Werkcollege Quantum Mechanica 1 2012

Werkcollege Quantum Mechanica 1
2012 – 2013
∂Ψ(~r, t)
h̄2 2
ih̄
= − ∇ Ψ(~r, t) + V (~r)Ψ(~r, t)
∂t
2m
Peter van der Straten
Bachelor Natuur- en Sterrenkunde
Universiteit Utrecht
Inhoudsopgave
A Inleiding
3
B Golffuncties
6
C Schrödingervergelijking en Deeltje in een doosje
9
D Harmonische oscillator
11
E Vrij deeltje
14
F Potentiaal verstrooiing
16
G Formalisme van de QM-I
17
H Formalisme van de QM-II
20
J Quantum-mechanica in drie dimensies
23
K Impulsmoment
24
L Waterstofatoom
26
M Spin
30
N Identieke deeltjes
33
O Periodieke systeem van elementen
34
P Vaste stoffen
37
Q Storings-rekening
38
R Variatie-rekening
39
S Herhaling
40
Deze bundel bevat de opgaven voor het verplichte majorgebonden vak van de bachelor
opleiding Natuur- en Sterrenkunde aan de Universiteit Utrecht. De opgaven zijn door de
jaren door verschillende docenten bijeengebracht. In veel gevallen wordt verwezen naar
opgaven uit het boek Introduction to Quantum Mechanics van David J. Griffiths, 2de
editie. Tussen haken staan de nummers van de opgaven uit de 1ste editie vermeld.
Werkcollege QME1
A
A Inleiding
Inleiding
In het eerste werkcollege houden we ons bezig met de vraag waarom er een nieuwe theorie
zoals quantum-mechanica moest komen. Wat was het probleem? Welke verschijnselen
kunnen niet goed met de oude natuurkunde worden beschreven? Maar als herinnering
beginnen we met oefeningen over complexe getallen en waarschijnlijkheid, omdat die in
de QM heel belangrijk worden.
A1
Complexe getallen
Complexe getallen z kan je op twee manieren schrijven - een cartesische vorm en een
polaire vorm.
a) Maak een geometrische illustratie. Geef de twee vormen expliciet aan en toon hoe je
een uit de andere kan berekenen.
b) Hoe worden twee complexe getallen in het algemeen vermenigvuldigd? Gebruik beide
vormen uit a). Wat is (2 + 2i)(1 − i)? Bereken de complexe derdemachtswortel(s) van 1.
c) Wat is het complex geconjugeerde z ∗ in cartesische en polaire vorm? Wat is z ∗ z en
(z ∗ )∗ ?
Beschouw de functies f (x) = exp(±ikx) en g(x) = exp(±κx)
d) Maak een grafiek van de plaatsafhankelijkheid van beide functies voor zowel het reële
en imaginaire deel, als ook voor de amplitude en de fase.
A2 Dobbelstenen
a) Wat zijn de mogelijke uitkomsten en bijbehorende kansen van een eerlijke normale
dobbelsteen?
b) Wat is de verwachtingswaarde bij één worp, gedefiniëerd als de som van alle uitkomsten
maal de bijbehorende kans:
X
hni =
n P (n).
n
c) Wat is de kans dat je de verwachtingswaarde gooit? Is dat (niet) raar?
d) Wat is de kans dat je iets gooit wat minder dan 1 van de verwachtingswaarde afwijkt?
En minder dan 2?
e) De spreiding σ 2 (variance) is gedefiniëerd als het verschil tussen de verwachtingswaarde
van het kwadraat en het kwadraat van de verwachtingswaarde. Welke is altijd groter dan
de ander? Bereken de spreiding in de uitkomsten van de dobbelsteen.
f) Bereken de standaarddeviatie σ.
3
A Inleiding
A3
Werkcollege QME1
Twee spleten-experimenten
In deze opgave doen we een aantal gedachten-experimenten. Een grote hoeveelheid kogeltjes valt op een plaat waarin twee smalle spleten zijn gemaakt. De spleten zijn breed
genoeg om een kogeltje door te laten. Onder de plaat is een opvangbak gemaakt bestaande
uit meerdere compartimenten.
a) Teken de opstelling en geef aan hoe de verdeling van de kogeltjes in de compartimenten
van de opvangbak zal zijn.
In een bak water bevindt zich een rechtopstaande plaat met twee smalle spleten erin. Aan
de ene kant van de bak worden watergolven gemaakt.
b) Teken de opstelling, geef aan hoe het golfpatroon aan beide zijden van de plaat eruitziet. Geef ook aan waar op de wand tegenover de golfbron de amplitude van de golven
het hoogst is.
Een lichtbundel schijnt op een plaat met twee smalle spleten erin en valt op een scherm
daarachter.
c) Teken de opstelling en geef aan hoe het lichtpatroon op het scherm eruit zal zien.
Vergelijk dit met de vorige twee experimenten. Wat concludeer je over de aard van licht?
Tenslotte voeren we hetzelfde experiment uit met een bundel elektronen: een elektronenkanon schiet een bundel tegen een plaat met twee smalle spleten, waarachter een scherm
staat.
d) Wat verwacht je te zien als je er vanuit gaat dat elektronen kleine deeltjes zijn?
A4
Deeltjes met golflengtes
Uit berekeningen blijkt dat de ‘golflengte’ van een elektronenbundel nauw samenhangt
met de impuls van de deeltjes. De bijbehorende formule is genoemd naar de Franse
prins Louis de Broglie en luidt λ = h/p. Met deze formule kun je voorspellen of je in
een bepaalde situatie rekening moet houden met de ‘golfachtigheid’ van deeltjes. Als de
golflengte ‘groot genoeg’ is, zodat golf-effecten zoals buiging zichtbaar worden, wordt het
golfkarakter belangrijk.
a) Bereken de ‘golflengte’ van een voetbal (bedenk zelf een realistische massa en snelheid).
Waarmee moet je deze golflengte vergelijken om te bepalen of die ‘groot genoeg’ is? Blijkt
uit je vergelijking dat het golfkarakter van een voetbal in een normale situatie belangrijk
is? Is dat wat je verwacht? Als de massa hetzelfde blijft, wat moet de snelheid van de
voetbal dan zijn opdat het golfkarakter belangrijk wordt? (Kan dat?)
b) Bereken de golflengte van een elektron in de beeldbuis van een tv (versnel-spanning
in de orde van kV). Vergelijk die golflengte met een geschikte lengtemaat (welke?). Is
het golfkarakter van de elektronenbundel hier belangrijk? Is dat wat je verwacht? Hoe
moeten de omstandigheden veranderen om het dominante karakter te veranderen?
4
Werkcollege QME1
A5
A Inleiding
Het foto-elektrisch effect
Licht dat op een metalen oppervlak schijnt, kan elektronen uit dat oppervlak losmaken.
a) Hoe varieert het aantal losgemaakte elektronen met de intensiteit van het licht van
een UV-lamp? Leg kort uit (kwalitatief) hoe je dat kunt begrijpen.
Ga ervanuit dat licht een golfverschijnsel is.
b) Wat verwacht je dat er gebeurt als de UV-lamp wordt vervangen door een felle lamp
die zichtbaar licht uitzendt maar geen UV? Waarom verwacht je dat?
c) Wat gebeurd er in werkelijkheid? Waarom is dit moeilijk te begrijpen als je licht
beschouwt als een golfverschijnsel?
d) Hoe kun je het gedrag bij verandering van de frequentie verklaren als je licht beschouwt
als een stroom deeltjes?
A6
Golven met energie-pakketjes
Voor het foto-elektrisch effect kan je veronderstellen, dat licht (elektromagnetische straling) met een golflengte λ opgebouwd uit licht-quanta (fotonen) met een energie, die
gegeven wordt door
E = hν = hc/λ
Afhankelijk van de grootte van de energie-pakketjes en de eigenschappen van de omgeving,
is het deeltjes-karakter van het licht meer of minder belangrijk.
a) Wat moet er gelden voor de grootte van de energie-pakketjes, opdat je de deeltjesachtigheid van straling opmerkt?
b) Wat is de grootte van de energie-pakketjes van groen licht?
c) Wat is de grootte van de energie-pakketjes van FM-radiogolven?
d) Wat is de grootte van de energie-pakketjes van (harde) gammastraling?
Licht kun je waarnemen doordat atomen worden aangeslagen of zelfs geı̈oniseerd.
e) Vergelijk de grootte van de energie-pakketjes uit de vorige drie onderdelen van deze
opgave met een typische energieschaal van ionisatie-energie van atoom. Wat is je conclusie?
A7
Vaste-stoffen en gassen
Maak opgave 1.18 (-) uit Griffiths.
5
B Golffuncties
B
Werkcollege QME1
Golffuncties
Vorige keer hebben we gezien dat energie soms uit ‘pakketjes’ lijkt te bestaan, en dat
deeltjes als elektronen zich soms golfachtig gedragen. In dit tweede werkcollege gaan we
wat nader in op de beschrijving van golven in de klassieke natuurkunde, en het verband
met de quantum-mechanica. De laatste opgaven zijn berekeningen met golffuncties.
