Sessie 2 - DPB Brugge

Dag van de Wiskunde 2003
2de en 3de graad
Module 6: Tweede sessie
Derive in ons
wiskundeonderwijs
Christine Decraemer
Volgens het leerplan is in de doelstellingen het gebruik van ICT-hulpmiddelen
opgenomen, zowel voor illustratie en demonstratie van begrippen en eigenschappen,
als het effectieve gebruik ervan door de leerlingen bij het uitvoeren van berekeningen,
het onderzoeken van eigenschappen en het verwerken van informatie.
DERIVE biedt heel wat mogelijkheden en zorgt voor een actief en dynamisch
wiskundeonderwijs. Het leren van de leerlingen wordt erdoor gestimuleerd.
Het pakket kan een rol vervullen bij het aanbrengen van begrippen, analyseren van
gegevens, de begripsvorming, de verwerking, interpretatie en controle.
Bij het zelfstandig verwerven en verwerken van leerstof zijn werkbladen waarin
DERIVE gebruikt wordt, zeer handig.
Heel wat handboeken bevatten oefeningen waarin ICT kan gebruikt worden.
C. DECRAEMER
1
In de tweede graad kan DERIVE nuttig zijn voor o.a. de studie van functies en de studie
van rijen. Hierbij kunnen de leerlingen heel wat vaardigheden aanleren.
Enkele voorbeelden:
ž Het functievoorschrift invoeren
ž Het kiezen van een passend venster
ž Op een passende manier inzoomen op een grafiek
ž Het doorlopen van een grafiek
ž Aflezen van informatie op een grafiek
ž Berekenen van functiewaarden
ž x-waarden en y-waarden berekenen in decimale vorm en breukvorm
ž Nulpunten bepalen
ž Extreme waarden bepalen
ž Snijpunt(en) van twee grafieken bepalen
ž Opstellen en interpreteren van tabellen met functiewaarden
ž De gevonden resultaten kritisch interpreteren en controleren
In de derde graad zijn de toepassingsmogelijkheden haast onbeperkt. Hier volgen
enkele mogelijkheden, maar de lijst kan afhankelijk van de creativiteit van de leerkracht
onbeperkt uitgebreid worden:
ž
ž
ž
ž
ž
ž
ž
Grafisch onderzoek van alle types van functies: veeltermfuncties, homografische,
rationale, irrationale, goniometrische, cyclometrische, exponentiële en
logaritmische functies.
Verkennen van een ‘onbekende’ functie door een onderzoek van de grafiek als de
functie gegeven is door haar voorschrift
Ondersteuning van de begripsvorming bij limiet en asymptoten.
Ondersteuning van de begripsvorming bij afgeleide.
Ondersteuning van de begripsvorming bij integraal. De grafische illustratie helpt
het verband ontdekken tussen bepaalde integraal en oppervlakte.
Matrixberekeningen, berekenen van determinanten en oplossen van stelsels.
………
C. DECRAEMER
2
LESVOORBEELD 1: TWEEDEGRAADSFUNCTIES
1. Grafieken van de functies y = a x².
Definieer de functies f(x) = x² en g(x) = - x².
Maak een tabel met functiewaarden bij deze functies. Vergelijk de waarden van beide
functies. Wat stel je vast?
Wis de vorige gegevens.
Teken in hetzelfde venster de grafieken van y = x², y = 2x² en y =
1
x².
2
Je kunt vaststellen dat:
ž de grafiek telkens een …………………… is
ž de grafiek van y = 2x² wordt bekomen door de grafiek van y = x²
……………
ž naarmate de coëfficiënt van x² groter is, wordt …………
ž de symmetrieas van elk van de parabolen is ……………
ž de top van elk van deze parabolen is ……………….
Teken nu ook op eenzelfde scherm de grafieken van y = - x², y = - 2x² en y = -
1
x².
2
Je kunt vaststellen dat:
ž de grafiek telkens een …………………… is
ž de grafiek van y = - 2x² wordt bekomen door de grafiek van y = 2 x²
……………
ž naarmate de absolute waarde van de coëfficiënt van x² groter is, wordt
…………
ž de symmetrieas van elk van de parabolen is ……………
ž de top van elk van deze parabolen is ……………….
2. Grafieken van de functies y = a (x – α )²
Wis de vorige gegevens.
