Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Partiële differentiaalvergelijkingen
en Fourierreeksen
Definitie: vergelijking in een onbekende functie van
twee of meer variabelen en z’n partiële afgeleiden.
Drie hoofdtypen:
2. Golfvergelijking
3. Laplace vergelijking of potentiaalvergelijking
Methode: scheiden van variabelen
Voorbeelden:
Algemene oplossing : y (x ) = c 1 ⋅ cos( x ) + c 2 ⋅ sin( x ).
Algemene oplossing : y (x ) = c 1 ⋅ cos( x 2 ) + c 2 ⋅ sin( x 2 ).
sin(π 2 )
Precies één oplossing :
.
y (x ) = cos( x 2 ) −
Een randwaardeprobleem heet homogeen als de differentiaalvergelijking
homogeen is (dus : g (x ) ≡ 0) en als de randvoorwaarden homogeen
zijn (dat wil zeggen : y 0 = 0 en y 1 = 0).
⎧y ' ' (x ) + y (x ) = 0, 0 < x < π
2. ⎨
⎩y (0) = 1, y (π ) = a .
⎧y ' ' (x ) + 2y (x ) = 0, 0 < x < π
1. ⎨
⎩y (0) = 1, y (π ) = 0.
cos(π 2 )
⎧y ' ' (t ) + p (t )y ' (t ) + q (t )y (t ) = g (t ), t ∈ I
Beginwaardeprobleem: ⎨
en y ' (t 0 ) = y 0 ' met t 0 ∈ I
⎩y (t 0 ) = y 0
⎧y ' ' (x ) + p (x )y ' (x ) + q (x )y (x ) = g (x ), x ∈ (α , β )
Randwaardeprobleem : ⎨
en y (β ) = y 1
⎩y (α ) = y 0
1. Warmtevergelijking of diffusievergelijking
c 1 = 1 en c 2 = −
Tweepunts randwaardeproblemen:
c 1 = 1 en − c 1 = a . Geen oplossingen voor a ≠ −1.
Voor a = −1 oneindig veel oplossingen : y (x ) = cos( x ) + c 2 ⋅ sin( x ).
cos(π 2 )
sin(π 2 )
⋅ sin( x 2 ).
c 2 ∈ R is willekeuri g.
Homogene randvoorwaarden:
Algemeen (homogene randvoorwaarden):
⎧y ' ' (x ) + 2y (x ) = 0, 0 < x < π
3. ⎨
⎩y (0) = 0, y (π ) = 0.
⎧y ' ' (x ) + λ ⋅ y (x ) = 0, 0 < x < π
⎨
y (π ) = 0.
⎩y (0) = 0,
Algemene oplossing : y (x ) = c 1 ⋅ cos( x 2 ) + c 2 ⋅ sin( x 2 ).
1. λ = 0 : y ' ' (x ) = 0 ⇒ y (x ) = a1 ⋅ x + a 2 .
c 1 = 0 en c 2 = 0
⇒
y (x ) = 0 (triviale oplossing) .
⎧y ' ' (x ) + y (x ) = 0, 0 < x < π
4. ⎨
⎩y (0) = 0, y (π ) = 0.
Algemene oplossing : y (x ) = c 1 ⋅ cos( x ) + c 2 ⋅ sin( x ).
c 1 = 0 en c 2 ∈ R
⇒
y (x ) = c 2 ⋅ sin( x ).
a1 = a 2 = 0 ⇒ y (x ) = 0 (triviale oplossing) .
2. λ = − μ 2 < 0 : y (x ) = b1 ⋅ cosh( μ ⋅ x ) + b2 ⋅ sinh( μ ⋅ x ).
b1 = b2 = 0 ⇒ y (x ) = 0 (triviale oplossing) .
3. λ = μ 2 > 0 : y (x ) = c 1 ⋅ cos( μ ⋅ x ) + c 2 ⋅ sin( μ ⋅ x ).
c 1 = 0 en c 2 ⋅ sin( μ ⋅ π ) = 0.
μn = n ∈ {1,2,3, K} : λn = μn = n 2 (eigenwaar den).
2
Eigenfuncties : y n (x ) = sin(n ⋅ x ) met n ∈ {1,2,3, K}.