B1
Golven en golfvergelijkingen
Hieronder zie je een aantal voorbeelden van klassieke golfvergelijkingen. De vergelijking
voor geluidsgolven:
∂ 2ξ
K
(1)
= ∇2 ξ,
2
∂t
ρ
de vergelijking voor elektromagnetische golfen in vacuüm:
~
∂ 2E
~
= ∇2 E,
∂t2
en de vergelijking voor transversale golfen langs een snaar:
0 µ0
∂ 2x
F ∂ 2x
=
,
∂t2
µ ∂z 2
a) Wat zijn de overeenkomsten tussen de voorbeelden?
De algemene golfvergelijking in 3 dimensies is
∇2 ψ =
(2)
(3)
1 ∂ 2ψ
v 2 ∂t2
b) Waar zie je de snelheid van de golf in de vergelijkingen (1), (2) en (3)?
c) Wat ”golft” er?
d) Wat zijn mogelijke oplossingen van de golfvergelijkingen (1), (2) en (3)?
B2
Theorema van Ehrenfest
Om de bewegingen van ‘klassieke’ objecten zoals voetballen, planeten, auto’s, mensen en
koffiekopjes te beschrijven werkt de klassieke mechanica erg goed. We zijn nu bezig een
nieuwe mechanica van ‘quantumobjecten’ te leren, die in allerlei opzichten niet lijkt op
de klassieke mechanica. Maar om vertrouwen in de nieuwe theorie te krijgen, willen we
wel graag dat deze nieuwe theorie aansluit op de oude vertrouwde en bovendien goed
werkende klassieke mechanica.
Het theorema van Ehrenfest laat zien dat er ‘op een bepaalde manier’ een aansluiting is.
Het luidt:
+
*
d hpi
∂V
= −
.
dt
∂x
6
Werkcollege QME1
B Golffuncties
a) Gebruik de Schrödingervergelijking om dit te bewijzen.
b) Wat betekent dit theorema? Is het belangrijk dat er verwachtingswaardes staan? Zal
je ook hdp/dti kunnen schrijven in plaats van d hpi/dt?
c) Praat erover met je mede-student en schrijf in een paar zinnen op, hoe dit theorema
voor een aansluiting tussen klassieke en quantum-mechanica zorgt.
B3
Golven en superpositie
Je hebt de één-dimensionale golfvergelijking:
1 ∂ 2ξ
1 ∂ 2ξ
=
.
ω 2 ∂t2
k 2 ∂z 2
a) Laat zien dat ξ(z, t) = f (ωt−kz) een oplossing is, met f (x) een (nader te specificeren)
functie. Wat is het verband tussen f 0 (x) en ∂ξ/∂z en ∂ξ/∂t? Waaraan moet f (x) voldoen?
De harmonische golf ξ = A cos(ωt − kz) is een bijzondere periodieke oplossing.
b) Hoe ziet de superpositie van twee harmonische golven met dezelfde amplitude maar
verschillende frequentie en golfgetal eruit? Kan je dat herschrijven als een product van
twee periodieke functies? Hoe kan je dat begrijpen?
c) Iedere van deze twee periodieke functies heeft een snelheid. Hoe bepaal je die? Onder
welke voorwaarden zijn de twee snelheiden gelijk?
B4
Rekenen met golf functies 1
Maak opgave 1.5 (1.8) uit Griffiths.
B5
Rekenen met golf functies 2
Maak opgave 1.9 (1.14) uit Griffiths.
B6
Rekenen met golf functies 3
We beschouwen een deeltje waarvan de golffunctie op t = 0 gegeven wordt door:



0√
: x ≤ −a
2
2
Ψ(x, 0) = A a − x
: −a < x ≤ 0


B exp(−x2 /2b2 ) : x > 0
Alle constanten zijn reëel en positief. Onderstaande vragen gaan over de functie op
t = 0.
a) Geef een verband tussen A en B zodat de functie continu is.
b) Normaliseer de golffunctie.
7
B Golffuncties
Werkcollege QME1
c) Schets de golffunctie.
d) Wat is de meest waarschijnlijke waarde van x?
e) Wat is de verwachtingswaarde hxi?
f) Onder welke voorwaarde is de kans om het deeltje links van x = 0 te vinden 50%?
Wat is in dat geval de verwachtingswaarde hxi?
8
Werkcollege QME1
C
C Schrödingervergelijking en Deeltje in een doosje
Schrödingervergelijking en Deeltje in een doosje
In hoofdstuk 2 gaan we voor een aantal speciale gevallen de Schrödingervergelijking oplossen. We beginnen deze week met wat algemene eigenschappen van de vergelijking en
de oplossingen. Verder wordt een deeltje in een oneindig diepe potentiaalput (‘doosje’)
beschouwd als één van de eenvoudigste systemen in de quantum-mechanica, die voorspellende werking heeft voor meer complexere systemen. We oefenen daarom eerst met een
deeltje in een doosje, voordat we realistische systemen beschouwen.
C1
Scheiding van variabelen
De Schrödingervergelijking (SV) is gegeven door:
ih̄
h̄2 ∂ 2
∂
Ψ(x, t) = −
Ψ(x, t) + V (x)Ψ(x, t).
∂t
2m ∂x2
We beginnen ermee alleen oplossingen te bekijken van de vorm Ψ(x, t) = ψ(x)ϕ(t).
a) Gebruik scheiding van variabelen om de SV om te schrijven naar twee vergelijkingen:
een voor ψ(x) en een voor ϕ(t).
Beide vergelijkingen kun je zien als eigenwaardevergelijkingen voor dezelfde eigenwaarde.
b) Wat is de fysische betekenis van deze constante?
De tijdsafhankelijkheid van een oplossing van deze vorm is heel eenvoudig: eigenlijk verandert er niets. Daarom noemen we dit stationaire oplossingen.
c) Wat wordt bedoeld met “eigenlijk verandert er niets”? De functie Ψ(x, t) verandert
toch?
Een algemene oplossing van de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking kunnen we schrijven als een superpositie van stationaire oplossingen (met elk hun eigen tijdafhankelijkheid):
X
Ψ(x, t) =
ψn (x)ϕn (t).
n
d) Waarom kan er nu wél echte tijdsafhankelijkheid optreden?
C2
Eigenschappen van de tijdsonafhankelijke SV
Maak opgave 2.1 uit Grifiths.
C3
Energie en potentiaal
Maak opgave 2.2 uit Griffiths.
C4
De oneindige potentiaalput als benadering voor een atoom?
Teken de elektrische potentiaal in een atoom. Vergelijk die met een oneindige potentiaalput.
9
C Schrödingervergelijking en Deeltje in een doosje
Werkcollege QME1
a) Welke verschillen zie je?
b) Welke overeenkomsten?
c) Waarom wordt een deeltje in een oneindige potentiaalput ook wel een deeltje in een
doosje genoemd?
d) Waarom is dit een redelijke benadering van een elektron in een atoom? Wat deugt er
wel en niet aan?
C5
Eigenschappen van een deeltje in een doosje
Maak opgave 2.4 (2.5) uit Griffiths.
C6
Deeltje in een doosje
Een deeltje in een doosje is op t = 0 in de toestand
Ψ(x, 0) = A [ψ1 (x) + ψ3 (x)]
a) Bepaal A uit de normalisatie van Ψ(x, 0). Toon expliciet dat dan ook Ψ(x, t) genormaliseerd is.
b) Wat is de verwachtingswaarde hxi? Hoe hangt hxi van de tijd af?
c) Bereken hpi en hHi. Zijn deze tijdsafhankelijk?
C7
Rekenen met het deeltje in een doosje 1
Maak opgave 2.7 (-) uit Grifiths.
C8
Rekenen met het deeltje in een doosje 2
Maak opgave 2.38 (-) uit Griffiths.
10
Werkcollege QME1
D
D Harmonische oscillator
Harmonische oscillator
De harmonische oscillator is één van de weinige systemen in quantum-mechanica, die we
exact kunnen oplossen. Tegelijkertijd speelt de harmonische oscillator een belangrijke
rol in het vibrereren en roteren van moleculen, het elektro-magnetische veld en andere
systemen, zodat de resultaten direct toepasbaar zijn.
D1
Een andere harmonische oscillator
Maak opgave 2.14 (-) uit Griffiths.
D2
Harmonische oscillator en klassiek verboden gebied
Maak opgave 2.15 (2.15) uit Griffiths.