Teken in hetzelfde venster de grafieken van f(x) = 2 x², g(x) = 2(x - 1)² en h(x) = 2(x + 2 )².
Kies een aangepast venster. Bepaal dan met behulp van de knop Grafiek Volgen
elk van deze drie grafieken de x-waarden waarvoor f(x) = 2, g(x) = 2 en h(x) = 2.
Bepaal ook telkens de top.
op
Je kunt vaststellen dat:
1) Voor de functie g, met α > 0 geldt:
de grafiek van g wordt bekomen door de grafiek van f naar …………… te
verschuiven over een afstand ……
ž de symmetrieas van g is ……………
ž de top van g is ……………….
2) Voor de functie h, met α < 0 geldt:
ž
C. DECRAEMER
3
ž
ž
ž
de grafiek van h wordt bekomen door de grafiek van f naar …………… te
verschuiven over een afstand ……
de symmetrieas van h is ……………
de top van h is ……………….
3. Grafieken van de functies y = a (x – α )² + β
Wis de vorige gegevens.
Teken in hetzelfde venster de grafieken van f(x) = 2(x - 1)² , g(x) = 2(x - 1)² + 2 en
h(x)= 2 (x-1)² - 1
Kies een aangepast venster. Bepaal dan met behulp van de knop Grafiek Volgen
elk van deze drie grafieken het punt met x = 2. Bepaal ook telkens de top.
op
Je kan vaststellen dat:
1) Voor de functie g, met β > 0 geldt:
ž
ž
ž
de grafiek van g wordt bekomen door de grafiek van f naar …………… te
verschuiven over een afstand ……
de symmetrieas van g is ……………
de top van g is ……………….
2) Voor de functie h, met β < 0 geldt:
ž
ž
ž
de grafiek van h wordt bekomen door de grafiek van f naar …………… te
verschuiven over een afstand ……
de symmetrieas van h is ……………
de top van h is ……………….
ALGEMEEN BESLUIT:
ž
De grafiek van de functie f(x) = a (x - α )² + β is een ……………….
ž
Invloed van de parameter a:
Als a > 0, is dit een ………. parabool
Als a < 0, is dit een ………. parabool
ž
De symmetrieas is de rechte met vergelijking ……………
ž
De top van de parabool heeft als coördinaat ……..
ž
Invloed van de parameter α: ………….
ž
Invloed van de parameter β: ………
C. DECRAEMER
4
OPDRACHTEN:
1. Teken de grafieken van de volgende functies.
Bepaal ook telkens de symmetrieas en de top.
2
1) y = (x+4)² +1
2) y = 2(x - 1,5)² -2
1
1
3) y = y = 2  x −  +
2 2

1
4) y = - (x² +6x +9)
2
2. Teken de grafieken van de functies y =x², y = (x – 6)² en y = x² - 6.
Vergelijk de grafieken.
3. Teken in één assenstelsel de grafieken van de functies f(x) = x² en g(x) = x.
Voor welke waarden van x geldt f(x) = g(x), f(x) > g(x) en f(x) < g(x)?
LESVOORBEELD 2: HOMOGRAFISCHE FUNCTIES
Je kunt vrij gemakkelijk werkbladen opstellen voor de grafiek van de homografische
1
functies door toepassen van transformaties op de grafiek van y =
x
OPDRACHT:
Gegeven is de functie f met voorschrift y =
ž
ž
−5x − 7
.
x+2
Schrijf het voorschrift van f in de vorm y =
k
+ b met behulp van
x−a
Vereenvoudigen – uitwerken.
Door welke opeenvolgende transformaties kunnen we van de grafiek van
1
y = overgaan naar de grafiek van f ? Illustreer telkens door de grafiek
x
van de functie te tekenen.
LESVOORBEELD 3: DE GRAFIEKEN VAN y = x , y = x 3 , y = 3 x en y =
1
x
OPDRACHT:
Plot in het grafiek venster de grafieken van de volgende functies.
Door welke transformatie kan je telkens overgaan naar de volgende grafiek?
1) f 1 ( x ) = x
C. DECRAEMER
2) f 2 ( x ) = x − 3
3) f 3 ( x) = 2 x − 3
4) f 4 ( x ) = 2 x − 3 + 3
5
LESVOORBEELD 4: GRAFIEKEN VAN FUNCTIES PLOTTEN
In de volgende opgaven kan DERIVE gebruikt worden om de grafieken te tekenen en te
bespreken.
