Inhoudsopgave

Inhoudsopgave
1 Waarom quantummechanica?
1.1 Het rare van de quantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Quantumhypothesen
2.1 Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Voorgeschiedenis . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Lijnenspectra . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Atoommodel van Bohr (1913) . . . . .
2.3.4 Reacties op het atoommodel van Bohr
2.3.5 Experiment van Franck en Hertz . . .
3 Op weg naar de quantummechanica
3.1 Correspondentieprincipe van Bohr . . . . . .
3.2 De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Reacties en consequenties . . . . . .
3.3 De golf-deeltje paradox . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Twee-spleten experiment van Young
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4.1 Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 De Schrodingervergelijking . . . . . . . . .
4.3.2 Tijdonafhankelijke Schrodingervergelijking
4.4 Wat betekent de golunctie (x; t)? . . . . . . . .
4.5 Heisenbergs onzekerheidsrelaties . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Quantumtheorie
5 Het oplossen van de Schrodingervergelijking
5.1 Deeltje in een put . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Put met oneindig hoge wanden . .
5.1.2 Put met eindig hoge wanden . . . .
5.1.3 Oneindig diepe vs. eindig diepe put
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
3
5
5
8
13
13
15
16
20
20
23
23
25
26
27
27
30
30
31
32
32
34
35
36
38
38
38
41
44
INHOUDSOPGAVE
6 Atoombouw en het periodiek systeem
6.1 Waterstofatoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Overige quantumgetallen . . . . . . . . . .
6.1.3 Radiele goluncties . . . . . . . . . . . . .
6.2 Nog een quantumgetal . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Zeeman-eect . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Verklaring van het anomale Zeeman-eect
6.2.3 Richtingsquantisatie . . . . . . . . . . . .
6.3 Uitsluitingsprincipe van Pauli . . . . . . . . . . .
6.3.1 Periodiek systeem . . . . . . . . . . . . . .
ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
46
48
49
50
51
51
52
54
56
57
Hoofdstuk 1
Waarom quantummechanica?
De quantummechanica en de relativiteitstheorie vormen samen de theoretische bouwstenen van de \nieuwe" natuurkunde zoals die in de twintigste eeuw tot stand is gekomen.
Beide theorieen vragen om een nieuwe manier van denken en daar ligt precies de moeilijkheid.
In de relativiteitstheorie staat het begrip gelijktijdigheid centraal of liever de denitie
van gelijktijdigheid voor gebeurtenissen op verschillende plaatsen. Einstein hield zich
bezig met de vraag hoe je klokken op verschillende plaatsen in de ruimte kunt synchroniseren. Toen hij dat op een logische en consistente manier had gedaan volgde de speciale
relativiteitstheorie als vanzelf. Relativistische eecten zien we in de dagelijkse wereld niet
zoveel. Zij komen pas naar voren als objecten zeer hoge snelheden hebben, snelheden
van de orde van de lichtsnelheid c (c 3 108 m/s). Bij lage snelheden v (v=c 1)
volgen de klassieke verbanden tussen energie, massa en snelheid zoals we die kennen uit
de vergelijkingen van Newton.
De quantummechanica is, ruw gesproken, verbonden met een microscopische beschrijving van de materie. We kijken dus op de schaal van atomen, moleculen, atoomkernen
en dergelijke. Toch is het zo dat quantumverschijnselen niet alleen zichtbaar zijn bij
een uitermate nauwkeurige bestudering van de materie. Het feit dat de straatverlichting
langs de snelwegen in Nederland een zeer herkenbare oranje kleur heeft is een uiting van
quantumgedrag van de natriumatomen in de lamp. In die lampen wordt een gasontlading
tot stand gebracht waaruit de natriumatomen elektrische energie absorberen en waardoor
zij licht gaan uitzenden. Dit doen ze bij zeer karakteristieke golengten 589:0 en
589:6 nm overeenkomend met frequenties 509:3 en 508:8 THz respectievelijk. (1 THz
= 1012 Hz). Het feit dat natriumatomen licht uitzenden bij voor dit atoom karakteristieke
frequenties en niet een zeer breed spectrum van licht, is een uiting van quantumgedrag.
Figuur
1.1:
Stroomspanningskarakteristiek van een
halfgeleiderdiode. Let op de verschillen in schaal voor positieve en
negatieve spanning, en stroom!
1
HOOFDSTUK 1. WAAROM QUANTUMMECHANICA?
2
Een ander \huis-tuin-en-keuken" gebied waarin quantumaspecten een wezenlijke rol spelen
is de elektronica. Zonder de quantummechanica is niet te begrijpen wat een halfgeleider
is en waarom de stroom-spanningskarakteristiek van diodes (zie g. 1.1) of transistoren
er uitziet zoals hij doet. Lasers, nu bijna bij iedereen in huis, vereisen eveneens een
quantummechanische beschrijving. Bij al deze verschijnselen is de quantummechanische
beschrijving vooral van toepassing op het microscopische niveau.
Tenslotte zijn er ook macroscopische fenomenen die ook op die schaal uitsluitend in
quantummechanische termen te beschrijven zijn. Voorbeelden hiervan zijn supergeleiding
(zie g. 1.2) en superuditeit (zie g. 1.3).
Figuur 1.2: Links: Het verloop van de weerstand van een kwikmonster als functie van de
tempertuur zoals door Kamerlingh Onnes in 1911 werd gemeten. Bij een temperatuur van
4.2 K wordt het kwik supergeleidend. Rechts: Magnetische levitatie: Een kleine magneet
drijft boven een supergeleidende plaat. De superstroom in de plaat wekt een magneetveld
op die het magnetisch staafje wegduwen.
Figuur 1.3: Een fontein van superude helium bij 2 K.
De term \quantummechanica" is enigszins ongelukkig. Quantumgedrag treedt niet
alleen op voor mechanische variabelen (plaats, snelheid, kinetische energie) maar ook
voor grootheden die jullie nog niet kennen. Wij zullen ons voornamelijk bezighouden met
de mechanische variabelen.
HOOFDSTUK 1. WAAROM QUANTUMMECHANICA?
3
1.1 Het rare van de quantummechanica
Misschien wel het meest opvallende verschil tussen de klassieke mechanica en de quantummechanica is dat we in de quantummechanica niet alle parameters helemaal vrij kunnen
kiezen. De valproef van Galileo waarin een steen op t = 0 op hoogte z0 met snelheid
vz = 0 wordt losgelaten kan wel in de klassieke mechanica maar niet in de quantummechanica. Natuurlijk kunnen we ook in de quantummechanica een deeltje onder invloed
van de zwaartekracht laten vallen. Maar de beginvoorwaarden voor positie en snelheid
kunnen nu niet zo precies worden gesteld als in de klassieke mechanica. We moeten rekening houden met de onzekerheidsrelaties van Heisenberg die, voor het geval dat
we hier beschrijven, eruit zien als,
mz0 vz h2 ;
(1.1)
waarin m de massa van de steen is en h = 2h = 6:62610;34 Joule-seconde een constante
die door Planck is ingevoerd en waarop wij in het volgende onderdeel terugkomen. De
grootheden z0 en vz zijn de onbepaaldheden in de positie en de snelheid, respectievelijk.
Je ziet dat er een ondergrens bestaat voor de precisie waarmee de positie en de snelheid van
het deeltje bekend zijn. Bovendien volgt uit de onzekerheidsrelatie van Heisenberg dat je
alleen dan de positie van een deeltje uiterst precies kunt vastleggen als je de onbepaaldheid
van zijn snelheid vergroot. Zo'n relatie kennen we niet in de klassieke fysica.
Opgave 1 Bepaal voor een bolvormige steen met een massa van 1 kg het produkt z0 vz .
Bepaal dit ook voor een elektron (m = 9:109 10;31 kg).
Het is gebruikelijk de onzekerheidsrelaties van Heisenberg te formuleren in termen van positie en impuls. De impuls p~ van een
deeltje met massa m is gerelateerd aan diens snelheid ~v,
p~ = m~v;
(1.2)
en de onzekerheidsrelatie voor een eendimensionale beweging langs
de z-as wordt dan
(1.3)
z pz h2
Een ander raar aspect van de quantummechanica is het feit dat een meting aan het
systeem dat je bestudeert de toestand van dat systeem zwaar verstoort. In veel gevallen
is de toestand waarin het deeltje na de meting verkeert een geheel andere dan voor de
meting. Als je nu aan dit deeltje meteen (voordat er iets heeft kunnen veranderen) nog een
keer dezelfde meting uitvoert komt er gegarandeerd hetzelfde uit. Doe je een meting aan
een tweede deeltje dat op dezelfde manier geprepareerd is als het eerste deeltje was voor
de eerste meting, dan komt er bijna altijd wat anders uit dan het resultaat van de meting
aan het eerste deeltje. Doe je een meting aan een derde deeltje dat net zo geprepareerd
is als deeltje een en twee dan krijg je waarschijnlijk opnieuw een andere uitkomst. Toch
HOOFDSTUK 1. WAAROM QUANTUMMECHANICA?
4
praten we over deeltjes in een en dezelfde toestand. Blijkbaar is de uitkomst van een
meting aan een deeltje in een bepaalde toestand niet volledig voorspelbaar.
In tegenstelling tot de situatie in de klassieke fysica is het onderscheid tussen deeltjes
en golven in de quantummechanica verdwenen. In de klassieke fysica is licht eenduidig
een golfverschijnsel, in het bijzonder een elektromagnetische golf. De sleutelwoorden
zijn hier interferentie en buiging. Deeltjes lijken op biljartballen; als je hun positie en
snelheid op t = 0 kent en hun onderlinge krachten dan kan je precies voorspellen waar die
deeltjes op elk later ogenblik zich bevinden en wat hun snelheden zijn. In dit geval zijn
de sleutelwoorden positie snelheid en energie van de deeltjes. In de klassieke fysica zijn
golven en deeltjes iets heel verschillends. In de quantumfysica zijn de scheidslijnen tussen
deeltjes en golven afwezig. Soms beschrijf je een elektron alsof het een deeltje is, andere
keren alsof het een golfverschijnsel is.
Hoofdstuk 2
Quantumhypothesen
In dit hoofdstuk bespreken we aan de hand van een aantal grote namen hoe en waarom
de eerste stappen op het pad van de quantummechanica werden gezet. Het waarom is
meestal duidelijk; rond 1900 was een ink aantal nauwkeurige experimenten uitgevoerd
waarvan de uitkomst niet te begrijpen was binnen het kader van de bestaande theoretische
modellen. Door Max Planck, Albert Einstein en Niels Bohr werden zeer gewaagde stappen
gezet buiten dit gevestigde theoretische kader. Voor henzelf { en dit geldt vooral voor
Planck { waren deze stappen vaak even moeilijk te accepteren als voor hun collegae; zij
waren immers zelf volledig in de klassieke fysica opgegroeid.
De eerste stap werd gezet door Max Planck en 14 december 1900 wordt vaak beschouwd
als geboortedatum van de quantummechanica.
2.1 Planck
Figuur 2.1: Max Planck
Op die dag presenteerde Max Planck op de bijeenkomst van de Deutsche Physikalische
Gesellschaft een bijdrage \Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum".1 Onderwerp was het spectrum van een zwart lichaam (zie g. 2.2).
1 M. Planck: Annalen der Physik, 4, 553 (1901).
5
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
6
Een zwart lichaam is een object dat licht volledig absorbeert en dat
doet bij willekeurige golengte. Het zendt ook licht uit en doet dat
ook bij alle golengten. De hoeveelheid uitgezonden energie per
klein frequentie- of golengtegebiedje geeft de spectrale verdeling
van de straling weer.
Figuur 2.2: Meetresultaten van Lummer en Pringsheim3 voor de straling
van een zwart lichaam bij infrarode
golengten voor verschillende temperaturen. De getrokken lijn geeft het
verloop van de waarnemingen weer; de
gestippelde lijn de waarden volgens het
model van Wien.
Een kort intermezzo
De zwarte straler
Een zwarte straler bij eindige temperatuur T zendt altijd licht uit (en absorbeert
licht uit de omgeving). Juist door het uitzenden en absorberen van licht komt de
zwarte straler in thermisch evenwicht met zijn omgeving. De door een bron met
temperatuur T uitgezonden energie is sterk afhankelijk van de temperatuur,
P = T 4 ;
(2.1)
met P de per seconde per vierkante meter bronoppervlak uitgestraalde energie (in
Watt/m2 ) en = 5:67 10;8 Watt/m2 K4 de constante van Stefan. Voor de
zwarte straler geldt ook de verplaatsingswet van Wien die een uitspraak doet
over de golengte max waar de energieverdeling maximaal is
maxT = 2:898 10;3 m K:
(2.2)
Dit verband ken je wel. Als je een object heet stookt wordt het eerst roodgloeiend
(spectraal maximum van de emissie in het rode gedeelte) en daarna witheet (spectraal maximum is verschoven naar het geel). Je kunt nu ook meteen zien dat het
maximum van de emissie van een zwarte straler bij kamertemperatuur in het verinfrarode deel van het spectrum ligt (T = 300 K ) max = 9:66 m).
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
7
Einde intermezzo
Het grote probleem aan het einde van de negentiende eeuw was het vinden van een theorie
voor de volledige spectrale verdeling van het door een zwarte straler uitgezonden licht. Er
was een theoretisch model (stralingswet van Wien) dat goed voldeed (in overeenstemming
was met experimentele gegevens) bij relatief korte golengten en lage temperatuur. Dit
model was ingebed in algemeen geaccepteerd theoretisch kader. Door verbetering van experimentele technieken voor ver-infrarood licht werd het in 1899-1900 mogelijk metingen
in het golengtegebied van 20-50 m uit te voeren. De resultaten van deze zeer moeizame
maar nauwkeurige metingen klopten niet met de wet van Wien. Zij stemden ook niet
overeen met een stralingswet die in datzelfde jaar door Rayleigh was voorgesteld (het
verschil tussen experiment en model was voor lange golengten veel kleiner bij het model
van Rayleigh dan bij dat van Wien). Deze wet kon bij korte golengten absoluut niet
kloppen; dat was duidelijk. Beide modellen waren dus goed maar ieder in een beperkt
golengtebereik. Een synthese was dus vereist. Het bleek niet mogelijk binnen het geaccepteerde theoretische kader zo een synthese te maken, d.w.z. een theorie op te stellen
die voor alle golengten voldoet. Dit was wat Planck voor elkaar kreeg. In eerste instantie lukte het hem door slim te interpoleren \een goed geraden interpolatieformule"3.
In tweede instantie door de natuurkunde van dat moment op zijn kop te zetten. Hij nam
aan dat de totale energie U van een systeem van N trillingskringen met eigenfrequentie
kon worden geschreven als
U = P;
(2.3)
met een energie-element en P een groot geheel getal. Door
= h
(2.4)
te kiezen verkreeg hij hetzelfde resultaat als wat hij eerder verkregen had door slim te
interpoleren. Het resultaat staat bekend als de stralingswet van Planck
!
1
M d = c22h
5
exp(hc=kT ) ; 1 d;
(2.5)
met M d de per seconde per eenheid bronoppervlak in een golengtebandje d door
een zwarte straler op temperatuur T uitgezonden hoeveelheid energie. Hierin is h de
constante van Planck en k de constante van Boltzmann. In guur 2.3 staan de
modellen van Planck, Wien en Rayleigh-Jeans getekend. Door een logaritmische schaal
te gebruiken komen de verschillen tussen de drie krommen goed tot hun recht.
De stralingswet van Planck was in voortreelijke overeenstemming met de experimentele gegevens bij de goede keuze van de parameters h en k. Op grond van de voorhanden zijnde experimentele gegevens kon Planck een aantal natuurconstanten bepalen die
tot op dat moment niet of slecht bekend waren (zie tabel 2.1). Ook kon hij de constante
van Stefan (zie vgl. (2.1)) berekenen,
2 5 k 4 ;
= 15
h3c2
2 O. Lummer en E. Pringsheim, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft,
(1899).
3 \eine glucklich erratene Interpolationsformel".