D3 Toestanden van de harmonische oscillator
a) Schrijf de golffuncties voor de twee laagste toestanden (ψ0 en ψ1 ) van de harmonische
oscillator met hulp van de Hermite polynomen en
ψn (x) =
mω
πh̄
1/4
√
1
2
Hn (ξ)e−ξ /2 .
n
2 n!
b) Bereken hxi, hpi, hx2 i, hp2 i voor ψ0 en ψ1 door integratie.
c) Toets de onzekerheidsrelatie.
d) Bereken de verwachtingswaarden van de kinetische energie en de potentiaal. Vergelijk
de som met je verwachtingen.
D4
Verwachtingswaarden van een harmonische oscillator
Maak opgave 2.12 (-) van Griffiths.
D5
Superpositie van een harmonische oscillator
We bekijken een deeltje in een harmonische oscillator-potentiaal. Op t = 0 bevindt het
deeltje zich in de volgende toestand:
Ψ(x, 0) = A (3ψ0 (x) + 4ψ1 (x))
a) Bepaal de normeringsconstante A.
b) Bepaal Ψ(x, t) en |Ψ(x, t)|2 .
c) Bereken de verwachtingswaarde van x en p, en merk op dat ze oscilleren. Hoe verandert
de oscillatie-frequentie als ψ1 door ψ2 wordt vervangen?
11
D Harmonische oscillator
Werkcollege QME1
d) Controleer of deze toestand voldoet aan de stelling van Ehrenfest.
e) Als je de energie van dit deeltje zou meten, welke waarden zou je dan kunnen krijgen?
En met welke kansen?
D6
Discrete energieniveaus
Een van de opvallendste eigenschappen van de quantum-mechanica is het bestaan van
discrete energieniveaus voor gebonden toestanden. Als voorbeelden hiervan hebben we
de toegestane energieën van een deeltje in een doosje en van een harmonische oscillator
gevonden.
a) Schrijf (nog eens) de energieniveaus van deze twee systemen op.
b) Bereken voor beide systemen de relatieve afstand tussen twee opeenvolgende energieniveaus.
c) Welke energieën zijn mogelijk voor een klassiek deeltje in een doosje en voor een
klassiek deeltje in een harmonische potentiaal?
d) Wat gebeurt er met de relatieve afstand tussen de quantum-energienieveaus als de
energie erg groot wordt? Waarom is dat een ‘klassieke limiet’ ?
D7
Een halve harmonische oscillator
Bekijk de potentiaal
(
V (x) =
1/2mω 2 x2
∞
: x>0
: x<0
a) Maak een tekening van de potentiaal.
b) Bedenk hoe de toegestane golffuncties eruitzien en schets er een paar in je tekening.
c) Wat zijn de energieniveaus van een deeltje in deze potentiaalput?
D8
Vergelijken van deeltje in doosje en harmonische oscillator
We bekijken in deze opgave de potentiaal van een harmonische oscillator met parameters
m, ω en de potentiaal van een deeltje in een doosje met parameters m, a.
a) Schrijf de formules van deze twee potentialen op.
b) Vind het verband tussen a en ω zodat de grondtoestanden van de twee systemen bij
dezelfde energie zitten.
c) Wat is die energie? En wat is n voor die toestanden?
d) Wat zijn de volgende energieniveaus voor beide systemen (als functie van n)?
e) Waaraan moeten de golffuncties bij deze potentialen voldoen? D.w.z: hoe ziet de
(tijdsonafhankelijke) Schrödingervergelijking eruit, en wat zijn de randvoorwaarden?
12
Werkcollege QME1
D Harmonische oscillator
f) Schrijf deze golffuncties op. (Je hoeft ze nu niet af te leiden.)
g) Teken met de hand en toch netjes in één figuur de twee potentialen, de eerste drie
energieniveaus van het deeltje in een doosje en zoveel van de harmonische oscillator als er
in passen.
h) Teken in dezelfde figuur bij elk energieniveau kwalitatief de bijbehorende golffunctie.
Let hierbij op eventuele symmetrie, nulpunten en randvoorwaarden.
D9
Numerieke integratie van de Schrödinger vergelijking
In deze opgave gaan we de Schrödinger vergelijking oplossen voor de harmonische oscillator door numerieke integratie. Voor numerieke integratie is het vaak handig om met
dimensieloze variabelen te werken. Gebruik voor numerieke integratie je favoriete pakket
(Mathematica, Matlab, C, fortran, python, etc.) en maak hiermee duidelijke plaatjes
voorzien van variabelen en waarden op de assen.
a) Schrijf de Schrödinger vergelijking op voor de harmonische oscillator met dimensieloze
variabelen. Geef duidelijk aan, hoe je de variabelen geschaald hebt.
We willen de numerieke integratie uitvoeren door te starten vanuit het midden van de
potentiaal.
b) Welke randvoorwaarden moet je gebruiken voor een even oplossing van de vergelijking?
En welke randvoorwarden voor een oneven oplossing?
c) Bereken numeriek de golffuncties voor de vier laagste toestanden door gebruik te maken
van de juiste waarden voor de (geschaalde) energie. Maak van deze oplossingen een
duidelijk plaatje.
We willen nu onderzoeken, waarom we alleen voor de juiste waarden van de energie
oplossingen vinden.
d) Neem een waarde voor de energie, die iets hoger en iets lager is dan de juiste energie voor één van de vier laagste toestanden en bereken numerieke oplossingen van de
Schrödinger vergelijking. Maar ook hiervan een duidelijk plaatje. Vergelijk je antwoord
met de oplossing voor de juiste energie. Waar zie je duidelijke verschillen tussen de oplossingen?
e) Beredeneer, waarom deze numerieke oplossingen geen goede oplossingen vormen van
de Schrödinger vergelijking.
13
E Vrij deeltje
E
Werkcollege QME1
Vrij deeltje
We kijken in dit onderdeel nauwkeuriger naar een vrij deeltje, dat beweegt zonder externe
potentiaal.
E1
Staande en lopende golven
Maak opgave 2.18 (2.19) uit Griffiths.
E2
Behoud van dichtheid
Maak opgave 1.14a (1.9a) uit Griffiths.
E3
Waarschijnlijkheidsstroom
Bereken de waarschijnlijkheidstroom
ih̄
J(x, t) =
2m
∂Ψ∗
∂Ψ
Ψ − Ψ∗
∂x
∂x
!
voor een stationaire toestand van het vrij deeltje.
E4
Gebonden en verstrooide deeltjes
Een eenvoudige tijdsonafhankelijke potentiaal, zoals we er al een aantal zijn tegengekomen,
leidt in veel gevallen tot twee verschillende typen toestanden, nl. gebonden en verstrooide
toestanden (zie het begin van §2.5 van Griffiths). In sommige gevallen is er maar één type
toestand mogelijk.
Om te beginnen kijken we naar een klassiek voorbeeld: het zonnestelsel.
a) Hoe ziet de gravitatiepotentiaal in een zonnestelsel eruit? (Kijk voor het gemak alleen
naar de zwaartekracht van de zon zelf.)
b) Objecten die dicht genoeg in de buurt van de zon komen, kunnen in gebonden of
verstrooide toestanden voorkomen. Noem een paar voorbeelden van zulke objecten, minstens één in elk van de twee typen toestanden, en teken bij elk voorbeeld de baan van dat
object.
c) Hoe ziet de baan van een ‘vrij deeltje’ er eigenlijk uit? En wat is het verschil tussen
de vorm van een gebonden en een verstrooide baan?
d) Wat kun je opmerken over de energie van een object in de twee typen toestanden?
Nu gaan we terug naar de quantum-mechanica.
e) In de quantum-mechanica worden objecten niet beschreven door hun baan, maar door
de golffunctie. Hoe krijg je fysisch relevante informatie uit zo’n golffunctie? Waarom kun
je aan een ‘quantumdeeltje’ geen baan toekennen, zoals aan een planeet?
14
Werkcollege QME1
E Vrij deeltje
f) Hoe ziet de golffunctie van een gebonden deeltje er ‘typisch’ uit? Teken een potentiaalput en in dezelfde figuur enkele bijbehorende golffuncties. Schrijf er de formule voor
zo’n golffunctie bij – maak je niet druk over voorfactoren en andere constanten.
g) Hoe ziet de golffunctie van een vrij deeltje eruit? Teken zo’n golffunctie en schrijf
de formules erbij, zowel voor een naar rechts bewegend deeltje als voor een naar links
bewegende.
h) We hebben ons nog niet gewaagd aan het bepalen van golffuncties van verstrooide
deeltjes, maar we kunnen er toch al wel iets over zeggen. Stel dat de potentiaal waaraan
het deeltje verstrooid wordt maar in een beperkt gebied ongelijk is aan 0. Hoe verwacht
je dat de golffunctie er (vergeleken met gebonden en vrije golffuncties) ver weg van de
potentiaal uit ziet? En hoe in het gebied van de potentiaal? Vergelijk je antwoord met
onderdeel c).
E5
Een golfpakket
Maak opgave 2.22 (2.22) uit Griffiths.
