Hoofdstuk 10

Hoofdstuk 10
10.0 De semantiek van de predikatenlogica
In dit plaatje zijn de volgende zinnen waar:
Rxy = x heeft een relatie met y, wordt aangegeven door een pijl
xRxx, xRxx, x yRxy, x yRxy
De volgende formule is niet waar: x Rxx.
Stel je neem het plaatje rechts, als je hier met de predikaatlogica wat
over wil zeggen dan moet je wat dingen afspreken.
Je kan zeggen dat je drie constanten hebt, a, b en c. Maar naar welk
object verwijst a? En naar welk object verwijst b? We hebben gezegd
dat a = 1, b=2 en c=3. Daarnaast, op welke letter slaat het predikaat P (we hebben afgesproken de
cirkeleigenschap)? En dan heb je nog de predikaatletter R waarvan we hebben gezegd dat dit de
pijlrelatie is.
Nu in het algemeen, stel je hebt verzameling dingen D en een functie I die aan de constanten uit de
predikaatlogische taal T dingen uit D toekent (aan eenplaatsige elementen uit T elementen uit D, aan
tweeplaatsige elementen uit T elementen uit D2, en aan drieplaatsige elementen uit T elementen uit
D3). Dit noem je het model M voor taal T. Als M = <D,I> een model is dan heet D het domein en I de
interpretatiefunctie van het model (soms wordt een model van een predikaatlogische taal ook wel
een structuur genoemd).
Je kan schrijven: I(a) = 1, I(b) = 2, I(c) = 3, I(P) = {1,2}, I(R)={<1,2>,<1,3>,<3,3>,<3,2>}.
10.1 Waarheidswaarde
Je kan hebben dat een formule φ in een model M in taal T waar is. Maar wat betekent dit precies?
We moeten een valuatiefunctie maken die aan elke formule van onze taal een waarheidswaarde
toekent gegeven een bepaald model M. Je moet dan echter wel een afspraak maken over de vrije
variabelen.
Dit doe je met bedelingen. Een bedeling kent waardes uit het domein toe aan variabelen. Als je b =
<d1, d3, d5> schrijft dan ken je d1 toe aan x1, d3 toe aan x2 en d5 toe aan x3. Met andere woorden
x1 heeft dan de waarde van d1. De valuatiefunctie hangt dus niet alleen van het model af maar ook
van de bedeling, daarom schrijf je VM,b. Je hebt ook WM,b dit is een functie die aan een term een
element uit het domein toekent. Als je nu de waardering van een term wil weten moet je kijken of
deze term een constante of een variabele is. Als de term een variabele is kan je zeggen dat WM,b=I(t)
maar als de term een variabele is moet je naar de bedeling kijken, dan is het WM,b=b(t).
Stel dat je kan zeggen dat VM,b( xPx) = 1 dus VM,b(Px) = 1. Want het hoeft niet zo te zijn dat het per
se voor deze Px de valuatie waar is. Omdat je in dit
geval eigenlijk naar alle bedelingen wil kijken die
verschillen voor hun waarde voor x maar verder
gelijk zijn. Je kan dit schrijven als b(x|d). Je kan
kwantoren dan als volgt definiëren (zie plaatje).
10.2 Vervulbaarheid
⊧φ betekent dat φ in alle bedelingen waar is. Als je Ψ ⊧ φ schrijft, dan is zo dat in alle bedelingen
waar Ψ waar is, φ waar is. Als er een paar M, b bestaat zodat VM,b(φ) = 1 dan zeggen we dat M, b de
formule φ vervult en dat φ vervulbaar is. Als het paar M, b alle formules uit een formuleverzameling
T vervult dan zeggen we dat T vervulbaar is. Als een formule φ in alle bedelingen waar is dan noem
je deze formule waar. Als de formule in alle bedelingen onwaar is dan noem je hem onwaar. Als de
formule soms waar en soms onwaar is dan noem je hem contingent.
Als je twee formules hebt die waar zijn in precies dezelfde modellen dan noem je deze logisch
equivalent.
10.3 Substituties
Als je [c/v]φ schrijft dan betekent dit dat je alle vrij voorkomens van v in φ door constante c
vervangt.
Maar wat doen we met atomaire formules die vrij variabelen bevatten? We zeggen dat een atomaire
formules waar is in een model M als je alle vrije variabelen in die atomaire formule zo kan
substitueren dat met als resultaat een atomaire formule met alleen constanten die waar zijn in het
model M. Zo’n substitutie moet wel uniform zijn, dus [a/x]Gxyx moet dan Gaya worden.
10.4 Predikatenlogica met identiteit
Om de predikatenlogica nog sterker te maken kan het identiteitsteken “=” gebruiken. Hiervoor geld:
VM,b(t1 = t2) = 1 ↔ WM,b(t1) = WM,b(t2).
Je kan er is er precies één zodat Px schrijven als x(Px ^ y(Py → y = x)).
10.5 Functie-symbolen
Naast het identiteitsteken kan je ook functie-constanten invoeren. Dit zijn amen van een- of
meerplaatsige operaties op het domein. Stel je hebt een functie, dan kan je elk element uit het
domein D als argument meegeven aan de functie, de functie beeld dan de waarden af op andere
elementen uit D (met andere woorden: argument uit domein D geeft een waarde (beeld) uit domein
D terug).
De definitie van term moeten we nu een beetje aanpassen, als x een variabele is en a
een constante dan zijn x en a termen. Daarnaast is de f een n plaatsige functie en zijn
t1…..tn termen. Dan is ft1…tn ook een term. (Dus constanten en variabelen zijn termen
en daarnaast zijn functies met als argument een variabele of constante ook termen).
Voorbeeld:
f is hier de pijlrelatie, stel dat a = 1, b = 2, c = 3 en d = 4.
fa = 4
f fa = 2
fffa=1
10.6 Theorieën
Niet intressant voor tentmaen.
10.7 Het substitutielemma
Niet intressant voor tentamen.