1, 215
Spectrale intensiteit (willekeurige eenheden)
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
8
10-4
Rayleigh-Jeans
10-5
10-6
10-7
Wien
Planck
10-8
10-9
10
20
30
40
Golflengte (µm)
Planckse waarde
h 6:55 10;34 Js
k 1:34 10;23 J/K
N 6:175 1023 mol;1
e 1:56 10;19 C
50
Figuur 2.3: De stralingskrommen
van Planck, Wien en RayleighJeans voor een zwart lichaam bij
een temperatuur van 1000 K.
huidige waarde
6:626 10;34 Js
1:38 10;23 J/K
6:032 1023 mol;1
1:60 10;19 C
Tabel 2.1: Waarden voor de constanten van Planck (h) en Boltzmann (k), het getal van
Avogadro (N ) en de lading van het elektron (e) zoals die door Planck in 1901 bepaald
zijn op grond van toen beschikbare experimentele gegevens. Ter vergelijking staan de nu
geaccepteerde waarden in de rechterkolom aangegeven.
en volgde uit zijn verdelingsfunctie de verplaatsingswet van Wien (zie vgl. (2.2)),
maxT = 4:965 hc
k:
De verplaatsingswet van Wien en de stralingswet van Stefan waren nu dus ingebed in de
stralingswet van Planck.
Plancks benadering was revolutionair; theoretisch was het een sprong in het duister
die hijzelf beschreef als een \wanhoopsdaad". De overeenstemming met het experiment
was echter zo goed dat niemand aan de formule zelf twijfelde. Maar over de betekenis van
vgl. (2.4) tastte ieder in het duister. Er werden verwoede pogingen ondernomen om dit
resultaat op een of andere manier in de geaccepteerde theorie in te passen maar zonder
resultaat.
2.2 Einstein
De volgende grote stap werd gezet door Einstein in een van zijn artikelen die in 1905
verschenen4 . Hij introduceerde twee nieuwe ideeen.
Hypothese 1 Monochromatisch licht van frequentie gedraagt zich alsof het is opgebouwd uit onderling onafhankelijke energiequanta ter grootte van h .
4 A. Einstein, Annalen der Physik, 17, 132 (1905).
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
9
Figuur 2.4: Albert Einstein
Deze energiequanta worden tegenwoordig fotonen genoemd, een term die in 1926 werd
gentroduceerd5 .
Dit postulaat stond dwars op de heersende opvattingen over licht. Vanaf de achttiende
eeuw was er meer en meer \bewijs" op tafel gekomen dat een golfbeschrijving van licht
noodzakelijk was. Het bouwwerk van de golfbeschrijving had zijn piek bereikt met de
formulering van de wetten van Maxwell waarmee licht als een volledig elektromagnetisch
verschijnsel kon worden verklaard. Het was geen kleinigheid een postulaat te formuleren
dat daar volledig tegengesteld aan was. Merk op dat bij Einstein h geassocieerd is
met het licht terwijl diezelfde grootheid bij Planck geassocieerd is met oscillatoren (in de
zwarte straler). Einstein beschouwde zijn energiequanta als ondeelbaar en gelokaliseerd
in de ruimte.
Het tweede idee van Einstein luidde als volgt:
Hypothese 2 Bij de interactie van licht met materie mogen we licht beschouwen als
energiequanta zoals eerder ingevoerd.
In het laatste deel van dit artikel gebruikt Einstein zijn hypothesen om een uitleg te geven
aan het foto-elektrisch eect.
Een kort intermezzo
Het foto-elektrisch eect
In 1887 ontdekte Heinrich Hertz dat de intensiteit van een elektrische ontlading
tussen twee elektroden toeneemt als de elektroden met ultraviolet licht worden beschenen. Daarna werd door anderen ontdekt dat de metalen natrium en kalium
elektronen uitzenden als deze metalen worden beschenen met zichtbaar of ultraviolet licht. De elektronenstroom hangt lineair van de lichtintensiteit af; dit verbaasde
niemand. Het verrassende was dat het eect afhing van de golengte van het gebruikte licht en wel op een alles-of-niets manier: was de golengte voldoende kort
(groen, blauw of UV licht) dan trad het eect op; was de golengte voldoende lang
(rood licht) dan gebeurde er niets (zie guur 2.5). Een ander merkwaardig aspect
(door Philip Lenard gevonden) was dat de energie van de vrijkomende elektronen
absoluut onafhankelijk was van de lichtintensiteit (bij gegeven golengte van het
5 G.N. Lewis, Nature, 118, 874 (1926).
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
10
licht). De elektronenergie varieerde wel met de frequentie van het licht. Als de
frequentie groter werd, werd de elektronenergie dat ook.
Einde intermezzo
Figuur 2.5: Boven: Een opstelling om het foto-elektrisch eect te meten. Onder: De
resultaten van Millikan voor een lithiumelektrode.
Einstein kon met behulp van zijn postulaten het foto-elektrisch eect op eenvoudige wijze
verklaren. Een lichtquantum draagt al zijn energie h = hc= over op een elektron in het
metaal, onafhankelijk van de aanwezigheid van andere lichtquanta. De maximale energie
waarmee een elektron dan uit het metaal vrijkomt wordt dan gegeven door
Emax = h ; :
(2.6)
Een elektron treedt niet spontaan uit een metaal; het is aan het metaal gebonden. Om het
eruit te trekken is dus energie nodig, minimaal de bindingsenergie van het elektron in
het metaal. Uit het door Einstein voorgestelde verband volgt direct dat de elektronenergie
onafhankelijk is van de lichtintensiteit (bij gegeven golengte bepaalt de lichtintensiteit
alleen de sterkte van de stroom van lichtquanta).
Merk op dat vgl. (2.6) de constante van Planck h bevat. Dat betekent dat je een
nieuwe methode hebt om h te meten. Immers uit vgl. (2.6) kunnen we concluderen dat,
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
11
1. Emax lineair met varieert;
2. de helling van de [E; ] graek materiaal-onafhankelijk is;
3. de richtingscoecient van deze rechte lijn gelijk is aan h.
Op grond van zijn vergelijking kon Einstein ook een aantal nieuwe eecten voorspellen
die in het daaropvolgende decennium ook experimenteel zijn waargenomen. Het duurde
tot 1916 voordat metingen aan het foto- elektrisch eect voldoende nauwkeurig waren om
Einsteins formule te toetsen. Het was Millikan die op grond van foto-elektrische metingen
een waarde voor h kon bepalen: h = 6:5710;34 Joule-seconde, in zeer goede overeenstemming met de bepaling door Planck (zie tabel 2.1). Hoewel Millikan opgetogen was over
zijn resultaat vond hij Einsteins theorie \onhoudbaar"6. Einsteins ideeen ondervonden
gigantisch veel weerstand. Hij had het aangedurfd de golfbeschrijving van het elektromagnetisme { een algemeen aanvaarde theorie { ter discussie te stellen. Plancks sprong in het
duister betrof een onderwerp, de interactie tussen licht en materie, waar geen algemeen
geaccepteerde theorie voor bestond. Plancks stap was dus veel aanvaardbaarder dan die
van Einstein. Bovendien werd Plancks idee direct gestaafd door experimenteel materiaal. Bij Einstein duurde het veel langer totdat er experimentele gegevens beschikbaar
waren om zijn model te toetsen; zelfs na Millikans experiment bleven twijfels bestaan.
Die verdwenen pas rond 1923.
Een kort intermezzo
Impuls
Aan een deeltje met massa m en snelheid ~v kunnen we een impuls p~ toekennen gelijk
p~ = m~v:
(2.7)
We kunnen dan de derde wet van Newton schrijven als
p
F~ = d~
dt ;
(2.8)
met F~ de kracht op het deeltje met massa m. Als er geen externe krachten op het
deeltje werken geldt dus dat p~ behouden is qua grootte en richting. Dit is de wet
van behoud van impuls. Deze wet geldt ook voor een systeem van veel deeltjes
als op dit veel- deeltjessysteem geen externe krachten werken.
De kinetische energie van een bewegende massa m kunnen we in termen van de
impuls schrijven als
2
Ekin = 2pm :
(2.9)
Einde intermezzo
6 R.A. Millikan, Physical Review, 7, 355 (1916).
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
12
Figuur 2.6: Boven: Relevante vectoren bij een verstrooiingsexperiment volgens Compton.
Onder: Links: Opstelling voor het meten van het Compton eect. Rechts: Meetresultaten
van Compton; de gestippelde lijn geeft de energieverdeling van de inkomende Rontgens
weer, de getrokken lijn die van de Compton-verstrooide Rontgens. Het feit dat de twee
curves erg op elkaar lijken maar verschoven zijn geeft aan dat de Rontgens energie en
impuls zijn kwijt geraakt.
In 1917 tenslotte ging Einstein nog een stap verder met de lichtquanta7 . Hij kende hen
nu behalve een discrete hoeveelheid energie h ook een discrete impuls p toe8,
p = hc = h :
(2.11)
Dit betekent dat als een lichtquantum door een atoom wordt geabsorbeerd dit atoom
de impuls van het lichtquantum overneemt en gaat bewegen9 . En als een stilstaand
7 A. Einstein, Physikalische Zeitschrift, 18, 121 (1917).
8 In de Maxwelltheorie van het elektromagnetisme komt stralingsdruk al voor. Dit betekent bijvoor-
beeld dat als licht (met vermogensdichtheid P=A) aan een spiegel weerkaatst wordt deze spiegel een kracht
F~ ondervindt gelijk
F = 2AcP ;
(2.10)
met c de lichtsnelheid. De stralingsdruk p kunnen we dan schrijven als p = 2P=c. Als we ons de
lichtbundel voorstellen als een stroom lichtquanta is de stap naar het toekennen van impuls aan een
lichtquantum niet zo merkwaardig. Het is eerder verwonderlijk dat Einstein er 12 jaar over deed om deze
stap te maken.
9 Van dit proces is de laatste jaren op zeer uitgebreide schaal gebruik gemaakt bij het koelen van atomaire dampen. De recente vondst van een nieuwe vorm van materie, de z.g. Bose-Einstein-gecondenseerde
fase, is mogelijk geworden door toepassing van laser-koeltechnieken gebaseerd op dit idee van Einstein.
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
13
atoom vervalt van een aangeslagen toestand naar zijn grondtoestand ondervindt het een
terugstoot; de impuls van het atoom is gelijk en tegengesteld aan die van het uitgezonden
lichtquantum.
Opgave 2 Als een natriumatoom (atoomgewicht 23, atomaire massa-eenheid = 1:66 10;27 kg) in rust een lichtquantum met een golengte van 589 nm absorbeert, wat is dan
zijn snelheid na de absorptie?
Het idee dat een lichtquantum behalve energie ook impuls met zich meedroeg werd in
1922 experimenteel bevestigd door Compton10. Hij verstrooide Rontgenstralen aan stil-
Figuur 2.7: Arthur Compton
staande elektronen. Aangezien het elektron een duw van het lichtquantum krijgt zal het
kinetische energie hebben na de botsing en dus moet het lichtquantum energie verliezen
in het verstrooiingsproces. De verstrooide Rontgenstralen zijn dus rood verschoven en uit
een combinatie van energie-en impulsbehoud volgt voor de golengteverschuiving van de
verstrooide Rontgenstralen,
= h (1 ; cos );
(2.12)
mc
met m de massa van het elektron en de verstrooiingshoek (zie g. 2.6). Compton schreef:
\The experimental support of the theory indicates very convincingly that a radiation quantum carries with it directed momentum as well as energy". Dit resultaat veroorzaakte de
denitieve doorbraak van Einsteins ideeen.
2.3 Bohr
Er lag nog een gebied in de fysica waar de klassieke fysica geen uitkomst bood. Dit was
de atoomfysica.
2.3.1 Voorgeschiedenis
Aan het eind van de negentiende eeuw was het duidelijk dat materie was opgebouwd uit
atomen. In 1899 had J.J. Thomson aangetoond dat atomen in staat waren elektronen
10 A.H. Compton, Physical Review, 21, 483 (1923).
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
14
Figuur 2.8: Niels Bohr
uit te zenden. Omdat een elektron negatief geladen is en een atoom elektrisch neutraal
is moeten er ook positieve ladingen in een atoom zitten. Hoe zit zo een atoom dan in
elkaar? Naar aanleiding van de verstrooiingsexperimenten van P.H. Geiger en E. Marsden
stelde E. Rutherford in 1911 voor dat de positieve lading (en bijna alle massa) van een
atoom zich in een heel klein deel van het atomaire volume bevindt (zie g. 2.9). Hij stelde
Figuur 2.9: Rutherfords atoommodel waarin elektronen (e) in
een baan rond de kern (k) lopen.
voor het atoom als een soort zonnestelsel te beschouwen waarin de elektronen de rol van
planeten spelen en de kern de rol van de zon. In plaats van door gravitatie wordt het
atoom bijeengehouden door de Coulombwisselwerking.
Het waterstofatoom is het eenvoudigste atoom. Hier draait een elektron rond de kern;
dit probleem is in de klassieke fysica exact oplosbaar; het is het Kepplerprobleem uit de
hemelmechanica: het elektron doorloopt een ellipsvormige baan met de kern in een van
de brandpunten. Anderzijds volgt uit de klassieke fysica dat het elektron, omdat het
geladen is, als zendertje gaat werken en straling uitzendt met een frequentie gelijk aan
zijn omloopfrequentie. Dit kost energie en die wordt opgebracht door het elektron. Het
systeem is dus niet stabiel. Volgens de Maxwelltheorie van het elektromagnetisme gaat
het elektron een baan beschrijven die steeds dichter bij de kern komt. De omloopfrequentie
neemt dan toe zodat ook de frequentie van de uitgezonden straling toeneemt. Tenslotte
valt het elektron op de kern. We weten dat dit niet waar is; atomen zijn stabiel en het
spectrum van licht dat door een atoom wordt uitgezonden is allerminst continu maar
bestaat uit een beperkt aantal spectraallijnen. Wat is er mis?
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
15
Figuur 2.10: Lijnenspectrum van waterstof in het zichtbare deel van het spectrum.
2.3.2 Lijnenspectra
Het feit dat de spectra van atomaire dampen niet continu was maar uit discrete lijnen
bestond was al sinds Newton bekend. In 1885 vond de Zwitser J.J. Balmer een eenvoudig
verband tussen de golengten van de vier zichtbare lijnen in het spectrum van waterstof.
Hij schreef,
2
= p n2 n; 22 nm; (n 3)
(2.13)
met n = 3; 4; 5; 6 en p = 364:56 nm. Op grond van dit resultaat voorspelde Balmer
het bestaan van spectraallijnen in het ultraviolette deel van het spectrum overeenkomend
met n = 7; 8; : : :. Het bleek dat een zevental van deze voorspelde lijnen al in 1880 was
waargenomen door de astronoom W. Huggins.
Vergelijking (2.13) kunnen we omschrijven in een iets transparantere vorm,
1 = 41 ; 1 (2.14)
p 22 n2 = R 212 ; n12 :
(2.15)
Het is duidelijk dat de golengte een benedenlimiet (364.56 nm) en een bovenlimiet
(656.2 nm) heeft. Balmer's ontdekking stimuleerde een zoektocht naar regelmatigheden
in spectra van andere elementen; het duidelijkst kwamen die naar voren in de spectra van
de alkali-atomen natrium en kalium. Op basis van metingen van Angstrm aan waterstof
vond Rydberg voor de constante R de waarde R = 109721:6 cm;1.
Een kort intermezzo
Frequentie-eenheden
We zijn gewend frequenties uit te drukken in Hertz. De frequenties van zichtbaar
licht zijn echter zeer hoog (tussen 42 en 75 THz) en het is vaak aangenamer om wat
hanteerbaarder getallen te gebruiken (dit gebruik is alleen op historische gronden
te rechtvaardigen). Er bestaat een andere frequentie-eenheid de inverse centimeter
(cm;1 ) met
1 cm;1 = 30 GHz:
(2.16)
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
16
Hierbij wordt gebruik gemaakt van de relatie tussen frequentie en golengte ,
= c=. Je ziet dan dat = 30 GHz = 1 cm;1 als = 1 cm; evenzo geldt dat =3000
GHz = 100 cm;1 als = 0.01 cm. Voor het zichtbare deel van het elektromagnetisch
spectrum (400 < < 700 nm) geldt 14000 < < 25000 cm;1 .
