatige
radioactiviteit. Er is natuurkundig gezien geen verschil tussen natuurlijke en kunstmatige radioactiviteit. Er
bestaan drie soorten kernstraling; α-, β en γ-straling.
• α-straling bestaat uit deeltjes, om precies te zijn heliumkernen. Deze bestaat uit twee protonen en twee
neutronen en wordt dus aangegeven met 42 He . De lading is +2e vanwege de twee protonen. De snelheid van αdeeltjes is verschillend, deze hangt af van de atoomsoort (5-10% van de lichtsnelheid). Als een α-deeltje tegen
een atoom of molecuul botst dan schieten ze daar een elektron vanaf. Dit ioniserende vermogen is heel groot bij
α-deeltjes. Bij iedere botsing raakt het echter veel kinetische energie kwijt, dus is het doordringend vermogen
(hoe ver het deeltje komt) niet groot. De afstand die het deeltje in materie aflegt wordt de dracht genoemd.
• β-straling bestaat ook uit deeltjes, elektronen. De snelheid (30-99% van de lichtsnelheid) van deze β-deeltjes is
verschillend, maar niet afhankelijk van de atoomsoort! Het ioniserende vermogen is veel kleiner dan dat van αdeeltjes. Hierdoor is het doordringend vermogen wel veel groter.
• γ-straling bestaat uit fotonen en is dus elektromagnetische straling! Hierdoor is de snelheid gelijk aan de
lichtsnelheid. Dit is de energierijkste vorm van elektromagnetische straling. Het ioniserend vermogen van γ-
37
straling is weer veel kleiner dan dat van β-straling, en het doordringend vermogen veel groter. Een kern kan óf
α-deeltjes óf β-deeltjes uitzenden, waarna in beide gevallen een γ-foton kan worden uitgezonden. Veel
radioactieve stoffen zenden zoveel straling uit dat ze levens-gevaarlijk zijn. Lood heeft een hele hoge dichtheid
en heeft een groot absorberend vermogen zodat er veel straling tegengehouden wordt.
Soort
Aard v/d Ioniserend Doordringend
Aanvangssnelheid
Straling
Straling
vermogen
vermogen
(% t.o.v lichtsnelheid)
α-straling 42 He -kernen groot
klein
5% tot 10%
β-straling elektronen klein
groot
30% tot 99%
γ-straling fotonen
heel klein
heel groot
.
100%
§3 Aantonen van ioniserende straling
Om ioniserende straling op te vangen zijn speciale apparaten ontwikkeld. Het eenvoudigst is de badge. Deze
bevat een fotografische plaat die zwart kleurt bij blootstelling aan straling en is dus een indicatie van de
hoeveelheid straling waar iemand aan is blootgesteld.
• Een tweede instrument is het bellenvat. Hierin zit vloeibare waterstof (T = 26K, p = 400kPa) dat op het punt
staat om te gaan koken. Om iedere onregelatmigheid (stofje, ion) in de vloeistof vormt zich een belletje als het
gaat koken. De waterstof is zo puur dat bellen zich alleen rond ionen kunnen vormen, die op hun beurt gevormd
worden door kernstraling die van waterstofdeeltjes het elektron afrukt. Ieder α- en/of β-deeltje laat een spoor
ionen achter, wat waarneembaar is doordat er bellen rond die ionen vormen. De banen van deze deeltjes worden
berekend door de computer die kijkt naar de bellen die in de vloeistof zijn ontstaan. Dit is een verouderde vorm
van stralingsdetectie.
• Het bekendste is wel de geigermüllerteller (GMbuis). Een GM-buis kan zowel deeltjesstraling als
elektromagnetische straling waarnemen. In een
met gas onder lage druk gevulde cilinder
steekt een metalen pen (P), geïsoleerd van de
cilinder. Deze pin is met de pluspool van een
spanningsbron verbonden, de cilinder zelf met de minpool. De
spanning van de spanningsbron is net iets lager dan de
doorslagspanning (de spanning waarbij er een vonk kan overslaan.
Er loopt dus geen elektrische stroom.
Als er bv. een α-deeltje door het mica venster (M) komt dan
worden een aantal gasmoleculen geïoniseerd. De ontstane ionen bewegen zich naar de cilinderwand en de
elektronen naar de pen. Omdat een elektron een kleine massa heeft krijgt het een veel grotere versnelling dan
het ion. Hierdoor krijgt het een ioniserende werking en ioniseert dat elektron weer andere gasmoleculen zodat er
een hele lading elektronen op de pen komt. Dit noemt men een gasontlading. De elektronen worden via de
weerstand R naar de cilinderwand C getransporteerd zodat er even een elektrische stroom loopt. Met een geigermüllerteller kun je het aantal energierijke deeltjes/fotonen tellen, radioactieve stoffen opsporen en de dracht van
deeltjes bepalen (door de dikte van het mica venster te variëren).
• Een dradenkamer is een samenvoeging van meer dan duizend GM-buizen. De helft van de draden (pin P in het
vorige voorbeeld) staat loodrecht op de andere helft. Door deze opstelling wordt het mogelijk om de baan van
een invallend ioniserend deeltje te bepalen. Een passerend deeltje veroorzaakt een flink aantal kleine
gasontladinkjes die als vonkjes te zien zijn. Als deze gefotografeerd worden (of met een sensor waargenomen
door de computer) kan een computer de precieze baan en de kinetische energie van dat deeltje berekenen. Dit is
de opvolger van het bellenvat en heeft als voordeel dat het veel sneller detecteert en nauwkeuriger is.