E6
Een vrij deeltje
We bekijken een vrij deeltje met de begintoestand:
Ψ(x, 0) = Ae−a|x|
met A en a reële positieve constantes.
a) Bepaal A uit de eis dat de golffunctie genormeerd is.
b) Gebruik vergelijking [2.103] ([2.86]) uit Griffiths om φ(k) te berekenen.
c) Discusseer de limieten a heel groot en heel klein.
d) Schrijf Ψ(x, t) op in de vorm van een integraal.
15
F Potentiaal verstrooiing
F
Werkcollege QME1
Potentiaal verstrooiing
We kijken in dit onderdeel naar deeltjes, die verstrooien aan een potentiaal. De verschillende aspecten, die in de verstrooiings-fysica aan bod komen, zullen hier op vereenvoudigde
wijze behandeld worden. Daarmee moeten de concepten van de verstrooiings-fysica helder
worden.
F1
Rekenen met deltafuncties
Maak opgave 2.23 (2.23) uit Griffiths.
F2
Rekenen met deltafuncties 2
Maak opgave 2.24 (-) uit Griffiths.
F3
De deltafunctie Fourier-transformeren
Maak opgave 2.26 (2.25) uit Griffiths.
F4
Een dubbele deltapotentiaal
Maak opgave 2.27 (2.26) uit Griffiths.
F5 Stationaire toestanden in het algemeen
a) Hoe kan je in het algemeen aantonen dat een functie χ(x) een stationaire toestand
met energie E voor een systeem met potentiaal V (x) is?
b) Wat is hpi voor een gebonden stationaire toestand in een tijdsonafhankelijk potentiaal?
c) Geef hp2 i aan voor een deeltje in een doosje met een constante potentiaal V = V0 in
het doosje.
F6
Stappotentiaal
Maak opgave 2.34 (2.33) uit Griffiths.
F7
Verstrooiing aan een klif
Maak opgave 2.35 (-) uit Griffiths.
F8
S-matrix
Maak opgave 2.52 (-) uit Griffiths.
F9
Dubbel put
Maak opgave 2.47 (2.44) uit Griffiths.
16
Werkcollege QME1
G
G Formalisme van de QM-I
Formalisme van de QM-I
De quantum-mechanica is te omschrijven als een wiskundige theorie die over meetuitkomsten van natuurkundige experimenten gaat. Hoofdstuk 3 van Griffiths richt zich op de
formele, wiskundige kant van deze theorie.
N.B. De verschillen tussen de twee edities zijn in dit hoofdstuk vrij groot. De stof
wordt gedefiniëerd door de inhoud van de tweede editie.
G1
Algebra en quantum-mechanica
Schrijf van de volgende begrippen uit de quantum-mechanica op welke algebraı̈sche termen
ermee corresponderen.
a) toestand/golffunctie
b) observabele
c) mogelijke meetuitkomsten
d) verwachtingswaarde van een meetuitkomst
G2
Hermitische operatoren
In de wiskunde van de quantum-mechanica spelen Hermitische operatoren een belangrijke
rol.
a) Welke rol is dat? Door welke eigenschap(pen) van Hermitische operatoren zijn ze daar
zo geschikt voor? Leg uit.
b) Laat zien dat de som van twee Hermitische operatoren zelf ook Hermitisch is.
c) Laat Q̂ een Hermitische operator zijn en α een complex getal. Onder welke voorwaarde
is αQ̂ dan Hermitisch?
d) Wanneer is het produkt van twee Hermitische operatoren zelf ook Hermitisch?
e) Laat zien dat de plaatsoperator en de Hamiltoniaan beide Hermitische operatoren zijn.
f) Leg uit waarom de uitkomsten van de onderdelen b)–e) natuurkundig goed te begrijpen
zijn.
G3
Orthogonale eigenfuncties
Een van de eigenschappen van Hermitische operatoren is, dat de eigenfuncties van zo’n
operator de Hilbertruimte opspannen: je kunt de verzameling van eigenfuncties dus gebruiken als basis voor de Hilbertruimte. Het is vaak handig als zo’n basis orthonormaal
is.
a) Wat betekent het als een basis orthonormaal is? Waarom is dat handig?
b) Laat zien dat als f (x) en g(x) eigenfuncties zijn van de operator Q̂ met eigenwaarde
q, dat dan elke lineaire combinatie van f (x) en g(x) ook een eigenfunctie is van Q̂ met
dezelfde eigenwaarde.
17
G Formalisme van de QM-I
Werkcollege QME1
c) Laat zien dat f (x) = exp(x) en g(x) = exp(−x) eigenfuncties zijn van de operator
d2 /dx2 , met dezelfde eigenwaarde.
d) Als je een basis wilt construeren van eigenfuncties van d2 /dx2 , waarom heb je dan
zowel f (x) als g(x) nodig?
e) Construeer twee lineaire combinaties van f (x) en g(x) die orthonormaal zijn op het
interval [−1, 1].
G4
Bra’s en kets
In de quantum-mechanica wordt vaak de Dirac-notatie gebruikt, ook wel ‘bra-ket’-notatie
genoemd. De ‘ket’ |φi stelt de toestand (Engels: ‘state’) van een systeem voor. Afhankelijk van het systeem kun je de toestand expliciet schrijven als
•
een complexe kolomvector, voor een systeem met een eindig (of aftelbaar oneindig)
aantal onafhankelijke toestanden
•
een complexe functie, voor een systeem met een (overaftelbaar) oneindig aantal onafhankelijke toestanden
De volgende vragen gaan over deze notatie.
a) Geef één of meer voorbeelden van systemen met een aftelbaar aantal onafhankelijke
toestanden, en van systemen met een oneindig aantal onafhankelijke toestanden.
b) Behalve kets zijn er ook bra’s. Met behulp van de ‘bra’ hχ| maak je het inprodukt
hχ|φi. Hoe kun je, in de twee bovenstaande gevallen, zo’n bra expliciet schrijven?
c) We definiëren A = |φihχ|. Wat krijg je als je A met een toestand |αi ‘vermenigvuldigt’ ?
Wat voor een soort object is A dus?
d) Gebruik twee-dimensionale vectoren om zo een object expliciet te construeren. Klopt
dit met je verwachting?
e) We bekijken een vector |ψi met hψ|ψi = 1 en het object P = |ψihψ|. Is P een operator?
Heeft het eigenvectoren? Zo ja, wat zijn die, en wat zijn de bijbehorende eigenwaarden?
Hoe zou je de werking van P beschrijven?
f) Controleer je antwoorden bij e) expliciet voor het geval van twee-dimensionale vectoren.
G5
Knutselen met de volledigheidsrelatie
We beschouwen een drie-dimensionale vectorruimte met een orthonormale basis |1i, |2i
en |3i. De vectoren (kets) |αi en |βi worden gegeven door
|αi = i|1i − 2|2i − 1|3i,
18
|βi = i|1i + 2|3i
Werkcollege QME1
G Formalisme van de QM-I
In het algemeen geldt voor een N -dimensionale vectorruimte met orthonormale basisvectoren |ji (met j = 1, 2, . . . , N ) dat de eenheidsoperator geschreven kan worden als
1=
N
X
|jihj|.
(4)
j=1
Dit wordt wel de volledigheidsrelatie genoemd.
P
a) Bepaal N
j=1 |jihj||ki om te controleren of dit inderdaad de eenheidsoperator (of identiteit) is.
b) Construeer met behulp van vergelijking (4) de bra’s hα| en hβ| in termen van de duale
basis h1|, h2| en h3|.
c) Bepaal hα|βi en hβ|αi, en controleer of hβ|αi = hα|βi∗ .
d) Construeer de matrix |αihβ| in deze basis. Is die Hermitisch?
G6
Dirac-notatie en verwachtingswaarde
Stel we hebben een toestand |ψi = α|ψ1 i + β|ψ2 i + γ|ψ3 i, waarbij de |ψi i orthonormale
eigentoestanden van een observabele A met eigenwaarden ai zijn.
a) Waaraan moeten α, β, γ voldoen?
b) Bepaal hψ|ψ1 i, hψ2 |ψ1 i en hψ3 |ψi.
We meten de observabele A aan de toestand ψ.
c) Welke uitkomsten zijn mogelijk? Met welke kansen?
d) Gebruik je antwoord bij c) om de verwachtingswaarde hAi te berekenen
e) Reken de hAi nu op de ‘formele’ manier uit met behulp van je antwoord bij b). Begin
dus met hAi = hψ|A|ψi = . . .
19
H Formalisme van de QM-II
H
Werkcollege QME1
Formalisme van de QM-II
Vervolg van onderdeel G.
H1
Commutatoren
Maak opgave 3.13 (3.41) uit Griffiths.
H2
Onzekerheidsprincipe
Maak opgave 3.14 (3.39) uit Griffiths.
H3
Tijdsafgeleide van verwachtingswaardes
Maak opgave 3.17 (3.43) uit Griffiths.
H4
Viriaal theoreem
Maak opgave 3.31 (3.53) uit Griffiths.