Einde intermezzo
2.3.3 Atoommodel van Bohr (1913)
Het bestaan van lijnenspectra gaf aan dat een atoom alleen bepaalde frequenties kan
uitzenden. Het atoom kan dus alleen energie verliezen in goed bepaalde brokjes. Het is
dan ook niet zo merkwaardig om te veronderstellen dat de mogelijke energieen Ei ; Ej ; : : :
van het elektron in een atoom alleen bepaalde waarden kunnen aannemen zodanig dat
Ej = Ei + h;
(2.17)
met h de constante van Planck. Zo ontstaat een beeld waarin de hypothesen van Bohr
aannemelijk lijken. Merk op dat er geen theoretisch kader voor deze hypothesen bestond
en dus was de stap van Bohr een stoutmoedige.
Hypothese 3 Er bestaat een discrete verzameling stationaire elektronbanen in een atoom.
Hypothese 4 Er wordt geen straling uitgezonden zolang het elektron zich in een stationaire baan bevindt.
Vergelijking (2.17) is eigenlijk niets anders dan wat Planck had voorgesteld namelijk dat
de energie van een oscillator alleen kan toe- of afnemen met quanta h . De oscillatoren van
Planck zijn bij Bohr atomen geworden. We gaan nu het resultaat van Balmer (vgl. (2.15))
in frequentie-eenheden schrijven,
1 1
hc
h = = hcR 22 ; n2 : (n 3)
(2.18)
Als we vgln. (2.17) en (2.18) met elkaar vergelijken zien we bijna onmiddellijk dat het
logisch is de energieen van de stationaire elektronenbanen als volgt te kiezen,
En = ; hcR
(2.19)
n2 ; (n 3)
(2.20)
E2 = ; hcR
4 :
We kiezen het nulniveau van de energie daar waar de elektronen ongebonden zijn. Voor
gebonden toestanden is de energie dan negatief. Hoe kleiner n hoe lager de energie.
Op grond van de klassieke fysica kunnen we dan een aantal parameters in het Bohrse
waterstofatoom uitrekenen (zie g. 2.11).
We nemen dan aan dat het elektron de meest naar binnen gelegen baan doorloopt
met straal a0 . We kunnen dan de centripetale kracht F = mv2 =a0 gelijk stellen aan de
elektrostatische kracht F = e2 =(40 a20 ),
mv2 = e2 :
(2.21)
a0 40 a20
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
17
Figuur 2.11: Elektron in een
cirkelbaan rond een proton.
Hieruit volgt dat
2
mv2 = 4e a :
(2.22)
0 0
De totale energie is gelijk aan de som van de kinetische 12 mv2 en potentiele (elektrostatische) energie e2 =(40a0 ),
2
(2.23)
E = 21 mv2 ; 4e a ;
0 0
waarvoor we met behulp van vgl. (2.21) kunnen schrijven,
E = ; 21 mv2 ;
(2.24)
2
(2.25)
= ; e :
80 a0
Aangezien dit de totale energie in de laagste elektronbaan is mogen we deze energie gelijk
stellen aan E1 uit vgl. (2.19),
2
;hcR = ; 8e a :
(2.26)
0 0
We kunnen nu de straal van de eerste Bohrse baan a0 uitrekenen,
2
(2.27)
a0 = 8ehcR :
0
Gebruik makend van de door Rydberg gevonden waarde van de parameter R (de Rydbergconstante) vinden we a0 = 0:53 10;10 m. Voor hoger gelegen banen (met label
n) vervangen we vgl. (2.21) door
mvn2 = e2 ;
(2.28)
an 40 a2n
en vgl. (2.25) door
2
(2.29)
En = ; 8e a ;
0 n
(zie g. 2.3.3) waaruit volgt voor de straal van de hoger gelegen Bohrse banen
2
e
an = 8 hcR n2 ;
(2.30)
0
en voor de snelheid
s
1
vn = n 2hcR
(2.31)
m :
We zien dus dat de straal van een Bohrse baan evenredig is met n2 ; de snelheid van het
elektron in die baan is omgekeerd evenredig met n.
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
18
Figuur 2.12: Energieniveuas en
stralende overgangen volgens het
Bohr-model voor waterstof.
Berekening van de Rydbergconstante; klassieke limiet
De omloopfrequentie f van het elektron in een Bohrse baan is gelijk aan de snelheid
gedeeld door de omtrek, dus
f = 2vna :
(2.32)
n
In de klassieke fysica is de omloopfrequentie gelijk aan de frequentie van het uitgezonden
licht. Dit resultaat moet weer goed zijn als de energie- opsplitsingen tussen de niveaus
voldoende klein zijn. Een quantummodel moet immers altijd overgaan in een klassiek
model (correspondentieprincipe) in een limiet waar je de opsplitsingen van de energieniveaus nauwelijks meer ziet. Dus als n maar groot genoeg is moeten de quantumeekten
verdwijnen. Laten we dus gaan kijken naar de energieverschillen E tussen nabijgelegen
niveaus n en n ; 1,
1
;
E = hcR
2
(n ; 1) n2
;1 :
= hcR (n2;n 1)
2 n2
1
!
(2.33)
(2.34)
Bij grote waarden van n mogen we dit benaderen als
(2.35)
E = 2hcR
n3 : (n groot)
Aangezien we nu de klassieke omloopfrequentie (vgl. 2.32) gelijk mogen stellen aan de
frequentie E=h die overeenkomt met de energie-opsplitsing volgens vgl. (2.35) zien we
dat,
vn = 4cR :
(2.36)
a
n3
n
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
19
Met vgln. (2.30) en (2.31) volgt dan een uitdrukking voor de Rydbergconstante in termen
van uitsluitend natuurconstanten,
4
R = 8me
2 h3 c :
0
(2.37)
De numerieke waarde van de Rydbergconstante is R = 109737:3177 cm;1. We kunnen nu
ook de straal van de Bohrse baan en de snelheid van hel elektron in zo'n baan uitrekenen,
2 2
0h n
2
an = me
2 = n a0 ;
2
vn = 2ehn = vn0 ;
(2.38)
(2.39)
0
met a0 = 0:529 10;10 m de straal van de eerste Bohrse baan en v0 = 2:2 106 m/s de
snelheid van het elektron in die baan. We kunnen ook uitrekenen de baanimpuls `n van
het elektron in de ne Bohrse baan,
`n mvn an = nh :
(2.40)
We zien dus dat in het model van Bohr de baanimpuls gequantiseerd is in eenheden h .
Bohrs model heeft als consequentie dat het spectrum van waterstof meer lijnen moet
bevatten dan de serie van Balmer (zie g. 2.13). Laatstgenoemde komt overeen met
sprongen van het elektron van een baan met n 3 naar een baan met n = 2. In het
algemeen zijn er dus series lijnen met,
!
i!j = cR j12 ; i12 : (i > j )
(2.41)
De serie met j = 2 is de serie van Balmer; die met j = 1 heet de Lymanserie (deze ligt in
zijn geheel in het verre UV en werd door Lyman in 1914 ontdekt). De series met j = 3
was al in 1908 door Paschen waargenomen; die met j = 4; 5 werden in 1922 en 1924 door
respectievelijk Brackett en Pfund waargenomen. Bovendien kon Bohr twee reeksen lijnen
verklaren die waren waargenomen in het spectrum van de ster \ Puppis" en die later ook
in gasontlading van een helium-waterstofmengsel werden gezien. Deze kwamen overeen
met
1 1
= 4cR 42 ; n2 ; (n 5)
(2.42)
= 4cR 312 ; n12 : (n 4)
(2.43)
Hier is de voorfactor 4cR in plaats van cR zoals in vgl. (2.18) voor waterstof. Bohr11.
kende deze series toe aan enkelvoudig geoniseeerd helium (He+ ).
11 Voor een atoom met een kern met Z protonen is de kernlading Ze. In vergelijkingen (2.18) tot en
met (2.31) hoeven we alleen de volgende substitutie uit te voeren: e2 Ze2 . Via vgl. (2.36) kunnen we
)
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
20
Figuur 2.13: Energienveaus
in het waterstofatoom en
een aantal lijnenseries in
het spectrum van waterstof.
De hier aangegeven Balmer
serie staat weergegeven in
g. 2.10. Vergelijk ook met
g. 2.3.3
2.3.4 Reacties op het atoommodel van Bohr
Bohrs model werd in het algemeen zeer goed ontvangen. Einstein reageerde met: \Heel
opmerkelijk! Hier moet wel iets in zitten. Ik geloof niet dat het toevallig is dat de absolute
waarde van de Rydbergconstante goed uitkomt". Jeans reageerde met \De resultaten van
Bohr zijn te opmerkelijk om ze als toeval af te doen" Hij vond de theorie van Bohr \een
zeer ingenieuze, suggestieve en, ik denk dat we moeten zeggen, overtuigende verklaring
van de wetten van de spectrale lijnseries". Bohr zelf vond zijn theorie niet meer dan
een voorlopige en hypothetische manier om een aantal experimentele feiten voor te stellen
zonder verklaring in termen van klassieke fysica. Hij wilde dat laatste ook niet proberen 12.
Het model van Bohr was weliswaar zeer succesvol maar riep minstens zo veel vragen
op als het beantwoorde (waarschijnlijk zelfs meer). Waarom bestaan er stationaire banen?
Wat betekent de quantisatie van de energie en het impulsmoment? Het antwoord op deze
vragen liet lang op zich wachten.
2.3.5 Experiment van Franck en Hertz
In 1914 deden J. Franck en G. Hertz een baanbrekend experiment waarin Bohrs hypothesen op elegante wijze werden getoetst. Zij gebruikten een vacuumbuis gevuld met een
lage druk kwikdamp (zie g. 2.14). De elektrode C zendt laag-energetische elektronen
uit die versneld worden in het elektrisch veld tussen de kathode C en de roosteranode A
(potentiaalverschil V ). Een fractie van de elektronen passeert door de openingen in het
rooster A en bereikt de plaat P als de kinetische energie voldoende groot is om tegen het
dan opnieuw de Rydbergconstante uitrekenen; dit geeft
2 e4
R = 8mZ
2
0 h3 c ;
(2.44)
een waarde die dus Z 2 keer zo groot is als die van waterstof. Voor He+ (twee protonen) geldt Z 2 = 4;
dit verklaart de voorfactor 4 in vgln. (2.42) en (2.43). Uit vgln. (2.38) en (2.39) volgt dat de straal van
de Bohrse baan schaalt met Z ;1 en de baansnelheid met Z .
12 M.Jammer: The conceptual development of quantum mechanics, McGraw-Hill (1966).
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
21
Figuur 2.14: Schematische voorstelling van de vacuumbuis van Franck en Hertz en het
resultaat van hun metingen aan een kwikdamp.
zwakke tegenveld (potentiaalverschil Vr ) tussen A en P op te lopen. In het experiment
wordt de elektronenstroom die P bereikt gemeten als functie van het potentiaalverschil
V . Het resultaat van het experiment staat weergegeven in g. 2.14. Bij lage waarden van
de versnelspanning V neemt de stroom I toe met V . Als V = 4:9 Volt stort de stroom in
elkaar en voor grotere waarden van V neemt de stroom weer toe.
Een elektronvolt (1 eV) is de hoeveelheid energie die een lading ter
grootte van die van een elektron (1:6 10;19 Coulomb) opdoet als
het een potentiaalverschil van 1 Volt doorloopt. Hieruit volgt dat
1eV = 1:6 10;19 J:
We kunnen dan de golengte van het door het kwikatoom uitgezonden licht na een botsing met een elektron met een kinetische
energie van 4.9 eV als volgt uitrekenen:
= hcE ;
met E = 4.9 eV. Hieruit volgt inderdaad dat = 253:6nm.
Figuur 2.15: Enkele energienivo's in het kwikatoom die van belang zijn
voor het begrijpen van de
resultaten van Franck en
Hertz (zie g. 2.14).
De interpretatie van deze stroom-spanningscurve gaat als volgt. Blijkbaar is er wisselwerking tussen de elektronen en de kwikatomen als eerstgenoemden een (kinetische)
energie van 4.9 eV (elktronvolt) hebben. Bij lagere waarden van de kinetische energie
HOOFDSTUK 2. QUANTUMHYPOTHESEN
22
is die wisselwerking er niet. Als de elektronen voldoende energie hebben slaan zij de
kwikatomen aan en verliezen daarbij hun kinetische energie; zij kunnen dan niet tegen het
potentiaalverschil Vr oplopen. Bij verdere vergroting van V pikken de elektronen tussen
C en A na deexcitatie weer voldoende kinetische energie op om toch de collector P te
bereiken. De tweede instorting van de stroom vindt plaats als de elektronen na een eerste
de-exciterende botsing nog een tweede inelastische botsing kunnen meemaken; ook dan
hebben zij te weinig kinetische energie over om de collector te bereiken. Dit experiment
is volledig consistent met het model van Bohr als we aannemen dat de eerste aangeslagen
toestand van het kwikatoom 4.9 eV boven de grondtoestand ligt. Dan moet er ook een
lijn in het emissiespectrum van kwik zijn die overeenkomt met het zojuist aangegeven
energieverschil tussen stationaire toestanden. Die bestaat inderdaad bij een golengte
van = 253:6 nm.
Hoofdstuk 3
Op weg naar de quantummechanica
Vanzelfsprekend speelde de klassieke fysica een belangrijke rol in de ontwikkeling van de
quantummechanica ondanks het feit dat de klassieke fysica blijkbaar niet altijd voldeed.
Dit niet voldoen maakte het invoeren van quantumconcepten juist noodzakelijk. We
hebben gezien dat het Bohr lukte met een heel simpel klassiek model plus een aantal
quantumhypothesen een uitstekende verklaring te vinden voor de golengten van de lijnen
in het spectrum van het waterstofatoom. Planck gebruikte zo veel mogelijk klassieke
fysica en introduceerde een quantumhypothese. Natuurlijk moet de quantummechanica
ook aansluiten bij de klassieke fysica; de klassieke fysica moet terugkeren als limietgeval
van de quantumfysica.
3.1 Correspondentieprincipe van Bohr
Net zoals de (speciale) relativiteitstheorie van Einstein in de limiet v=c ! 0 overgaat in
de klassieke mechanica moet de quantummechanica in de juiste limiet ook overgaan in
de klassieke fysica. De quantumaspecten die we tot nog toe zijn tegengekomen zijn een
gevolg van het eindige energiequantum = h . Het lijkt dus niet onredelijk aan te nemen
dat de quantummechanica en de klassieke mechanica aan elkaar aansluiten in de limiet,
h ! 0:
(3.1)
Bij vaste betekent dit dat de energie van het lichtquantum verwaarloosbaar klein wordt.
Dan kunnen we de energie van een systeem met oneindig kleine stapjes laten toenemen
geheel in overeenstemming met de klassieke fysica.
Als voorbeeld van het nemen van deze limiet gaan we terug naar de stralingswet van
Planck (vgl. (2.5)). In de limiet h ! 0 geldt
hc 1;
kT
en kunnen we de stralingswet van Planck benaderen,
!
1
2
h
(3.2)
M d = c2 5 exp(hc=kT ) ; 1 d ! M d = 2ckT
3 4 ;
precies de klassieke stralingswet zoals die door Rayleigh en Jeans was gegeven. Laatstgenoemde stralingswet is in overeenstemming met de experimentele resultaten in de limiet
23
HOOFDSTUK 3. OP WEG NAAR DE QUANTUMMECHANICA
24
van grote golengten. We zien dus dat een klassieke stralingswet tevoorschijn komt als
we de klassieke limiet van een quantumwet nemen.