§4 Verval van atoomkernen
Het atoomnummer geeft aan wat de lading is van de kern van een deeltje, en dit gebruikt men om notaties voor
een proton, neutron en elektron te formuleren ( 11 p , 01 n , 01 e ). I.p.v. 00 γ wordt het symbool γ gebruikt voor een γfoton. Ongeveer 20% van de natuurlijke atomen is radioactief. Alle kunstmatig gemaakte atomen zijn
radioactief.
• Een α-straler kan zomaar een α-deeltje uitstoten. Een voorbeeld van zo’n stof is 23290Th . Omdat er twee
protonen en twee neutronen van de kern worden gesplitst ontstaat er een nieuwe kern. Deze kern heeft
atoomnummer 90 – 2 = 88 en massagetal 232 – 4 = 228. Dit blijkt de stof radium te zijn. Dit fenomeen kunnen
Ra  42 He . Dit is géén
we noteren met een zogenaamde vervalvergelijking. Deze ziet er als volgt uit: 23290Th  228
88
38
chemische reactie omdat er een element verandert in een ander element! De kern verandert van samenstelling
dus noemen we dit een kernreactie. Hierbij geldt dat de totale lading gelijk blijft, en het totale aantal
kerndeeltjes gelijk blijft. Het spontaan uiteenvallen van een kern noemen we radioactief verval en wordt ook
wel desintegratie genoemd.
• Een β-straler zendt een elektron uit als het vervalt, maar er zitten helemaal geen elektronen in de kern! In de
kern van een β-straler valt een neutron uiteen in een proton en een elektron. Dit elektron verlaat dan met zeer
hoge snelheid de kern. De reactievergelijking hiervoor is: 01 n 11 p  01 e . Als de hierboven gevormde
radiumisotoop vervalt dan komt er een elektron vrij en wordt het atoomnummer verhoogt met 1 (er komt een
proton in de plaats van een neutron dus de totale massa blijft gelijk).
228
Ra  228
Ac  01 e . Dit ontstane isotoop is ook weer radioactief en is een β, γ-straler. De kernreactie is:
88
89
Ac  22890Th  01 e  γ . Dit gaat zo door tot er een stabiele kern ontstaan is (in dit geval 208
Pb ). De kernen van
82
radioactieve stoffen worden ook wel instabiel genoemd. Als er in BINAS tabel 25 vermeld staat dat er een γfoton wordt uitgezonden dan wordt dat gedaan door de dochterkern (de kern die ontstaan is nadat de originele
kern is vervallen).
228
89
§5 Het tempo van radioactief verval
Natrium-24 is een kunstmatige β-straler en vervalt als volgt:
24
Na 24
Mg  -01 e . Dit magnesium is stabiel en zendt dus geen
11
12
deeltjes uit. Als je met een GM-buis kijkt naar de hoeveelheid βdeeltjes die voorbij zijn gekomen dan krijg je een goede indruk
van het aantal kernen dat in die tijd vervallen
is. Het aantal kernen dat per seconde vervalt heet de activiteit (symbool
A). De eenheid hiervan is becquerel (Bq). De halveringstijd van een
radioactieve stof is de tijd waarin de activiteit gehalveerd is. Het
symbool voor de halveringstijd is t½ of τ.
Het aantal door de GM-buis getelde deeltjes is maar een klein deel van
het daadwerkelijk uitgezonden deeltjes, maar het aantal per seconde
getelde deeltjes is wel evenredig met de activiteit van een stof. Het
verval van radioactieve kern is een statistisch proces. De kans dat je met
een dobbelsteen een even getal gooit is 50%, maar na honderd worpen kan je net zo goed 47 of 53 maal een
even getal hebben gegooid. Daarom is de lijn in de grafiek hiernaast geen kromme maar een beverige lijn. Er
valt niet te voorspellen waneer één specifiek kern vervalt, maar wel dat binnen t½ ongeveer de helft van het
aantal kernen vervalt. Als een atoomsoort een kleine halveringstijd heeft dan zijn de kernen instabieler dan de
kernen van een stof die een grotere halveringstijd hebben.
Omdat we niet kunnen zien wanneer een stof radioactief is moeten we er zorgvuldig mee omgaan. Een stof met
kleine halveringstijd geeft weinig problemen, het hoeft niet lang opgeslagen te worden voordat de activiteit tot 0
is gedaald. Stoffen met een hele grote halveringstijd zijn een groter probleem, ze moeten lang opgeborgen
blijven wat gevaren oplevert. Zo kunnen we vergeten waar het ligt, of kunnen terroristen het later opgraven.
Halveringstijden kunnen niet beïnvloed worden door temperatuur of druk. Voor het aantal kerndeeltjes dat
aanwezig is kunnen we de volgende formule gebruiken: N(t) = N(0) ∙ (½)n. Hierbij is N(t) het aantal kernen op
tijdstip t, N(0) het aantal kernen op t=0 en is n het aantal halveringstijden. Deze n is te berekenen door de
gepasseerde tijd te delen door de halveringstijd: n = t / τ. Dit
levert de volgende formule op: N(t) = N(0) ∙ (½) t / .
Hiermee kun je op ieder tijdstip het aantal radioactieve
kernen dat over is berekenen. Met deze formule kun je ook een
vervalkromme tekenen. Zo’n kromme is ook experimenteel te
verkrijgen door een GM-buis op een schrijver aan te sluiten.
