PORTFOLIO E DEEL XVI HOOFDSTUK 2 DEELBAARHEID

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PORTFOLIO
Klas: . . . . . . . . . . . . . . .
Nr.: . . . . .
E
DEEL XVI HOOFDSTUK 2 DEELBAARHEID VAN GEHELE GETALLEN (1)
2 Deelbaarheid van gehele getallen
Basis
?
Verdieping
?
??
??
2.1 Deelbaarheid en delers
1
2
3
4
5
6
7
8
2.2 Deling met rest
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2.3 Veelvouden en lineaire combinaties
23
24
25
26
27
28
29
30
Uitbreiding
?
??
9
31
32
33
34
35
36
37
Oefeningen bij §2.1
Oefening 1. Bepaal alle gehele getallen n die een deler zijn van 5n − 12.
B
Oefening 2. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Verklaar telkens je antwoord.
B
(a) Elk geheel getal heeft minstens vier delers.
(b) Elk geheel getal heeft minstens één echte deler.
(c) Elk geheel getal heeft een eindig aantal delers.
(d) Voor elk geheel getal a geldt: del(a) = {b | b ∈ Z en b | a}.
B
?
(e) Voor elk geheel getal a geldt: a ∈ del(a).
Oefening 3. Bewijs de volgende uitspraken.
(a) Zij a, b ∈ Z met b 6= 0. Dan geldt: b | a ⇔ ∃! q ∈ Z : qb = a.
B?
(b) Zij d, d0 ∈ Z0 en stel dat d | d0 en d0 | d. Dan is d = d0 of d = −d0 .
Oefening 4 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1991 eerste ronde).
Het geheel getal q waarvoor 5050 = 2525 q is gelijk aan
(A) 2525
B??
(B) 1025
(C) 10025
(D) 225
(E) 2 · 2525
Oefening 5.
(a) Stel dat a ∈ Z en dat del(a) = del(10). Waaraan kan a dan gelijk zijn?
(b) Formuleer en bewijs een veralgemening van (a) voor willekeurige gehele getallen.
V
V
V?
U
Oefening 6. Toon aan dat 20153 − 19773 deelbaar is door 19.
Oefening 7. Zij n een oneven natuurlijk getal. Bewijs dat 8 | n2 − 1.
Oefening 8. Zij a ∈ Z en n ∈ N0 . Bewijs dat a − 1 een deler is van an − 1.
Oefening 9 (basiseigenschappen van deelbaarheid). Zij a, b, c, k, l ∈ Z en d, e ∈ Z0 . Bewijs volgende uitspraken.
(i) 1 | a en −1 | a
(ii) a 6= 0 ⇒ a | 0, a | a en −a | a
(iv) d | a ⇒ d | ka en ed | ea
(vi) d | a en d | b ⇒ d | ab
(vii) d | e en e | a ⇒ d | a
Po-v
Oefeningen bij §2.2
B
Oefening 10. Bepaal telkens het quotiënt en de rest bij deling van a door b.
(a) a = 60 en b = 7
(d) a = 27 en b = −8
(b) a = −60 en b = 7
(e) a = −64 en b = −8
(c) a = −34 en b = 5
(f) a = 15 en b = −28
B
Oefening 11. Bepaal alle gehele getallen die het deeltal zijn van een deling door 5, die 18 als quotiënt opleveren.
B
Oefening 12. Het quotiënt van een opgaande deling van twee gehele getallen is −24. Als men het deeltal verdubbelt
en 5 bij de deler optelt, dan gaat de deling nog steeds op en is het quotiënt van deling gelijk aan 60. Welke zijn de
deler en het deeltal?
B
Oefening 13. De deling van een geheel getal door 73 heeft als rest 3. Deelt men hetzelfde geheel getal door 70, dan
is de rest 48. De quotiënten van beide delingen zijn gelijk. Bepaal dat geheel getal.
B?
Oefening 14. Maak de deling met rest van 284 door 23, en bepaal het grootste geheel getal dat men bij het deeltal
mag optellen of aftrekken zonder dat het quotiënt bij deling door 23 verandert.
B?
Oefening 15. Van een deling met rest is de deler gelijk aan −2136 en het quotiënt gelijk aan 49.
(a) Bepaal het deeltal waarvoor de rest bij deling van deler door deeltal zo groot mogelijk is.
(b) Bepaal het deeltal waarvoor de rest bij deling van deler door deeltal zo klein mogelijk is.
B??
Oefening 16. Als twee gehele getallen bij deling door hun verschil dezelfde resten overlaten, dan verschillen de
quotiënten met 1. Bewijs.
B??
Oefening 17. Een deling laat een rest 7 over. Telt men 1 op bij het deeltal, dan wordt het quotiënt 1 groter. Bepaal
alle mogelijkeden voor de deler.
V
Oefening 18. Men deelt een geheel getal door 4, de rest is gelijk aan 2. Als men dat getal door 6 deelt, dan is de
rest nooit 3. Bewijs.
V
Oefening 19. Een deling door 58 laat 40 tot rest over. Tussen welke getallen ligt het natuurlijk getal, dat men van
het deeltal moet aftrekken, om het quotiënt met 1 te verkleinen?
V
Oefening 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987 eerste ronde).
a, n ∈ N0 en an geeft bij deling door 73 rest 2, an+1 geeft bij deling door 73 rest 69. Voor de rest r bij deling van a
door 73 geldt
(A) 0 ≤ r < 10
(B) 10 ≤ r < 30
(C) 30 ≤ r < 50
(D) 50 ≤ r < 70
(E) r ≥ 70
V?