In de berekening van de Rydbergconstante R (zie vgl. (2.37)) legde Bohr een verbinding
tussen het quantumresultaat (vgl. (2.35)) en het klassieke resultaat (vgl. (2.30)). Hier
was de aanname dat het quantumgetal n groot was. In dat geval liggen de niveaus met
quantumgetal n en n ; 1 vlak bij elkaar. Opnieuw is de korreligheid in de energie dan
zowat verdwenen; dan is het ook aannemelijk dat de klassieke fysica het goed doet.
De aansluiting van de quantumfysica met de klassieke fysica is door Bohr in 1923 via
het correspondentieprincipe gepostuleerd.
Hypothese 5 De voorspellingen over het gedrag van een systeem op grond van de quantummechanica moeten overeenstemmen met die van de klassieke mechanica in de limiet
waarin de quantumgetallen die de toestand van het systeem beschrijven zeer groot zijn.
Als toepassing van het correspondentieprincipe beschouwen we nu de harmonische oscillator.
Figuur 3.1: Links: zwaartekrachtslinger bestaande uit een massa m = 0:01 kg hangend
aan een gewichtloos koord met lengte L = 10 cm. De maximale hoek die de slinger
maakt met de verticaal is 0.1 rad. Rechts: klassieke en quantummechanische energietoestanden van de harmonische oscillator. Klassiek zijn alle energien togestaan; de totale
energie wordt bepaald door de beginuitwijking en de beginsnelheid. Deze zijn allebeide
willekeurig. De quantummechanische harmonische oscillator kent een discrete verzameling
toegestane energien. De energienivo's zijn equidistant, d.w.z. het energieverschil tussen
opeenvolgende nivo's is overal gelijk. De toestand van laagste energie komt niet overeen
met een deeltje dat stilstaat onderin de put. Het deeltje beweegt nog: deze beweging heet
de nulpuntsbeweging. De daarmee gepaard gaande energie heet de nulpuntsenergie.
De zwaartekrachtslinger
Laten we eens kijken wat het correspondentieprincipe inhoudt voor een harmonische
oscillator (mathematische slinger, zie g. 3.1). Uit de klassieke fysica volgt voor de
oscillatiefrequentie ,
r
= 21 Lg ;
(3.3)
met g de zwaartekrachtsversnelling (g = 9:8 m/s2 ). Bij een koordlengte L = 10 cm
geldt = 1:6 Hz.
HOOFDSTUK 3. OP WEG NAAR DE QUANTUMMECHANICA
25
De totale energie van de slinger van g. 3.1 is gelijk aan de potentiele energie in de
uiterste stand ( = 0:1 rad.),
mgh = mgL(1 ; cos ) 5 10;5 J:
(3.4)
Met behulp van vgl. (3.3) kunnen we het energiequantum h uitrekenen:
h 10;33 J:
We zien dus dat de korreligheid van de energie extreem klein is in verhouding tot de
totale energie van de slinger. Bij dit macroscopische systeem speelt de quantisatie
van de energie een onzichtbare rol.
De relatieve beweging van de twee waterstofatomen in een waterstofmolekuul wordt
gewoonlijk beschreven als een harmonische oscillator. De trillingsfrequentie van deze
harmonische oscilator is 4134 cm;1 =124 THz. In dit geval is het energiequantum
niet te verwaarlozen, h = 8:2 10;20 J. De energie die nodig is om het molekuul
uiteen te rukken is ongeveer 2 10;18 J, slechts een factor 30 groter dan het vibratiequantum.
3.2 De Broglie
Figuur 3.2: Louis Victor de
Broglie
Een nieuwe grote stap werd in 1923 gezet door Louis De Broglie die de ideeen van
Einstein over lichtquanta uitbreidde. Naast het deeltjesaspect van licht, voorheen als
golfverschijnsel beschouwd, poneerde hij voor deeltjes een golfkarakter. Net als in het
geval van licht is het noodzakelijk de passende beschrijving te kiezen; bij wat meestal
deeltjes heten te zijn moeten we in sommige gevallen het golfaspect beschouwen.
Volgens De Broglie geldt zowel voor straling als materie dat de totale energie gerelateerd is aan de frequentie van de toegevoegde golf via
E = h;
en de impuls p aan de golengte van de golf via
(3.5)
p = h ;
HOOFDSTUK 3. OP WEG NAAR DE QUANTUMMECHANICA
26
in overeenstemming met vgl. (2.11) die door Einstein was ingevoerd voor het impuls van
een lichtquantum.
Vergelijking (3.5) wordt meestal omgeschreven als
T = hp ;
(3.6)
met T de de broglie golflengte van een deeltje. De De Broglie golengte is dus
alleen gedenieerd voor een bewegend deeltje.
Laten we de De Broglie golengte van het elektron in de laagste toestand van
het waterstofatoom uitrekenen. Volgens vgl. (2.24) is de kinetische energie Ekin
van het elektron in de eerste Bohrse baan gelijk aan minus
de bindingsenergie
p
E1=-13.54 eV. Gebruik makend van het feit dat p = 2mEkin (zie vgl. (2.9))
berekenen we
T = 3:3 10;10 m:
Je ziet dat T van gelijke orde is als de straal a0 van de eerste Bohrse baan
(a0 = 0:53 10;10 m).
Voor macroscopische lichamen is de De Broglie golengte buitengewoon klein.
3.2.1 Reacties en consequenties
Ook het postulaat van De Broglie veroorzaakte veel ophef. Men vroeg zich af of deze golven wel bestonden. Einstein was enthousiast en geloofde dat er meer aan vast zat dan een
aardige analogie met het lichtquantum. De fysische realiteit van het golfkarakter van materiedeeltjes werd aangetoond in een serie experimenten van C. Davisson en medewerkers,
nu bekend als het experiment van Davisson en Germer (1927)1. Zij verstrooiden elektronen met goed gedenieerde kinetische energie aan een Nikkel eenkristal en bestudeerden
de hoekverdeling van de achterwaarts verstrooide elektronen. Bij een kinetische energie
van 54 eV vonden zij een sterke piek onder een strooihoek van 500. Deze piek verdween
bij verandering van de kinetische energie van de elektronen. Nu was de roosterconstante
van het eenkristal bekend (0.215 nm). Door nu de verstrooiing van de elektronen te behandelen als verstrooiing van Rontgenstralen konden Davisson en Germer de equivalente
golengte bepalen: = 0:165 nm. Deze golengte stemde uitstekend overeen met de De
Broglie golengte voor elektronen met een kinetische energie van 54 eV.
De Broglie golengte en het model van Bohr
Uitgaande van vgl. (2.39) voor de snelheid van het elektron in de ne Bohrse baan kunnen
we de bijpassende De Broglie golengte uitrekenen via = h=mv,
2
n = 2hme02n ;
(3.7)
2 2
0h n
n = 2n me
(3.8)
2;
n = 2nan ;
(3.9)
1 C.J. Davisson and L.H. Germer, Physical Review, 30, 705 (1927).
HOOFDSTUK 3. OP WEG NAAR DE QUANTUMMECHANICA
27
waarbij we gebruik hebben gemaakt van vgl. (2.38). Nu is 2 an de omtrek van de Bohrse
baan en vgl. (3.9) geeft dus weer dat de omtrek van de ne Bohrse baan gelijk is aan n
De Broglie golengten van het elektron in die baan (zie g. 3.3). De golf-deeltjes dualiteit
Figuur 3.3: Bohrse banen met
passende De Broglie golven.
was nu volledig. Er was echter nog geen quantumtheorie.
3.3 De golf-deeltje paradox
Met het postulaat van De Broglie was de cirkel rond. Tot 1900 bestond er een ondubbelzinnige scheiding tussen aan de ene kant een golfverschijnsel (b.v. licht) en aan de andere
kant uit deeltjes opgebouwde materie (b.v. atomen). Met name door Planck en Einstein
was aangetoond dat de golfbeschrijving van elektromagnetische straling (licht) bij een
aantal verschijnselen niet voldeed en vervangen moest worden door een beschrijving in
termen van lichtquanta (fotonen). Deze fotonen hebben een goed gedenieerde energie
(E = h ), impuls (p = h=) en kunnen zowel energie als impuls overdragen aan materie
als ze daarmee in wisselwerking zijn. Anderzijds was door De Broglie gepostuleerd dat
je aan materie-deeltjes met impuls p ook een golengte kunt toekennen met = h=p,
hetzelfde verband tussen impuls en golengte als bij de fotonen.
Al gauw komt dan de vraag op: \Zijn het nu deeltjes of golven?" Daar kun je
ontzettend lang over discussieren zonder een antwoord te vinden. De vraag is zinloos.
Bij zowel deeltjes als golven kunnen we ons iets voorstellen en het is nu eenmaal noodzakelijk verschijnselen te verklaren in termen van wat we ons kunnen voorstellen. Het is
voldoende als we elk verschijnsel kunnen verklaren in termen van deeltjes of golven.
We moeten ons wel afvragen of we het allemaal nog begrijpen. Wat betekent de
beschrijving van licht in termen van fotonen voor zoiets als een interferentieverschijnsel?
3.3.1 Twee-spleten experiment van Young
Fotonvariant
Een van de zeer beroemde experimenten in de golfoptica is het experiment van Young
(zie g. 3.4). Als d L wordt het interferentiepatroon op het scherm gegeven door
een intensiteitsverdeling,
!
xd
2
I = 4I0 cos L ;
(3.10)
met I0 de intensiteit op het scherm als een spleet gesloten is. Op het scherm bestaat
dus een patroon van lichte en donkere strepen. In de golfoptica verklaren we dit als een
HOOFDSTUK 3. OP WEG NAAR DE QUANTUMMECHANICA
28
6
I/I0
4
2
0
-2
-10
0
10
xd/λL
Figuur 3.4: Links: opstelling voor het zichtbaar maken van interferentieverschijnselen
bij licht (golengte ) met behulp van een puntbron en twee nauwe spleten op onderlinge
afstand d. Het interferentiepatroon wordt waargenomen op een scherm dat op een afstand
L staat van de twee spleten. Rechts: interferentiepatroon op het scherm als functie van
de coordinaat x.
gevolg van constructieve en destructieve interferentie. De intensiteit van het licht is een
afgeleide grootheid; we moeten rekenen met de veldsterkten van het elektromagnetische
veld (de intensiteit is evenredig met het kwadraat van de elektrische veldsterkte). In het
punt P (x = 0, symmetrisch t.o.v. de spleten) interfereren de golven constructief want
de weglengte tussen de bovenspleet en P is gelijk aan die tussen de onderspleet en P. De
veldsterkte in P is dus tweemaal zo groot als dat hij zou zijn als maar een spleet openstond.
Om de veldsterkte in het punt Q (coordinaat x) te berekenen moeten we kijken naar het
weglengteverschil = DQ ; EQ (zie g. 3.4). Als = =2 is er destructieve interferentie
in Q en dus is daar de veldsterkte gelijk nul; als = is er constructieve interferentie
in Q. We zien dus dat we steeds het veld uitrekenen als som van twee velden (afkomstig
van de twee bronnen) die ondeling een plaatsafhankelijk faseverschil hebben. Door dit
faseverschil is er variatie in de sterkte van het totale veld en dus van de totale intensiteit.
Hoe moeten we hiermee omgaan in termen van fotonen? Als je aan fotonen denkt denk
je aan energiepakketjes en niet aan velden. Om het twee-spleten experiment netjes uit te
voeren in een fotoncontext wil je eigenlijk met maar een foton tegelijk werken. Je moet
dan de lichtintensiteit heel sterk verminderen (dit is een extreem lage lichtintensiteit!).
Het lijkt logisch te zeggen dat het foton maar door een spleet gaat, of door de bovenste
of door de onderste. Einstein vond dit vanzelfsprekend en argumenteerde als volgt: \Stel
het foton gaat door de bovenste spleet. Dan maakt het niet uit of ik de onderste spleet
bedek of niet". De lichtverdeling achter een spleet ziet er echter heel anders dan die voor
twee spleten. Als je met Einstein meegaat zou je moeten concluderen dat er bij zeer lage
intensiteiten geen interferentiepatroon overblijft.
Je kunt dit experiment doen. Wat je ziet is dat een foton inderdaad geen interferentiepatroon oplevert maar om een triviale reden. Een foton kan maar een korrel op een lm
zwarten. Maar, als je dit experiment gedurende lange tijd voortzet met steeds maar een
foton tussen bron en scherm verschijnt op den duur het interferentiepatroon van Young.
De golfoptica is dus correct en Einsteins redenering gaat dus niet op.
HOOFDSTUK 3. OP WEG NAAR DE QUANTUMMECHANICA
29
Kun je dan nog wel zeggen dat het foton door de ene of de andere spleet gaat? Het
antwoord is nee! Je moet concluderen dat het foton altijd door beide spleten gaat!
Wat mag je dan nog wel zeggen in termen van fotonen? Het zal blijken dat het
golfoptische interferentiepatroon mag worden gezien als een waarschijnlijkheidsverdeling
voor de positie van de fotonen op het scherm. Daar waar de golfoptica destructieve
interferentie voorspelt komen ook werkelijk geen of heel weinig fotonen terecht.
Elektronvariant
Figuur 3.5: Links: Twee-spleet interferentiepatroon voor elektronen (de verticale strepen
in het midden). Rechts: Resultaten van een twee-spleten experiment met elektronen bij
toenemende duur van de meting. Als weinig elektronen het apparaat hebben doorlopen
herken je geen patroon. Hun ruimtelijke verdeling lijkt willekeurig. Het interferentiepatroon wordt pas duidelijk als voldoende elektronen hebben meegedaan. Van boven naar
beneden neemt de belichtingstijd toe.
Als we het postulaat van De Broglie serieus nemen moet het ook mogelijk zijn een
twee-spleet experiment met thermische elektronen (Ekin kT ) uit te voeren. Zulke
experimenten zijn ook gedaan (zie g. 3.5). Het resultaat komt volledig overeen met de
optische variant. Ook hier kunnen we de elektronenstroom verminderen totdat er maar
een elektron aanwezig is (zie g. 3.5). Ook hier lijkt de positie waar elk individueel elektron
terecht komt zuiver door toeval bepaald. Als we echter naar het resultaat van een groot
aantal elektronen kijken dan krijgen we het interferentiepatroon terug. Het golfkarakter
is dus iets wat aan elk individueel elektron kleeft.
Hoofdstuk 4
Quantumtheorie
4.1 Heisenberg
Ondanks de successen van de quantummechanica bij het oplossen van een aanzienlijk
aantal problemen in de atoomfysica was zij tot aan het begin van het jaar 1925 een betreurenswaardig mengelmoes van hypothesen, recepten, principes, theorema's en rekentrucs, en allerminst een logisch consistente theorie1 . Om een nieuw probleem aan te
pakken moest dit probleem eerst worden opgelost met behulp van de klassieke fysica. Dan
moesten de klassieke oplossingen \gezeefd" worden door de op te leggen quantumvoorwaarden of via het correspondentieprincipe van Bohr. Het vinden van de juiste vertaling
vereiste een groot talent in het raden van oplossingen. In het geval van het waterstofatoom
voorspelde de klassieke fysica dat de frequentie van de uitgezonden straling overeenkomt
met de omloopfrequentie van het elektron rond de kern. Dit was niet in overeenstemming
met het experiment. Bohr had hier het geschikte quantumlter voor gevonden en had de
klassieke oplossingen zo in een \quantumjasje" geperst. Werner Heisenberg deed in 1925
Figuur 4.1: Werner Heisenberg
afstand van deze methode2. Zijn artikel begint als volgt:
\Op de regels die in de quantumtheorie worden gebruikt om waarneembare
grootheden zoals de energieen van het waterstofatoom te berekenen kan men,
zoals bekend, kritiek leveren op grond van het feit dat zij gebaseerd zijn op
1 M. Jammer, The conceptual foundations of quantum mechanics, McGraw-Hill (1966).
2 W. Heisenberg, Zeitschrift fur Physik, 33, 879 (1925).
30
HOOFDSTUK 4. QUANTUMTHEORIE
31
verbanden tussen grootheden zoals positie en omlooptijd van het elektron, die
blijkbaar principieel niet kunnen worden waargenomen. Deze regels hebben
dus geen duidelijke fundering tenzij men wil blijven hopen dat de grootheden
die tot nu toe niet konden worden waargenomen op den duur experimenteel
meetbaar zullen blijken te zijn. Men zou deze hoop kunnen rechtvaardigen als
de eerder genoemde regels intern consistent zouden zijn en toepasbaar op een
goed gedenieerde verzameling quantummechanische problemen. De ervaring
leert ons dat alleen het vrije waterstofatoom en het waterstofatoom in een
elektrisch veld oplosbaar zijn met de bestaande regels van de quantumtheorie... Het vinden van quantisatieregels voor atomen met meerdere elektronen
is onmogelijk gebleken".