OPGAVE 1:
Beschouw de functies f ( x ) = x , g (x ) = x 2 en h ( x ) = x
Voor welke waarden van x geldt dan:
1) f ( x ) < h (x ) < g ( x )
2) f ( x ) > h (x ) > g ( x )
1
en de parabool y = x2 in hetzelfde venster en los
x
1
zo de volgende ongelijkheid op: x 2 >
x
OPGAVE 2: Plot de hyperbool y =
1
en de rechte y = x in hetzelfde venster en bepaal
x
zo welke getallen kleiner zijn dan hun omgekeerde.
OPGAVE 3: Plot de hyperbool y =
OPGAVE 4: Plot de hyperbool y =
de ongelijkheid op:
1
en de rechte y = -2 in hetzelfde venster en los zo
x
1
> −2
x
OPGAVE 5: Los grafisch op: 4 − x 2 =
1
x3
OPGAVE 6 – eerstegraadsfuncties
-
-
Plot de grafiek van de eerstegraadsfunctie y = 0,001 x + 2. Laat daarbij x en y
veranderen van -10 tot 10. Welk soort rechte zie je? Waarom kan dit niet volledig
correct zijn?
Bepaal de snijpunten met de assen. Pas nu het venster aan zodat deze snijpunten
goed in beeld komen en plot opnieuw de grafiek. Noteer deze nieuwe
vensterinstellingen.
OPGAVE 7 – tweedegraadsfuncties
Vanop 20 meter van het doel ziet Piet dat de doelman te ver van zijn doel staat. Hij
9 2 21
probeert de bal met een boog met als baan y = −
x +
x over de doelman te
200
20
krijgen.
C. DECRAEMER
6
-
Plot een grafiek die de baan zo duidelijk mogelijk weergeeft. Noteer de
vensterinstellingen.
Het doel is 2,54m hoog. Belandt de bal in het doel?
OPGAVE 8 – derdegraadsfuncties
-
Plot de grafiek van de derdegraadsfunctie y = 15 x3 − x 2 − 114 x + 72 . Laat
daarbij x en y eerst veranderen van -10 tot 10.
-
Er zijn 3 snijpunten met de x-as en 2 toppen. Pas het venster aan zodat de
snijpunten met de assen en de toppen goed in beeld komen. Plot opnieuw de
grafiek. Noteer de nieuwe vensterinstellingen. Bepaal ook de snijpunten met
de assen en de toppen.
OPGAVE 9 – rationale functies
Bij een operatie wordt soms een verdovingsmiddel in het bloed gespoten. Als de
concentratie van het verdovingsmiddel voldoende hoog is, raakt de patiënt buiten
bewustzijn en kan er geopereerd worden.
De concentratie C (in %) is een functie van de tijd t (in minuten) die verlopen is
vanaf het moment dat het verdovingsmiddel wordt ingespoten.
Het voorschrift is C (t ) =
200t
( t + 10 )
2
.
De arts kan opereren zolang de concentratie hoger is dan 1 %.
-
Plot de grafiek van C(t)
Hoeveel minuten na de inspuiting kan met de operatie begonnen worden?
Hoeveel minuten na de inspuiting moet de chirurg stoppen met opereren?
Tot welke waarde nadert C na verloop van tijd?
OPGAVE 10 – exponentiële functies
Op de E40 kantelde vorige week een tankwagen. De tank scheurde en de inhoud van de
tank stroomde weg volgens de formule
V (t ) = 12000 ⋅ 2−0.01⋅t
2
Hierbij is V de resterende hoeveelheid in het vat in liter en t de tijd in minuten.
Plot de grafiek van V in een aangepast venster en beantwoord de volgende vragen:
1) Hoeveel liter vloeistof zat er in de tank?
2) Na hoeveel minuten was de helft van de inhoud weggestroomd?
3) Wanneer was de uitstroomsnelheid maximaal?
4) Hoeveel tijd nadien was de uitstroomsnelheid afgenomen tot de helft van
de maximale uitstroomsnelheid?
C. DECRAEMER
7
LESVOORBEELD 5: PARAMETERVERGELIJKING VAN EEN FAMILIE PARABOLEN .
De parametervergelijking y = x² + (m+1) x + m stelt een verzameling parabolen voor.