Met deze vervalkromme kun je op ieder tijdstip t de activiteit
bepalen. Hiervoor teken je de raaklijn aan de grafiek en
bepaalt daarvan de steilheid. Omdat de activiteit het aantal
kernen is dat per seconde vervalt, en de steilheid van de grafiek
overeenkomt met N (t ) / t , is de absolute waarde van de steilheid van de grafiek gelijk aan de activiteit van
N (t )
| . A(t) = A(0) ∙ (½) t / geldt ook omdat de activiteit gelijk is aan
de stof op tijdstip t. In formule: A(t ) |
t
het aantal nog aanwezige kernen.
39
§6 Ioniserende straling: risico en veiligheid
Iedereen staat constant bloot aan kosmische straling; energierijke deeltjes (ioniserende straling) die uit de
ruimte op de aarde komen. In de aardkorst komen ook radioactieve deeltjes voor die in de categorie natuurlijke
straling vallen (uranium-238, thorium-232). Hierdoor komen er radioactieve deeltjes in water en voedsel en dus
in de mens, maar vormen geen gevaar. Vanaf het begin van de 20e eeuw gebruikt men kunstmatige straling,
men ging kern- en röntgenstraling gebruiken in de gezondheidszorg en industrie. Achtergrond straling kan
zowel uit kunstmatige als natuurlijke bronnen komen en bij meting van een monster wordt deze
achtergrondstraling over het algemeen ook gemeten.
Ioniserende straling kan ernstige gevolgen hebben in levende cellen doordat de ontstane ionen een ongewenste
chemische reactie opwekken die de werking van de cellen ernstig verstoort. Op deze manier kunnen er mutaties
ontstaan; de cel stopt met delen of gaat als een gek delen (dan spreekt men van tumor vorming). Mutaties in de
geslachtscellen worden doorgegeven aan het nageslacht.
Om straling te kunnen vergelijken spreekt men over stralingsdosis. Dit geeft aan hoeveel stralings-energie er
per kilogram bestraalde massa wordt geabsorbeerd. De eenheid is gray (Gy). 1 Gy = 1 J∙kg-1.
De soort straling speelt ook een rol bij het gevaar van straling, niet alleen de dosis. Er word ook onderscheidt
gemaakt tussen inwendige en uitwendige bestaling. Uitwendige α-straling is vrijwel onschadelijk (de α-deeltjes
komen niet door de bovenste laag van de huid - die bestaat uit dode cellen - zodat ionvorming geen kwaad kan).
β-straling is al wat gevaarlijker, maar vooral γ-straling is gevaarlijk omdat deze diep in het lichaam ionisaties
kan veroorzaken.
straling
factor
Om de schadelijkheid van verschillende soorten straling te kunnen vergelijken heeft men
röntgen
1
een weegfactor. Bij een even grote hoeveelheid straling is α-straling 20 keer zo schadelijk
β
1
als β-straling. De factor van de neutronen is afhankelijk van de kinetische energie van het
γ
1
deeltje. Het dosisequivalent is gelijk aan de stralingsdosis maal de weegfactor ervan. De
neutronen
3-10
eenheid is de sievert (Sv), waarbij 1 Sv = 1 J∙kg-1.
protonen
10
Als we kijken naar de stralingsbelasting van de gemiddelde Nederlander dan blijkt die als
α
20
laagste van de wereld te zijn, ongeveer 2 mSv per jaar. Kunstmatige stralingsbelasting
bestaat bijna helemaal uit gezondheidszorg (voornamelijk röntgenonderzoek). Een commissie heeft bekeken
wat de maximale stralingsbelasting mag zijn, 5 mSv per jaar. Voor specifieke lichaamsdelen gelden over het
algemeen hogere normen (zie tabel 99E 99F in BINAS).
Om uitwendige straling te beperken moet men zo kort mogelijk blootgesteld worden aan de straling. Ook de
afstand moet zo groot mogelijk gehouden worden. Er geld namelijk net als bij geluid de kwadratenwet; n keer
zo ver weg is er een n2 keer zo kleine stralingsintensiteit. Ook moet er een goede afscherming van lood of beton
worden gebruikt. Dit zijn namelijk stoffen die zelfs γ-straling grotendeels kunnen absorberen. De
halveringsdikte van een materiaal is de dikte waarbij de intensiteit van de invallende γ-straling wordt
x/d
gehalveerd. Er geldt: I(x) = I(0) ∙ ½ ½ . Hierbij is I(0) de intensiteit van de straling op het materiaal en I(x) de
intensiteit na afstand x in de stof.
§7 Toepassingen van ioniserende straling
In de medische wereld kan ioniserende straling voor twee doeleneinden worden gebruikt.
- als hulpmiddel om een diagnose te stellen. Wordt stralingsdiagnostiek of radiodiagnostiek genoemd.
- als geneesmiddel (bij het behandelen van kanker). Wordt radiotherapie genoemd.
In de eerste categorie behoort het maken van röntgenfoto’s tot de meest toegepaste methode. Alle nietgeabsorbeerde straling komt op een fotografische plaat. Bot absorbeert (door de grotere dichtheid) meer straling
waardoor de plaat op die plaatsen minder zwart is. Verschillende soorten weefsels zijn niet of nauwelijks te
onderscheiden, maar om een foto van de maag of darmen te maken gebruikt men een contrastmiddel. Iemand
moet dan een papje van bariumsulfaat eten, omdat dit röntgenstraling moeilijk doorlaat. De stralingsbelasting is
tegenwoordig veel minder door technische verbeteringen.