Heisenberg benadrukte dat zelfs bij het eenvoudigste quantummechanische probleem de
klassieke mechanica gewoon niet meer geldt (b.v. bij de frequentievoorwaarde van Bohr
vgl. (2.17)). In dat geval kun je beter toegeven dat het succes van de quantummechanica
in belangrijke mate op toeval berust.
Vervolgens creeerde Heisenberg een nieuw theoretisch recept waar we hier niet op in
kunnen gaan omdat deze methode wiskundig te ingewikkeld is. Heisenberg die in 1925
bij Max Born in Gottingen werkte, vroeg aan Born of deze zijn artikel wilde lezen. Als
hij het relevant vond moest hij het maar naar een tijdschrift opsturen. Born was onder
de indruk van Heisenbergs werk en stuurde het artikel naar het Zeitschrift fur Physik.
Hij schreef aan Einstein: \Het nieuwste werk van Heisenberg ziet er uiterst mystiek uit;
het klopt helemaal en gaat heel diep." Korte tijd later realiseerde Born zich dat Heisenbergs methode niets anders was dan het vermenigvuldigen van matrices. In die tijd
hoorden matrices, in tegenstelling tot nu, niet tot de standaardbagage van een fysicus.
Bij uitzondering had Born daar in zijn studententijd wel kennis mee gemaakt. De quantummechanica van Heisenberg werd nu door Born en Jordan3 in een mooi wiskundig jasje
gestoken. Samen met Heisenberg werd in een volgend artikel het theoretisch fundament
van de quantummechanica als matrixrekening gelegd4.
4.2 Dirac
Figuur 4.2: Paul Dirac
3 M. Born en P. Jordan, Zeitschrift fur Physik, 34, 858 (1925).
4 M. Born, W. Heisenberg en P. Jordan, Zeitschrift fur Physik, 35, 557 (1926).
HOOFDSTUK 4. QUANTUMTHEORIE
32
De onbekendheid van de meeste fysici met matrixmethoden zorgde ervoor dat de
doorbraak van Heisenberg en consorten niet als zodanig werd geapprecieerd. Tegelijkertijd echter werd door Paul Dirac in Engeland een alternatieve beschrijvingswijze voor de
quantummechanica voorgesteld5. Dirac had zich laten inspireren door de eerste publikatie
van Heisenberg. Hij gebruikte een eenvoudiger wiskundig formalisme dan Heisenberg c.s.
en het lukte hem meteen het spectrum van waterstof uit te rekenen. Bovendien lukte het
hem om een elegante connectie te maken met een vrij abstracte, algemene beschrijving
van de klassieke mechanica. In dezelfde week echter liet Wolfgang Pauli zien dat het
spectrum van waterstof ook met de matrixmechanica van Heisenberg c.s. kon worden
uitgerekend. Bovendien liet Pauli zien dat je met de matrixmechanica ook kon uitrekenen
hoe het spectrum van waterstof eruit ziet als het waterstofatoom wordt geplaatst in een
onderling loodrecht elektrisch en magnetisch veld. Dit laatste probleem was in de \oude"
quantummechanica onoplosbaar gebleken.
4.3 Schrodinger
Een geheel andere weg werd op dat moment ingeslagen door Erwin Schrodinger.Hij liet
Figuur 4.3: Erwin Schrodinger
zich door het werk van De Broglie inspireren en vroeg zich af of het mogelijk is een
golfvergelijking op te stellen voor de materiegolven van De Broglie. Het resultaat van zijn
werk was de Schrodinger vergelijking, misschien wel de beroemdste vergelijking uit
de quantummechanica6.
We gaan in het hiernavolgende ons enigszins in de Schrodingervergelijking verdiepen.
4.3.1 De Schrodingervergelijking
We gaan nu eerst terug naar de klassieke mechanica en schrijven de totale energie E van
een bewegende massa m in een veld als de som van kinetische ( 21 mv2 ) en potentiele energie
V,
E = 21 mv2 + V;
(4.1)
2
E = 2pm + V;
(4.2)
5 P.A.M. Dirac, Proceedings of the Royal Society London, A109, 642 (1925).
6 E. Schrodinger, Annalen der Physik 79, 361 (1926); 79, 489 (1926); 80, 437 (1926); 81, 109 (1926).
HOOFDSTUK 4. QUANTUMTHEORIE
33
h +V:
= 2m
(4.3)
2
h
Vergelijking (4.3) legt het verband tussen de frequentie van de golf en de golengte vast. We kennen natuurlijk al het verband tussen frequentie en golengte voor licht. Daar
hebben we
(4.4)
= c :
Als we denken aan een \bewegingsvergelijking" voor De Broglie golven moeten we
een golfvergelijking zoeken die vgl. (4.3) als oplossing heeft. Zo kennen we in het elektromagnetisme een golfvergelijking voor het elektromagnetisch veld die vgl. (4.4) als oplossing heeft. Zo een golfvergelijking bestaat ook voor de uitwijking van een gespannen
snaar. In het algemeen bevatten golfvergelijkingen afgeleiden van b.v. de uitwijking, naar
zowel de plaats als naar de tijd. Vaak zijn dat tweede afgeleiden. In het geval van de
Schrodingervergelijking ontstaat een probleem doordat evenredig is met ;2.
Hier komt een stukje tekst dat een beetje lastig is. Het doel is de
Schrodingervergelijking aannemelijk te maken. Het is geen ramp
als je het volgende niet precies kunt volgen.
We beschouwen een eendimensionaal probleem met een Schrodingergolf die zich voortplant langs de x-as. De oplossing van de Schrodingervergelijking schrijven we als (x; t).
Om de structuur van de vergelijking te kunnen vinden nemen we als oplossing van de
Schrodingervergelijking een lopende golf bij frequentie en golengte ,
(x; t) = A sin[2( x ; t)] + B cos[2( x ; t)]:
(4.5)
Als we (x; t) dierentieren naar de tijd krijgen we een factor 2 , en als we dierentieren
naar de plaats krijgen we een factor 2=. Bovendien geldt cos ) ; sin en sin ) cos.
We kunnen nu aan vgl. (4.4) voldoen als we van (x; t) een keer de afgeleide naar de
tijd nemen en twee keer naar de plaats. De golfvergelijking wordt dan zoiets als
2 (x; t)
@
(
x;
t
)
@
@t = @x2 + V (x; t);
(4.6)
2 (x;t)
waarin @(@tx;t) de afgeleide van (x; t) naar de tijd is en @ @x
de tweede afgeleide van
2
(x; t) naar de plaats. Wij moeten en zo kiezen dat vgl. (4.4) eruit volgt. We kunnen
nu vgl. (4.5) in vgl. (4.6) invullen en krijgen dan twee vergelijkingen, een voor de sinus en
een voor de cosinus,
!
2
4
(4.7)
2 B = ; 2 + V A;
!
2
4
;2 A = ; 2 + V B:
(4.8)
Als we beide vergelijkingen op elkaar delen krijgen we ;B=A = A=B . Oftewel,
A2 = ;B 2 :
(4.9)
HOOFDSTUK 4. QUANTUMTHEORIE
34
We denieren het getal i waarvoor geldt,
i2 = ;1:
Je kunt nu laten zien dat,
1 = ;i:
i
We weten nu de oplossing van vgl. (4.9): A = iB . Voor vgl. (4.7) kunnen we nu schrijven,
!
2
4
(4.10)
2 = i ; 2 + V ;
!
2
V
= i ; 2 + 2 :
(4.11)
Als we nu vgl. (4.11) vergelijken met vgl. (4.3),
h +V;
= 2m
2
h
vinden we,
(4.12)
h = 2
i ;
h = ; 2i :
(4.13)
2m
Gebruik makend van h = h=2 kunnen we nu de Schrodingervergelijking schrijven als,
2 @ 2 (x; t)
@
(
x;
t
)
h
ih @t = ; 2m @x2 + V (x; t):
(4.14)
We hebben de Schrodingervergelijking nu \gevonden" in het geval dat de potentiaal V niet
van de plaats x afhangt. Door die keuze van de potentiaal konden we werken met lopende
golven, die in dat geval ook werkelijk een oplossing van de Schrodingervergelijking geven.
Vergelijking (4.14) blijft echter geldig als V = V (x); vanzelfsprekend zijn de oplossingen
anders dan de lopende golven van vgl. (4.5).
Het is tijd om weer mee te doen.
4.3.2 Tijdonafhankelijke Schrodingervergelijking
Als de potentiaal V (x) waaraan het deeltje met massa m onderhevig is niet van de tijd
afhangt kunnen we een aanzienlijke vereenvoudiging doorvoeren. In veel gevallen, zoals
bijvoorbeeld het probleem van de gebonden toestanden van het elektron in het waterstofatoom, is de potentiaal inderdaad tijdonafhankelijk. In zulke gevallen kan je de tijden plaatsafhankelijkheid van (x; t) scheiden via
(x; t) = (x)(t):
(4.15)
HOOFDSTUK 4. QUANTUMTHEORIE
35
Invullen in vgl. (4.14) geeft als resultaat,
2 @ 2 (t) (x)
@
(
t
)
(
x
)
h
ih @t
= ; 2m @x2 + V (x)(t) (x);
(4.16)
2
2
ih (x) @@t(t) = ; 2hm (t) @ @x(2x) + V (x)(t) (x);
(4.17)
ih @(t) = ; h 2 @ 2 (x) + V (x);
(4.18)
(t) @t
2m (x) @x2
waarbij we gebruik hebben gemaakt van de kettingregel voor het dierentieren van een
product en we in de laatste stap door het product (x)(t) hebben gedeeld. In de linkerhelft van vgl. (4.18) staat een grootheid die alleen van de tijd afhangt; in de rechterhelft
staat een grootheid die alleen van de plaats afhangt. Dit kan uitsluitend als de linkerhelft
niet van de tijd afhangt (deze was al onafhankelijk van de plaats) en de rechterhelft niet
van de plaats. We komen dan tot de conclusie dat we mogen schrijven,
ih @(t) = E;
(4.19)
(t) @t
2 @ 2 (x)
h
; 2m (x) @x2 + V (x) = E;
(4.20)
met E een constante. Vergelijking (4.20) is de tijdonafhankelijke Schrodingervergelijking.
2
; 2hm @ @x(2x) + V (x) (x) = E (x);
2
(4.21)
waarbij we E kunnen associeren met de energie van de toestand die beschreven wordt
door de golunctie (x; t), kortweg de energie van de toestand (x).
4.4 Wat betekent de golunctie ( )?
x; t
Het werk van Schrodinger werd in het algemeen zeer positief ontvangen. De betekenis van (x; t) was echter niet meteen duidelijk. Born heeft een grote rol gespeeld bij
het toekennen van een betekenis aan de golunctie. Hij werd hierbij genspireerd door
het experimentele werkk van J. Franck die elektron-atoombotsingen bestudeerde in het
aangrenzende instituut. Born paste het formalisme van Schrodinger toe op de elektronatoombotsing en kon de golunctie van het elektron na de botsing uitrekenen. Die golffunctie heeft een grote hoekuitgebreidheid (zie g. 4.4). Aan de andere kant is het duidelijk
dat een elektron een klein object is en dus geen grote hoekuitgebreidheid heeft. Gemiddeld over vele botsingen werd door Franck c.s. een brede hoekverdeling van de elektronen
gevonden in redelijke overeenstemming met de berekeningen van Born. Dit bracht Born
ertoe7 (x; t) te associeren met de waarschijnlijkheid P (x; t) om een elektron op de positie
x op tijdstip t aan te treen. Nu is P (x; t) 0 terwijl (x; t) zowel positief als negatief
kan zijn. Zo stelde Born:
7 M. Born, Zeitschrift fur Physik, 37 863 (1926); 38, 803 (1926).
HOOFDSTUK 4. QUANTUMTHEORIE
36
Figuur 4.4: Elektron-kernbotsing. Het elektron komt van links, heeft interaktie met
(botst met) de kern (zwart bolletje) en zwenkt naar boven. Door de hoekverdeling van de
gebotste elektronen te meten (rechts) kun je iets te weten komen over de struktuur van
het atoom.
de kans om een deeltje dat wordt beschreven door de golunctie
(x; t) op tijdstip t aan te treen in een gebiedje x rond het punt
x wordt gegeven door
P (x; t)x = j(x; t)j2 x:
(4.22)
Volgens Born geeft de quantummechanica geen antwoord op de vraag: \Wat is precies
de toestand na de botsing?" maar wel op de vraag: \Hoe waarschijnlijk is een bepaald
resultaat van de botsing?". Met deze opmerking begon een langdurig debat waarin Einstein een zeer belangrijke rol speelde over determinisme. Born schreef in zijn artikel: \Ik
neig ertoe determinisme op atomaire schaal op te geven". In zijn tweede artikel schreef
hij: \De beweging van deeltjes gaat volgens de wetten van de waarschijnlijkheidsrekening
maar de waarschijnlijkheid zelf spreidt zich volgens de wetten van oorzaak en gevolg uit".
Het probleem ligt als volgt. Stel je weet de golunctie van het elektron voordat het
botst (x; t)voor . Met behulp van de Schrodingervergelijking kunnen we de golunctie
(x; t)na na de botsing uitrekenen. Doordat we de golunctie voor de botsing weten,
kennen we de waarschijnlijkheidsverdeling P (x; t) = j(x; t)voor j2 om het elektron op een
gegeven ogenblik voor de botsing op een positie x te vinden. We weten dan ook de
waarschijnlijkheidsverdeling P 0(x; t) = j(x; t)na j2 van het elektron op tijdstip t na de
botsing. Meer weten we gewoon niet. Waar zit hem dat?
4.5 Heisenbergs onzekerheidsrelaties
Hoewel de quantummechanica in de varianten van Heisenberg, Dirac en Schrodinger zeer
succesvol was en hoewel er nu een interpretatie was van de Schrodingergolunctie, waren
de ruzies over interpretatie niet van de lucht. Een van de problemen was dat men wilde
blijven denken in termen van de positie en snelheid van een deeltje zoals we dat uit de
klassieke fysica kennen. Heisenberg8 bracht hier helderheid in door zich af te vragen hoe
8 W. Heisenberg, Zeitschrift fur Physik, 43, 172 (1927).
HOOFDSTUK 4. QUANTUMTHEORIE
37
Figuur 4.5: Gedachte-experiment van Heisenberg om de positie van een elektron vast te
leggen met behulp van een microscoop.
je vastlegt of een deeltje ergens is. Als je dat wilt weten moet je een experiment uitvoeren
waarmee je de positie van dat deeltje kunt vinden. Je kunt zo'n experiment uitvoeren
met behulp van een microscoop (zie g. 4.5). Hoe beter je de positie wilt vastleggen des
te korter moet de golengte zijn van het licht dat je gebruikt (vanwege buiging). Door
het Compton-eect draagt het foton waarmee je de positie van het deeltje wenst vast
te leggen een impuls over aan dat deeltje. Hoe korter de golengte van het licht, dus
hoe beter je de positie vastlegt, des te groter is de impulsverandering van het deeltje.
