Huiswerk week 1

Lineaire algebra 1
najaar 2010
Huiswerk week 1
Opgave 1.
Zij f : X → Y een afbeelding van X naar Y . Verder zijn A, B ⊂ X willekeurige
deelverzamelingen van X. Bewijs de volgende uitspraken:
(i) A ⊂ B ⇒ f (A) ⊂ f (B).
(ii) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B).
(iii) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B).
(iv) f (A \ B) ⊃ f (A) \ f (B).
Geef expliciete tegenvoorbeelden die aantonen dat in (iii) en (iv) gelijkheid in
het algemeen niet geldt.
Opgave 2.
Laten X en Y eindige verzamelingen zijn. Het aantal elementen van deze
verzamelingen geven we met |X| en |Y | aan.
(i) Hoeveel verschillende afbeeldingen f : X → Y bestaan er?
(ii) Een afbeelding f : X → Y heet injectief als verschillende elementen van
X altijd op verschillende elementen van Y worden afgebeeld, d.w.z. als
x 6= x′ ⇒ f (x) 6= f (x′ ).
Laat zien dat er voor |X| > |Y | geen injectieve afbeelding van X naar Y
bestaat.
Bepaal voor het geval |X| ≤ |Y | het aantal injectieve afbeeldingen van X
naar Y .
Opgave 3.
In de reële getallen gelden de volgende rekenregels:
(1) (a + b) + c = a + (b + c) voor alle a, b, c ∈ R;
(2) a + b = b + a voor alle a, b ∈ R;
(3) er bestaat een element 0 ∈ R met a + 0 = a voor alle a ∈ R;
(4) voor iedere a ∈ R bestaat er een element −a ∈ R met a + (−a) = 0;
(5) (a · b) · c = a · (b · c) voor alle a, b, c ∈ R;
(6) a · b = b · a voor alle a, b ∈ R;
(7) er bestaat een element 1 ∈ R, 1 6= 0, met a · 1 = a voor alle a ∈ R;
(8) voor iedere a ∈ R, a 6= 0 bestaat er een element a−1 ∈ R met a · a−1 = 1;
(9) a · (b + c) = a · b + a · c voor alle a, b, c ∈ R.
Abstract noemt men een verzameling F waarop twee bewerkingen
+ :F × F → F, (a, b) 7→ a + b (optelling)
· :F × F → F, (a, b) 7→ a · b (vermenigvuldiging)
gedefinieerd zijn, die aan de regels (1) t/m (9) voldoen een lichaam. Bijvoorbeeld vormen ook de rationale getallen Q en de complexe getallen C een lichaam.
Voor een eindig lichaam F (d.w.z. een lichaam met eindig veel elementen) laten
zich de bewerkingen in de vorm van tabellen aangeven, waarbij het kruispunt
van een rij en een kolom de som (of het product) van de twee elementen aangeeft.
Hierbij is het handig, de elementen voor de rijen en kolommen in dezelfde
volgorde te gebruiken, meestal neemt men de elementen 0 en 1 uit de regels (3)
en (7) als eerste twee elementen. Voor een lichaam met 3 elementen krijgt men
zo:
0
1
a
0
1
a
·
+
0 0+0 0+1 0+a
0 0·0 0·1 0·a
1 1+0 1+1 1+a
1 1·0 1·1 1·a
a a+0 a+1 a+a
a a·0 a·1 a·a
(i) Laat zien dat uit de regels voor een lichaam volgt dat a · 0 = 0 · a = 0
voor alle a in een lichaam F.
(ii) Zij nu F een eindig lichaam. Geef aan welke eigenschappen van de tabellen
voor de bewerkingen uit de regels (2) en (3) voor de optelling en uit de
regels (6) en (7) voor de vermenigvuldiging volgen.
(iii) Laat zien dat uit regel (4) (samen met (1) en (2)) volgt dat in de tabel
voor de optelling in iedere rij en kolom ieder element van F precies één
keer voorkomt.
(iv) Laat zien dat uit regel (8) (samen met (5) en (6)) volgt dat in de tabel
voor de vermenigvuldiging behalve in de rij en kolom voor 0 in iedere rij
en kolom ieder element van F precies één keer voorkomt.
(v) Ga voor de verzamelingen F2 = {0, 1} en F3 = {0, 1, a} na dat er telkens slechts een enkele mogelijkheid voor de tabellen voor optelling en
vermenigvuldiging bestaat zo dat deze aan de in (i) t/m (iv) afgeleide
eigenschappen voldoen.
Merk op: In feite voldoen de bewerkingen dan aan alle regels (1) t/m
(9), d.w.z. je hebt lichamen met twee en drie elementen geconstrueerd,
maar dat hoef je nu niet te bewijzen.
Oefenopgaven week 1
Opgave I
We hebben het Cartesische product A × B gedefinieerd als de verzameling van
paren (a, b) met a ∈ A en b ∈ B.
In deze opgave geven we een alternatieve definitie en laten zien dat deze equivalent met onze oorspronkelijke definitie is.
We definiëren het ’nieuwe’ Cartesische product A ⊠ B door
n
o
A ⊠ B :=
{a}, {a, b} | a ∈ A, b ∈ B
en een afbeelding f : A×B → A⊠B van het ’oude’ naar het ’nieuwe’ Cartesische
product door
f : A × B → A ⊠ B, (a, b) 7→ {a}, {a, b} .
(i) Laat zien dat f (A × B) = A ⊠ B.
(Dit betekent dat f een surjectieve afbeelding is, d.w.z. ieder element van
A ⊠ B is het beeld van minstens één element van A × B.)
(ii) Laat zien dat {a}, {a, b} = {c}, {c, d} dan en slechts dan als a = c
en b = d (dus als (a, b) = (c, d)).
(Dit betekent dat f een injectieve afbeelding is, d.w.z. ieder element van
A ⊠ B is het beeld van hoogstens één element van A × B.)
(iii) Concludeer dat er voor ieder element y ∈ A ⊠ B een eenduidig element
x ∈ A × B bestaat met f (x) = y.
(Dit betekent dat we A⊠B via de afbeelding f als een andere beschrijving
van de elementen uit A × B kunnen beschouwen, waarbij alle informatie
behouden blijft omdat we steeds op een eenduidige manier naar A × B
terug kunnen.)
Opgave II
Ga na dat er voor de verzamelingen F4 = {0, 1, a, b} slechts een enkele mogelijkheid voor de tabel voor de vermenigvuldiging bestaat zo dat deze aan de
eigenschappen uit de delen (i), (ii) en (iv) van Opgave 3 voldoet.
Ga verder na dat er voor de tabel voor de optelling twee mogelijkheden bestaan
die aan de eigenschappen uit de delen (i), (ii) en (iii) van Opgave 3 voldoen.
Voor één van deze mogelijkheden geldt 1 + 1 = a + a = b + b = 0. Laat voor de
andere mogelijkheid zien, dat de optelling niet associatief is (dus niet aan regel
(1) voldoet).
De resterende mogelijkheid voldoet (samen met de tabel voor de vermenigvuldiging) inderdaad aan de regels (1) t/m (9) en geeft dus aanleiding tot een
lichaam met vier elementen.
Webpagina: http://www.math.ru.nl/∼souvi/la1 10/la1.html