H5
Neutrino-oscillaties
Elektron- en muon-neutrino’s kunnen in elkaar overgaan: dat noemt men neutrino-oscillaties
(zie bv http://neutrinooscillation.org). Dit proces gaan we quantum-mechanisch
beschrijven. De twee toestanden ‘elektron-neutrino’ en ‘muon-neutrino’ nemen we als
basisvectoren van de toestandsruimte:
1
0
|νe i =
en
|νµ i =
0
1
Een algemene toestand van een neutrino ziet er dan uit als
|Ψi = a|νe i + b|νµ i
|a|2 + |b|2 = 1
met
a) Stel je kunt meten van welk type een neutrino is. Er is dus een observabele die de
verschillende neutrino’s als eigentoestanden met verschillende eigenwaarden kent. Geef
een observabele die je daarvoor kunt gebruiken. Schrijf de operator door middel van
projectieoperatoren op de eigentoestanden. Hoe ziet die eruit als matrix t.o.v. de basis
die we hierboven hebben gedefinieerd?
b) Wat is de kans om bij een neutrino in de toestand Ψ te meten dat het om een elektronneutrino gaat?
De Hamiltoniaan voor dit systeem is
E0 Ω
H=
Ω E0
met E0 en Ω constanten.
20
Werkcollege QME1
H Formalisme van de QM-II
c) Laat zien dat E0 en Ω reëel moeten zijn.
d) Wat zijn de energie-eigenwaarden van dit systeem? Wat zijn de bijbehorende genormeerde eigentoestanden?
De tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking is
H|Ψi = ih̄
d
|Ψi.
dt
e) Stel dat op tijd t = 0 het systeem in toestand |νe i zit: het is een elektron-neutrino.
Laat zien dat de toestand op tijdstip t dan gegeven wordt door:
!
|Ψ(t)i = e
−iE0 t/h̄
cos (Ωt/h̄)
.
−i sin (Ωt/h̄)
Verklaar het woord neutrino-oscillatie.
H6
Verwachtingswaardes in plaats- en impulsrepresentatie
In hoofdstuk 1 kwam de volgende algemene formule voor het berekenen van een verwachtingswaarde aan de orde:
hQ(x, p)i =
Z
!
h̄ ∂
Ψ Q̂ x,
Ψ dx.
i ∂x
∗
(5)
a) Wat is het verschil tussen Q en Q̂? Geef het ‘recept’ voor het berekenen van de
verwachtingswaarde in woorden.
In hoofdstuk 2, bij de behandeling van het vrije deeltje, zijn we de Fourier-getransformeerde
van de golffunctie φ(k) tegengekomen:
1 Z∞
Ψ(x, 0)e−ikx dx.
φ(k) = √
2π −∞
b) Laat zien dat dit in essentie, afgezien van de tijdsafhankelijkheid, dezelfde functie is
als de golffunctie in impulsrepresentatie,
1 Z∞
Φ(p, t) = √
Ψ(x, t)e−ipx/h̄ dx.
2πh̄ −∞
c) Alle informatie over de toestand van het deeltje zit in de golffunctie Ψ die dat deeltje
beschrijft. Waarom moet dit dan ook voor Φ gelden?
d) Het moet dus mogelijk zijn om verwachtingswaarden uit te rekenen met behulp van de
golffunctie in de impulsruimte, zonder die eerst om te rekenen naar de ‘gewone’ golffunctie
in de plaatsruimte.
21
H Formalisme van de QM-II
Werkcollege QME1
Laat zien dat de verwachtingswaarde van de plaats in termen van de impulsruimtegolffunctie gegeven is door
!
Z
h̄ ∂
∗
Φ dp
hxi = Φ −
i ∂p
e) Wat betekent het bovenstaande resultaat voor de plaatsoperator x̂ in de impulsruimte?
Vergelijk je antwoord met de impulsoperator in de plaatsruimte. Kun je nu begrijpen dat
hQ(x, p)i =
Z
!
h̄ ∂
Φ Q̂ −
, p Φ dp
i ∂p
∗
de impulsruimte-variant van vergelijking (5) is?
H7
Twee-niveau systeem
Maak opgave 3.23 (-) uit Griffiths.
22
Werkcollege QME1
J
J Quantum-mechanica in drie dimensies
Quantum-mechanica in drie dimensies
We leven in een wereld met drie ruimtelijke dimensies en in dit hoofdstuk worden de vergelijkingen in het tweede hoofdstuk gegeneraliseerd van één naar drie dimensies. Daarmee
kunnen we realistische systemen beschouwen, zoals het waterstof atoom.
J1
Commutatie relaties, Ehrenfest en onzekerheidsrelatie
Maak opgave 4.1 (4.1) uit Griffiths.
J2
De harmonische oscillator in 3D
Maak opgave 4.38 (4.39) uit Griffiths.
J3
Bolfuncties
Maak opgave 4.5 (4.5) uit Griffiths.
J4
Radiaalvergelijking
Maak opgave 4.8 (4.8) uit Griffiths.
J5 Een deeltje in een tweedimensionaal doosje
a) Zoek de stationaire oplossingen en de bijbehorende energieen van de tweedimensionale
oneindige put met: V (x, y) = 0 voor 0 < x < a en 0 < y < a, V = ∞ anders. Gebruik
scheiding van variablen. Het is handig de deeltoestanden in iedere dimensie separaat te
normeren.
b) Maak een lijst van de laagste energieen Ei (tenminste 6). Sommige van deze energieen zijn gedegenereerd. Wat betekent dat? Kijk naar de energie E18 . Hoe groot is de
degeneratie? Wat maakt het verschil voor deze energie?
23
K Impulsmoment
K
Werkcollege QME1
Impulsmoment
Klassiek in roterende systemen speelt het impulsmoment een grote rol, omdat het een behouden grootheid is, als er geen externe krachten op het systeem werken. Dat geldt ook in
de quantum-mechanica, maar met de extra conditie, dat het impulsmoment gequantiseerd
is. In dit onderdeel zullen we gevolgen van de quantisatie onderzoeken.
K1
Ladderoperatoren
Maak opgave 4.18 (4.19) uit Griffiths.
K2
Commutatoren
Maak opgave 4.19 (4.20) uit Griffiths.
K3
Ehrenfest theorema voor rotaties
Maak opgave 4.20 (4.21) uit Griffiths.
K4
Ladder-operator voor impulsmomenten
Maak opgave 4.22 (4.22) uit Griffiths. Hint: Maak bij deel (c) iteratief gebruik van:
Z π
0
K5
n − 1 Z π (n−2)
sin
(ax) dx
sin (ax) dx =
n
0
n
Een draaiend potlood als quantumsysteem
We bekijken een starre staaf van lengte a en massa M . De staaf kan vrijelijk roteren (in
drie dimensies) om zijn zwaartepunt, maar er is geen zwaartepuntsbeweging, het midden
van de staaf blijft dus op z’n plaats.
We beginnen klassiek: het traagheidsmoment van de staaf is I = 1/12M a2 .
a) Hoe hangen het impulsmoment L en de rotatie-energie E af van I en de hoeksnelheid
ω? Schrijf E als functie van L, M en a.
In de quantum-mechanica is het impulsmoment gequantiseerd.
b) Welke waarden zijn er quantum-mechanisch gezien mogelijk voor L2 ?
c) Laat zien dat de mogelijke waarden voor de rotatie-energie gegeven zijn door
6h̄2 n(n + 1)
En =
M a2
met
n = 0, 1, 2, . . .
d) Wat zijn toegestane waarden voor de hoeksnelheid ω?
e) Wat zijn de energie-eigentoestanden ψnm (θ, φ) van dit systeem?
24
Werkcollege QME1
K Impulsmoment
f) Wat is de degeneratiegraad van de energieniveaus En ?
g) Als je een potlood ronddraait, merk je niets van het bestaan van een discreet ‘spectrum’
van toegestane hoeksnelheden. Geef een schatting hoe klein je potlood moet zijn om dat
wel te merken: bij welke grootte van M en a zie je quantumeffekten?
Aanvullende informatie over de klassieke achtergrond van deze opgave: Het traagheidsmoment van een lichaam met volume V is gedefineerd als:
I≡
Z
V
2
ρ dV
r⊥
Het traagheidsmoment van een staaf is dan I = 1/12M a2 . Het impulsmoment is L = Iω
en de rotatie-energie E = 1/2Iω 2 .
25
L Waterstofatoom
L
Werkcollege QME1
Waterstofatoom
Eén van de grootste triomfen van de quantum-mechanica is de beschrijving van het
waterstof-atoom, waarvoor exacte oplossingen gevonden kunnen worden. Dat deze resultaten in volledige overeenstemming zijn met de experimenten ten tijde van de ontwikkeling van de quantum-mechanica, was één van de belangrijkste redenen voor de fysici
om de quantum-mechanica te accepteren, ondanks zijn totaal nieuwe beschijving van de
fysische werkelijkheid.