Door de positiemeting reduceer je de kennis die je zou kunnen hebben over de impuls
van het deeltje. Gebruik je licht met golengte dan kan je de positie vinden met een
onbepaaldheid x . De impulsoverdracht is dan px = h= en je krijgt dus
xpx ' h:
(4.23)
Gebruik makend van het formalisme van de quantummechanica leidde hij de onzekerheidsrelaties van Heisenberg af,
xpx h =2;
ypy h =2;
zpz h =2;
E t h =2:
(4.24)
\Hoe nauwkeuriger de positie bepaald is des te onnauwkeuriger is de impuls bekend en
omgekeerd". We hebben hier de plaats-impuls onzekerheidsrelatie gegeven voor drie onderling loodrecht gekozen richtingen x; y en z. De vierde onzekerheidsrelatie is een tussen
energie en tijd.
Hoofdstuk 5
Het oplossen van de
Schrodingervergelijking
In dit hoofdstuk zullen we de quantummechanica toe passen op een betrekkelijk eenvoudig
probleem: een deeltje met massa m in een eendimensionale put. We zullen twee varianten
bestuderen.
5.1 Deeltje in een put
We komen bij het oplossen van de Schrodingervergelijking van dit probleem een methode
tegen die overal in de natuurkunde wordt toegepast. De tijdonafhankelijke Schrodingervergelijking (vgl. (5.1)) is een zogenaamde differentiaalvergelijking. Dat is een
vergelijking waarin de functie (x) en afgeleiden van deze functie voorkomen. Het oplossen
van deze vergelijking is in wezen een zaak van wiskunde; daar bestaan standaaardmethoden voor. De fysica komt erin als we de randvoorwaarden meenemen. In de gevallen die
we hier bestuderen worden de randvoorwaarden opgelegd door de vorm van de potentiaal
en het feit dat j (x)j2 overal eindig moet zijn (het stelt immers een waarschijnlijkheidsverdeling voor).
5.1.1 Put met oneindig hoge wanden
Figuur 5.1: Eendimensionale put
met breedte a en oneindig hoge
wanden. De goluncties van de
laagstgelegen energietoestanden
zijn aangegeven.
38
HOOFDSTUK 5. HET OPLOSSEN VAN DE SCHRODINGERVERGELIJKING
39
We gaan eerst de Schrodingervergelijking een beetje herschrijven en krijgen dan
2 d2 (x)
h
; 2m dx2 = (E ; V (x)) (x);
(5.1)
waarbij we het nulpunt van x midden in de put hebben gekozen (zie g. 5.1) en waar
V (x) = 0 ; a=2 x a=2;
V (x) = 1 elders:
(5.2)
(5.3)
Buiten de put
Voor x > a=2 en x < ;a=2 moet gelden (x) 0. Voor deze waarden van x geldt dat
(E ; V (x)) = ;1. Je kan deze oneindigheid alleen compenseren door (x) 0 te kiezen.
Binnen de put
In de put (V (x) = 0) geldt
2 2
; 2hm d dx(2x) = E (x):
(5.4)
We kunnen vgl. (5.4) herschrijven als
met
d2 (x) = ; 2mE (x);
dx2
h2
d2 (x) = ;k2 (x);
dx2
(5.5)
(5.6)
:
k2 = 2mE
h 2
Door in te vullen in vgl. (5.6) kan je jezelf makkelijk overtuigen dat
1 (x)
2 (x)
= A sin(kx);
= B cos(kx);
(5.7)
(5.8)
allebei oplossingen van deze vergelijking zijn. Dan zijn ook lineaire combinaties van 1 (x) en 2 (x) zoals in vgl. (5.9) een oplossing.
De meest algemene oplossingen van vgl. (5.4) hebben de vorm (zie kader),
(x) = A sin(kx) + B cos(kx):;
met
s
k = 2mE
:
h 2
(5.9)
(5.10)
HOOFDSTUK 5. HET OPLOSSEN VAN DE SCHRODINGERVERGELIJKING
40
Aan de rand van de put; randvoorwaarden
De coecienten A en B liggen nu nog niet vast. Dat gebeurt pas als we de randvoorwaarden meenemen. Die kennen we al: op jxj = a=2 geldt (x) = 0. Invullen van de
randvoorwaarden geeft nu
(a=2) = A sin(ka=2) + B cos(ka=2);
(5.11)
(;a=2) = A sin(;ka=2) + B cos(;ka=2);
(5.12)
(;a=2) = ;A sin(ka=2) + B cos(ka=2);
(5.13)
waarbij we in de laatste stap gebruik hebben gemaakt van het feit dat sin(;p) = ; sin(p)
en cos(;p) = cos(p). Als we nu vgln. (5.11) en (5.13) bij elkaar optellen en anderzijds
aftrekken krijgen we,
2B cos(ka=2) = 0 en 2A sin(ka=2) = 0:
(5.14)
De oplossingen van de eerste vergelijking is
ka=2 = (2n ; 1)=2; of B = 0:
(5.15)
De oplossingen van de tweede vergelijking is
ka=2 = n; of A = 0:
(5.16)
In beide gevallen is n een geheel getal dat nu als etiket dient voor de verschillende quantumtoestanden; n is een quantumgetal. We hebben dus als oplossing,
ka = n n = 1; 2; 3; : : : ;
(5.17)
waarmee we, gebruik makend van vgl. (5.10), direct de energie van de toestand n kunnen
uitrekenen:
22
En = n2 2hma
(5.18)
2:
Voor een deeltje met massa m in een put met breedte a en oneindig hoge wanden bestaat
er dus een verzameling oplossingen van de Schrodingervergelijking die allen een discrete
energie hebben. De energie van de toegestane oplossingen schaalt met het kwadraat van
het quantumgetal n.
Laten we eens kijken naar de oplossingen (x) zoals gegeven in vgln. (5.15) en (5.16).
Als ka = (n = 1) volgt uit vgl. (5.16) dat A = 0 zodat we meteen kunnen schrijven
1 (x) = cos(x=a). Als n = 2 geldt dat B = 0. Voor de laagstgelegen toestanden zijn de
oplossingen getekend in g. 5.1,
(5.19)
1 (x) = cos(x=a);
(5.20)
2 (x) = sin(2x=a);
(5.21)
3 (x) = cos(3x=a);
(5.22)
2n (x) = sin(2nx=a):
Je ziet meteen dat deze oplossingen overeenkomen met de grondtoon en de boventonen
van een gespannen snaar met lengte a. Voor de grondtoon van zo'n snaar geldt a = =2;
HOOFDSTUK 5. HET OPLOSSEN VAN DE SCHRODINGERVERGELIJKING
41
voor de eerste en tweede boventoon a = 2=2 en a = 3=2. Via de relatie van de Broglie
kunnen we nu zoiets als de impuls p van het deeltje in de put in deze drie toestanden
uitrekenen1 ,
jp1j = 2ha ;
(5.23)
(5.24)
jp2j = 22ha ;
jp3j = 32ha ;
(5.25)
:
(5.26)
jpnj = nh
2a
De absolute waarde van de impuls van het deeltje neemt dus lineair toe met het quantumgetal n. Als we ons realiseren dat in de put de potentiele energie nul is en dat dus de
totale energie gelijk is aan de kinetische energie kunnen we nu uit het voorgaande aeiden
dat,
22
2
2 2
E = 2pm = 21m n4ah2 = n2 2hma
(5.27)
2;
in overeenstemming met vgl. (5.18)2.
5.1.2 Put met eindig hoge wanden
We nemen nu een put waarvan de wanden een eindige hoogte hebben. Anders gezegd,
de potentiaalput heeft een eindige diepte (zie g. 5.2). We kiezen het nulpunt van de
potentiaal V (x) in de put,
V (x) = 0; ;a=2 x a=2;
(5.28)
V (x) = V0; elders:
(5.29)
Als jV0j jE j mogen we verwachten dat de oplossingen van de Schrodingervergelijking
voor de oneindig diepe en de eindig diepe put niet veel zullen verschillen. Anderzijds,
oplossingen met energien E V0 zullen aanzienlijk verschillen van die van de oneindig
diepe put. Hoe gaan we nu te werk? Laten we eerst maar eens de Schrodingervergelijking
in een zo handig mogelijke vorm gieten. Daarbij volgen wij hetzelfde recept als bij
vgln. (5.1) tot (5.4) en schrijven,
d2 (x) + k2 (x) = 0;
(5.30)
dx2
k2 = 2m(E ;2 V (x)) :
(5.31)
h
1 Merk op dat het hier geen vrij deeltje betreft en je dus niet kan zeggen dat het deeltje een goed
bepaalde impuls heeft. Als je denkt in termen van een bewegend deeltje dan moet je zeggen dat het zowel
naar links al naar rechts beweegt; het verkeert in een superpositie van een beweging naar links en naar
rechts. Dit moet ook wel want de oplossing in termen van grond- en boventonen geeft aan dat we staande
golven als oplossing gevonden hebben. Zoals misschien bekend is een staande golf niets anders dan een
superpositie van een naar links en een naar rechts lopende golf met gelijke amplitudines.
2 Merk op dat je netjes aan de onzekerheidsrelaties van Heisenberg voldoet met x = a en px = h=a
voor de grondtoestand (er verschijnt een factor 2 omdat het deeltje zowel naar links als naar rechts
\beweegt"). Er geldt dus xpx = h > h =2.
HOOFDSTUK 5. HET OPLOSSEN VAN DE SCHRODINGERVERGELIJKING
42
Figuur 5.2: Eendimensionale potentiaalput met breedte a en
diepte V0.
We zijn op zoek naar gebonden toestanden, (E < V0, zie g. 5.2).
Buiten de put
Aangezien hier V (x) = V0 en we op zoek zijn naar oplossingen met E < V0 volgt uit
vgl. (5.31) dat k2 < 0. We denieren nu een nieuwe grootheid ,
2 = ;k2 = 2m(V02; E ) ;
(5.32)
h
waarvoor geldt 2 > 0. De Schrodingervergelijking (vgl. (5.30)) wordt nu,
d2 (x) ; 2 (x) = 0:
(5.33)
dx2
Deze dierentiaalvergelijking heeft als algemene wiskundige oplossing,
(x) = Aex + Be;x:
(5.34)
We zijn tegen een nieuwe wiskundige functie aangelopen, (x) = ex .
Deze functie heet de exponentele functie en een manier om deze te
denieren is via
d(ex ) = ex;
dx
d(e;x )
dx
= ;e;x :
De exponentieele functies staan geschetst in g. 5.3. Je kan je er vrij
eenvoudig van overtuigen dat,
d2 (ex) = 2 ex:
dx2
Als (x) = ex en (x) = e;x beide oplossingen zijn van vgl. (5.33)
dan is een lineaire combinatie van deze oplossingen (zoals in vgl. (5.34))
dat ook.
Fysische randvoorwaarden
Laten we eens kijken naar de oplossing buiten de put volgens vgl. (5.34). Hier staat een
combinatie van een stijgende functie (ex) en een dalende functie (e;x) als functie van
HOOFDSTUK 5. HET OPLOSSEN VAN DE SCHRODINGERVERGELIJKING
43
25
20
15
10
e-x
ex
5
0
-3.0
-1.5
0
1.5
3.0
x
Figuur 5.3: Exponentiele functies.
toenemende x. Aangezien j (x)j2 de waarschijnlijkheidsverdeling aangeeft om het deeltje
op positie x aan te treen en de waarschijnlijkheid buiten de put niet onbeperkt groot mag
worden (we zoeken naar een deeltje in de put, niet waar?) is de keuze noodgedwongen
als volgt,
(x) = Ce;x (x > a=2);
(5.35)
x
(x) = Ce
(x < ;a=2):
(5.36)
Uit symmetrie-overwegingen hebben we de golunctie op x = ;a=2 even groot of tegengesteld gekozen aan de golunctie op x = a=2.
In de put
Binnen de put geldt in wezen nog hetzelfde als voor de put met oneindig hoge wanden
(zie vgl. (5.9)),
(x) = A sin(kx) + B cos(kx):
(5.37)
Opnieuw gebruiken we een symmetrie-argument. Aangezien de potentiele energie symmetrisch rond x = 0 kunnen we a priori stellen (zie g. 5.4) dat de oplossingen of even
of oneven in x zullen zijn (even (;x) = (x)), (oneven (;x) = ; (x)). De
oplossingen zijn dus of cosinusvormig (even functie) of sinusvormig (oneven functie). We
1.0
.5
0
-.5
oneven functie
even functie
5
10
Figuur 5.4: Even en oneven functies.
moeten nu de oplossingen in de put en buiten de put aan elkaar knopen. Hoe doen we
dat?
-1.0
-10
-5
0
x
Aan de rand van de put
Je weet dat de tweede afgeleide van (x) op de randen van de put een sprong maakt.
Immers, in de put geldt d2 (x)=dx2 = ;k2 (x), buiten de put geldt d2 (x)=dx2 = 2 (x).
Aangezien (x) tweemaal dierentieerbaar moet zijn aan de rand van de put (anders is
de tweede afgeleide niet gedenieerd) moeten we nu eisen dat op jxj = a=2,
HOOFDSTUK 5. HET OPLOSSEN VAN DE SCHRODINGERVERGELIJKING
44
(x) = continu,
= continu.
Deze condities laten zich op x = a=2 voor de cosinusvormige grondtoestand vertalen tot,
B cos(ka=2)
=
Ce;a=2 ,
,
(x) continu,
d (x)
;
a=
2
;kB sin(ka=2)
=
;Ce ,
,
dx continu.
Door deze twee vergelijkingen op elkaar te delen krijgen wij,
;k tan(ka=2) = ;:
(5.38)
Deze vergelijking kunnen we \vertalen" met behulp van vgln. (5.10), (5.31) en (5.32) in
een impliciete vergelijking voor de energie E ,
d (x)
dx
0 s
E tan2 @ a
1
2mE A = V ; E;
0
2 h 2
(5.39)
waaruit we E in principe kunnen oplossen. De laagstgelegen energie hoort bij een toestand,
de grondtoestand, die beschreven wordt door de golunctie 1 (x). In g. 5.5 zijn de
goluncties (x) van de drie laagst gelegen toestanden van het deeltje in de eindige put
weergegeven. Het meest opvallende is dat (x) buiten de put niet gelijk is aan nul. Er
bestaat dus een eindige waarschijnlijkheid om het deeltje buiten de put
aan te treffen. In het klassieke geval is deze waarschijnlijkheid nul. We
hebben hier een echt quantumeect te pakken.
Figuur 5.5: Goluncties (x) behorend bij een aantal laaggelegen
toestanden van een deeltje in een
put met eindig hoge wanden.
5.1.3 Oneindig diepe vs. eindig diepe put
Voor het perspectief vergelijken we nu de energie van het deeltje in de oneindig diepe put
en in de eindig diepe put, in beide gevallen voor de grondtoestand. Als je de goluncties
binnen de put vergelijkt zijn in het in beide gevallen cosinussen. In het geval van de
oneindig diepe put is de putlengte a gelijk aan de helft van de de Broglie golengte van
het deeltje in de put (T = 2a); in het tweede geval is a kleiner dan T =2, oftewel T > 2a.
De energie is omgekeerd evenredig met 2T dus de energie van het deeltje in de ondiepe
put is lager dan die in de oneindig diepe put.
HOOFDSTUK 5. HET OPLOSSEN VAN DE SCHRODINGERVERGELIJKING
45
Je kan het ook uitrekenen. De grondtoestand van de oneindig diepe put had als
randvoorwaarde cos(k1a=2) = 0 met als resultaat k1a = . Dan geldt tan(k1a=2) = 1.
In het tweede geval geldt,
s
tan(k2a=2) = V0 E; E ;
waar altijd uit volgt dat tan(k2a=2) < 1 oftewel k2a < = k1a, in het kort k2 < k1.
Aangezien de energie evenredig is met k2 geldt E2 < E1.
Hoofdstuk 6
Atoombouw en het periodiek
systeem
In dit hoofdstuk zullen we eerst het waterstofatoom behandelen en vervolgens schetsen hoe
je het periodiek systeem kunt begrijpen op grond van de kennis die we hebben opgedaan.
Een uiterst belangrijke rol speelt hierbij het uitsluitingsprincipe van Pauli.