Een computertomograaf maakt scherpe afbeeldingen (CT-scan) in tegenstelling tot een röntgenfoto
die alle weefsels en botten over elkaar weergeeft. Zo’n tomograaf bestaat uit een buis die
gevormd word door allemaal detectoren waarin een röntgenbron om de patiënt heen draait. De
detectoren meten dan de straling die doorgelaten wordt waarmee een scherpe afbeelding
gemaakt kan worden. Een meting wordt echter in één vlak gemaakt; er ontstaan allemaal
plakjes. Één zo’n dwarsdoorsnede noemen we een tomogram (tomos is Grieks voor plak).
Met kernstraling is echter ook onderzoek mogelijk. Zo neemt de schildklier bijvoorbeeld jood op.
Als er behalve “gewone” joodatomen ook I-123 (bij verval van I-123 komt γ-straling vrij) aanwezig
is kan doormiddel van γ-detectie bekeken worden waar de joodhoudende stof zich in de schildklier bevindt. Het
beeld dat hiermee verkregen wordt heet een scintigram of gammascan. Deze methode kan voor vrijwel ieder
40
orgaan worden gebruikt. De radioactieve stoffen (uitsluitend γ-stralers met een zo klein mogelijk halveringstijd)
bevinden zich in andere speciaal gemaakte stoffen, die de eigenschap hebben naar een specifiek orgaan te gaan.
De stof in kwestie (daarnet I-123) wordt hier gebruikt om te volgen waar de stof naartoe gaat; het is een tracer.
Radiotherapie wordt vrijwel uitsluitend bij kankerpatiënten gebruikt. Kanker is een verzamelnaam voor
lichaamscellen die ongeremd delen. Dit kan behandeld worden met operaties, bestraling, medicijnen of een
combinatie van die mogelijkheden. De straling wordt dan gebruikt om tumorcellen te doden of in ieder geval de
groei ervan te beperken. Dit kan zowel inwendig als uitwendig. Bij uitwendige bestraling wordt gebruik
gemaakt van een apparaat dat zachte tot zeer harde röntgenstraling kan generen of een apparaat dat een γ-bron
bevat (kobalt-60). Bij inwendige bestraling worden kleine gesloten radioactieve bronnetjes gebruikt
(bijvoorbeeld een holle naald met een paar milligram cesium-137 erin). Deze worden dan dichtbij of in het te
bestralen weefsel geplaatst. Tumoren in een vergevorderd stadium kunnen niet altijd genezen worden, maar
door de technologische vooruitgang kunnen tumoren steeds eerder worden ontdekt zodat de kans op genezing
groter is.
In de industrie wordt ook ioniserende straling gebruikt. Bijvoorbeeld voor het controleren van de dikte van een
plaatmateriaal tijdens het walsen. Een verandering in dikte vertaalt zich in een verandering in doorgelaten
straling, waardoor de afstand tussen de walsen automatisch kan worden aangepast.
Bij een rookmelder wordt de lucht in de melder door de α-straler americium geïoniseerd waardoor het elektrisch
geleidend wordt. Als er rook in de melder komt wordt de ionisatiestroom onderbroken en klinkt het alarm. Ook
kan men met behulp van röntgenstraling lasnaden bij koppelingen van pijpleidingen controleren. Met behulp
van radioactieve vervalprocessen kan men bepalen hoe oud iets is. Als het organische stoffen betreft kan men
gebruik maken van de koolstof-14 methode. Gaat het echter om gesteentes dan kan óf uranium-238 óf kalium40 een rol spelen.
Ook hier kan een radioactieve stof als tracer worden gebruikt. Zo meet rijkswaterstaat de verplaatsing van
zandbanken door ze radioactief te “merken”.
Om te kijken hoe een stof zich in een bepaald organisme verspreidt kan een kleine hoeveelheid fosfor-32
worden toegevoegd aan die stof (bijvoorbeeld in de vorm van fosfaat).
41
Hoofdstuk 12: Gassen en vloeistoffen
§1 Molecuultheorie
Een stof kan in drie fasen verkeren: de vaste fase, de vloeibare fase en de gasvormige
fase. Van elke fase kan er direct naar een andere fase overgegaan worden, wat in
het schema hiernaast staat weergegeven. Bij iedere overgang hoort een aparte
naam. Ontdooien en vriezen hebben alleen betrekking op water! Niet alle
stoffen kunnen in drie fasen voorkomen; sommige stoffen ontleden
bijvoorbeeld bij hoge temperaturen.
Zoals bekend is bestaan alle stoffen uit moleculen. Het tweede plaatje
laat de molecuulmodellen van de verschillende fasen zien (daarbij staat 1
bolletje voor een molecuul). In de vaste fase (links)
zijn alle moleculen in een regelmatig patroon
gerangschikt. Daarbij oefenen ze een aantrekkende
kracht op elkaar uit, zodat het niet als zand uit elkaar
valt. De moleculen trillen echter wel, en hoe hoger de
temperatuur des te heviger ze trillen en hoe groter de
amplitude is. Hierdoor wordt de ruimte tussen de
moleculen groter, wat verklaart waarom een stof uitzet als de temperatuur hoger wordt.