Bepaal telkens m zodat:
ž de y-as een symmetrieas is;
ž de parabool door de oorsprong gaat;
ž de parabool door het punt (-1,0) gaat.
Controleer met een grafiek.
Oplossing:
Je kan met behulp van DERIVE een aantal parabolen uit deze verzameling tekenen.
Voer eerst de volgende uitdrukking in:
Kies in het menu Analyse – Vector. Je krijgt dan dit dialoogvenster te zien:
Let erop dat je voor de variabele m ingeeft. De startwaarde, de eindwaarde en de
stapwaarde kan je zelf kiezen. Klik dan op OK.
Ga dan naar het grafiek venster en plot de grafieken.
Beantwoord dan de vragen.
C. DECRAEMER
8
LESVOORBEELD 6: OPLOSSEN VAN VERGELIJKINGEN.
Vergelijkingen van de vorm f(x) = a, waarbij f(x) een functievoorschrift is en a een
gekende constante, kunnen met behulp van Derive op drie manieren opgelost worden.
We nemen het volgende voorbeeld:
Piet wil met 30 meter kippengaas een rechthoekige plaats voor zijn konijnen
afrasteren. Hij gebruikt daarvoor de zijmuur van de garage. Hoe lang moet hij de
lengte en de breedte maken, opdat de oppervlakte van het hok 90 m² is?
1ste methode: tabel met functiewaarden
Met behulp van de figuur kunnen we het voorschrift voor de oppervlakte van de
rechthoek in functie van de breedte x opstellen.
Definieer in Derive de functie f(x) : = x × (30 – 2 x).
Kies in het menu Analyse –Tabel .
Uit de tabel blijkt dat er een oplossing ligt tussen 4 en 5 en voorbij 10.
Maak nu een tabel met waarden tussen 4 en 5, en een tweede tabel met waarden
juist voorbij 10.
Bepaal op die manier beide oplossingen op 1 cm nauwkeurig.
C. DECRAEMER
9
2de methode: snijpunt van twee grafieken
De grafische oplossing bestaat erin het snijpunt te bepalen van de parabool
y = x ( 30 – 2x) met de horizontale rechte y = 90.
Geef beide functievoorschriften in en teken beide grafieken in een passend
venster, via Instellen – Grafiekbereik.
Klik op
om het snijpunt van beide grafieken af te lezen.
3de methode: oplossen van de vergelijking
Geef in het invoervak de vergelijking in. Via Oplossen – Uitdrukking vind je dan
de oplossingen.
C. DECRAEMER
10
LESVOORBEELD 7: Oplossen van ongelijkheden en vergelijkingen
DERIVE bezit heel wat mogelijkheden om ongelijkheden en vergelijkingen zowel
algebraïsch als grafisch op te lossen.
In de volgende tekst volgt daarvan een overzicht .
Door in DERIVE 3x-5 < 5x+5 in het invoervak in te typen, gevolgd door ENTER, kunnen
we de ongelijkheid 3·x – 5 < 5·x + 5 oplossen.
Kies in het menu Oplossen – Uitdrukking. Na het klikken op = volgt:
We kunnen de oplossing ook grafisch laten zien. We maken regel #1 actief door erop te
klikken. Vervolgens gaan we naar het grafiekvenster en tekenen de grafiek:
Het gekleurde gedeelte van het grafiekvenster geeft het gebied x > -5.
Tweedegraads, derdegraads en vierdegraads vergelijkingen kunnen we met DERIVE
algebraïsch oplossen omdat er formules voor bestaan.
Vijfdegraads en hogeregraads vergelijkingen moeten we numeriek oplossen.
Probeer maar eens de vergelijking x5 – 3·x – 2 = 0 op te lossen, eerst algebraïsch en
daarna numeriek. Het is natuurlijk ook mogelijk om als oplosmethode Beide te kiezen.
DERIVE probeert het dan eerst algebraïsch. Als dat dan niet lukt, wordt een numerieke
methode toegepast.
C. DECRAEMER
11
DERIVE lost alleen ongelijkheden rechtstreeks op die uit veeltermen bestaan.
Andere ongelijkheden moeten we op een andere manier oplossen.
We gaan dat bekijken aan de hand van het volgende voorbeeld:
We willen de ongelijkheid x – 5·ln(x) < 0 oplossen.
De grafiek ziet er als volgt:
Als we de nulpunten bepalen vinden we de volgende oplossing:
DERIVE geeft maar één oplossing, namelijk 1,295855509.