6.1 Waterstofatoom
Tot nu toe hebben we uitsluitend eendimensionale problemen bestudeerd. Het waterstofatoom is natuurlijk een driedimensionaal object en we hebben hier dus een driedimensionaal probleem bij de horens; dat maakt het een beetje moeilijker. Voor de eenvoud maken
we nu een tussenstap en beschouwen we een deeltje in een driedimensionale potentiaalput.
Figuur 6.1: Blokvormige potentiaalput voor een deeltje met massa
m. De put is oneindig diep in alle
richtingen. Buiten de put geldt
(x; y; z) = 0.
Stel we hebben een deeltje gevangen in een potentiaalput die eruit ziet als een rechthoekig blok (zie g. 6.1). We nemen verder aan dat de putbreedte in de x, y en zrichting gelijk is aan respectievelijk a, b en c. Als de potentiaal oneindig diep is zal
voor de grondtoestand 0 (x; y; z) gelden dat 0 (x; y; z) = 0 op (x; y; z) = (a=2; y; z),
op (x; y; z) = (x; b=2; z) en op (x; y; z) = (x; y; c=2). We kunnen dan meteen de
grondtoestandsgolunctie opschrijven,
0 (x; y; z ) = cos(kx x) cos(ky y ) cos(kz z );
met
kx = =a; ky = =b; kz = =c:
46
(6.1)
(6.2)
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
47
In zijn algemeenheid zal gelden dat,
kx = nx=a; ky = ny =b; kz = nz =c:
(6.3)
De toestand van het deeltje in deze doos wordt dus bepaald door drie quantumgetallen (nx ; ny ; nz ). Dit komt omdat het hier om een driedimensionaal probleem gaat.
We mogen dan concluderen dat de toestand van het elektron in het waterstofatoom ook
zal worden beschreven door drie quantumgetallen; het atoom is immers driedimensionaal.
In tegenstelling tot het zojuist geschetste probleem hebben we in het waterstofatoom te
maken met een bolsymmetrische potentiaal. Als we het proton in de oorsprong van ons
coordinatenstelsel kiezen (zie g. 6.2) ziet de potentiele energie eruit als
V (x; y; z) =
p
;e2
;e2 ;
p
=
4 x2 + y2 + z2 4 r
0
0
(6.4)
met r = x2 + y2 + z2 de afstand tussen het elektron en het proton. De Schrodingervergelijking is nu natuurlijk ook driedimensionaal,
2 d2 (x; y; z ) d2 (x; y; z ) d2 (x; y; z ) !
h
; 2m
= [E ; V (x; y; z)] (x; y; z): (6.5)
dx2 + dy2 + dz2
Voor de handigheid gaan we nu over op een ander coordinatenstelsel (zie g. 6.2) met als
coordinaten r; en '; de golunctie wordt nu (r; ; '). Het blijkt dat we de goluncties
Figuur 6.2: Links: systeem van bolcoordinaten voor het beschrijven van de goluncties van het elektron in het waterstofatoom. Rechts: de Coulombpotentiaal als functie
van de afstand r tussen het proton en het elektron. De toegestane energienivo's staan
weergegeven.
(r; ; ') kunnen schrijven1 als een produkt van een functie R(r) die alleen van de afstand
r tussen elektron en kern afhangt, van een functie () die alleen van de hoek afhangt
en van een functie () die alleen van de hoek afhangt (zie g. 6.2),
(r; ; ') = R(r)()():
1 Dit is een direct gevolg van het feit dat de potentiele energie alleen een functie van r is.
(6.6)
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
48
Bij elk van deze functies hoort een quantumgetal.
R(r) , n;
() , l;
() , ml ;
met,
l = 0 ; 1 ; : : : ; n ; 1;
(6.7)
ml = ;l; ;l + 1; : : : ; 0; : : : ; l ; 1; l:
(6.8)
n = 1 Voor n = 1 is de enige mogelijkheid l = 0; ml = 0. De toestand (n = 1; l =
0; ml = 0), kortweg (1,0,0), wordt de grondtoestand genoemd. Zij heeft de
laagste energie.
n = 2 De eerste aangeslagen toestand heeft n = 2; hier hoort bij l = 0 of l = 1. Voor
l = 0 is ook ml = 0: (2,0,0). Als l = 1 kunnen we nog onderscheid maken tussen de
drie ml toestanden. Beknopt geschreven zijn dit (2,1,-1), (2,1,0) en (2,1,1).
n = 3 Voor n = 3 kan l de waarden l = 0; 1; 2 aannemen met respectievelijk een, drie en
vijf ml subtoestanden.
Tabel 6.1 geeft een overzicht.
n=1 l=0
0
n = 2 ll =
=1
l=0
n=3 l=1
l=2
ml = ;2
l=0
1
n = 4 ll =
=2
ml = ;2
l = 3 ml = ;3 ml = ;2
ml = ;1
ml = ;1
ml = ;1
ml = ;1
ml = ;1
ml = ;1
ml = 0
ml = 0
ml = 0
ml = 0
ml = 0
ml = 0
ml = 0
ml = 0
ml = 0
ml = 0
ml = 1
ml = 1
m l = 1 ml = 2
ml = 1
m l = 1 ml = 2
m l = 1 ml = 2 m l = 3
Tabel 6.1: Quantumgetallen van een aantal laag-gelegen toestanden van het elektron in
het waterstofatoom.
6.1.1 Energien
Voor het vinden van de oplossingen van de Schrodingervergelijking voor het waterstofatoom moet je de juiste randvoorwaarden kiezen. Net als bij het deeltje in de eendi-
mensionale put zijn de randvoorwaarden oorzaak van de quantisatie van
de energie. Voor de radiele golunctie R(r) zal je zeker moeten zeggen dat R2 (r) ! 0
als r ! 12.
2 De integraal van R2 (r) van 0 naar
1 moet immers eindig zijn.
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
49
De Schrodingervergelijking voor het waterstofatoom zoals gegeven in vgl. (6.5) en
omgezet naar de coordinaten (r; ; ) heeft een zodanige structuur dat de energie alleen
afhankelijk is van het hoofdquantumgetal n. De 3 + 1 = 4 subtoestanden van de toestand
met n = 2 hebben dus allen dezelfde energie. Zo hebben ook de 5+3+1=9 subtoestanden
van de toestand met n = 3 (zie tabel 6.1) allen dezelfde energie. Men zegt dan dat de
n = 3 toestand negenvoudig ontaard is De energien En die je vindt als oplossing van
de Schrodingervergelijking voor het waterstofatoom zijn exact de energien die we vonden
met behulp van het model van Bohr (zie vgl. (2.19)),
En = ; hcR
(6.9)
n2 ;
met R de Rydbergconstante (zie vgl. 2.37)).
6.1.2 Overige quantumgetallen
We moeten ons nu afvragen wat de overige quantumgetallen betekenen. Het blijkt dat
het quantumgetal l kan worden geassocieerd met het baanimpulsmoment ~` van het elektron. Bij het model van Bohr had het elektron in zijn baan een impulsmoment `n = nh
(zie vgl. (2.40)), met n het hoofdquantumgetal. We zien nu dat Bohr het niet bij het
juiste eind had; immers het impulsmoment heeft volgens de Schrodingertheorie te maken
met het quantumgetal l en niet met het energiequantumgetal n. Je kan voor een oplossing van de Schrodingervergelijking voor het waterstofatoom uitrekenen hoe groot het
baanimpulsmoment is; hiervoor geldt,
< ~` 2 >= l(l + 1)h2 ;
(6.10)
waarin < ~` 2 > aangeeft dat je de verwachtingswaarde van de grootheid ~` 2 bepaalt,
zoiets als de gemiddelde waarde van die grootheid in de toestand waarin je hem uitrekent.
Figuur 6.3: Quantisatie-as (verticaal) en gequantiseerd baanimpulsmoment voor toestanden met
l = 1 (links) en l = 2 (rechts).
We weten nu wel de verwachtingswaarde van het baanimpulsmoment maar niet de
richting (een impulsmoment is pas gedenieerd als je zowel zijn grootte als richting kent).
Het blijkt dat de richting van het baanimpulsmoment wordt bepaald door de waarde van
het quantumgetal ml . Dat gaat als volgt. Eerst kies je een zogenaamde quantisatie-as
(zie g. 6.3). Dat is de as ten opzichte waarvan je in g. 6.2 de hoek denieert en dit
noem je de z-as. Je kan nu laten zien dat de z-component `z van het impulsmoment goed
bepaald is; de verwachtingswaarde voor deze grootheid in de toestand (n; l; ml ) is gelijk
aan,
< `z >= mlh :
(6.11)
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
50
Hier is iets heel merkwaardigs aan de hand. Om een klassiek impulsmoment vast te leggen
moeten we de x-, y- en z-componenten ervan weten, of de grootte van het impulsmoment
en de x- en z-componenten. Wij hebben echter alle beschikbare quantumgetallen opgebruikt door de grootte en de z-component van het impulmoment vast te leggen. De xnoch de y-component is goed bepaald. Het blijkt dat het onmogelijk is om tegelijk meer
dan een component van het impulsmoment te kennen.
Een oplossing van de Schrodingervergelijking voor het waterstofatoom is volledig vastgelegd als je de combinatie (n; l; ml ) geeft. Dan is ook vastgelegd,
de energie,
de grootte van het baanimpulsmoment,
de z-component van het baanimpulsmoment.
Voor het vervolg is het belangrijk te weten dat de quantumgetallen l en ml ook al in de
vroege quantummodellen waren opgedoken. Arnold Sommerfeld heeft hier met name aan
bijgedragen door zijn uitbouw van het model van Bohr.
6.1.3 Radiele goluncties
Figuur 6.4 laat de radiele golunctie Rnl (r) voor verschillende waarden van n en l zien.
In dezelfde guur staat ook uit de grootheid r2(Rnl (r))2, niets anders dan de waarschijnlijkheid om het elektron op afstand r van de kern aan te treen.
.6
n=1,l=0
.4
.20
.20
.15
.15
.10
.2
.10
n=2,l=0
.05
.05
0
0
0
2
4
6
8 10
-.05
n=2,l=1
0
2
4
6
8 10
0
0
2
4
6
8 10
.12
n=3,l=1
.10
n=3,l=0
.10
.09
.05
n=3,l=2
.06
.05
0
.03
0
0
5
10
15
20
0
5
10
15
20
0
0
5
10
15
20
Figuur 6.4: Radiele goluncties (gestippelde lijnen) en waarschijnlijkheidsverdelingen
(getrokken lijnen) voor het elektron in een aantal laag gelegen toestanden van het waterstofatoom.
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
51
Het is duidelijk dat deze oplossingen van de Schrodingervergelijking wel iets heel anders
voorspellen dan het ontzettend mechanische model van Bohr. Het elektron bevindt zich
helemaal niet op vaste afstand van de kern zoals Bohr stelde. Wel speelt de straal a0 van
de eerste Bohrse baan (zie vgl. (2.27)) nog steeds een rol. Je kan namelijk laten zien dat
de waarschijnlijkheidsverdeling r2(R10(r))2 voor de toestand (n = 1; l = 0) een maximum
heeft als r = a0 . Nadere bestudering van Fig. 6.4 laat zien dat de waarschijnlijkheidsverdelingen van de toestanden (n = 2; l = 1) en (n = 3; l = 2) een maximum hebben bij
r = 4a0 en r = 9a0. Voor het Bohr model hadden we gevonden dat de straal van de ne
Bohrse baan an evenredig was met n2 (zie vgl. 2.38)). We vinden deze n-afhankelijkheid
terug in het Schrodingermodel voor de toestanden (n; n ; 1). Blijkbaar komen de toestanden (n; n ; 1) redelijk overeen met de oplossingen van het model van Bohr. Als je in
g. 6.4 zorgvuldig kijkt naar de functies r2(Rnn;1(r))2 (de waarschijnlijkheidsverdelingen
voor de toestanden (n; n ; 1)) dan zie je dat ze erg op elkaar lijken; het zijn allemaal
simpele bergjes zonder dalen.
6.2 Nog een quantumgetal
We moeten nog een stukje oude quantumtheorie ophalen want ons verhaal over atoombouw is niet compleet.
6.2.1 Zeeman-eect
Figuur 6.5: Pieter Zeeman
In 1896 was door Pieter Zeeman hier in Leiden ontdekt dat spectraallijnen opsplitsen
als de lichtbron in een magnetisch veld wordt geplaatst3. Het licht dat wordt uitgezonden parallel aan de magnetische veldlijnen splitst in twee spectrale componenten op; de
ene component is naar iets hogere frequenties verschoven, de andere naar iets lagere ten
opzichte van de positie van de lijn in afwezigheid van het magneetveld. In een richting loodrecht op de magnetische veldlijnen wordt slechts een component waargenomen;
deze heeft precies dezelfde frequentie als in nul veld. Bovendien is het licht in de drie
verschillende componenten op heel specieke manier gepolariseerd (zie g. 6.6).
Het jaar daarop liet Lorentz zien dat je deze opsplitsing (de Zeeman-opsplitsing) van
de spectraallijnen kan verklaren als je het eect van de Lorentz-kracht op de klassieke
3 P. Zeeman, Verslagen van de Koninklijke Academie van Wetenschappen, Amsterdam 5 181 (1896).
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
52
Figuur 6.6: Opsplitsing van een eenvoudige spectraallijn als de lichtbron in een magnetisch
veld is geplaatst. Als je waarneemt in een richting loodrecht op het nagneetveld zie je een
enkelvoudige lijn (boven); hier is het licht lineair gepolariseerd. Als je waarneemt in de
richting van het magneetveld zie je een tweetal lijnen. De opsplitsing verdwijnt als het
magneetveld wordt uitgeschakeld. Deze twee componenten zijn circulair gepolariseerd.
De ene linksom; de andere rechtsom.
beweging van het gebonden elektron meeneemt. Hij vond dat de verschuiving van de
spectrale componenten gelijk is aan,
= e B = B B;
(6.12)
4m0
met B het statische magneetveld, m0 de massa van het elektron en B = e=4m0 het
Bohr magneton.
Opgave 3 Laat zien dat de eenheden links en rechts van het gelijkteken in vgl. (6.12) met
elkaar kloppen. Gebruik hierbij dat de Lorentz-kracht op een geladen deeltje (lading q )
dat zich met snelheid v door een magneetveld voortbeweegt gegeven wordt door F = qvB .
Opgave 4 Bereken de Zeeman-opsplitsing 2 tussen de twee buitenste componenten
van het Zeeman-triplet voor een veld van 10;4 Tesla. De lading van hel elektron is gelijk
e = 1:6 10;19 Coulomb en de massa van het elektron is gelijk m = 9:1 10;31 kilo.
Helaas werd het sprookje binnen een jaar verstoord. Cornu toonde in 1898 aan dat in
een magneetveld de spectraallijnen van een groot aantal elementen, o.a. de alkali-metalen
zoals natrium en kalium, in veel meer componenten opsplitsten dan de drie die Lorentz
had verklaard. Dit niet-reguliere eect wordt het anomale Zeeman-eect genoemd.
6.2.2 Verklaring van het anomale Zeeman-eect
Lande
De klassieke theorie kon niets met het anomale Zeeman-eect en het duurde tot 1923
totdat Lande een \verklaring" gaf in termen van de ad-hoc quantumtheorie zoals we die
hebben behandeld in hoofdstuk 2 en 3. Zoals we al eerder opgemerkt hebben had de oude
quantumtheorie een evolutie ondergaan sinds de aanzet van Bohr; er bestonden nu ook
drie quantumgetallen namelijk n, l en ml . Net als in de Schrodingertheorie heette n het
hoofdquantumgetal, gaf l de waarde van het baanimpulsmoment weer en was ml nodig
om het eect van een magneetveld te beschrijven.
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
53
Laten we met Lande eens kijken naar een alkali-atoom, b.v. Natrium. Hiervan weten
we (en dat wist men toen ook) dat er een elektron beweegt buiten een gesloten schil4.