In de vloeibare fase (midden) bewegen de moleculen langs elkaar, maar zitten nog wel dicht op elkaar en
oefenen ze een aantrekkende kracht op elkaar uit. Als de temperatuur stijgt wordt de snelheid van de moleculen
groter, botsen ze vaker en zet de stof nog verder uit.
In de gasvormige fase (rechts) bevinden de moleculen zich gemiddeld op grote afstand van elkaar en bewegen
gemiddeld met grote snelheid kriskras door elkaar. Er is geen merkbaarheid van de aantrekkende kracht tussen
de moleculen meer. Hierdoor verspreidt een gas zich over een ruimte, of er nou al een gas aanwezig is of niet.
Als de temperatuur hoger is gaat dat verspreiden sneller, wat er op duid dat de snelheid van de moleculen bij
hogere temperaturen groter is. Als twee gassen zich vanzelf mengen spreken we van diffusie. Bij botsingen van
moleculen in gasvormige staat wordt kinetische energie van het ene molecuul op het andere overgedragen; de
snelheid van een molecuul varieert dus voortdurend. Omdat de moleculen dus heel verschillende snelheden
kunnen hebben spreken we van de gemiddelde snelheid of de gemiddelde kinetische energie van een molecuul.
Iedere stof heeft zijn eigen dichtheid. Dit geeft aan hoeveel de massa per volume-eenheid is. In BINAS tabellen
8 t/m 12 kunnen de dichtheden van verschillende stoffen worden opgezocht. Voor de dichtheid geldt de formule
dichtheid  massa / volume ofwel:   m / V
§2 Temperatuur
Vrijwel alle stoffen zetten uit als de temperatuur stijgt en krimpen als de temperatuur daalt. De vloeistofthermometer maakt gebruik van dat principe. Als er vaste stoffen worden gebruikt moet er rekening worden
gehouden met het krimpen en uitzetten door temperatuursverschillen (spoorrails, pijpleidingen, betonwegen).
De meeste thermometers gebruiken de schaalverdeling die Celcius bedacht heeft. Als ijkpunten gebruikte hij de
temperatuur van smeltende sneeuw en de temperatuur van kokend water. De afstand tussen deze twee
temperaturen verdeelde hij in honderd stukjes. Het symbool voor temperatuur in graden Celcius is t. Uit
proeven is gebleken dat de laagst mogelijke temperatuur -273,15 ºC bedraagt. Het is logisch dat er een
minimumtemperatuur is, want bij die temperatuur staan alle moleculen stil. Dit punt noemen we het absolute
nulpunt. Dit punt is voor alle stoffen gelijk. Alle gassen gaan bij lage temperaturen over in vloeistoffen en rond
het absolute nulpunt bestaan stoffen alleen in vaste fase.
Vanwege deze negatieve temperatuur is er een nieuwe schaalverdeling, de kelvin, gekomen. Het symbool voor
temperatuur in kelvin is T. Het absolute nulpunt is nul kelvin (0 K). 0 K = -273,15 ºC. Een schaaldeel van één
kelvin komt overeen met een schaaldeel van één graad Celcius. Hierdoor krijgen we het volgende verband: T = t
+ 273,15.
Als de temperatuur van een stof stijgt, dan neemt de gemiddelde kinetische energie van de moleculen toe. De
temperatuur is niets anders dan een maat voor de gemiddelde kinetische energie.
Als de temperatuur stijgt gaan de moleculen met een grotere amplitude trillen, waardoor ze meer ruimte in
nemen. Een stof zet dus uit als de temperatuur stijgt. De moleculen hebben ook potentiële energie: ze trekken
constant aan elkaar. Als de moleculen verder uit elkaar gaan, wordt de potentiële energie groter want er moet nu
meer arbeid worden verricht om de moleculen tegen elkaar te krijgen. De kinetische en potentiële energie van
een molecuul wordt de inwendige energie genoemd.
42
§3 Druk
De druk die een voorwerp uitoefent op een ander voorwerp hang af van de kracht die uit wordt geoefend en het
oppervlak tussen de twee voorwerpen. De druk is namelijk de kracht per oppervlakte eenheid. We kunnen
schrijven: druk  kracht / oppervlakt e of in symbolen: p  F / A . Het symbool p komt van het engelse woord
voor druk; pressure. Het symbool A komt van het engelse Area. De eenheid van druk is pascal, waarbij geldt dat
1 pascal gelijk is aan 1 newton per vierkante meter. Een druk van 1 Pa is heel klein, een laagje water van 1 mm
zorgt al voor een druk van 10 Pa.
Doordat in een gas de moleculen kriskras door elkaar bewegen, zonder een voorkeursrichting, botsen er op elke
plaats van een vat waar het gas in zit evenveel moleculen met dezelfde gemiddelde snelheid per seconden
tegenaan. Een botsing zorgt voor druk, dus overal in een vat is de gasdruk even groot. Met een manometer kan
men de luchtdruk meten. In zo’n manometer bevindt zich een metalen trommeltje met een veerkrachtige wand.
Door de druk van het gas - die je wilt bepalen - wordt deze wand vervormd. Deze vormverandering wordt
omgezet in een uitslag van een wijzer. De druk wordt bij gassen vaak in bar gegeven, waarbij 1 bar gelijk is aan
105 Pa. De gasdruk wordt ook wel eens spanning genoemd (bandenspanning bijvoorbeeld).
Door de aantrekkingskracht van de aarde oefent de lucht om ons heen op elk voorwerp een druk uit. De
luchtdruk wordt gemeten met een barometer. Een isobaar is een lijn die op een landkaartje de gebieden met
gelijke luchtdruk met elkaar verbindt. Als de gasdruk kleiner is dan die van de buitenlucht spreken we van een
onderdruk. Is de gasdruk echter groter dan die van de buitenlucht spreken we van een overdruk.