De andere oplossing moeten we als volgt bepalen:
We zien in de grafiek dat die andere oplossing ergens tussen 12 en 14 ligt.
We gaan nu gebruik maken van de begrenzingsoptie in het oplosvenster:
Na klikken op Oplossen volgt:
Omdat we de grafiek al kennen kunnen we direct de oplossing geven:
x – 5·ln(x) < 0 als 1,295855509 < x < 12,71320678.
C. DECRAEMER
12
LESVOORBEELD 8: BESTPASSENDE KROMME.
In de techniek krijgen we vaak te maken met grootheden die door meting verkregen zijn
en aan een vergelijking moeten voldoen. We willen bijvoorbeeld de formule bepalen
van de snelheid v van een lichaam op tijdstip t. De versnelling van het lichaam is
constant en noemen we a. De beginsnelheid noemen we v0 . De gevraagde formule heeft
de vorm v = v0 + a·t.
De grootheden v0 en a willen we bepalen door op een aantal tijdstippen de snelheid te
meten.
Die metingen leveren bijvoorbeeld de volgende resultaten:
t
v
ž
ž
ž
ž
ž
0
1,9
1
3,7
2
5,3
3
6,5
4
8,1
sec
m/sec
Klik in DERIVE in de werkbalk op het matrix icoon en kies voor vijf rijen en
twee kolommen.
Klik op OK waarna we in het volgende venster onze meetgegevens intypen .
Klik tenslotte op OK.
Ga vervolgens naar het grafiekvenster en kies voor Venster - Naast Elkaar.
Het resultaat is dat we het algebra venster en het grafiek venster naast elkaar
zien.
Klik in het grafiek venster op het icoon Grafiek Tekenen waarna we de
punten zien verschijnen:
C. DECRAEMER
13
ž
de horizontale as benoemen we met t (s) en de verticale as met v (m/s) via
Opties – Weergave – assen
Door deze vijf punten moeten we nu zo goed mogelijk een rechte lijn trekken. Meestal
liggen niet alle meetpunten daar precies op. Dat is het gevolg van meetfouten die we
maken. Door de best passende lijn of trendlijn te trekken worden de meetfouten eruit
gemiddeld.
Dergelijke zogenaamde regressiemethodes vereisen nogal veel rekenwerk.
We laten dat daarom door DERIVE doen.
Met de opdracht FIT berekenen we de vergelijking van de best passende lijn.
In het invoervak typen we FIT([t,at+b], waarna we de matrix uit het algebra venster
kopiëren en in het invoervak achter de komma plakken met functietoets F3.
Daarna typen we nog een sluithaakje:
Na het klikken op ENTER zien we in het algebra venster de volgende regel #2:
Klikken op levert op regel #3 de vergelijking v = 1,52·t + 2,06 op.
Dat is de vergelijking van de trendlijn door de gegeven meetpunten.
Hieruit volgt dan v0 = 2,06 m / s en a = 1,52 m / s2 .
In onderstaande grafiek zien we hoe die gevonden trendlijn door de meetpunten loopt.
C. DECRAEMER
14
Willen we de vergelijking van de trendlijn die exact door alle vijf punten gaat dan
moeten we uitgaan van een vierdegraads functie (graad is altijd één lager dan het aantal
punten).
De algemene gedaante van een vierdegraads functie is:
y = a·x4 + b·x3 + c·x2 + d·x + e.
Als we onze variabele t noemen typen we in het invoervlak de volgende uitdrukking:
Na het klikken op ENTER zien we in het algebravlak de volgende regel #4:
Klikken op levert op regel #5 de vergelijking van de trendlijn die exact door alle
gegeven meetpunten loopt.
In onderstaande grafiek zien we hoe die gevonden trendlijn exact door alle meetpunten
loopt.
C. DECRAEMER
15
LESVOORBEELD 9: DE BINOMIAALFORMULE EN DE DRIEHOEK VAN PASCAL
In het volgende werkblad worden de binomiaalformule van Newton en de driehoek
van Pascal opgesteld.
We werken de volgende uitdrukking uit met Vereenvoudigen – Uitwerken.
( 4 x 2 y − 3x y 3 )
8
Het resultaat ziet er vrij ingewikkeld uit.