Oefening 21. Bepaal twee gehele getallen waarvan de som 266 is en hun quotiënt bij deling met rest gelijk is aan 13.
Geef nadien alle mogelijkheden voor die gehele getallen.
V?
Oefening 22. Zij a en b twee gehele getallen, noem q en r het quotiënt en r de rest bij deling van a door b en stel
dat q 6= 0. Bewijs dat het quotiënt bij deling van a door q gelijk is aan de som van b en het quotiënt bij deling van r
door q.
Po-w
Oefeningen bij §2.3
B
Oefening 23. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Verklaar telkens je antwoord.
(a) Er bestaat een geheel getal a waarvoor de verzameling aZ een eindig aantal elementen heeft.
(b) Zij a, b ∈ Z waarvoor aZ = bZ. Dan is a = b.
B
Oefening 24. Bewijs de volgende uitspraken.
(a) Zij a ∈ Z waarvoor 1 ∈ aZ. Dan is a = 1 of a = −1.
(b) Zij a ∈ Z. Dan geldt: aZ = {b ∈ Z | a is een deler van b}.
B
Oefening 25. Bewijs dat het verschil van twee opeenvolgende kwadraten altijd een oneven getal is.
B?
Oefening 26 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1987 eerste ronde).
Welke van de volgende vijf uitspraken is waar?
(A) Het kwadraat van een oneven getal is soms even.
(B) Als x even is, zijn x en 2x twee opeenvolgende even getallen.
(C) Als x even is, is (x − 1)(x + 1) oneven.
(D) Als x even is, is 107x soms oneven.
(E) Als x en y oneven zijn, is 3(x + y) oneven.
B?
Oefening 27. Bewijs dat het verschil van twee opeenvolgende derdemachten altijd een oneven getal is.
B??
Oefening 28. Zij a, b ∈ Z. Toon aan:
a = ±b
⇔
aZ = bZ.
V
Oefening 29. Zij a een oneven geheel getal. Toon aan dat a2 − 1 ∈ 8Z.
V?
Oefening 30. Men deelt 18 door een veelvoud van 6, dat geen veelvoud van 18 is. Welke kan de rest zijn? Bewijs je
antwoord.
V??
Oefening 31. Zij n ∈ N. Bewijs dat 32n+1 + 2n+2 een veelvoud is van 7.
U
Oefening 32 (kenmerk van deelbaarheid door 2 en door 5). Bewijs dat een natuurlijk getal deelbaar is door
2 als en slechts als het cijfer van de eenheden deelbaar is door 2, en deelbaar is door 5 als en slechts als het cijfer van
de eenheden deelbaar is door 5.
U
Oefening 33 (kenmerk van deelbaarheid door 4 en door 25). Bewijs dat een natuurlijk getal deelbaar is door
4 als en slechts als het getal gevormd door de cijfers van de eenheden en tientallen deelbaar is door 4, en deelbaar is
door 25 als en slechts als het getal gevormd door de cijfers van de eenheden en tientallen deelbaar is door 25.
U
Oefening 34 (kenmerk van deelbaarheid door 8 en door 125). Bewijs dat een natuurlijk getal deelbaar is door
8 als en slechts als het getal gevormd door de cijfers van de eenheden, tientallen en honderdtallen deelbaar is door 8,
en deelbaar is door 125 als en slechts als het getal gevormd door de cijfers van de eenheden, tientallen en honderdtallen
deelbaar is door 125.
U?
Oefening 35 (kenmerk van deelbaarheid door 3 en door 9). Bewijs dat een natuurlijk getal deelbaar is door
3 als en slechts als de som van zijn cijfers deelbaar is door 3, en deelbaar is door 9 als en slechts als de som van zijn
cijfers deelbaar is door 9.
Aanwijzing. Maak gebruik van Oefening 8 om aan te tonen dat 10n − 1 deelbaar is door 9 voor elke n ∈ N0 .
U??
Oefening 36 (lemma 2). Zij a, b ∈ Z. Bewijs dat er een geheel getal v is waarvoor aZ ∩ bZ = vZ.
U??
Oefening 37 (idealen van Z). Zij I een niet-lege deelverzameling van Z. Dan is I een ideaal van Z, notatie I C Z,
als aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:
(1) voor alle r, s ∈ I geldt dat r − s ∈ I,
(2) voor alle k ∈ Z en r ∈ I geldt dat kr ∈ I.
Bewijs dat voor elke deelverzameling I ⊂ Z geldt:
I CZ
⇔
∃d ∈ Z : I = dZ.
Po-x
Reflectie
Vul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je
• leerproces,
• efficiëntie van werken,
• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.
oefening verbeterd? (kruisje)
31/12
99a
X
Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?
Welke fouten heb ik gemaakt?
• voldoende tijd besteed?
• notatiefout (NF)
• opgave goed gelezen?
• eenheden (EF)
• nauwkeurig gewerkt?
• grafisch rekenmachine (GF)
• modelvoorbeelden bekeken?
• rekenfout (RF)
• opgave begrepen?
• interpretatie van de opgave (IF)
• leerstof voldoende begrepen?
• denkfout (DF)
gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden
EF, NF
verder oefenen nodig? (kruisje)
oefening nummer
vb.
datum oefening afgewerkt
Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.