Bloeddruk wordt in millimeter kwikdruk uitgedrukt.
§4 Gaswetten (I): aantal mol; wet van Boyle
Een hoeveelheid stof wordt uitgedrukt in mol, waarbij 1 mol stof gelijk is aan 6,02∙1023 moleculen. Het symbool
hiervoor is n. De druk van een gas is rechtevenredig met het aantal moleculen N en dus ook met het aantal mol
n van het gas. p / n is dus constant. 1 mol stof heeft een massa van de moleculaire massa die te vinden is in
BINAS. Als we het verband tussen het volume en druk onderzoeken, blijkt dit omgekeerd evenredig te zijn. Als
we de druk meten bij een veranderend volume, dan blijkt dat druk maal volume constant is ( p V  constant).
Dit wordt ook wel de wet van Boyle genoemd. Om hiermee te rekenen schrijven we dit meestal als:
p1  V1  p2  V2
§5 Gaswetten (II): drukwet van Gay-Lussac
Als we het verband tussen de temperatuur (in °C) en de druk onderzoeken, moeten we alle andere
omstandigheden (aantal mol n, volume V) gelijk houden. Nu blijkt dat als de temperatuur toeneemt de druk ook
toeneemt, en wel gelijkmatig. Het is niet rechtevenredig, want de rechte gaat niet door de oorsprong! Als we nu
de absolute temperatuur gebruiken blijkt de rechte wél door de oorsprong te gaan, dus de druk is rechtevenredig
met de absolute temperatuur. Dit geldt voor elk gas.Hieruit kunnen we concluderen dat p = constante ∙ T, ofwel:
p / T = constant. Deze regel staat bekend als de drukwet van Gay-Lussac. Als er met deze wet gewerkt wordt,
doen we dit meestal zo:
p1
T1

p2
T2
§6 Algemene gaswet; ideaal gas
Als we de vorige drie wetten combineren krijgen we algemene
p V  constant
gaswet. We krijgen dan nevenstaande afleiding. Voor welke
p
situatie en voor welk gas we dit ook invullen, we krijgen altijd
= constant
p V
 constant = R
dezelfde constante. Dit noemen we de gasconstante R (8,31 J ∙
n
-1
-1
n

T
mol ∙ K ). Geen enkel (reëel) gas blijkt echter exact aan deze
p
= constant
wet te voldoen: bij hoge drukken of lage temperaturen kunnen
T
er grote afwijkingen optreden. Bij het samenpersen van een gas
is het volume van de moleculen op een gegeven moment niet meer te verwaarlozen. Ook oefenen moleculen
aantrekkende krachten op elkaar uit, die merkbaar worden bij erg lage temperaturen. Vanwege deze reden heeft
men het begrip ideaal gas ingevoerd. Dit gas heeft geen eigen volume en er worden geen krachten op elkaar
uitgeoefend. Met andere woorden: een ideaal gas volgt de gaswetten exact.
}
§7 De wet van Bernoulli
Hydrodynamica is de tak van natuurkunde die vloeistofstromingen onderzoekt. Aërodynamica is de tak die
gasstromen onderzoekt. Als we naar een vloeistof of gas kijken, dan spelen twee factoren een belangrijke rol: de
43
snelheid van het medium en de druk in het medium.
De druk van een stilstaande vloeistof noemt men de (hydro)statische druk. Hoe groter de afstand onder de
vloeistofspiegel, des te groter de druk wordt. Voor de druk op een diepte h met een oppervlakte A kunnen we dit
stellen: p  Fz / A , Fz  m  g , m  V   en V  h  A . Voor de statische druk kunnen we nu schrijven:
Fz
m g
V g
h  A   g
 h g
A
A
A
A
De druk is in alle richtingen gelijk, omdat de moleculen in alle richtingen bewegen. Bovendien is de druk
rechtevenredig met de afstand tot de vloeistofspiegel.
Als er drukverschillen ontstaan in een buis kan de vloeistof in die buis gaan stromen. De snelheid waarmee dit
gebeurt is afhankelijk van het drukverschil
én van de dikte van de buis. We kunnen
dit zien in de bovenste figuur hiernaast,
waar een aantal snelheidsvectoren zijn
getekend van een denkbeeldig
vloeistofdeeltje. De snelheid in de buis is
overigens niet overal even groot: aan de
buitenkant (bij de wand van de buis)
ondervindt de vloeistof wrijving van de
buis en is de stroomsnelheid dus lager.
Een vloeistof is bijna niet samen te drukken; de
dichtheid van een vloeistof is daarom altijd even groot.
Het volume in het brede deel van de buis is dus even groot als het volume in het smalle deel (als de vloeistof
van het brede deel via het smalle stroomt). Doordat de doorsnede kleiner is, is de lengte die het volume heeft
groter. Om te zorgen dat de vloeistof goed blijft stromen moet de snelheid in het smalle deel dus groter zijn!