Noteer de 1ste term: ………..
de 4de term: ………..
de laatste term: …………
Laat DERIVE nu de volgende machten van (a + b) uitwerken en noteer enkel de
coëfficiënten van de termen:
n = 4:
( a + b) :
n = 5:
( a + b) :
n = 6:
6
( a + b) :
n = 7:
( a + b) :
4
5
7
Zie je hierin een systeem? Vul dan de lijnen met n = 8 en n = 9 aan.
Controleer je resultaat met DERIVE.
Vul het schema ook bovenaan aan ( n = 3, n = 2 en n = 1).
Welk is het getal bij n = 0?
C. DECRAEMER
16
Noteer nu de bekomen coëfficiënten in de vorm van een driehoek:
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n = 10
n = 11
1
1
1
1
2
1
Deze driehoek van getallen noemt men de driehoek van Pascal. (Blaise Pascal, 1623 –
1662)
Bepaal de som van de getallen op elke lijn.
Wat merk je op?
Hoe kan je dit bewijzen? (Hint: vervang a en b)
Kijk nu naar de exponenten van a en b in elk van de uitwerkingen van de machten van
(a + b).
Wat merk je op?
Probeer nu zelf de uitwerking van
( a + b)
8
8
(a + b)
op te schrijven.
= …………….
Controleer je resultaat met DERIVE.
Doe nu hetzelfde met ( 2x + 3y )
(2x + 3 y)
5
5
= …………….
C. DECRAEMER
17
Controleer opnieuw met DERIVE.
Je kan daarvoor DERIVE ( 2x + 3y ) laten uitrekenen, maar dit kan ook als volg:
5
Ontwikkel ( a + b ) , en vervang dan a door 2x en b door 3y.
5
Werk nu uit, eerst manueel en dan met DERIVE:
( 4 z + 2u )
6
=
…………………
Welk is de invloed van een verandering van teken
(a − b)
n
?
Ga dit na met DERIVE en formuleer je besluit: …………………………….
OPDRACHTEN: Geef de uitwerking voor de volgende uitdrukkingen. Contorleer
telkens met DERIVE.
6
1) ( z + 4 ) = ………………………………
2) ( 4 x y − 3 x y
2
3) ( 5 a b + 2 b
3 8
)
= ………………………
2 9
)
Geef de 3de term: ………………………..
Geef de 7de term: ………………………..
C. DECRAEMER
18
LESVOORBEELD 10: EXPONENTIELE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES.
De volgende tekst illustreert een mogelijkheid om het getal e te definiëren.
Dit gebeurt klassikaal als demonstratie. De leerlingen beschikken over een begeleidende
tekst.
De grafiek van de exponentiële functie is gekend.
1. Het getal e
Ø We bekijken eerst de grafieken van de functies f(x) = 2x en g(x) = 1+ x.
We zien dat beide grafieken mekaar snijden in (0,1) en (1,2)
Ø We trachten nu de waarde voor a te bepalen, waarvoor de grafieken van f(x) = ax en
1
1
g(x) = 1 + x elkaar, naast (0,1) ook snijden in  ,1 + 
2
2
1
Daarvoor moeten we de vergelijking a 2 = 1 +
1
oplossen.
2
1
9
Dit kan door beide vergelijkingen te kwadrateren: a = (1 + )2 = = 2.25
2
4
Ter controle plotten we nu de grafieken van f ( x ) = 2.25x en g(x) = 1 + x.
We passen het venster aan, zodat we goed de snijpunten zien.
C. DECRAEMER
19
Ø We trachten nu de waarde voor a te bepalen, waarvoor de grafieken van f(x) = ax en
1
1
g(x) = 1 + x elkaar, naast (0,1) ook snijden in  ,1 + 
4
4
1
4
Daarvoor moeten we de vergelijking a = 1 +
1
oplossen.
4
Daarvoor werken we nu met DERIVE.
In het invoervak voeren we de vergelijking en via Oplossen – Uitdrukking vullen we
het dialoogvenster in:
We vinden:
C. DECRAEMER
20
Ø We berekenen daaropvolgend de waarde voor a, zodat beide grafieken elkaar
1
snijden in het punt met x =
en we vinden: a = ...
10
Ø Tenslotte berekenen we de waarde voor a, zodat beide grafieken elkaar snijden in
1
het punt met x =
en we vinden: a = ...
100
Ø Om a te bepalen, hebben we dus telkens de vergelijking ax = 1 + x opgelost naar a.