Fourierreeksen:
a0 ∞ ⎛
⎛n ⋅π ⋅ x ⎞
⎛n ⋅π ⋅ x
+ ∑ ⎜ a n ⋅ cos⎜
⎟ + bn ⋅ sin⎜
2 n =1 ⎜⎝
⎝ L
⎠
⎝ L
Nog iets algemener :
Een functie f heet periodiek met periode T > 0 als : f(x + T) = f(x) .
⎧y ' ' (x ) + λ ⋅ y (x ) = 0, 0 < x < L
⎨
y (L ) = 0.
⎩y (0) = 0,
De kleinste waarde van T waarvoor dit geldt heet :
Eigenwaarden : λn =
de fundamentele periode .
⎛n ⋅π ⋅ x ⎞
⎛n ⋅π ⋅ x ⎞
De functies cos ⎜
⎟ en sin⎜
⎟ zijn allemaal periodiek
⎝ L
⎠
⎝ L
⎠
n2 ⋅π 2
met n ∈ {1,2,3, K}.
L2
⎛ n ⋅π ⋅ x ⎞
Eigenfuncties : y n (x ) = sin⎜
⎟ met n ∈ {1,2,3, K}.
⎝ L
⎠
∫α f (x )g (x )dx
−
f en g heten orthogonaa l als : f , g = 0.
⎛m ⋅π ⋅ x ⎞
⎛ n ⋅π ⋅ x ⎞
⎟ ⋅ sin⎜
⎟dx = 0
L
⎠
⎝ L
⎠
cos(a ) ⋅ sin(b ) =
L
1
(sin(a + b ) − sin(a − b ) )
2
L
⎛ (m − n ) ⋅ π ⋅ x ⎞
⎛ (m + n ) ⋅ π ⋅ x ⎞
⎟dx
⎟dx − ∫ sin⎜
L
L
⎝
⎠
⎠
−L
∫L sin⎜⎝
Nu geldt :
−
L
⎧0, m ≠ n
⎛m ⋅π ⋅ x ⎞
⎛n ⋅π ⋅ x ⎞
∫ cos ⎜⎝ L ⎟⎠ ⋅ cos ⎜⎝ L ⎟⎠dx = ⎨⎩L , m = n
−L
⎡
L
⎛ (m ± n ) ⋅ π ⋅ x
⎢− (m ± n ) ⋅ π cos ⎜
L
⎝
⎣
⎧0, m ≠ n
⎛n ⋅π ⋅ x ⎞
⎛m ⋅π ⋅ x ⎞
⎟dx = ⎨
⎟ ⋅ sin⎜
L
L
⎝
⎠
⎠
⎩L , m = n
∫L sin⎜⎝
−
bijzondere orthogonaliteitseigenschap.
∫L cos⎜⎝
β
voor functies f en g gedefiniee rd op het interval (α , β ).
L
met periode 2L. Deze functies hebben bovendien een
L
Orthogonaliteit:
Inwendig product : f , g :=
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
L
⎞⎤
⎟⎥ = 0
⎠ ⎦ −L
De stelling van Fourier:
De Fourierreeks convergeert voor alle x naar
Als f en f ' stuksgewij s continu zijn op een interval [−L , L )
en f wordt buiten dat interval periodiek voortgezet met
periode 2L , dan heeft f de Fourierreeks :
f (x +) + f (x −)
f(x) =
∞
⎛
⎛n ⋅π ⋅ x ⎞
⎛n ⋅π ⋅ x
+ ∑ ⎜⎜ a n ⋅ cos ⎜
⎟ + bn ⋅ sin⎜
2 n =1 ⎝
⎝ L
⎠
⎝ L
a0
met a 0 =
en bn =
1
L
1
L
L
⋅ ∫ f (x )dx , a n =
−L
L
L
⎞⎞
⎟ ⎟⎟
⎠⎠
⎛n ⋅π ⋅ x ⎞
⋅ f (x ) ⋅ cos ⎜
⎟dx ,
L −∫L
⎝ L
⎠
1
⎛n ⋅π ⋅ x ⎞
⋅ ∫ f (x ) ⋅ sin⎜
⎟dx , n = 1,2,3, K
⎝ L
⎠
−L
2
met f (x +) = lim f (t ) en f (x −) = lim f (t ).
t ↓x
t ↑x
In punten x waar f continu is, geldt :
lim f (t ) = f (x ) = lim f (t ) en dus
t↓ x
t ↑x
f (x +) + f (x −)
2
= f (x ).