Zo luidt ook de continuïteitsvergelijking: A1  v1  A2  v2
De wet van Bernoulli geeft het verband tussen de druk in de vloeistof en de stroomsnelheid. Als de situatie in
het horizontale vlak plaats vindt luidt deze: p1  ½   v12  p2  ½   v22 .
p



½   v 2 stelt de druk voor ten gevolge van de stroming van de vloeistof. Om deze reden wordt deze term ook
wel de dynamische druk of stuwdruk genoemd. De som van de dynamische en statische druk noemen we de
totaaldruk.
Loopt de buis echter ook nog schuin omhoog of omlaag, dan moeten we ook de statische druk meenemen in de
vergelijking. We krijgen dan: p1  ½   v1    g  h1  p2  ½   v 2    g  h2 .
2
2
§8 De wet van Bernoulli toegepast
De venturi-meter wordt gebruikt voor het bepalen van de stroomsnelheid in een horizontale buis. Door de wet
van Bernoullie te combineren met de continuïteitsvergelijking krijgen we:
v1 
2( p1  p2 )
 (( A1 / A2 )  1)
2
. Dit is te vereenvoudigen tot v1 
2 g  y
( A1 / A2 ) 2  1
.
p1  p2 kan worden bepaald uit het hoogteverschil Δy, volgens:
p1  p2    g  y (volgt uit p  h  p  g ).
Hierdoor krijgen we de makkelijkere formule.
We kunnen ook de wet van Benoulli gebruiken om een eenvoudige vacuümpomp te maken.
We laten kraanwater door een versmalling gaan waardoor de stroomsnelheid toeneemt.
Hierdoor neemt de druk af ( p1  ½   v12  constant), wat zorgt voor een onderdruk in de
ruimte net onder de versmalling. Door deze onderdruk stroomt
er lucht uit bijvoorbeeld een erlenmeyer die ruimte in.
Bij vliegtuigen wordt deze wet ook gebruikt. Een vleugel van een vliegtuig
is zo ontworpen dat de snelheid van de lucht onder de vleugel veel lager is dan de snelheid
boven de vleugel. Daardoor is de druk boven de vleugel kleiner dan de druk onder de vleugel,
waardoor een netto druk ontstaat die omhoog gericht is. Er geldt dan: Flift  A  ( ponder  pboven ) ,
waarbij A de vleugeloppervlakte is.
44
Hoofdstuk 13: Energie en warmte
§1 Warmte
Warmte is een vorm van energie, met als eenheid joule (J). Afstaan en opnemen van warmte is het overdragen
van energie door een voorwerp met een hoge temperatuur aan een voorwerp met een lagere temperatuur. Als de
temperatuur van een voorwerp stijgt, neemt de inwendige energie (Ei) toe.
§2 Warmtetransport
Warmte overdracht kan op drie manieren plaatsvinden: door geleiding, door stroming en door straling. Metalen
en alliages (mengsels van metalen) geleiden warmte goed: de warmte wordt langzaam door het voorwerp
verspreidt. De meeste andere vaste stoffen en vloeistoffen zijn slechte warmtegeleiders, gassen zijn zelfs zeer
slechte warmtegeleiders. Het warmtegeleidingcoëfficiënt (BINAS Tabel 8-12) geeft aan hoe goed de stof
warmte geleid. Hoe hoger deze waarde, des te beter de warmtegeleiding. Geleiding is feitelijk niets anders dan
het doorgeven van kinetische energie van het ene atoom aan het andere atoom. Stoffen die slecht warmte
geleiden zijn juist goede warmte-isolatoren.
Gassen en vloeistoffen geleiden dan wel slecht warmte, maar ze kunnen wel door stroming warmte verplaatsen.
Als vloeistoffen/gassen verwarmd worden, zetten ze uit waardoor de dichtheid kleiner wordt. Daardoor stijgen
ze op, waarna ze weer afkoelen en weer dalen. Hierdoor krijg je een circulatie.
Elk voorwerp zendt bovendien straling uit: hoe hoger de temperatuur des te meer straling het voorwerp uitzendt.
Straling kan ook door vacuüm gaan: het heeft geen draagstof nodig. Als straling op een voorwerp valt wordt de
straling omgezet in kinetische energie van de moleculen waar het opvalt waardoor de temperatuur stijgt. Bij de
centrale verwarming wordt van zowel stroming als straling gebruik gemaakt. Bij de verbranding van gas komt
straling vrij die zijn energieaan het water afgeeft. Dit water stroomt naar de radiatoren, die de warmte weer
uitstralen. Door deze verwarming ontstaat er in de ruimte waar de radiator zicht bevindt automatisch weer
circulatie.
§3 Meten van warmtehoeveelheden
Iedere stof heeft een andere hoeveelheid energie nodig om een bepaalde hoeveelheid van die stof één graad in
temperatuur te laten stijgen. Dit noemen we de soortelijke warmte (c): de energie die nodig is om één kilogram
van een stof één graad Celsius te laten stijgen. Voor water is dit: cwater = 4,18∙103 J∙kg-1∙°C-1.
Om uit te rekenen hoeveel warmte er nodig is om een bepaalde hoeveelheid stof een bepaalde
temperatuursverandering te geven gebruiken we de volgende formule:
Q  m  c  T
Voor een voorwerp spreken we niet over de soortelijke warmte, maar over de warmtecapaciteit (C). Dit is de
energie die nodig is om het voorwerp één graad in temperatuur te laten stijgen.