Laten we eens kijken naar een spectraallijn van Natrium die onder invloed van een magneetveld verschuift. Laat de frequentieverschuiving gegeven zijn door . Lande argumenteerde nu dat deze spectraallijn behoort bij een overgang tussen twee stationaire
toestanden met energien E1 en E2. Wil de spectraallijn verschoven zijn dan moeten de
energieniveaus verschoven zijn,
h = E1 ; E2 ;
met Ei de verschuiving van het energieniveau Ei door het veld (zie g. 6.7). Lande
Figuur 6.7: Verschuiving van
de atomaire toestanden in een
magnetisch veld en de daarbij horende verandering van de
energie-opsplitsingen.
Links:
Zonder magneetveld. Rechts:
Met magneetveld.
suggereerde nu om de spectrale verschuiving toe te schrijven aan een verschuiving van de
energieniveaus en voor elk niveau te schrijven,
E = ml g B B:
(6.13)
Hier is B het Bohr magneton (zie vgl. (6.12)), ml het magnetische quantumgetal van
het niveau en g een getal (de Lande-factor). Als we te maken hebben met het \gewone"
Zeeman-eect geldt g = 1. Lande stelde nu dat in het algemeen g 6= 1. Bovendien introduceerde hij een nieuw quantumgetal R voor de binnenelektronen (de gesloten schil)
overeenkomend met een totaal impulsmoment R~ van de elektronen in de gesloten schil.
Om de respons van het atoom op een magneetveld uit te rekenen moet je dan het
impulsmoment R~ van de gesloten schil en het impulsmoment ~` van het buitenelektron
optellen; daarmee ontstaat het totale impulsmoment ~j = R~ + ~` van het atoom. Je krijgt
dan
E = mj g B B;
(6.14)
met mj het magnetische quantumgetal overeenkomend met de verwachtingswaarde van
de z-component van het totale impulsmoment j . Hij postuleerde dat R = 21 voor een
alkali-atoom en kon op basis hiervan een waarde voor g uitrekenen. Het resultaat stemde
fantastisch overeen met het experiment maar het model werd (net als zovele andere al of
niet succesvolle vroege quantummodellen) als onbegrijpelijk ervaren.
Pauli
In december 1924 liet Wolfgang Pauli zien dat het impulsmoment van gesloten schillen
gelijk aan nul moet zijn. Daarmee verviel het quantumgtal R van Lande. Het model van
4 Dit betekent dat we ons het atoom als een eenelektron atoom kunnen voorstellen.
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
54
Lande was dus fout maar de resultaten waren nog steeds correct. Pauli redeneerde dat
het idee van een halftallig impulsmoment juist moest zijn maar dat het niets te maken
kon hebben met de gesloten schillen. Aangezien er bij alkali-atomen maar een elektron
buiten de gesloten schil zit moet je dat halftallig impulsmoment wel aan het elektron zelf
toekennen5 . Hij voerde een nieuw quantumgetal in, het quantumgetal ms dat slechts twee
waarden kan aannemen,
ms = 12 :
(6.15)
Hij postuleerde dat dit quantumgetal relevant is voor elk elektron in een atoom. Pauli
liet na zich af te vragen wat dit quantumgetal betekende.
Uhlenbeck en Goudsmit
Deze vraag werd wel gesteld door twee jonge Leidse natuurkundigen. Op basis van het
werk van Lande en Pauli postuleerden zij in 1925 dat het elektron een interne vrijheidsgraad bezat; het roteerde om zijn eigen as: het heeft spin6. Zij kenden aan het
vrije elektron een spinimpulsmoment ~s toe met,
< ~s 2 > = 43 h 2
< sz > = msh = 12 h :
(6.16)
(6.17)
De spin heeft dezelfde eigenschappen als het baanimpulsmoment; de grootte ervan ligt
vast en de projectie op een quantisatie-as heeft een goed gedenieerde waarde, ms = 12
(zie g. 6.8). Aangezien de lengte van de spinvector altijd dezelfde waarde heeft wordt de
Figuur 6.8: Spinimpulsmoment
en baanimpulsmoment bij verticale quantisatie-as.
toestand van een atomair elektron nu beschreven door vier quantumgetallen,
n de energie,
l de grootte van het baanimpulsmoment,
ml de z-component van het baanimpulsmoment,
ms de z-component van het spinimpulsmoment.
6.2.3 Richtingsquantisatie
De juist gebleken postulaten van Lande hebben een grappige consequentie die we nu zullen
bespreken. Beschouw hiervoor een eenelektron atoom met l = 0 en laten we dit atoom in
een magnetisch veld B plaatsen. Volgens Lande verschuiven de energieniveaus volgens,
E = ms g B B;
5 W. Pauli, Zeitschrift fur Physik, 31 765 (1925).
6 G.E. Uhlenbeck en S. Goudsmit, Naturwissenschaften, 13 953 (1925).
(6.18)
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
55
(zie vgl. (6.13)).
Er zijn maar twee toestanden, een met ms = ; 12 en een met ms = ; 21 wier energie in
tegengestelde richting verschuift (zie g. 6.9). Als we nu een verzameling van deze atomen
in een inhomogeen magneetveld zetten zal voor de ene helft van de atomen gelden ms = 12
en voor de andere ms = ; 12 . Voor eerstgenoemden neemt de potentiele energie toe bij
toenemend veld; voor laatstgenoemden juist af. De tweede groep wil dus naar het hoge
veld toe; de eerste naar laag veld; de verzameling atomen splitst zich in tweeen.
In de klassieke fysica is deze tweespalt niet mogelijk want quantisatie bestaat niet.
In plaats van een splitsing in tweeen zou de verzameling atomen zich gewoon uitsmeren.
Sommige atomen zouden naar laag veld gaan, sommige naar hoog veld en sommige zouden
zich nergens van aan trekken. De quantumfysica spreekt hier de klassieke fysica duidelijk
tegen. In 1922 werd dit experiment uitgevoerd door O. Stern en W. Gerlach in Frankfurt7.
Figuur 6.9: a) Energie-opsplitsing
van een atomaire toestand met
l = 0 in een magneetveld; b)
voorspelling volgens de quantummechanica voor de ruimtelijke
verdeling van atomen na het
doorlopen van een magneetveld
dat in verticale richting inhomogeen is; c) voorspelling volgens de klassieke mechanica voor
dezelfde verdeling.
Zij lieten een bundel zilver atomen in vacuum door een inhomogeen magneetveld lopen
en maten de positie van de atomen aan het eind van het apparaat. De resultaten staan
weergegeven in g. 6.10. Het feit dat hier een mondvormig patroon van gedeponeerde
zilveratomen te zien is toont aan dat er geen atomen rechtdoor zijn gegaan en dat de
bundel inderdaad in tweeen is gesplitst, geheel in overeenstemming met de voorspellingen
van de quantummechanica.
Figuur 6.10: Resultaat van het
experiment van Stern en Gerlach aan een bundel zilver atomen
die door een inhomogeen magneetveld waren geleid. Het mondvormige patroon laat zien dat de
bundel in tweeen is gesplitst.
7 O. Stern en W. Gerlach, Zeitschrift fur Physik, 9 349 (1922).
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
56
6.3 Uitsluitingsprincipe van Pauli
In hetzelfde artikel waarin Pauli het quantumgetal ms invoerde voerde hij een nieuw
principe in dat nu bekend staat als het uitsluitingsprincipe van Pauli.
Hypothese 6 In een atoom is het onmogelijk dat twee of meer elektronen dezelfde verzameling quantumgetallen (n; l; ml ; ms) hebben. Als een elektron in een atoom zo een verzameling quantumgetallen heeft is de overeenkomstige toestand bezet.
Pauli kwam tot dit postulaat bij een poging het periodiek systeem van de elementen te
verklaren met behulp van de bestaande quantumgetallen. Hij erkende dat dit postulaat
geen duidelijke fundering had.
Het uitsluitingsprincipe is een van de belangrijkste elementen van de quantummechanica. Het heeft niet alleen op elektronen betrekking maar op alle deeltjes met halftallige spin
(zoals elektronen, protonen, neutronen,...). Deeltjes met halftallige spin worden fermionen genoemd8 . Het uitsluitingsprincipe kan je ook iets anders formuleren. Dan zeg je
dat geen twee fermionen in dezelfde toestand zich op dezelfde plaats kunnen bevinden9 .
Het uitsluitingsprincipe is van enorm belang voor het begrijpen van de structuur van
de materie. We zullen straks zien hoe je het periodiek systeem kan begrijpen op basis van
dit principe. Ook het feit dat veel materialen niet makkelijk vervormbaar zijn heeft te
maken met het principe van Pauli. Om dit te begrijpen kijken we eens naar drie gelijke
atomen, elk met een elektron in de buitenste schil (n = n0; l = 0) die in elkaars buurt
komen (zie g. 6.11). Voor alle drie atomen geldt n = n0 ; l = 0; ml = 0. We kunnen nu
Figuur 6.11: Drie nabuuratomen
met een elektron in de buitenste
schil.
nog ms kiezen maar het lukt ons niet om voor de drie elektronen onderling verschillende
waarden van ms te vinden. De elektronen moeten uit elkaars buurt blijven; alleen dan
merken ze niet dat ze gelijke quantumgetallen hebben. De straf op goed nabuurschap is
enorm.
8 Deeltjes met heeltallige spin (zoals fotonen of -mesonen) worden bosonen genoemd.
9 Je kan je wel voorstellen dat dit onderscheid tussen fermionen en bosonen diepgaande consequenties
heeft voor macroscopische verschijnselen. Als je een verzameling identieke fermionen bij elkaar hebt dan
\stoten ze elkaar af". Als je een soortgelijke verzameling identieke bosonen bij elkaar hebt dan vinden
ze dat niet erg. De bosonen vinden dat zelf aantrekkelijk en gaan bij voldoende lage temperaturen zo
veel mogelijk op een kluitje zitten. Het scherpst komt dit onderscheid tot uiting bij de twee isotopen van
Helium. 4 He is een boson en 3 He een fermion; 4 He wordt superude bij T = 2:17 K, 3 He niet. Het al of
niet superude worden is direct gerelateerd aan het boson/fermion karakter van de atomen.
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
57
6.3.1 Periodiek systeem
De naam Mendeleev is onverbrekelijk verbonden met het periodiek systeem van de elementen. Zijn systeem was gebaseerd op de massa van de atomen en het bestaan van
soortgelijke chemische eigenschappen. Rond 1913 werd het periodiek systeem opnieuw
gerangschikt; de ordening werd nu gebaseerd op de lading van de kern in plaats van de
massa. Rontgenspectra hadden het bestaan van elektronenschillen aangetoond, schillen
die konden worden geassocieerd met de banen in het model van Bohr. Op grond hiervan
stelde Bohr in 1921 een schema op voor de edelgassen:
Helium 2 in schil 1,
Neon 2 in schil 1, 8 in schil 2,
Argon 2 in schil 1, 8 in schil 2, 8 in schil 3.
Er werden allerlei pogingen gedaan nadere onderverdelingen te maken. Pauli bracht
hier helderheid met zijn uitsluitingsprincipe. Laten we eens kijken hoe dat gaat.
We hebben vier quantumgetallen n; l; ml ; ms. Voor waterstof met een elektron kan je
kiezen (n = 1; l = 0); meer hoef je niet te speciceren. Helium (Atoommassa A = 2)
kan je congureren met beide elektronen in de n = 1; l = 0 toestand maar met de spins
antiparallel. Meer mogelijkheden zijn er niet voor n = 1; de schil is nu gesloten.
Voor Lithium (A = 3) stop je de eerste twee elektronen in de n = 1 schil zoals bij
Helium; je moet dan nog een elektron kwijt en die gaat in de toestand n = 2; l = 0.
Bij het volgende element, Beryllium, stop je het extra elektron ook in de n = 2; l = 0
toestand; de spins van de twee elektronen die je in deze toestand hebt gestopt staan weer
antiparallel. Bij Borium moet je het additionele elektron in de n = 2; l = 1 subschil kwijt.
In deze subschil heb je zes vrije posities vanwege de drie mogelijke waarden van ml en
voor elk van deze waarden de twee mogelijkheden voor ms. Je kan dus acht elektronen
plaatsen in de n = 2 schil. Dan is de schil vol en je hebt weer een edelgas: Neon. En zo ga
je door. Het is nu meteen duidelijk hoeveel elektronen passen in een subschil: 2(2l + 1).
Men gebruikt een heel aparte notatie om de gevulde \elektronenbanen" aan te geven.
Het quantumgetal voor het baanimpulsmoment l wordt vervangen door een letter,
l=0 , s
l=1 , p
l=2 , d
l=3 , f
l = 4 , g:
Je zou denken dat de logische volgorde voor de opeenvolgende subschillen zou zijn,
(1s) (2s) (2p) (3s) (3p) (3d) (4s) (4p) (4d) (4f ) (5s) (5p) (5d) (5f ) (5g):
Dit is niet in overeenstemming met de werkelijkheid. Om de energie van een elektrontoestand in een veel-elektronatoom uit te rekenen moet je natuurlijk ook de onderlinge
afstoting van de elektronen in rekening brengen. Als je dat doet blijkt de volgorde anders
te liggen en wel als volgt,
(1s) (2s) (2p) (3s) (3p) (4s) (3d) (4p) (5s) (4d) (5p) (6s) (4f ) (5d) (6p) (7s) (5f ) (6d):
HOOFDSTUK 6. ATOOMBOUW EN HET PERIODIEK SYSTEEM
Waterstof
Helium
Lithium
Beryllium
Borium
Koolstof
..
.
Neon
Natrium
Magnesium
Aluminium
..
.
Argon
Kalium
Calcium
Scandium
..
.
Zink
Gallium
..
.
Krypton
Rubidium
..
.
(1s)
(1s)2
(1s)2 (2s)
(1s)2 (2s)2
(1s)2 (2s)2 (2p)
(1s)2 (2s)2 (2p)2
..
.
2
2
(1s) (2s) (2p)6
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)
..
.
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s)
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s)2
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s)2 (3d)
..
.
2
2
(1s) (2s) (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s)2 (3d)10
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s)2 (3d)10 (4p)
..
.
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s)2 (3d)10 (4p)6
(1s)2 (2s)2 (2p)6 (3s)2 (3p)6 (4s)2 (3d)10 (4p)6 (5s)
..
.
Waterstof
Helium
Lithium
Beryllium
Borium
Koolstof
..
.
Neon
Natrium
Magnesium
Aluminium
..
.
Argon
Kalium
Calcium
Scandium
..
.
Zink
Gallium
..
.
Krypton
Rubidium
..
.
58
(1s)
(1s)2
(2s)
(2s)2
(2p)
(2p)2
..
.
(2p)6
(3s)
(3s)2
(3p)
..
.
(3p)6
(4s)
(4s)2
(4s)2 (3d)
..
.
(3d)10
(4p)
..
.
(4p)6
(5s)
..
.
Tabel 6.2: Periodiek systeem der elementen. Links: De volledige elektronenconguratie.
Rechts: De meest relevante informatie zit in de niet-gesloten schillen.
Opgave 5 Bepaal de atoommassa van het element dat een volle 5d-schil heeft.
Je schrijft nu voor de opeenvolgende elementen: Je kan je heel wat werk besparen door de
gesloten schillen weg te laten. Dan krijg je de essentiele informatie zoals weegegeven rechts
in de tabel. De chemische eigenschappen van een element worden volledig bepaald door
de buitenste elektronen. Je kan dan begrijpen waarom groepen elementen soortgelijke
chemische eigenschappen hebben. De alkali-atomen (Li,Na,K,Rb,Cs) hebben alle een
edelgasconguratie met een elektron extra. De aardalkali's (Be,Mg,Ca,Sr,Ba) hebben een
edelgasconguratie met twee elektronen extra. De Lanthaniden onderscheiden zich alleen
door het aantal 4f -elektronen. Deze zijn relatief goed afgeschermd door de 6s-elektronen.
Vandaar dat hun chemische eigenschappen onderling nauwelijks verschillen. Ze zijn dus
moeilijk chemisch te scheiden.