L1
Verwachtingswaarden in het waterstofatoom
Maak opgave 4.13 uit Griffiths.
L2
Muonische atomen
In hoofdstuk 4 hebben we de toestanden van het elektron in een waterstofatoom berekend.
Karakteristiek voor de grootte van een atoom is de zogenaamde Bohr-straal a.
a) Wat verandert er als we kijken naar een atoom met één elektron maar met ladingsgetal
Z > 1 voor de kern (dus geen waterstof)?
b) Wat verandert er in een waterstofatoom als er in plaats van een elektron de zware
‘broer’ (of ‘zus’ ?) van het elektron (het muon) zit, dat ongeveer 200 keer zwaarder is?
Zo’n atoom heet een muonisch atoom.
c) Bereken de kans om het elektron in de grondtoestand in een waterstofatoom bij r < r0
te vinden. Hoe groot is die kans als je voor r0 de straal van de kern (r0 ≈ 1.2 × 10−15 m)
kiest? Toon aan dat je de kans voor r0 a kan benaderen door: P (r < r0 ) ≈ 34 (r0 /a)3 .
d) Kijk nu naar een muonisch atoom met een kern van uraan (A = 238, Z = 92, de straal
van een kern met een bepaalde waarde van A is r ≈ r0 A1/3 ). Hoe groot is de kans het
muon in de kern te vinden? Kan je nu de benadering uit onderdeel c) gebruiken?
e) Klopt de berekening voor het extreme geval uit d) eigenlijk nog? Denk ook aan de
potentiaal binnen de kern. (Neem aan dat de lading in de kern regelmatig verdeeld
is.) Geef een redenering waarom de potentiaal die we voor het waterstofatoom hebben
gebruikt voor dit geval goed is, maar niet van toepassing is voor ons muonische atoom
van uraan.
f) In feite worden muonische atomen gebruikt om de grootte van kernen te meten! De
energieën van de laagste toestanden zijn voor een eindig grote kern anders dan voor een
puntlading, en uit het verschil kan je de grootte van de kern bepalen. Hoe verwacht je
(kwalitatief) dat de energieniveaus door dit effect veranderen als de kern groter wordt?
g) Deze correctie door het ‘volume-effect’ kan (voor muonisch atomen bij zware kernen)
groter dan 1 MeV zijn. Vergelijk dit met de energie van de (ongecorrigeerde) grondtoestand.
26
Werkcollege QME1
L3
L Waterstofatoom
Grondtoestand in het waterstofatoom
Wat is de meest waarschijnlijke waarde voor r in de grondtoestand van waterstof? Hint:
zoek eerst naar de waarschijnlijkheid het elektron tussen r en r + dr te vinden.
L4
Waterstof in een superpositie van stationaire toestanden
We bekijken een waterstofatoom dat op t = 0 in een lineaire combinatie van twee stationaire toestanden zit, met quantumgetallen n = 2, ` = 1, m = 1 resp. n = 2, ` = 1,
m = −1. D.w.z. dat geldt
1
Ψ(r, 0) = √ (ψ2 1 1 + ψ2 1 −1 ) .
2
a) Construeer de complete golffunctie Ψ(r, t) en vereenvoudig die zo veel mogelijk.
b) Bereken de verwachtingswaarde hri.
c) Bereken de verwachtingswaarde van de potentiële energie hV i. Hangt die van de tijd
af? Geef ook een numerieke waarde aan.
d) Vergelijk hV i met V (hri). Verklaar de verschillen.
L5
Waterstof golffunkties voor n=3
Enkele van de waterstof golffunkties voor de n=3 toestand van waterstof zijn gegeven
door:
!
2r 2r2
1
1−
+
exp(−r/3),
ψ300 (r, θ, φ) = √
3
27
3 3π
√ 2 2
r
ψ310 (r, θ, φ) = √ 1 −
r exp(−r/3) cos θ,
27 π
6
1
ψ320 (r, θ, φ) = √ r2 exp(−r/3) 3 cos2 θ − 1 .
81 6π
a) Bepaal het aantal radiële knoopvlakken voor elk van deze golffunkties. Hoe groot is
het totaal aantal knoopvlakken?
b) Bij welke golffunktie is de waarschijnlijkheid om het elektron aan te treffen bij r=0
het grootst? Maak voor deze golffunktie een schatting van de kans om het elektron in de
kern aan te treffen, als gegeven is dat de straal van de kern 10−15 m is.
c) Bepaal voor één van de golffunkties de verwachtingswaarde hri voor de afstand r?
Bepaal tevens de meest waarschijnlijke afstand rmp om het elektron aan te treffen voor
deze golffunktie. Verklaar eventuele verschillen tussen hri en rmp .
Een waterstof atoom bevindt zich op t=0 in een willekeurige lineaire superpositie van
bovenstaande golffunkties.
27
L Waterstofatoom
Werkcollege QME1
~ 2 en/of Lz ?
d) Bevindt het atoom zich op t=0 in een eigenfunktie van de operator H, L
Argumenteer voor alle drie operatoren uw antwoord.
L6
Circulaire toestanden
De oplossingen van de radiële golfvergelijking van de gebonden toestanden van waterstof
worden gegeven door
Rn` (r) = Nn ρ` e−ρ/2 v(ρ),
met
∞
X
v(ρ) =
ak ρ k ,
k=0
ρ = 2r/na0 en Nn een normeringsconstante. De coëfficiënten ak worden gegeven door de
recurrente betrekking
k+`+1−n
ak .
ak+1 =
(k + 1)(k + 2` + 2)
a) Bewijs dat voor ` = n − 1 de radiële golffunctie reduceert tot
Rn n−1 (r) = Nn0 rn−1 e−r/na0 .
b) Bepaal de normeringsconstante Nn0 .
c) Bepaal het aantal radiële knopen nr voor deze toestanden.
d) Bepaal de verwachtingswaarde van r en r2 voor deze toestanden.
q
e) Bewijs dat de spreiding in de straal σr = h(r − hri)2 i gegeven wordt door σr =
√
hri / 2n + 1. Bespreek het resultaat in fysische termen.
f) Bepaal in welke opzichten deze toestanden voor grote n overeenkomen met het Bohrse
model van de atoombouw, waarin het elektron zich beweegt in een circulaire baan rond
de kern. Bepaal ook in welke opzichten deze toestanden hiermee niet overeenkomen.
L7
Twee-deeltjes systemen
Als voorbeelden voor twee-deeltjes systemen beschouwen we de volgende systemen:
(i )
(ii )
2
H; deuteron met een elektron
4
He+ ; enkelvoudige geı̈oniseerd helium
(iii )
positronium; positron (m = me ) en een elektron
(iv )
mesonium; proton en een negatief geladen µ meson (m ≈ 207me )
Gebruik voor de massa van de kernen, dat 1 a.m.u. (atomaire massa eenheid) ongeveer
1823me is.
Bepaal voor al deze systemen het volgende:
28
Werkcollege QME1
L Waterstofatoom
a) De energie van de grondtoestand.
b) De effectieve straal reff voor de grondtoestand, gedefineerd als reff = hψ100 |r|ψ100 i.
c) De (n=2)→(n=1) overgangsfrekwentie.
d) Het aantal gebonden toestanden.
L8 Waterstof atoom
Het waterstof atoom bevindt zich in de volgende toestand:
Ψ(r) = R21 (r)
q
1
3
Y10 (Ω)α +
q
2
3
Y11 (Ω)β− .
a) Als het baanimpulsmoment L2 gemeten wordt, wat zijn de mogelijke uitkomsten en
wat zijn de waarschijnlijkheden voor elk van de mogelijke uitkomsten.
b) Doe hetzelfde voor de projectie Lz hiervan op de z-as.
c) Doe hetzelfde voor de spin S 2 .
d) Doe hetzelfde voor de projectie Sz hiervan op de z-as.
~ + S.
~
Het totale impulsmoment J wordt gegeven door J~ = L
e) Als het totale impulsmoment J 2 gemeten wordt, wat zijn de mogelijke uitkomsten en
wat zijn de waarschijnlijkheden voor elk van de mogelijke uitkomsten.
f) Doe hetzelfde voor de projectie Jz hiervan op de z-as.
g) Wat is de waarschijnlijkheid om het elektron met spin-up aantetreffen op positie
(r, θ, φ).
L9 Golffunktie van het waterstof atoom
De golffunktie van een waterstof atoom op t = 0 is gegeven door
ψ(~r, 0) = √
"
1
3/2
πa0
√
e−r/a0
r
√ +A
e−r/2a0 −i sin θeiφ + sin θe−iφ + 7 cos θ .
a0
2
#
a) Bereken de normalisatie constante A.
b) Wat zijn de mogelijke uitkomsten, als we op t = 0 een meting doen van L2 ? En hoe
groot is de waarschijnlijkheid voor elke uitkomst?
c) Bepaal ψ(~r, t) uit ψ(~r, 0).
d) Veranderen de waarschijnlijkheden, zoals die onder b) berekent zijn voor t = 0, als
een funktie van de tijd t? Licht uw antwoord toe.
e) Bepaal ψ(~r, t) als gegeven is, dat op t = 0 een meting van Lz de waarde h̄ heeft
opgeleverd.
f) Bepaal ψ(~r, t) als gegeven is, dat op t = 0 een meting van Lz de waarde 0 heeft
opgeleverd.