Q  C  T
Bij een joulemeter hebben we een gesloten en geïsoleerd voorwerp waar een vloeistof in zit waarvan we de
massa weten en we de temperatuur af kunnen lezen. Brengen we in de vloeistof een voorwerp aan met een
andere temperatuur, dan gaat er warmte-uitwisseling plaatsvinden. Als het voorwerp een lagere temperatuur
heeft neemt het energie op van het water, als het een hogere temperatuur heeft staat het energie af aan het water.
Als we uitgaan van een ideale joulemeter kunnen stellen dat Qop  q af .
Als we uitgaan van water van 20°C dat een massa heeft van 100g waarin we een bolletje van een onbekend
metaal hangen dat een temperatuur heeft van 35°C heeft en waarvan de eindtemperatuur 23°C is, kunnen we dit
invullen in de formule:
Qaf  q op
C  T  mv  c v  T
C  (35  23)  0,100  4,18  10 3  ( 23  20)
C  104 ,5 J  C 1
Bij verbranding van een stof komt een bepaalde hoeveelheid energie vrij. Dit noemt men de
verbrandingswarmte (of stookwaarde) van die stof. Voor vaste stoffen gaat het dan over een massa van 1 kg, bij
gassen over een volume van 1 m3 (bij een druk van 1 bar en 273K). Zie BINAS Tabel 28.
45
§4 De eerste hoofdwet van de warmteleer
De arbeid die op de omgeving wordt verricht noemen we uitwendige arbeid (Wu). Bij processen kan
vrijgekomen of toegevoegde energie op verschillende manieren gebruikt worden. Zo kan er uitwendige arbeid
worden verricht, de kinetische energie toenemen of juist de potentiële energie toenemen.
Dit kunnen we combineren in een formule, die we de eerste hoofdwet van de warmteleer noemen.
Q  E k  E p  Wu
Als de temperatuur verandert dan verandert dus de kinetische energie van de moleculen. Als de temperatuur
echter constant blijft, maar het volume groter wordt, dan neemt de potentiële energie toe (er moet arbeid worden
verricht om de moleculen uit elkaar te krijgen). Als een stof al een gas is dan zeggen we dat de potentiële
energie niet verandert. De aantrekkingskracht tussen de moleculen in een gas is al zo klein dat het niet meer
uitmaakt of de moleculen nog wat verder uit elkaar gaan zitten of niet. Als een vloeistof kookt of verdampt gaat
de stof over van de vloeibare fase naar de gasfase. In een vloeistof is de onderlinge aantrekkingskracht van de
moleculen nog groot genoeg om ervoor te zorgen dat er een significante hoeveelheid energie (arbeid) nodig is
om de moleculen uit elkaar te drijven. Hetzelfde geldt voor het smelten van een stof.
Bij het verwarmen van vloeistoffen of vaste stoffen neemt het volume nauwelijks toe: er is geen sprake van
uitwendige arbeid. Bij het verwarmen van een gas (bij constante druk) neemt het volume flink toe. Hierdoor is
er sprake van een positieve uitwendige arbeid. Over het algemeen is er sprake van uitwendige arbeid als er een
duidelijk waarneembare volumeverandering heeft plaats gevonden.
Als de temperatuur gelijk blijft terwijl er wel energie wordt toegevoerd spreken we van een isotherm proces. Dit
houdt dus in dat E k = 0 J. Bij koken is dit bijvoorbeeld het geval, en wordt de toegevoegde energie gebruikt
voor de verandering van de potentiële energie en uitwendige arbeid.
Als er geen warmte wordt toe- of afgevoerd is er sprake van een adiabatisch proces. Dit kan doordat het proces
in een vat afspeelt dat zo goed is geïsoleerd dat er geen warmte-uitwisseling plaatsvindt, óf doordat het proces
zo snel verloopt dat het geen kans krijgt om warmte met zijn omgeving uit te wisselen.
Als we in een goed geïsoleerd vat snel een zuiger naar beneden duwen zodat er geen warmte uitwisseling
plaatsvindt (Q = 0 J), verandert de potentiële energie niet omdat de aantrekkingskrachten tussen de moleculen
verwaarloosbaar klein zijn. Het volume in het vat is nu kleiner geworden, dus heeft Wu een negatieve waarde.
Omdat Q = 0 is E k blijkbaar positief, dus de temperatuur van het gas is gestegen.
§5 De tweede hoofdwet van de warmteleer
De tweede hoofdwet van de warmteleer geeft aan in welke richting een warmteproces kan verlopen. Zo kan de
geproduceerde hoeveelheid warmte nooit volledig omgezet worden in arbeid. Het deel dat niet nuttig gebruikt
wordt noemen afvalwarmte of restwarmte (Quit). Ook kan er nooit, zonder arbeid te verrichten, warmte worden
verplaats van een plaats met een lage temperatuur naar een plaats met een hogere temperatuur. We kunnen dit
schrijven als:
Qverbranding  W  Quit
Qonttrokken  W  Quit
Warmte met een hoog temperatuurniveau noemen we hoogwaardige energie, terwijl we warmte met een laag
temperatuurniveau laagwaardige energie noemen. Hoe hoogwaardiger de energie, des te groter het percentage
van die energie in arbeid omgezet kan worden. Een voorbeeld van hoge kwaliteit is elektrische energie: die kan
voor meer dan 90% in andere energievormen worden omgezet.
Als bij het opwekken van elektrische energie de restwarmte (in koelwater) nuttige gebruikt wordt (voor het
verwarmen van huizen bijvoorbeeld) spreekt men van een warmtekrachtkoppeling.
46