Deze vergelijking kunnen we ook schrijven als:
a = (1 + x)
1
x
Ø We brengen nu het tweede snijpunt nog dichter in de buurt van (0,1), waardoor we
de waarde van a kunnen vinden waarvoor de grafieken van f(x) = ax en g(x) = 1 + x
aan elkaar raken in (0,1).
Dit wil zeggen dat x naar 0 nadert en dat we voor deze waarde van a de limiet
moeten nemen waarbij x → 0
lim(1 + x)
1
x
x→ 0
De uitkomst van deze limiet is het getal e, het getal van Euler:
1
x
lim(1 + x) = e
x→ 0
De waarde van het getal e kunnen we ook berekenen, door op
vinden:
e = 2.718 281 828 458 5634112.
te klikken. We
Dit getal is genoemd naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler, die in 1731 deze
notatie voor het eerst gebruikte. Het is de eerste letter van ‘exponentieel’ ( en ook
van de naam Euler!)
Met een tabel kunnen we benaderingen berekenen van de limiet die het getal e
bepaalt. Geef daarvoor in het invoervak de volgende uitdrukking in, en klik dan op
.
Vul nu de tabel aan:
x
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
0.0000001
C. DECRAEMER
1
(1 + x ) x
x
1
(1 + x ) x
- 0.1
- 0.01
- 0.001
- 0.0001
- 0.00001
- 0.000001
- 0.0000001
21
Stel nu een tabel op waarmee je de volgende limiet kan berekenen:
lim  1 +
x→ ± ∞


 1+

x
1
x 
1
x 
x
x

 1+

x
10
100
1000
10 000
100 000
1
x 
x
- 10
- 100
- 1000
- 10 000
- 100 000
Besluit: We kunnen e ook als volgt definiëren: ……………..
2. De grafiek van de exponentiële f(x) = ex .
Teken de grafiek van de exponentiële functie f(x) = ex en van de raaklijn g(x) = 1+x in
het punt (0,1)
We weten dus dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de functie f(x) = ex in
( 0,1) gelijk is aan 1.
Stel een tabel op met de functiewaarden van ex , waarbij x varieert van -3 tot 3.
Vul de bekomen waarden in:
x
ex
-3
-2
-1
0
1
2
3
Controleer de waarden ook op de grafiek.
C. DECRAEMER
22
3. De grafiek van de natuurlijke logaritme.
Zoals alle andere exponentiële functies, heeft ook f(x) = ex een inverse: de logartimische
functie met grondtal e. Logaritmen met grondtal e worden natuurlijke of Neperiaanse
logaritmen genoemd, naar de Schotse wiskundige John Napier (1550 – 1631).
In de notatie laat men e weg en schrijft men ln in plaats van elog.
In DERIVE moet je intoetsen ln(x).
Bereken nu de natuurlijke logaritme van de volgende getallen met behulp van DERIVE.
x
1
2
3
4
5
6
7
ln x
Plot nu ook de grafieken van y = ln x, y = ex en y = x.
Welk verband bestaat er tussen de grafieken van y = ln x, y = ex
4. De afgeleide functie van de exponentiële functie f ( x) = a x
Definieer de functie f(x) := 2^x in het invoervak. Selecteer 2^x.
We bepalen de afgeleide functie, zonder ze te laten berekenen via Analyse – Afgeleide.
Klik dan in het dialoogvenster op OK.
C. DECRAEMER
23
Definieer de functie g(x). (Gebruik F3)
Plot nu f(x) en g(x) in het grafiekvenster:
We merken op dat de grafiek van de afgeleide functie lijkt op een exponentiële functie.
We kijken nu naar het quotiënt van g(x)
en h(x).
We definiëren h(x) : = g(x) / h(x) en
tekenen de grafiek van h(x).
We vinden een constante, die we
kunnen bepalen met Volg Cursor
.
We lezen af: 0.6931472
Besluit:
D(2 x )
= 0.6931472
2x
Herhaal nu de vorige bewerkingen met de exponentiële functie met grondtal 3.
D(3 x )
Je vindt als resultaat:
= ....
3x
Ga nu even na waar we die waarden ook gevonden hebben.
D( a x )
= ln a of D( a x ) = a x ⋅ ln a
Besluit:
x
a
Speciaal geval:
C. DECRAEMER
D( ex ) = e x
, want ln e = 1
24