29
M Spin
M
Werkcollege QME1
Spin
Spin speelt een belangrijke rol in de beschrijving van elementaire deeltjes. Zonder spin
zal het periodiek systeem der elementen er totaal anders uitzien, en zal er geen verschillen
meer zijn tussen metalen, isolatoren en halfgeleiders. Het rekenen met spin in de quantummechanica vereist echter speciale regels, die we hier zullen gaan oefenen.
M1
Spin en tollen
Er wordt wel gezegd dat een elektron of een ander deeltje met spin te vergelijken is met
een ronddraaiende tol. Is dat zo? In deze opgave verkennen we de verbanden tussen
de verschillende klassieke en quantum-mechanische impulsmomenten, die hieronder schematisch staan weergegeven. De verbanden kun je er in de loop van de opgave zelf in
aangeven.
Klassiek
Quantum
Baanimpulsmoment L = r × p Impulsmoment L
“Tol-impulsmoment”
Spin S
a) Geef aan op welke manier het tol-impulsmoment samenhangt met het klassieke baanimpulsmoment. Hint: kijk naar een klein stukje van de tol.
b) Geef een overeenkomst tussen het quantum-mechanisch impulsmoment en spin. Is er
een zelfde soort verband als tussen het klassieke baanimpulsmoment en tol-impulsmoment?
c) Is er een verband tussen het klassieke en het quantum-mechanische baanimpulsmoment?
d) Is er een verband tussen het “tol-impulsmoment” en spin? Maak hiervoor opgave 4.25
(4.26) van Griffiths. (Het traagheidsmoment van een bol is: I = 2/5mr2 .)
M2 Spin in het algemeen
a) Welke eigenschappen definı̈eren een spin-operator?
b) Als we naar een systeem met spin s kijken, hoeveel eigentoestanden zijn er dan? Welke
mogelijke waardes van m kan je vinden?
c) Hoe werkt Ŝ± op een eigentoestand |s, mi?
d) Als je de |s, mi als basis kiest, wat is dan de betekenis van hs, m|Ŝ± |s, m0 i? Bereken
hs, m|Ŝ± |s, m0 i.
e) Bereken de numerieke waardes van hs, m|Ŝ± |s, m0 i voor s = 1 en schrijf de matrixrepresentatie van Ŝ± op.
f) Schrijf voor dit geval Ŝx , Ŝy en Ŝz als matrices op.
M3
Rekenen met spin 1
Maak opgave 4.27 (4.28) uit Griffiths.
30
Werkcollege QME1
M4
M Spin
Rekenen met spin 2
Maak opgave 4.28 (4.29) uit Griffiths.
M5
Metingen aan spin
Gegeven is een elektron in de spintoestand
1
√ (|↑i + |↓i)
2
a) We meten de x-component van de spin, Sx . Welke waarde(n) kunnen we vinden?
Met welke kans(en)? Wat is de toestand van het elektron direct na de meting als de
meetwaarde h̄/2 was?
b) Nu meten we de y-component van de spin, Sy . Welke waarde(n) kunnen we vinden?
Met welke kans(en)? Wat is de toestand van het elektron direct na de meting als de
meetwaarde −h̄/2 was?
c) Tenslotte meten we weer de x-component van de spin, Sx . Welke waarde(n) kunnen
we nu vinden? Met welke kans(en)?
M6
Spin
Maak opgave 4.29 (4.30) uit Griffiths.
M7
Toestanden van samengestelde spin
Maak opgave 4.34 (4.35) uit Griffiths.
M8
Quarks en de spin van samengestelde deeltjes
Maak opgave 4.35 (4.36) uit Griffiths.
M9
Samentellen van impulsmoment 1
Maak opgave 4.36 (4.37) uit Griffiths.
M10
Samentellen van impulsmoment 2
Maak opgave 4.55 (4.48) uit Griffiths.
M11
Electron in een magnetisch veld
We beschouwen een enkel electron in rust in een magnetisch veld in x-richting.
a) Wat is de Hamiltoniaan voor dit systeem?
b) Wat zijn de eigentoestanden en de eigenwaarden van de Hamiltoniaan?
31
M Spin
Werkcollege QME1
c) Schrijf de algemene oplossing χ(t) van de tijdsafhankelijke Schrödingervergelijking op.
Kies de coefficiënten dat de toestand voor t = 0 overeenkomt met de eigentoestand van
Ŝz met eigenwaarde +h̄/2.
d) Bereken de waarschijnlijkheid om voor het electron op tijd t de waarde Sx = +h̄/2 of
Sx = −h̄/2 te meten.
e) Bereken de waarschijnlijkheid om voor het electron op tijd t de waarde Sz = +h̄/2 of
Sz = −h̄/2 te meten.
f) Geef de verwachtingswaarden hχ(t)|Ŝx |χ(t)i en hχ(t)|Ŝz |χ(t)i aan.
g) Hoe verandert de verwachtingswaarde hχ(t)|Ŝx |χ(t)i als de toestand voor t = 0 overeenkomt met de eigentoestand van Ŝx met eigenwaarde +h̄/2?
M12
Larmor-precessie
Maak opgave 4.32 (4.33) uit Griffiths.
M13
Spin
Maak opgave 4.29 (4.30) uit Griffiths.
32
Werkcollege QME1
N
N Identieke deeltjes
Identieke deeltjes
De wereld bestaat uit bosonen en fermionen. Bij lage temperaturen wordt de statistiek
van de deeltjes belangrijk en gedragen de bosonen en fermionen zich volstrekt verschillend.
N1
Gereduceerde massa
Maak opgave 5.2 uit Griffiths.
N2
Identieke deeltjes
Maak opgave 5.7 (5.6) uit Griffiths.
N3
Identieke deeltjes
Maak opgave 5.5 (5.4) uit Griffiths.
N4
Bose-Einstein condensatie
Maak opgave 5.29 (5.26) uit Griffiths.
33
O Periodieke systeem van elementen
O
Werkcollege QME1
Periodieke systeem van elementen
De opbouw van het periodieke systeem van elementen vond plaats in de scheikunde,
waarbij door een vergelijking van de reactiviteit de verschillende elementen in groepen
konden worden ondergebracht. Met de ontwikkeling van de quantum-mechanica kon dit
systeem volledig opgebouwd worden aan de hand van fysische principes.
O1
Grondtoestand van zirconium
De grondtoestand van zirconium (Zr, element 40) is gegeven door
[Kr](5s2 4d2 ) 3 F2 .
Aan de hand van het Aufbau-principe willen we deze configuratie bepalen.
a) Geef een korte omschrijving van het Aufbau-principe.
b) Geef aan de hand van het Aufbau-principe de totale elektronen configuratie van alle
40 elektronen van Zr.
c) Wat is het spinimpulsmoment S, het baanimpulsmoment L en het totale impulsmoment J van de grondtoestand van Zr.
d) Bepaal de mogelijke waarden voor de spin S door het optellen van de spins si van alle
elektronen.
Volgens de eerste regel van Hund heeft de grondtoestand met de hoogste waarde van S
de laagste energie.
e) Voldoet de grondtoestand van Zr aan de eerste regel van Hund? Beargumenteer uw
antwoord!
f) Bepaal de mogelijke waarden voor de spin L door het optellen van de baanimpulsmomenten li van alle elektronen.
g) Bepaal de mogelijke waarden voor het totale impulsmoment J door koppeling van L
en S.
Volgens de tweede regel van Hund heeft de grondtoestand met de laagste waarde van J
de laagste energie, als de valentieschil voor minder dan de helft gevuld is. Is deze schil
voor meer dan de helft gevuld, dan heeft de hoogste waarde van J de laagste energie.
h) Voldoet de grondtoestand van Zr aan de tweede regel van Hund? Beargumenteer uw
antwoord!
O2
Het periodieke systeem
De opbouw van het periodieke systeem wordt beschreven door het “Aufbau” principe. De
eerste twee rijen van het periodieke systeem worden gegeven door
34
Werkcollege QME1
O Periodieke systeem van elementen
Z Element Configuratie
1
H
...
2
He
...
3
Li
...
4
Be
...
5
B
...
6
C
...
7
N
...
8
O
...
9
F
...
10
Ne
...
a) Beschrijf de werking van het “Aufbau” principe.
Term
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
b) Gebruik het “Aufbau” principe om de elektronen configuratie van de eerste 10 elementen te bepalen.
Voor de koppeling van de impulsmomenten van de elektronen maken we gebruik van
LS-koppeling.
c) Bepaal de term 2S+1 LJ voor de eerste 4 elementen van het periodieke systeem. Licht
uw resultaten toe.
Voor de overige elementen kan de koppeling van de impulsmomenten van de elektronen
tot verschillende termen leiden.
d) Bepaal alle mogelijke termen voor het vijfde element boron (B) en het zesde element
koolstof (C).
Voor het bepalen van de grondtoestand met de laagste energie heeft Hund empirische
regels opgesteld.
e) Geef de eerste twee regels van Hund.
Als derde regel stelde Hund, dat als de schil niet meer dan voor de helft gevuld is, dat
dan de laagste J waarde de laagste energie heeft.
f) Gebruik deze drie regels om de term van de grondtoestand van boron en koolstof te
bepalen.
O3 Aufbau-principe
a) Geef een korte beschrijving van het Aufbau principe voor de bepaling van de grondtoestand van atomen met meerdere elektronen. Bespreek kort de gevolgen van dit principe
voor de opbouw van atomen.
b) Bepaal m.b.v. het Aufbau principe de volgorde voor de energie van de volgende
toestanden n`: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, 4s, 4p, 4d, 4f.
c) Bepaal de elektronische configuratie (1s2 2s2 . . . ) van de grondtoestand van het element Na (Z=11). Wat is de totale ontaarding van deze toestand? Bepaal voor deze
toestand de waarde van L, S en J en geef de daarbij behorende spectroscopische notatie.
35
O Periodieke systeem van elementen
Werkcollege QME1
De eerste geëxciteerde toestanden van Na zijn de 2 P1/2 en de 2 P3/2 toestand, die niet
ontaard zijn.
d) Geef voor deze toestanden de elektronische configuratie. Welke wisselwerking is voornamelijk verantwoordelijk voor de opsplitsing van deze toestanden? Waarom speelt deze
wisselwerking geen rol in de grondtoestand?
e) Geef de selektieregels voor stralingsovergangen tussen atomaire toestanden in de dipoolbenadering.
f) Bepaal door gebruik te maken van de selektieregels alle mogelijke stralingsovergangen
tussen de laagste drie toestanden van Na.
36
Werkcollege QME1
P
P Vaste stoffen
Vaste stoffen
Hoewel een vaste-stof opgebouwd is uit meer dan 1023 atomen, kunnen we m.b.v. de
quantum-mechanica een redelijke, enigzins vereenvoudigde, beschrijving geven van zijn
eigenschappen. Zo kunnen we inzicht geven in de banden-structuur van een vaste-stof,
die essentieel is voor het begrip, waarom sommige vaste-stoffen geleiders, isolatoren of
half-geleiders zijn.
P1
Penney-Kronig model
...
P2
Koper
Maak opgave 5.16 (5.13) uit Griffiths.
P3
Dirac kam
Maak opgave 5.18 (5.15) uit Griffiths.
37
Q Storings-rekening
Q
Werkcollege QME1
Storings-rekening
Er zijn slecht enkele systemen, die exact beschreven kunnen worden in de quantummechanica. Storings-rekening maakt het mogelijk om in al die andere gevallen toch een
resultaat te verkrijgen. Door hogere-orde storings-rekening toetepassen kunnen we proberen inzicht te krijgen, of ons resultaat enigzins betrouwbaar is.
Q1
Elektron in de kern
In het waterstof model beschouwen we de kern als een puntdeeltje met oneindig kleine
afmeting. In werkelijkheid heeft de kern een eindige afmeting r0 , waardoor het Coulomb
veld waarin het elektron beweegt voor kleine r gemodificeerd wordt. Het effekt hiervan
op de grondtoestand van waterstof willen we op twee manieren afschatten.
a) Gebruik de golffunktie ψ100 (~r) voor de grondtoestand van waterstof om de waarschijnlijkheid P te berekenen, dat het elektron zich in de kern beweegt.
b) Benader uw resultaat onder a) door gebruik te maken van de ongelijkheid r0 a0 .
Als alternatief kunt u veronderstellen, dat de golffunktie ψ100 (~r) constant genomen kan
worden binnen de kern.
c) Gebruik deze benadering om P opnieuw te berekenen. Vergelijk uw antwoord met het
antwoord onder b).
d) Bereken P door gebruik te maken van r0 ≈ 10−15 m.
e) Als we aannemen dat in de kern de Coulomb potentiaal V (r) = 0 genomen kan worden,
maak dan een schatting van de verschuiving van de energie van de grondtoestand t.g.v.
de eindige afmeting van de kern. Vergelijk uw resultaat met het ongestoorde resultaat.
Q2
Interactie-enerie twee identieke bosons
Maak opgave 6.3 (6.3) uit Griffiths.
Q3
Waterstof spectrum
Maak opgave 6.18 (6.16) uit Griffiths.
Q4
Zwak Zeeman-effect voor n=2
Maak opgave 6.21 (6.19) uit Griffiths.
Q5
Sterm Zeeman-effect voor n=2
Maak opgave 6.23 (6.21) uit Griffiths.
Q6
Stark effect voor n=2
Maak opgave 6.36 (6.31) uit Griffiths.
38
Werkcollege QME1
R
R Variatie-rekening
Variatie-rekening
Naast storings-rekening is variatie-rekening een alternatief om in die gevallen, dat het probleem quantum-mechanisch niet exact oplosbaar is, toch een resultaat te verkrijgen. Met
name in het geval van helium, dat exact niet oplosbaar is door de electron-electron wisselwerking, kunnen we met variatie-rekening goede resultaten boeken, die de vergelijking
met het experiment kunnen doorstaan.
R1
Variatie-rekening voor waterstof
De Hamiltoniaan voor waterstof wordt gegeven door
∂
−h̄2 ∂
r2
H =T +V =
2
2µr ∂r
∂r
!
1
− .
r
We willen variatierekening toepassen om de energie van de grondtoestand te bepalen. In
variatierekening voldoet de energie van de grondtoestand aan de volgende relatie:
E0 ≤ hφ|H|φi,
met φ een probeerfunctie. Voor φ kiezen we
r
φ(r) = C 1 −
r0
φ(r) = 0
r ≤ r0
r > r0
a) Bepaal dat de normeringsconstante C gegeven wordt door C =
√
30/r0 3/2 .
b) Bepaal dat de verwachtingswaarde van T voor φ(r) gegeven wordt door hT i = 5/r0 2 .
c) Bepaal dat de verwachtingswaarde van V voor φ(r) gegeven wordt door hV i = −5/2r0 .
d) Bepaal een bovengrens voor E0 door variatie van r0 . Wat is de waarde van r0 , waarvoor
hHi minimaal wordt?
e) Vergelijk uw resultaat onder d) met de exacte resultaten van de grondtoestand van
waterstof en bespreek de verschillen.
R2
Grondtoestand helium
Maak opgave 7.6 (7.6) uit Griffiths.
R3
Helium-achtige systemen
Maak opgave 7.7 (7.7) uit Griffiths.
R4
Variatie-rekening voor helium
Maak opgave 7.18 (7.16) uit Griffiths.
39
S Herhaling
S
Werkcollege QME1
Herhaling
Dit is het laatste werkcollege voor het tentamen. Maak van de gelegenheid gebruik om
oude opgaven waar je niet aan toe bent gekomen alsnog te maken.
S1
Achterstallig onderhoud
Maak de opgaven waar je nog niet aan toe gekomen was, of die waarvan je je afvraagt of
je ze nu wel nog kan.
S2
Diversen
Kijk in het boek nog een keer naar de volgende onderwerpen:
•
commutatierelaties en het onzekerheidsprincipe in het algemeen en ook naar het
onzekerheidsprincipe m.b.t. de tijd,
•
de commutatierelaties van impulsmomentum/spin,
•
de orde van grootte van waarneembare grootheden in het waterstofatoom,
•
de operatoren en eigentoestanden voor spin voor de verschillende richtingen x, y en
z,
•
het berekenen van verwachtingswaarden en kansen voor spin,
•
het samentellen van impulsmomenta,
•
het gedrag van magnetisch momenta in een magnetisch veld,
•
de symmetriëen van golffuncties van identieke deeltjes.
S3
Tentamenhulp
Om de tentamenstof op een rijtje te krijgen kan het heel nuttig zijn om voor jezelf een
samenvatting van de belangrijkste onderdelen te maken. Hou die kort en overzichtelijk,
maar beperk je niet tot het opschrijven van formules. Denk bijvoorbeeld aan de volgende
vragen:
•
Wat zijn de allerbelangrijkste ideeën die aan de orde zijn geweest?
•
Wat is de belangrijkste formule?
•
Wat zijn de ingrediënten van het formalisme, hoe schrijf je alles op?
•
Wat voor soort problemen zijn er behandeld?
•
Welke oplossingsmethoden horen daarbij?
40